Potencial eléctrico (V)

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1 Activia 1 [a] xplica el concepto e potencial electrostático en un punto. [b] Dibuja aproximaamente en un sistema e coorenaas el gráfico ue relaciona el potencial creao por una carga puntual positiva (eje vertical) con la istancia a icha carga (eje horizontal), situano la carga en el origen e coorenaas. [c] Si en una región el espacio el campo eléctrico es nulo, ué porías ecir el potencial en icha región? [a] l potencial eléctrico en un punto es el trabajo ue ebe realizar una fuerza eléctrica para mover una carga unitaria "" ese ese punto hasta el infinito, one el potencial es cero. Dicho e otra forma, es el trabajo ue ebe realizar una fuerza externa para traer una carga unitaria "" ese el infinito hasta el punto consierao en contra e la fuerza eléctrica. Matemáticamente se expresa por: V = W. Para el caso e una carga puntual Q, el potencial eléctrico a una istancia r es: V =k Q r. [b] A partir e la ecuación anterior, se puee escribir: Vr =constante, lo ue significa ue el potencial eléctrico es inversamente proporcional a la istancia a la carga ue crea el campo; por lo tanto, Potencial eléctrico (V) Distancia (m) [c] Sean A y B os puntos e la citaa región. a p entre ellos, e acuero con el significao B ue le amos a esta magnitu, se calcula meiante la expresión: V AB =V B V A = $r. Si A el campo eléctrico es nulo, lo será la integral y la p V AB ; esto significa ue el potencial es constante en icha región. fagm, septiembre 009 { 1 }

2 Activia Nuestra experiencia se va a esarrollar en una región el espacio en one existe un campo eléctrico uniforme. Una partícula e masa m y carga se eposita sin velocia en un punto one el potencial vale V 1. [a] Calcula la velocia e la partícula cuano pase por otro punto en one el potencial sea V. [b] Si el campo eléctrico no fuera uniforme, pero los valores e V 1 y V fueran los mismos, sería iferente la respuesta el apartao anterior? Razona la contestación. [a] a figura muestra un esuema el campo eléctrico escrito: as líneas e fuerzas se han trazao euiistantes para recoger la iea e la uniformia el campo; por otro lao, las líneas euipotenciales son rectas perpeniculares a las líneas e fuerzas, cumpliénose, aemás, ue V 1 > V. v = 0 v =? a energía mecánica se conserva, por lo ue m,inicial = m,final ; V 1 = 1 mv +V ; V V 1 (V 1 V ) (V 1 V ) = 1 mv ; v = m. Se observa ue el resultao tiene sentio, ya ue el raicano es positivo (V 1 > V ). [b] Si el campo eléctrico no fuera uniforme, el esuema e líneas e fuerza y líneas euipotenciales no sería tan sencillo como el ibujao anteriormente. Sin embargo, la expresión matemática asociaa a la conservación e la energía mecánica sería la misma; en consecuencia, la respuesta coinciiría con la el apartao anterior. fagm, septiembre 009 { }

3 Activia 3 Dos cargas eléctricas, el mismo valor absoluto pero istinto signo, están separaas una istancia h. [a] Calcula y ibuja el campo eléctrico en el punto P, ue forma con las os cargas un triángulo euilátero. [b] Calcula el potencial en el punto P. + h P - [a] n primer lugar, hay ue hacer una precisión terminológica: la pregunta se refiere a calcular y ibujar la intensia el campo eléctrico resultante en el punto P. a intensia el campo eléctrico resultante es la suma vectorial e las intensiaes ebias a los campos eléctricos e las os cargas. Comenzamos, por lo tanto, ibujano ichos vectores: + y (fig. 1). Por la simetría e la istribución, vemos ue estas intensiaes tienen el mismo h h P - + -,x y P +,x Fig. 1 x móulo: + = = k h. Para hacer la suma vectorial escomponemos estos vectores según el sistema e referencia mostrao en la fig.. Se cumple ue las componentes X se anulan entre sí y ue las componentes Y son iguales; por lo tanto, el móulo e la intensia el campo eléctrico resultante es: 3k h total = +,y =$ k h $cos60 =. a irección y el sentio e la intensia el campo eléctrico resultante coincien con el sentio negativo el eje Y. [b] l potencial eléctrico total es la suma e los potenciales eléctricos ebios a las os cargas:. V total =k h k h = ,y + +,y Fig. fagm, septiembre 009 { 3 }

4 Activia 4 Una partícula cargaa negativamente, con masa m = kg y carga = C, escribe órbitas circulares alreeor e otra partícula mucho mayor, e masa M = kg y carga positiva Q = C, a la ue suponremos inmóvil. a partícula peueña emplea un tiempo t = 7, s en ar una vuelta completa. No tenremos en cuenta la atracción gravitatoria entre ambas partículas. [a] Calcula el raio e la órbita ue escribe la partícula peueña. [b] Al no haber tenio en cuenta la fuerza gravitatoria, se puee pensar ue estamos cometieno cierto error. Piensas ue icho error es espreciable? Razona numéricamente tu respuesta. 1 {DATOS: Constante e la Gravitación Universal, G = 6, U.S.I.} =9$10 9 U.S.I. [a] n primer lugar, hay ue aclarar ue las siglas U.S.I. no corresponen a ninguna unia militar e la ª guerra munial, sino ue hacen referencia a las uniaes e meia; significa Uniaes el Sistema Internacional. Comenzamos la resolución con un esuema e las fuerzas ue actúan sobre la partícula peueña: a única fuerza ue actúa sobre esta partícula es la fuerza e atracción electrostática, ue se comporta como F m, e fuerza centrípeta; por lo tanto, e acuero con la ª ley e Newton: F neta =ma c ; k Q R =m R; la partícula M,Q lleva un movimiento circular uniforme, por lo ue = T, sieno T el perioo el movimiento. a expresión e la ª ley se escribe, entonces: k Q R =m 4 T R R 3 = kqt 4. Al sustituir los valores, m uea: R 3 = 9$109 $3$10 10 $$10 18 (7,65$10 10 ) 4 $8$10 = R =10 6 m. [b] Vamos a calcular, para este sistema e os partículas, los valores e las fuerzas gravitatoria y F g F e =G Mm R +k Q R = GMm kq = 6,67$10 11 $4$10 1 $8$10 0 9$10 9 $3$10 10 $$10 =,13$ eléctrica: 5,4$10 =3,94$10 4. sto 18 significa ue la fuerza gravitatoria es cuatrillones e veces! menor ue la fuerza eléctrica; no se ha cometio ningún error al omitir la fuerza gravitatoria en el apartao anterior. fagm, septiembre 009 { 4 }

