12. Funciones trigonométricas

Transcripción

1 . Funciones trigonométricas asfasfasfasfasf.. Funciones seno coseno En este móulo nos ocuparemos, en primer lugar, e las funciones trigonométricas. Wang Zheni (78-797) sen() cos() Son funciones one la variable inepeniente se refiere a la meia e un ángulo (meio en raianes); one los valores e las funciones, sen() cos() se calculen con las relaciones trigonométricas usuales. La primera observación que hacemos en el estuio e las funciones trigonométricas se refiere a que son funciones cuos valores se repiten caa cierto intervalo e la variable inepeniente. En el caso particular e las funciones sen() cos() los valores se repiten caa. sen( + ) = sen() cos( + ) = cos() Los valores e las funciones sen() cos() están eterminaos por las coorenaas el punto sobre la circunferencia unia (la circunferencia e raio centraa en el origen) como se muestra en la Figura.. + = (, ) = (cos(), sen()) Durante too el curso usaremos principalmente la meición e ángulos en raianes. Recueren que raiantes equivale a 80 seagesimales. La conversión el resto e los ángulos, e un sistema al otro, se hace por proporción irecta. ra 80 ra ( ra ) r = raianes Figura.: Circunferencia unia. Las coorenaas el punto eterminan los valores e las funciones trigonométricas. Activia. Completen la Tabla. con los valores e las funciones trigonométricas sen() cos() en los ángulos más usuales comprenios entre 0. 0 sen() cos() Tabla.: Valores e las funciones sen() cos() en los ángulos más usuales comprenios entre 0.

2 Capítulo. Funciones trigonométricas Las gráficas e las funciones sen() cos() se presentan en las Figuras... Activia. Utilicen las gráficas e las Figuras.. para corroborar los valores calculaos e la Tabla Figura.: Gráfica e la función sen() en el intervalo [0, ] Figura.: Gráfica e la función cos() en el intervalo [0, ]. Activia. Las funciones sen() cos() pueen tomar valores positivos o negativos según el cuarante al que pertenezca el ángulo. Completen la Tabla.. sen() cos() Cuarante I Cuarante II Cuarante III Cuarante IV positiva positiva Tabla.: Positivia negativia e las funciones sen() cos().

3 . Funciones seno coseno Al consierar la perioicia e las funciones trigonométricas, la gráfica que tenemos en el intervalo [0, ] se copia en los intervalos (e longitu ) siguientes anteriores para ocupar too el eje horizontal como se ve en las Figuras..5. sen() 5 Períoo Figura.: Gráfica e la función sen() en too R. cos() 5 Períoo Figura.5: Gráfica e la función cos() en too R. Las funciones trigonométricas cumplen las siguientes ientiaes básicas. Propiea.. Propieaes e las funciones sen() cos(). Continuia: Las funciones son continuas en too R. Ientia principal: sen () + cos () = Los valores están acotaos: sen() cos() Por convención se escribe cos () = (cos()) = cos(). cos() que es iferente a cos( ) = cos(.) Simetrías: sen( ) = sen() cos( ) = cos() Suma resta: sen( ± ) = sen( ) cos( ) ± cos( ) sen( ) cos( ± ) = cos( ) cos( ) cos( ) sen( ) Desplazamiento: sen( + ) = cos() No esarrollaremos las emostraciones e estas propieaes pero haremos algunos comentarios comparaciones como guías. cos() sen() En primer lugar, para ángulos en el primer cuarante, la ientia principal se euce el teorema e Pitágoras aplicao al triángulo rectángulo e la Figura. ao que la hipotenusa mie unia e longitu. Figura.: Ientia principal. Respecto a las simetrías, en la Figura.7 se presenta la relación entre los valores e la función cos() en ángulos opuestos.

4 Capítulo. Funciones trigonométricas cos() Figura.7: Relación entre los valores e la función cos() en ángulos opuestos. Activia. Cómo realizarían un iagrama similar a la Figura.7 para analizar la simetría e la función sen()? Utilicen la Figura.8. sen() Figura.8: Relación entre los valores e la función sen() en ángulos opuestos. Por último, en la Figura.9 se presenta la relación e esplazamiento que relaciona los valores sen( + ) cos(). + sen( + ) sen() cos() + cos() Figura.9: Relación entre los valores e la función sen( + ) cos().

