EJERCICIOS PROPUESTOS

Transcripción

1 Derivadas EJERCICIOS PROPUESTOS y. Ejercicios resueltos.. Aplicando la deinición de derivada, decide si las siguientes unciones son derivables en los puntos indicados y calcula, si eiste, la derivada. en en 0 en d) sen en Se epresa como una unción deinida a trozos: si 0 si 0 si 0 si Luego 0 0. d) 0 sen Estudia si las siguientes unciones son derivables en el punto en el que se cambia su deinición. si 0 si 0 si si En todos los casos se comienza estudiando si la unción es continua en los puntos donde cambia su deinición, porque si no lo es, no será derivable. La unción es continua en 0 porque Luego no eiste el límite, por tanto, la unción no es derivable. La unción es continua en porque Luego 8 Unidad Derivadas

2 5. Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en el punto de abscisa 0. La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto 0 es y Luego la recta tangente es y y y la recta normal es y y. 6. Calcula el área del triángulo ormado por el eje vertical y las rectas tangente y normal a la curva en el punto de abscisa, previa deducción del número. ' La recta tangente tiene pendiente m - y pasa por el punto A, A,, luego su ecuación es y y la recta normal en A, tiene pendiente m, luego su ecuación es y. Hay que calcular el área del triángulo rectángulo cuyos vértices son O 0, 0, A, y B 0,. Por tanto, el área es u. 7. La tangente a la curva y en el punto P, pasa también por el punto Q,0 calcula.. Si, La ecuación de la recta que pasa por Q con pendiente es y. Además, como la recta pasa por el 5 punto P,, entonces. 8 y 9. Ejercicios resueltos. Derivadas Unidad 9

3 0. Para una unción : 0, cuya gráica es la de la igura, esboza las gráicas de y y y '.. Si, eisten los números ' 0 y '? si si si si Se estudia que ocurre con : 0 0 si si Así pues, si si que, como ya se sabe, no es derivable en, pues ' Si, ' si. Luego ' 0. si 50 Unidad Derivadas

4 . Sea la unción si 0 si 0. Calcula, si eisten:, ', 0, ' 0, y '. Si 0, 0 0 y ' 0 0 Se sabe que y '. Si 0, 0 0 y, por tanto, ' 0 Así pues, si 0 si 0 y ' 0 Para calcular las derivadas en 0 se observa primero si y son continuas allí y se calculan los límites laterales: 0 : , así pues, 0 0 ' 0 : 0 0, así pues, no eiste ' Es la siguiente unción derivable en 0? si 0 si ' Luego la unción no es derivable en 0. Derivadas Unidad 5

5 . Es derivable en, 0 y? si si 0 si 0 si Luego la unción es derivable en y La unción no es derivable en 0. ( ) 8 ( ) 5 Por tanto, la unción no es continua en y, en consecuencia, no es derivable en. 5 a 8. Ejercicios resueltos. 9. Calcula la derivada de las siguientes unciones d) 5 e) 6 ) d) e) 6 8 ) Unidad Derivadas

6 0. Calcula, sin usar la derivada del cociente, la derivada de las unciones siguientes Calcula la derivada de la unción tangente sea orizontal?. Hay algún punto en la gráica de en el que la La derivada es. La tangente en un punto es orizontal si la derivada se anula. Es decir, buscamos valores de tales que 0, como 0 no tiene soluciones reales. Por tanto, no ay ningún punto con tangente orizontal. y alla la abscisa de los puntos de la curva en los que la. Calcula la derivada de tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante, y. La derivada es. Se buscan los puntos en los que la pendiente de la recta tangente sea. Para ello se igual la derivada a. 0, Luego la abscisa de los puntos buscados es 0 o.. Demuestra que, para cualesquiera números reales a y b (no simultáneamente nulos), la gráica de a b y no tiene ninguna tangente orizontal. a b La derivada es y ' ab a b. Si tuviera tangente orizontal, entonces y ' 0. Luego Si a 0, b 0, entonces y, recta paralela al eje X. Si a 0, b 0, entonces y, recta paralela al eje X. ab a b 0 a 0, b 0.. Comprueba que las unciones y g derivadas, sabrías deducir que iban a ser iguales? tienen la misma derivada. Sin calcular las g ' Sí se podría deducir que iban a ser iguales porque g. Luego, g. Por tanto, sus derivadas son iguales. Derivadas Unidad 5

7 5 a 7. Ejercicios resueltos. 8. Copia y completa la siguiente tabla. g g ' g g ' g g ' g g ' Sean y g 5. Calcula. t g y t ' g y g ' Comprueba que el resultado del apartado coincide con el resultado del producto de las unciones del apartado. t g g t '. Luego 5 0 g y g ' g g' t ' 0 y. Ejercicios resueltos.. Calcula, utilizando la derivada de la unción inversa, la derivada de la unción: n Elevamos a n, tenemos que n y derivamos ambos miembros. n n. Despejando obtenemos n n n n n n n n 5 Unidad Derivadas

8 . Calcula la derivada de las siguientes unciones. d) 8 d) Calcula en cada caso, el valor de a: 0 ' 0 a ' a 5 a 5 ' 6 ' 0 ' 0 5 ' 6 5. Calcula la ecuación de la tangente a la curva derivada de dica unción. y 5 en el punto de abscisa, previa deducción de la Como 5 y 5, se tiene que. Derivando se obtiene: 5 5 5, luego 5 5 por lo que 5 5. Por tanto, la ecuación de la recta tangente buscada es 8 y Calcula la derivada de de la inversa de la unción. La unción inversa de es. Teniendo en cuenta que, se obtiene: ' Derivadas Unidad 55

