Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas

Transcripción

1 Desplazamientos y solicitaciones e una barra Cálculo matricial e pórticos biempotraos a os aguas. Hipótesis e cálculo. e verifica la ley e Hooke, lo que significa que en las estructuras los esplazamientos son proporcionales a las fuerzas aplicaas. os esplazamientos son pequeños en relación con las imensiones e la estructura. n el proceso e carga e la estructura, ésta se eforma, pero al ser las eformaciones pequeñas comparaas con las imensiones e la estructura, se esprecian los cambios que las cargas proucen, consieránose que la estructura mantiene su forma y imensiones primitivas. l verificarse la ley e Hooke y la hipótesis e pequeños esplazamientos, el principio e superposición es aplicable a estas estructuras y, en consecuencia, los efectos que en un sistema e cargas ejercen sobre una estructura es igual a la suma e los efectos que ejercen esas mismas cargas actuano por separao. e supone también el principio e unicia e las soluciones, según el cual son únicos los esplazamientos y las solicitaciones originaas en una estructura por un eterminao estao e cargas.. Desplazamientos y solicitaciones en una barra. Consieremos una barra B que pertenece a una estructura, y sean y sus móulos e elasticia longituinal y transversal. upongamos que a esta barra B se le provocan por separao los siguientes esplazamientos en sus extremos: Desplazamiento longituinal el extremo respecto al B. Desplazamiento transversal el extremo respecto al B. Desplazamiento angular e flexión el extremo. Desplazamiento angular e torsión el extremo.

2 Cálculo matricial e pórticos biempotraos a os aguas Para provocar caa uno e estos esplazamientos es necesario aplicar eterminaas solicitaciones en las secciones extremas y B, solicitaciones tanto mayores cuanto mayor sea la rigiez e la barra a ese esplazamiento. continuación se eterminan las solicitaciones así efinias en una barra e longitu y sección transversal constante. a generalización a una barra e sección variable supone una mayor complicación operativa pero no conceptual... Desplazamiento longituinal el extremo respecto al B. Figura. Desplazamiento longituinal el extremo respecto al B. ea el área e la sección transversal e la barra B (figura ). Para que el extremo e la barra experimente un esplazamiento longituinal respecto al extremo B es preciso que, en las secciones y B, actúen las fuerzas normales N B y N B. Tenieno en cuenta que: N B resulta que para provocar el esplazamiento longituinal es preciso aplicar en y B las fuerzas normales: N B NB [].. Desplazamiento transversal el extremo respecto al B. ieno el momento e inercia z e la sección transversal e la barra B (figura ), supongamos ahora que el extremo experimenta un esplazamiento transversal respecto al extremo B, y que aemás a ninguna e las os secciones extremas se les permite girar. llo exige aplicar en el extremo las solicitaciones T B, M B y en el extremo B las solicitaciones T B, M B. De las ecuaciones e la stática:

3 Desplazamientos y solicitaciones e una barra M B TB MB MB F y TB TB y por tanto T B T B M B M B Figura. Desplazamiento transversal el extremo respecto al B. una istancia x e la extremia, el momento flector es (figura ): M z M B T B x M B M B M B x Figura. Momento flector en una sección x. plicano el primer teorema e Mohr entre y B obtenemos: M x M MB M x x B B z B,B uponieno que la sección transversal es constante,

4 Cálculo matricial e pórticos biempotraos a os aguas Por tanto, M M B B M M x B MB B B MB MB B B M x M M plicano ahora el seguno teorema e Mohr entre y B:,B M M x x x z,b M x x B B M B M B MB y por tanto M B. y TB n resumen, para provocar el esplazamiento transversal es preciso aplicar en y en B las solicitaciones: T M B B T B M B [].. Desplazamiento angular e flexión el extremo. Para que la barra B experimente únicamente el giro e flexión en su sección extrema (figura ) es necesario aplicar las solicitaciones M B, T B en el extremo y las solicitaciones M B, T B en el extremo B. una istancia x e la extremia, el momento flector es: M M z B T B x

