Resumen. Relación entre la recta tangente en un punto de una función y los puntos extremos de una función adicional

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1 POPUESTA DIDÁCTICA SOBE LA CONSTUCCIÓN DE LA ECTA TANGENTE SIN EL USO DE LA DEIVADA Oleksandr Karelin Carlos ondero Guerrero Anna Tarasenko Universidad Autónoma del Estado de Hidalo Méico Campo: Gráicas y unciones- Pensamiento matemático avanzado; Nivel Educativo: Medio y Superior esumen El trabajo contiene resultados sobre la construcción de la recta tanente para las unciones elementales sin derivar así como para las unciones ormadas por operaciones lineales y aritméticas entre ellas Dentro del estudio de las nociones undamentales del cálculo se consideran: crecimiento decrecimiento puntos mínimos y máimos concavidad y coneiones entre si En base de estas relaciones se presentó en trabajos previos un enoque no tradicional acerca de la construcción de la recta tanente Para ello dicho problema se redujo a la búsqueda de puntos etremos de una unción adicional que está conectada con la unción inicial La propuesta didáctica que se ha venido estructurando posibilita el entender más proundamente las nociones undamentales del cálculo y sus articulaciones entre sí y está diriida a los proesores y estudiantes de matemáticas de los niveles educativos medio superior y superior elación entre la recta tanente en un punto de una unción y los puntos etremos de una unción adicional Se parte del esquema eneral acerca de la construcción de la recta tanente que ue presentada en [] Se consideran las unciones y y) para las cuales en cada punto ) de su ráica L :{ y ))} eiste una y sólo una recta y y ) : y m p que pasa por el punto ) no tiene otros puntos comunes con la ráica L en una vecindad de y y ) y está ubicada por arriba o por debajo de la recta y ) La clase de tales unciones se denota por C y la clase de rectas para la unción y ) se denota por T ) Airmación Se escoe una unción y ) de la clase C y un punto ) y ) Una recta y) : y m p y es una recta de la clase T ) en el punto y ) para y ) si y sólo si la unción adicional y F) F ) ) [ m p ] tiene su punto mínimo ó punto máimo en o Si en el punto o hay un mínimo para y F) entonces se cumple la desiualdad *) F ) F ) ó ) [ m p ] ) m p ] 386

2 Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol 9 Una recta es de clase T ) en el punto ) para y) : y m b y y ) si y sólo si la desiualdad *) se cumple en una vecindad de o Si en el punto o hay un máimo para y F) entonces se cumple la desiualdad **) F ) F ) ó ) [ m p ] ) m p ] Una recta y) : y m b es de clase ) T en el punto ) para y ) si y sólo si la desiualdad **) se cumple en una vecindad de o Las ráicas que ilustran ambos casos son: y y ) [ m p ] y ) [ m p ] Para construir y) : y m b es necesario hallar m de *) ó de **) y calcular p por la órmula p ) m Si m es un número tal que las desiualdades *) ó **) se cumplen en una vecindad de entonces hay un mínimo ó máimo para y F) en o y m es la pendiente de la recta y ) Usando esta coneión entre los puntos mínimos y máimos se propone hallar la recta tanente de las raicas de alunas unciones simples sin derivar En trabajos anteriores se presentaron las construcciones respectivas de las ecuaciones de rectas tanentes para polinomios unciones raíces y unciones trionométricas Ahora la investiación sobre unciones elementales se complementa presentando la construcción de la recta tanente para unciones eponenciales y loarítmicas Se obtienen las ecuaciones de las rectas tanentes para tales unciones a través de operaciones aritméticas entre ellas ecta tanente para la unción eponencial sin derivar Hallar la ecuación de la recta tanente y ) m p e que pasa por el punto y ) de la ráica de la unción eponencial y donde y e Sea la unción adicional se estructura nuevamente F ) e m p e m p ] Seún la Airmación esta unción tiene su etremo local en el punto o Por deinición del punto etremo local dependiendo si es un mínimo ó un máimo se cumple sólo una desiualdad F ) F ) ó F ) F ) en una vecindad del punto Considerando la desiualdad F ) F ) e m p e m p e e m ) 387

3 Propuesta didáctica sobre la construcción de la recta tanente sin el uso de la derivada Si se supone m e es posible demostrar que en este caso la desiualdad e e e ) se cumple en una vecindad de ó respecto a la nueva z e e e z se cumple en una vecindad de variable z la desiualdad z z z Al tener en cuenta e e e y e se cumplen las desiualdades siuientes z e e z e z z y e z z La última desiualdad se satisace en una vecindad de z Esto siniica que m e es la pendiente de la recta tanente Ahora se calcula el término independiente por la órmula b ) m e e de donde la ecuación de la recta tanente es y e e ) ecta tanente para la unción loaritmo sin derivar Hallar la ecuación de la recta tanente y ) m p que pasa por el punto y ) de la ráica de la unción loaritmo y ln donde y ln Sea y Se tiene ahora como unción adicional F ) ln m p ] ln m p Seún Airmación esta unción tiene su etremo local en el punto Por deinición del punto etremo local en pma de la unción y ln debe cumplirse la desiualdad F ) F ) ó F ) F ) en una vecindad del punto Se considera la desiualdad ln m p ln m p Supónase que ln ln m ) ln m ) m se demostrará que en este caso la desiualdad ln ) ó ln se cumple en una vecindad de ealizando el cambio de variable u se obtiene la desiualdad ln u u de donde ln u u la cual se cumple para u Esto siniica que m es la pendiente de la recta tanente 388

4 Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol 9 Se puede calcular el término independiente por la órmula b ) m ln ln Por tanto la ecuación de la recta tanente es y ln Fórmulas para operaciones lineales esulta interesante mostrar alunas propiedades de la recta tanente de la suma de dos unciones + y de la multiplicación de una constante por una unción reeridas como operaciones lineales Es posible deinir a las unciones y ) de clase C como aquellas cuya ráica está por arriba por abajo) con respecto de la recta tanente de clase T ) las cuales orman un conjunto C ar C ab ) y donde evidentemente C C ar Cab Sean y ) y ) y ) ) son unciones de la clase C la recta tanente de la clase T ) que pasa por el punto )) tiene por ecuación y m b ; la recta tanente de la clase T ) que pasa por el punto )) tiene por ecuación b y m Entonces la recta tanente de la clase T ) que pasa por el punto ) )) tiene por ecuación y m b donde m m m b b b Demostración: Se considera el caso en que ambas ráicas de y están por arriba de su recta tanente en una vecindad de es decir ) Car y ) Car Los otros casos son análoos Seún Airmación las unciones adicionales F ) ) m b ] y G ) ) m b ] tienen un mínimo local en el punto entonces F ) F ) G G )) y son iuales a cero en este punto ) m b ] ) m b ] Sumando estas dos últimas desiualdades se obtiene ) ) m m ) b b ] Ahora bien por el punto ) )) pasa la ráica de la unción y ) ) que está por arriba de la recta tanente y m m ) b b Sea y ) una unción de C la recta tanente de la clase T ) que pasa por el punto )) tiene por ecuación y m b Entonces el producto y ) donde es un numero real dierente de cero pertenece a la clase C y la recta tanente de la clase T ) que pasa por el punto )) tiene por ecuación y m b donde m m b b Demostración: Se considera nuevamente el caso en que ) C los otros casos son análoos Seún Airmación unción adicional F ) ) m b ] tiene un ar 389

5 Propuesta didáctica sobre la construcción de la recta tanente sin el uso de la derivada mínimo local en el punto : F ) F ) y F ) Se cumple la desiualdad ) m b ] Multiplicando la unción por el número se obtienen las desiualdades ) m b ] si ; ) m b ] si Por el punto )) pasa la ráica de la unción y ) y su recta tanente en : y m ) b está por abajo de la curva cuando y está por arriba de la misma cuando Se obtienen las órmulas m m b b Adicionalmente se puede mostrar que la unción ) C tiene una única recta tanente es decir se puede demostrar la unicidad de la recta Sea ) C ar Otros casos se demuestran del mismo modo Se aplicará el método de la reducción al absurdo Supónase que eiste otra recta : y m b con m m m ó b b que pasa por el punto )) ) m b tal que la b raica de la unción y ) está por arriba de la recta En este caso se cumple ) m b ] en una vecindad del punto Al dividir por se tiene m b m b ) ] donde m ó b que es una contradicción con el hecho de que la ráica de está por arriba de ) Car Fórmula para el producto Finalmente es posible mostrar la propiedad de la recta tanente del producto dos unciones y Sean y ) y ) y ) ) la recta tanente de la clase T ) que pasa por el punto )) tiene por ecuación y m b ; la recta tanente de la clase T ) que pasa por el punto )) tiene por ecuación y m b Entonces la recta tanente de la clase T ) que pasa por el punto ) )) tiene por ecuación m y m b donde m ) m ) b ) ) m ) Car y ) Car [ m b ] [ b ] Demostración: Sólo se trata el caso desiualdades por lo tanto se cumplen las m ; y en el punto las pendientes son positivas m m Los otros casos son análoos De Airmación las unciones F ) F ) G G adicionales son F ) ) m b ] y G ) ) m b ] las cuales tienen un mínimo local en el punto es decir )) Entonces por deinición se cumplen en una vecindad del punto las desiualdades ) m b ] ó ) [ m b ]; ) m b ] ó ) [ m b ] Multiplicando las dos últimas desiualdades se obtiene ) ) [ m b ][ m b ] realizando operaciones elementales y simpliicando se tiene que 39

6 Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol 9 ) ) m ) m ) ) ) m ) m ) 2 m m ) ) m ) ) ) m ) m ) Por el punto ) )) pasa la ráica de la unción y ) ) y la recta y m la ráica de : y ) ) está por arriba de Finalmente se obtienen las órmulas m m ) m ) b ) m Obsérvese que la pendiente ) del producto de dos unciones m tiene una orma similar a la derivada del producto de dos unciones Conclusiones Este tipo de resultados son un tanto sorprendentes para la mayoría de los estudiantes no esperan poder calcular la pendiente de la recta tanente que seún la interpretación eométrica es la derivada) sin el uso de la derivada La sorpresa enera interés y el mismo posibilita llevar a los estudiantes a las matemáticas Con este trabajo se concluye una primera parte de un método alternativo para abordar alunas de las nociones básicas del cálculo en el que esencialmente se presentan las construcciones respectivas de las ecuaciones de rectas tanentes para polinomios unciones raíces trionométricas eponenciales y loarítmicas Adicionalmente a la investiación sobre unciones elementales se incorpora una eneralización de la construcción de la recta tanente para unciones que a su vez se obtienen a través de operaciones aritméticas entre ellas El tratamiento aquí presentado posibilita el tránsito entre el precálculo y el cálculo a través de una propuesta didáctica en la que se busca articular a los saberes matemáticos de la recta tanente a una unción crecimiento y decrecimiento máimos y mínimos concavidad y la resolución de desiualdades BIBLIOGAFIA ondero C Karelin O & Tarasenko A 24) Métodos alternativos en la búsqueda de los puntos críticos y derivadas de alunas unciones En Díaz Moreno L Ed) Acta Latinoamericana de Matemática Educativa volumen 7 pp ) Tutla Gutiérrez Méico: CLAME Boyer C & Merzbach U 989) A History o Mathematics Nueva York EEUU: John Wiley Edwards CH 979)The Historical development o the Calculus Nueva York EEUU: Spriner-Verla Kline M 972) Mathematical Thouht rom Ancient to Modern Times Nueva York EEUU: Oord University Press Stewart J 999) Cálculo Conceptos y Contetos Méico: International Thomson Editores 39