9 7 y 8. Ejercicios resueltos. 9. Halla la derivada de las siguientes unciones. e e 5 7 e 6 e e 6 e Escribimos ln7 ln7 7 e e ln7 e ln ln7 0. Obtén la ecuación de la tangente a la curva y e en el punto de abscisa. e y. Por tanto, la ecuación de la recta tangente es: y.. Determina si eiste algún punto con tangencia orizontal en la curva: y e Igualando la derivada a cero: e 0. No obstante, como la derivada no se anula nunca, ya que tanto como e son positivas, la curva no tiene tangentes orizontales.. Obtén la ecuación de la tangente a la curva e y e en el punto de abscisa 0. e e e, 0 y 0, luego la recta tangente es y. a 5. Ejercicios resueltos. 56 Unidad Derivadas

10 6. Calcula la derivada de: ln ln ln d) log (si se escribe ln se obtiene la derivada con mayor acilidad). 8 8 ln ln d) Se escribe ln ln ln ln, entonces 8. ln 7. Calcula la ecuación de la tangente a la curva y ln trazada desde el origen. La ecuación de la recta tangente a la curva por el punto a, a es y lna. a Si pasa por el origen debe ser 0 lna, entonces lna, a e y la ecuación buscada es y e. 8. Hay algún punto de la gráica de y ln con tangente orizontal? Como D, y orizontales. no se anula en ese intervalo, por tanto, la gráica no tiene tangentes 9. Calcula, simpliicando al máimo, la derivada de la unción: ln e e Derivando directamente obtenemos e e e e e e e. e e Si antes de derivar usamos las propiedades de logaritmos para reescribir la unción: ln e ln e, entonces se obtiene también: e e e e e e 50. Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva sen en el origen. 0 cos0 y 0 0. Así pues, la recta tangente es y. Derivadas Unidad 57

11 5. Hay algún punto de la gráica de tg en el que la tangente esté menos inclinada que la bisectriz del primer cuadrante?, luego las tangentes a la curva siempre tienen pendiente mayor que. Por tanto, no eiste un cos punto donde la tangente a la gráica de la unción esté menos inclinada que la bisectriz del primer cuadrante. 5. Obtén la derivada de las unciones: sen e sen cos e e cos sen 5. Encuentra los puntos con abscisa en 0, para los que la tangente a la curva sen cos es orizontal. cos sen 0 si cos sen, luego o 5 Los puntos buscados son P, y Q,. 5. sen 5. Pon tu calculadora en grados y obtén, con ayuda de la misma, 0 obtenido en radianes y justiica la ventaja de utilizar radianes en Análisis.. Compara el resultado con el 0,º 0,º 0,0 0,00º 0,0758 0,0758 0,0759 0,0759 El límite es Halla las derivadas de las unciones: sen cos sen cos cos sen sen 6 cos cos 56. Calcula la derivada de las siguientes unciones. arcsen arccose arctg ln d) arcsen arccos e e ln d) 58 Unidad Derivadas

12 57. Deriva arcsen arccos y eplica el resultado. 0 La razón de este resultado es que arccos arcsen y al derivar ambos miembros se obtiene: arccos arcsen ' Deriva las unciones: arctg arctg arctg tg arctg arctg arctg tg tg arctg cos 59. Ejercicio interactivo. 60. Calcula, mediante derivada logarítmica las derivadas de: con 0 sen con 0 ln ln ln ln ln sen sen sen sen ln ln sen ln cos ln cos ln 6. Si y g son unciones positivas y derivables, deduce la derivada de g y logarítmica. g mediante derivación ln g ln lng, derivando, se obtiene: g ' g ' g g g ' g g ' ln ln lng, derivando se obtiene: g ' g g' ' g g ' g g g g Derivadas Unidad 59

13 6. Calcula mediante derivación logarítmica la derivada de las siguientes unciones sin preocuparte del dominio de las unciones que aparecen ni de su signo. arctg d) ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln arctg ln arctg ln arctg arctg ln arctg arctg arctg ln ln ln Por el ejercicio 60 sabemos que ' ln ' ln ln ln ln ln d) ln ln ln ln ln 6. Obtén, en P,, la ecuación de la tangente a la curva: y cos y. Derivando la epresión, se obtiene: y sen y y ' cos y y ' 0, si π, y y se obtiene: y ' y ' 0, luego y ' y la ecuación de la recta tangente es y. 6. Obtén la ecuación de la tangente a la curva implícita y despejando y. y en P, de dos ormas: utilizando la derivación Derivación implícita: yy ' 0 en, y se tiene Despejando y (observa que está cerca de y y y ', en, y ' y '., luego y es positivo):. Así pues la recta tangente es y. 60 Unidad Derivadas

14 65. Calcula, derivando implícitamente, la derivada segunda en cada punto de la circunerencia y 9. Derivando una vez tenemos: yy ' 0, luego y ' y. Derivando de nuevo tenemos: y ' yy '' 0. Por tanto, y '' y ' y y 9 9 y y y y Usa la derivación implícita para calcular la pendiente de la recta tangente a la curva dada en el punto de abscisa. y 7, si y y 6 y, si 0 Se deriva: y y y ' 0. Si, entonces y. Por tanto, y '. La ecuación de la recta tangente es y 5. Se deriva: y y ' y 6 y y ' y '. Si 0, entonces y. Por tanto, y ' 8. La ecuación de la tangente es: y Usa la derivación implícita para calcular ' si:. Se deriva una vez la epresión: Se deriva esta epresión: ' 0 ' ' Por tanto: ' 9 68 y 69. Ejercicios resueltos. 70. Las aproimaciones lineales son útiles solo si es pequeño. Justiica esta airmación obteniendo con la calculadora 7 considerando 7 como cercano a 00 en lugar de a. Con la calculadora obtenemos 7 0,8665. Con la aproimación lineal tomando como ,85 0 Sin embargo, si acemos la aproimación con obtenemos: ,8 Derivadas Unidad 6

