30. La tangente paralela a la bisectriz del segundo cuadrante tendrá pendiente 1. y' = 2x= 1 x= El punto pedido es :, 4

Transcripción

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2 SOLUCIONES 0 La tangente paralela a la bisectriz del segundo cuadrante tendrá pendiente 1 Por tanto: 1 La solución queda: y' = x= 1 x= El punto pedido es :, 4 La ecuación de la elipse es: Los puntos indicados son: R x y + = ( 5, ) Q( 5, ) ( 5, ) S( 5, ) P Hallamos la pendiente de todas las rectas tangentes a la elipse, que viene dada por la siguiente expresión: 6x y ' = 100y En cada uno de estos puntos la recta tangente queda: En P y = 5 x 5 En En Q R y + = ( x 5) 5 y = ( x+ 5) 5 En S y + = 5 x+ 5 El punto es P(1, ) ó Q(1, 10) Hallemos la pendiente de todas las rectas tangentes a esta circunferencia: x + x+ yy' y' = 0 y' = y + 4 La recta tangente en P: ( 1) La recta tangente en Q: 10 ( 1) y = x y= x+ 8 y+ = x y= x

3 Mediante la derivada: f ( x) = a para todo valor de x pendiente = a 4 La expresión queda: t f () t = > 0 ( t 8t+ 18) Resolviendo la inecuación obtenemos la cantidad de agua recogida para durante los primeros meses del año La velocidad fue nula para f () t = 0, es decir, para t = 4 t [ 0,4 ), es decir, 5 Por pasar por el punto (1,4) obtenemos: 4 = + a+ b Por tener en ese punto una tangente de pendiente ( 6) obtenemos: 4 + a = 6 Resolviendo el sistema obtenemos: a= 10 b= 1 6 Los puntos de corte con los ejes son: P(,0); Q(0,6); R(0, ) Hallemos la pendiente de todas las rectas tangentes a esta parábola: La recta tangente en P: La recta tangente en Q: La recta tangente en R: y 0= 1 x y= x 1 1 y 6= x y= 6 x 1 1 y+ = x y= x y = y 7 La solución queda: Los puntos comunes son: P(1,) Q( 1, ) Rectas tangentes en P, tienen por pendientes m 1 = m = ; por tanto, el ángulo que forman es de 0º Rectas tangentes en Q, tienen por pendientes m 1 = m = ; por tanto, el ángulo que forman es de 0º 8 Queda: f ( x ) n+ 1 ( n) ( 1) ( n 1)! ( x) = n

4 9 La demostración queda: ax Sea la función y = e sen bx, derivamos e introducimos en la expresión a demostrar y = ae bx + be bx y = a e bx + abe bx b e bx ax ax ax ax ax sen cos '' sen cos sen Introducimos las derivadas en la expresión a demostrar : a '' = y y a e ax ax ax senbx + b e sen bx = ( a + b ) e sen bx = ( a + b ) y 40 La solución queda: Por pasar por el punto P(1,7) verifica: 7 = a+ b+ c Por pasar por el punto O(0,0) verifica: 0 = c Por ser tangente a la recta y = x y (0) = b= 1 Resolviendo el sistema: a+ b+ c= 7 a= 8 c= 0 b= 1 b= 1 c= 0 4

5 Unidad 1 Aplicaciones de las derivadas PÁGINA 99 SOLUCIONES 1 La solución queda: La función h(x) es estrictamente creciente en el intervalo, 0, y estrictamente decreciente en el intervalo (,0 ) (, + ) Además tiene dos máximos relativos en los puntos (,5 ) y (,5 ), y un mínimo relativo en el punto ( 0, ) Dos números cualquiera que sumen 0 son ( x) y (0 x) Su producto es: P= (0 x) x= 0x x es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola con un máximo relativo en su vértice (10, 100) Es decir, los números pedidos son 10 y 10 5

6 El estudio queda del siguiente modo: a) Es una función de proporcionalidad inversa Su gráfica es una hipérbola estrictamente 0 y carece de extremos relativos decreciente en todo su dominio, es decir, en { } b) Es una función cuadrática Su gráfica es una parábola con un máximo relativo en su vértice,4 y estrictamente decreciente en el (4, ); estrictamente creciente en el intervalo intervalo ( 4, + ) 4 La solución queda: Sea la ecuación: + = = = 1,5x 150x 50 0 x y x 10 Por tanto obtiene ganancias a partir de euros el kilo de caramelos El beneficio máximo lo obtiene en el vértice para x = 6 euros el kilo, y este beneficio asciende a 00 euros diarios 6

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8 SOLUCIONES 1 La solución queda: [ ] = > ( ) ( + ) a) Dfx x 1x x 1x 0,0 4, 6 6 b) Dgx [ ] = < 0 ( 0, + ) x x c) Dhx e xe e xe 0 1, x x x x [ ] = + + > ( + ) Los intervalos quedan: 5 5 a) f '( x) = x 5 es creciente en, + y decrecienteen, ( 1+ x ) g x = x + x + b) ' 1 9 es creciente en 1, y decrecienteen,1, c) h'( x) = es decrecienteen {} 0 x 1 x d) i'( x) = es creciente en 1,1 y decrecienteen, 1 1, + 1 e) j'( x) = es creciente en su dominio ( 0, + ) x ( x 1) 4x f) k'( x) = es creciente en, 1 1,0 y decrecienteen 0,1 1, + ( Los ingresos aumentan para los valores de p que verifiquen l (p)>0 Es decir: l'( p) 18 6p 0 p ( 0, ) = > ) 4 El rendimiento aumenta para los valores de t que hacen f '( t ) > 0 y disminuye para los valores de t que hacen f '( t ) < 0 La derivada queda: f '( t) > 0 t 0,4 f '( t) = t f '( t) < 0 t 4,8 5 La producción aumenta para todos los valores de x que verifiquen P'( x ) > 0 Queda: P'( x) x 96x 70 P'( x) 0 x ( 1,0 ) = + > 40

9 6 Queda en cada caso: a) Mínimo en el punto (, 11) b) Carece de máximos y mínimos relativos c) Máximo en (0,) y mínimo en (, 10) d) Mínimo relativo en (1, 1) y máximos relativos en los puntos ( 1,0) y (, 7) e) Máximo relativo en (1,5) y mínimo relativo en (,1) f) Máximo relativo en (0,) g) Mínimo relativo en (0,0) 4 h) Mínimo relativo en (0,0) y máximo relativo en, e,0) (, 4) i) Mínimo relativo en (0 y máximo relativo en 7 La función debe verificar que f '() = 0 y f ''() > 0 Por tanto: f x x Kx f K K ' = + '() = = 0 = 4 f ''( x) = 6x+ K= 6x 8 f''() > 0 Por tanto, el valor buscado es K = 4 8 La función tiene un máximo relativo en (,7) si verifica: 9 Los números son ( x) y (6 x) El producto queda: f() = 7 a 4+ b= 7 b= f '() = 0 a 4= 0 a= 4 = (6 ) = 6 x P x x x Este producto es máximo para x = 4 Los números buscados son 4 y 41