Nombre del Plantel: Conalep Tehuacán 150. Nombre del módulo: Análisis Derivativo de Funciones. Tutorial: Comportamiento de Funciones

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1 Nombre del Plantel: Conalep Tehuacán 50 Nombre del módulo: Análisis Derivativo de Funciones Tutorial: Comportamiento de Funciones Ing. Jonathan Quiroga Tinoco Grupo: 507 y 508 Carrera: P.T.B. en MECC Ciclo Escolar: Agosto 0 Enero 05 Conalep Tehuacán 50

2 MATEMÁTICAS Contiene Cuyo análisis particularizado conduce al estudio de FUNCIONES Funciones algebraicas as cuales se clasiican en Funciones trascendentes as cuales se clasiican en Irracionales Polinomiales Racionales Eponenciales Su inversa ogarítmicas Senoidales imitadas a En especial Compuestas por las unciones Grado de 0 a Bases 0 y e Seno Coseno Con el in de Con el in de RESOVER PROBEMAS PREIMINARES

3 Desarrollo En asignaturas anteriores te has encontrado con problemas que se tienen que modelar mediante una epresión algebraica y que pueden ser representados con gráicas para poder darles solución, es por ello que el uso de las unciones para construir modelos de la vida real es de suma importancia. Para hacer un uso adecuado de las unciones debes poseer habilidades para distinguir sus características, así como también para lograr una mejor interpretación. En virtud de lo anterior, en este tema se analizarán las características más importantes de las unciones, las cuales permiten su clasiicación. A continuación se presenta un esquema de la orma en que se clasiican las unciones, para que tener un panorama general de lo que se abordará en esta secuencia. Clasiicación de unciones Según Su orma analítica a presentación de su orma analítica Su gráica a orma de correspondencia entre sus conjuntos Algebraicas Eplícitas Por su trazo Inyectiva Polinomiales Implícitas Continuas Sobreyectiva Racional Discontinuas Biyectiva Irracional Por su variación Trascendentes Crecientes Trigonométricas Decrecientes Eponenciales ogarítmicas A continuación se mostrarán las características de cada una de las clasiicaciones y en los bloques posteriores se estudiarán detalladamente. Se mostrarán también gráicas de cada una de ellas para que te vayas amiliarizando, asociando la representación analítica con la gráica, además de su variación, entre otras cosas. Al igual que en asignaturas anteriores, a la variable se le denomina variable independiente y a la variable y se le conoce como variable dependiente, en pocas palabras, debido a que la variable y dependerá del valor que se asigne a la variable. Hay que recordar que la variable y está en unción de. Para acilitar el lenguaje, de ahora en adelante se utilizara la palabra unción para reerirse a y y la palabra variable para reerirse a. BOQUE 5

4 Según su orma analítica. Funciones Algebraicas. Son aquellas unciones que están compuestas por términos algebraicos mediante operaciones como la suma, resta, multiplicación, división, potenciación y etracción de raíces. as unciones algebraicas se dividen en polinomiales, racionales e irracionales. A continuación se deinirán cada una de ellas. Funciones polinomiales. Estas unciones tienen como orma general la siguiente: n n n n an an an an... a a a 0 Donde a n, a n.,, a, a 0 son constantes y n es un número no negativo. El dominio de las unciones son aquellos valores que pueden sustituirse en la unción y ésta es verdadera, por lo tanto el dominio de las unciones polinomiales es el conjunto de los números reales. as unciones polinomiales que se tratarán en esta asignatura son hasta de grado cuatro. En seguida se mostrarán la orma general de cada una de ellas y sus nombres. Funciones polinomiales Función cons tante Función lineal Función cuadrática Función cúbica Función cuártica a m b a a a b c b b c d c d e con m 0 con a 0 con a 0 con a 0 Si te darás cuenta, las tres primeras unciones las manejaste en las asignaturas anteriores, pero de igual orma se ejempliicará cada una de ellas en esta secuencia y se retomarán en los bloques posteriores para abordarse con mayor proundidad. Función constante. Esta unción tiene como imagen el mismo número; su dominio son todos los números reales y a todos ellos se les asocia el mismo elemento, el cual es el rango. Para darle mayor claridad se mostrarán algunos ejemplos. Ejemplo. Graicar la unción, determinar su dominio y rango. Se utilizará una tabla para poder ubicar las coordenadas de algunos puntos de la unción. 0 Si observas en la tabla se eligen los valores de la variable más comunes como,. 0,,, y a todos ellos al sustituirlos en la unción les asigna el. Como su nombre lo dice, la variable es independiente, por lo que se puede elegir cualquier número perteneciente a los números Reales y a todos ellos les asignará el mismo valor, ; por lo que la gráica es una recta horizontal que corta al eje Y en, como se muestra a continuación en su gráica. 6 RECONOCE Y REAIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

