INTRODUCCIÓN A PROPAGACIÓN DE ERRORES - RENÉ ZEPEDA G. - AGOSTO 2003

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1 pc /8/ - INTROD PROP ERRORES.oc - Página e 6 INTRODUCCIÓN PROPGCIÓN DE ERRORES - RENÉ ZEPED G. - GOSTO PUNTE PROVISORIO, SUJETO REVISIÓN Y CMBIOS, NO REEMPLZN NOTCIONES EN CLSES REVISIÓN DE ÁLGEBR MTRICIL El álgebra matricial reuce complicaos sistemas e ecuaciones a epresiones más sencillas y, hace más rápio los cálculos matemáticos en computaor. DEFINICIÓN DE UN MTRIZ Matriz es un conjunto e números o símbolos arreglaos e forma rectangular, por líneas y columnas. Como ejemplo, sea el siguiente sistema e ecuaciones: a + a + a b a + a + a b a + a + a b el sistema puee ser representao por: a a a b a a a b a a a { b { X B DIMENSIONES DE UN MTRIZ D ij mn 5 6 m: N o e líneas n: N o e columnas

2 pc /8/ - INTROD PROP ERRORES.oc - Página e 6 Matriz simétrica (cuaraa, mn) simétrica respecto a la iagonal principal Matriz iagonal 5 7 los elementos fuera e la iagonal principal son ceros Matriz unitaria los elementos la iagonal principal son Matriz traspuesta T se trasponen elementos e líneas por columnas Iguala. Dos matrices son iguales solo si son e misma imensión y sus elementos corresponientes también lo son. Suma e matrices + B C Multiplicación e matriz por escalar 8 6 Multiplicación e matrices N o e columnas e N o e líneas e B mn B np C mp

3 pc /8/ - INTROD PROP ERRORES.oc - Página e 6 b b a a a (a b) (a b) (a b) (a b) (a b) (a b) b b a a a (a b) (a b) (a b) (a b) (a b) (a b) b b Para granes matrices se hace en forma computacional, por ejemplo: DO I,M DO K,P C(I,K) DO J,N C(I,K) C(I,K)+(I,J)*B(J,K) SOLUCIÓN DE ECUCIONES En la solución e sistemas e ecuaciones es necesario efinir y calcular la INVERS e una matriz. Para un número real eiste uno inverso - que. - En un sistema e ecuaciones con igual número e ecuaciones e incógnitas, se tiene un sistema e oren mn, one: C X B C: matriz e los coeficientes Eiste C - tal que C C - I (matriz ientia) C - C X C - B I X C - B X C - B Coniciones. a) solo matrices cuaraas tienen inversa b) no ebe ser singular (eterminante )

4 pc /8/ - INTROD PROP ERRORES.oc - Página e 6 z y w c b a z y w c b a aw+by a+bz cw+y c+z para matrices oren () a c b a c b c b a : eterminante e Ejemplo: MRIZ DJUNT aj et er minante e ajunta e La ajunta se obtiene reemplazano caa elemento por su signo menor o cofactor y trasponieno la matriz. El elemento cofactor e a ij (-) ij multiplicao por el eterminante e la matriz restante e la eliminación e la línea i y la columna j. Ejemplo: cof a (-) (-)

5 pc /8/ - INTROD PROP ERRORES.oc - Página 5 e 6 cof a (-) (-) -6 cof a (-) (-) - cof aj T (cof ) eterminante e **+***-(**+**+**) (6++6) 88-6 aj (comprobar) Ejemplo: meición e istancia ,7m ,6m ,85m + + 5, , ,85 En notación matricial: X L

