LA DERIVADA UNIDAD III III.1 ENTORNOS. a, donde δ es la

Transcripción

1 LA DERIVADA UNIDAD III III. ENTORNOS Se enomina entorno e un punto a en, al intervalo abierto ( δ a δ ) semiamplitu el intervalo. a, one δ es la El entorno e a, en notación e conjuntos puee escribirse como: { a δ < < a δ} un valor absoluto: a < δ. Gráicamente se representa así:, o bien como Semiamplitu el intervalo δ Semiamplitu el intervalo δ a - δ a a δ δ Amplitu el intervalo Ejemplo. Obtener el entorno el punto a con la semiamplitu δ.. Solución. Entorno e a (.,. ) (.,. ) {. < <.} δ. δ. <. esto signiica que el entorno e a son toos los valores e ese. hasta., pero sin incluir a los etremos. Veriicano algunos valores entro el entorno: si. :... <. si. :.. <.. δ..

2 Ejemplo. Obtener el entorno el punto a con la semiamplitu δ.. Solución. Entorno e a (.,.) (.,.) {. < <.} <. δ. δ. esto signiica que el entorno e a son toos los valores e ese. hasta., pero sin incluir a los etremos: si. :... <. si : < δ. -. Se eine como entorno reucio e un punto a en al entono que eclue al propio punto a. Es ecir, a δ, a δ one a. es el intervalo abierto El entorno reucio e a también puee escribirse como: { a δ < < a δ, a} δ como: < a <. Gráicamente esto es:, o bien Semiamplitu el intervalo δ Semiamplitu el intervalo δ a - δ a a δ δ Amplitu el intervalo Ejemplo. Obtener el entorno reucio el punto a con la semiamplitu. Solución. Entorno reucio e (.,.) (.,.) {. < <., } < <. a si δ

3 esto signiica que el entorno reucio e a son toos los valores e ese. hasta., quitano el sin incluir a los etremos: si. :.. <. si. 9 :.9.. <.. δ. δ.. Ejemplo. Obtener el entorno reucio el punto a. con la semiamplitu δ.. δ. Solución. Entorno reucio e a (..,..) (.,.) {. < <.,.} <. <. esto signiica que el entorno reucio e a son toos los valores e ese. hasta., quitano el. sin incluir a los etremos: si. :... <. si. :....<. -. δ. δ. -. δ. -. III. DEFINICIÓN DE LÍMITE Si se esea investigar el comportamiento e la unción einia por para valores cercanos a tanto menores como maores a este valor. En la tabla siguiente se muestran los valores e para valores aproimaos pero no iguales a : A partir e la tabla, se emuestra que cuano está caa vez más cerca e por cualquiera e los os se aproima a. Este hecho se epresa al ecir que el límite e la unción laos, cuano tiene a es igual a. La notación para esta epresión es ( ).

4 Como se puee apreciar el ejemplo anterior, el interés se centra en conocer el valor e la unción cuano se aproima a un valor a, pero sin ubicarse en icho valor. Esto es, si se acerca más más se acerca más más a un valor L. Esto signiica que a a (pero no es igual a a ), la unción tiene a L si tiene a a. La rase " tiene a a " signiica que inepenientemente e lo próimo que esté el valor a, eiste siempre otro valor e (istinto e a ) en el ominio e que está aún más próimo a a. Deinición e límite: Una unción tiene hacia el límite L en a si para too ε > eiste algún δ > tal que L < ε siempre que < a < δ. Se puee eucir e la einición, que para que eista el límite L e una unción se orme un entorno e L en siempre cuano se puea generar un entorno reucio e a en. Dao que el entorno e L es: { L ε < < L ε} { a δ < < a δ a} es necesario que, el entorno reucio e a es:,, one δ ε pueen se tan pequeñas como se esee, por lo que se a. Esto puee a, L. pueen generar una ininia e entornos caa vez más pequeños, siempre que interpretarse como la ormación e rectángulos caa vez más pequeños que incluan al punto Gráicamente esto es: () Lε Lε Lε Lε L L-ε L-ε L-ε L-ε a-δ a-δ a-δ a-δ a aδ aδ aδ aδ Nótese como caa entorno L ε i < < L ε i se orma responieno a los entornos a δ i < < a δ i, a meia que δ tiene a cero (sin llegar a serlo), también ε tiene a cero.

5 En caso e eistir, el límite se representa en orma simbólica como: a L se lee: el límite e cuano tiena hacia a es L. Una unción no puee tener a os límites istintos a la vez. Esto es, si el límite e una unción eiste, es único: El límite eiste si el límite por la izquiera, el límite por la erecha, son iguales. a a a Estos os últimos límites se conocen como límites laterales, lo que signiica que se pueen aproimar los valores e cumple lo siguiente: a L tanto como se quiera, a sea por la erecha o por la izquiera. De lo anterior, se a L L L a Para ines prácticos, para eterminar si una unción tiene límite cuano a basta con aplicar la einición establecer una epresión que relacione a δ ε. En caso e no encontrar una relación, la unción no tenrá límite en ese punto. Ejemplos. A través e la einición, calcular ormalmente los siguientes límites: ) ( ) ( ) aplicano la einición: L < ε a < δ < ε < δ < ε < δ ( ) < ε < δ ε < < δ ε δ a

6 el límite eiste es. ) ( ) 9 aplicano la einición: L < ε a < δ ( ) < ε < δ < ε < δ ( )( ) < ε < δ ε < < δ ε δ el límite eiste es. ) ( ) ( ) aplicano la einición: L < ε a < δ < ε < δ < ε < δ ( )( 9) < ε < δ ε < 9 < δ ε δ 9 el límite eiste es. ) aplicano la einición: L < ε a < δ

7 < ε < < ε < δ ( ) ( ) δ < ε < δ aplicano el valor absoluto a los términos el proucto: ( ) < ε < δ ε < < δ ε δ el límite eiste es. ) aplicano la einición: L < ε a < δ < ε < δ multiplicano por el conjugao el binomio: ( ) < ε < δ ( ) < ε < δ < ε < δ ( ) ε < < δ ( ) ε δ el límite eiste es. )

8 si se esea aplicar la einición: L < ε a < ( No eiste) δ no se puee a que L no es un valor einio, por lo tanto, el límite no eiste. III. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Sean, g a. [ c] c a os límites que eisten c una constante. Entonces: a El límite e una constante es la misma constante.. [ ] a a El límite e la unción ientia es igual al valor e a.. [ c ] c a a El límite e una constante multiplicaa por una unción es la constante multiplicaa por el límite e la unción.. [ ± g ] ± g a a a El límite e una suma algebraica es la suma algebraica e los límites.. [ g ] g a a a El límite e un proucto es el proucto e los límites.. a g a g a g a El límite e un cociente es el cociente e los límites. n. [ ] a n [ ] n N a El límite e la potencia e una unción es el límite e la unción elevaa a la potencia.. n n n N (si n es par se asume que > a a El límite e una raíz es la raíz el límite. Ejemplos. Aplicano las propieaes, calcular los siguientes límites: ) ) a )

