Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM LA DERIVADA

Transcripción

1 Águeda Mata Miguel Rees, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 3.1. LA DERIVADA Derivada de una unción en un punto Sea = () una unción deinida en un entorno del punto a R. Se dice que es derivable en a si eiste es inito el límite () (a) lim a a que se llama derivada de en a, se representa por (a). Haciendo el cambio de variable = a + h en el límite, se obtiene otra epresión para la derivada: () (a) (a + h) (a) (a) a a h 0 h Otras notaciones para la derivada de = () en a son: (a), D(a), d d d (a), d (a),... Intuitivamente, una unción es derivable en un punto si su gráica se traza alrededor del punto de orma suave, es decir, sin cambios bruscos de dirección Ejemplo Halla la derivada de la unción = 1/ en = Derivada continuidad Si una unción es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto. El recíproco no es cierto, pues una unción puede ser continua no derivable en un punto. () (a) Demostración: Si es derivable en a, entonces eiste el límite lim, puesto que el denominador tiende a cero también lo ha de hacer el numerador, en cuo caso lim () = (a) la unción a a a es continua en a. El recíproco no es cierto pues, por ejemplo, la unción () = es continua en = 0 no es derivable: () (0) lim = 1, si 0 1, si 0 + = no eiste el límite = no eiste (0) Observación: Como consecuencia de lo anterior, si una unción no es continua en un punto no puede ser derivable en dicho punto. Por tanto, antes de estudiar la derivabilidad de una unción, se debe estudiar la continuidad Interpretación geométrica de la derivada La derivada de en a es la pendiente de la recta tangente a la gráica de en el punto a, que se conoce como pendiente de en a. () s P () (a) A (a) a O a a P A secante s tangente t (a) O a A t Pendiente de la secante: () (a) a () (a) Pendiente de la tangente: lim = (a) a a

2 Águeda Mata Miguel Rees, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM Rectas tangente normal a una curva Sea una unción derivable en a. Puesto que la derivada coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráica, la recta normal a una curva es la perpendicular a la tangente, se tiene que: (a) O a tangente normal Recta tangente a en a: (a) = (a)( a) Recta normal a en a: (a) = 1 ( a) (a) (si (a) 0) Ejemplo Halla las ecuaciones de las rectas tangente normal a la gráica de la unción = Derivadas laterales en = 3. La no eistencia de derivada, o del límite que en ella aparece, se debe con recuencia a que los límites laterales son distintos. En estos casos, como en los que la unción sólo está deinida a uno de los lados del punto, tiene sentido deinir: Derivada lateral por la derecha: Derivada lateral por la izquierda: (a + () (a) (a + h) (a) ) a + a h 0 + h (a () (a) (a + h) (a) ) a a h 0 h Obviamente, una unción deinida en un entorno de un punto es derivable si sólo si eisten las derivadas laterales ambas coinciden. Cuando eisten las derivadas laterales pero no coinciden, la unción no es derivable. En este caso, la gráica de la unción no tiene tangente en el punto, pero sí tiene tangentes laterales se dice que presenta un punto anguloso. O a Cuando la unción está deinida en el etremo de su intervalo de deinición, se llama derivada en ese punto a la derivada lateral correspondiente Derivada de una unción deinida a trozos en los puntos cambio Si g h son derivables en a g(a) = h(a), entonces: g(), si a () = h(), si > a = como queda de maniiesto usando la deinición: (a ) = g (a) (a + ) = h (a) (a () (a) g() g(a) ) = g (a ) = g (a) a a a a (a + () (a) h() h(a) ) = h (a + ) = h (a) a + a a + a