15 7 7. Utiliza las dierenciales para aproimar el valor de,00,00 5,00 y compara el resultado con el número obtenido directamente con la calculadora. Se considera 7 5, Por tanto, 56 y 5. Valor de la aproimación lineal: L,00 0, ,5 56,5. Con la calculadora se obtiene: 56, a 8. Ejercicios resueltos. EJERCICIOS Derivada de una unción en un punto. Interpretación geométrica 8. Calcula, usando la deinición, las derivadas de las siguientes unciones en los puntos indicados. en en ' Eplica por qué no eisten las derivadas de las unciones siguientes. en 7 en La unción no es continua en = (tiene una asíntota vertical) y, por tanto, no es derivable. si 0. Luego no eiste la derivada porque no eiste si Unidad Derivadas

16 86. Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes unciones en los puntos indicados. si en si 7 si 7 si en 6 si si en Continuidad:. Luego la unción es continua en. Derivabilidad:. Luego la unción es derivable en y. Continuidad: 7, es continua en. 7 y. Por tanto, la unción Derivabilidad: unción es derivable en y.. Por tanto, la Continuidad: es continua en. 6, y. Por tanto, la unción Derivabilidad: Por tanto la unción no es derivable en. Derivadas Unidad 6

17 87. Calcula la ecuación de la recta tangente a cada gráica en el punto indicado. Comprueba a continuación tu respuesta representando, con ayuda de una calculadora gráica o un ordenador, la gráica de la unción y la recta tangente. en A, g en B, g en C 0, 0, 6 y 0 Recta tangente: y 6 8 g g g ' Recta tangente: 5 y y g t 0 ' 0 t t t 0 t t 0 t t 0 t t 0 Recta tangente: y 88. Halla los puntos de intersección de las unciones y e tangente a y es perpendicular a y. y. Comprueba que en dicos puntos la o. Calculamos la pendiente de la tangente en los puntos y. ' ' Luego las rectas tangentes son y e y, ambas perpendiculares a y. 6 Unidad Derivadas

18 89. Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráica de Representa gráicamente la parábola y las dos tangentes obtenidas. y trazadas desde el punto P,. a a y ( a, la ecuación de la recta tangente a la parábola por el punto A a, a es y a a. Si se quiere que pase por el punto P, debe ser a a cuyas soluciones son a y a y las tangentes buscadas son y y y. 90. Sea a b. Halla los valores de a y b para que la recta y sea tangente a la gráica en el punto P,. Como la parábola pasa por P, debe ser a b. Además, como la tangente en ese punto tiene pendiente, debe ser a, luego a y b. 9. Halla todas las tangentes a la curva y que pasen por P,0. La tangente a la curva por el punto de abscisa debe ser 0 8a a cuyas soluciones son a 0 y Luego las tangentes buscadas son y 0 e a tiene ecuación 8 a. 8 y 8. y a a. Para que pase por P,0 9. Halla el área itada por la recta y, la normal a la curva tangente a la parábola y en el punto de abscisa. y 5 en el punto de abscisa y la Se representa gráicamente dica área. Para ello se alla la normal a la curva y 5 en el punto de abscisa :, y 8 Y la tangente a la parábola y en es y. Se allan los puntos de intersección de las tres rectas: A,, B, y C 6, 5 5 El área es A,9 u. 5 Derivadas Unidad 65

19 9. Halla el valor de los números reales a y b sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la curva de ecuación y a b en el punto P, vale 5. Sabemos que y 5, es decir a b y a b 5, luego b y a con lo que la ecuación de la parábola es y. Función derivada. Derivadas laterales 9. Aplicando la deinición, calcula la derivada de las unciones siguientes en los puntos en los que estén deinidas. si si Demuestra que la segunda derivada de una unción polinómica de segundo grado es siempre una unción constante. Cuánto vale esa constante? P a b c ; entonces P ' a b y P '' a que es constante. La constante es el doble del coeiciente principal. 96. Encuentra un polinomio sabiendo que ; ; ' 0 ; '' n), y 0 si n. Como las derivadas son cero a partir de la cuarta, el polinomio es de tercer grado: derivadas sucesivas son: a b c, ' 6a b y '' 6a. a b c d y sus Utilizando los valores de la unción y las derivadas en se plantea el sistema 6a 6a b 0 a b c a b c d Resolviendo el sistema se tiene que el polinomio buscado es. 66 Unidad Derivadas

20 97. Calcula las derivadas laterales de la unción en el punto. Es la unción derivable en dico punto? Esboza su gráica. Se escribe la unción a trozos: si si La unción no es derivable en 98. Calcula las derivadas laterales en (si eisten) y decide si las unciones son derivables en dico punto. si si si si d) si si La unción está deinida en,, luego no eiste la derivada lateral dereca. 0. La unción no es derivable en. 0, La unción es derivable en y 0., 0 es derivable en ese punto. 0. La unción no es continua en en y, por tanto, no d), 0. La unción no es derivable en. 0 Derivadas Unidad 67