6 pc /8/ - INTROD PROP ERRORES.oc - Página 6 e L X X - L? L X

7 pc /8/ - INTROD PROP ERRORES.oc - Página 7 e 6 TEORÍ DE ERRORES En el proceso e meición e toa cantia física, factores como: limitación humana, imperfección e instrumentos e inestabilia natural, hacen que las meiciones sean afectaas e errores. Los errores pueen ser: Faltas. Debio a error grosero, proveniente e falta e cuiao o confusión. Las faltas generalmente no son clasificaas como error y ellos solo pueen removerse con cuiaoso chequeo e los atos, aislano el error grosero. Ejemplo: lectura o anotación equivocaa e las uniaes en una meición. Error sistemático. Es un error que puee ser epresao por una función matemática; afecta la meición en casi la misma magnitu y tiene una fuente específica. Ejemplo: error e ínice (e cero) en el ángulo vertical; temperatura no calibraa para una corrección; cambio e prisma en un istanciómetro. Error aleatorio o acciental: espués e removios las os clases anteriores e errores, quean errores (generalmente pequeños) e signos positivo y negativo, que pueen ser trataos e acuero a las leyes e la estaística. Ejemplo: errores e apreciación en lecturas; burbuja no centraa. Definiciones Cantia Meia: cantia observaa irectamente que contiene errores aleatorios. Valor Veraero: valor teórico o eacto (esconocio). Error: iferencia entre la cantia meia y la cantia e mayor probabilia. Valor Más Probable: valor e una cantia meia que, basaa en las observaciones, tiene la más alta probabilia. El EMP es irectamente meio e varias meiciones inepenientes por su meia aritmética. Resiuo: iferencia entre la cantia meia y el valor más probable; este es el valor que se trata en el ajuste e observaciones. Este término se usa como equivalente a error. Graos e Liberta: Es el número e meiciones en eceso, o sea, es el número observaciones menos el número e incógnitas, es el número e observaciones reunantes; hace posible el ajuste.

8 pc /8/ - INTROD PROP ERRORES.oc - Página 8 e 6 Varianza. ( ) Epresa la precisión e un grupo e observaciones; es la meia el cuarao e los errores. Error Estánar: () Raíz e la varianza; n Desviación Estánar. Similar al Error Estánar; las cantiaes y, son teóricas porque el valor veraero es ineterminao. En la práctica se usan los resiuos y una mejor estimativa e la varianza es usar resiuos: υ S n n-: graos e liberta Si n entonces S DISTRIBUCIÓN NORML yf() y probabilia y y f() representa la probabilia (por unia e intervalo e unia meia) e obtener un eterminao valor e esa meia, obviamente: p f() La ecuación e la curva e istribución normal es: ( ) y f () e π y: probabilia e ocurrencia el error entre y e: base e logaritmo natural

9 : esviación estánar pc /8/ - INTROD PROP ERRORES.oc - Página 9 e 6 Histograma: es la representación gráfica e la istribución e un grupo e meiciones o e un grupo e resiuos. Es un gráfico e barra e frecuencias. PRECISIÓN. Es el grao e consistencia, ispersión o refinamiento e un conjunto e meiciones; esta es iferente e la EXCTITUD la cual efine el acercamiento al veraero valor; comúnmente la precisión es epresaa en términos e Error Estánar o Desviación Estánar. La varianza es el cuarao el error estánar. Reemplazano: y e π Área bajo la curva: + a a y + a y + a h h e π Si a: 68% 95% - - M Interpretación: el grupo e meiciones, 68% e ellas tienen un error igual o menor que. Nivel e confianza Sigma 5%,675 68,7% 9%,69 95,5% 99%,6 99,7% 99,99%

10 pc /8/ - INTROD PROP ERRORES.oc - Página e 6 Ejemplo: Ángulos meios VMP Σ ángulos / n? Desviación Estánar S? (REVISR MTRICES) PROPGCIÓN DE ERRORES LETÓRIOS Las operaciones matemáticas con números inciertos, an resultaos también inciertos, por ese motivo es importante estimar el error resultante a partir e los errores iniciales. Consiérese el error en el cálculo el área e un terreno rectangular e laos iguales. Sean los laos iguales a 8m y con un error e m. El valor el área es e 6m. En la figura se representa la superficie en función el lao, si el error el lao es m, el error e la superficie será aproimaamente 5m (graficamente). Si se consiera que el error (o variación) e la función es suficientemente pequeño, se puee Superficie (m ) reemplazar la curva por una recta tangente a la curva. La relación entre el error el lao () y el error el área (y) es representaa por la peniente e la curva en el punto e interés, es ecir, la erivaa e la función y lao (m) y (error superficie) (error lao) y (error superficie) (error lao) 6m

11 DEDUCCIÓN DE L ECUCIÓN BÁSIC. pc /8/ - INTROD PROP ERRORES.oc - Página e 6 Sea: z y + y y, y observaciones inepenientes con errores y Y ey los errores en la eterminación e y eyi los errores en la eterminación e y El veraero valor e z será zt zt (y+ey) + (y+ey) zt y+y+ey+ey z+ey+ey ez zt z ey+ey (error e caa meición) Para i meiciones: ezi zt zi eyi+eyi Por la efinición e varianza: v n n v n Σ( eyi+eyi) eyi +eyi + eyi eyi +. eyi +eyi cero) +. ( eyi eyi tiene a Finalmente z y + y () z y + y En general para un valor calculao z en que zf(y,y, yn), la ECUCIÓN GENERL DE PROPGCIÓN DE ERRORES DE MEDICIONES INDEPENDIENTES es: z z z z y + y + yn () y y yn