5 Activia 5 Dos partículas con cargas 1 =1 C y = C están separaas una istancia = 0,5 m. [a] Calcula la fuerza ue actúa sobre la seguna y su energía potencial electrostática. [b] Si puee moverse, partieno el reposo, hacia óne lo hará? Calcula su energía cinética cuano se halla esplazao 0, m respecto a su posición inicial. Cuánto trabajo habrá realizao hasta entonces el campo eléctrico? {DATO: Constante e Coulomb: k = 1 =9$10 9 m C } [a] as os partículas se repelen con una fuerza eléctrica e móulo: F =k 1 =9$10 9 1$10 6 $$ ,5 =7,$10 a energía potencial electrostática se calcula meiante: U =k 1 =9$10 9 1$10 6 $$10 6 0,5 =3,6$10 J. [b] a partícula e carga se moverá en la irección e la recta ue une las cargas y alejánose e la otra partícula cargaa, pues existe una fuerza e repulsión. 0,5 m 0, m 1 a energía mecánica se conserva, por lo ue: m,inicial = m,final ; U i = c,final +U f ; la energía cinética final es, entonces, c,final =U i U f =k 1 r 1 k 1 r =k 1 ( r 1 1 r 1 ); al hacer la aplicación numérica uea c,final =9$10 9 $10 6 $$ ,5 1 0,7 =1,1$10 J. Por el teorema el trabajo y la energía cinética, el trabajo neto sobre la carga, ue el trabajo realizao por la fuerza eléctrica, es igual a la variación e su energía cinética; en consecuencia, W eléctrico = c =1,1$10 J. Otra forma e hacerlo es consierar ue el trabajo realizao por las fuerzas el campo eléctrico es igual, con signo -, a la variación e la energía potencial: W eléctrico = U =U i U f =1,1$10 J. fagm, septiembre 009 { 5 }

6 Activia 6 n una región el espacio existe un campo eléctrico uniforme = 1000 N/C. n un punto P e esta región, one suponremos ue el potencial eléctrico es nulo, V(P) = 0, liberamos un protón con una velocia inicial nula. Calcula su energía potencial y su velocia cuano haya recorrio una istancia = 10 cm. {DATOS: e = 1, C, m p = 1,710-7 kg} [a] a figura muestra un esuema e la situación escrita en el enunciao. Como el campo eléctrico es uniforme, la iferencia e potencial entre los puntos R y P vale: V(R) V(P) = ; como V(P) = 0, V(R) = = 10 3 ( C ) $0,1(m) = 10 (V). a energía potencial eléctrica el protón en el punto R es, entonces, U(R) =ev(r) = (1,6$10 19 C$( 10 V) = = 1,6$10 17 (J). v = 0 v =? P R = 0,1 m [b] a velocia el protón en el punto R se obtiene a partir e la conservación e la energía mecánica. a energía mecánica en el punto P es nula, por serlo las energías cinética y potencial eléctrica; por lo tanto, también la energía mecánica el protón en el punto R será nula, por lo ue se puee escribir: 1 m pv R +U(R) =0; v R = U(R) m p = 3,$10 17 (J) ;. 1,7$10 7 (kg) =1,9$1010 m s v R =1,4$10 5 ( m s) fagm, septiembre 009 { 6 }

7 Activia 7 Una placa conuctora cargaa positivamente crea en sus proximiaes un campo eléctrico uniforme = 1000 V/m, tal y como se muestra en la figura. Dese un punto e la placa se lanza un electrón con velocia v o = 10 7 m/s formano un ángulo =60 o con icha placa, e forma ue el electrón escribirá una trayectoria como la inicaa en la figura. [a] n el punto A, el más alejao e la placa, con ué velocia se mueve el electrón? Respecto al punto inicial, cuánto ha variao su energía potencial electrostática? Calcula la istancia entre el punto A y la placa. [b] Determina la velocia (móulo y orientación) el electrón cuano choca con la placa (punto B). {DATOS: e = 1, C, m e = 9, kg} A v o α B [a] Sobre el electrón está actuano una fuerza, vertical y hacia abajo, e móulo e, sieno e el valor absoluto e la carga el electrón; la aceleración, también vertical y hacia abajo, el electrón vale a y = m e e. Si se toma como origen e coorenaas la posición inicial el electrón, la posición el electrón, en cualuier instante, está aa por x =v ox t = (v o cos )t. as componentes e la velocia instantánea el y =v oy t 1 a y t =(v o sen )t 1 e m e t v x =v ox =v o cos electrón son. n el punto A, la componente y e la veloci- v y =v oy a y t =v o sen m e e t a es nula, por lo ue en icho punto la velocia el electrón es: v A =v x =v o cos =5$10 6 ( m s). [b] n primer lugar, calculamos el tiempo ue tara el electrón en volver a la placa; se ebe cumplir, entonces, ue y = 0; es ecir, (v o sen )t 1 e m e t =0, ecuación ue, aemás e la eviente t = 0, tiene la solución t = mevosen e = $9,1$10 31 $10 7 $sen60 1,6$10. as compo- 19 $10 =9,9$10 8 s 3 nentes e la velocia en ese instante son v x =10 7 cos60 =5$10 6 ( m s). l móulo e la velocia en el v y =10 7 sen60 1,8$10 14 $9,9$10 8 = 9,1$10 6 ( m s) punto B es: v B = v x +v y = ( 9,1) =10 7 ( m s). ste valor coincie con el e la velocia inicial; ello es ebio a ue la energía mecánica se conserva. sta velocia forma con la horizontal un ángulo tal ue tg = vy v x = 9,1$106 5$10 = 1,8; 6 = 61 o j 60 o. fagm, septiembre 009 { 7 }

