aletos CAPÍTULO 6.04 SISTEMAS ÓPTICOS CENTRADOS

Transcripción

1 aletos Conceptos funamentales Un conjunto e superficies que separan meios e istinto ínice e refracción constituyen un sistema óptico. Si, como caso particular, estas superficies son esféricas y tienen sus centro en una recta, forman un sistema óptico centrao. O O IG O IG O La recta que une los centros e las superficies esféricas se enomina eje el sistema. Objeto e imagen Si un punto O emite rayos e luz ante un sistema, y espués e reflejarse o refractarse en las istintas superficies, lo atraviesan y van a unirse en un punto O, a este punto se lo enomina imagen, o punto imagen e O, y al punto O, punto objeto. Si los rayos parten realmente e O, y se cortan realmente en O, se ice que O es un punto objeto real, y O un punto imagen real. [ig ] Puee ocurrir que los rayos sean ivergentes espués e atravesar el sistema, pero que sus prolongaciones se corten en sentio contrario al e propagación en un punto O. A este punto se le enomina imagen virtual e O. [ig ] Cuano se acoplan os sistemas la imagen formaa por el primero sirve e objeto para el seguno. Si hubiera más e os sistemas acoplaos, la imagen formaa por caa sistema, sea real o virtual, sirve e objeto para el siguiente. O 1 (I) O 1 =O 2 (II) O 2 Si como ocurre en el caso e la fig , la imagen O 1 el punto objeto real O 1 no llega a formarse, porque los rayos son esviaos antes e cortarse, se ice que O 1 sirve como objeto virtual O 2 para el seguno sistema. Un objeto virtual solamente puee arse en el caso e un acoplamiento entre os sistemas como los e la figura ig Espacio objeto y espacio imagen Se consiera como espacio objeto e un sistema too el espacio geométrico en el que puee haber objetos, tanto reales, como virtuales. Y espacio imagen, el espacio geométrico en el que puee haber imágenes, tanto reales, como virtuales. Por consiguiente, too el espacio es a la vez espacio objeto y espacio imagen. Suele interpretarse como espacio objeto la parte izquiera e un sistema, suponieno que la luz se propaga e izquiera a erecha, aunque los objetos virtuales lo prolongan por la erecha, pero entenieno siempre que aunque un objeto virtual quee a la erecha, o, aparentemente, entro e un sistema, se consiera sumergio en el meio e la izquiera. Otro tanto puee ecirse el espacio imagen cambiano los términos izquiera y erecha. Puntos conjugaos Si un punto O es la imagen que forma un sistema óptico e un punto objeto O, se ice que O y O son puntos conjugaos. En general, e las figuras que son la una imagen e la otra, se ice que son figuras conjugaas respecto e un sistema óptico. Sistema óptico perfecto Se ice que un sistema óptico es perfecto para os planos P y P, perpeniculares al eje el sistema, cuano tienen las siguientes propieaes: a) Toos los rayos que entran en el sistema proceentes e un punto cualquiera A el plano P concurren a la salia en un punto A el plano P. Esta conición se enomina conición e estigmatismo. b) A los puntos e una recta r, contenia en el plano P corresponen como imágenes los e otra recta r, contenia en el plano P. c) A toa figura contenia en el plano P correspone como imagen otra figura contenia en el plano P, semejante a la anterior, sieno constante la razón e semejanza para cualquier par e elementos. Los sistemas a los que nos referiremos e aquí en aelante serán exclusivamente sistemas centraos y suponremos que son perfectos.

