UNIVERSIDAD DE CONCEPCION DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Prof. Jorge Ruiz Castillo. 1.1 Repaso de propiedades de funciones inversas
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- Alba Arroyo Gil
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1 Funciones Inversas UNIVERSIDAD DE CONCEPCION DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Prof Jorge Ruiz Castillo Repaso e propieaes e funciones inversas Sea f : A B una función biectiva sea f : B A su función inversa Recoremos que se tienen las siguientes propieaes: ( A) f () f () f f I B f f I A 3 ( B) f f () ( A) f (f ()) 4 Toa función estrictamente creciente toa función estrictamente ecreciente es inectiva 5 La gráfica e una función biectiva e su inversa son simétricas con respectoalarectaeecuación Continuia erivabilia e funciones inversas Teorema- Sea f : I J una función biectiva, I J son intervalos e R Sif es continua, entonces f : J I también lo es Teorema- Supongamos que f tiene una inversa es continua sobre um intervalo I Sea 0 I e 0 f ( 0 ) Si f 0 ( 0 ) eiste si f 0 ( 0 ) 6 0, entonces f 0 (0 ) eiste aemás f 0 (0 ) f 0 ( 0 ) Iea e la emostración- f es continua sobre J (a que f lo es sobre I) En particular f es continua en 0 f ( 0 ) f 0 f () f ( 0 ) f (f ()) f (f ( 0 )) (0 ) lim lim f () f ( 0 ) 0 lim 0 f () f ( 0 ) f 0 ( 0 ) ;(f f son continuas) Ejemplos- Sea f () Encontrar f 0 ( 3) si eiste Solución- f () 3 f es continua sobre R ], + [ f es erivable ( R) f 0 () En particular f 0 () Luego f es erivable en 0 f () 3 f 0 ( 3) f 0 () Sea ln Encontrar Solución- Sea f (), entonces f 0 () Supongamos que f eiste sobre un intervalo abierto I Entonces poemos escribir: f (), luego f 0 ()
2 f es continua sobre I f es erivable Por lo tanto f 0 () f 0 () es ecir 3 La función eponencial natural , La función inversa e f : R + R,f() ln es f : R R +,f () e ( >0) e ln ( R)lne e 3 e (ln ) e (one e ) ln 4 e e + c Ejemplos- Encontrar f 0 () si f () e cos f () tane 34 3 e ln, one f () Encontrar la integral: 4 e tan cos 5 e (e +) 6 e t e t e t t + e t
3 4 La función eponencial logaritmo ( a R) (a )a a Demostración- a e a ln Ejemplo- Sea f () (3) cos Encontrar f 0 () Solución- f () e sin ln 3 (Alternativa: ln cos(ln3)) a (con a>) a (con 0 <a<) (a )a ln a 4 a ln a a + c 5 Teorema- Sea a>0,a6 Entonces log a ln ln a,>0 Demostración- log a a ln a ln ln ln a 6 Son válias las lees e logaritmos (a concias) ( a, b, c > 0) log a bc log a b +log a c log a b r r log a b 5 Crecimiento ecrecimiento eponencial Señalamos el siguiente: Teorema- Sea f :[0, + [ R continua tal que ( >0) f 0 () kf () Entonces: ( >0) f () f (0) e k Observación- Si f satisface la relación anterior ecimos que crece eponencialmente cuano k>0 o que ecrece eponencialmente cuano k<0 Si ( R) f 0 () kf (), entonces el resultao anterior también se etiene a ( R) f () f (0) e k 6 Funciones trigonométricas inversas Las erivaas e las funciones trigonométricas inversas se obtienen usano irectamente el teorema corresponiente e la sección 5 3
4 f : π, π [, ],f() sin f :[, ] π, π,f () arcsin (arcsin ), < (a) arcsin (sin ) (b) sin (arcsin ) (c) arcsin + c () a arcsin + c, a es un nímero fijo maor que 0 a f :[0,π] [, ],f() cos f :[, ] [0,π],f () arccos (cos ) sin (arccos ), < 3 f : π, π ], + [,f() tan f :], + [ π, π,f () arctan (tan ) sec (arctan ) +, R 4 f :]0,π[ ], + [,f() cot f :], + [ ]0,π[,f () arccot (cot ) csc (arccot ) +, R 5 f : 0, π π,π ], ] [, + [,f() sec f :], ] [, + [ 0, π π,π,f () arcsec (sec ) sec tan (arcsec ), > 6 f : π, 0 0, π ], ] [, + [,f() csc f :], ] [, + [ π, 0 0, π,f () arccsc (sin ) cos Observación- (csc ) csc cot Demostración- Inicación- (arcsin ) (arccsc ), > (sin ) cos sin * ], [ π, π cos >0 El resto se emuestra e la misma manera Quea como ejercicio Ejemplos- sin cos 3 etan tan sec e tan utan u tan sec e u u eu + c etan + c (36 ) u8 36 u u 3 +(9 v3 6 +) 36 ln u 9 +v v 36 ln arctan v + c 36 ln arctan (3 ) + c 3 Para <a b<: 3 3 u u 4
5 u u arcsin + c µ u u 3 u arcsin + c q ( ) 3 + c 4 Suponga que la rapiez con que se enfría la superficie e un material, en un meio ambiente a 0 o C, es proporcional a su temperatura Sabieno que el material, se encuentra a 90 o, eplique como puee preecir al cabo e minuto cuanto emorará en estar a una temperatura e 0 o? Solución- t kt, k > 0 T (t) T (0) e kt T (t) 90e kt T (t )090e kt Al cabo e un minuto la temperatura estará a 0 o en t t 7 Funciones hiperbólicas Definición- Se efinen las funciones llamaas "seno hiperbólico" "coseno hiperbólico" respectivamente e la siguiente manera: sinh : R R, sinh () e e cosh : R R, cos () e + e Estas funciones tienen las siguientes propieaes: sinh (0) 0 cosh (0) 3 f () sinh g() cosh 0 f () 0 f 0 () f 00 () % % f () 0 g () g 0 () g 00 () & % g () 73 ( R) sinh () cosh() cosh () sinh() Demostración- ³ e cosh () +e e e sinh() 4 ( R)cosh sinh Demostración- ³ cosh sinh ³ e +e + e e 5 La función sinh es impar la función cosh epar 5
6 6 ( t R)(cosht, sinh t) pertenece a la hipérbola: 7 Se efinen las funciones "tangente hiperbólica", "cotangente hiperbólica", "secante hiperbólica", "cosecante hiperbólicas" respectivamente por: f () tanh() tanh : sinh () R R, tanh () cosh () e e e + e coth : cosh () R {0} R, coth () sinh () sec h : R R, sec h () cosh () csc h : R {0} R, csc h () sinh () f () coth() f () sech () 0985 f () csch () Las funciones hiperbólicas verifican las siguientes propieaes: (a) cosh sinh (b) tanh +sech (c) coth csc h () sinh ( ) sinh () 6
7 Observación- Las funciones hiperbóliocas no son perióicas La función seno hiperbólico inverso Sea f : R R,f() sinh seag : R R,g() ln + +, entonces g f f g I R,porlotantog f,esecir,lafuncióninversa e la función "sinh" es aquella efinia por g () ln + +, R Nota- Para la función inversa e "sinh" se aopta también la notación "sinh " siempre que este claro el conteto en que se usa no ha lugar a confusión con el recíproco e sinh que es sinh Por otra parte, la función "sinh" es continua, erivable aemás ( R) (sinh ) 6 0 Luego e sinh,setiene sinh por el teorema para la erivaa e la inversa sinh cosh p sinh + Por lo tanto (e) cosh ( ) cosh() (f) sinh ( ± ) sinh()cosh() ± cosh ()sinh() (g) cosh ( ± ) cosh()cosh() ± sinh ()sinh() (h) tanh ( ± ) tanh()±tanh() ±tanh()tanh() Demostración- () sinh ( ) e e sinh () (f) sinh ( + ) e+ e (+) sinh ()cosh()+cosh ()sinh() e e e +e + e +e e e e+ e (+) Por lo tanto sinh ( + ) sinh()cosh()+cosh()sinh() Aemás: sinh ( ) sinh( +( )) () (e) sinh()cosh( )+cosh ()sinh( ) sinh()cosh() cosh ()sinh() Ejemplos- (tanh ) 3 (sinh ) sinh sinh + sinh cosh cosh sinh cosh cosh sech + q ( + ) + q 3 + u q ( + ) + u u + sinh u+c sinh ( 3 ) +c Cálculo I II e Mao e 005 JRC 7
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74 CAPÍTULO 3 La erivaa EJEMPLO 4 Diferencie f ()=ln 3. Regla e la caena Solución Debio a que 3 ebe ser positiva, se entiene que 70. Así, por (3), con u= 3, tenemos Solución alterna: Por iii) e las lees
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R = { (, y) A B / + y > } Si lr y > - lr, y lr Dom( R) = lr, Ran( R) = lr Funciones en una variable Real Para aproimar el gráfico realizamos una tabulación: X y : y > -. y y : y > 0. y : y > -.. RELACIONES.
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() 25 de mayo de / 9
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