Ordenadores, vídeos y simulaciones durante el estudio del movimiento browniano

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1 Rev. Cub. Física vol. 4 No. 1 (007) p ISSN: Original paper Selección e trabajos el IV Taller; La Habana, Ene. 9-Feb., 007. Revista Cubana e Física Calle I No. 30 e/ 15 y 17 Veao, La Habana. Orenaores, víeos y simulaciones urante el estuio el movimiento browniano R. Valés Castro a y V. Tricio b Departamento e Física, Universia e Burgos, España. a) Escuela Politécnica Superior, rvales@ubu.es b) Faculta e Ciencias, vtricio@ubu.es autor para la corresponencia Recibio el 1/06/007. Aprobao en versión final el 15/06/007. Sumario. El movimiento browniano es un fenómeno cuyo estuio fue clave para el avance e la Física y e la Química en los inicios el siglo XX. Es hoy una temática e actualia, como lo eviencian el esarrollo e la teoría e fractales, las investigaciones sobre contaminación ambiental y motores brownianos. Estuiar experimentalmente icho fenómeno y simularlo, constituyen activiaes e aprenizaje e especial importancia y vigencia en la formación científica universitaria. Ello es particularmente factible en nuestros ías, gracias al amplio uso e los orenaores y e la fotografía igital. En nuestro trabajo mostramos vías sencillas para la observación y filmación el movimiento browniano y, con ello, para la comprobación experimental e la fórmula e Einstein. En la realización e las meiciones empleamos el software Análisis e Imágenes creao por nosotros. Describimos también tareas ocentes relativas a la simulación el movimiento e partículas brownianas y e la istribución e estas con la altura. Abstract. Brownian motion is a phenomenon whose investigation was a key to avance of Physics an Chemistry in the beginnings of XX century. For experimental stuy of this phenomenon we have evelope a set of activities. In our work we show a simple way to observe Brownian motion an for experimental verification of Einstein s formula. To accomplishment measurements we use our software Análisis e Imágenes. We also escribe activity about simulation of Brownian motion an particles istribution. Palabras clave. Meios auiovisuales F-, uso e computaoras en la enseñanza e Física ht, Uso e computaoras en el laboratorio Lc. 1 Introucción Por su importancia y actualia el movimiento browniano es un fenómeno ampliamente estuiao en los cursos e Física General. Facilitar su comprensión, observación y las meiciones que permiten caracterizarlo es una tarea e la iáctica e la Física, cuyas iversas soluciones son seguramente bien acogias. Más aún, si ello va acompañao e materiales apropiaos para la eucación a istancia. Nosotros hemos confeccionao un libro electrónico con exposiciones teóricas, víeos ilustrativos, sistemas e tareas para el aprenizaje, problemas experimentales, simulaciones interactivas y una compilación e materiales e interés que abarca fragmentos e obras e Einstein, Perrin, Manelbrot, etc. relativas al tema 1. Son numerosos los trabajos ya realizaos con propósitos similares, que han mostrao su utilia. Del nuestro presentamos solamente algunos elementos los cuales, en nuestra opinión, pueen servir para incentivar la orientación investigaora el aprenizaje. Observación y filmación el movimiento browniano Con el objetivo e que puea ser realizaa fácilmente en cualquier centro universitario o instituto e enseñanza secunaria, utilizamos equipos típicos e un laboratorio 84

2 ocente y materiales e bajo coste: 1) microscopio con aumento entre 600 y 1500, ) pastilla e acuarela, pincel y recipiente con agua, 3) portaobjetos excavao, 4) cámara igital e 3 Mp o superior, con capacia para tomar víeos, 5) trípoe (o equivalente construio con varillas metálicas, nueces y morazas el laboratorio), 6) software para el procesamiento e víeo. Llenamos e agua la cavia el portaobjetos. Si se eslíe acuarela en el agua (también leche, pasta ental, tinta china), se crea una suspensión e gránulos microscópicos e iferentes tamaños y formas (en sus experimentos Perrin usó gutagamba y mástique, resinas empleaas en la fabricación e pinturas y barnices). Una vez preparaos la suspensión y el microscopio con alguno e los aumentos inicaos, visualizamos el movimiento e los corpúsculos. Conviene mostrar la imagen a los presentes