5 Desplazamientos y solicitaciones e una barra 5 Figura. Desplazamiento angular e flexión en el extremo. plicano el seguno teorema e Mohr: M z x x MB TB x x x,b,b M B x x TB x x MB TB MB TB plicano el primer teorema e Mohr entre y B:,B M x M z B,B B M T B T B x x Resolvieno el sistema formao por las os ecuaciones anteriores, se obtiene: M T B B De las ecuaciones e la stática: M B TB MB MB

6 Cálculo matricial e pórticos biempotraos a os aguas M B

7 Desplazamientos y solicitaciones e una barra 7 F y TB TB TB TB n resumen, para provocar el giro es preciso aplicar en y en B las solicitaciones: TB TB MB MB [].. Desplazamiento angular e torsión el extremo. Finalmente, sea t el momento e inercia equivalente e torsión e la sección transversal e la barra B (figura 5). Figura 5. Desplazamiento angular e torsión el extremo. Para que el extremo experimente un giro e torsión respecto al extremo B es preciso que en las secciones y B actúen momentos torsores iguales y opuestos M y M. Tenieno en cuenta que: t B t Mt t resulta que para provocar el giro e torsión es preciso aplicar en y en B los momentos torsores M t M B t t

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9 Métoo e cálculo 9. Métoo e cálculo. Como métoo e cálculo vamos a seguir el métoo e los esplazamientos, en el que las incógnitas son los esplazamientos e los nuos e la estructura. Y para estuiar el métoo, y ver como se etermina la matriz e rigiez el pórtico, se va a sistematizar. n primer lugar hay que hallar la matriz e rigiez e caa una e las barras que componen la estructura, referias a unas coorenaas locales propias e caa barra. Posteriormente toas estas matrices se refieren a unas coorenaas globales propias e la estructura, para finalizar agrupánolas en la matriz e rigiez el pórtico, en la cual quean incorporaas las coniciones e compatibilia y e equilibrio e toos los nuos... istemas e ejes coorenaos. n una estructura continua plana se utiliza un sistema e ejes globales X, Y para toa la estructura y un sistema e ejes locales X, Y para caa barra. Figura. jes locales y globales en un pórtico biempotrao. Tanto en un sistema como en otro, el eje X es el eje longituinal e la barra y el eje Y se obtiene girano 9º el eje X en sentio sinextrorsum (a izquieras). n el sistema e ejes locales e una barra -, el eje X coincie con la irectriz e la barra y su sentio positivo es el e avance ese el extremo que se consiera origen hasta el extremo final. este sistema e ejes se refieren las solicitaciones y los esplazamientos e la barra.

10 Cálculo matricial e pórticos biempotraos a os aguas n el sistema e ejes globales el pórtico se refieren las coorenaas e sus nuos, sus esplazamientos, las fuerzas que equilibran sus nuos y las cargas que actúan sobre la estructura... Vectores e esplazamientos y e fuerzas. os nuos e una estructura experimentan esplazamientos y están sometios a fuerzas externas. nálogamente, los extremos e cualquier barra e la estructura experimentan esplazamientos y están sometios a fuerzas internas o solicitaciones. Toos estos esplazamientos e los nuos y e los extremos e las barras y toas las fuerzas internas y externas se representan por matrices columna, que constituyen los vectores e esplazamientos y e fuerzas.... Desplazamientos y fuerzas internas e un nuo. Y Y P P M i X i P X Figura 7. Desplazamientos e un nuo. Figura 8. Fuerzas externas sobre un nuo. Un nuo rígio puee experimentar un esplazamiento longituinal y un esplazamiento angular (figura 7). os sentios positivos e las componentes x, y el esplazamiento son los que coincien con los sentios positivos e los ejes globales X, Y. l sentio positivo el giro es el sentio sinextrorsum. os esplazamientos el nuo i se representan por el vector {i}, efinio por i x y as fuerzas externas que actúan sobre el nuo i son, en general, la fuerza P y el par e momento M (figura 8). nálogamente, los sentios positivos e las componentes P x, P y e la fuerza P coincien con los sentios positivos e los ejes globales X, Y. l sentio positivo el momento M es el corresponiente a un giro

11 Métoo e cálculo sinextrorsum. as fuerzas externas sobre el nuo i se representan por el vector {Pi}, efinio por: P i P x P y M... Desplazamientos y solicitaciones en una barra. Y X Y T M N X T M N Figura 9. Desplazamientos y solicitaciones en una barra -. ea la barra -, que pertenece a un pórtico objeto el estuio. e aopta el extremo como origen e la barra y se representan el sistema e ejes locales, las solicitaciones y los esplazamientos e sus extremos. e consieran positivos los esplazamientos longituinales y transversales irigios según los sentios positivos e los ejes locales X, Y. ucee igual con los sentios positivos e las fuerzas normales N y e las fuerzas cortantes T. sí mismo, los sentios positivos e los giros e las secciones extremas y e los momentos flectores son los corresponientes a giros sinextrorsum. os esplazamientos e los extremos y e la barra se representan por los vectores {} y {}, efinios por:

12 Cálculo matricial e pórticos biempotraos a os aguas nálogamente, las solicitaciones en los extremos y se representan por los vectores {} y {}, efinios por: N T M N T M.. Matriz e rigiez e una barra en coorenaas locales. 5 (a) 5 (b) Figura. Desplazamientos y solicitaciones en una barra. n la figura a) se representa una barra - e sección constante, cuyos extremos experimentan los esplazamientos y 5. stos esplazamientos originan en los extremos e la barra las solicitaciones y 5 (figura b). egún la ley e Hooke y el principio e superposición, entre los esplazamientos y las solicitaciones existen las siguientes relaciones:

13 Métoo e cálculo one el coeficiente e proporcionalia ij, o coeficiente e rigiez ij e la barra, representa la solicitación i originaa por un esplazamiento j unitario. stas expresiones pueen escribirse en forma matricial: o e un moo más reucio [] sieno [] la matriz e rigiez e la barra en coorenaas locales. Para eterminar los elementos e la matriz [] se provocan aislaamente esplazamientos unitarios irigios según,,... y se calculan meiante las expresiones [], [] y [] las solicitaciones que originan, que son precisamente los coeficientes e rigiez ij. Y ' = Figura : Desplazamiento =. X 5 = ' Y X 5 Figura : Desplazamiento =.

14 Cálculo matricial e pórticos biempotraos a os aguas Y = = = Figura : Desplazamiento =. X 5 Y ' = Figura : Desplazamiento =. X 5 Y ' 5= X Figura 5: Desplazamiento 5= Y = Figura : Desplazamiento =. X 5 Una vez eterminaos los coeficientes e rigiez se compone la matriz e rigiez e la barra en coorenaas locales:

15 Métoo e cálculo 5 a matriz e rigiez [] tiene las siguientes propieaes: s una matriz cuaraa e oren. os elementos e la iagonal principal son positivos y no pueen ser nulos. llo se ebe a que el esplazamiento e un extremo e la barra, en un eterminao sentio, exige la aplicación en ese extremo e la solicitación corresponiente y en el mismo sentio. l elemento ij representa la solicitación e oren i (i) originaa por el esplazamiento unitario e oren j (j). = 5 sistema 5 5 5= 5 55 ' sistema Figura 7: Reciprocia e los trabajos e eformación. s una matriz simétrica, lo que se emuestra meiante el teorema e Maxwell o e la reciprocia e los trabajos. n efecto, una iguala cualquiera entre elementos simétricos, por ejemplo 5 y 5 (figura 7), se emuestra igualano el trabajo que realizan las fuerzas e un sistema al efectuar los esplazamientos e un sistema, al trabajo que realizan las fuerzas e un sistema al efectuar los esplazamientos e un sistema. De la iguala,, W W se euce y tenieno en cuenta que 5 = y =, 5 = 5.

16 Cálculo matricial e pórticos biempotraos a os aguas.. olicitaciones e extremo. ustituyeno la matriz e rigiez [] en [] se obtiene la ecuación matricial: y x y x M T N M T N [5] que etermina las solicitaciones e los extremos e la barra en función e los esplazamientos e esos extremos. Tenieno en cuenta las particiones e matrices realizaas, la ecuación matricial [5] puee expresarse en la forma: [] o bien [7] sieno M T N, M T N, y x y y x los vectores e solicitaciones y e esplazamientos e los extremos y en coorenaas locales. emás:

17 Métoo e cálculo 7 son las submatrices e rigiez e la barra - en coorenaas locales. Una submatriz cualquiera [] etermina las solicitaciones que se originan en el extremo ebias a los esplazamientos el extremo. e observa que las matrices [] y [] son simétricas y que las submatrices [] y [] son transpuestas..5. Matriz e rigiez e una barra en coorenaas globales. ea una barra - cuyos ejes locales X, Y están giraos un ángulo respecto a los ejes globales (figura 8). Y X Y X Figura 8: jes locales e una barra y ejes globales. ntre un vector cualquiera {V} referio a coorenaas locales y ese mismo vector {V} referio a coorenaas globales existen las relaciones V R V [8] T V R V [9]

18 8 Cálculo matricial e pórticos biempotraos a os aguas sieno [R] la matriz e rotación efinia por: R cos sen sen cos Premultiplicano por la matriz e rotación la expresión [7] se obtiene: R R R R R R y tenieno en cuenta [8] y [9] T T R R R R T T R R R R [] Designano por R T R T R R R T R T R R las expresiones [] se convierten en: o bien De una forma más simple, sieno

19 Métoo e cálculo 9.. Matriz e rigiez completa el pórtico. Una vez estuiaa la matriz e una barra, se va a eterminar la matriz e rigiez completa el pórtico. Para ello se consiera un nuo común a más e una barra, como es el caso el nuo e la clave el pórtico, el número, común a las barras - y - (figura 9). Y 5 X Figura 9: jes globales y numeración e nuos en un pórtico. as ecuaciones que eterminan las solicitaciones en los extremos e la barra - en función e los esplazamientos e esos extremos, en coorenaas globales, son: [] De igual moo, las ecuaciones en coorenaas globales que eterminan las solicitaciones en los extremos e la barra - en función e los esplazamientos e esos extremos son: [] l ser rígios los nuos, los esplazamientos el nuo e la barra - coincien con los esplazamientos el mismo nuo e la barra -. e verifican las coniciones e compatibilia, e moo que:

20 Cálculo matricial e pórticos biempotraos a os aguas y x y x y x y x sí, Tenieno en cuenta estas coniciones e compatibilia, las coniciones e extremo aas por [] que los esplazamientos e la barra - originan en los cinco nuos el pórtico pueen expresarse e la forma: 5 5 De igual moo, las solicitaciones e extremo que los esplazamientos e la barra - originan en los nuos el pórtico, recogias en la expresión [], pueen escribirse así: 5 5 l efecto que proucen los esplazamientos e toas las barras, o sea, los esplazamiento e toos los nuos e la estructura, se recoge en la siguiente ecuación matricial:

21 Métoo e cálculo [] e puee comprobar que únicamente se proucen sumas e submatrices en la iagonal principal, y que las submatrices nulas son aquéllas cuyos subínices corresponen a os nuos no contiguos el pórtico. hora bien, el equilibrio e un nuo cualquiera exige que las solicitaciones que el nuo ejerce sobre los extremos e toas las barras que concurren en él formen un sistema equivalente con las fuerzas externas que actúan sobre el nuo. n otras palabras, la suma e solicitaciones en un nuo ebe ser igual a la carga genérica externa aplicaa sobre ese nuo. a expresión matricial e esta conición e equilibrio es, para un nuo genérico i: i P i ntonces, la ecuación [] puee escribirse P P P P P es ecir, P [] sieno {P} el vector e las fuerzas externas (cargas y reacciones) que actúan sobre los nuos, en coorenaas globales. {} el vector e esplazamiento e los nuos, referio también a coorenaas globales. [] la matriz e rigiez completa e la estructura. e obtiene e ensamblar las cuatro matrices e rigiez e las barras en

22 Cálculo matricial e pórticos biempotraos a os aguas coorenaas globales.... Propieaes e la matriz completa []. n los pórticos a os aguas, que constan e cinco nuos (n = 5), el oren e la matriz completa es n, es ecir, 5. a matriz e rigiez completa es una matriz simétrica. as submatrices e la iagonal principal [ii] son simétricas al proceer a su vez e matrices simétricas. Del mismo moo, las submatrices [ij] y [ji], que ocupan cuarículas simétricas respecto a la iagonal principal, también son submatrices simétricas al ser submatrices e barra transpuestas. Dese un punto e vista energético, toa esta simetría es consecuencia el teorema e Maxwell. os elementos e la iagonal principal nunca pueen ser submatrices nulas. a matriz [] es una matriz singular (no tiene matriz inversa). n principio, y hasta ahora se ha constatao, la matriz [] se genera establecieno las coniciones e equilibrio e toos los nuos e la estructura, como si en el pórtico no hubiese enlaces externos. Por ello, y como parece razonable, si entre las cargas aplicaas existe equilibrio, el sistema e ecuaciones [] es ineterminao por haber infinitas soluciones e esplazamientos e los nuos, entre las que se incluye la solución transcenente, que equivale a suponer el pórtico como un cuerpo rígio. Y en el caso e no existir equilibrio entre las cargas aplicaas, el sistema e ecuaciones [] es incompatible. Tanto en un caso como en otro, el eterminante es nulo, y por consiguiente la matriz e rigiez el pórtico [] es una matriz singular. a matriz e rigiez [] es una matriz en bana, y como ya se ha visto, aemás simétrica. l semiancho e bana b, meio en uniaes e submatrices, y sin contar la submatriz e la iagonal principal, es igual a la máxima iferencia existente en la numeración e os nuos contiguos e la estructura, aa por la expresión:

23 Métoo e cálculo b máx j i i...n- j...n sieno i, j nuos contiguos. optano la numeración e los nuos el pórtico que se muestra en la figura 9, se obtiene como semiancho e bana b en este tipo e estructuras b, -, -, 5 - emás, el número máximo e elementos no nulos en cualquier fila f máx f n, sieno n s el contaos a partir e la iagonal principal es oren e las submatrices. l ser los pórticos estructuras planas, n =, por lo que. f máx máx s b.7. Matriz e rigiez el pórtico. a ecuación matricial [] P relaciona las fuerzas que actúan sobre los nuos e la estructura, efinias por el vector {P}, con los esplazamientos e esos nuos, efinios por el vector {}. sta relación se establece a partir e la matriz e rigiez completa e la estructura []. hora bien, en el vector {P} intervienen tanto las cargas aplicaas como las reacciones e los enlaces externos. sí mismo, en el vector {} intervienen los esplazamientos esconocios e los nuos libres y los esplazamientos e los nuos unios a los enlaces externos, que suelen ser nulos en el caso e apoyos o empotramientos, constantes cuano se prouce un asiento en un apoyo, o bien función e las reacciones en el caso e apoyos elásticos. n los pórticos biempotraos a os aguas, con la numeración e los nuos efinia en la figura 9, se observa que en los nuos, y los esplazamientos

24 Cálculo matricial e pórticos biempotraos a os aguas son esconocios, mientras que en los empotramientos y 5 los esplazamientos han e ser nulos. Tenieno en cuenta estas consieraciones, la ecuación [] puee escribirse: P P P P P o también: P P P P P De forma más reucia: P a R [5] De aquí se euce: P a [] que es la ecuación matricial e la estructura, corresponiente a unas cargas eterminaas. n esta ecuación: {Pa} {} [] es el vector e cargas aplicaas sobre los nuos libres. es el vector e esplazamiento e los nuos. es la matriz e rigiez e la estructura que tiene en cuenta únicamente las solicitaciones en los nuos libres, mientras que la matriz e rigiez completa consiera las solicitaciones e toos los nuos.

25 Y X Métoo e cálculo 5 a matriz e rigiez [] es una matriz e oren m, sieno m el número posible e esplazamientos e los nuos (o grao e ineterminación cinemática e la estructura). n los pórticos biempotraos objeto e estuio, el oren e la matriz [] es 9, que correspone con el grao e ineterminación cinemática e estos pórticos. l principio e unicia e las soluciones exige que el sistema e ecuaciones [] tenga solución única. n consecuencia, la matriz e rigiez [] tiene que ser regular, mientras que, como hemos visto, la matriz e rigiez completa [] es singular. emás e esta iferencia, y el menor oren e [] respecto a [], (en pórticos planos biempotraos e 5 nuos el oren e [] es 9 y el e [] 5), el resto e propieaes coincie..8. jemplo. e va a calcular la matriz e rigiez e un pórtico biempotrao a os aguas simétrico, e 5 m e luz, 5 m e altura e pilares y % e inclinación e cubierta. Como preimensionamiento se eligen los siguientes perfiles metálicos: Tabla. Preimensionamiento el pórtico. Perfil z (cm ) (cm ) Pilar HB 8 97 Dintel P Y Y X Y X X.5 m 5 m Y 5 X 5 m Figura : Representación el pórtico ejemplo.

26 Cálculo matricial e pórticos biempotraos a os aguas.8.. Consieraciones geométricas. n la figura se representa el pórtico el ejemplo, mostránose los ejes locales e caa barra y los ejes globales e la estructura. Con too ello poemos realizar la siguiente tabla, en la cual se eterminan las longitues e las barras el pórtico, así como el ángulo que forman los ejes globales con los ejes locales e caa barra. Tabla. Datos geométricos el pórtico. Barra ongitu (cm) (º)

27 Métoo e cálculo Matrices e rigiez e las barras en coorenaas locales. Barra Barra

28 Cálculo matricial e pórticos biempotraos a os aguas Barra Barra

29 Métoo e cálculo Matrices e rigiez e las barras en coorenaas globales. Barra - a matriz e rotación [R] es: R cos sen sen cos Para obtener cualquier submatriz [ij] en coorenaas globales será necesario realizar la siguiente operación: R R T ij ij as submatrices obtenias son:

30 Cálculo matricial e pórticos biempotraos a os aguas Barra - a matriz e rotación [R] es: R cos sen sen cos as submatrices que se obtienen al premultiplicar las submatrices [ij] por [R] y posteriormente multiplicar por su transpuesta [R] T son: Barra - a matriz e rotación [R] es: R cos sen sen cos

31 Métoo e cálculo as submatrices [ij] en coorenaas globales son: Barra -5 a matriz e rotación [R] es: cos sen sen cos R as submatrices [ij] en coorenaas globales son:

32 Cálculo matricial e pórticos biempotraos a os aguas nsamblaje e las submatrices. Únicamente afecta a las submatrices e la iagonal principal Matriz e rigiez completa [] el pórtico. e muestra a continuación:

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34 Matriz e rigiez [] el pórtico