2 2 aletos Óptica paraxial e los sistemas centraos Supongamos un sistema óptico centrao ante el cual hay un objeto AB e altura y, tan pequeña como queramos, situao perpenicularmente al eje el sistema, y un iafragma D, con una abertura circular e iámetro asimismo muy pequeño, e moo que las alturas e los puntos e inciencia e toos los rayos que, proceentes el punto A, llegan a la superficie S, serán muy pequeñas. B n ε I n y σ σ v h σ' ε' A A V σ' v C y σ B D IG La imagen el punto B se obtiene trazano un rayo cualquiera, como el BV. La intersección e su rayo refractao con la perpenicular al eje trazaa por A es la imagen B e B. La imagen el objeto AB es A B, e tamaño y. En estas coniciones, los ángulos ε y ε que forman, respectivamente, los rayos inciente y refractao, con la normal, los ángulos σ y σ que forman con el eje, y el ángulo ϕ que forma la normal con el eje, serán muy pequeños, e forma que poremos sustituir sus senos y tangentes por los ángulos meios en raianes. Esta zona e inciencia se enomina zona paraxial, o zona e Gauss. Se puee emostrar que en esta zona toos los sistemas centraos son perfectos para cualquier par e planos. Puee objetarse que, si toas las aberturas e los iafragmas son muy pequeñas, se proucirán fenómenos e ifracción que invalian toas las leyes e la Óptica geométrica. Sin embargo, la Óptica paraxial es e gran utilia para resolver los problemas en la zona central que es la que se utiliza para hacer los anteproyectos e los sistemas ópticos Superficies esféricas Supongamos un objeto AB situao ante una única superficie esférica e centro C, que separa os meios e ínices n y n. Para hallar la imagen A B se sigue el mismo proceimiento que el inicao anteriormente para un sistema centrao. B n ε I n y σ σ v h σ' ε' C σ A A V σ' v y s r B s IG Convenio e signos En los iferentes manuales e Óptica geométrica suelen arse iferentes normas, o reglas, referentes al convenio e signos para eterminar la posición e los objetos e imágenes respecto e un sistema óptico, así como los signos e los tamaños, y los signos e los ángulos que forman los rayos con el eje, y el ángulo que forma la normal con el eje.

3 aletos 3 Toos son válios y es cuestión e criterio personal la ecisión e aplicar un convenio u otro. Si se aplican correctamente tales convenios, toos eben conucir al mismo resultao. Normas DIN 1335 En lo que sigue utilizaremos las normas DIN 1335 que establecen lo siguiente: a) Para esignar los elementos corresponientes a una imagen se utilizan las mismas letras que para el objeto pero con tile. b) Para las istancias meias sobe el eje se consiera como origen el vértice V, y se toma como sentio positivo el e la luz inciente, que, mientra no se inique lo contrario, se consierará que se propaga e izquiera a erecha. Por consiguiente, en la figura la istancia s es negativa, y la istancias s es positiva. c) Los segmentos normales al eje son positivos si están situaos por encima el eje, y negativos en caso contrario. ) Los ángulos e inciencia y refracción, ε y ε, son positivos si, al llevar a coinciir los rayos con la normal, giránolos por el camino más corto, el sentio e giro es el e las agujas el reloj. e) Los ángulos que forman los rayos con el eje son positivos si, al llevar a coinciir los rayos con el eje, giránolos por el camino más corto, el sentio e giro es contrario al e las agujas el reloj. En la figura Son magnitues positivas: σ, r, h, y, ε, ε, s y el ángulo ϕ. Son magnitues negativas: y, s, y los ángulos σ v y σ v, consieraos como ángulos e inciencia y refracción. Obsérvese que el ángulo ϕ es positivo, tanto si se consiera formao por un rayo que inciiese en la irección e la normal, con el eje, como si se consiera formao por un rayo que incie en la irección el eje, con la normal. Con estos convenios, cuano se prouce la reflexión sobre una superficie, los ángulos e inciencia y reflexión son e signos contrarios, por tanto, la ley e la reflexión en zona paraxial es: ε = ε ' [1] e moo que una reflexión se puee interpretar como una refracción en un meio e ínice Invariante e Abbe n ' = n [2] Vamos a eterminar la posición e la imagen e un objeto, formaa por una superficie esférica en zona paraxial, por meio e su istancia s, cuano se conoce la posición s el objeto, meias ambas sobre el eje. n V I n ε h ε ϕ σ σ O r C s s IG O Consieremos el objeto virtual O, hacia el cual se irigen los rayos IO y VO, que espués e refractarse se cortan formano la imagen real O. Esta figura tiene la ventaja e que, aunque el objeto O sea virtual, lo que no quita generalia al esarrollo, toas las magnitues son positivas. Puesto que estamos consierano la inciencia e los rayos en zona paraxial, los senos y las tangentes e los ángulos poemos sustituirlos por los ángulos, e moo que la ley e la refracción se puee escribir en la forma, nε = n 'ε ' [3] Y e la figura se eucen las relaciones: ε = ϕ σ, ε ' = ϕ σ ', ϕ = h r, σ = h s, σ ' = h s ' [4] Sustituyeno las relaciones anteriores en [3], eliminano toos los ángulos y simplificano, se obtiene la relación n h r h s = n ' h r h s ' que emuestra que, una superficie esférica en zona paraxial se comporta estigmáticamente para cualquier par e puntos conjugaos O y O, ya que, para una eterminaa istancia s, es ecir, fijaa la posición el objeto, la relación [5] proporciona un valor único e s, inepeniente e h, ya que figura como factor común. El mismo razonamiento se puee aplicar a un sistema formao por varios ioptrios esféricos. [5]