con un televisor o proyectánola sobre una pantalla. Así el movimiento browniano se aprecia claramente cuano el aumento está entre 600 y 800. Si la suspensión e acuarela se prepara en un vaso e precipitao y es calentaa urante 0 30 minutos a unos 80 ºC, se etectan con el microscopio partículas brownianas esféricas. Para filmar el movimiento e las partículas, el objetivo e la cámara fotográfica acoplaa al trípoe se coloca sobre el ocular el microscopio. Too el sistema se ajusta hasta que en la pantalla LCD e la cámara se vean los corpúsculos en movimiento. El zoom el aparato permite aumentar aún más el tamaño e la imagen. En este punto, con la habitación a oscuras, se hace la filmación. La cámara igital puee estar conectaa a un proyector o televisor, que hacen visibles las imágenes a toos. Sobre la base e las técnicas escritas con anterioria, hemos preparao tres víeos que pueen ser utilizaos para la realización e meiciones (Fig. 1). Estas últimas se llevan a cabo utilizano el software Análisis e Imágenes creao por nosotros. 3 Comprobación experimental e la fórmula e Einstein Después e estuiar las ieas funamentales e la teoría el movimiento browniano se puee proponer a los alumnos la resolución el siguiente problema experimental: Los víeos e la serie Partículas Brownianas reproucen el movimiento e corpúsculos e acuarela en agua. Con el objetivo e comprobar la fórmula e Einstein: - Utiliza el programa Análisis e Imágenes y los víeos mencionaos para comprobar la proporcionalia irecta entre x y t. - Estima el número e Avogaro. Compara tus resultaos con los que obtuviera Perrin. - Menciona las principales fuentes e incertiumbres experimentales y cómo isminuirlas al realizar el experimento e comprobación e la fórmula e Einstein. - Antes e hacer la experiencia confecciona previamente una guía one iniques cómo proceerás al hacer las meiciones y los cálculos. La temperatura el ambiente urante la filmación era e 0 ºC. El coeficiente e viscosia el agua a esa temperatura es η = 1, kg /(m s). Figura 1. Partícula browniana observaa con el software Análisis e Imágenes. A continuación presentamos una iea global e la resolución e la tarea. Recoremos que para el caso e una partícula esférica e raio a, suspenia en un fluio e viscosiaη, resulta: RT t x = (1) N πaη one A 3 x es el valor el esplazamiento cuarático meio e la partícula realizao en el lapso t y en la irección x, T es la temperatura absoluta, R la constante e los gases y N A el número e Avogaro. Puesto que el movimiento browniano es isótropo, se cumple x = y = z. En caa uno e los víeos a que se refiere el enunciao el problema experimental, se selecciona un corpúsculo browniano esférico, cuyo recorrio se sigue a lo largo e toa la película. Determinano con el programa Análisis e Imágenes la posición el corpúsculo al cabo e intervalos e tiempo t = 1 s, se obtiene una muestra experimental con más e 60 esplazamientos sobre el plano que enominamos XOY. En virtu e la equiprobabilia e las irecciones e movimiento X e Y, las proyecciones e los esplazamientos sobre ichos ejes son estaísticamente equivalentes. Es ecir, a los efectos e nuestro análisis los valores e y pueen ser tomaos como e x y viceversa. De esta forma es posible contar con más e 10 atos experimentales para comprobar la relación (1). 85

3 Simbolicemos con la letra A el raio aparente e una partícula browniana, vista con el programa Análisis e Imágenes. Sea M el aumento el víeo observao con el software. Entonces A = am. Representemos con la letra los valores e los esplazamientos en las irecciones X e Y, meios irectamente sobre los fotogramas y expresaos con las uniaes e longitu usaas en el software Análisis e Imágenes. En virtu e la isotropía el movimiento asociemos ichos valores al eje X. Entonces obtenemos = M x. Aecuano la fórmula e Einstein a nuestro experimento tenemos: 3 RT t = M N A 3 () πaη La Tabla I y la Figura son una muestra e resultaos experimentales. Obsérvese en el gráfico, por una parte, el elevao coeficiente e correlación e las rectas ajustaas y, por otra; que la línea e peniente mayor correspone a la partícula e menor raio, como era e esperar si se cumple la relación e Einstein. El gráfico experimental se utiliza para eterminar el 3 RT 1 coeficiente e proporcionalia M N A 