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1 e MATEMÁTICA APLICADA TECNOLOGIA EN ELECTRÓNICA CÁLCULO TALLER DE DERIVADAS Manizales, 26 e Marzo e 20 Solucionar los siguientes problemas referenciaos el teto e moulo CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL (Purcell). Se han añaio las imágenes escaneaas e las páginas sugerias. ORDEN TEMA PAGINA PROBLEMA Conjunto e 0 problemas Conjunto e problemas Conjunto e problemas

2 Sección 2.2 La erivaa los I \ \-. La erivaafen está aa por f'() = lím o De formaequivalente,f'() = lím o h~o 2. t~ La peniente e la recta tangente a la gráfica e = f () en el punto (e, f(e)) es o. Si f es erivable en c, entonces f cs en c. El inverso es falso, como se emostró meiante el ejemplo f() = o 4. Si Y = f (), ahora tenemos os símbolos iferentes para la erivaa e con respecto a. Son o ra [l- te :a Jn ~c,n- :ta leín. rte líe la 'go un o las en m, la se Conjunto e problenlas 2.2 En los problemas el -4, utilice la efinición f'(e) = lím f(e + h) - f(e) h~o h para encontrar la erivaa inicaa.. f'() sif() = 2. f' () si f (t) = t 2 - t 2. '(2) si f(t) = (2t)2 4. '(4) sif(s) = s _ En los problemas el -22, use f'() = lím [f( + h) - f()]/h h~o para eterminar la erivaa en.. s() = f() = a + f 7. r() = f() = f() = a 2 + b + c 0. f() = 4. f() = g() = h() = ~ 4. S() = F() = F() = ~ 2 7. G() = G() = X -- X 9. g() = ~ 20. g() = ~ 2. H() = ~ 22. H() =W+4-2 En los problemas el 2-26, use f'() = lím [f(t) - f()]/[t - ] t~ para eterminar f'() (véase el ejemplo ). 2. f() = 2 ~. 2. f () = _ En los problemas el 27 al6 el limite ao es una erivaa, pero e quéfunción? Yen qué punto? (Véase el ejemplo 6). 2( + h) - 2() 27. lím '--- h~() h, (+h)2+2(+h)- 28. hm h~() h 24. f() = f() =._- lím 2 ~ 4 lím ~ X - 2 -)o X - t 2-2 ' ~. lím lím ---!--- t- p--- p- 2 2 t sen - sen. lím-- 4. lím ~t X - t --- -, cos( + h) ~ cos,tan(t + h) - tant. hm 6. hm ---'------' h~o h h- () h En los problemas el 7 al 44 se a la gráfica e una función = Utiliee esta gráfica para bosquejar la gráfica e = L---r-----'---+-'----.~ t Y = + 2, Xl =, X2 =. I I -::; Y = , Xl = 0.0, X2 = 0. f' (). 4ft 2 f () );;-...L-.!~I~_'----'-----"--- _ -,!.! I ~ En los problemas el 4 al 0 etermine Li para los va/ores aos e Xl X2 (véase el ejemplo 7).

3 Sección 2. Reglas para encontrar erivaas J ~ri, el EJEMPLO [] Encuentre DY si = SOLUCIÓN DY = D X( 4 ~ J+ D(~) ( 4 + )DA2) - 2DA 4 + ) DA) - DA) -'------'---"-'--'------=-'-'--'-----'--+-~--'---=---"-'---"- ( 4 + )2 2 ( 4 + )(0) - (2)(4 ) ()(O) - ()() -----,----' '----'----c---'---'-c- ( 4 + )2 2 EJEMPLO 6 IDemuestre que la regla para la potencia se cumple para eponentes enteros negativos, es ecir, n O - l'n n - 2n Como parte el ejemplo, vimos que D (/) = -/ 2. Ahora tenemos otra forma e ver la misma cosa. h)] h)}. La erivaa e un proucto e os funciones es la primera por más la por la erivaa e la primera. En símbolos, D[f()g()] = -' 2. La erivaa e un cociente es el por la erivaa el numeraor, menos el numeraor por la erivaa el, too iviio entre el o En símbolos, D [ ()/ g ()] = o Conjunto e problemas 2.. El seguno término (el término que inclue a h) en la epansión e ( + h) n es o Este hecho lleva a la fórmula D [ n ] = 4. L se enomina operaor lineal, si L(kf) = Y L(f + g) = o El operaor e erivación enotao por es un operaor lineal. En los problemas el al 44, encuentre DY meiante las reglas e = esta sección. 7. = = = 2 Y = 7TX 9. = =---. Y = 7TX 4. X 2 4. = = Y 2 2 = = --- 7T a 2 7. Y =- 8. Y =- Y = ( 2 X 2. + ) 24. Y = ( - ) 00 a 9. = = (2 + lf 26. =(-+2)2 Y = 4 = ( 2 + 2)( + ) = ( 4 - )( 2 + ). Y = = Y = = ( 2 + 7)( - + ) 4. Y = T + 7T 2 0. Y = (4 + 2)( ). Y = 7TX Y = ( 2-7)( ) 6. Y = TX- O 2. = ( 2 + 2)( )

4 4 Capítulo 2 La erivaa l 2. Y=~~- 4 Y-~~ ~ 2 - l 4. Y = 6 Y - -~~ l 2-7. Y = + 8. Y = ~ Y = Y = 2 + (o, Yo) un punto e tangencia. Determine os coniciones que (o, Yo) ebe satisfacer. Véase la figura Y = Y = - tre Y = 44. Y = ----, Si[(O) = 4,['(0) -,g(o) = -,g'(0) =,encuen- (a) (f'g)'(o) (b)(f + g)'(o) (c)(f/g)'(o) -2 - Araña 4 tre 46. Si[() = 7,['() = 2,g() = 6,g'() = -IO,encuen- (a) (f - g)'() (b) (f' g)'() (c) (g/f)'() Figura 4 Figura 47. Utilice la regla el proucto para mostrar que D [[() ] 2 = 2, [() Df(). [EPl] 48. Desarrolle una regla para D [[() g () h() ]. 49. Encuentre la ecuación e la recta tangente a = en el punto (, ). 0. Encuentre la ecuación e la recta tangente a = /( 2 + 4) en el punto (, /).. Encuentre toos los puntos en la gráfica e = - 2, one la recta tangente es horizontal. 2. Encuentre toos los puntos en la gráfica e = ~ + 2 -, en one la recta tangente tenga peniente.. Encuentre toos los puntos en la gráfica e = 00/, one la recta tangente sea perpenicular a la recta =. 4. Demuestre el teorema F e os formas.. La altura, s, meia en pies, a la que se encuentra un balón, por encima el suelo a los t segunos está aa por s = -6t t + loo. (a) Cuál es su velocia instantánea en t = 2? (b) Cuáno su velocia instantánea es cero? 6. Una pelota ruea hacia abajo a lo largo e un plano inclinao, e moo que su istancia s ese su punto e inicio espués e t segunos es s = 4.t 2 + 2t pies. Cuáno su velocia instantánea será e 0 pies por seguno? 7. Eisten os rectas tangentes a la curva = 4-2 que pasan por el punto (2,). Encuentre las ecuaciones e ambas. Sugerencia: sea [' '] 8. Una viajera espacial se mueve e izquiera a erecha a lo largo e la curva = 2. Cuano apague los motores, continuará viajano a lo largo e la recta tangente en el punto en que ella esté en ese momento. En qué momento ebe apagar los motores para que alcance el punto (4, )? 9. Una mosca se arrastra e izquiera a erecha a lo largo e la parte superior e la curva = 7-2 (véase la figura ). Una araña espera en el punto (4, O). Determine la istancia entre los os insectos cuano se ven por primera vez. 60. Sea P(a, b) un punto en la parte el primer cuarante e la curva = l/ suponga que la recta tangente en P interseca al eje en A. Demuestre que el triángulo AO? es isósceles etermine su área. 6. El raio e una sania esférica está crecieno a una velocia constante e 2 centímetros por semana. El grosor e la cáscara siempre es la écima parte el raio. Qué tan rápio está crecieno el volumen e la cáscara al final e la quinta semana? Suponga que el raio inicialmente es cero. 62. Vuelva a resolver los problemas el 29 al 44 en una computaora compare sus respuestas con las obtenias e forma manual. Respuestas ala revisión e conn'ptos:. la erivaa e la seguna;seguna;f()dg() + g()d[() 2. enominaor, enominaor; cuarao el enominaor; [g()d[() - [()Dg()]/g2(). nn-h; n n - 4. kl(f); L(f) + L(g); D 2.4 Derivaas e funciones trigonométricas La figura nos recuera la efinición e las funciones seno coseno, En lo que sigue, t ebe consierarse como un número que mie la longitu e un arco en el círculo unitario o, e forma equivalente, como el número e raianes en el ángulo corresponiente. Por lo tanto, f(t) = sen t g(t) = cos t son funciones para las cuales tanto el ominio como el rango son conjuntos e números reales, Poemos consierar el problema e eterminar sus erivaas, "órmulas e las erivaas. Elegimos utilizar en lugar e t como nuestra variable básica. Para eterminar DAsen ), apelamos a la efinición e la erivaa utilizamos la ientia e suma e ángulos para sen( + h).