9 9 ) ) ) ) ) ) 9) ) este límite presenta una ineterminación, sin embargo, si se actoriza el enominaor: ) para einar la ineterminación se actoriza el numeraor: 9 ) este límite presenta una ineterminación, sin embargo, si se actoriza tanto el numeraor como el enominaor: ) para einar la ineterminación se actoriza tanto el numeraor como el enominaor: ) a in e einar la ineterminación se actoriza el numeraor el enominaor: )

10 para einar la ineterminación se actoriza tanto el numeraor como el enominaor: ) ( ) ( )( ) este límite presenta una ineterminación, sin embargo, si se actoriza tanto el numeraor como el enominaor: ) ( )( ) 9 ( )( ) para einar la ineterminación se actoriza tanto el numeraor como el enominaor: ) 9 ( )( ) ( )( ) este límite presenta una ineterminación, sin embargo, si se actoriza el numeraor: ( )( ) 9 9) ( ) ( no eiste) ) multiplicano por el binomio conjugao el numeraor para eshacer la ineterminación: ( )( ) actorizano el enominaor: ( ) ) para einar la ineterminación se actoriza el enominaor: ( ) como no se puee simpliicar, el límite no eiste. ) a in e einar la ineterminación se actoriza el numeraor el enominaor:

11 ( )( ) ) ( )( ) para einar la ineterminación, se eleva al cuarao: ( ) ( ) ( ) actorizano el numeraor: ( ) ) este límite presenta una ineterminación, sin embargo, elevano al cuarao: ( ) ( ) ( ) actorizano el enominaor: ( no eiste) 9 ) para einar la ineterminación se multiplica por el binomio conjugao el numeraor: 9 ( ) 9 III. LÍMITES INFINITOS Los tipos e límites en los que una unción se hace ininita (a sea positiva o negativa) cuano tiene a a por la izquiera o por la erecha se conocen como límites ininitos. Qué ocurre cuano se aproima o tiene a cero en la unción? Tabulano la unción se aprecia que cuano tiene a cero por la erecha, los valores e la unción que son positivos, son caa vez más granes. Es ecir, los valores e la unción aumentan. Mientras que, cuano tiene a cero por la izquiera, los valores e la unción son negativos, son caa vez más pequeños. Es ecir, los valores e la unción isminuen.

12 Gráicamente en ambos casos, crece o ecrece sin tope, sin ronteras. Esto es, () () - - El símbolo e ininito ( ) no signiica que el límite eista, a que no representa un número real. Simboliza el comportamiento no acotao (sin ronteras) e cuano tiene a a. De manera que, al ecir que "el límite e cuano tiene a a es ininito" se interpreta que el límite no eiste. En general, consiérese la unción: las raíces el polinomio q p q, provocan que la unción no esté einia, es ecir, sus límites son el ininito. Geométricamente, caa raíz representa a una asíntota vertical.

13 Ejemplos., los límites laterales no son iguales:, el valor que anula al enominaor es, así que el límite en el ininito se presenta en la asíntota ) En la unción ) En la unción,, los valores que anulan al enominaor son asíntotas., los límites laterales no son iguales: 9 ) En la unción 9 9, 9 9, 9 9 los valores que anulan al enominaor son, se presentan en las asíntotas,., los límites laterales no son iguales:,., así que los límites en el ininito se presentan en las respectivamente, así que los límites en el ininito III. LÍMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Los límites trigonométricos elementales son aquellos que se obtienen irectamente, a que basta sólo con evaluarlos recorar los valores notables e ichas unciones. Ejemplos. Evaluar los siguientes límites trigonométricos elementales: ) sen sen. π ) cos cos π ) tan tan ( π ) π π ) cot cot π

14 ) csc csc( π) ) sec sec π ) cos cos cos Eisten otros límites cua evaluación no es tan simple. En este sentio, el límite e la unción sen cuano tiene a cero es mu importante a que la resolución e muchos límites trigonométricos se basan en su aplicación. Por ello, se evalúa en primera instancia: sen sen aparentemente, el límite no eiste. Sin embargo, si se tabula la unción ( en raianes), se tiene: sen ±. ±..9 ±..9 ±..9 ±..99 ±..99 ± ± Como puee apreciarse el límite tiene a la unia. Por lo tanto: sen Ejemplos. Consierano el resultao anterior aplicano ientiaes trigonométricas, obtener los siguientes límites: ) sen sen sen multiplicano iviieno por : sen sen sen sen ) epresano la potencia como proucto: La emostración ormal e este límite puee consultarse en la página el libro Cálculo Dierencial e Integral, e J. Stewart incluio en la bibliograía.

15 sen sen sen sen ) sen sen ( ) sen sen sen u En general, u senu ( ) sen sen sen sen ) sen sen sen multiplicano iviieno por sen sen sen sen sen sen cos cos ) cos aplicano la ientia trigonométrica tan : sen sen tan cos sen sen ( ) ) sen sen ( ) ( sen ) : tan tan tan epresano las potencias como prouctos multiplicano iviieno por sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen multiplicano iviieno por : sen sen sen cos cos ) sensen aplicano la ientia trigonométrica sen cos : cos sen sen sen tan tan ) sen aplicano la ientia trigonométrica tan : cos 9 9 :

16 sen tan cos 9) csc sen cos cos cos aplicano la ientia trigonométrica csc multiplicano iviieno por : sen csc sen sen tan tan ( π ) ) π π π π sen aplicano las ientiaes trigonométricas tan tan ( π ) tan : cos tan tan ( π ) sen( π ) π π π π π π cos π π cos π cos π π cos III. LÍMITES QUE TIENDEN A INFINITO Daa una unción einia en un intervalo ( a, ). Entonces el L signiica que los valores e se pueen aproimar a L tanto como se quiera, si se elige una suicientemente grane. Esta epresión se lee como el límite e cuano tiene a ininito es L. Similarmente, la epresión L signiica que los valores e se pueen aproimar a L tanto como se quiera, si se elige una negativa suicientemente grane se lee como el límite e cuano tiene a ininito es L. Para saber si eiste el límite e una unción cuano tiene a ininito es necesario analizar su comportamiento particular. Por su importancia, los límites e este tipo que revisten más interés e estuio son los e las unciones algebraicas e las racionales. En el primer caso, toos los límites e unciones algebraicas que tienen a ininito (o a menos ininito) no eisten. Ejemplos. Calcular los siguientes límites: ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )

17 En el seguno caso, para calcular límites e unciones racionales, normalmente el proceimiento consiste en iviir caa término e la unción por el término en que posee el maor eponente, se reuce aplicano lees e eponentes se toma el límite, consierano que:. Ejemplos. Calcular los siguientes límites: ) 9 9 Esta es una orma ineterminaa, sin embargo, si se ivie too entre se tiene: ) Es una ineterminación, pero si se ivie too entre se tiene: ) Esta es una orma ineterminaa, sin embargo, si se ivie too entre se tiene: no eiste En general, para calcular límites que tienen a ininito (o a menos ininito), e las unciones racionales e la orma: b b b b a a a a p m m m m m m n n n n n n eisten tres casos posibles: ) Si el grao el numeraor es menor que el grao el enominaor el límite e la unción es cero. p, si m n <

18 ) Si los graos e los polinomios en el numeraor el enominaor son iguales, el límite es el cociente el coeiciente el eponente maor el numeraor entre el coeiciente el eponente maor el enominaor. a p b n, n si n m ) Si el grao el numeraor es maor que el el enominaor, el límite no eiste. Ejemplos. Calcular los siguientes límites: ) Como 9 n < m, p ) Como ( no eiste) p, si n > m m p no eiste n >, 9 ) Como m ) Como m p no eiste n, p n >, ) 9 Como m ) Como n < m, p n, p III. LÍMITES DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Una unción eponencial es una unción e la orma: a one a es un número real positivo a. El comportamiento general e esta unción se puee apreciar en las siguientes gráicas:

19 () a a > < a < Sus características son: Dominio ( -, ) Rango (, ) La asíntota horizontal es el eje Siempre corta al eje en el punto P (,) Siempre es creciente si a > siempre es ecreciente si < a < La unción crece más rápio si la base es más grane ecrece más rápio si la base es más pequeña. De acuero a lo anterior, se puee inerir que:. a, a >. a, a > a a., < a <., < a <. a Ejemplo. Evaluar numéricamente el límite: Solución. Tabulano: ( )

20 Como se puee avertir, el límite tiene a un número cercano a.. Dicho límite es el número irracional conocio como e tiene el valor aproimao e e.. Se llama unción logarítmica a la unción real e variable real : loga El comportamiento general e esta unción se puee apreciar en las siguientes gráicas: () log a a > < a < La unción logarítmica es una aplicación biectiva einia e R en R sus características son: Dominio (, ) Rango ( -, ) La asíntota vertical es el eje Siempre corta al eje en el punto P (, ) Siempre es creciente si a > siempre es ecreciente si < a < La unción crece más rápio si la base es más pequeña (cuano a > ) ecrece más rápio si la base es más grane (cuano < a < ) La unción logarítmica e base a es la recíproca e la unción eponencial e base a Por lo anterior, se puee inerir que:. log, a > a. log, a > a. log, < a < a. log, < a < a Ejemplo. Evaluar numéricamente el límite: log Solución. Tabulano:

21 log ,.,.,. es más grane que su logaritmo, así que a meia que crece, la racción va isminueno. Por lo log tanto: III. CONTINUIDAD Una unción es continua en a cuano no ha interrupción en la gráica e en a. Su gráica no aparece con huecos o saltos en. Esto es, una unción es continua si su gráica se puee trazar sin levantar el lápiz el papel. Formalmente, una unción es continua en un punto a si está einia en ese punto, aemás: a ( a) En caso e no cumplir con la conición se ice que la unción es iscontinua. Una unción es continua en un intervalo cuano es continua en toos los puntos e ese intervalo. a ( a) Función continua Función iscontinua

22 Ejemplos. ) La unción es continua en el punto porque ) La unción 9sen ( π ) 9sen ( π ) 9 9 π ) La unción no eiste. ) La unción límite eista:. es continua en el punto π es iscontinua porque en el punto es iscontinua porque en el punto ( )( ) ( ).. porque no está einia porque el límite no está einia, aunque el Nótese como en este último ejemplo la unción original puee reescribirse como:, la cual es continua. En estos casos la iscontinuia recibe el nombre e evitable. Las gráicas e ambas unciones es la misma a ecepción e que en la primera tiene una especie e oriicio en el punto en la seguna no. Evitar la iscontinuia consiste en rellenar icho oriicio tal como se ve en la siguiente igura: Función iscontinua en Función continua en Las iscontinuiaes se clasiican en: evitables no evitables. Una iscontinuia en se puee reeinir en ese punto. Los siguientes tipos e unciones son continuas en sus ominios: a es evitable si

23 Polinomiales Racionales De raíz Trigonométricas Trigonométricas inversas Eponenciales Logarítmicas Sean g os unciones continuas en también son continuas en a : a, entonces las siguientes operaciones e unciones g g g si g ( a) g c, sieno c una constante g g o ( ), si es continua en ( a) g. Ejemplo. Determinar si las siguientes unciones son continuas en el punto ao: ) en el punto ( ) como unción polinomial)., la unción sí es continua en (lo cual era e esperarse a que es una ) en el punto como la unción no está einia en ese punto la unción no es continua (no tiene caso calcular el límite porque no ha orma e einar la ineistencia). 9 en el punto ) El valor anula al enominaor, sin embargo, la unción puee rescribirse como: ( )( ) 9 ( )( ) 9 ( ) por lo tanto, la unción es iscontinua en el punto pero es evitable.

24 ) en el punto ( ) como la unción no está einia en ese punto la unción no es continua (no ( ) tiene caso calcular el límite porque no ha orma e einar la iscontinuia). log en el punto ) log log log log log como (lo cual era e esperarse a que es una unción logarítmica). ) en el punto El valor anula al enominaor, sin embargo, la unción puee rescribirse como: ( ) ( ) por lo tanto, la unción es iscontinua en el punto pero es evitable. Ejemplos. Analizar la continuia e las siguientes unciones: ) Solución. Ha continuia en too el intervalo ( ) enominaor). Aemás, no es evitable. 9 ) Solución. ( 9 ) Ha continuia en too el intervalo ( ) anula el enominaor). Aemás, no son evitables., ecepto en el punto, la unción sí es continua en (a que ahí se anula el, ecepto en los puntos 9 (a que ahí se