21 99. Dadas las unciones, g 6 y F g si, calcula: si y y g ' y g' y g' F ' y F ' Es F derivable en? Es F continua en?, y g ' 6, g ' y Observa que F g 7 g ' F F 7 5 F ' F F 6 7 F ' d) Como F ' y F ' no coinciden, la unción F no es derivable en a pesar de que g. El problema es que F no es continua en pues F g 7 F. F y Derivadas de las operaciones con unciones 00. Dadas las unciones y g, calcula: y g' g ' e) ' g) g ' 5 d) g ' ) g ' ) g ' y g' g ' g ' 5 d) g ' g' 9 5 e) ) g) ) g ' g g ' ' g g' g ' g ' g ' 5 g g g 5 68 Unidad Derivadas

22 0. Sea la unción: Represéntala con la calculadora gráica o el ordenador y alla aproimadamente los puntos en los que su gráica admite una tangente paralela a la bisectriz del segundo cuadrante. En la gráica ay dos puntos en los que la tangente es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante. Como se quiere, se calcula: si 0 La solución 0 es ácil de encontrar por tanteo. La segunda solución se aproima con ayuda de la calculadora. En la gráica se observa que está entre y más cerca del. Haciendo una pequeña tabla de valores:,,6,5, 0,6 0,080 0,08 0,005 0,08 Se observa que 0 si,6 y 0 si,5. Luego el punto buscado tiene abscisa,5 Derivada de la composición de unciones 0. Calcula la derivada de las siguientes unciones compuestas Derivadas Unidad 69

23 0. Sabiendo que ; ; g ; g ' 5 y g ' 0, calcula: g ' g ' e) g ' g d) g ' n ) g ' g g ' 5 5 g g' g ' 0 g ' g g g' ' g d) g ' g g ' g' 5 5 g e) g ' g ' 5 g ) n n n n 0. Obtén la derivada de y, a partir del resultado obtenido, escribe la derivada de g. 6 Como g, se tiene que g ' Sea una unción derivable que cumple 8 cualquiera que sea el valor de. Calcula: Derivando la epresión 8 se tiene ' 8 ' 8, para todo. Como 8, entonces ( 8) 8 Derivada de la unción inversa 06. Calcula en cada caso, el valor de b. 5 0 ' 0 b ' 5 b b 6 ' 6 8 ' ' Unidad Derivadas

24 07. Si 0, calcula ' 0. Como y 0, entonces ' 0 0 Derivadas de las unciones eponencial y logarítmica 08. Calcula las derivadas de estas unciones. ln e e 09. Calcula las derivadas de las siguientes unciones en los puntos en los que eistan. ln e ln e d) e ln ln e e ln e ln ln ln e e d) e e e e e e e e 0. Calcula las derivadas sucesivas de las siguientes unciones y escribe la epresión general de la derivada enésima. 7 e ln n) n 7 7 e n n) n! n Derivadas Unidad 7

25 . Para qué valores de se anulan las derivadas de las unciones siguientes? e e ln ln d) e e e e e 0 e 0 ln no se anula nunca. ln 0 d) 6 e o 6. Derivadas de las unciones trigonométricas y sus inversas. Calcula las derivadas de estas unciones. sen arcsen sen cos 6sen cos 6 sen cos cos 7 Unidad Derivadas

26 . Calcula las derivadas de las siguientes unciones en los puntos en los que eistan. sen arctg e) ln tg e cos e sen ) sen sen sen g) ln tg d) sen sen cos cos sen ) arcsen cos e cos arctg arctg sen e cos sen e sen cos cos sen e e cos sen sen sen cos 7cos sen sen sen cos d) Se escribe la unción como: sen sencos cos sen cos sen sen sen sen sen cos sen e) ln tg cos ) cos tg ln g) cos tg ) ln cos e arcsen cos e e cos e sen e cos e. Calcula las derivadas sucesivas de las siguientes unciones y escribe la epresión general de la derivada enésima. sen cos n) sen, n ) cos, n ) sen y n ) cos n) n cos, n ) n sen, n ) n n ) n cos y sen Derivadas Unidad 7

27 5. La unción no es derivable en 0, y la unción g sen, sí. Es derivable en 0 la unción p sen? Como D p 0, calcularla observa que eisten los límites, solo se puede calcular la derivada lateral a dereca. Dica derivada, sí eiste, y para 0 y sen. 0 Luego sen sen p' Para qué valores de se anulan las derivadas de las unciones siguientes? cos sen ln sen sen tg sen sen sen cos sen sen no se anula nunca. cos cos sen cos tg 0 k sen sen cos, k. sen sen cos sen sen cos sen cos sen no se anula nunca. 7. Estudia la continuidad y la derivabilidad en de la unción: sen si si sen 0. Luego la unción es continua en. Calculemos la derivada a izquierda y a dereca: 0 sen sen cos cos sen sen La unción es derivable en y. 8. Estudia en qué puntos es derivable la unción: si 0 si 0 si si 0 0 si 0. Se estudia la derivabilidad en 0 y en. si Así pues, es derivable en 0 y no lo es en. 7 Unidad Derivadas

