LA CICLOIDE, UNA CURVA DE MUCHO EMPAQUE

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1 LA CICLOIDE, UNA CUVA DE MUCHO EMPAQUE CALOS S CHINEA LA CICLOIDE UNA CUVA DE MUCHO EMPAQUE Una breve introucción 1 Ecuaciones paramétricas La tangente y la normal en un punto 3 Longitu e un arco 4 El área que barre un arco 5 Las curiosas propieaes e la cicloie 6 Documentación Una breve introucción: La Cicloie puee ser efinia como la curva plana que es escrita físicamente por la trayectoria e un punto e una circunferencia que, sin eslizarse, ruea sobre una recta horizontal Es inmeiato que si pensamos en el punto e contacto e la circunferencia con la recta en el instante inicial el comienzo el roamiento, este punto escribe un arco hasta volver a tocar e nuevo la recta horizontal sobre la cual se prouce la roaura e la circunferencia Este arco, pues, estará encerrano un área plana sobre icha recta horizontal en el intervalo [, p] Aun cuano parece ser que fue Galileo Galilei ( el primero en estuiar esta curiosa curva, sin embargo, la historia e la Cicloie como objeto el quehacer fisicomatemático en Europa arranca ese 1637, unos po años antes e la muerte e este gran científico Marín Mersenne ( , el monje amigo e Descartes, publicó en 1637, en su "Armonía Universal", el trabajo e Gilles P oberval (Senlis, 16- DIVULGACIÓN DE LA MATEMATICA EN LA ED ENEO 1

2 LA CICLOIDE, UNA CUVA DE MUCHO EMPAQUE CALOS S CHINEA París, 1675, en el que se había lograo, entre otras as, el cálculo exacto el área barria sobre la recta horizontal por un arco e Cicloie ené Descartes obtuvo, e una forma efectiva y elegante, la recta tangente en un punto el arco e cicloie con una técnica que ha sio seguia espués por el esarrollo e la geometría iferencial Ya en 1658 fue cuano Blas Pascal ( , en un famoso esafío a los científi europeos e la época, proponía eterminar la longitu e un arco e la Cicloie y también su centro e gravea, así como la superficie el volumen e revolución que engenra el área plana que barre el arco e cicloie al girar ya sea entorno al eje x, o entorno al eje y, o bien, entorno al eje e simetría el arco e Cicloie Fueron, en efinitiva, muchos los esfuerzos realizaos en el siglo XVII para tratar e comprener esta curva y sus propieaes, tanto geométricas como físicas, que han permitio esarrollar, espués, un gran número e aplicaciones 1 Ecuaciones paramétricas: Para obtener las ecuaciones paramétricas e la Cicloie bastará tener en cuenta en la figura que, puesto que la circunferencia no se esliza, sino que ruea, el arco PB y la istancia rectilínea OB coincien: OB arco(pb Así, pues, para un punto genérico cualquiera P(x,y e la Cicloie, se tiene, llamano al raio e la circunferencia y a al ángulo en el centro: x OA OB AB arco( PB PD sen sen ( sen y PA DB DC DB PD (1 En efinitiva, las ecuaciones paramétricas son: DIVULGACIÓN DE LA MATEMATICA EN LA ED ENEO

3 LA CICLOIDE, UNA CUVA DE MUCHO EMPAQUE CALOS S CHINEA x ( sen y (1 La tangente y la normal en un punto: La recta tangente a una curva plana cualquiera y f(x, en el punto P(x, y es e la forma y y y x ( x x Y la ecuación e la normal en icho punto: y y En el caso e la Cicloie, se tiene: 1 y x ( x x x (1, y sen y x sen (1 En efinitiva, al sustituir: Tangente a la Cicloie en P(x, y : 1 sen y y ( x x y (1 ( x ( sen sen (1 quitano enominaores y simplificano: sen x ( 1 y ( sen Normal a la Cicloie en P(x, y : sen 1 y y ( x x y (1 ( x ( sen 1 sen quitano enominaores y simplificano: ( 1 x sen y (1 DIVULGACIÓN DE LA MATEMATICA EN LA ED ENEO 3

4 LA CICLOIDE, UNA CUVA DE MUCHO EMPAQUE CALOS S CHINEA Estas son, por consiguiente, las ecuaciones el haz e tangentes y el haz e normales a la Cicloie Hay, evientemente, una tangente y una normal para caa valor el parámetro a el haz 3 Longitu e un arco: La longitu e un arco e curva entre os puntos, A y B, se puee calcular meiante la integral efinia L AB B A x y B A x y Por tanto, en el caso e la Cicloie, el arco entre los puntos (, y (p, es: L (1 sen (1 1 y, e la fórmula el ángulo mita: por tanto: sen 1 L sen ( ( ( 1 1 ( 8 En efinitiva, la longitu e un arco e Cicloie resulta ser 8 veces la longitu el raio el círculo generaor 4 El área que barre un arco: El área barria por un arco y f(x en el intervalo real (, p viene ao por la integral efinia: A y x (1 (1 (1 DIVULGACIÓN DE LA MATEMATICA EN LA ED ENEO 4

5 LA CICLOIDE, UNA CUVA DE MUCHO EMPAQUE CALOS S CHINEA 1 ( 1 ( ( 3 Es ecir, el área barria por un arco e Cicloie resulta ser tres veces el área el círculo que la genera 5 Las curiosas propieaes e la Cicloie: La Cicloie presenta algunas propieaes que no se encuentran en la generalia e las curvas planas Vamos a ver con cierto etalle una propiea geométrica, la propiea e la evoluta o envolvente el haz las normales, y, muy someramente, os propieaes físicas que han contribuio granemente a la fama e esta curva: la tautocronía y la braquistocronía 51 La envolvente e las normales: La envolvente e un haz e curvas efinio por un parámetro a se obtiene eliminano el parámetro entre el sistema e ecuaciones con os incógnitas formao por la ecuación e la expresión el haz y su erivaa con respecto a al parámetro En realia, las ecuaciones paramétricas e icha envolvente son icho sistema e os ecuaciones, que poemos explicitar espejano las variables x e y en función el parámetro a La envolvente el haz e las normales a una curva se llama evoluta e icha curva La evoluta e la Cicloie se poría eterminar, pues, eliminano el parámetro a entre la ecuación e haz e las normales y su erivaa con respecto al parámetro, o bien, explicitano sus ecuaciones paramétricas en función e a Puesto que la ecuación el haz e normales es e la forma: su erivaa con respecto al parámetro: ( 1 x sen y (1 sen x, y ( sen 1 Si eliminamos la y entre ambas ecuaciones meiante una simple reucción, multiplicano por ejemplo la primera por un eno y la seguna por un seno, se obtiene, al simplificar: x sen y, al sustituir esta expresión, se puee espejar la y: y DIVULGACIÓN DE LA MATEMATICA EN LA ED ENEO 5

6 LA CICLOIDE, UNA CUVA DE MUCHO EMPAQUE CALOS S CHINEA Se obtiene así, para las ecuaciones paramétricas e la evoluta: x y sen Lo curioso es que esta evoluta es, también, una Cicloie Las ecuaciones obtenias corresponen a una Cicloie cuano el origen se encuentra en el punto el plano (, Efectivamente, si en las ecuaciones paramétricas e la Cicloie, traslaamos el origen a icho punto, se tiene: x y x sen ( sen ( sen( y ( Y llamano, ', se tienen las ecuaciones e la evoluta: x y ' sen ' ' En efinitiva, si se representa gráficamente la cicloie y su evoluta se tenría: Existe un inesperao resultao en lo que respecta a las normales e la Cicloie: es constante, e igual a 4, la suma e la longitu el segmento e normal ese la curva hasta el punto e tangencia con la evoluta más el arco e evoluta que va ese icho punto e tangencia hasta su vértice Esto es, en la figura siguiente se verifica la relación DIVULGACIÓN DE LA MATEMATICA EN LA ED ENEO 6