5 () En la gráica es más sencillo visualizar el dominio y el rango de la unción. () Dom =, a notación que se usó tanto en el dominio como en el rango la puedes veriicar en el aneo A, al inal de tu módulo. Ejemplo. 9 Epresa la unción y traza la gráica si su dominio son los números reales y el rango es. 9 Sabiendo que todos los valores de la unción es el número, se puede trazar la línea horizontal a esa altura y etenderse a los lados desde hasta, como lo determina el dominio, por lo tanto, la gráica queda: Rango= () Como para cualquier valor de el valor de la unción es la unción queda: 9 El dominio y el rango se epresan de la siguiente orma: Dom :, 9 Rango 9, por consiguiente BOQUE 7

6 Función lineal. a unción lineal es una unción algebraica cuyo grado es, y se puede visualizar en los siguientes ejemplos. Ejemplo. Graicar la unción g, así como determinar su dominio y su rango. Como recordarás, esta unción se abordó tanto en Matemáticas como en Matemáticas, en ellas aprendiste dierentes ormas de graicar una unción lineal, por medio de una tabla, de las intersecciones de la unción con los ejes coordenados, así como también a utilizar los parámetros m (pendiente) y b (ordenada en el origen). Utilizando una tabla para encontrar los valores se tiene: g g g g g g g g Graicando los puntos se obtiene: g() Al tener la unción, se puede calcular cualquier valor de que se desee, enteros, racionales inclusive los irracionales, por lo tanto se deben unir los puntos mediante una línea recta. Con ello se comprueba que su dominio son los números reales, como se observa a continuación. g() Rango=, Dom =, 8 RECONOCE Y REAIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

7 Ejemplo. Graicar la unción, describir su dominio y rango. Se utilizará de nuevo una tabla para trazar su gráica. 0 0 En ella se observa que tanto la variable como la unción tienen el mismo valor, es por ello que se le denomina unción identidad o idéntica. Posteriormente te darás cuenta que la unción identidad es muy importante para identiicar la inversa de una unción. Su gráica describe una recta con un ángulo de inclinación de 5º. () Al igual que todas las unciones lineales, su dominio y rango es el conjunto de los números reales. Tanto el dominio como el rango se pueden escribir de dos ormas: Forma de intervalo Dom, Rango, Forma de conjunto. Dom Rango BOQUE 9

8 Función cuadrática. a unción cuadrática es de segundo grado y es de la orma a b c con a 0 parábola, como a continuación se muestra en los siguientes ejemplos. Ejemplo. Graicar la unción T ; obtener el dominio y el rango. Se utiliza una tabla para determinar la gráica de la unción., su gráica describe una T T T T T T T Su gráica es: T() Rango=, Dom =, Consulta el aneo A al inal de tu módulo, para que veriiques cómo se representa el Dominio y Rango en orma de intervalo. Ejemplo. Graicar la unción H ; encontrar el dominio y el rango. Se sustituyen los valores en la unción para encontrar los puntos. 0 RECONOCE Y REAIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

9 Su gráica es: H 0 0 H H H 0 H H H() Rango=, Dom =, Función cúbica. a unción cúbica es una unción polinomial de tercer grado, es de la orma a b c d con a 0 Para conocer su gráica se requiere ejempliicar. Ejemplo. Graicar la unción D 6 6 Se utiliza una tabla para determinar la gráica de la unción. ; obtener el dominio y el rango.. D D 0.5 D D.5 D D.5 D D.5 BOQUE

10 Su gráica es: D() Rango=, Dom =, Ejemplo. Graicar la unción K ; obtener el dominio y el rango. En este caso, la unción no tiene el término cuadrático y lineal, pero sigue siendo una unción cúbica. K K 8 5 K K K0 0 K K K 0 RECONOCE Y REAIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

11 Su gráica es: K() Rango=, Dom =, Función cuártica. a unción cuártica es una unción polinomial de cuarto grado, es de la orma: a b c d e con a 0. Cualquiera de los términos b, c, d o e pueden valer cero, pero no así el coeiciente a, a continuación se ejempliicará su gráica. Ejemplo. Graicar la unción 6 Se utiliza una tabla para determinar la gráica de la unción. ; obtener el dominio y el rango ( ) ( 0.5) (0) (0.5) 6 () (.5). 5 BOQUE