28 Derivación logarítmica e implícita 9. Calcula las derivadas de las siguientes unciones. sen e d) sen cos sen cos ln e e ln sen ln sen cos sen d) sen cos cos sen sen cos cos sen ln sen cos sen cos 0. Dada la curva y y sen y : Comprueba que el punto P, 0 pertenece a dica curva. Calcula la ecuación de la tangente en dico punto. 0 0 sen 0 es, eectivamente, π. Calculemos y ' : y y ' y yy ' y ' cos y 0. Sustituyendo e y 0: y ' y ' cos 0 y ' y ' 0. Luego y ' 0 y la recta tangente en P, 0 es y 0. Dierencial de una unción. Aproimación lineal de una unción en un punto. Sabiendo que ln 0,695 : Obtén la aproimación lineal de la unción log en y utilízala para obtener los valores aproimados de () en,0;,9 y,9. Compara estos resultados con los obtenidos con la calculadora. Qué ocurre a medida que nos alejamos del? L ln 0,0 L,0 ln 0,695 0,005 0,6985. Con la calculadora se obtiene L,0 0, , L,9 ln 0,695 0,05 0,65. Con la calculadora se obtiene L,9 0, ,9 L,9 ln 0,695 0, 5,5. Con la calculadora se obtiene L,9, A medida que nos alejamos del la aproimación lineal va empeorando. Derivadas Unidad 75

29 . Realiza una estimación lineal de la variación de la siguiente unción al incrementar la de a,. 7, 8 ; L ( ) y 9 L 7 8 7, (, ) 9 5 Por tanto, la variación es. 5 Síntesis. Dada la unción si k si Hay algún valor de k para que sea derivable en? Continuidad en k k Luego k k Derivabilidad en para k ' Por tanto para k la unción es derivable en y. 76 Unidad Derivadas

30 . Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes unciones en los puntos indicados. si 0 si 0 en 0 sen cos si si en si 0 si 0 en Continuidad en 0: y Así pues, la unción es continua en 0. Derivabilidad en 0: Luego es derivable en Continuidad en : cos 0 y Derivabilidad en sen 0. Así pues, la unción es continua en :. sen sen cos cos sen cos cos' sen cos cos' 0 0. Luego la unción es derivable en 0 0. Basta con estudiar la continuidad y derivabilidad en 0, porque en otro caso la unción es continua y derivable. Continuidad en 0: 0 0 y Así pues, la unción es continua en 0. Derivabilidad en 0: Luego la unción no es derivable en 0. Derivadas Unidad 77

31 5. Calcula la derivada de las siguientes unciones. e sen ln d) arcsen arctg ln ln e 6sen cos d) 6. Sea la unción 5. Comprueba que la recta tangente en el punto de corte con el eje Y es paralela a la asíntota de dica unción. La unción corta al eje Y en A 0, 0, luego 5 A 0, y la pendiente de la recta tangente en ese punto es Como 5 8, la asíntota es y que también tiene pendiente. 7. Dada la curva y y 6 0, se pide: Calcular la segunda coordenada del punto P 5,, que pertenece a dica curva. Calcular y ' 5 utilizando la derivación implícita. Calcular y ' 5 despejando previamente la y y derivando posteriormente la unción obtenida. (Los valores obtenidos deben coincidir). Sustituyendo por 5 se tiene 0y y. Luego y P 5, Derivando se obtiene y y ' y ' 0 y sustituyendo por 5 e y por : 0 y ' y ' 0 Luego y ' 5 y 6. Luego y 6 e y ' y ' 5 78 Unidad Derivadas

32 Cuestiones 8. Si si 0 sen si 0 se veriica que: si 0 cos si 0 Coinciden las derivadas laterales de en 0? Aunque, las derivadas laterales en 0 no coinciden, pues, en caso de acerlo, sería 0 0 derivable en 0 y no lo es, puesto que no es continua ya que Las derivadas laterales son: sen y La unción no es derivable en 0 y la unción g sen sí lo es. Es derivable en 0 la unción p g? Veamos si eiste p 0 p 0 0 : Como p 0 p 0 sen, entonces p 0 p 0 sen sen Luego p sen es derivable en 0, y su derivada es La unción observar. Lo es g? si 0, cuya gráica es la de la igura no es derivable en = 0 como puedes si 0 La unción g es: g si 0 si 0 g 0 g 0 g ' g 0 g 0 g ' Así pues, g es derivable en 0 y su derivada es 0. Derivadas Unidad 79

33 . Si es una unción par y derivable en, es 0 0 necesariamente? Como es par,, así que Al ser derivable en 0, debe ser 0 0, es decir, Si la unción veriica que para cualesquiera números reales a y b se cumple que a b a b ab y que, demuestra que es derivable en todos los números reales. 0 Veamos si eiste 0 sea cual uere. Así pues, 0 0, es decir, es derivable en y. Si g de y g? e, puede aber algún número real para el que se anulen simultáneamente las derivadas g ' e g g' no se ace cero nunca, por lo que no puede aber ningún número para el que se anule simultáneamente y g ', puesto que, de ser así, se anularía la suma.. La unción es una unción par ( ) y su derivada es una unción impar, ( ). Justiica que esto ocurre siempre; en concreto: si derivable en es una unción par, entonces es una unción impar y si es impar entonces es una unción par. Si es par, ' ' ( ) es impar Si es impar, ' ' ( ) ( ) es par 5. Demuestra esta sencilla órmula que nos da la derivada segunda de un producto: g '' ' g g ' g '' ' g '' g ' g g ' ' ' g g ' g ' g '' ' g g ' g '' 80 Unidad Derivadas