8 Activia 8 [a] xplica el concepto e potencial eléctrico. Qué potencial eléctrico crea una carga puntual? Dibuja sus superficies euipotenciales. [b] Consiera os cargas puntuales fijas 1 = 1 µc y = - µc separaas una istancia = 30 cm. Determina la istancia a 1 el punto sobre la recta ue une ambas cargas one el potencial eléctrico es nulo. s también nulo allí el campo eléctrico? [a] l potencial eléctrico en un punto cualuiera el campo se efine como la energía potencial eléctrica por unia e carga positiva en icho punto. También representa el trabajo realizao, contra las fuerzas el campo, para llevar la unia e carga positiva ese el nivel e referencia hasta el punto consierao. l potencial eléctrico creao por una carga puntual Q a un istancia r e la carga está ao por: V =k Q r, e one se euce ue el potencial eléctrico tiene el mismo signo ue la carga ue prouce el campo. Una superficie euipotencial es el lugar geométrico e los puntos en los ue el potencial es constante. De acuero con la expresión anterior, V será constante cuano lo sea la istancia r; en consecuencia, el lugar geométrico e los puntos el plano ue euiistan e otro fijo es una circunferencia, al tiempo ue el Q lugar geométrico e los puntos el espacio ue están a la misma istancia e otro fijo es una superficie esférica. a figura muestra, referio al plano el papel, las líneas e fuerza y las superficies euipotenciales para una carga puntual. Se observa ue las superficies euipotenciales son perpeniculares a las líneas e fuerza. [b] Supongamos ue el potencial eléctrico total es nulo en el punto P el esuema e la figura. Se cumplirá, entonces, ue: k 1 x +k 0,3 x =0 ; tras iviir too por k, se llega a: 1 (0,3 x) = x; x 0,3-x 10 6 (0,3 x) =$10 6 x; 0,3 x =x;0,3 =3x; x =0,1(m). Por otro lao, la intensia el campo eléctrico resultante en el punto P nunca puee ser nula, ya 1 P ue las intensiaes e campo eléctrico, ebias a 1 las os cargas, son vectores e la misma irección y el mismo sentio. 1 P fagm, septiembre 009 { 8 }

9 Activia 9 Un electrón con energía cinética inicial e 100 ev penetra en la región sombreaa e la figura, e anchura = 10 cm, one se sabe ue existe un campo eléctrico uniforme. Se observa ue el electrón atraviesa icha región sin esviarse e su trayectoria rectilínea inicial, pero su velocia e salia es la mita e la inicial. Calcula: [a] a velocia inicial v o el electrón. [b] l móulo y la orientación el campo eléctrico entro e esa región. {DATOS: e = 1, C, m e = 9, kg} v v / o o [a] l electrón-voltio (ev) es una unia e energía ue representa la energía ue auiere un electrón cuano es acelerao por una iferencia e potencial e un voltio; su euivalencia con el julio (J) es: 1eV =1,6$10 19 (C).1(V) =1,6$10 19 J. a velocia inicial v o el electrón se calcula meiante: c m e = 3,$10 17 v o = 9,1$10 =5,9$10 6 ( m s). 31 [b] Sean A y B los puntos inicial y final e la trayectoria el electrón entro el campo eléctrico uniforme. a conservación e la energía mecánica exige ue: m,a = m,b, es ecir, 1 m ev o ev(a) = 1 m v o e 4 ev(b), one ya se ha introucio el signo e la carga el 3 electrón; icha expresión se puee escribir: 8 m ev o =e[v(a) V(B)]. Por otro lao, al ser el campo eléctrico uniforme, la iferencia e potencial entre los puntos A y B se relaciona con la intensia el campo eléctrico meiante: V(A) V(B) =; llevano este resultao a la 3 ecuación anterior, uea: 8 m ev o =e, e one se euce ue el móulo el campo eléctrico es: = 3mev o 8e = 3$9,1$10 31 $(5,9$10 6 ) 8$1,6$10. a orientación el campo eléctrico 19 $0,1 =7,4$10 ( C ) se obtiene el siguiente razonamiento: el electrón es frenao en el campo eléctrico, por lo ue la fuerza ue actúa sobre el mismo, está irigia hacia la izuiera; como la carga el electrón es negativa, la intensia el campo eléctrico será un vector horizontal y irigio hacia la erecha. fagm, septiembre 009 { 9 }

10 Activia 10 [a] scribe y comenta la ley e Coulomb. [b] Tres cargas puntuales 1 = = 1 mc y 3 = -1 mc están situaas en los vértices e un triángulo euilátero e lao = 10 cm. Calcula la fuerza eléctrica (móulo y orientación) ue actúa sobre caa una e ellas. {DATO: Constante e Coulomb: } k = 1 =9$10 9 m C 3 1 [a] Véase el libro e Física. [b] n primer lugar, se ibuja las fuerzas ue actúan sobre caa carga. a carga 3 es atraía por las cargas 1 y, al tiempo ue estas os se repelen. A continuación se calcula los móulos e ichas fuerzas. Por los valores e las cargas, vemos ue toas las fuerzas tienen 3 el mismo móulo: 9$ ,1 =9$10 5 ( ). F 31 F3 Fuerza resultante sobre 1 as componentes e esta fuerza son: jex:f x( 1 ) = F 1 +F 13 cos60 F13 F3 jey: F y ( 1 ) =F 13 sen60 F F 1 1 F x( 1 ) = 4,5$10 5 ( ) F y ( 1 ) =7,8$10 5 ( ) 1 Móulo: F( 1 ) =10 5 ( 4,5) +7,8 =9$10 5 ( ) tg = 4,5 Dirección y sentio: 7,8 = 0,58 ; = 30 o,150 o,... n este caso, la irección y sentio e la fuerza resultante sobre 1 forma un ángulo e 150º con el sentio +X. Fuerza resultante sobre Daa la simetría e la istribución e las cargas, las componentes e esta fuerza son: F x( ) =4,5$10 5 ( ), por lo ue el móulo es la misma es N y su irección y su F y ( ) =7,8$10 5 ( ) sentio forman un ángulo e 30º con el sentio +X. Fuerza resultante sobre 3 Vemos, aa la simetría, ue las componentes horizontales e las fuerzas F 31 y F 3 an resultante nula; por lo tanto, esta fuerza resultante sólo tiene componente vertical: F y ( 3 ) = F 31 sen60 = 1,6$10 6 ( ). l móulo e esta fuerza es, obviamente, 1, N y su irección y su sentio son vertical y hacia abajo. fagm, septiembre 009 { 10 }