4 4 aletos Simplificano [5], se obtiene La expresión n 1 r 1 s = n ' 1 r 1 s ' [6] n 1 r 1 s [7] cuyo valor no varía al aplicarla al espacio objeto o al espacio imagen, recibe el nombre e invariante e Abbe en honor e ERNST KARL ABBE ( ), físico y óptico alemán. Posición e la imagen Despejano Hacieno 1 s ' r = en [6], se obtiene la relación que permite hallar s suponieno conocios los restantes valores. Casos particulares Superficie plana en [8] se obtiene Reflexión en un espejo esférico Hacieno Hacieno n ' = n r = en [8] se obtiene Reflexión en un espejo plano en [10] se obtiene Ecuación e Lagrange-Helmholtz 1 s ' = n 1 n ' s + n ' n 1 n ' r s ' = n ' n s [9] 1 s ' + 1 s = 2 r [8] [10] s ' = s [11] Esta ecuación relaciona en zona paraxial el ínice n, el espacio objeto, el tamaño y, el objeto y el ángulo σ que forma con el eje un rayo que parte el pie A el objeto, con las magnitues corresponientes el espacio imagen. Si consieramos un sistema óptico formao por una sola superficie esférica, [ig ], aplicano la ley e la refracción a los ángulos σ v y σ v nσ v = n 'σ 'v [12] y e la figura se obtienen las relaciones σ = h s σ v σ = y h [13] Diviieno las anteriores igualaes miembro a miembro, y espejano σ v Proceieno e forma similar para el ángulo σ' v : σ v = y h σ [14] σ ' v = y ' h σ ' [15]

5 aletos 5 Sustituyeno [14] y [15] en [12], se obtiene nyσ = n 'y 'σ ' [16] Si se aplica esta ecuación a un sistema formao por varias superficies, se puee escribir para caa una e ellas las siguientes relaciones: n 1 y 1 σ 1 = n ' 1 y ' 1 σ ' 1 y 1 y 1 = y 2 y 2 = y 3 y 3 σ 1 σ' 1 σ 2 σ 3 σ' 2 σ' 3 n 2 y 2 σ 2 = n ' 2 y ' 2 σ ' n k y k σ k = n ' k y ' k σ ' k [17] n 1 n 1 = n 2 n 2 = n 3 n 3 = n 4 IG y tenieno en cuenta que el seguno miembro e caa una e ellas es igual al primero e la siguiente, ya que el ínice e refracción el espacio imagen e un sistema, así como la imagen y el ángulo con el eje, son, respectivamente, el ínice e refracción el espacio objeto, el objeto y el ángulo con el eje el siguiente sistema, sumano miembro a miembro las igualaes [17], y simplificano, se obtiene la enomina ecuación e Lagrange-Helmholtz para un sistema e varias superficies: que expresa que el proucto nyσ es invariante a través e icho sistema Aumentos e un sistema óptico Aumento lateral n 1 y 1 σ 1 = n ' k y ' k σ ' k [18] Si colocamos un objeto lineal e altura y, ante un sistema, perpenicularmente a su eje, proucirá una imagen e tamaño y k. Se efine el aumento lateral β, como el cociente entre el tamaño vertical e la imagen final que prouce el sistema y el tamaño vertical el objeto: y 1 σ 1 σ' y k k β ' = y ' k [19] y 1 IG Aumento angular Si el pie el objeto parte un rayo formano con el eje un ángulo σ 1, el rayo emergente irá a parar al pie e la imagen formano con el eje un ángulo σ' k. Se efine el aumento angular γ, como el cociente entre los ángulos σ' k y σ 1 : γ ' = σ ' k σ 1 [20] De la ecuación e Lagrange-Helmholtz [18] se eucen las siguientes relaciones entre los aumentos lateral y angular: β ' = y ' k y 1 = n 1 n ' k σ 1 σ ' k = n 1 n ' k 1 γ ' En el caso particular e que el ínice e salia n 1 sea igual al e entraa n k, la relación es: [21] β ' = 1 γ ' [22] Elementos carinales e un sistema óptico En los sistemas ópticos hay tres pares e puntos, y otros tres e planos, que tienen una especial importancia. Son los focos y planos focales, los puntos y planos principales y los puntos y planos noales.

