DERIVACIÓN. mtan. y x x. lim lim y ' f '( x) CAPÍTULO IV

Transcripción

1 75 CAPÍTULO IV DERIVACIÓN. LA DERIVADA COMO PENDIENTE DE UNA CURVA La peniente e una curva en un punto ao, es iual a la peniente e la recta tanente a la curva en icho punto. Δ Q, Δ Q Q P, La peniente e la recta secante PQ viene aa por: tan Si el punto Q tiene hacia el punto P, la secante se hace caa vez más parecia a la tanente por tanto; m tan lim m sec QP Pero, cuano QP se tiene que Δ0 por tanto mtan lim lim ' ' 0 0 Epresión que representa la erivaa e la unción es la peniente e la recta tanente a la curva en, conocia también como la peniente e la curva.

2 76 Ejemplo. Hallar la peniente e la recta tanente a la curva = + en el punto, Solución: m tan lim 0 0 lim lim 0 lim lim 0 0 Por tanto la peniente viene aa por; m tan = ² En el punto, será: m tan = ² = Ejemplo. Hallar la erivaa e lim 0 lim lim 0 0 Ejemplo. Hallar / si: 0 lim 0 lim

3 77 lim 0 lim 0 lim 0 Ejemplo Hallar sin sin sin sin cos cos sin sin sin lim lim 0 0 sin cos cos sin lim 0 cos sin lim sin cos sin 0 cos cos 0 sin cos. LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO Eisten variaciones respecto al tiempo que epresan el cambio e una variable respecto a otra; tal es el caso el volumen e aua en un recipiente que recibe este líquio e un rio, el volumen e una pelota que esta sieno inlaa, la variación el espacio respecto al tiempo velocia, la variación e la velocia respecto al tiempo, etc. Estas epresiones se conocen como razones e cambio. Sea V = t una unción que varía con el tiempo, la razón e cambio e V Volumen respecto a t tiempo será: V t t t t t La razón e cambio instantánea e V respecto a t por unia e tiempo será:

4 78 V V t t t lim lim t t0 t t0 t Epresión que representa la erivaa e la unción VolumenV respecto al tiempo t es la einición el Caual Ejemplo. Un proectil es lanzao con una cierta velocia inicial en m/se un ánulo e inclinación α e tal manera que la epresión que representa su recorrio es: [9] = - 0,005 ² + Encontrar la razón e cambio / cuano = 0 ; = 00 = lim lim 0 0 0,005 0,005 lim 0 0,005 0,0 0,005 0,005 lim 0 0, 0 0, 005 lim lim 0, 0 0, [9] LARSON HOSTETLER, Cálculo Geometría Analítica. Mc. Graw Hill 987 Pa.

5 79 0,0 Ecuación que representa la razón e cambio instantáneo e respecto a Si = 0 se tiene: m 0, 00 0,8 se Este valor representa el esplazamiento e por unia e esplazamiento e Si = 00 m 0, se Lo que siniica que cuano = 00 no eiste esplazamiento en el sentio e Si = 0 m 0, 00 0, se El sino neativo epresa que la variación e ha cambiao e sentio hacia abajo por unia e esplazamiento en el sentio.. ALGUNAS REGLAS DE DERIVACIÓN Las siuientes constituen relas elementales e erivación c 0 n n n c c ' ' ' n n Ejemplo. Demostrar que n Solución: n n lim lim 0 0 n

6 80 nn n... lim 0 n n n n n nn n... lim 0 n n n n n Hallar la peniente e la curva, la razón e cambio instantánea o la erivaa e caa una e las siuientes unciones: Ejemplo Ejemplo = 5 00 ' / 0 7 = + 5 / = /5 5 + Ejemplo

7 . DERIVADAS DE ÓRDEN SUPERIOR Se enominan así a las erivaas que se obtienen al erivar una unción por seuna, tercera,... enésima vez ' ' Primera erivaa Derivaas e oren superior son: '' '' Seuna erivaa ''' ''' Tercera erivaa IV IV Cuarta Derivaa... n n n n Enésima erivaa n n 8.5 VELOCIDAD Y ACELERACIÓN Si s = st es la ecuación e la posición e un objeto en que se mueve a lo laro e una recta, la velocia el objeto en el instante t es la razón e cambio e s respecto al tiempo la aceleración es la razón e cambio e la velocia respecto al tiempo, por tanto: velocia = v = s't aceleración = a = v't = s''t.6 DIFERENCIABILIDAD Y CONTINUIDAD La erivaa e una unción en el punto c puee escribirse como siue: ' c lim c c c Supuesto que el último límite eista, para lo cual se eie que los limites laterales eistan sean iuales. Si los límites laterales uesen istintos, siniicaría que la unción presenta en =c un punto anuloso, que no