5 . Transformaciones e las gráficas sen() cos() 5. Transformaciones e las gráficas sen() cos() Definición.. Forma general e las funciones trigonométricas. La forma general e las funciones trigonométricas es f () = A sen(ω( φ)) g() = A cos(ω( φ)) (.) en one utilizamos a como variable inepeniente. En toos los esarrollos anteriores utilizamos como variable inepeniente a porque consieramos necesario iferenciar los iagramas con ejes coorenaos - one se representa como el ángulo, los iagramas con ejes coorenaos - f () one se representaron las relaciones funcionales. Describiremos las constantes A, ω φ presentes en la efinición.. Amplitu: Representa un cambio en los valores máimos mínimos que toman las f () g() está relacionaa con el valor e A. = sen() = sen() = sen() Figura.0: Gráficas e las funciones sen(), sen() sen(). Para valores positivos e A (A > 0), la amplitu es A se cumple que A A sen(ω( φ)) A A A cos(ω( φ)) A Para valores negativos e A (A < 0), la amplitu es A. La gráfica, en este caso, también se reflejan respecto al eje. Ver Figura.. = sen() Períoo ω : El cociente (para ω > 0) etermina el tamaño el intervalo e perioicia e las ω funciones f () g(). = sen() Figura.: Reflejo respecto al eje en el caso e A < 0. = sen() = sen() = sen( ) Figura.: Gráficas e las funciones sen(), sen( ) sen().

6 Capítulo. Funciones trigonométricas Para ω > 0, las funciones f () g() tienen períoo ω f () = f ( + ) ω g() = g e moo que ( + ) ω Desplazamiento e la fase φ: El valor e φ prouce un esplazamiento e la gráfica. Si φ es positivo el esplazamiento se prouce hacia la erecha. Si φ es negativo el esplazamiento se prouce hacia la izquiera. = sen() = sen( ) Figura.: Gráfica e la función sen( ) en [, 7 ]. Ejemplo. Determinaremos la amplitu, el períoo el esplazamiento e la función f () = cos( + ) realizaremos su gráfica. Para ello, re-escribimos la función en la forma general sacano factor común en la epresión + = ( + ) para tener f () = cos ( ( + )) = cos ( ( ( ))). Figura.: Gráfica e la función cos( + ). Por lo tanto, obtenemos que la amplitu es, el períoo es = el esplazamiento e la fase es e hacia la izquiera. La gráfica e la función se presenta en la Figura.. tan() Activia.5 Realicen la gráfica e las siguientes funciones eterminano sus elementos. a) f () = sen() b) g() = cos() c) h() = cos( ) ) m() = sen( + ) Figura.5: Circunferencia unia.. Función trigonométrica tan() Otra función trigonométrica utilizaa es la función tangente tan() = sen() que, en cos() la circunferencia unia, representa la ±longitu (+ o según el cuarante) el segmento vertical como se muestra en la Figura.5. Se iferencia principalmente e las funciones sen() cos() porque su períoo es más corto porque su ominio a no es too el conjunto e números reales.

7 . Función trigonométrica tan() 7 El ominio e la función tan() está eterminao por toos los números reales que no anulan el enominaor. Por lo tanto ebemos ecluir a toos los tales que cos() = 0. Esta ecuación tiene infinitas soluciones e la forma + k sieno k Z. Por lo tanto el Dom(tan()) = R { + k : k Z}. En cuanto al períoo, se tiene que tan( + ) = sen( + ) cos( + ) = sen() cos() = sen() cos() = tan(). El intervalo principal one se grafica la función tangente es (, ). Dao que lím sen() = lím cos() = 0 lím sen() = lím cos() = 0 se conclue que tan() tiene asíntotas verticales en las rectas = =. Y recorano la Tabla. tenemos lím tan() = + lím tan() = + La gráfica e la función tan() en too su ominio se presenta en la Figura.. tan() 5 Períoo Figura.: Gráfica e la función tan() en too su ominio.