6 6 aletos oco imagen y plano focal imagen Si consieramos un objeto muy alejao e un sistema óptico, los rayos luminosos llegan al sistema paralelos a su eje. Se ice, en ese caso, que el objeto se encuentra en el infinito. Ο P Ο IG (A) IG (B) La imagen e Ο, si la luz se propaga e izquiera a erecha, es un punto el eje que se enomina foco imagen. El plano normal al eje trazao por es el plano focal imagen. [ig (A)] De la efinición se euce que El plano focal imagen es la imagen el plano el infinito. Es ecir, que Too haz e rayos paralelos que penetre en el sistema en cualquier irección irá a parar a la salia a un punto Pʼ el plano focal imagen. oco imagen y plano focal imagen Análogamente, hay un punto sobre el eje, tal, que toos los rayos que parten e él y atraviesan el sistema, propagánose e izquiera a erecha, salen paralelos al eje formano una imagen en un punto Ο' infinitamente alejao. O bien, si entran por la erecha, concurren en icho punto. Ο' P' P El punto es el foco objeto, y el plano normal al eje trazao por es el plano focal objeto. De la efinición se euce que El plano focal objeto tiene su imagen en el plano el infinito. Es ecir, que Too haz e rayos paralelos que penetre en el sistema proceente e un punto P el plano focal objeto irá a parar a la salia a un punto Pʼ el infinito. Tanto el foco objeto como el foco imagen pueen ser reales o virtuales. Planos y puntos principales IG (A) IG (B) Se llaman planos principales, os planos conjugaos, (uno, imagen el otro),cuyo aumento lateral β es +1. a P P b a b IG Sus puntos e intersección con el eje, H, y H, son los puntos principales, que, e la misma forma que ocurre con los focos, pueen ser reales o virtuales. De la efinición se euce que too haz e rayos que parta e un punto P el plano principal objeto y penetre en el sistema, o bien, que penetre apuntano hacia el punto P, salrá el sistema concurrieno real, o virtualmente, en un punto P el plano principal imagen, e tal forma que el punto P está a la misma istancia el eje que el punto P y en el mismo sentio. La obtención gráfica e estos planos principales por métoos gráficos es sencilla. Basta trazar un rayo cualquiera a, paralelo al eje, que salrá según el rayo a pasano por el foco imagen.