25 ) Solución. ( )( ) ( )( ) Ha continuia en too el intervalo ( ) anula el enominaor). Sin embargo, en, ecepto en los puntos es evitable. (a que ahí se ) Solución. > ( ) como entonces el Por lo tanto, ha continuia en el intervalo [, ). III.9 INCREMENTOS Se eine como incremento e la variable al aumento o isminución que eperimenta, ese un valor a otro, en su campo e variación. Se enota por. Por tanto: - De orma análoga, el incremento e la variable es el aumento o isminución que eperimenta, ese un valor a otro, en su campo e variación. Se enota por, esto es:

26 ( ) - ( ) Por einición, los incrementos pueen ser: > si el valor inal es maor que el inicial < si el valor inal es menor que el inicial si el valor inal es igual que el inicial Ejemplos. ) Sea, obtener,... si pasa e a. ( ) ( ) (.) (.) 9 ) Sea, obtener,... si pasa e a. ( ) ( ) (.) (.) (.) Como puee observarse, es el valor inal e la variable epeniente cuano a se le asigna el valor. De la misma orma, es el valor inicial e la variable epeniente cuano a se le asigna el valor inicial. Esto es:

27 Ahora, e, se espeja : por lo que es: ( ) ( ) por lo tanto, sustitueno en : ( ) Esto signiica que al arle un incremento a en el punto le correspone a un incremento: Ahora, si a la epresión anterior se ivie por se obtiene el cociente e incrementos. ( ). : ( ) ( ) III. DEFINICIÓN DE DERIVADA Se eine como erivaa e una unción el cociente e incrementos con respecto a en un punto cuano tiene a cero., al límite, si eiste, Esto signiica que la erivaa es el límite el cociente el incremento e la variable epeniente, entre el incremento e la variable inepeniente, cuano éste tiene a cero, se enota por: ' ( ) ( ) ( ) Las notaciones más comunes e la erivaa e la unción ' ó ' Notación e Lagrange ó Notación e Leibniz D Notación e Cauch D ó ó ( ) Notación e Newton con respecto a son: La más usaa es la notación e Leibniz. Las istintas partes e estas epresión carecen e too signiicao cuano se consieran separaamente. Las no son números, no pueen simpliicarse, la epresión completa no es el cociente e otros os números "" "" '. Leibniz es generalmente consierao como el coescubrior inepeniente el cálculo ininitesimal (junto con Newton).

28 Leibniz llegó a este símbolo a través e su noción intuitiva e la erivaa, que él consieraba no como el límite e los cocientes ( ) ( ), sino como el valor e este cociente cuano es un número ininitamente pequeño. Esta cantia ininitamente pequeña ue esignaa por la corresponiente ierencia ininitamente pequeña ( ) por. III. MÉTODO DE LOS CUATRO PASOS Para hallar la erivaa e una unción se sigue un proceimiento conocio como métoo e los cuatro pasos que consiste en:. A la unción en se le incrementa en : ( ). A lo obtenio, se le resta la unción original, es ecir ( ) ( ). Se ivie too por :. Se toma el límite cuano tiene a cero: ( ), si eiste este límite, es su erivaa. Ejemplos. Aplicano el métoo e los cuatro pasos, obtener la erivaa e las siguientes unciones. ) er paso: ( ) ( ) º paso: ( ) ( ) ( ) ( ) er paso: ( ) º paso: ' ) er paso: ( ) ( ) ( ) º paso: ( ) ( )

29 9 er paso: º paso: ' ) er paso: º paso: er paso: º paso: ' ) er paso: º paso:, simpliicano las racciones: er paso: º paso:

30 ' ) er paso: ( ) ( ) º paso: ( ) ( ) multiplicano arriba abajo por el conjugao el binomio, se tiene: ( ) ( ) er paso: º paso: ( ) ' III. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA Sea una unción. Si se toma un punto cualquiera ( ) cualquiera se obtiene su respectivo incremento representa la peniente el segmento PQ. P, se eectúa un incremento Q,. La razón en el punto () Q (,) Q Q Q Recta tangente P(,) Q

31 Ahora, si P permanece ijo es caa vez más pequeño, lo que sucee es que el punto Q se mueve sobre la curva acercánose a P. Caa vez que isminue, la recta PQ gira en torno a P hasta que llega a su posición límite que es la tangente a la curva en el punto P. Por lo tanto el ( ) es la peniente e la tangente a la curva en el punto P. La interpretación geométrica e la erivaa es la peniente e la recta tangente en el punto ( ) III. DERIVABILIDAD DE FUNCIONES Una unción es erivable en el punto si ( a) un intervalo abierto ( a, b) si es erivable en cualquier punto el intervalo. Es importante resaltar que: si P,. ' eiste. Por su parte, una unción es erivable en es erivable en un punto es continua en, sin embargo, el caso inverso, no necesariamente es cierto porque ha unciones que son continuas pero no son erivables., entonces En general, si la gráica e una unción presenta cualquiera e los siguientes tres casos, entonces una unción no es erivable.. Si posee picos a que la unción no posee tangente en esos puntos no es erivable allí ebio a se encuentra que los límites laterales son ierentes. ' que al calcular Un pico. Si una unción no es continua en entonces no es erivable en ese punto, por lo tanto, en cualquier iscontinuia, la unción eja e ser erivable. Discontinuia

32 . Si la curva tiene una recta tangente vertical cuano ' ( ). Esto es: es continua en, lo que signiica que las tangentes se vuelven caa vez más pronunciaas. Tangente vertical A pesar e que la gráica tome la apariencia e una recta, mientras no presente un cambio brusco en orma e esquina, entonces la unción es erivable. Las siguientes gráicas muestran esto en un punto : () es erivable en () no es erivable en Ejemplo. Determinar los puntos en que la unción es erivable. Como el valor absoluto e presenta tres posibles valores, se analiza por separao: Si >, se tiene: ' > Por tanto, la unción es erivable para. Si <, se tiene: ' ( ) ( ) < Por tanto, la unción es erivable para.

33 Si, se tiene: ' (si eiste) Se comparan los límites laterales por separao: Puesto que, no eiste '. Por lo tanto ecepto en. En la gráica siguiente se aprecia como la unción no posee tangente en. es erivable para toa - - () III. FÓRMULAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN Sean las unciones ( u) u g con: ( g ). La erivaa e la unción compuesta se obtiene por meio e:, tal que se orme una composición e unciones que cumpla u Epresión conocia también como la regla e la caena. u La regla e la caena es mu útil en cambios e variable a in e simpliicar la erivación e unciones: a una parte e la unción se le enota como u, se eriva la unción respecto a esta variable, se le multiplica por u inalmente se sustitue u por la parte corresponiente e la unción original en.

