Matemticas V: Cálculo diferencial

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1 Matemticas V: Cálculo iferencial Soluciones Tarea 8. Para caa una e las siguientes ecuaciones encuentra la ecuación e la recta tangente a la curva en el punto ao p. (a) x y + xy, p (, ). Suponemos que cerca el punto p la curva en cuestión es la gráfica e una función y(x). Necesitamos calcular la erivaa e icha función en x, sabieno que y(). Para ello erivamos implícitamente la ecuación e la curva: Luego 0 x x [ x y(x) + xy(x) ] ( ) ( ) ( ) ( ) x x y(x) + x x y(x) + x x y(x) + x x y(x) xy(x) + x y (x) + y(x) + y(x)y (x). 0 y() + y () + y() + y()y () + y () y (). Por lo tanto la ecuación e la recta tangente que pasa por p es e la forma y x + b. Sabieno que las coorenaas el punto p satisfacen tal ecuación obtenemos el valor e b: + b b. Por lo tanto la ecuación e la recta tangente en el punto p es y x +. Incluiremos en caa inciso las gráficas que se pien en el ejercicio 4.

2 (b) x + xy y, p (, ). x y (x) ( ) ( ) x x + x x y(x) + x x y(x) Sustituyeno los valores el punto p: y(x) y (x) x + y(x) + xy (x) ( ) y (/) que al simplificarse nos a la ecuación ( ) ( + ) y (/) y (/), ( ) y (/), cuya solución es y (/). Luego la ecuación e la recta tangente es e la forma y x + b, sustituyeno las coorenaas e p, que eben ser solución e esa ecuación, se transforma en + b b. y por consiguiente la ecuación e la recta tangente es y x. (c) y + x y x x, p (, 0). Derivamos con respecto a x como antes: ( ) ( ) x y (x) + x x y + x x y(x) x x x x y(x)y (x) + xy(x) + x y (x) x y()y () + y() + y () y (). Luego la recta tangente es e la forma y x + b y tomano x, y 0 obtenemos 0 + b, es ecir, b. Por lo tanto la ecuación e la recta tangente a la curva en el punto p es y x.

3 () x + xy + y x y, p (, ). x + xy(x) + y(x) x y(x) x (x + xy(x) + y(x) ) x (x y(x) ) Sustituyeno las coorenaas e p en la última expresión obtenia: x + y(x) + xy (x) + y(x) y (x) x y(x)y (x). ( ) ( + y ( /) + ) ( y ( /) + y ( y ) ( /) ) 4 y ( /) + 4 y ( /) y ( /) + y ( /) 4 y ( /) y ( /) 4 4 y ( /) 5 4 y ( /) 5. y ( /) y ( /) ( ) y (/) Resolvieno la ecuación corresponiente obtenemos que la recta tangente a la curva en el punto p tiene por ecuación y 5 x +.

4 (e) ye xy, p (0, ). y(x)e xy(x) x [y(x)exy(x) ] 0 Sustituyeno x 0 y y en la ecuación anterior obtenemos ( ) ( ) x y(x) e xy(x) + y(x) x exy(x) 0 y (x)e xy(x) + y(x)e xy y (0) + 0 y (0). Como la recta tiene ecuación y x + b, tomano x 0 y y se sigue que b. Por lo tanto la ecuación e la recta tangente a la curva en el punto p es y x +. 4

5 5. Si os curvas se intersectan en un punto p ecimos que su ángulo e intersección es el ángulo que forman sus rectas tangentes en p. (a) Encuentra la ecuación e la elipse con focos (-,0) y (,0) y suma constante igual a 4. Dao un punto p (x, y), las istancias el punto p a los puntos f (, 0) y f (, 0) están aas por (p, f ) (x + ) + y, (p, f ) (x ) + y. Sabemos que para los puntos p en la elipse la suma e ichas istancias es constante e igual a 4: (p, f ) + (p, f ) (x + ) + y + (x ) + y 4. Escribimos la ecuación anterior como (x + ) + y 4 (x ) + y y elevamos al cuarao para obtener (x + ) + y 6 8 (x ) + y + (x ) + y. Expanieno obtenemos x + x + + y 6 8 (x ) + y + x x + + y, y al simplificar Elevano nuevamente al cuarao: 4x 6 8 (x ) + y. 6x 8x (x x + + y ). Simplificano la expresión anterior obtenemos la ecuación e la elipse: x + 4y. (b) Encuentra la ecuación e la hipérbola con focos (-,0) y (,0) y e iferencia constante igual a. Tomamos los focos f y f como en el inciso anterior. Entonces p está en la hipérbola si y sólo si (p, f ) (p, f ) ±, one usamos el signo ± para evitar liiar con valores absolutos; más aelante éste esaparecerá. Expresano las istancias en función e las coorenaas e p: (x + ) + y (x ) + y ±, que es equivalente a (x + ) + y ± + (x ) + y. Elevano ambos extremos al cuarao obtenemos (x + ) + y ± (x ) + y + (x ) + y. Expanieno los binomios al cuarao x + x + + y ± (x ) + y + x x + + y y simplificano 4x ± (x ) + y. Elevano nuevamente al cuarao esaparece el signo ± y obtenemos 6x 8x + 4[(x ) + y ] 4x 8x y. Simplificano la expresión anterior obtenemos la ecuación e la hipérbola: x 4y. El valor ao originalmente era, pero la hipérbola con esa constante resulta egeneraa. 5