7 aletos 7 El punto P one se cortan las prolongaciones e los rayos a y a pertenece al plano principal imagen, que es un plano perpenicular al eje trazao por el punto P, y cuya intersección con el eje etermina el punto principal imagen Hʼ. Análogamente, si trazamos el rayo emergente b paralelo al eje, e forma que su prolongación pase por el punto P, eberá proceer e un rayo inciente b, que pase por el foco objeto, y que eberá irigirse hacia el punto P. El punto e intersección e las prolongaciones e los rayos b y b eterminan el punto P, que pertenece al plano principal objeto, que es un plano perpenicular al eje trazao por el punto P, y cuya intersección con el eje etermina el punto principal objeto H. Se puee comprobar que los planos principales están eterminaos correctamente, porque si se trazan los rayos a y b irigios hacia el punto P el plano principal objeto, salrán según a y b, cuyas prolongaciones se cortan en el punto P, y por tanto, es la imagen el punto P, y el plano P H es la imagen el plano PH. Los planos focales y los planos principales sólo tienen sentio físico en la zona paraxial e un sistema óptico. Casos particulares Superficie esférica a b P = P b a Si se traza el rayo a, paralelo al eje, e incie en el punto P e la superficie esférica, su refractao a pasa por el foco imagen. Y el rayo b que pasa por el foco objeto, e incie igualmente en en el punto P sale paralelo al eje. Por tanto, el punto P es a la vez el punto P. V H = H Los planos principales coincien con la superficie esférica, y los puntos principales coincien con el vértice V. No ebe olviarse que estamos consierano que los rayos incien en la zona paraxial. IG Utilia e los planos principales y focos Si se conoce la posición e los planos principales y e los focos e un sistema óptico, se pueen resolver toos los problemas que se pueen plantear en la Óptica paraxial. Supongamos, por ejemplo, un sistema el cual se conocen,, H y H. Vamos a eterminar cuál es el rayo emergente que correspone al rayo inciente a. a b P P H H IG Distancias focales y potencia e un sistema D b a Vamos a eterminar cuál es el rayo emergente que correspone al rayo inciente a. Una vez que el rayo entra en el sistema, esconocemos la trayectoria que seguirá, pero sabemos que, si apunta hacia el punto P el plano principal objeto, el rayo emergente, o su prolongación, pasará por el punto P a la misma altura que el punto P. Para hallar su irección basta trazar un rayo b, paralelo al a, que salrá según el rayo b, paralelo al eje; y como los rayos a y b son paralelos, a la salia se cortarán en un punto D el plano focal imagen. Por tanto, el rayo b pasará por P y por D. Se llama istancia focal objeto f, e un sistema, a la istancia H ese el punto principal objeto hasta el foco objeto meia en el sentio e H hacia. H H Se llama istancia focal imagen f, e un sistema, a la istancia H ese el punto principal imagen hasta el foco imagen meia en el sentio e H hacia. Si estas istancias focales, meias siempre con origen en los puntos principales, tienen el sentio e la luz inciente, son positivas. En caso contrario, son negativas. Los sistemas e las figuras y , tienen la istancia focal objeto, negativa, y la istancia focal imagen, positiva. IG

8 8 aletos Potencia e un sistema Se efine la potencia objeto e un sistema como la inversa e la istancia focal objeto: ϕ = 1 f [23] y la potencia imagen, como la inversa e la istancia focal imagen: ϕ ' = 1 f ' [24] Si las istancias focales se mien en metros, las potencias se mien en ioptrías Distancias focales y potencias e un ioptrio esférico La istancia focal objeto y la potencia objeto e un ioptrio esférico, como el e la figura , se obtienen, tenieno en cuenta que los planos principales coincien con la superficie esférica, y los puntos principales coincien con el vértice V, sustituyeno en la [8], s = : f = n n ' n r ' n ϕ = n nr La istancia focal imagen y la potencia imagen e un ioptrio esférico, como el e la figura , se obtienen, tenieno en cuenta la propiea mencionaa anteriormente, sustituyeno en la [8], s = : f ' = n ' n ' n r Distancias focales y potencias e un espejo esférico Sustituyeno en la [10], s =, o bien s =, se obtiene: ϕ ' = n ' n n 'r [25] [26] f = f ' = r 2 [27] En general, se procura escribir toas las ecuaciones e un sistema óptico e moo que intervengan la istancia focal imagen y la potencia imagen Relación entre las istancias focales objeto e imagen e un sistema A Supongamos que conocemos los focos y los puntos principales e un sistema como el e la figura f σ H H y H y H H P P IG f σ' H A Vamos a eterminar la imagen un objeto HP, e altura y, situao en el plano principal objeto. Para ello, se traza por el punto A, situao en el plano focal objeto a una istancia el eje A igual a HP, un rayo paralelo al eje, que, por haber pasao por un punto el plano focalo objeto, salrá por el punto P el plano principal imagen, a una istancia el eje, tal que H P sea igual a PH, y por haber entrao paralelo al eje, salrá pasano por foco imagen. Toos los rayos que parten e A y atraviesan el sistema, cuyos límites no están representaos, salrán paralelos entre sí. El rayo AH salrá por H, paralelo a P, y la imagen se formará en el infinito. Aplicano a los puntos H y H la ecuación e Lagrange- Helmholtz: pero, ny H σ H = n 'y ' H σ ' H [28] σ H = y H f y sustituyeno las relaciones anteriores en [28], se obtiene σ ' H = y ' H f ' f f ' = n n ' y H = y ' H [29] [30]