34 , tres unciones e, es ecir, u v, w u v, w, c una constante. Las once Sean primeras ormulas básicas e erivación, consierano la regla e la caena, son: ) ( c) Demostración: c er paso: ( ) c c c ( ) ( ) ' ( c) º paso: er paso: º paso: La erivaa e una constante siempre es cero. ) Demostración: er paso: ( ) ( ) ( ) ' º paso: er paso: º paso: La erivaa e, respecto a si misma, es uno. ) ( c ) c Demostración: c er paso: ( ) c( ) º paso: ( ) c( ) c c c c c ( ) c er paso: º paso: c c c

35 ' ( c ) c La erivaa e una unción por una constante es igual a la constante. ) ( u v w) Demostración: u v w u v w er paso: º paso: u v w u v w u v w u u v v w w u( ) u v( ) v w( ) w er paso: º paso: ( ) u( ) u v( ) v w( ) w u v w '( u v w) ( u v w) La erivaa e una suma algebraica e unciones es igual a la suma algebraica e las erivaas e esas unciones. ) ( u v) Demostración: u v v u u v er paso: ( ) u( ) v( ) º paso: ( ) u( ) v( ) u v ( ) u( ) v( ) u v er paso: restano sumano: v u( ) ( ) u( ) v( ) v u( ) v u( ) u v º paso: u u u u ( ) [ v( ) v ] v[ u ] v v ( ) [ v( ) ] [ u( ) u ] ( ) u( ) [ v( ) v ] v [ u( ) u ] ( ) v ( ) v v u o o ( ) u

36 ' ( u v) ( u v) u v v u La erivaa e un proucto e os unciones es igual a la primera unción multiplicaa por la erivaa e la seguna, más la seguna unción multiplicaa por la erivaa e la primera. ) ( u v w) Demostración: w v u u v u w v w u v w er paso: ( ) u( ) v( ) w( ) º paso: ( ) u( ) v( ) w( ) u v w ( ) u( ) v( ) w( ) u v w u v w u( ) v w ( ) u( ) v( ) w( ) u( ) v( ) w u( ) v( ) w u( ) v w u( ) v w u v w ( ) w ( ) w v v u v u( ) w u ( ) u v w er paso: restano sumano: º paso: ' ( u v) ( ) w w u( ) v( ) v v u( ) w u ( ) u v w o w v u u v w u v u w v w La erivaa e un proucto e tres unciones es igual al proucto e la primera la seguna unciones por la erivaa e la tercera, más el proucto e la primera la tercera unciones por la erivaa e la seguna, más el proucto e la seguna la tercera unciones por la erivaa e la primera. ) c c c Demostración: c er paso: ( ) ( ) c

37 º paso: ( ) ( ) c c c c c c ( ) er paso: c c ( ) º paso: c c ' c c c La erivaa el cociente e la unción ientia sobre una constante es igual al inverso multiplicativo e la constante. c c ) c Demostración: c c er paso: ( ) c c º paso: ( ) c er paso: º paso: ( ) c c c( ) c c c c ( ) ( ) ( ) c ( ) ( ) c ( ) c c ' La erivaa el cociente e una constante sobre la unción ientia es igual a la constante iviia por el cuarao e la unción aectao too por un signo negativo. u v u v u v v 9), v Demostración: u v u er paso: ( ) v( ) u º paso: ( ) v( ) restano sumano: u v u v u ( ) v u v( ) v( ) v c

38 ( ) ( ) ( ) v u v u v( ) u v v( ) v u u u ( ) v v v [ u( ) u ] u [ v( ) v ] v( ) v ( ) v u( ) u u v º paso: v( ) v u ( ) u v ( ) v v u v v º paso: ( ) v u' u v' v u v v u u ' v v ; v [ ] [ v ] La erivaa el cociente e os unciones es igual al enominaor multiplicao por la erivaa el numeraor, menos el numeraor multiplicao por la erivaa el enominaor, too iviio entre el cuarao el enominaor. ) n Demostración: n n n er paso: n n º paso: ( ) er paso: n! º paso: n n n n! n n n n n ( n ) n( n )( n )! n n! n ( n ) n( n )!! n n n n ( ) n n( n ) n( n )( n ) n!!! n n n n n n ' ( ) n La erivaa e una potencia e es igual al eponente multiplicao por elevao al eponente menos uno. En resumen aplicano la regla e la caena, en one u siguiente orma:, las epresiones anteriores toman la

39 u c u c v u u v u v u u c c c u v v u u, v v ) ( c) u v w u v w w v u v w u v u w v w c c u c u u u ) ) ( ) ) ) ( ) ) ) 9) v ) ) u n n u Ejemplos. Aplicano las órmulas e erivación, obtener la erivaa e las siguientes unciones: ) 9 ) ) ) ) Aplicano la regla e la caena: u u u u u ) ( ) ( ) n u u 9

40 para ines prácticos, se eriva a la unción el paréntesis en su conjunto ( u ) se multiplica por la erivaa el contenio el paréntesis: ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) 9) ( 9 )( ) ( 9 )( ) ( )( ) ) ( )( 9) ( )( ) ( 9)( ) ) ( )( 9)( ) ( )( 9)( ) ( )( )( ) ( 9)( )( ) ) ( )( )( ) ( )( )( 9 ) ( )( ) ( )( )( ) ) ( 9 ) ( ) ( 9 ) ( ) ( ) ( ) ( 9 ) ( ) ) ( ) ) ) ) 9 ( ) ( ) 9

41 ) ( 9 ) 9) ( ) ) 9 ( 9 ) ( ) ) ) 9 ( 9 ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) 9 9 ( ) ( ) ( ) 9 ( )

42 ) ( 9 ) ( )( ) ( ) ( ) ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 ) ) 9 ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) 9 ( ) 9) ) ( )

43 III. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR e una unción ( ) La erivaa se conoce como primera erivaa. Si ésta es a su vez una unción erivable, su erivaa se enomina seguna erivaa e la unción original, que se enota como: '' La erivaa e la seguna erivaa, en caso e eistir, se conoce como tercera erivaa e la unción: ''' n n n El proceso es sucesivo, mientras eista, la erivaa enésima es: Ejemplo. Obtener la tercera erivaa e la unción Ejemplo. Obtener la quinta erivaa e la unción 9 9,.