8 8 Capítulo. Funciones trigonométricas. Derivaa e las funciones sen(), cos() tan() Para estuiar la eistencia e la erivaa e la función sen() utilizamos la efinición las Propieaes.. (la propiea e la suma resta) O Figura.7: Comparación entre las tres áreas mencionaas en el esarrollo. B C D Respecto al inciso b), se calcula el área e un sector circular e ángulo tomano proporción irecta: A Círculo completo e raio r: r Sector e ángulo : r = r sen() sen( + ) sen() sen() sen() cos( ) + cos() sen( ) sen() [ ] sen() cos( ) sen() cos() sen( ) + [ cos( ) + cos() sen( ) ] cos( ) + lím cos() lím 0 0 sen() lím 0 0 sen( ) Para que el último paso sea válio necesitamos saber que los cuatro límites involucraos eisten (porque propusimos aplicar las propieaes algebraicas el límite). Dos e estos límites son sencillos e calcular: lím sen() = sen() lím cos() = cos() 0 0 porque tanto el sen() como el cos() son constantes con respecto a. El sen( ) lím 0 no puee calcularse por evaluación. Encontraremos su valor utilizano un argumento geométrico. Supongamos, en primer lugar, que se encuentra entre 0 /. La Figura.7 muestra un sector e un círculo con centro O, ángulo raio os triángulos (el tríangulo OBA el OAD). El valor el área e ese sector circular es maor al valor el área el triángulo OBA menor que el área el triángulo OAD. Área el triángulo OBA Área el sector circular AOB Área el triángulo OAD Calculamos las áreas mencionaas: a) El triángulo más pequeño tiene una base que mie OA = una altura que mie CB = sen(). Luego su área es sen(). b) El área e un sector circular e ángulo se calcula por proporción irecta:. c) La base el triángulo más grane también mie OA = pero su altura mie AD = tan() = sen() cos(). Luego su área es sen() cos(). Obtenemos sen() < < sen() cos(). Como sen() > 0 para 0 < < /, si multiplicamos por esiguala tenemos que < sen() < cos(), o, en forma equivalente (ao que son toos términos positivos), cos() < sen() <. a caa miembro e la sen()

9 . Derivaa e las funciones sen(), cos() tan() 9 Sabemos que lím = que lím cos() =. Ambos límites eisten son iguales. 0 0 Concluimos (usano el Teorema.. el Sanwich que enunciamos a continuación) que sen lím 0 + Teorema.. Teorema el Sanwich. Si f () g() h() cuano es cercana a a (ecepto posiblemente en = a) entonces lím a g() = L. =. lím f () h() = L a a El Teorema el Sanwich, que a veces recibe el nombre e Teorema e Contracción o e Compresión, se ilustra en la Figura.8. No lo emostraremos. Nos ice que si g() está atrapaa entre f () h() cerca e a, si f h tienen el mismo límite L en a, entonces g es forzaa a tener el mismo límite L en a. Con un razonamiento mu similar para valores 0 se obtiene que sen lím 0 + sen(). 0 Luego, sen() lím =. 0 El límite cos() lím 0 tampoco puee calcularse por evaluación. Lo haremos e la siguiente manera: cos() lím ( ) cos(). sen () (cos() + ) = lím 0 ( ) 0 = ( ). = 0. + ( ) cos() + cos () cos() + 0 (cos() + ) sen() } {{ } (a lo calculamos) Retomano el cálculo e la erivaa que estábamos realizano,. sen() cos() + } {{ } 0 (se calcula por evaluación) L a f () g() h() Figura.8: Teorema el Sanwich. f cos( ) sen( ) () sen() lím + lím cos() lím = (sen()).0 + (cos()). = cos(). Hemos emostrao la fórmula para la erivaa e la función seno: Teorema.. Derivaa e la función sen(). La función sen() es erivable en too R sen() = cos()

10 0 Capítulo. Funciones trigonométricas Ejemplo. Calculamos la erivaa e la función f () = sen() utilizano.. la regla el proucto. [ sen()] = ( ). sen() + (sen()) = sen() + cos() Siguieno el mismo camino que usamos en la emostración el Teorema.. se puee emostrar Teorema.. Derivaa e la función cos(). La función cos() es erivable en too R cos() = sen() Activia. Realicen la emostración el Teorema... Tomano como base las funciones sen(), cos() tan() se efinen tres nuevas funciones Secante: sec() = Cosecante: cosec() = Cotangente: cot() = cos() sen() tan() La función g() = tan() también se puee erivar para en su ominio usano la efinición e erivaa, pero es más sencillo en este caso usar la regla el cociente para erivarla aprovechano que a conocemos la erivaa e las funciones sen() cos(): (tan()) = = = ( ) sen() cos() (sen()) cos() sen() (cos()) (cos()) cos() cos() sen() ( sen()) (cos()) = cos () + sen () (cos()) = cos () = sec () Teorema.. Derivaa e la función tan(). La función tan() es erivable en too su ominio (tan()) = sec () Activia.7 Determinen el ominio e las funciones sec(), cosec() cot(). Activia.8 Hallen, usano las reglas e erivación, la erivaa e las siguientes funciones: a) g () = sec() b) g () = e cos() c) g () = + cos() ) g () = sen(a + ), a R constante Activia.9 Iniquen para que valores e la gráfica e las siguientes funciones tienen una recta tangente horizontal. a) f () = + sen() b) g() = e cos()