9 aletos 9 Para sistemas en aire, o sumergios en meios el mismo ínice e refracción, Puntos noales f = f ' [31 Se llaman puntos noales os puntos el eje, N y N, conjugaos, para los cuales aumento angular es γ ' = σ ' σ = +1 [32] De la efinición se euce que too rayo que entre en el sistema pasano por el punto noal objeto, formano con el eje un ángulo σ, salrá por el punto noal imagen formano con el eje un ángulo σ = σ. Vamos a eterminar la imagen el punto A el plano focal objeto, e la figura A σ f N B B σ H N P P IG H f A Toos los rayos que parten e A salrán paralelos formano una imagen en el infinito. Si trazamos el rayo AP, paralelo al eje, salrá según el rayo P. Y el rayo AB, paralelo al P, salrá por B, paralelo a sí mismo, ya que, como se ha inicao anteriormente, toos los rayos que parten e A salrán paralelos formano una imagen en el infinito. De moo que el rayo AB y la prolongación el rayo que sale por B eterminan los punto noales N y N, ya que los ángulos σ y σ son iguales. De la figura se euce, por paralelismo e iguala e triángulos, que NH = N 'H ' NN ' = HH ' N = H ' ' = f ' 'N ' = H = f ya que, los triángulos NHB y N H B son iguales, así como los triángulos AN y P H. De one se euce que La istancia entre los puntos noales es igual a la istancia entre los puntos principales. Y que En sistemas con ínices extremos iguales los puntos noales coincien con los puntos principales. ya que, luego N coincie con H, y N con H, y en consecuencia, [33] N = f ' = f [34] Too rayo que se irige hacia el punto principal objeto H, sale por el punto principal imagen Hʼ paralelamente al rayo inciente Ecuaciones e corresponencia Supongamos un sistema efinio por sus focos y, y puntos principales, H y H. Vamos a eterminar las relaciones que existen entre la posición e un objeto e altura y, y la e su imagen y, así como la relación entre sus respectivos tamaños. Orígenes en los focos y B P P A z f H H f z Q Q a a IG y HQ, y e los P H y A B, se eucen, tenieno en cuenta los signos, los siguientes sistemas e ecuaciones: B A y Designamos por z y z las istancias A y A, meias en esos sentios, y por a y a, las istancias HA y H A. Las istancias focales se mien siempre ese los puntos principales a los focos, cualquiera que sea el origen que se tome para otras istancias. Si se tiene en cuenta que HP = AB = y y que H P = A B = y e la semejanza e los triángulos AB

10 10 aletos Estas ecuaciones resuelven toos los problemas que suelen plantearse. Por ejemplo: si se conoce la istancia focal f y la posición z el objeto respecto el foco objeto, o la istancia focal f y la posición z e la imagen respecto el foco imagen, se calcula inmeiatamente el aumento lateral β a partir e los terceros miembros e las ecuaciones [35] o [36], y e esta forma se etermina el tamaño e la imagen respecto el objeto, y si es erecha o invertia. Ecuación e Newton β ' = y ' y = f z = f a f β ' = y ' y = z ' ' f ' = a f ' f ' Igualano los terceros miembros e [35] y [36], y quitano enominaores, se obtiene que es la enominaa ecuación e Newton. Si los ínices e refracción e los meios extremos en los que se encuentra el sistema son iguales, es y la ecuación e Newton para tales sistemas es: [35] [36] zz ' = ff ' [37] f = f ' [38] zz ' = f 2 [39] ecuación que permite conocer z, es ecir la istancia el foco imagen a la imagen, y por tanto, su posición, cuano se conoce z. De la ecuación [38] se euce que, por ser negativo su seguno miembro, A y A están siempre a istinto lao e y, lo que significa que z y z son siempre e signo contrario. Orígenes en los puntos principales Si esignamos por a y a a las istancias e los puntos principales objeto e imagen, al objeto e imagen, respectivamente, igualano los cuartos miembros e las ecuaciones [35] y [36], se obtiene e one, operano, se obtiene fácilmente, y tenieno en cuenta la relación [30], se obtiene f a f = a ' f ' f ' f a + f ' a ' = 1 [40] n a + n ' a ' = n ' f ' Si los ínices e refracción e los meios extremos en los que se encuentra el sistema son iguales, es [41] 1 a + 1 a ' = 1 f ' [42] que es la ecuación que se aplica normalmente a las lentes elgaas, sieno a y a, las istancias e la lente al objeto e imagen, respectivamente, ya que sus planos principales coincien con la propia lente. Aumento lateral en función e las istancias a y aʼ, e los puntos principales al objeto e imagen, respectivamente. Del primero y cuarto miembros e la ecuación [36] se obtiene, β ' = a ' f ' f ' = 1 a ' f ' y e la [41], multiplicano lo os miembros por a y iviiénolos por n, se obtiene, y sustituyeno en la [43], a ' a ' f ' = 1 n n ' a β ' = 1 a ' f ' = 1 1 n a ' n ' a = n a ' n ' a [43] [44] [45]