44 Ejemplo. Obtener la séptima erivaa e la unción,,, III. DERIVADAS DE FUNCIONES EXPRESADAS EN FORMA IMPLÍCITA Como se einió en el primer capítulo, una unción epresaa en orma implícita es e la orma (, ). Para encontrar la erivaa poría encontrarse su equivalente orma eplícita erivar. Sin embargo, como se sabe, no siempre es ácil espejar la variable epeniente, por lo que resulta necesario erivar en orma implícita. En este sentio, la erivaa e una unción ( ) proceimiento que consta e los siguientes pasos: se puee obtener eectuano el,. Se epresa el operaor a caa término e la unción. Se eriva caa término, consierano la regla el proucto (que en su caso aplique), aemás, tomano en cuenta que la erivaa e una unción en con respecto a es igual a la erivaa e esta unción con respecto a multiplicaa por la erivaa e con respecto a, esto es:. Se acomoan en el primer miembro toos los términos que posean al operaor en el seguno miembro a los que no lo tengan, siempre respetano las reglas e los signos.

45 . Se actoriza el operaor. Finalmente, se obtiene la erivaa al espejarla e la epresión resultante. Ejemplos. Hallar la erivaa e las siguientes unciones epresaas en orma implícita: ) ( ) ) ( ) ) 9

46 ) ) 9 9

47 Si se tiene una unción (, ), se conoce como erivaa parcial e con respecto a a la erivaa e la unción, sólo consierano a como variable lo emás como constante. Se enota como: Similarmente, la erivaa parcial e con respecto a es la erivaa e la unción, sólo consierano a como variable lo emás como constante. Se enota como: Ejemplos. Obtener e las siguientes unciones: ) 9 ) 9 Daa una unción implícita e la orma ( ),, la erivaa través e la aplicación e erivaas parciales, por meio e la siguiente epresión: puee obtenerse mu ácilmente a Ejemplos. Aplicano erivaas parciales, obtener e las siguientes unciones epresaas en orma implícita: La einición e erivaa parcial es mucho más ormal amplia que lo epuesto. El concepto ao aquí es sólo para poseer otro recurso para resolver erivaas epresaas en orma implícita. En cursos posteriores e Cálculo se comprenerá el importante signiicao utilia e una erivaa parcial.

48 ) 9 ) Ejemplos. Comprobar los resultaos e los primeros cinco ejercicios resueltos e este subtema. ) ) ) 9 )

49 ) 9 III. DERIVADAS DE FUNCIONES EXPRESADAS EN FORMA PARAMÉTRICA Daa una unción epresaa en orma paramétrica, tal como se einió en el tema I., e la orma: Su erivaa viene aa por: ( t) ( t) Ejemplos. Obtener la erivaa e las siguientes unciones epresaas en orma paramétrica: t t ) t t t 9 t t ) t t t Para hallar t t t ( t t ) ( t t )( t t ) t t se aplica la regla e la caena para encontrar t ( t t )( t t ) ( t t )( t t) ( t t ) ( t t ) se aplica la regla el proucto: 9

50 ) t t t ( t ) t t ( t) t ) t t t t t t t t ) 9t t t t Para hallar cociente: se aplica la regla t t u u u t para encontrar t se aplica la regla el t t ( t t ) ( t )( t t ) ( t t ) t 9t

51 La seguna erivaa e una unción epresaa en orma paramétrica está aa por: t t Ejemplos. Obtener la seguna erivaa e las siguientes unciones epresaas en orma paramétrica: ) t t t t t t t t t ( t ) t t t t t t ( t )( t) ( t ) 9t t ( t ) t ( t ) t ) t t t t t t t t t t t ( t ) 9t ( t ) 9t III. DERIVADA DE FUNCIONES INVERSAS Sea una unción en el intervalo abierto ( b) inversa es g, la erivaa viene aa por: a, cua erivaa no cambia e signo. Si su unción

52 Ejemplos. Obtener la erivaa e la unción inversa e: ) Forma. Obtenieno la unción inversa: g g Forma. Aplicano la órmula: ) Forma. Obtenieno la unción inversa: g g Forma. Aplicano la órmula: ) Forma. Obtenieno la unción inversa: g g Forma. Aplicano la órmula: Ejemplos. Aplicano la epresión obtener la erivaa e las siguientes unciones: )

53 Obtenieno la unción inversa: g ( ) ( ) ) Obtenieno la unción inversa: g ) Obtenieno la unción inversa: ( ) g ( ) ). Obtenieno la unción inversa: g ( ) III.9 DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS Las unciones trigonométricas o circulares irectas ueron epuestas con amplitu en el capítulo II el libro e Matemáticas V e esta misma serie. Las erivaas e estas unciones se eucen a continuación:

54 cos ) ( sen ) Demostración: er paso: ( ) sen ( ) º paso: ( ) sen( ) sen consierano la ientia trigonométrica: sen ( a b) sen a a b sen b se tiene: ( ) sen er paso: º paso: ( ) ( ) cos cos cos sen sen cos cos pero se sabe que: cos sen ( ) ' cos ( sen ) cos ) sen Demostración: Aplicano la ientia trigonométrica sen π erivano la unción: sen π cos π pero se sabe que: sen cos π '( ) ( cos ) sen sen cos cos cos sen π, se tiene: sen

55 ) ( tan ) sec Demostración: sen cos erivano el cociente: ( cos ) sen ( sen ) ( cos ) cos cos sen ' sec cos cos ' ( tan ) sec ) ( cot ) csc Demostración: cos sen erivano el cociente: sen ( sen ) cos ( cos ) ( sen ) sen cos sen ( sen cos ) ' csc sen ' cot csc ) ( sec ) sec tan Demostración: cos erivano el cociente: ( sen ) ( cos ) sen sen sec tan cos cos cos ' ' ( sec ) sec tan ) ( csc ) csc cot Demostración: sen erivano el cociente: sen

56 ( cos ) ( sen ) cos cos csc cot sen sen sen ' ' ( csc ) csc cot Aplicano la regla e la caena, en one u orma:, las epresiones anteriores toman la siguiente ) ) ) u senu cos u ) u tan u sec u ) u sec u secu tanu ) u cos u senu u cot u csc u u csc u cscu cotu Ejemplos. Derivar las siguientes unciones trigonométricas. ) sen cos ) cos 9 ) ( 9)( sen9) sen9 tan sec sec ) cot ( ) ( ) csc ( ) ( ) csc ( ) sec sec tan sec tan ) ) csc ( ) ( ) csc( ) cot( ) ( ) csc( ) cot( ) ) sen ( 9 )

57 ( 9) cos( 9 ) ( 9 ) cos( 9 ) cos sen ) 9) tan ( tan ) ( tan ) ( sec ) sec tan ) ( cot )( sec ) ( cot )( sec tan ) ( sec )( csc ) cot sec tan sec csc ) ) csc sen ( sen) ( ( ) csc cot ) ( csc ) ( sen) sencsc cot csc sen sen cos ) sen ( sen ) cos ( cos) sen cos Nótese como las unciones e los ejercicios, aunque aparentemente son similares, son mu ierentes: en el primer caso el cuarao está aectano al argumento e la unción. En el seguno caso, el cuarao está aectano a la unción seno. En conclusión, sus erivaas son totalmente istintas. Algo mu similar sucee con los siguientes os ejercicios: ) cos sen