11 .5 Límites que involucran funciones trigonométricas Activia.0 a) En qué intervalos es creciente f () = sen()? Con 0 b) En qué intervalos es cóncava hacia abajo g() = tan()? Con / < < /..5 Límites que involucran funciones trigonométricas Ya hemos estuiao calculao los siguientes límites sen() cos() lím = (.) lím = 0 (.) 0 0 En esta sección calcularemos algunos límites que involucran algunas e las funciones trigonométricas e ientificaremos algunos comportamientos asintóticos horizontales verticales. sen() Ejemplo. Calculemos el lím. 0 sen() sen() lím 0 0 sen() 0 sen(u) sen(u) = lím =. = u 0 u u 0 u Realizamos la sustitución u = observano que 0 u 0 para re-escribir el límite original como un límite e la forma. que a sabemos cuanto vale. Para estar atentos atentas sen() sen() ( ) Ejemplo. Investiguemos el lím sen. 0 Dao que no poemos calcular el límite ( evaluano en = 0 analizaremos el ) comportamiento e la función f () = sen cerca e = 0 (en = 0 no está efinia). Si evaluamos la función en algunos valores pequeños e, obtenemos f () = sen() = 0 f (/) = sen( ) = 0 f (/) = sen( ) = 0 f (/) = sen( ) = 0 f (0.) = sen(0 ) = 0 f (0.0) = sen(00 ) = 0 Por otro lao, si calculamos f (0.00) = ( f (0.0000) = 0. En base a eso alguien ) poría estar tentao a pensar que el lím sen = 0 pero esa respuesta no es correcta. 0 Observemos que aunque f (/n) = sen(n ) = 0 para too n entero, también es cierto que f () = para infinitos valores e cercanos a 0. En la Figura.9 poemos ver la gráfica e la función. La línea entrecortaa cerca el eje- inica que los valores el sen(/) oscilan infinitamente tomano valores entre cuano se acerca a 0. Como los valores e f () no se aproiman a un número fijo cuano se aproima a 0 ecimos que ( ) lím sen no eiste. 0 Figura (.9: Gráfica e la función ) sen en el intervalo (0, + ).

12 Capítulo. Funciones trigonométricas ( ) Ejemplo.5 Calculemos ahora el lím sen. 0 Este límite tampoco puee calcularse por evaluación. Pero, a iferencia el Ejemplo. la función tiene un factor elante ( ). sen. }{{} 0 } {{ } Varía entre - ( ) De moo que los valores e. sen se irán acercano a 0 si 0. Lo esarrollaremos usano el Teorema el Sanwich, multiplicano por (positivo o negativo) a toos los miembros e la esiguala ( ) sen obtenieno Figura(.0: Gráfica e la función ) sen en el intervalo (0, + ). ( ) sen si > 0 ( ) sen si < 0. ( ) Tanto en el caso en que > 0 < 0, los valores e la función sen se encuentran acotaos por arriba por abajo por funciones que tienen a cero cuano se acerca a cero, es ecir ( ) f () sen f () con lím f () = 0 lím f () = 0, entonces por el Teorema el Sanwich 0 0 poemos asegurar que ( ) lím sen = 0. 0 ( ) En la Figura.0 poemos ver la gráfica e la función f () = sen. Tiene una iscontinuia evitable en = 0. Poemos efinirla como f (0) = 0 para que resulte una función continua en too R. f () = sen ( ) si 0 0 si = 0. Definición.5. Límites oscilantes. Los casos similares al presentao en el Ejemplo. se enominan límites oscilatorios corresponen a iscontinuiaes inevitables e las funciones.

13 . Funciones trigonométricas inversas Activia. Calculen los siguientes límites. a) lím 0 cos() + tan() + b) lím 0 sen(7) c) lím 0 tan() ) lím sen( ) e) lím t 0 sen (t) t ( ) Activia. Prueben que el lím t cos = 0. Cómo correspone re-efinir la función ( ) t 0 t g(t) = t cos para que resulte continua en too R? t. Funciones trigonométricas inversas Dao que ninguna e las funciones sen(), cos() tan() es una función - en sus respectivos ominios se efinen las funciones trigonométricas inversas tomano subintervalos como se etalla a continuación. Definición.. Funciones trigonométricas inversas. Se efinen las siguientes funciones como las inversas e las funciones sen(), cos() tan(). Función Función inversa sen() : [, ] [, ] arc sen() : [, ] [, ] cos() : [0, ] [, ] arc cos() : [, ] [0, ] tan() : (, ) R arctan() : R (, ) Las fórmulas presentaas para las erivaas e las funciones trigonométricas inversas se eucen e lo aprenio en el Móulo 0. La función arctan() es erivable en too su ominio arctan() = + para R Las funciones arc sen() arc cos() no son erivables en too su ominio. Se tiene que arc sen() = arc cos() = para (, ) para (0, ) Activia. Realicen las gráficas e las funciones arc sen(), arc cos() arctan() (consierano que son funciones inversas).