6 (c) Encuentra el punto e intersección e las os cónicas anteriores que está en el primer cuarante (es ecir, que tenga ambas entraas positivas). Un punto e intersección e ambas cónicas será solución e sus respectivas ecuaciones e manera simultánea: x + 4y y x 4y. De la ecuación e la elipse espejamos 4y x. Sustituyeno en la ecuación e la hipérbola: x 4y x ( x ) 5x 5x 5 x. La solución positiva e esta última ecuación es x. Por otra parte 4y x 9 y 9 4 con lo que y. Y el punto e intersección en el primer cuarante es P (, ). () Encuentra las rectas tangentes a ambas cónicas en el punto P que hallaste en el inciso anterior. Suponremos que cerca el punto p, la elipse y la hipérbola son gráficas e funciones y e (x) y y h (x) respectivamente. Éstas satisfacen las ecuaciones Derivano implícitamente: y espejano las erivaas e y e y y h : x + 4y e (x) 4 y x 4y h (x). 6x + 8y e (x)y e(x) 0 y 4x 8y h (x)y h(x) 0 y e(x) 4 x y e (x) y y h(x) x y h (x) Sabieno que para y e () y h (), sustituimos x en las ecuaciones anteriores y obtenemos que y e() y y h(). Luego las ecuaciones e las rectas tangentes a la elipse y la hipérbola en el punto p son respectivamente y x + b e y y x + b h. Sustituyeno las coorenaas el punto P en ambas ecuaciones obtenemos + b e y + b h, e one espejamos b e y b h. Entonces la ecuación e la recta tangente a la elipse en P es y y +. Y la ecuación e la recta tangente a la hipérbola en P es y x. (e) Verifica que estas curvas se intersectan ortogonalmente en P. Es un resultao conocio e geometría analítica que os rectas se intersectan ortogonalmente si el proucto e sus penientes es igual a, lo cual se verifica en las tangentes que hemos encontrao. A continuación graficamos las cónicas junto con sus tangentes. 6

7 6. Encuentra la erivaa e las siguientes funciones: (a) f(x) xe x, (b) f(x) e cos(x), (c) f(x) x log(x), () f(x) ex + e x e x e x, ( ) ( ) x (xex ) x x e x + x x ex e x + x e x e x + xe x. f (x) exp (cos(x)) cos (x) e cos(x) sen(x). f (x) (x) log(x) + x log (x) log(x) + x log(x) +. x f (x) (ex + e x ) (e x e x ) (e x + e x )(e x e x ) (e x e x ) (ex e x )(e x e x ) (e x + e x )(e x + e x ) (e x e x ) (ex ) e x e x + (e x ) [(e x ) + e x e x + (e x ) ] (e x e x ) 4 (e x e x ). (e) f(x) log(x + ), f (x) log (x + ) (x + ) x + (x) x x +. 7

8 (f) f(x) tan(log(x )), f (x) tan (log(x )) (log(x )) sec (log(x )) log (x ) (x ) sec (log(x )) x (x) sec (log(x )) x (g) f(x) e ex, f (x) exp (e x ) (e x ) e ex e x e x+ex (h) f(x) x x. Comenzamos observano que a b exp(b log(a)). Luego Aplicano la regla e la caena: f(x) x x exp( x log(x) ). f (x) exp (x log(x)) (x log(x)) exp(x log(x)) [(x ) (log(x)) + (x )(log(x)) ] [ x x x log(x) + x ] x x x (x log(x) + x). (i) f(x) sen(x ), f (x) sen (x ) (x ) cos(x )(x) x cos(x ). (j) f(x) log(log(log(x))), f (x) log (log(log(x))) [log(log(x))] log(log(x)) log (log(x)) [log(x)] log(log(x)) log(x) x x log(x) log(log(x)). 7. Determina si la función f aa es solución a la ecuación funcional que se muestra: (a) f f, f(x) e x. f(x) e x f (x) e x f(x). (b) f f, f(x) cos(x). f(x) cos(x) f (x) sen(x) f (x) cos(x) f f. Puesto que cos(0) cos(0) concluímos que f(x) cos(x) no es solución e f f. (c) f f 0, f(x) x. f(x) x f (x) f (x) 0 f (x) f(x) 0. () f f 0, f(x) e x. f(x) e x f (x) e x f (x) e x f (x) f(x) e x e x 0. 8

9 (e) f(f ), f(x) x. f(x) x x f (x) x x f(f (x)) x 4 x. Es claro que la función x 4 x no es igual a la constante, con lo que f(x) x no es solución e f(f ). 8. Determina los posibles valores e A para que f(x) e Ax satisfaga f + f + f 0. En primer lugar f + f + f ( ) x x eax + x (eax ) + e Ax x (AeAx ) + Ae Ax + e Ax A e Ax + Ae Ax + e Ax e Ax (A + A + ). Puesto que e Ax 0 para cualesquiera A y x, concluímos que f + f + f 0 si y sólo si A + A + 0, lo cual reuce el problema a resolver una ecuación e seguno grao. Observano que A +A+ (A+)(A+) concluímos que los posibles valores e A son A y A. 9