Práctico 4: Funciones inversas

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1 Práctico 4: Funciones inversas 1. Averiguar acerca e la inyectivia e las siguientes funciones en sus ominios naturales: 1.- y = ax + bx + c con a 6= 0.- y = x + ax + b con a>0.- y = x + ax + b con a<0 4.- y = ax+b cx+ 5.- y =sinx 6.- y =tanx. Elegir un intervalo one la función aa sea inyectiva. 1) y = x 4x +4 ) y =sinx ) y =cosx 4) y =tanx. A continuación se a una serie e pares f I función-intervalo. Probar que caa función f es inyectiva en el intervalo I y hallar el ominio e la inversa e f I. 1.- x x en [ 1, 1].- x x en [ 1, 1].- x 5 x en [5, + ) 4.- x 5 x en (, 5] x x en [1, ) en (, 1] x x 7.- tan x en π, π 4. Mostrar una función monótona en un intervalo que no sea inyectiva. Una inyectiva que no sea monótona. Una función monótona pero no estrictamente... Puee ser inyectiva? 5. Hallar inversas e las siguientes funciones. Esto es: Si es inyectiva encontrar el rango y una expresión para su inversa. Si no es inyectiva encontrar un subominio e inyectivia y resolver como en el punto anterior para la restricción. 1.- y = x+ x+1.- y = x r,r Q,r 6= 0.- x =sin(θ θ 0 ) 4.- y = x + 1 x 1

2 (a) Calcular arco seno y arco coseno e los siguientes números: 0; ±1; ± 1 ; ± ; ±. (b) Calcular arco tangente e los siguientes números: 0; ±1; ± ; ±. 6. Calcular: 1.- arcsin sin π 4.- arccos cos π.- arctan tan π 7. Trazar gráficos aproximaos e y = arccos x ye y = arctan x. 8. Calcular: (a) cos (arcsin x). (b) cos (arctan x). Sugerencia. Usar el ejercicio 5. el capítulo Hallar las erivaas e las funciones siguientes: a) arctan x b) arcsin x +arccosx c) x arcsinx ) arctan (sin x) 10. Calcular arcsin x x x=0 x arccos x x= x arcsin x x= x arctan x x= 11. Un aeroplano a una altura e 1400 m vuela horizontal y irectamente alejánose e un observaor. Cuano el ángulo e elevación es π, el ángulo está ecrecieno a razón 4 e 0.05 ra/seg. Con qué rapiez está volano el aeroplano es ese instante?. 1. Hallar las erivaas e las siguientes funciones: 1) arctan e x ) e sin x ) 1/e x 4) e ex 5) tan(e x ) 6) 1/ (sin e x ) 7) e tan x 8) arcsin (e x + x) 1. Hallar la ecuación e la recta tangente e 1) y = e x, en x =1 ) y = x e x, en x =1 (a) Trazar las gráficas e y = x ye y = x en un mismo esquema.

3 (b) Trazar las gráficas e y = 1 x ye y = 1 x. Sugerencia: Observar que 1 x a = a x y usar una reflexión sobre el ejercicio anterior. 14. Hallar la ecuación e la recta tangente al gráfico e y = e x en el punto (x 0,e x 0 ). Encontrar el valor x 0 que hace que esa recta tangente pase por el origen. 15. Ejercicio 14: Probar las siguientes esigualaes, valias para x>0. 1) 1 <e x ) 1+x<e x ) 1+x + x <ex Utilizar estas esigualaes para probar que e>, Probar que ln u v =lnu lnv 17. Calcular ln x x 18. Trazar las gráficas e y =lnx ye y = x 1 en un mismo esquema. 19. Se sabe que la función y = a x es solución e la ecuación iferencial k en función e a. y = ky. Encontrar x 0. Encontrar una expresión para log a x en función e lnx ye lna. (Sugerencia: partir e la ientia a log a x = x yaplicar ln miembro a miembro). 1. Calcular log x a x.. Graficar, en un mismo esquema, log x, log x y lnx.. Probar que lnx <x 1 para too x>0. 4. Despejar x en las siguientes ecuaciones: 5. Resolver los siguientes problemas: a) x =8 b) x = e 5 c) 10e x = ) log(x +5)= a) c) ½ f 0 (x) =f (x) ½ f (0) = f 0 (x) = f (x) f 0 (0) = 4 b) ) ½ f 0 (x) = f (x) ½ f (ln8) = 16 y 0 +y =0 y (0) = 1 Los procesos e esintegración e sustancias raiactivas, si f (t) representa la masa e la sustancia en el instante t, obeecen a la ecuación iferencial f 0 (t) =Kf (t), para alguna constante K<0. 6. Sea f (t) =10e Kt para alguna constante K. Hallar K sabieno que f 1 =. 7. f (t) =Ce t.f() = 5. Calcular C.

4 8. En un millón e años, un gramo e raio se reujo a 01 gramo. Cuál es la fórmula que a la razón e esintegración? 9. El azucar se isuelve en el agua a razón proporcional a la cantia aún no isuelta. Si 1,6 kgr se reucen a 4,5 kgr en 4 horas Cuáno se isolverá el 95% el azúcar? Los procesos e crecimiento no inhibio e poblaciones responen también a la ecuación iferencial f 0 (t) =Kf (t), ahora con la constante K>0. Aquí f (t) es el tamaño e la población en el instante t. 0. Cuánto tiempo pasará antes e que e bacterias aumenten a , si taran 1 minutos en aumentar a ? Ejercicios complementarios 1. En caa uno e los siguientes ejercicios, restringir el ominio e f aunintervaloe moo que la función inversa g esté efinia en un intervalo que contenga al punto inicao, y hallar la erivaa e la función inversa en el punto inicao.. Probar que: a) f (x) =x +1. Hallar g 0 () b) f (x) =(x 1) (x ) (x ) Hallar g 0 (6) ³ c) f (x) =sinx Hallar g 0 ) f (x) =5x +1. Hallar g 0 (11) (a) Ψ Φ inyectiva = Φ inyectiva. (b) Ψ Φ sobreyectiva = Ψ sobreyectiva. (f : A B es sobreyectiva si Rg f = B). Sean Φ : A B y Ψ : B A os funciones tales que Ψ Φ = i A (i A (x) = x, x A. Es la función ientia). Probar que las siguientes tres proposiciones son equivalentes: (a) Φ Ψ = i B (esto es, Ψ = Φ 1 ). (b) Ψ es inyectiva. (c) Φ es sobreyectiva. 4. Probar que la inversa e una función creciente es creciente. 5. Este ejercicio constituye una emostración e que una función inyectiva y continua en un intervalo ebe ser estrictamente monótona. (a) sienelintervalohaytrespuntos a<b<c tales que f (a) f (b) f (c) obien f (a) f (b) f (c) entonces f no es inyectiva (Usar el teorema e Bolzano). 4

5 (b) Dao cualquier punto a en el interior el intervalo, se a una e las os circunstancias siguientes: i. [x <a f (x) <f(a)] [x >a f (x) >f(a)] ii. [x <a f (x) >f(a)] [x >a f (x) <f(a)]. (c) En el caso (b) i. f es creciente y en el caso (b) ii. f es ecreciente. Por ejemplo en el caso i., habrá que emostrar que x<y f (x) <f(y). Para ello se eberán analizar toos los casos x<y<a,x<a<y,a<x<y,os e ellos a la luz el resultao (a). 5