11 Activia 11 [a] xplica el concepto e energía potencial eléctrica. Qué energía potencial eléctrica tiene una partícula e carga situaa a una istancia r e otra carga 1? [b] Una partícula e carga 1 =0,1 C está fija en el vacío. Se sitúa una seguna partícula e carga =0,5 C y masa m = 0,1 g a una istancia r = 10 cm e la primera. Si se suelta con velocia inicial nula, se moverá alejánose e 1. Por ué? Calcula su velocia cuano pasa por un punto a una istancia 3r e 1. {DATO: Constante e Coulomb: } k = 1 =9$10 9 m C [a] Véase el libro e Física. [b] a partícula e carga se mueve alejánose e 1 porue existe una fuerza e repulsión entre ambas. Para calcular la velocia aplicamos la ley e conservación e la energía mecánica. 3r r 1 v=? Se cumple ue: m,inicial = m,final, esto es, k 1 r = 1 mv +k 1, e one se euce ue: 1 mv =k 1 ( 1 r 1) 3r =k 1 ( 3r ) ; 3r v = 4k 1 3rm = 4$9$109 $10 6 $0,5$10 6 3$0,1$10 =600 m 4 s ; v =4,5( m s). fagm, septiembre 009 { 11 }

12 Activia 1 [a] xplica el concepto e campo eléctrico. Qué campo eléctrico crea una carga puntual? [b] Tres partículas con cargas iguales están situaas en =1 C los vértices e un cuarao e lao = 10 cm. Calcula el campo eléctrico (móulo, irección y sentio) en el vértice vacante, A. [c] Qué fuerza eléctrica actuaría sobre una carga = C situaa en este último punto? 1 {DATO: } =9$10 9 m C A [a] Véase cualuier texto e Física. [b] n primer lugar, se ibuja los vectores intensia el campo eléctrico, ebios a caa una e las cargas, en el punto A. n seguno lugar, se calcula los móulos e ichas intensiaes e campo eléctrico: 1 = 3 =k ;, ya ue la iagonal =k 3 el cuarao vale. A continuación, como hay ue aplicar el principio e superposición, se,y obtiene las componentes el vector : 1 A 1,x =,y = =k,x. 3 4 as componentes e la intensia el campo eléctrico resultante en A son, entonces, x (A) =k +k 4 = k 1 + y (A) =k +k 4 = k 1 + Intensia el campo eléctrico resultante en el punto A Móulo: (A) = x + y = k 1 +. = k ( +1) =1,1$10 6 ( ) C Dirección y sentio: ao ue las os componentes son iguales, este vector forma un ángulo e 45º con la horizontal. [c] Sobre la carga actuaría una fuerza e móulo: F = = 10-6 (C) 1, (N/C) =, N, en la irección e la iagonal el cuarao y sentio hacia el vértice. fagm, septiembre 009 { 1 }

13 Activia 13 [a] xplica el concepto e campo eléctrico creao por una o varias partículas cargaas. [b] Dos partículas, con carga =0,8 C caa una, están fijas en el vacío y separaas una istancia = 5 m. Determina el vector campo eléctrico ue proucen estas cargas en el punto A, ue forma un triángulo euilátero con ambas. [c] Calcula el campo y el potencial eléctricos en el punto meio entre las cargas, B. {DATO: Constante e Coulomb: } k = 1 =9$10 9 m C B A [a] Véase cualuier libro e Física. [b] n primer lugar, se ibuja los vectores intensia el campo eléctrico, ebios a caa una e las cargas, en el punto A. n seguno lugar, se calcula los móulos e ichas intensiaes e campo eléctrico: 1 = =k. A continuación, se aplica el principio e superposición; es 1 cómoo hacerlo meiante componentes, por lo ue hay ue obtener las componentes X e Y e estos os vectores. Vemos ue las componentes horizontales se anulan entre sí, por lo ue la intensia el campo eléctrico resultante A sólo tiene componente vertical. 1 B Intensia el campo eléctrico resultante en el punto A Móulo: (A) = 1 sen60 =k 3 ; 3$9$109 $0,8$10 6 = 3k (A) = 5 =5$10 ( ) C. Dirección y sentio: vertical y hacia arriba. [c] a intensia el campo eléctrico resultante en el punto B es cero, ya ue las intensiaes iniviuales son os vectores opuestos (mismo móulo, misma irección y sentios opuestos). l potencial eléctrico total en el punto B es la suma e los potenciales eléctricos iniviuales, esto es, V(B) =k =4k = 4$9$109 $0,8$ =5,76$10 3 (V). fagm, septiembre 009 { 13 }

14 Activia 14 [a] xplica el concepto e potencial eléctrico. Qué potencial eléctrico crea una carga puntual? Dibuja sus superficies euipotenciales. [b] Dos partículas con igual carga, =3 C, están separaas una istancia = 3 m. Calcula el potencial y el campo eléctricos en el punto meio entre ambas. {DATO: Constante e Coulomb: } [a] Consulta la activia 8. k = 1 =9$10 9 m C [b] a intensia el campo eléctrico resultante en el punto meio es cero, ya ue las intensiaes iniviuales son os vectores opuestos (mismo móulo, misma irección y sentios opuestos). 1 1 M l potencial eléctrico total en el punto meio es la suma e los potenciales eléctricos iniviuales, esto es, V total =k =4k = 4$9$109 $3$ =3,6$10 4 (V). fagm, septiembre 009 { 14 }

15 Activia 15 [a] xplica el concepto e campo eléctrico. Qué campo eléctrico crea una partícula con carga? [b] Dos partículas con cargas 1 =1 C y = C están separaas una istancia = 0,6 m. Determina el campo eléctrico (móulo, irección y sentio) en el punto meio entre las os cargas, P. Cuál es el potencial eléctrico en ese punto? {DATO: Constante e Coulomb: 1 P } / k = 1 =9$10 9 m C [a] Véase cualuier manual e Física. Recuera ue cuano se pregunta ué campo eléctrico crea... se uiere preguntar sobre la magnitu ue efine vectorial al campo: la intensia el campo eléctrico. [b] Se ibuja, en primer lugar, los vectores intensia el campo eléctrico ebios a caa una e las cargas. n seguno lugar, se calcula los móulos e ichos vectores: 1 =9$ $10 =10 5 ( ; 1 ) C 1 =9$10 9 $10 6 9$10 =$10 5 ( ). C (P) P Por el principio e superposición, la intensia el campo eléctrico resultante es la suma vectorial e las os intensiaes anteriores. Por lo tanto, el móulo e la intensia el campo eléctrico resultante en el punto P es: (P) =10 5 ( ) C, su irección es la recta ue une las cargas y su sentio hacia la carga 1. l potencial eléctrico total en el punto meio es la suma e los potenciales eléctricos iniviuales, esto es, V(P) =k 1 +k = k( 1 + ) = $9$109 0,3 (3$10 6 ) =1,8$10 5 (V). fagm, septiembre 009 { 15 }

16 Activia 16 [a] xplica el concepto e energía potencial eléctrica. Qué energía potencial eléctrica tiene una partícula con carga situaa a una istancia r e otra partícula con carga? [b] Una partícula e masa m = 1 mg y con carga =0,1 C es aceleraa meiante un campo eléctrico entre os electroos, partieno el reposo, hasta ue alcanza una velocia v o = 30 m/s. Calcula la iferencia e potencial entre los os electroos. Con la velocia v o inicaa, la partícula se irige en línea recta hacia otra partícula con la misma carga, fija en el espacio e inicialmente muy alejaa. Calcula la istancia e máxima aproximación entre ambas partículas. {DATO: Constante e Coulomb: k = 1 =9$10 9 m C } [a] Consulta el libro e Física. [b] Conviene, en primer lugar, hacer un esuema e la situación escrita. v = 0 v = 30 m/s v = 0 o A entre los electroos B C r Carga fija Vamos a analizar la evolución e la partícula cargaa entre los puntos A y B, es ecir, cuano está entro el campo eléctrico e los electroos. Como el campo es conservativo, la energía mecánica e la partícula permanece constante, esto es, m (A) = m (B); en el punto A la partícula carece e energía cinética, por lo ue: V(A) = 1 mv o +V(B) ; [V(A) V(B)] = 1 mv o ; V(A) V(B) = mv o = 10 6 (kg)$900(m /s ). Vemos ue el $10 7 (C) =4,5$10 3 (V) potencial en A es mayor ue el potencial en B y ue la partícula cargaa se mueve espontáneamente en el sentio e los potenciales ecrecientes, como tiene ue ser. Veamos ahora la evolución e la partícula cargaa entre los puntos B y C, esto es, cuano está sometia a la acción el campo eléctrico ebio a la partícula cargaa fija. También en este caso, la energía mecánica e la partícula se conserva: m (B) = m (C); en el punto C la partícula está momentáneamente en reposo; aemás, como la carga ue crea el campo está 1 muy alejaa, vamos a suponer ue su potencial en B es nulo; por lo tanto, mv o =k r ; r = k. mv o = $9$109 $ $900 =0,(m) Qué bonito! fagm, septiembre 009 { 16 }

17 Activia 17 [a] scribe y comenta la ey e Coulomb. [b] as cuatro partículas e la figura están fijas en los vértices e un cuarao e lao = 30 cm. Sus cargas son 1 = 3 =1 C y = 4 = 1 C. Determina la fuerza eléctrica total (móulo, irección y sentio) ue actúa sobre 1. {DATO: Constante e Coulomb: } k = 1 =9$10 9 m C [a] Véase cualuier texto e Física. [b] n primer lugar, ibujamos las fuerzas ue actúan sobre 1. n seguno lugar, se calcula los móulos e ichas fuerzas: F 1 =F 14 =k, one es el móulo e cualuiera e las F13 F13,y cuatro cargas: 1 C; aemás, F 13 =k, pues la istancia entre 1 y 3 es la iagonal el F F1 13,x cuarao. a fuerza eléctrica total sobre 1 es la suma 1 vectorial e estas tres fuerzas; como se va a trabajar con componentes, escomponemos la F fuerza F 13 : F 13,x =F 13,y =k. 14 a fuerza resultante sobre la carga 1 tiene las siguientes componentes: 4 3 F x ( 1 ) =F 1 F 13,x =k 1 4 F y ( 1 ) =F 13,y F 14 =k 4 1 F x ( 1 ) =9$ ,3 $0,65 =0,065( ). l móulo e la fuerza resultante sobre la F y ( 1 ) = 0,065( ) carga 1 vale: F( 1 ) =0,065$ =0,09( ). Al ser estas componentes el mismo móulo, la irección e la fuerza resultante coincie con la iagonal el cuarao y el sentio hacia la carga 3. 1 F( ) 1 $ 4 3 fagm, septiembre 009 { 17 }

18 Activia 18 n un punto P exterior a una esfera fija y uniformemente cargaa, potencial eléctrico (con referencia en ) es V = 900 V y el campo eléctrico tiene una intensia = 90 N/C. [a] Determina la carga Q e la esfera y la istancia entre su centro y el punto P. [b] Se abanona una partícula e carga = 1 C en el punto P. Calcula su energía cinética cuano choca con la superficie e la esfera, e raio R = 10 cm. {DATO: Constante e Coulomb: k = 1 =9$10 9 m C } P R Q [a] a intensia el campo eléctrico ebio a la esfera cargaa, en el punto P, tiene la misma expresión matemática ue la intensia el campo eléctrico ebio a una carga puntual Q localizaa en el centro e la esfera, esto es, =k Q. De manera similar, el potencial eléctrico e la esfera cargaa en el punto P es V =k Q. Resolvieno el sistema formao por ambas ecuaciones poremos eterminar los valores e V Q y e. Al iviir la ª ecuación por la 1ª, uea: =, por lo ue = 900(V) ; 90( /C) =10 (m) sustituyeno este valor en una e las ecuaciones anteriores, se llega a Q = V k = 900$10 9$10 =10 6 (C). Puees comprobar ue estos resultaos son coherentes con la 9 otra ecuación. [b] Sea M el punto e la superficie e la esfera en el ue choca la carga. Se cumple ue la energía mecánica e esta carga se conserva, e ahí ue: m (P) = m (M); en el punto P la carga sólo tiene energía potencial, mientas ue en el punto M tiene energías cinética y potencial: k Q = c(m) +k Q P R, e one se euce ue c (M) =kq 1 1 R = =9$10 9 $10 6 $ ( 10 6 )$(0,1 10)j9$10 (J) M R Q fagm, septiembre 009 { 18 }