12 Su gráica es: () Dom =, Rango= 5, Este tipo de unciones, como en las cuadráticas, se requiere otro proceso para encontrar el punto más bajo con el in de determinar con certeza el rango, como se muestra en la gráica; esto lo aprenderás en el bloque correspondiente a las unciones de tercer y cuarto grado, así como también, en la asignatura de Cálculo Dierencial e Integral I. Ejemplo. Graicar la unción G ; obtener el dominio y el rango. En este caso, se carece del término cúbico y cuadrático, pero sigue siendo una unción cuártica. G 0 6 G G G 0 G G RECONOCE Y REAIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

13 Su gráica es: G() Rango=,6 Dom =, Funciones racionales. Son las unciones que están ormadas por el cociente de dos unciones polinomiales, son de la orma: P donde P y Q son unciones polinomiales sólo que Q 0. Q En el caso de que Q sea constante, se obtiene una unción polinomial, como se muestra al simpliicar la unción 8. Para simpliicarla es necesario realizar la división. 8 8 Se obtiene una unción cuadrática y su gráica es la siguiente: () Su dominio y rango es: Dom:, Rango 5, BOQUE 5

14 En esta sección se ejempliicará la orma que tienen las unciones racionales con denominador dierente a una unción constante y en el bloque se abordará más a ondo este tipo de unciones. Ejemplo. Graicar la unción ; determinar su dominio y su rango. Se utiliza una tabla para conocer algunos de los puntos que pertenecen a la unción. 6 5 No está deinido No está deinido Al graicar se obtiene: () Como se observa en la gráica, el comportamiento de los puntos parece ser una recta, pero cuando la variable toma el valor de, el cociente tiene divisor cero, por lo tanto, se indeine. Para poder determinar el comportamiento alrededor de la indeinición, se requiere tomar valores cercanos a =, como se observa en la siguiente tabla. 6 RECONOCE Y REAIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

15 No está deinido No está deinido () Al graicarse la tabla con los valores más cercanos a, se observa lo siguiente: El comportamiento sigue siendo lineal, y se puede seguir graicando valores de más cercanos a, para comprobar que eectivamente ese comportamiento. Por lo tanto, se dibuja la línea pero con un punto hueco a la altura de. () El dominio y el rango se componen de una unión de dos intervalos, como se observa en la gráica. Dom Rango,,,, o bien Dom Rango,,,, BOQUE 7

16 Ejemplo. Graicar la unción ; determinar su dominio y su rango. Se utiliza una tabla para conocer algunos de los puntos que pertenecen a la unción No está deinido Noestádeinido.5. Al graicar se obtiene: () a gráica de los puntos no dice mucho, por lo tanto, se requiere tomar valores cercanos a =, para ver su comportamiento, así como también valores en los etremos, para ello consideraremos la siguiente tabla. 8 RECONOCE Y REAIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

17 No está deinido Noestádeinido Según los puntos obtenidos, quedan distribuidos de la siguiente orma: () Al seguirse graicando puntos más cercanos al, se tiene que a su derecha tienden a irse a ininito ( ) y al acercarse por la izquierda del, tienden a irse a menos ininito ( ). Al igual que en los etremos, entre más grande el número, el valor de la unción se acerca al por arriba, y entre más pequeño es el número, el valor de la unción se acerca a por abajo, por lo tanto, la gráica completa quedaría así: as líneas punteadas se llaman asíntotas, la vertical representa el valor que no puede tomar la variable y la horizontal representa el valor que no puede tomar la unción, es por ello que su dominio y rango son: Dom Rango,,,, o bien Dom Rango (),,,, BOQUE 9

18 Así como estos dos ejemplos, que son tan dierentes en sus gráicas, encontrarás que las unciones racionales son muy variadas en su comportamiento, todo depende del tipo de unciones polinomiales que contengan en su numerador y denominador. Funciones irracionales. Son las unciones que se identiican por poseer raíces que involucran a la variable, este tipo de unciones no se pueden epresar como unciones racionales. Algunos ejemplos de unciones irracionales son: 5 g h Se debe descartar aquellas unciones en las que se pueda etraer la variable de la raíz, como por ejemplo. En la unción 8 8, se puede etraer la raíz dividiendo la potencia entre el radical y se obtiene como resultado, dejando ver que se trata de una unción polinomial. a unción 5 6 se puede epresar como 5 6 polinomial. Se ejempliicarán algunas unciones irracionales para observar su comportamiento. Ejemplo. Graicar la unción, así como determinar su dominio y su rango. Utilizando una tabla para encontrar las coordenadas de los puntos., que resulta ser una unción No es número real 0 No es número real No es número real No es número real 0 0 No es número real No es número real Como se observó, los valores que se pueden sustituir en la unción son aquellos en los cuales el radicando sea un número no negativo, puesto que la raíz cuadrada de un número negativo pertenece al conjunto de números imaginarios, no a los números reales. 50 RECONOCE Y REAIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