3 Águeda Mata Miguel Rees, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM Derivadas de operaciones con unciones Si g son derivables en a, entonces también son derivables en a, su derivada es la que se indica, las siguientes unciones: (k) (a) = k (a), k R ( ± g) (a) = (a) ± g (a) (g)) (a) = (a)g(a) + (a)g (a) ( ) (a) = (a)g(a) (a)g (a) g g(a) 2 ( ) 1 (a) = g (a) g g(a) 2 siempre que, en el caso de los cocientes, g(a) Derivada de la composición de unciones. Regla de la cadena Si es derivable en a g es derivable en (a), entonces g es derivable en a (g ) (a) = g ((a)) (a) (regla de la cadena) Demostración: Al ser derivable en a, es continua en a, por tanto, () (a) cuando a. Entonces: ( ) (g ) (g )() (g )(a) g(()) g((a)) () (a) (a) = a a a () (a) a () (a) g(()) g((a)) () (a) Derivada de la unción inversa () (a) lim = g ((a)) (a) a a Si es una unción invertible derivable en a con (a) 0, entonces su unción inversa 1 es derivable en (a) = b su derivada es ( 1 ) (b) = 1 (a) Función derivada. Derivadas sucesivas Dada una unción : D R, se llama unción derivada a aquella unción que en cada punto nos da, si eiste, el valor de la derivada de, se representa por. : D R con D D () h 0 ( + h) () h Puesto que la unción derivada es una nueva unción, se puede volver a derivar para obtener la derivada segunda (o de orden 2) de, así sucesivamente: () = ( ) ( + h) () () ; = ( ) h 0 h ; iv = ( ) ; v ; vi ;... ; n) ;... Se dice que es una unción de clase n en D si admite son continuas hasta la derivada de orden n en D. El conjunto de todas las unciones de clase n en D se representa por C n (D) Ejemplo Halla todas las unciones derivadas de =

4 Águeda Mata Miguel Rees, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM Tabla de derivadas elementales A partir de la deinición de derivada de las derivadas de operaciones con unciones, regla de la cadena unción inversa, se pueden hallar todas las derivadas que aparecen en la siguiente tabla de derivadas elementales: () () () () () () 1 1 k 0 ln arcsin 1 2 p (p 0) p p log a ln a arccos 1 2 n 1 n n 1 sin cos arctan n e e cos sin sinh cosh a a 1 ln a tan cos 2 = 1 + tan2 cosh sinh Notación dierencial Otra notación para las unciones derivadas, llamada notación dierencial, es la siguiente: = () = d d ; = () = d ( ) d = d2 d d d 2 ; = () = d3 d 3 ;... ; n) = n) () = dn d n ;... Esta notación es mu útil al usar la regla de la cadena: = g () = = g(u), con u = () = d d = d du du d = h g () = = h(w), = g(u), u = () = d d = d dw dw du du d también en el cálculo de la derivada de la unción inversa: Ejemplo d d = ( ) d 1 d 1. Usa la regla de la cadena para hallar las derivadas de las unciones: (a) = sin 2 ; (b) = e sin2. 2. A partir de la derivada de = sin, obtén la derivada de = arcsin Derivación implícita logarítmica Cuando una unción viene deinida implícitamente, por ejemplo: = 3 1 su derivada se puede obtener directamente derivando los dos miembros de la epresión anterior. Para ello se usa la regla de la cadena se tiene en cuenta que, al ser unción de, su derivada es. En el ejemplo, al derivar se obtiene: = 3 = ( ) = En general, se puede usar la siguiente órmula: = = ( ) (, ) = 0 = d d + d d = 0 = = d d d d

5 Águeda Mata Miguel Rees, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM. 5 Para hallar la derivada de una unción potencio-eponencial = () g() se procede así: 1. Se toman logaritmos eliminando la potencia: ln = g() ln (). 2. Se deriva implícitamente: = g () ln () + g() () (). [ ] 3. Se despeja la derivada: = g () ln () + g() () () () g(). Esta técnica, llamada derivación logarítmica, se usa también para hallar derivadas de ciertas epresiones mu complicadas Ejemplos 1. La epresión 3 2 = 4 deine implícitamente a la como unción de. Halla sus dos primeras derivadas. 2. Halla las derivadas de las unciones: (a) = sin ; (b) = Fórmula de Leibniz Derivando sucesivamente el producto = ()g() se obtiene: = ()g() + ()g () = ()g() + 2 ()g ) + ()g () = ()g() + 3 ()g () + 3 ()g () + ()g (). ( n n) = 0 n = k= Ejemplo ) n) ()g() + ( ) n n k) ()g k) () k ( ) n n 1) ()g () ( ) n n 2) ()g () (órmula de Leibniz) ( ) n ()g n) () = n Calcula, usando la órmula de Leibniz, las tres primeras derivadas de la unción: = Interpretación ísica de la derivada. Aplicaciones Si (t) representa el espacio recorrido por un móvil en el instante t, su derivada es, como conoces de Física, la velocidad instantánea del móvil en dicho instante: (t + h) (t) (t) = v(t) h 0 h la derivada de la velocidad es la aceleración: a(t) = v (t) = (t). En general, la derivada de = () es la velocidad con que varía respecto de Ejemplos 1. Un objeto se mueve sobre el eje de abscisas su posición en cada instante viene dada por (t) = t 3 12t t 27. Describe su movimiento en el intervalo de tiempo 0 t Un globo esérico se epande creciendo su radio a razón de 2cm/min. Con qué rápidez crece el volumen de globo cuando su radio es de 5cm?