34 6. Comprueba que las deiniciones: a a a 0 a a a a son la misma y, aplicando la segunda deinición, calcula: cos. a En a a llamamos a, por lo que a 0 y escribimos: a a a a a 0 Tomando cos, cos. cos sen, así que 0, es decir, cos Sin calcular la derivada, comprueba que las siguientes parejas de unciones tienen la misma derivada: y g arctg y g arctg cos y g cos d) ln y g ln 0 0 Para comprobarlo no es necesario derivar, basta ver que las unciones diieren en una constante. g g cos cos cos sen cos cos sen g arctg arctg. Si arctg n, tgn ; arctg complementarios, es decir, arctg arctg. v, tgv. Entonces n y v son ángulos d) g ln 0 0 ln ln 0 ln ln0 ln ln ln0. 8. Si y g son unciones derivables en cuyas gráicas en el intervalo a, b son como las de la igura, es decir, a g a, b g b, g en a, b, parece que ay un número c en a, b tal que c g ' c. Será eso siempre cierto? Sí, siempre es cierto, pues la unción g es continua y derivable en a, b. Tomemos el valor de c donde alcanza el máimo. Se trata, pues, de un punto en a, b pues a 0 y b 0. Así que, ' c 0, es decir, c g ' c. Derivadas Unidad 8

35 Problemas 9. Dadas las parábolas y g 6 6, calcula el área del triángulo ormado por el eje X y las rectas tangentes a dicas parábolas en el punto de corte entre ellas. Se comienza calculando el punto de corte entre las parábolas: corte es A 5,8. En A 5,8 la recta tangente a En A 5,8 la recta tangente a El punto de es y Operando se obtiene y 6. g 6 6 es y Operando se obtiene y 6 8. El área del triángulo de vértices A 5,8, B,0 y 9 C, 0 es 9 8 u A. 0. Una partícula se mueve a lo largo de la gráica de la curva y para abandona y sigue desplazándose a lo largo de la recta tangente a dica curva. Halla la ecuación de dica recta tangente.. En el punto P, la Si el desplazamiento es de izquierda a dereca, encuentra el punto en el que la partícula encuentra al eje X. Si el desplazamiento es de dereca a izquierda, encuentra el punto en el que la partícula encuentra a la asíntota vertical más próima al punto P. y ', y ' 0. La ecuación de la tangente es 9 0 y. 9 9 Como la partícula no corta al eje si está en el intervalo,, cuando sigue la trayectoria y, el corte debe darse si. Así pues, debe ser 0 0. La partícula encuentra el eje X en el punto A,; La asíntota más próima a P es. Luego la partícula se encuentra con esa asíntota en B,. 9. Dadas las dos curvas: y 5y y 0 y 7y y 0 Demuestra que ambas pasan por el origen de coordenadas. Demuestra que las rectas tangentes a dicas curvas en el origen son perpendiculares entre sí. Al sustituir en ambas ecuaciones y 0, se observa que se cumplen ambas igualdades. Se calculan las derivadas implícitas de ambas curvas y se sustituye e y por 0 para obtener y ' 0. y y ' 5y 5 y ' y ' 0. Por tanto, y ' 0 y yy ' 7y 7 y ' y ' 0. Por tanto, y ' 0 Luego las tangentes tienen pendientes y y, por tanto, son perpendiculares. 8 Unidad Derivadas

36 . La Hoja de Descartes es la curva que corresponde a la gráica de la ecuación bella orma. y y y tiene esta Eplica por qué la Hoja de Descartes no es una unción. Comprueba que el punto, pertenece a la Hoja de Descartes. Mediante la derivación implícita comprueba que la tangente a la oja en el punto asíntota de la Hoja de Descartes., es paralela a la La Hoja de Descartes no es una unción porque corta a algunas rectas verticales más de una vez (por ejemplo, a la recta ) Sustituyendo e y por se observa que se veriica la ecuación y y Derivando: Si y y ' y y ' y, se tiene y ' y ' Luego la pendiente de la tangente en dico punto es y ', que es paralela a la asíntota.. Sea :, la unción deinida por: donde representa la parte entera de, es decir, el mayor entero menor o igual que. Justiica la verdad o alsedad de las siguientes airmaciones: es derivable en,. Si no es entero, ) 0. si si 0 Se escribe como unción deinida a trozos: si 0. 0 si si si Derivando se tiene que: si 0 si 0, luego la unción es derivable si no es entero. 0 si ' si si 0, 0 si 0 0 si '' 0 si 0 si 0. Por tanto, las derivadas sucesivas ya serán 0. 0 si 0 0 si Derivadas Unidad 8

37 . Sea la unción deinida en 0, por: ln Demuestra que para todo entero n, es: n) n ) n! n ln, ' ln, multiplicadas por. Como si g ''' y a partir de aquí se tiene las derivadas sucesivas de siempre, entonces n) g n n!, se obtiene el resultado buscado. n 5. Determina todas las unciones de la orma 0 a b c d con a 0 y que veriican Algunas de las unciones obtenidas anteriormente veriica 0? Derivando se obtiene a b c. Se quiere que a b c a b c 0. Luego b 0 y c a. Las unciones que veriican esto son de la orma a a d. Si además se impone la condición de que 0 debe ser d a a d, luego a debería ser 0. Así pues, ninguna de las anteriores veriica que Un proesor algo despistado propone a sus estudiantes que encuentren una unción deinida en 0, tal que: si 0 7 si 7 y que 7. Un estudiante intenta calcular y se lleva una sorpresa. Eplica qué a ocurrido. Si intenta allar una unción con estas características se tendría a si 0 7 que debería ser b si 7 continua en 7 pues es derivable allí, luego a y b pero la unción así obtenida no es derivable en 7 y, por tanto, su derivada no vale en 7 como debería. 7. Supón que es derivable en. Demuestra que: 0 (Indicación: resta y suma en el numerador ) Unidad Derivadas

38 8. En la igura se representa la gráica de la unción derivada de una cierta unción : 0,. Halla una epresión algebraica de sabiendo que su gráica pasa por el origen de coordenadas. Representa gráicamente la unción. Se veriica ' 0? si 0. Luego si a si 0 b si Como 0 0 y, al ser derivable, es continua en, se tiene que a 0 y b. Luego b. En la gráica de se observa que no eiste '. Se comprueba calculando: ' ' El coste total de producción de q unidades de cierto producto viene dado, en euros, por la epresión: C q q 5q 0 Una empresa produce en la actualidad un total de 50 unidades y estudia la posibilidad de aumentar la producción a 50,5 unidades. Estima, utilizando la aproimación lineal, cuál será la dierencia de costes si se producen 50,5 unidades en lugar de 50. L q 0,5 C q 0,5 C ' q L 50, ,5 Luego la dierencia de costes es de 0,5. Derivadas Unidad 85

39 50. Sea una unción deinida en que pasa por el origen, y que admite segunda derivada y que veriica: ' Calcula la ecuación de la tangente a la gráica de en el punto,. Se sabe que ' '. Luego ' y una unción cuya derivada es tiene la orma a, así pues a. Como 0 0, debe ser a = 0 y se tiene Así pues, la ecuación de la recta tangente en, es y Supón que y g son unciones derivables en todo y tales que: i) 0 y g 0 0 ii) g y g ' Sea todo. g. Calcula ' y utiliza el resultado obtenido para probar que g para Supón que F y G son otro par de unciones derivables que veriican i), ii) y considera la unción: Calcula k F g G k ' y utiliza el resultado obtenido para decidir qué relación eiste entre y F y entre g y G. Conoces algún par de unciones y g que veriiquen i), ii)? Puede aber otras? ' g ' g ' g g g 0 Luego es constante y como 0 0 g 0 0, entonces para todo y, por tanto, g para todo. k ' F g G ' F ' F g ' G' g G g G F F g G 0 Luego k es constante y como k 0 0 F 0 g 0 G 0 0, entonces k 0 para todo, y como k es la suma de dos cuadrados, deben ser F 0 y g G 0. Luego F y g G para todo. Sí, cos y g sen satisacen las condiciones, y por son las únicas. 86 Unidad Derivadas

40 5. Una partícula que se mueve en el plano XY baja deslizándose a lo largo de la curva de ecuación y 9. En el punto,5 P abandona la curva y sigue por la recta tangente a dica curva. Calcula el punto R del eje Y por el que pasará la partícula. Eiste algún otro punto Q de la curva tal que la recta tangente a la curva en el punto Q corte al eje Y en el mismo punto R anterior? Como y ', 9 y '. Recta tangente en P,5 : 5 9 y 5 y Punto de corte de la recta tangente con el eje Y: y R 0,. 5 5 Recta tangente a la curva y 9 en el punto Q a, a 9 : a a 9 y a 9 a y a 9 a 9 a 9 Si queremos que pase por R 9 0, 5, entonces a a o a. Luego si a, Q,5 y si a, Q,5. Por tanto, la recta tangente a la curva en Q,5 también corta al eje Y en el punto 9 R 0, Deine a trozos la unción: min, y calcula. Resolvemos la inecuación, como es siempre positiva, se obtiene la inecuación equivalente: 0 Resolviendo la ecuación bicuadrada 0 se obtienen las soluciones y. Observando qué ocurre en los intervalos,,, y, se tiene que: si, si,, La unción es si, si, Como, entonces Derivadas Unidad 87

41 Para proundizar 5. Halla la unción que cumple la ecuación: para todo, sabiendo que ' De la ecuación anterior se deduce que: ' ' a. Por tanto, a, pero como 0 0, a 0. Aora debemos encontrar una unción cuya derivada sea y esta es ln b. Como 0 0, b 0 y la unción buscada es ln. 55. Los siguientes límites se pueden escribir como el valor de una cierta unción en un punto. Aplicando esta idea, calcúlalos. 0 0 tg cos d) cos Tomando 0, Sea cos, cos cos sen. 0 0 Llamando tg y, d) Llamando cos y, tg tg tg. 0 cos cos cos cos sen Encuentra dos números reales a y b para los que: a b Sea :, deinida mediante la órmula: Obtén la órmula para la derivada n-ésima de. Debe ser a a b b para todo. En particular, si 0, se tiene 0 a b y si, a. Luego los números buscados son a y b.. Como si g, entonces n) g n n!, se tiene: n n) n n! n! n n n 88 Unidad Derivadas

42 57. Considera una unción : que satisace las siguientes propiedades: para cualesquiera, Demuestra que 0. Indicación: Toma 0 en. Demuestra que 0 para todo. Indicación: Toma en. Utiliza la deinición de derivada para probar que para todo número real. d) Sea g otra unción que satisace las tres condiciones y considera k g. Demuestra que k es derivable en todo, y obtén k '. Qué relación entre y g? e) Conoces alguna unción que satisaga las tres condiciones? Puede aber más de una? Llamando a a. Por tanto, concluye que 0. Como 0, entonces no puede ser cero. a a. Luego a 0 o a y como 0 0 se d) k k g g g g g k ' g g g 0 g g 0 0. Luego k es una unción constante ya que su derivada se anula para todo. g a ag. Pero como 0 y g 0, entonces a = y g. e) La unción e satisace las tres condiciones y por d) es la única. Derivadas Unidad 89

43 Autoevaluación Comprueba qué as aprendido. Calcula las ecuaciones de las tangentes a la parábola y trazadas desde el punto P,. Llamemos a a la abscisa del punto de tangencia como se muestra en la igura (abrá dos tangentes desde P). La pendiente de r es a y también es a a. a Así pues, a a a a a a 0 a o a. a Los puntos de tangencia son, pues, y, por lo que las ecuaciones de las tangentes pedidas son: y y y y. *Como ya sabes, si es continua en a, y eiste a, dico número coincide con a (derivada en a por la izquierd. Análogamente por la dereca. Aplicando ese resultado, calcula los números a y b para que a si sea derivable en. b ln si El único punto donde podría no ser derivable es en. Para que lo sea, debe ser continua en, es decir,, por lo que a b. a si Por otra parte,, así que, a y. si Entonces, si a b y a, es derivable en, por tanto, si a y b se veriica que es derivable en.. Calcula la derivada de las siguientes unciones (no te preocupes por el dominio de o de ). sen cos sen sen e cos sen cos cos sen cos cos cos sen cos sen sen e e cos. Calcula la derivada en 0 de la inversa de la unción 0. Llamando g a la inversa de tenemos que g, así que g '. Nos piden g ' 0. Si 0, 0 0,, así pues g ' 0, por lo que g ' 0 siendo, es decir, 8, con lo que g ' Unidad Derivadas

44 5. Calcula la derivada por la dereca en = de la unción: si arctg ln si Dieriría muco de la derivada en de la unción g arctg ln? () es continua en =. Derivando la unción se obtiene: 0 si ln si Por tanto '. ln Se obtiene el mismo resultado calculando g ' puesto que () = g() si. 6. Calcula la ecuación de la tangente a la elipse y 9 Realiza los cálculos sin obtener y como unción de. en los puntos de ordenadas 5. Derivando implícitamente, tenemos que yy ' 0, por lo que 9 y ' 9y. Si y 5, tenemos que 5 9 9, con lo que 5, luego o Si, 8 y ' y la recta pedida será y. 5 Si, y ' y la recta pedida será 5 5 y Obtén la unción para la que si 5 cos si y 0. Si si, 5 cos si a si. 5 sen b si Como 0, tenemos que, es decir, 0 0 a, a y si es derivable en, debe ser continua, por lo que: a 5 sen b, con lo que 5 b, b, así que: si 5 sen si 8. Calcula las derivadas laterales en 0 de la unción. Eiste 0? Por tanto, no es derivable en 0. Derivadas Unidad 9

45 Relaciona y contesta Elige la única respuesta correcta en cada caso. Sea una unción deinida en, que admite segunda derivada. A. Si 0, entonces 0. B. Si g sen, entonces g ' 0 0. C. Para cualquier número real, se veriica que: ' ' 0 D. Eisten números a para los que. a a La respuesta correcta es C. ' ', por lo que ' ' 0.. Sea g 6 y una unción tal que abscisa veriica que: e. La tangente a la curva y g en el punto de A. Es orizontal. C. Su pendiente es mayor que. B. Tiene pendiente negativa. D. Es paralela a la gráica de y g. La respuesta correcta es D. g ' g g '. Como g 0 y g ', es g ' 0.. Considera la unción sen ln sen. A. Presenta un punto con tangente orizontal. B. Su derivada siempre es positiva. C. No es derivable en los puntos de corte con el eje orizontal. D. en los puntos en los que es derivable. La respuesta correcta es D. Como cos para todo valor de, entonces. cos Señala, en cada caso, las respuestas correctas. Sea : derivable y tal que su gráica es simétrica respecto de la recta. A., C., B., D. Si Son verdaderas la A y la D. Si la gráica es simétrica respecto de la recta sea cual uere., debe ocurrir que Observando aora que los números y equidistan de pues concluimos que B también es verdadera. La airmación C es alsa como lo prueba, por ejemplo, la unción y 0. 9 Unidad Derivadas

46 5. Para todo mayor que se veriica: A. Si B. Si e ' e C. Si sen ' sen e ' e D. Si cos ' cos C es verdadera ya que si D también es verdadera ya que sen, cos, ' sen y sen sen. cos nos lleva a sen, ' cos y cos cos. A y B son alsas porque ' e. Elige la relación correcta entre las dos airmaciones dadas 6. Sea : derivable.. La tangente a la curva y en es orizontal.. La curva y corta al eje de abscisas en el punto. A. C. pero. B. pero D. y se ecluyen entre sí. La relación correcta es la C. y ', por lo que si se da es 0, con lo que y ' 0 y se da. Así que pero, como prueba, por ejemplo, y ', es decir, y ' 0 pero veriica. y, con lo que veriica pues no corta al eje orizontal, es decir, no se Señala el dato innecesario para contestar 7. Sea g asen be donde g : es una unción derivable. Para calcular la ecuación de la tangente a la curva y en 0 nos dan los siguientes datos:. La curva y g corta al eje vertical en 0,.. Las curvas y y y g se cortan en.. y tiene tangente paralela a la bisectriz del primer cuadrante en 0,.. El punto 0,a b es el máimo de la curva y. A. Puede einarse el dato. C. Puede einarse el dato. B. Puede einarse el dato. D. Puede einarse el dato. La ecuación de la tangente pedida es y 0 0, 0 b. g g ' acos be, por lo que 0 g 0 a b con el dato, se obtiene g 0. El dato nos dice que g, o sea, g asen be g, así que asen be 0, que junto con el dato nos permite calcular a y b que el máimo de la curva y se alcanza en 0 y vale, por lo que según el dato, a b, que junto a la igualdad anterior, dada por el dato, nos permite calcular a y b y emos obtenido la ecuación de la tangente a y sin tener que utilizar el dato. Por tanto, la respuesta correcta es C. Derivadas Unidad 9