58 ) cos ( cos ) cos sen cos sen ) cot 9 ( cot 9 ) cot 9 csc 9 cot 9 csc 9 ) ( sec )( tan 9) ( sec )( ( 9) sec 9) ( tan 9) ( ( ) sec tan ) sec sec 9 tan 9 sec tan sen cos ) ( cos )( cos ) ( sen )( sen ) ( cos ) cos sen ( cos sen ) cos sec cos cos 9) tan sec Se observa como la erivaa e las unciones e los ejercicios 9 son iguales. Eso signiica que aplicar convenientemente ientiaes trigonométricas puee simpliicar notablemente el proceso e erivación. Un caso similar sucee con las erivaas e los ejercicios : ) sen pero como sen ( ) ( ) ( ) sen ( ) cos( ) cos u cot u senu ( ) cos( ) sen ( ) cscu, se tiene: senu ( ) cot( ) sen ( )

59 ( ) cot( ) csc ( ) ) csc ( ) ( ) csc ( ) ( csc( ) cot( ) ( ) cot( ) csc ( ) III. DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Las unciones trigonométricas inversas einias poseen reglas e erivación. A continuación se eucen las seis órmulas consierano sus respectivos campos e variación. sen ) Demostración: sen sen erivano: sen cos cos sen cos cos ' ( sen ) cos cos ) Demostración: cos cos erivano: cos sen sen sen cos sen sen 9

60 ' ( cos ) tan ) Demostración: tan tan erivano: tan sec sec sec tan sec ( ) ' ( tan ) cot ) Demostración: cot cot erivano: cot csc csc csc cot csc ( ) ' ( cot ) ) ( sec ) Demostración: sec sec erivano: sec sec tan sec tan

61 sec tan tan sec tan ' ( sec ) ) ( csc ) Demostración: csc csc erivano: csc csc cot csc cot csc cot cot csc cot ' ( csc ) Aplicano la regla e la caena, en one u orma:, las epresiones anteriores toman la siguiente ) ) ) u sen u u ) u tan u u ) u sec u u u ) cos cot csc u u u u u u u u u u Ejemplos. Derivar las siguientes unciones trigonométricas inversas: ) sen cos )

62 9 ) ) tan cot ) sec ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 9 csc ( ) ) ( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) sen cos sen cos sen ( ) cos 9 csc tan ) tan csc ( tan ) ( )

63 tan csc 9 ( tan ) 9) sec sec ( ) Por ser unciones inversas, se einan: cot ) ( cot ) ( cot ) ( cot ) ( ) III. DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Las reglas e erivación para las unciones eponenciales logarítmicas se eucen a continuación: a log a ) ( log ) e Demostración: log a er paso: log a log a log a loga log a log a loga º paso: er paso: º paso: ( ) ( ) log log a ' a ( log ) log e ln ) Demostración: a a log a e

64 ( log a ) log a e para este caso: a e ' loge e ln e ' ( ln ) ) a a ln a Demostración: a ln ln a ln a erivano con respecto a : ln a ' a ) ln a a a ln a e e Demostración: ( a ) a ln a a e para este caso: ' e ln e e e ' ( e ) e ln a Aplicano la regla e la caena, en one u Ejemplos. Derivar las siguientes unciones: ) log ( ) log e u a u a u ln u u u u u a a ln u a > u u u e e, las epresiones anteriores toman la siguiente orma: ) log u log e ( a >, a ) ) ) )

65 ) log ( sen ) cos sen log ) ln ( ) e ) ln cos sen cos tan ) ( ln ) ( 9 ) 9 ln ) ) ( ( ) 9 )( 9) e e ) e e log 9) Aplicano la propiea: ) ln( )( ) n log nlog se tiene: Aplicano la propiea: log log log se tiene: a ln ( ) log ( ) log e a ( ) ln ( ) a a a

66 ) ln e Aplicano la propiea: ln ) ln e loga log a log a se tiene: ( ln ) e ( ) ln ( log ( )) e cos sen ln Aplicano convenientemente las propieaes e logaritmos se tiene: ln ( sen ) log cos ln ln log lncos ln sen log lncos ln sen ln ( log ) ln cos ln sen ln log e ( ) cos log cos sen log e log ( cos ) 9 cot III. RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL DE UNA CURVA Si una unción posee una erivaa en el punto m tanθ '. cua peniente es:, la curva tiene una tangente en P Se sabe que la ecuación e la recta que pasa por un punto con una peniente aa es: m ( ). Por lo tanto, si se sustitue la peniente por la erivaa, la ecuación e la recta tangente en un punto e una curva es: ( ) Si m tiene tangente horizontal a la curva. Si m tiene tangente vertical a la curva.,

67 () Recta Normal Recta Tangente 9 P (, ) Una recta normal a una curva en uno e sus puntos es la recta que pasano por icho punto es perpenicular a la recta tangente en él. La conición e perpenicular entre os rectas es: m m La ecuación e la recta normal en el punto P (, ) es: m m m ( ) Ejemplos. Hallar las ecuaciones e las recta tangente normal e las siguientes curvas en el punto inicao. ) P(,) m ( ) m m (recta normal). (recta tangente). ) 9 P(, ) m ( )

68 (recta tangente). m m ( ) (recta normal). ) P, m (recta tangente). m m ( ) ( ) (recta normal). ( ) ) P(,) m (,) ( ) ( ) (recta tangente). m m 9 9 P,9 (recta normal). ) m 9 9 (recta tangente). 9

69 m (peniente e 9, o sea, es ininita) m 9 ( ) ( 9) ( ) (recta normal). Gráicamente, esto es: Recta Normal Recta Tangente 9 () - - III. ÁNGULO ENTRE DOS CURVAS Daas os curvas cualesquiera, el ángulo e intersección entre ellas está ao por el ángulo ormao por sus tangentes en el punto e intersección. m Curva θ P (,) m Curva El proceimiento para obtener el ángulo e intersección entre os curvas es el siguiente:. Se calculan las coorenaas e los puntos e intersección, resolvieno las ecuaciones ormaas por las unciones.. Se erivan las ecuaciones para encontrar las penientes e las tangentes e las curvas para caa uno e los puntos e intersección. 9