19 Activia 19 [a] xplica ué son las líneas e fuerza e un campo eléctrico. Cómo están relacionaas con las superficies euipotenciales? [b] xplica cómo son y ibuja las líneas e fuerza y las superficies euipotenciales el campo creao por una esfera cargaa positivamente y por una placa plana inefinia cargaa negativamente. Supón ue, en ambos casos, las ensiaes e carga son uniformes. [a] Consulta un libro e Física. [b] n primer lugar, hay ue aclarar el significao e ensiaes e carga uniformes. Quiere ecir ue, tanto para la esfera como para la placa, la ensia e carga vale lo mismo en toas las partes e caa una e ichas istribuciones. No puee ser, a este nivel, e otra forma! sfera cargaa positivamente A efectos e cálculo e la intensia el campo eléctrico y el potencial eléctrico, se comporta como una partícula cargaa, con carga la e la esfera, localizaa en su centro. a figura e la erecha muestra las líneas e fuerza y las superficies euipotenciales. Q íneas e fuerza Placa plana inefinia cargaa negativamente a intensia el campo eléctrico en las proximiaes e la misma es constante en móulo y perpenicular a la placa; el sentio, al estar cargaa negativamente, es hacia la placa. Recuera ue las superficies euipotenciales son perpeniculares a las líneas e fuerza. Superficies euipotenciales íneas e fuerza Superficies euipotenciales Placa con carga negativa fagm, septiembre 009 { 19 }

20 Activia 0 [a] xplica el concepto e energía potencial eléctrica. Qué energía potencial eléctrica tiene una partícula con carga situaa a una istancia r e otra partícula con carga? [b] Tres partículas con cargas 1 = =3 C y 3 = 3 C están situaas, respectivamente, en los puntos e coorenaas (a, 0), (-a, 0) y (0, a), con a = 0,1 m. Calcula las energías potenciales eléctricas e caa una e las tres partículas. {DATO: Constante e Coulomb: } [a] Véase cualuier texto e Física. k = 1 =9$10 9 m C [b] Creo ue la pregunta está mal hecha. Vamos a calcular, por eso, la energía potencial eléctrica el sistema e tres 3 cargas. Sabemos ue la energía potencial (0, a) eléctrica e os partículas cargaas, con cargas Q y, a una istancia r, está aa por: U =k Q r. n el caso ue nos ocupa, 1 existe tres partículas cargaas, es ecir, tres parejas (1, 13 y 3), caa una e las (-a, 0) (a, 0) cuales contribuye a la energía potencial eléctrica con un término el tipo mostrao. n consecuencia, U sistema =U 1 +U 13 +U 3 =k 1 a +k 1 3. a +k 3 a Se puee justificar esta expresión calculano el trabajo necesario para formar esta istribución e cargas, suponieno ue inicialmente están muy alejaas entre sí. l trabajo necesario para colocar la partícula e carga 1 es nulo, ya ue no hay ue vencer ninguna repulsión eléctrica. Para colocar la partícula e carga en el punto (-a, 0) hay ue vencer las fuerzas el campo creao por la 1ª carga; el trabajo necesario es: W ext =k 1 a. Para colocar la partícula e carga 3, no hay ue hacer ningún trabajo exterior, lo hace el propio campo eléctrico; como el potencial eléctrico, ebio a 1 y, en el punto (0, a) es: V =k 1 +k, el a a trabajo realizao por el campo eléctrico vale: W int =k 1 3. l trabajo necesario para a +k 3 a formar la istribución e cargas es, entonces, W =W ext +W int =k 1 a +k 1 3. Ten a +k 3 a en cuenta ue el trabajo exterior contribuye a aumentar la energía potencial: observa ue es positivo; el trabajo realizao por el campo eléctrico, por el contrario, hace ue la energía potencial isminuya: comprueba ue es negativo. a aplicación numérica nos lleva a: U sistema =9$10 9 [ 3$10 6 $3$10 6 0, + 3$10 6 $( 3$10 6 ) 0,14 + 3$10 6 $( 3$10 6 ) 0,14 ] = 0,77(J). l signo - significa ue esta istribución e cargas tiene menos energía potencial eléctrica ue cuano estaban infinitamente separaas unas e otras. fagm, septiembre 009 { 0 }

21 Activia 1 [a] xplica el concepto e potencial eléctrico. Qué potencial eléctrico crea en su entorno una partícula con carga? Dibuja sus superficies euipotenciales. [b] as tres partículas e la figura, con cargas 1 = =1 C y 3 = 1 C, están fijas en tres vértices e un cuarao e lao = 0,9 m. Determina el potencial eléctrico en el 1 punto P. vértice vacante el cuarao. {DATO: Constante e Coulomb: } k = 1 =9$10 9 m C P 3 [a] Consulta cualuier manual e Física. [b] l potencial eléctrico total en el punto P es la suma e los potenciales eléctricos, asociaos a caa una e las cargas, en el punto P, esto es, V(P) =k 1 +k, ya ue los +k 3 =k potenciales ebios a las cargas 1 y 3 se anulan entre sí. Tenemos, finalmente, ue V(P) =9$ ,9 =7,1$103 (V) fagm, septiembre 009 { 1 }

22 Activia [a] xplica el concepto e energía potencial eléctrica. Qué energía potencial eléctrica tiene una partícula con carga 1 situaa a una istancia r e otra partícula con carga? [b] a esfera e la figura, e raio R = 5 cm, está fija en el espacio y tiene una carga uniformemente istribuia Q = 10 µc. Se libera con velocia inicial nula una partícula con carga = 1 C y masa m = m 10 g a una istancia = 3R el centro e la esfera. Calcula la velocia e la partícula cuano choca con la superficie e la esfera. {DATO: Constante e Coulomb: } k = 1 =9$10 9 m C R Q [a] Repasa los apuntes e Física. [b] Sean A y B los puntos inicial y final el recorrio e la partícula cargaa. a esfera cargaa, a efectos e cálculo e la energía potencial eléctrica, se comporta como una carga puntual. Se cumple ue la energía mecánica e la partícula cargaa se conserva, e ahí ue: m (A) = m (B); en el punto A la carga sólo tiene energía potencial, mientas ue en el punto B tiene energías cinética y potencial: k Q = c(b) +k Q R, e one se euce ue c (B) =kq( 1 3R 1) R =kq( ) 3R ; 1 mv B = kq 3R ; v B = 4kQ 3Rm = 4$9$109 $10 5 $( 10 6 ) 3$0,05$10 =40 m ; la rapiez e la partícula cuano s choca con la superficie es, entonces, v B =15,5( m s). A B m R Q fagm, septiembre 009 { }

23 Activia 3 Una placa horizontal cargaa negativamente crea en sus proximiaes un campo eléctrico uniforme orientao tal y como se inica en la figura, con p v o intensia = 10 3 V/m. Un protón, p, penetra en esta región, con velocia v o = 10 5 m/s perpenicular a las líneas e y a una istancia = 0, m e la placa, e forma ue escribe una trayectoria como la inicaa en la figura. [a] Durante esta trayectoria, se conserva la energía mecánica e p? Razona tu contestación. Calcula la energía cinética e p cuano choca con la placa. [b] Calcula la istancia al punto e impacto. [c] Comprueba ue, si el movimiento se realiza en las proximiaes e la superficie terrestre, el peso el protón es espreciable frente a la fuerza eléctrica ue actúa sobre él. {DATOS: m p = 1,710-7 kg; e = 1, C} [a] l protón se mueve bajo la acción e una fuerza, la eléctrica, ue es conservativa. Por lo tanto, la energía mecánica el protón permanece constante. Antes e seguir, es preciso conocer la expresión el potencial eléctrico asociao a este campo. n general, sabemos ue V = R P $s ; en este caso, si tomamos el sentio +Y hacia arriba, s y forman un ángulo e 180º, por lo ue la integral anterior se reuce a: y V(y) = y =y. Se observa ue el potencial eléctrico en un punto aumenta cuanto más lejos e la placa se encuentre. a conservación e la energía mecánica exige, entonces, ue m,inicial = m,final, es ecir, U inicial + c,inicial =U final + c,final ; e + 1 m p v o = c,final +0. a energía cinética el protón cuano choca con la placa es: c,final = 1 m p v o +e = 1 1,7$10 7 $ ,6$10 19 $10 3 $0, =4,1$10 17 (J). [b] a respuesta a este apartao se obtiene e las ecuaciones el tiro oblicuo. n particular, la posición vertical el protón está aa por: y = 1 a y t, con a y = m e p. Cuano el protón llega a la placa, se cumple ue y = 0, o sea, 0 = 1 e m p t ; e la cual se puee eucir el tiempo m p $0,$1,7$10 e vuelo el protón: t = e = 7 1,6$10. n ese tiempo, la istancia 19 $10 =,1$10 6 (s) 3 horizontal recorria es: =v o t =10 5 $,1$10 6 =0,1(m). [c] a fuerza eléctrica ue actúa sobre el protón vale: F e =e =1,6$10 19 $10 3 =1,6$10 16 ( ). l peso el protón es: P =mg =1,7$10 7 $9,8 =1,7$10 6 ( ). a relación entre ambas es: F e P = 1,6$ ,7$10 =9,4$10 9. a fuerza eléctrica es mil millones e veces mayor ue el peso! 6 0 fagm, septiembre 009 { 3 }

24 Activia 4 Dos peueñas esferas, e masa m = 5 g y con carga, caa una, se suspenen el mismo punto meiante hilos iguales, e masa espreciable y longitu = 0,5 m, en presencia el campo gravitatorio terrestre. Cuál ebe ser el valor e la carga para ue, en euilibrio, los hilos formen un ángulo α = 60º? {Consiera ; } g =10 kg 1 k = 1 =9$10 9 m C α m m Dibujamos, en primer lugar, las fuerzas ue actúa sobre caa una e las cargas (peso, repulsión eléctrica y tensión el hilo). A continuación, se escompone la tensión según el sistema habitual e coorenaas cartesianas y se aplica la conición e euilibrio: F neta,x =0;F e T cos 60 =0 F neta,y =0;Tsen60 P =0 F e =T cos 60 α P =Tsen60 T Ty Al iviir la ª ecuación por la 1ª, se obtiene: ; 3k, ya ue P m m F la T x P e F e =tg60 mg = istancia entre las cargas coincie con la longitu el hilo. De la última expresión se euce ue = mg 3 k = 5$10 3 $10$0,5 3$9$10 9 =8$10 13 (C ) =9$10 7 (C). fagm, septiembre 009 { 4 }

25 Activia 5 [a] xplica el concepto e potencial eléctrico. Tiene sentio este concepto si la fuerza electrostática no fuese conservativa? [b] Dos cargas eléctricas puntuales e valor Q 1 = 9 C y Q = +16 C están fijas en el espacio ocupano Q1 os vértices e un triángulo rectángulo (ver figura). Calcula el potencial eléctrico en los puntos A y B. Qué trabajo realizará el campo eléctrico para llevar una carga puntual e µc ese el punto B hasta el 30 cm punto A? {DATOS: Constante e Coulomb: B k = 1 =9$10 9 m C ; 1 C =10 6 C} A 40 cm Q [a] Repasa los apuntes e Física, ue falta te hace. [b] l potencial eléctrico en caa uno e los puntos A y B es la suma e los potenciales eléctricos iniviuales en ichos puntos. Potencial eléctrico en A V(A) =k Q 1 r 1 +k Q r =9$10 9 ( 9$10 6 ) 0,3 +9$ $10 6 0,4 =,7$ ,6$10 5 =9$10 4 (V). Potencial eléctrico en B l punto B está a la misma istancia e las os cargas; esta istancia es la mita e la longitu e la hipotenusa: 5 cm. Por lo tanto, V(B) =k Q 1 +kq = k( Q 1 +Q ) = 9$109( 0,5 7$10 6 ) =,5$10 5 (V) l trabajo realizao por el campo es igual a la isminución e la energía potencial eléctrica, es ecir, W BA = U = [U(A) U(B)] = [V(A) V(B)] ; al hacer la aplicación numérica, uea: W AB = $10 6 (9$10 4,5$10 5 ) =0,3(J). l trabajo es positivo, lo ue confirma ue ha sio realizao por las fuerzas el campo. Aemás, vemos ue la carga se ha movio espontáneamente en el sentio e los potenciales ecrecientes. fagm, septiembre 009 { 5 }