8 8 permite einir la erivaa en = c. Si la unción presenta un salto en la ráica para = c tampoco será posible encontrar límites laterales iuales, sieno otro caso e ineistencia e la erivaa. La eistencia e tanentes verticales e la unción también es otro inicaor e la ineistencia e la erivaa. Por tanto toa unción ierenciable erivable, será siempre una unción continua, pero no toa unción continua es ierenciable a que su ráica puee presentar, puntos anulosos o tanentes verticales en los cuales no se puee erivar la unción..7 DERIVADA DE UN PRODUCTO La erivaa e un proucto es iual a: La erivaa e la primera unción por la seuna sin erivar mas la primera unción por la erivaa e la seuna, es ecir si: ' ' Demostración ] [ ] [ lim lim lim one e ] [ ] [ lim 0 lqq ' '

9 .8 DERIVADA DE UN COCIENTE La erivaa e un cociente es iual a: La erivaa el numeraor por el enominaor sin erivar menos el numeraor por la erivaa el enominaor, too sobre el enominaor al cuarao. 8 ' ' Demostración lim 0 lim 0 [ ] [ ] lim 0 [ lim 0 e one.9 REGLA DE LA CADENA ' ' [ lqq Si = u es una unción ierenciable e u u = es una unción ierenciable e, = es una unción ierenciable e ; u u

10 8 Ejemplo. Derivar 8 Sea 8 7 u ' 8u u u' 8 u u u Ejemplo. Derivar la siuiente epresión: = Ejemplo. Derivar = - + = [ ] =

11 85 Ejemplo. Derivar ' ' ' 6 Ejemplo 5. Derivar Ejemplo 6. Derivar Ejemplo 7. Hallar la erivaa e: {/ / } 8 ' 5 5{8 7 8 / / } 8

12 86 Ejemplo 8. Derivar ' Ejemplo 9. Derivar ' Ejemplo 0 Hallar la enésima erivaa e a b a a 6a ' ; '' ; ''' a b a b a b Poemos observar que las erivaas sucesivas responen a una le e ormación que resume la enésima erivaa e la siuiente manera: n n n n! a n a b Ejemplo Encontrar la erivaa quinta e ' IV 8 '' ; ''' ; 5

13 87 V 88 6 NOTA. Resuelva los 0 primeros problemas e la práctica No, páinas DERIVADA DEL VALOR ABSOLUTO Sea = u, one u es una unción ierenciable e, entonces u u u u one u 0 Ejemplo. Demostrar la órmula e erivación el valor absoluto. Sea u = u ² = u u = u = u = - u = u u = u u u u = = u u Ejemplo. Derivar = 7 - Entonces =

14 88 ' = - = - para 7 - > 0 ' = - - = para 7 - < 0 Ejemplo Derivar = - Entonces - = - - ' = - = - para - > 0 ' = - - = - + para - < 0. DERIVACIÓN IMPLÍCITA Cuano una e las os variables se a eplícitamente en unción e la otra se trata e una unción eplícita como las unciones que tratamos hasta ahora, por ejemplo = 5² t = t - 5 t² Cuano una ecuación no tiene una e las variables espejaa se ice que esta aa en orma implícita, por ejemplo. ² + ² = 5 ² - + ² =0 Para erivar este tipo e ecuaciones se procee a erivar en orma separaa caa uno e los miembros e la ecuación respetano la rela e la caena consierano que una e las variables es unción e la otra. Ejemplo. Si ² - + = 0 Hallar a / b / a = =0 - = 9 -

15 89 b = = 0 = 0 Ejemplo. Si ² + ² - = 0 Hallar a / b / a = 0 + = - - = b = = = Ejemplo. Daa la ecuación Hallar / - 5 = 0

16 90 Ejemplo Hallar / si coscos = = = 5-5 = sin cos sin cos sin = tan + 5 tan sec sin cossin sec coscos tan cos cos sin cos sin tan sec Ejemplo 5 6 Probar que las ráicas e las ecuaciones son ortoonales. Representar las ráicas e las ecuaciones hallar las ecuaciones e las rectas tanente normal en caa uno e los puntos e intersección. El punto e intersección e las curvas puee hallarse resolvieno ambas ecuaciones como un sistema e os ecuaciones con os incónitas

17 9 0 ; Para = se tiene = ±., ;,- constituen las intersecciones e las ráicas, el punto = - no tiene soluciones reales en las ecuaciones, por tanto, es escartao. Hallano las erivaas e caa una e las ecuaciones, obtenemos las ecuaciones que nos permiten hallar las penientes e las curvas. 6 0 En el punto, se tiene: ; En el punto,- se tiene: ; En ambos puntos e corte e las ráicas se tiene que se satisace la conición e perpenicularia ente las penientes, esto es, m probano e esta m manera que las curvas son ortoonales. Las ecuaciones e la recta tanente normal a la elipse 6 en el punto, serán: m Recta tanente 0

18 9 Recta normal 0 m Estas ecuaciones son a la vez la recta normal la recta tanente a la parábola en, Las ecuaciones e la recta tanente normal a la elipse 6 en el punto,- serán: Recta tanente 0 m Recta normal 0 m Estas ecuaciones son a la vez la recta normal la recta tanente a la parábola,

19 . LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Función eponencial es aquella en la cual la variable aparece en el eponente, en su presentación más elemental tiene la orma, a e la cual se eriva la orma e. Cuano se tienen que erivar unciones en las cuales la variable aparece en el eponente se ebe loaritmizar ambos miembros e la ecuación proceer a erivar implícitamente, lueo espejar la erivaa buscaa. 9 Ejemplo Hallar / si Loaritmizano tenemos: Derivano implícitamente: = ln = ln ln ln Ejemplo Hallar / si Ejemplo Hallar / si {ln ln ln ln ln ln } ln ln ln ln ln ln ln ln

20 9 Ejemplo Derivar Ejemplo 5 Derivar ln ln ln ln ln ln ln 5 sin 5 {tan cos } 5 ln sin 5 ln{tan cos } sin 5 5 cos ln tan cos.. 5 tan cos sec cos cos sin... sin 5 5 tan cos 5 ln tan cos cos... sin 5 5 tan cos sec cos cos sin... sin 5 5 tan cos 5 tan cos sin 5

21 95 Ejemplo 6 sec arctan 8 cos arctan 8 cos ln sec ln sec arctan 8 cos arctan 8 cos arctan sin cos arctan 8 cos sec arctan 8 cos ln tan sec sec ' Problemas e aplicación Ejemplo 7 Hallar la ecuación e la recta normal a que sea perpenicular a 0 5 Iualano las ecuaciones e las penientes obtenemos: La peniente e la recta tanente a la curva será: ' Que es iual a la peniente e la recta m 7,

22 96 Reemplazano en la ecuación e la parábola: 7 7 La ecuación e la recta buscaa será la que pasa por el punto, tiene, por la relación e perpenicularia, la peniente m m 7 m ; NOTA. Resuelva los ejercicios al 5 e la práctica No, páinas LA DERIVADA CALCULADA CON DERIVE Derive nos orece la posibilia e calcular ierentes tipos e erivaas con bastante acilia, el ormato es: iu,. Si se esea hallar 5 8 cos se ebe introucir en la barra e entraa e epresiones i8^5-^+cos, Al presionar el ícono, Introucir simpliicar la ventana e álebra mostrará: 5 8 cos sin.. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Derive permite el cálculo e erivaas e oren superior, el ormato utilizao es el siuiente: iu,,n one n es el oren e la erivaa que se esea. 5 Para obtener la cuarta erivaa e: 8 cos Introuzca en la barra e entraa e epresiones i8^5-^+cos,, Lueo e introucir simpliicar la ventana e álebra mostrará:

23 cos cos DERIVADA DEL VALOR ABSOLUTO Para hallar este tipo e erivaas utililice iabsu,, por ejemplo si eseamos erivar introuzca en la barra e entraa e epresiones; iabs^-, lueo haa click en la ventana e álebra mostrará abs sin.. DERIVACIÓN IMPLÍCITA El ormato es imp_iu,,, n erivaa implícita e rao n e respecto e. n ebe ser un entero positivo,. En muchos casos el resultao epene e e, más que e o e por separao. Esto es aceptable para alunas aplicaciones pero, si no es así, se puee intentar usar la ecuación oriinal u=0 para eliminar ó e la erivaa. También se puee sustituir un valor particular e o e en u, para lueo espejar para las otras variables eacta o numéricamente. Ejemplo.- Hallar a /, b / si + =0 a IMP_DIF + 0,, b IMP_DIF + 0,, Las erivaas e seuno oren e unciones implícitas se hallan el siuiente moo: IMP_DIF + 0,,, 5 6 5

24 98. DERIVADAS DIVERSAS CON DERIVE # sin cos # 6 sin cos sin # cos # cos sin #5 sin #6 sin cos 6sin cos #7 sin cos sin cos sin #8 #9 #0 ln + # # ln ln # # ln tan lncot ln cot ln ln sin cos sin cos ln DERIVADA DEL VALOR ABSOLUTO #5 5

25 99 #6 SIGN 5 #7 #8 SIGN DERIVADA DE LAS FUNCIONES IMPLÍCITAS #9 IMP_DIF, #0 SE OBTIENE EL MISMO RESULTADO CON # IMP_DIF,, # # IMP_DIF, # #5 IMP_DIF,, #6 #7 IMP_DIF,, #8 LAS DERIVADAS DE LAS FUNCIONES IMPLÍCITA DE ORDEN SUPERIOR SE PUEDEN HALLAR DE LA SIGUIENTE MANERA #9 IMP_DIF,,, #0 0 9 # IMP_DIF,,, # # IMP_DIF,,, #

26 00 FÓRMULAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN Sean u, v unciones e ; c una constante c 0 cu cu' e e ln u u' u u v u' v' uv u' v uv' u u n n u u nu u' u e e u' lo a u u ln a u u u u' v uv' v v sin u cosu u' cosu sin u u' tanu sec u u' secu secu tanu u' cscu cscu cotu u' cotu csc u u' sinh u coshu u' coshu sinh u u' tanhu sech u u' cothu csch u u' sech u sech u tanhu u' csch u csch u cothu u' arcsin arcsin h arccos arccos h arctan arctanh arc cot arc coth