7 LA CICLOIDE, UNA CUVA DE MUCHO EMPAQUE CALOS S CHINEA DIVULGACIÓN DE LA MATEMATICA EN LA ED ENEO 7 TV arco CT 4 ( Veamos el cálculo: a Cálculo e CT:, (,, ( sen T sen C ( ( (1 8 ( ( sen sen y y x x CT T C T C b Cálculo e arco(tv: sen y x sen y x y sen x Por tanto, es (1 y x Entonces: 4 4 ( 4 4 (1 4 (1 ( sen sen sen sen y x TV arco

8 LA CICLOIDE, UNA CUVA DE MUCHO EMPAQUE CALOS S CHINEA c Suma total: CT arco( TV 4 sen 4 4 sen 4 Esto quiere ecir que la longitu anterior es siempre constante, esto es, que si pensamos físicamente en un corel, e longitu 4, que esté sujeto al punto V e la figura y que se esplaza a moo e pénulo, apoyánose tangencialmente en los ar e la evoluta, el extremo el corel escribe, siempre, una Cicloie 5 La propiea e ser tautócrona: En el año 1673, Christian Huygens (La Haya, , matemático, físico y astrónomo, estuioso urante toa su via e iferentes curvas, escubrió un hecho que le pareció extraorinario en la Cicloie: si un punto se esplaza a lo largo e la curva invertia, en caía libre, llegará al punto mínimo e la Cicloie en un tiempo que no epene el punto ese one comenzó a caer El cálculo e ese tiempo t no es complicao Ecuaciones paramétricas: x ( sen, y ( 1 La velocia el esplazamiento el punto es la variación e arco e Cicloie con respecto al tiempo: s v t Y también se puee expresar, por ser el movimiento en caía libre: v gh DIVULGACIÓN DE LA MATEMATICA EN LA ED ENEO 8

9 LA CICLOIDE, UNA CUVA DE MUCHO EMPAQUE CALOS S CHINEA Por tanto, el tiempo se puee espejar resolvieno una integral: t s gh t s s s 1 gh Calculemos, por consiguiente, s y h, a fin e resolver la integral: s x y 4 sen sen (1 4 1 h y( φ y( (φ 1 ( 1 (φ φ ( 1 1 ( φ Por consiguiente, se tiene, integrano ese φ hasta : sen sen t φ gh φ φ g φ 4 g( φ x x g φ g φ g 1 φ x x 1 sen φ u u g one hemos hecho: 1 x x sen 53 La propiea e ser braquistócrona: La Cicloie tiene, aemás, la propiea e ser la curva e escenso más rápio Esto quiere ecir que si un punto se esplaza en caía libre ese un punto más alto, A, hasta otro más bajo, B, la curva por la llega antes al punto B es, precisamente, la Cicloie Este escubrimiento se hizo también en el siglo XVII, al haber planteao Johann Bernouilli el entonces llamao "Problema e la braquistócrona" DIVULGACIÓN DE LA MATEMATICA EN LA ED ENEO 9

10 LA CICLOIDE, UNA CUVA DE MUCHO EMPAQUE CALOS S CHINEA Se encontró la solución al problema por iferentes matemáti e la época, entre los que estaban Newton y Huygens 6 Documentación: - Por su buen nivel y amena exposición, recomenamos vivamente la lectura el trabajo "Ecuaciones y emostraciones e las propieaes e la cicloie", el profesor Miguel e Guzman Osamiz, en la irección e internet (El presente artículo está basao en algunos e sus resultaos - También es muy interesante: "La Cicloie", breve trabajo en Gacetilla Matemática Dirección: - Otra trabajo e lectura obligaa: "La Helena e la Geometría", en - Toas las páginas siguientes aportan ieas, información y métoos e tratamiento geométrico relacionao con la Cicloie y sus fabulosas propieaes: DIVULGACIÓN DE LA MATEMATICA EN LA ED ENEO 1