3, a partir πaη el cual estimamos el número e Avogaro. Si tomamos la temperatura e la muestra igual a la el ambiente urante la filmación (T = 93 K), para los atos experimentales e la Tabla I obtenemos 5, mol -1 y 6, mol -1 con las partículas 1 y respectivamente. Las principales fuentes e incertiumbre experimental en la solución el problema son los atos e la meición e tres magnitues: los intervalos e tiempo t, la componente e los esplazamientos brownianos y el raio aparente A. Determinamos lapsos e 1,,, 8 segunos, conocieno que el víeo pasa 5 fotogramas por seguno. De ahí que el error relativo máximo en la meición el tiempo no supere el 4%. Para isminuirlo habrá simplemente que aumentar la uración e los intervalos meios. Cuano localizamos con el programa Análisis e Imágenes la posición e un punto en un fotograma, el error con que se mie tiene la misma probabilia e ser por exceso que por efecto. En el cálculo e tales errores aleatorios prácticamente se compensan si el número e meiciones es suficientemente elevao. Para isminuir la incertiumbre en la meición e es clave aumentar la cantia e atos e la muestra estaística. De este moo, el estimao e también se aproximará mejor a su límite estaístico. La correcta eterminación el iámetro e la partícula es ecisiva en el cálculo el número e Avogaro. Depenieno e la profunia a que se halla el corpúsculo en la suspensión acuosa, se observa como si cambiara e tamaño. Nosotros hallamos el iámetro e la partícula, promeiano tres meias realizaas a partir e fotogramas en los que el corpúsculo se aprecia con las mayores imensiones. Excluimos, claro está, las imágenes e ifracción fácilmente istinguibles por el punto luminoso central. t (s) Figura. Gráfico experimental. Tabla I. Resultaos experimentales Partícula 1 Partícula A =,8 mm A = 1,95 mm 1,0 7,5 10,0,0 16,4 19,0 3,0 4,4 30,6 4,0 30,9 39,6 5,0 39,9 49,9 6,0 48,8 57,9 7,0 55,7 66,4 8,0 6,0 73, Examinar las principales fuentes e error en la experiencia escrita, crea el contexto apropiao para plantear la siguiente tarea 3 : Propón una versión mejoraa e la experiencia que realizaste para valiar la fórmula e Einstein. Halla la información necesaria en la Compilación e Materiales. El análisis e las fuentes e error, e cómo reucir las incertiumbres y precisar vías concretas para mejorar los resultaos obtenios se encuentran entre las activiaes que consieramos para esarrollar la actitu crítica e los alumnos. 4 Simulaciones e movimiento browniano y istribución e partículas A continuación enunciamos y resumimos la solución e algunas tareas relativas a la utilización e las técnicas e Montecarlo para construir moelos e suspensiones brownianas. He aquí algunos enunciaos: Argumenta que los esplazamientos brownianos tienen istribución normal. Precisa la varianza y la esperanza matemática corresponientes. - Construye un algoritmo para simular el movimiento e una partícula browniana en un plano horizontal. 86

4 - Implementa en un programa informático un algoritmo para moelar la istribución e partículas brownianas con la altura. Sobre la base el teorema central el límite en la teoría e las probabiliaes, se argumenta el carácter normal e la istribución e los esplazamientos x. Por otra parte, se justifica que la esperanza matemática e los esplazamientos brownianos es cero y la varianza es x. Describamos ahora cómo obtener valores e una magnitu aleatoria con istribución normal. Sean u 1 y u los valores e os variables aleatorias inepenientes con istribución uniforme en (0, 1]. Para generar la variable r con istribución prácticamente normal, esperanza matemática µ y varianza σ, se emplea alguna e las os fórmulas siguientes: ( π ) µ ( π ) µ r σ lnu cos u + (3) = 1 r σ lnu sen u + (4) = 1 El software habitualmente utilizao urante la realización e cálculos numéricos, tiene incorporao algún generaor e números pseuoaleatorios en el intervalo [0, 1] que satisface las coniciones para simular r meiante las fórmulas (3) ó (4). Otra alternativa e simulación e variables aleatorias con istribución normal, más lenta, es utilizar el propio teorema central el límite. En calia e material iáctico nosotros elaboramos el víeo Moelo e Movimiento Browniano, que construimos ensamblano fotogramas generaos a partir e los proceimientos escritos para la moelación e la istribución normal. Caa fotograma (Fig. 3) simula la posición e partículas brownianas esféricas (a =, cm), suspenias en agua a 0 ºC. En el algoritmo e cálculo consieramos variables aleatorias inepenientes a las componentes x i y y i (i = 1,, ) e los esplazamientos en el plano. También impusimos la conición e que estuvieran normalmente istribuias con esperanza matemática µ = 0 y ispersión D = ; one RT τ N πaη A 3 τ = 0,04s, es el intervalo e tiempo entre os fotogramas. En relación con esta simulación, es posible plantear a los alumnos la tarea siguiente: Corresponerán a la fórmula e Einstein y tenrán istribución normal los esplazamientos e las partículas brownianas el víeo, cuano se mian al cabo e intervalos e tiempo t > τ? La pregunta anterior se respone utilizano nociones básicas e la teoría e las probabiliaes 4. Analicemos ahora la simulación e la istribución exponencial e las partículas brownianas con la altura z. En este caso habrá que consierar la ensia e probabilia f ( z ) α z = α e (5) 3 ( ρ ) 4 πa ρ0 g one α = coincie con la esperanza 3 kt matemática y la coorenaa z toma valores en el intervalo [0, ). En la expresión anterior ρ y ρ 0 son las ensiaes e las partículas y el fluio respectivamente, g es la aceleración e la gravea y k, la constante e Boltzmann. El proceimiento e Montecarlo que permite obtener los valores e la variable aleatoria con las características aas, se reuce a lo siguiente: 1. Definir el número total n e partículas que se observarán.. Definir la constante α. 3. Generar la variable aleatoria u 1 con istribución uniforme en (0, 1] Calcular z = lnu1. α 5. Repetir n veces los pasos 3 y 4. Figura 3. (Izq). Fotograma el víeo e simulación Movimiento Browniano. Figura 4. (Der). Distribución exponencial e las partículas. Siguieno el algoritmo anteriormente escrito se eterminan las coorenaas e las partículas en la irección vertical. Para calcular las coorenaas e los corpúsculos en una irección perpenicular al eje Z, tomamos en cuenta la equiprobabilia e las posiciones en un plano horizontal e la suspensión simulaa. Supongamos que en la irección X, es b la longitu e la arista e cierta cavia rectangular que contiene la muestra. Entonces, en esa irección las coorenaas tienen istribución uniforme en [0, b]. Las coorenaas x se calculan meiante el siguiente proceimiento: 1. Definir el valor e la arista b e la cavia.. Generar la variable aleatoria u con istribución uniforme en [0, 1]. 3. Calcular los valores e x = b u, en [0, b]. Un programa hecho con Mathematica ejecuta los algoritmos escritos y representa gráficamente la istribución exponencial e las partículas brownianas (Fig. 4). 5 Conclusiones Los experimentos que realizó Perrin son completos y únicos. Hoy, sin granes recursos, las nuevas tecnologías informáticas posibilitan que los estuiantes realicen al- 87

5 gunas activiaes intelectuales similares a las que hicieran él y sus colaboraores. El estuio e algoritmos para la moelación el comportamiento e las partículas brownianas permite aplicar y consoliar conocimientos básicos e la teoría e las probabiliaes e iniciar a los estuiantes en la simulación e variables aleatorias continuas en el ejemplo e un fenómeno concreto. No es posible prever el alcance e tales activiaes, pero es tal la importancia y actualia el conocimiento el movimiento browniano y e las técnicas e Montecarlo, que poemos esperar que en un futuro sean típicas urante la formación universitaria en algunas especialiaes. A ello contribuirá, sin uas, crear materiales e calia que sirvan a la eucación a istancia. Referencias 1. R. Valés y V. Tricio, Tecnologías multimeia e hipermeia en el estuio el movimiento browniano, Resúmenes e comunicaciones. XXX Reunión Bienal e la Real Sociea Española e Física (Septiembre e 005).. R. Valés y V. Tricio, Activiaes experimentales en Física General con fotografía y víeo igitales, IV Taller Iberoamericano e Enseñanza e la Física Universitaria (007) 3. R. Newburgh, J. Peile, J. an W. Rueckner, Einstein, Perrin, an the reality of atoms: 1905 revisite; American Journal of Physics, Volume 74, Issue 6, pp (June 006). 4. R. Valés y V. Tricio, Experiencias e elaboración y uso e la fotografía igital en la resolución e problemas ocentes e física, 100cias@une. Nº 8, pp (005). 88