12 ERROR DE L SUM pc /8/ - INTROD PROP ERRORES.oc - Página e 6 Sea: B+B+.Bn B B si los errores son iguales: n B () Bn Error Meio e la Meia (M): zi Sea: z n Sea el error e caa meición, z n z + n z + n z + n zn por tratarse e meiciones e igual precisión: n z n n n z () n El error meio e la meia se obtiene el error meio e una observación ivio por la raíz el número e observaciones. Por ejemplo, es necesario hacer observaciones para reucir el error a la mita y veces para reucirlo a,. Ejemplo: sean las meiciones e un tanque: X.m ±.5m Y.m y ±.m Z 5.m z ±.m Calcular el error el volumen.

13 v v.m v v v v v + y + z y z (.5) + ( 6.) + ( 8.) m pc /8/ - INTROD PROP ERRORES.oc - Página e 6 l meir una magnitu esta generalmente se utiliza en cálculos, por lo tanto es necesario saber como actúa el error en la magnitu final. Multiplicación: X n L (X) n (L) n L Ejemplo Sea una istancia horizontal calculaa a partir e ángulo vertical y istancia inclinaa, Di m ±.5m α º ± ; calcular el error en Dh Dh Di cos α Dh Dh Di Dh α Dh Dh Di + α Di α cos α Di sen α ( Di senα) Dh cosα (,5) + ( en raianes) Ejemplo Una esfera e raio R6.78.m; se materializa su perímetro por una cuera imaginaria; se suma m a su perímetro y se etiene el nuevo perímetro homogéneamente. Cuánto varía el raio R?

14 PESO DE LS OBSERVCIONES pc /8/ - INTROD PROP ERRORES.oc - Página e 6 Peso es la poneración relativa e valores observaos, cuano es comparao con otro valor; estima o epresa la relativa confiabilia e una observación. Meia Poneraa Sean n observaciones separaas en os conjuntos na y nb, tal que n na+nb Meia conjunto a: za Σ(za i /na) Meia conjunto b: zb Σ(zb i /nb) Hacieno na pa y nb pb (mientras mayor número e observaciones, más confiable es la observación, mayor peso) pa za + pb zb pi z z i (5) pa + pb pi Por ejemplo, una istancia es meia por os grupos. El primero logró una meia e 65,7m con meiciones, el seguno calculó 65,m con meiciones. Por lo tanto la meia poneraa ebe ser: 65,7 + 65,6 z 65,56 + EL PESO ES INVERSMENTE PROPORCIONL L VRINZ pa (6) za PESO EN L NIVELCIÓN GEOMÉTRIC Sea una línea e longitu l, con avances en istancia, la esviación estánar por caa instalación el instrumento:

15 pc /8/ - INTROD PROP ERRORES.oc - Página 5 e 6 B l C l Número e instalaciones por línea N l/ N (l /) N (l /) n N (l n /) : esviación estánar por instalación n : esviación estánar e la línea l l +l ++l n Por la ecuación (6) el peso es inversamente proporcional a la varianza y esta es respecto a la línea; el peso e una línea nivelaa es: p l pero los son toos proporcionalmente iguales p p pn l l ln Los pesos en nivelación son inversamente proporcional a sus longitues y a su vez, la longitu es proporcional al número e instalaciones, por lo tanto, los pesos son inversamente proporcional al número e instalaciones.

16 PESO EN L MEDICIÓN NGULR pc /8/ - INTROD PROP ERRORES.oc - Página 6 e 6 Sean ángulos (α, a, α) e un triángulo plano, que fueron meios n, n y n veces respectivamente por el mismo instrumento. Sea la esviación estánar e un ángulo meio, la meia e los ángulos son: α α α ; α ; α n n La varianza e la meia, aa por () es: α ; n α ; n α n ; α Nuevamente, los pesos son inversamente proporcionales a la varianza, y relativamente los pesos e los ángulos son: p p p α α α n n n n n n Los pesos e los ángulos son proporcionales al número e meiciones efectuaas (bajo las mismas coniciones). n