5 Sección 2. La regla e la caena 2 ~l a. ~). :s- le- re- lar le! co-. Si Y = f(u), one u = g(t), entonces D = DuY. En notación e funciones, (Jo g)'(t) = o 2. Si w = G(v), one v = H(s), entonces D,w = D,v. En notación e funciones (G o H)'(s) = _ Conjunto e problemas 2. En los problemas el al20 encuentre DY.. = ( + ) 2. = (7 + ). =(-2) 4. = ( )7. = ( ) 6. Y = ( )-7 7. = 8. = ( + ) ( 2 +-)9 9. = sen( 2 + ) 0. = cos( 2-2). = cos 2. = sen 4 ( 2 ). =(~Y 4. Y = ( r - X-7T ( 2 ) = cos ( ~). Y = cos = ( - 2)2( - X 2 )2 8. = (2 - X 2 )4( 7 + ) ( + ) = Y = ( 2 + 4f En los problemas el 2 al28 encuentre la erivaa que se inica. 2. ' one = ( 2 + 4)2 22. ' one = ( + sen)2 D(~) Como g es erivable en, es continua allí (véase el teorema 2.2A), e este moo il - Ofuerza a ilu - O. De aquí que, / il / Áu u hm -. hm - = -.- Au--->O Áu A--->O Á u Esta emostración es mu irecta, pero esafortunaamente contiene un error sutil. Eisten funciones u = g() con la propiea e que ilu = Opara algunos puntos en toa vecina e (la función constante g() = k es un buen ejemplo). Esto significa que la ivisión entre ilu en nuestro primer paso poría no ser legal. No ha una forma sencilla e ar la vuelta a esta ificulta, aunque la regla e la caena es vália, incluso en este caso. Damos una emostración completa e la regla e la caena en el apénice (véase la sección A.2, teorema B). D,(~) 2. t+ 24. 's+4 ~(t-2)) (sen 0) t t + O ( sen ) 27. -,one = --2- cos 28. i' one = [sen t tan(t 2 + )] 4. Si Y = (2 + ) sen( 2 ), entonces DY = (2 + ). + sen( 2 ).. 0. G'(l) si G(t) = (t 2 + W(t2-2)4. F'() si F(t) = sen(t 2 + t + ) 2. g'(~) si g(s) = COS 7TS sen 2 7TS En los problemas el al 40 aplique la regla e la caena más e una vez para encontrar la erivaa que se inica.. DAsen 4 ( 2 + )] 4. Dt[cos (4t ~ 9»). Dt[sen (cos t)] 6. Du [ COS4(~ ~ ~) ] 7. De[cos4(sen ( 2 )] 8. DA sen 2 (2)] 9. {sen[cos(sen 2)]} 40. -{cos 2 [cos(cos t)]} t En los problemas 4 al 46 utilice las figuras 2 para aproimar las epresiones que se inican. 4 2 Figura (f + g)'(4) 4. (fg)'(2) 4. (f o g)'(6) X 246 Figura 42. (f - 2g)'(2) 44. (f/ g )'(2) 46. (g 0)'() En los problemas el 29 al 2 evalúe la erivaa que se inica. X2 + ) 29. f'(),si f() = ( ~ En los problemas el 47 al 8 eprese la erivaa que se inica en términos e la función F(). Suponga que F es erivable. 47. D (F(2» 48. D (F( 2 +»