6 Águeda Mata Miguel Rees, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM Aproimación de una unción. La dierencial d Si es derivable en a, entonces: t (a)h (a + h) (a) (a+h) (a) h 0 h, por tanto: (a) (a + h) (a) (a)h cuando h 0 de donde, llamando a a + h, se obtiene la órmula para obtener valores aproimados: () (a) + (a)( a) cuando a O h a a+h Se llama dierencial de la unción en a a la unción lineal: d : R R h d(h) = (a)h cua representación gráica es la recta d que pasa por el origen es paralela a la tangente a la gráica de en a (véase igura) Ejemplos 1. Usando la unción () =, halla un valor aproimado de Los beneicios acumulados por una empresa a los t años de su undación vienen dados por B(t) = 2t 2 t+4 4, en miles de euros. Usa la derivada para hallar los beneicios aproimados de la empresa durante el año doceavo después de su undación El método de Newton-Raphson para el cálculo de raíces Es un método iterativo para el cálculo aproimado de raíces de una ecuación () = 0, se ilustra en la igura: O α O 1 2 Para aproimar la raíz α de la ecuación () = 0, se parte de un punto próimo 1 se construe la sucesión 1, 2, 3,...} donde n+1 es el punto de corte con el eje de abscisas de la tangente a la gráica de en = n, es decir: ( n ) = ( n )( n ) = =0 n+1 = n ( n) ( n ) La sucesión converge mu rápidamente a la raíz siempre que, como en los casos de la igura, se cumpla que () () > 0 en (α, 1 ) o en ( 1, α) Ejemplo Usa el método de Newton-Raphson para hallar un valor aproimado de la raíz positiva de la ecuación 2 3 = 0. 3α

7 Águeda Mata Miguel Rees, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM. 7 PROBLEMAS RESUELTOS 1. Estudia la derivabilidad en = 0 de cada una de las siguientes unciones: 2, si > , si > 0 (a) () = (b) () = 2 3 (c) () =, si 0 2 1, si 0 2. Estudia la continuidad derivabilidad en = 0 de las unciones: sin 1 () =, si 0 2 sin 1 g() =, si 0 0, si = 0 0, si = 0 Haz un esbozo de sus gráicas. 3. Calcula la derivada de las siguientes unciones: 2 ( 1 + (a) = (2 1) 3 (c) = sin (e) = (g) = ln arccos 1 ) (b) = ln(ln ) (d) = ln ( 1 + ) () = sin(sin(sin )) (h) = arctan ( tan 2 ) 4. Halla la unción derivada, estudia su continuidad, de: + 2 sin 1 () =, si 0 0, si = 0 g() = Determina a, b c para que sea derivable la unción: ln, si 0 < 1 () = a 2 + b + c, si 1 < 3 3, si > 3 6. Calcula, mientras eistan, las derivadas sucesivas de () = 3 en = Halla la derivada de respecto de en las siguientes epresiones implícitas: (a) 2 ( ) 2 = 2 2 (b) arctan = ln Halla la derivada segunda de respecto de en cada una de las siguientes epresiones implícitas: (a) 2 2 = 2 (b) = tan Halla la ordenada las dos primeras derivadas (de respecto de ) en el punto de abscisa = 2 de la curva de ecuación = 0. Cuál es la ecuación de la recta tangente en dicho punto? 10. Halla la ecuación de la recta normal a la curva = 3 en el punto (1, 1). 11. Halla todos los puntos con tangente vertical de la cardioide: ( 2 + 2) 3/2 = Halla la derivada de la unción = (1 + ) ln(1+). 13. Halla la derivada de orden 25 de la unción = 2 e. 14. Halla la unción derivada de () = arctan sin en = π/2. 1+cos, las ecuaciones de las rectas tangente normal 15. Determina el ángulo que orman las curvas = 2 1 e = 3 3 en sus puntos de corte.

8 Águeda Mata Miguel Rees, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM Halla a, b c para que sea máimo el orden de contacto de las unciones () = g() = a 2 + b + c en = 0. Cuál es dicho orden? 17. Una eplosión proecta hacia arriba diversos escombros con una velocidad inicial de 25 metros por segundo. (a) En cuántos segundos alcanzarán su altura máima? (b) Cuál es esa altura máima? (c) Cuál es su aceleración cuando alcanzan una altura, subiendo bajando, de 10 metros? 18. Una copa en orma de cono invertido, de 12 centímetros de diámetro superior 9 centímetros de altura, está llena de agua. La copa pierde agua por el vértice inerior a razón de 2 centímetros cúbicos por minuto. A qué velocidad está bajando el nivel del agua en el instante en que tiene 4 centímetros de proundidad? 19. Un barco navega por el océano con rumbo sur dirección hacia puerto a una velocidad de 40 km/h. Otro barco se aleja del puerto en dirección oeste a una velocidad de 20 km/h. Al mediodía, el primer barco se halla a 150 km del puerto el segundo a 65 km. A qué ritmo cambia la distancia entre los dos barcos? Comprueba si se acercan o se alejan entre sí. 20. Una partícula se mueve sobre la curva = cos(1 + 2), siendo su abscisa (t) = t en el instante de tiempo t. Con qué velocidad se desplaza en las direcciones horizontal vertical en t = 2? CUESTIONES 1. Contesta razonadamente si son ciertas o alsas las siguientes airmaciones: (a) Una unción continua en un intervalo es derivable en todos sus puntos del interior. (b) Una unción es derivable en un punto si es continua eisten sus derivadas laterales en el punto. (c) Si una unción es continua en un punto, entonces es derivable en el punto. (d) Si una unción es derivable en un punto, entonces es continua en el punto. (e) La unción derivada es siempre continua. () Los polinomios admiten ininitas derivadas. (g) Si una unción es derivable ininitas veces, entonces es un polinomio. 2. Demuestra que si ( a) 2 es un actor del polinomio p(), entonces a es un actor de p (). 3. Sea una unción derivable en toda la recta real. Demuestra que si es par (impar) entonces es impar (par). 4. Sea una unción continua que veriica: () () k 2, para cualesquiera, R, con k > 0. Demuestra que es constante. 5. Usando la órmula de la derivada de la unción inversa, halla la derivada de las siguientes unciones: = arcsin, = arccos, = arctan, = arcsinh, = arccosh e = arctanh. 6. Sean g dos unciones derivables en R tales que (0) = g(0) = 0. Demuestra que es imposible la igualdad ()g() =, para todo R.

9 Águeda Mata Miguel Rees, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM. 9 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Estudia la derivabilidad de las siguientes unciones en el punto que se indica: (a) () = 3 2, si < 1, en = 0 (b) () = 3 2, si 1, en = 1 2. Halla las derivadas de las unciones hiperbólicas (seno, coseno tangente). 3. Halla las siguientes derivadas: (a) d [ d ] [ d d ( 2 ) (b) d2 d 2 ( 2 3) d ] d ( + 1 ) [ (c) d3 1 d 2 ] d 3 d 2 (4 5 2 ) 4. Halla la unción derivada, estudia su continuidad, de () = Halla a b para que sea derivable la unción 2, si 0 2 () = a + b, si 2 < 4 6. Estudia la derivabilidad de la unción = + 1 arccos( + 1). 7. Halla la derivada de las siguientes unciones: () = u() 2 + v() 2 g() = u [v() sin v()] h() = u [v() + w(v())] 8. Calcula, mientras eistan, las derivadas sucesivas de () = 3 en = Calcula simpliica la derivada de las siguientes unciones: (a) = 2 arctan ln (b) = ln tan 2 + tan (c) = (1 + ) ln(1+) 10. Halla la derivada de respecto de en las siguientes epresiones implícitas: (a) = 2 (b) + sin = (b) + = Halla la derivada segunda de respecto de en cada una de las siguientes epresiones implícitas: (a) = 1 (b) = Halla la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en el punto que se indica: (a) = 13, en ( 2, 3) (c) sin( ) =, en (0, π) (b) ( 2 + 2) 2 = 4 2, en (1, 1) (d) = 0, en (2, 1) 13. Halla el ángulo que orman las circunerencias = ( 1) 2 = 1 en sus puntos de intersección. 14. Halla la derivada de la unción = Sea : [2, 4] R deinida por () =. Halla ( 1) (27). 16. Calcula el orden de contacto de las unciones () = 3 1 g() = en = Estudia el movimiento de un objeto que se mueve, a partir del instante t = 0, sobre un eje donde su posición viene dada en cada instante por la ecuación: (a) (t) = t 3 3t 2 + 3t (b) (t) = t 4 4t 3 + 6t 2 6t 5

10 Águeda Mata Miguel Rees, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM Se deja caer una piedra desde una altura de 500 metros. Cuántos segundos tardará en alcanzar el suelo? Cuál es su velocidad en el momento del impacto? 19. La supericie total de un cilindro circular recto de radio r altura h viene dada por la órmula A = 2πr(r + h). Halla la velocidad de variación de: (a) A respecto de h cuando r permanece constante; (b) A respecto de r cuando h permanece constante; (c) de h respecto de r cuando A permanece constante. 20. La arista de un cubo decrece a una velocidad de 3 centímetros por segundo. Cómo cambia el volumen del cubo cuando la arista mide 10 centímetros? 21. Un balón se inla de tal orma que su volumen crece a razón de 36π cm 3 /seg. Halla la velocidad de crecimiento de radio cuando mide 3 cm. ( 22. Una partícula se mueve en la órbita circular ) = 1. Cuando pasa por el punto 1 2, 3 2 su ordenada disminue a razón de 3 unidades por segundo. Con qué rapidez varía su abscisa? 23. Una nave espacial se lanza verticalmente, siendo h = 15t 2 metros su altura a los t segundos del lanzamiento. Para un observador que se encuentra a un kilómetro del lugar del lanzamiento, a qué ritmo cambia el ángulo de elevación de la nave 10 segundos después del despegue? 24. Un depósito con orma de cono invertido se llena a razón de 250 l/min. La altura del depósito es de 7, 5 m el radio de la parte superior de 3, 5 m Con qué rapidez sube el nivel del agua cuando la proundidad es de 5 m? Y cuando el agua se desborda? 25. La unción () = 1 cambia de valor cuando pasa de valer 0, 5 a valer 0, 6. Calcula: (a) el incremento eacto que se produce en el valor de la unción; (b) el valor de la dierencial d en 0, 5 con un incremento h = = 0, 1; (c) el error cometido al estimar mediante d. 26. Estima, mediante dierenciales, los valores de las siguientes epresiones: (a) ; (b) 33 3/ El diámetro de una bola de acero mide 16 centímetros con un error máimo de 0, 3 centímetros. Calcula mediante dierenciales el error máimo cometido en el cálculo de su supericie (S = 4πr 2 ) en el cálculo de su volumen (V = 4 3 πr3 ). 28. Un avión se desplaza en vuelo horizontal a 8 km de altura (se supone la Tierra plana). La ruta de vuelo pasa por la vertical de un punto P del suelo. La distancia entre el avión el punto P disminue a razón de 4 km/min en el instante en que esta distancia es de 10 km. Calcula la velocidad del avión en ese instante (en km/h). 29. Halla la linealización de la unción () = sin alrededor del punto = 0. Qué relación eiste con las linealizaciones de las unciones = + 1 e = sin alrededor de dicho punto? 30. Aplicando el método de Newton-Raphson a partir del punto que se indica, halla una raíz aproimada de cada una de las siguientes ecuaciones, justiicando la aproimación obtenida. (a) = 0, 1 = 2 (b) cos =, 1 = 1