26 Activia 6 [a] scribe y comenta la ey e Coulomb. [b] Cuatro partículas e igual carga, = C, están situaas en los vértices e un cuarao e lao = 0 cm. Inica meiante una figura la irección y el sentio e la fuerza eléctrica total ue actúa sobre caa una e ellas. {DATO: Constante e Coulomb: } k = 1 =9$10 9 m C [a] Véase cualuier texto e Física. [b] n primer lugar, tras asignarles un número a las cargas, ibujamos las fuerzas ue actúan sobre 1. n seguno lugar, se calcula los F móulos e ichas fuerzas: F 1 =F 14 =k, 14 one es el móulo e cualuiera e las cuatro cargas: C; aemás, F 13 =k, F13 F13,y pues la istancia entre 1 y 3 es la iagonal el cuarao. F13,x a fuerza eléctrica total sobre 1 es la suma vectorial e estas tres fuerzas; como se va a 1 F 1 trabajar con componentes, escomponemos la fuerza : F 13. F 13,x =F 13,y =k $ a fuerza resultante sobre la carga 1 tiene las siguientes componentes: 4 3 F x ( 1 ) =F 1 +F 13,x =k F y ( 1 ) =F 13,y +F 14 =k 4 +1 F x ( 1 ) =9$10 9 4$10 1 0, $1,35 =1,( ). l móulo e la fuerza resultante sobre la F y ( 1 ) =1,( ) carga 1 vale: F( 1 ) =1,$ =1,73( ). Al ser estas componentes el mismo móulo, la irección e la fuerza resultante coincie con la iagonal el cuarao y el sentio alejánose e la carga 3. Por la simetría e la istribución e cargas, la fuerza total sobre caa una e las otras tres cargas tenrá el mismo móulo (1,73 N), la irección e las iagonales y el sentio hacia afuera. F( ) fagm, septiembre 009 { 6 }

27 Activia 7 [a] xplica el concepto e campo electrostático creao por una o más cargas eléctricas. s conservativo icho campo? Justifica la respuesta. [b] Tres partículas cargaas, 1 = 3 = µc y = -4 µc, están situaas, como Y inica la figura, en los puntos (0,0), (4, 0) y (, 0). Determina el vector campo electrostático (móulo, irección y sentio) en el punto A (, ). Cuánto vale el potencial electrostático en icho punto? as coorenaas están expresaas en metros. DATOS: ; k = 1 =9$10 9 m C 1 C =10 6 C. A (,) 1 (0,0) (,0) (4,0) 3 X [a] Consulta el libro e Física. [b] n primer lugar, ibujamos las tres intensiaes el campo en el punto A. n seguno lugar, se calcula los móulos e ichas intensiaes: 1 = =k, one es el móulo e cualuiera e las cargas positivas: C; aemás, = 8 m, por lo ue: 1 = =9$10 9 $ =,5$10 3 ( ) C. a intensia el campo ebio a la carga negativa tiene como móulo: 3 =9$10 9 4$ =9$10 3 ( ) C. Al escomponer las intensiaes 1 y, vemos ue las componentes horizontales se anulan mutuamente y ue las componentes verticales tienen el mismo móulo: 1,y =,y =,5$10 3 $sen45 =1,59$10 3 ( ) C. a intensia el campo eléctrico resultante tiene como móulo: T (A) = 3 $ 1,y =9$10 3 $1,59$10 3 =5,8$10 3 ( ) C. a irección es vertical y el sentio hacia abajo (vector gris grueso) l potencial eléctrico total es la suma algebraica e los potenciales iniviuales: V T (A) =V 1 +V +V 3 =$V 1 +V 3, ya ue los potenciales ebios a las cargas positivas son iguales. Al sustituir los valores numéricos, uea: V T (A) =$9$10 9 $ $10 9( 4$10 6 ) =1,7$10 4 1,80$10 4 = 5,3$10 3 (V). 8 Y,x,y 1,y 1 (0,0) (,0) (4,0) ,x X fagm, septiembre 009 { 7 }

28 Activia 8 [a] nuncia y comenta la ley e Coulomb. A partir e ella etermina el trabajo necesario para traer una carga, en presencia e otra carga, ese el infinito hasta un punto genérico. [b] Dos partículas cargaas, 1 = = µc, están situaas, como inica la Y figura, en los puntos (0,0) y (4, 0). Determina el valor el potencial electrostático en el punto A (, ). A (,) Qué trabajo tenríamos ue realizar para traslaar, ese el punto A (,) hasta el punto B (,0), una carga 3 = 4 µc? as coorenaas están expresaas en metros. k = 1 =9$10 9 m C 1 C =10 6 C. DATOS: ; 1 (0,0) B (,0) (4,0) X [a] Consulta el libro e Física. Ten en cuenta ue el trabajo ue hay ue calcular es la energía potencial eléctrica el sistema e cargas. [b] l potencial eléctrico total es la suma algebraica e los potenciales iniviuales: V T (A) =V 1 +V =$V 1, ya ue los potenciales ebios a las cargas positivas son iguales. Al sustituir los valores numéricos, uea: V T (A) =$9$10 9 $10 6 =1,7$10 4 (V). l trabajo se calcula meiante: W AB = 3 $ [V(B) V(A)]. l potencial en el punto B se calcula e manera análoga, V T (B) =$V 1 =$9$10 9 $10 6 =1,80$10 4 (V). n consecuencia, W AB =4$10 6 $ (1,80$10 4 1,7$10 4 ) =,1$10 (J). a mayor ificulta raica en interpretar el resultao: como el trabajo es positivo, significa ue no ha sio realizao por las fuerzas el campo eléctrico, sino por un agente exterior. Dicho e otra manera: la carga 3 no puee moverse espontáneamente ese el punto A hasta el punto B vencieno las repulsiones electrostáticas. 8 fagm, septiembre 009 { 8 }

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