70 . Se aplica la siguiente epresión: θ tan m m m m En caso e que se obtenga un ángulo aguo θ que sea negativo, el ángulo e intersección es: θ. En caso e que se obtenga un ángulo no aguo θ que sea positivo, el ángulo e intersección es: θ. En caso e que se obtenga un ángulo no aguo θ que sea negativo, el ángulo e intersección es: θ. Nótese como: Si las penientes son iguales, el ángulo e intersección es cero. Si m, el ángulo e intersección es e 9, es ecir las curvas son ortogonales. m Ejemplos. Obtener el ángulo e intersección entre las siguientes curvas: ) g 9 Igualano las unciones: 9 Derivano: g θ tan θ 9. ( ) ( ) tan tan ) g (.) 9. Igualano las unciones: ; Derivano: g Evaluano el punto : ( ) m m ( )( )

71 θ tan Evaluano el punto : tan 9 tan ( ) m m θ tan tan ) g 9 tan (.). (.9). Igualano las unciones: ( ) Derivano: g ( ) Evaluano el punto : m ( ) ( ) ( ) tan tan ( ) m θ θ. tan ) g (.). Igualano las unciones: a, b, c b ± b ac ± a.; Derivano: g ± 9 ± 9 ± Evaluano el punto : m (.) 9.. m.

72 (.) (.)(.). θ tan tan θ 9. 9 Evaluano el punto. : m. m. (.).. θ tan ( ) tan ) tan tan (.) 9.9 (.). Igualano las unciones: obtenieno las orenaas: ± ± ± ± ± P (,); P (, ) Derivano: g Evaluano el punto (,) : m, m, θ tan tan θ Evaluano el punto (, ) : m ( ), m ( ) tan, θ tan tan tan θ

73 III. MÁXIMOS Y MÍNIMOS Función creciente Sea una unción continua en el intervalo ( b) Función ecreciente Sea una unción continua en el intervalo ( b) a,. Si se cumple que > a,. Si se cumple que <, la unción es creciente., la unción es ecreciente. Creciente va e ( ) a () Decreciente va e () a (-) a > b a < b Criterio e la primera erivaa Si la erivaa e una unción es cero, se tiene un punto critico (PC) eisten os casos:. Si pasa e signo () a (-), la unción tiene un máimo relativo.. Si pasa e signo (-) a (), la unción tiene un mínimo relativo. El máimo más grane se enomina máimo absoluto. El mínimo más pequeño se enomina mínimo absoluto. Si no cambia e signo, la erivaa no tiene ni máimo ni mínimo. Criterio e la seguna erivaa Si cuestión. Si cuestión. < >, la unción, la unción tiene un máimo relativo en el punto en tiene un mínimo relativo en el punto en

74 Concavia Un arco e curva es cóncavo, si caa uno e sus puntos están situaos por encima e la tangente. Como la peniente aumenta: > Conveia Un arco e curva es conveo, si caa uno e sus puntos están situaos por ebajo e la tangente. Como la peniente isminue: < Punto e inleión (PI) Es el punto en el cual la curva pasa e cóncava a convea o e convea a cóncava. Una curva tiene punto e inleión en si: i. ii., es ecir, que eiste su tercera erivaa. Máimo Absoluto PC Cre: Creciente Dec: Decreciente CV: Cóncavo CX: Conveo Cre Máimo Relativo PC CX PI Dec Mínimo Relativo Máimo Relativo PI PC PI CV Cre CX PC CV Dec PI PC Mínimo Relativo Cre CX PI Dec CV PC Mínimo Absoluto () Cre a b

75 Ejemplos. Daas las siguientes unciones obtener (en caso e aplicar): a) puntos críticos, sus máimos mínimos; b) ubicar one son crecientes one ecrecientes; c) eterminar one son cóncavas, one conveas establecer sus puntos e inleión; ) trazar la gráica en el intervalo ao. ) en el intervalo Solución. igualano a cero para obtener los puntos críticos: 9 PC (, ) aplicano el criterio e la seguna erivaa: < unción es creciente en < es ecreciente., por lo tanto, no eisten puntos e inleión. Calculano las orenaas e los puntos etremos: P, por lo tanto es un máimo su orma es convea. Eso implica que en <, la P(, ) Trazano la gráica: Máimo PC (,) Cóncavo ) en el intervalo Solución.

76 igualano a cero para obtener los puntos críticos: ( ) ; PC (,) (,) PC aplicano el criterio e la seguna erivaa: < por lo tanto es un máimo su orma es convea. > por lo tanto es un mínimo su orma es cóncava. Eso implica que en <, la unción es creciente, en < es ecreciente en < es creciente., por lo tanto, sí eisten puntos e inleión. igualano a cero la seguna erivaa para obtener los puntos e inleión: PI, Calculano las orenaas e los puntos etremos: Trazano la gráica: Máimo PC (,) Conveo PI (,) Cóncavo - PC (,) Mínimo - -

77 ) en el intervalo.. Solución. igualano a cero para obtener los puntos críticos: ; PC (, ) PC (, ) PC, aplicano el criterio e la seguna erivaa: < ( ) ; ± por lo tanto es un máimo su orma es convea. > por lo tanto es un mínimo su orma es cóncava. > por lo tanto es un mínimo su orma es cóncava. Eso implica que en. <, la unción es ecreciente, en < < es creciente, en < < es ecreciente en <. es creciente., por lo tanto, sí eisten puntos e inleión. igualano a cero la seguna erivaa para obtener los puntos e inleión:.;. ± (.) (.) (.)... PI (.,.) (.) (.) (.)... PI.,. Calculano las orenaas e los puntos etremos: (.) (.) (.)... Trazano la gráica:

78 Cóncavo PC (,) Máimo Cóncavo PI Conveo PI PC (-,).. PC (,) Mínimo - Mínimo - ) 9 en el intervalo Solución. 9 igualano a cero para obtener los puntos críticos: 9 9 ; 9 9 PC (,) 9 (,) PC aplicano el criterio e la seguna erivaa: > por lo tanto es un mínimo su orma es cóncava. > ( )( ) por lo tanto es un máimo su orma es convea. Eso implica que en <, la unción es ecreciente, en < es creciente en < es ecreciente., por lo tanto, si eisten puntos e inleión. igualano a cero la seguna erivaa para obtener los puntos e inleión: 9 PI, Calculano las orenaas e los puntos etremos:

79 9 9 9 Trazano la gráica: Cóncavo PI (,) Máimo PC (,) Conveo - - PC (,) - Mínimo - - ) en el intervalo Solución. igualano a cero para obtener los puntos críticos: ± Como no está einio ese valor en los números reales, no se tienen puntos críticos. Eso signiica que no ha ni máimos ni mínimos. Calculano las orenaas e los puntos etremos: 9 9 En la siguiente gráica, se muestra que la unción siempre es creciente: