por lo que la expresión del momento de inercia es similar para el cubo y para la lámina, cambiando únicamente la masa.

Transcripción

1 PROBLEMAS Un cuo sólio e maera e laos e longitu a y masa M escansa sore una superficie horizontal El cuo está restringio a girar alreeor e un eje a) Determinar el momento e inercia el cuo respecto al eje Se ispara una ala e masa m con una celeria v sore la cara opuesta a CD a una altura e a/3 ) Determina el móulo el momento angular e la ala respecto a un punto el eje La ala se quea incrustaa en el loque Si suponemos que m<<m: c) Determina la velocia angular inicial el loque ) Encuentra el mínimo valor e v para que el cuo rote hasta caer sore la cara CD D A C B En los apartaos anteriores, las soluciones tienen que quear en función e M, m, a, v y g e) Si ahora suponemos que M = kg, m = 5 g y a = cm, etermina numéricamente las magnitues e los apartaos a) y ) SOLUCION a) Un cuo se puee consierar una superposición e laminas cuaraas e lao = a Si el momento e inercia e una lámina respecto al eje es I = m k, con k una constante a eterminar, el momento e inercia el cuo será la suma e los momentos e inercia e las láminas I = I = m k = k m = Mk, A B por lo que la expresión el momento e inercia es similar para el cuo y para la lámina, camiano únicamente la masa En teoría se ha visto que, cuano tenemos una lámina plana, el momento e inercia respecto a un eje perpenicular a la misma,, es la suma e los momentos e inercia e la lámina respecto a os ejes contenios en el plano e la misma, que sean perpeniculares entre si, I x e I y, y que se corten en el punto por one pasa el eje = I x + I y = I x = I y En esta última expresión hemos utilizao el hecho e que, por simetría e un cuarao, I x = I y I y = m x = σ s x = σ hx x = σ h $ ' & % 3 ( x 3 ) = σ h 3 3 = 3 σ h = 3 m = I y = 3 m = 3 m

2 El momento e inercia el cuo es similar, pero camiano por a y la masa e la placa, m, por la el cuo, M : I = = 3 M ( a ) = 8 3 Ma ) El momento angular se efine como L = r p = m( r v ) L = m r v sin(8 α) = m r v sinα Tenieno en cuenta que r sinα = 3 a L = 3 ma v c) Al impactar la ala contra la masa, la fuerza externa que actúa, es en el eje ω Como esta fuerza pasa por el eje, no origina ningún momento externo, y por lo tanto, el momento angular se conserva (el momento lineal no se conserva, ya que esta fuerza si prouce una variación el momento lineal el sistema) F Deemos e tener en cuenta que el momento eio al peso el loque se cancela con el momento eio a la normal ejercia por el suelo El suponer que m << M implica que espreciamos la contriución e la ala (ya incrustaa) al momento e inercia el cuo, es ecir que el momento e inercia el cuo con la ala entro es igual al momento el cuo calculao anteriormente Una vez que la ala está incrustaa en el cuo, el cuo comienza a girar con una velocia angular ω El móulo el momento angular inicial el cuo es L = Iω Por la conservación el momento angular 3 ma v = 8 3 Ma ω ω = m v Ma ) Cuano el cuo rota, el centro e masas, que al ser uniforme está situao en el centro, camia su altura El incremento e altura entre la posición inicial y cuano está en al vertical es Δh = cos5 = = a a = a a = ( )a Δh Para que el cuo caiga sore el lao CD, la energía cinética e rotación inicial, tiene que ser superior a la energía potencial necesaria para que el centro e masas pase por el punto mas alto,

3 Iω MgΔh 8 $ m v ' 3 Ma & % Ma ) ( Mg( )a v 3M g( )a m e) I = 8 3 M a = 8 3 () = 667 kgm v 3M g( -) a m = 3 98( -) (5) = 8 m/s 3

4 Una placa rectangular e kg e masa está suspenia e los puntos A y B, como inica la figura a) Determinar el momento e inercia e la placa respecto un eje perpenicular a la misma que pasa por el punto B Suponer que la placa es uniforme Si se rompe el pasaor A: ) Cuál será la aceleración angular e la placa en el instante inicial? c) Cuál será la velocia angular e la misma cuano pase por la posición e equilirio? SOLUCION a) En teoría se ha visto que cuano tenemos una lámina plana, el momento e inercia respecto a un eje perpenicular a la misma,, es la suma e los momentos e inercia e la lámina respecto a os ejes contenios en el plano e la misma, que sean perpeniculares entre si, I x e I y, y que se corten en el punto por one pasa el eje = I x + I y I y = m x = σ s x = σ hx x = σ h $ & % ' x 3 ) = σ h 3 3 = 3 σ h = 3 m 3 ( Por analogía, el momento e inercia respecto al eje x, será: = El momento e inercia respecto al eje z será: 3 m h = 3 m + 3 m h = 3 m ( +h ) = 3 ( +5 ) = 67 kg m ) Para calcular la aceleración angular aplicamos M = I α, too respecto al punto B La única fuerza que origina momento respecto el punto B es el peso aplicao en el centro e masas Como la placa es homogénea el centro e masas coincie con el centro e la misma Tenieno esto en cuenta, la seguna ley e Newton para las rotaciones se transforma en mg = 67α α = ra s = 79 ra s mg El momento el peso apunta hacia fuera el plano el papel (irección positiva), por lo que la aceleración angular es positiva La placa rotará en sentio antihorario

5 c) Cuano la placa rota, el centro e masas, que al ser uniforme está situao en el centro, camia su altura La variación e altura entre la posición inicial y cuano el centro e masas está en la posición más aja (justo en la vertical con el punto B) es Δh = 75 = = 5 m 75 Δh La energía potencial gravitatoria se transforma en energía cinética e rotación: mgδh = / I ω ω = mgδh I = = 686 ra/s 5