11 aletos 11 Si los ínices e refracción e los meios extremos en los que se encuentra el sistema son iguales, es Sistemas compuestos β ' = a ' a [46] Supongamos que acoplamos os sistemas (I) y (II), como muestra la figura , e los que conocemos sus focos y puntos principales. A r 2 A r 1 A r 1 r 2 H H H H 2 H 2 H 1 e IG La istancia = 1 2, enominaa intervalo óptico, es la istancia e acoplamiento entre el foco imagen 1 el sistema (I) y el foco objeto el sistema (II) meia en el sentio e 1 hacia 2. Supongamos que conocemos la posición e los focos y el sistema total. Para hallar la posición el plano principal imagen el sistema total se traza un rayo r 1, paralelo al eje el sistema, a una altura h, tal como el que pasa por el punto A. Este rayo salrá el sistema (I) pasano por el foco imagen, 1, y emergerá el sistema (II) pasano por el foco imagen el sistema total, puesto que ha entrao paralelo al eje el sistema total. El punto A en que corta la prolongación el rayo r 1 al r 1 pertenece al plano principal imagen el sistema total, que etermina el punto principal imagen H. Análogamente, si se traza un rayo r 2, en sentio inverso, paralelo al eje el sistema a la misma altura h, tal como el que pasa por el punto A, salrá el sistema (II) pasano por el foco 2, y emergerá el sistema (I) pasano por el foco imagen el sistema total, puesto que ha entrao paralelo al eje el sistema total. Se ebe tener en cuenta que al haber invertio el sentio e la luz inciente, el foco 2 es ahora el foco imagen el sistema (II), y el foco es el foco imagen el sistema total. El punto A en que corta la prolongación el rayo r 2 al r 2 pertenece al plano principal objeto el sistema total, que etermina el punto principal objeto H. De la construcción efectuaa se euce que los focos y 2 son puntos conjugaos respecto el sistema (I), y 1 y, son conjugaos respecto el sistema (II). Si llamamos z 1 = 1, y z 2 = 2 y aplicamos la ecuación e Newton a y 2 como puntos conjugaos respecto el sistema (I), se tiene: z 1 = f 1 [47] y proceieno e igual forma, con los puntos 1 y, como puntos conjugaos respecto el sistema (II), se tiene: De las relaciones [47] y [48] se obtienen: ( )z ' 2 = f 2 [48] z 1 = f 1 z ' 2 = f 2 Y e la figura se obtiene para la focal f, el sistema total: [49]

12 12 aletos ya que f ' = h 1 σ ' 2 = h 1 σ ' 1 σ 2 σ ' 2 [50] σ ' 1 = σ 2 [51] pero σ 2 σ ' 1 es el valor recíproco el aumento angular γ 2 que pouciría el sistema (II) e un objeto situao en 1. Tenieno en cuenta esto y las propieaes e la figura poemos escribir las siguientes relaciones: h 1 σ ' 1 = [52] σ 2 σ ' 2 = 1 γ ' 2 = n ' 2 n 2 β ' 2 [53] sieno β 2 el aumento lateral que prouciría el sistema (II) e un objeto situao en 1. Por otra parte, según la [36], y las focales f 2 y f 2 están relacionaas por β ' 2 = f 2 z = f 2 [54] f 2 = n 2 n ' 2 De la [53], [54] y [55] se euce por simple sustitución que: σ 2 σ ' 2 = 1 γ ' 2 = n ' 2 n 2 β ' 2 = n ' 2 ( f 2 ) n 2 = n ' 2 n 2 f = n ' 2 2 n 2 ( n 2 ) = n ' 2 [55] [56] Sustituyeno las [52] y [56] en la [50] Análogamente, se obtiene para la focal objeto: f ' = [57] f = f 1 f 2 Una vez conocias las istancias focales el sistema total, basta llevarlas, tenieno en cuenta los signos, a partir e los focos para tener las posiciones e los planos focales. Si referimos las ecuaciones anteriores a la istancia e, e acoplamiento entre los puntos principales H 1 y H 2, y tenieno en cuenta a partir e la figura, que: [58] se euce, sustituyeno en [57]: =e + f 2 f ' = = e + f 2 [59] Potencia e un sistema compuesto La potencia e un sistema compuesto es la inversa e su istancia focal imagen f : ϕ ' = 1 f ' = e f ' + f 1 2 = e n 2 f ' f = e n ' 2 2 = e ϕ ' n 2 ϕ ' [60] 1 n ' 2 Si los sistemas se acoplan en el aire, n 2 = n n ' 2 = 1 [61]

13 aletos 13 Sustituyeno [61] en [60], ϕ ' = 1 f ' = e ϕ ' 1 + +n ϕ ' 1 [62] Tenieno en cuenta la seguna relación e las [26], y que, para el primer sistema son, la potencia ϕ' 1 es, y tenieno en cuenta que para el seguno sistema son, n ' 1 = n n 1 = 1 ϕ ' 1 = n 1 n r 1 n ' 2 = 1 n 2 = n = 1 n r 2 sustituyeno [64] y [65] en [62], y tenieno en cuenta la [30]: ϕ ' = 1 f ' = e + f 2 = e con lo que, finalmente, quea: f 2 = e ϕ ' 1 + n 2 n ' 2 = e ϕ ' = e ϕ ' n = e ϕ ' 1 + +n ϕ ' 1 [63] [64] [65] n 2 n n ' 2 = e ϕ ' = ϕ ' = 1 f ' = ϕ ' 1 + e ϕ ' 1 [66] Lentes Una lente es un sistema compuesto, ya que las os superficies esféricas e raios r 1 y r 2 son os sistemas simples en los que sus puntos principales coincien con los vértices. Por consiguiente, su potencia se puee expresar por meio e la relación [62]. Y si los meios e entraa y salia son el aire, n 1 = n 2, y el ínice e refracción e la lente es n, son válias las relaciones [64] y [65], con lo cual sustituyénolas en en la [62], y tenieno en cuenta que ahora es e =, que es el espesor e la lente: ϕ ' = 1 f ' = ϕ ' ϕ ' + ϕ ' + n = ϕ ' n ϕ ' 1 = ( n 1 )( 1 n )+ 1 n +n n 1 = nr 1 r 2 r 2 n r Lentes elgaas = ( n 1 nr 1 )( n 1 )+ 1 n r 2 r 2 + n 1 (n 1)2 = r 1 nr r +(n 1) 1 r 1 r Se ice que una lente es elgaa cuano su espesor es espreciable comparao con caa uno e sus raios e curvatura. [67] (n 1)2 Su potencia se calcula anulano en la [67] el término nr 1 r 2 ϕ ' = 1 f ' =(n 1) 1 1 r 1 r 2 [68] La istancia focal es la inversa e [69] Acoplamiento e lentes elgaas en aire La potencia e os lentes elgaas acoplaas en aire se obtiene a partir e la [66] sustituyeno las potencias e las lentes, y e por la istancia entre ellas.

14 14 aletos Sistemas convergentes y ivergentes Se ice que un sistema es convergente cuano un haz e rayos incientes, paralelo al eje el sistema, converge a la salia en el foco imagen, es ecir, cuano el foco imagen es real. Se ice que un sistema es ivergente cuano un haz e rayos incientes, paralelo al eje el sistema, iverge a la salia pasano sus prolongaciones por el foco imagen, es ecir, cuano el foco imagen es virtual. Algunos autores asignan el carácter e convergencia o ivergencia al hecho e que el sistema tenga su focal imagen f, positiva o negativa, respectivamente, lo cual no inica naa acerca e su comportamiento.