19 Al ubicar los puntos en el plano cartesiano se tiene: () Para unir los puntos se debe considerar que los valores donde eiste la unción son mayores o iguales a ( ), por lo tanto, la línea se traza a partir del punto (, 0 ) hacia la derecha y hacia arriba, quedando la gráica de la siguiente orma: () El dominio y el rango son: () Dom =, Rango= 0, BOQUE 5

20 Ejemplo. Graicar la unción, así como determinar su dominio y su rango. Para resolver este ejemplo, se utiliza una tabla para encontrar las coordenadas de los puntos No es número real No es número real Al ubicar los puntos en el plano cartesiano se obtiene: () De acuerdo al comportamiento de la unción, los valores que hacen que sea verdadera son para menores o iguales de ( ), por lo tanto se graica a partir de (, ) a la izquierda y hacia abajo, quedando la gráica de la unción como sigue: () Dom =, Rango=, 5 RECONOCE Y REAIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

21 Funciones Trascendentes. Son aquellas cuya regla de correspondencia no es algebraica, como las unciones trigonométricas, las cuales conociste en Matemáticas ; también se consideran trascendentes las unciones eponenciales y logarítmicas. A continuación se presentan algunos ejemplos de cada una de ellas. Funciones trigonométricas. En ellas se utilizan las relaciones trigonométricas de seno, coseno, tangente, cotangente, secante o cosecante, así como también las trigonométricas inversas. Hay que recordar que las unciones trigonométricas surgen de la comparación por división de las magnitudes de un triángulo rectángulo. c b b sen c a cos c b tan a c csc b c sec a a cot b a En el bloque 6 conocerás a detalle las unciones trigonométricas, entretanto, se graicarán algunos ejemplos para visualizar su comportamiento, y para ello se requiere el uso de la calculadora, en modo de radianes (Rad), como lo aprendiste en matemáticas. Ejemplo. Graicar la unción () sen, determinar su dominio y rango. () sen sen sen sen sen0 0 sen 0. 9 sen sen Al graicar los puntos se obtiene la gráica: () BOQUE 5

22 En matemáticas, aprendiste a graicar estas unciones utilizando los valores que provocan cambios importantes en ellas, los cuales son los múltiplos de 90º, éstos se graican en el plano cartesiano en radianes como múltiplos de ; a continuación se muestra se muestra la tabla en estos términos. () sen 0 sen 0 sen sen 0 sen 0 sen 0 0 sen sen 0 sen sen 0 Graicando estos puntos con los anteriores se tiene un mejor panorama del comportamiento de la gráica, el cual es periódico. () Al graicar la unción y ubicar solamente los múltiplos de queda: () Rango=, Dom =, 5 RECONOCE Y REAIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

23 Ejemplo. Graicar la unción T() cos, determinar su dominio y rango. Tomando en cuenta que el comportamiento de las unciones trigonométricas cambia en los múltiplos de π, la tabla queda: T() cos 0 T cos T cos T cos T cos T 0 cos0 T cps T cos T cos T cos Al ubicar los puntos y trazar la línea se obtiene la gráica: T() Rango=, Dom =, BOQUE 55

24 Funciones eponenciales. Son las unciones cuya variable se ubica en el eponente, como por ejemplo: En las unciones anteriores e A continuación se muestran ejemplos de gráicas de unciones eponenciales para conocer a grandes rasgos su comportamiento y establecer su dominio y rango. Para encontrar los valores de la unción, se requiere utilizar calculadora. Ejemplo. Graicar la unción, determinar su dominio y rango. Utilizando una tabla para determinar el comportamiento se tienen los siguientes puntos Ubicando los puntos se obtiene la gráica: () Se observa en la gráica, entre menor sea el valor de, la unción se acerca al valor de, de hecho, jamás va a tomar el valor de, esto se puede visualizar analizando la unción. Como la unción es eponencial, el valor del eponente es el que varía. Si la es grande, el valor de crece muy rápido, si la es cero, su valor es 0, si el valor es negativo signiica que se puede epresar como:, se hace casi cero, pero jamás será cero ni negativo. Por lo tanto, si no puede ser cero, no podrá tomar el valor de, ni tampoco números menores que este valor. Se podría decir que eiste una recta asíntota a la altura de y=, que impide que la unción toque ese valor. 56 RECONOCE Y REAIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

25 () Rango=, Dom =, Ejemplo. Graicar la unción P e, determinar su dominio y rango. Utilizando una tabla para determinar el comportamiento se tienen los siguientes puntos. P e P P P P P P P P P 5 5 e e e e e 0 0 e e e e El número e es un número irracional amoso, y es uno de los números más importantes en matemáticas. as primeras ciras son: Se le conoce también como el número de Euler por eonhard Euler. BOQUE 57

26 P() Al igual que el ejemplo anterior, esta unción está delimitada por una asíntota, la cual está ubicada a una altura de y=. Por lo tanto, la gráica se visualiza de la siguiente orma: P() Rango=, Dom =, 58 RECONOCE Y REAIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

27 Funciones logarítmicas. Éstas son las unciones inversas a las unciones eponenciales, su deinición y propiedades se retomarán más adelante, mientras tanto, sólo se ejempliicará su orma, para ello, se requiere utilizar la calculadora cientíica. as unciones logarítmicas más usadas son las que tienen base 0 o base e, y se escriben: Algunos ejemplos de ellas son: n En las unciones anteriores og log 0 n loge log log A continuación se muestran ejemplos de gráicas de unciones logarítmicas para conocer, a grandes rasgos, su comportamiento y establecer su dominio y rango. Ejemplo. Graicar la unción n, determinar su dominio y rango. Utilizando una tabla para determinar el comportamiento se tienen los siguientes puntos. n 0.5 No eiste 0 No eiste Al sustituir los valores negativos en el logaritmo natural de tu calculadora, te das cuenta que no eiste la unción, esto es porque así como en la unción eponencial, para cualquier valor que sustituyas en el eponente nunca será cero ni negativa, la unción logarítmica al ser su inversa, no podrás sustituir valores negativos o el cero. Esto te quedará mucho más claro cuando veas más detalladamente los temas de unciones inversas, unciones eponenciales y logarítmicas. Continuando con la gráica, se ubican los puntos y se obtiene: 0.5 n 0.5 No eiste 0 n0 No eiste 0. n n n n 0 n. 9 n n5. () En esta ocasión, la asíntota es vertical y se ubica eactamente en el eje Y, puesto que no se encuentra valor de la unción para negativa o cero. BOQUE 59

28 Por lo tanto, su gráica queda: () Rango=, Dom = 0, Ejemplo. Graicar la unción S og, determinar su dominio y rango. Utilizando una tabla para determinar el comportamiento se tienen los siguientes puntos. S og No eiste No eiste S S S S S S S S S S S 5 og og. 70 og. 60 og. 8 og. 0 0 og og og og 0.9 og Noeiste og Noeiste os puntos quedan de la siguiente orma: S() En esta ocasión la asíntota está ubicada en =, dado que en la unción, cuando =, se tiene que obtener el valor de log(0) y éste no eiste, así como también, valores de mayores que se tendría log( negativo), por lo tanto, no eiste. 60 RECONOCE Y REAIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

29 Trazando la línea se obtiene la siguiente gráica: S() Rango=, Dom =, Sitios Web recomendados: Ingresa a estos sitios para que reuerces tus conocimientos acerca de la clasiicación de unciones. n%0seno BOQUE 6

30 Según su gráica. En los temas anteriores se han dibujado varios tipos de unciones, en ellas se ha visto cómo el dominio y el rango van cambiando dependiendo de qué valores se puedan sustituir en la unción y qué se obtiene de la misma; también se vieron unciones en las que para ciertos valores de la unción no eiste o bien se acota mediante rectas imaginarias (asíntotas), pues bien, ahora eiste otra clasiicación y ésta se reiere al comportamiento de su gráica y sólo contempla dos tipos, aquellas que su gráica nunca se interrumpe o las que suren cortes o saltos, es decir, continuas o discontinuas. A continuación se proporcionará una deinición intuitiva de estos dos conceptos. Funciones continuas. Son aquellas que pueden dibujarse sin levantar el lápiz del papel, éstas no suren ninguna separación, salto o hueco. Ejemplo de ellas, son todas las unciones polinomiales, la unción seno y coseno, pertenecientes a las unciones trigonométricas, así como también las unciones logarítmicas y eponenciales. A continuación se mostrarán algunas gráicas de uncione continuas. () () () Funciones discontinuas. Son las que presentan una ruptura en su trazo, ya sea por medio de un salto o un punto hueco, como se observa en las siguientes gráicas. () () () Cuando se tiene la representación analítica de la unción, la discontinuidad eiste para aquellos valores de en donde la unción se indeine, como es el caso de las unciones racionales, las cuales se indeinen para aquellos valores donde el denominador es cero. 66 RECONOCE Y REAIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES