Unidad 13 Aplicaciones de las derivadas

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1 Unidad 13 Aplicaciones de las derivadas PÁGINA 99 SOLUCIONES 1. La solución queda: La función h() es estrictamente creciente en el intervalo, 0, y estrictamente decreciente en el intervalo,0,. Además tiene dos máimos relativos en los puntos,5, y un mínimo relativo en el punto 0,.,5 y. Dos números cualquiera que sumen 0 son ( ) y (0 ). Su producto es: P (0 ) 0 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola con un máimo relativo en su vértice (10, 100). Es decir, los números pedidos son 10 y

2 3. El estudio queda del siguiente modo: a) Es una función de proporcionalidad inversa. Su gráfica es una hipérbola estrictamente decreciente en todo su dominio, es decir, en 0 y carece de etremos relativos. b) Es una función cuadrática. Su gráfica es una parábola con un máimo relativo en su vértice (4, 3); estrictamente creciente en el intervalo,4 y estrictamente decreciente en el intervalo 4,. 4. La solución queda: Sea la ecuación: 1, y 10. Por tanto obtiene ganancias a partir de euros el kilo de caramelos. El beneficio máimo lo obtiene en el vértice para 6 euros el kilo, y este beneficio asciende a 00 euros diarios. 36

3 PÁGINA 313 SOLUCIONES 1. Vamos a organizar los datos en una tabla: Recibe Marca Lunes X M Martes X M 1 Miércoles X 14 M Jueves 4M 10 Viernes 4 X Sábado 0 Los discos que recibe menos los que marca son los 0 discos que le quedaron para el sábado: X X M X 14 4M 4 ( M 1 M 10 X ) 0 3X 3M 18 3M X 0 X 4 X 1 discos recibió el lunes.. Sea v la velocidad del camión y w la velocidad del tractor. La epresión queda: v w ( v w) v 3w Es decir, la velocidad del camión es el triple que la velocidad del tractor. 3. Llamamos R 4 al reloj que mide 4 minutos y R 9 al que mide 9 minutos. Para medir 1 minuto: ponemos ambos relojes. Cuando pasan 4 minutos, damos la vuelta a R 4 y al pasar otros 4 minutos, lo que queda de R 9 es 1 minuto. Para medir minutos: conseguimos 1 minuto por el procedimiento anterior. A la vez que logramos 1 minuto, el reloj R 4 lo ponemos y quedan en él 3 minutos. En este momento ponemos a funcionar R 9 y al terminar, quedan en éste 6 minutos; ponemos a funcionar R 4 y al terminar éste último, quedan en el anterior minutos. Para medir 3 minutos: está eplicado en el procedimiento anterior. 37

4 Para medir 4 minutos: con el reloj R 4. Para medir 5 minutos: ponemos R 4 y R 9 ; al terminar R 4, quedan en R 9 5 minutos. Para medir 6 minutos: esta situación se eplica en el procedimiento para medir minutos. Para medir 7 minutos: conseguimos minutos por el procedimiento dado anteriormente. Los minutos los tenemos en R 9. Ponemos a funcionar R 4 y al pasar minutos en R 9 quedan otros minutos en R 4. Ponemos a funcionar R 9 y, al pasar los dos minutos de R 4 quedarán 7 minutos en R 9. Para medir 8 minutos: ponemos dos veces R 4. Para medir 9 minutos: ponemos a funcionar R 9. Para medir 10 minutos: conseguimos que queden 6 minutos en R 9 por los procedimientos ya vistos anteriormente y, cuando pasan esos 6 minutos, ponemos a funcionar R 4 obteniendo así los 10 minutos. 4. en esta figura podemos encontrar los siguientes tipos de triángulos: En cada figura podemos encontrar 5 triángulos iguales al rayado en la misma; por tanto, en total hay triángulos. 38

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6 SOLUCIONES 1. La solución queda: a) D f ( ) ,0 4,. 6 6 b) Dg( ) , c) D h( ) e e e e 0 1,. Los intervalos quedan: 5 5 a) f '( ) 5 es creciente en, y decreciente en,. b) g '( ) es creciente en 1,3 y decreciente en,1 3,. c) h '( ) es decreciente en 0. 1 d) i '( ) es creciente en 1,1 y decreciente en, 1 1,. 1 1 e) j '( ) es creciente en su dominio 0,. 4 f) k '( ) es creciente en, 1 1,0 y decreciente en 0,1 1, Los ingresos aumentan para los valores de p que verifiquen l (p)>0. Es decir: l '( p) 18 6p 0 p 0,3. 4. El rendimiento aumenta para los valores de t que hacen f '( t) 0 y disminuye para los valores de t que hacen f '( t) 0. La derivada queda: f '( t) 0 t 0,4 f '( t) t f '( t) 0 t 4,8 5. La producción aumenta para todos los valores de que verifiquen P '( ) 0. Queda: P '( ) P '( ) 0 1,0. 40

7 6. Queda en cada caso: a) Mínimo en el punto (, 11). b) Carece de máimos y mínimos relativos. c) Máimo en (0,) y mínimo en (, 10). d) Mínimo relativo en (1, 1) y máimos relativos en los puntos ( 1,0) y (, 7). e) Máimo relativo en (1,5) y mínimo relativo en (3,1). f) Máimo relativo en (0,). g) Mínimo relativo en (0,0). 4 h) Mínimo relativo en (0,0) y máimo relativo en, e.,0), 4 i) Mínimo relativo en (0 y máimo relativo en. 7. La función debe verificar que f '(3) 0 y f ''(3) 0. Por tanto: f K f K K '( ) 3 3 '(3) f ''( ) 6 K 6 8 f ''(3) 0 Por tanto, el valor buscado es K La función tiene un máimo relativo en (,7) si verifica: 9. Los números son ( ) y (6 ). El producto queda: f () 7 a 4 b 7 b 3 f '() 0 a 4 0 a 4 P 3 (6 ) 6. Este producto es máimo para 4. Los números buscados son 4 y. 41

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9 SOLUCIONES 10. La solución queda: a) Función Beneficio B( ) I( ) G( ) B ( ) ( 360 ) ( ) b) B '( ) B ''(60) 0 El beneficio es máimo al vender 60 unidades del producto. c) Para 60 B(60) 7130 euros. El beneficio máimo es de 7130 euros. 11. Llamamos a la anchura de la puerta e y a la altura. Obtenemos de las condiciones del enunciado que: y,5,5 y Hemos de minimizar el coste del marco, que viene dado por: C 6y Derivando e igualando a cero: C '( ) 0 1,94 Como: C ''(1,94) 0 El coste es mínimo para : 1,94 m; y 1, 9 m. 1. Llamando e y a los lados de la finca rectangular obtenemos: y 1600 y Perímetro y Y este perímetro es de longitud mínima para 40 m e y 40m. Por tanto, la más barata de cercar es un cuadrado de 40 m de lado. 13. La solución queda: Observando el dibujo tenemos: y 1400 y 3 70 Área 3 y El área es máima para 180m e y 10m. 14. La empresa alcanza el valor máimo en f '( t) 0 y f ''( t) 0, es decir, para t años. 43

10 15. La solución queda: Llamamos r al radio de la base y h a la altura del cilindro. Ocurre: 1 r h 1 h r Cantidad de material Esta cantidad es mínima para: r r h r r r r r 1 4 dm; dm, es decir, las dimensiones son 0,54 dm y 1,08 dm. r 3 h 3 r h 16. La solución queda: Llamamos r al radio de la base y h a la altura del cilindro. Según las condiciones del enunciado ocurre que: Operando: h h ( r ) (80) r h 3 Vol r h h h h V '( h) h 0 h 46,cm V''(46, 4) 0 El volumen es máimo para : h 46, cm; r 3,7 cm. 17. Llamando a la arista básica e y a la arista lateral se debe verificar: 8 4y 48 y 1 y 1 Volumen y (1 ) 1 3 ; es máimo para 4cm e y 4cm. Es decir, el prisma de volumen máimo es un cubo de 4 cm de lado. 18. Llamando e y a los lados del rectángulo se debe verificar: y 4 y 1. Área (1 ) 1 y debe ser máimo. El área es máima para 6cm e y 6cm. Por tanto, el rectángulo es un cuadrado de 6 cm de lado. 19. La cantidad de material aumenta cuando la función es creciente y disminuye cuando es decreciente. Esta función es creciente ;3,3 10, de material aumenta para, y decreciente en t10,0 y disminuye para t 8,10. 3,3;10 ; por tanto, la cantidad El máimo de esta función está en (3,3;,48), luego la cantidad máima de material está en t 3,3 y arroja,48 kg, pero esta hora se sale del intervalo fijado. 44

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12 SOLUCIONES 0. En cada uno de los casos queda: Cóncava hacia las y negativas en,. 3 3 Cóncava hacia las y positivas en,,. 3 3 a) Cóncava hacia las y negativas en todo. Cóncava hacia las y negativas en ( 1, ). Cóncava hacia las y positivas en (, 1). Cóncava hacia las y negativas en (,0). Cóncava hacia las y positivas en (0, ). b) Cóncava hacia las y negativas en 1. Cóncava hacia las y negativas en (,1). Cóncava hacia las y positivas en (1, ). 1. Quedan del siguiente modo: a) y ' 16 4 y '' Esta función tiene los dos siguientes puntos de infleión: b) Esta función tiene un punto de infleión en: (,0). c) Esta función tiene dos puntos de infleión en: (1, 15) y ( 1, 15). 6 6, y,

13 . La función debe verificar: 3 c c 3 1 b b y 3 6a 0 1 a La función queda : 3. Esta función presenta un máimo relativo en infleión en 11 1, 3. Por tanto, no tiene un máimo en 13,, 3 0,3, sino un mínimo. un mínimo relativo en 0,3 y un punto de No eiste ningún valor de a, b, c que verifique las condiciones del enunciado. 3. La función debe verificar: 3 8 p q p 1 1 p 0 q 19 Esta función presenta un máimo en,35, infleión en 0,19. 3 La función queda : f ( ) un mínimo en,3. Además tiene un punto de 4. La función debe cumplir y ''( ) 0 e y '''( ) 0; por tanto, 1 m 0 m 6. 4 La función y 6 tiene un punto de infleión en (1, 3) y otro en ( 1, 3). 5. Las representaciones quedan: a) b) c) 47

14 6. Cada una de las gráficas quedan: 3 a) f ( ) 3 3 Dominio. No presenta cortes con OX enteros. Corte con OY en (0, 3). No tiene simetrías. No tiene asíntotas. Tiene máimo en (0, 3) y mínimo en (, 7). b) g( ) 3 3 Dominio. 3 Corte en (0,0),0. Tiene máimo en ( 1,1) y mínimo en ( 0,0). 4 3 c) h( ) Dominio. Corte con ejes en ( 0,1). Máimo en (,33) y ( 1,6). Mínimo en ( 0,1). 48

15 9 d) k( ) 9 Dominio 3,3. Corte con ejes en (0, 1). Simétrica respecto OY. Asíntotas verticales: 3; 3. Asíntota horizontal: y 0. e) l( ) Dominio. Cortes en (0, 1) (,0). Asíntota vertical:. Asíntota horizontal: y 1. f) m( ) 1 Dominio 1. Corte con ejes en ( 0,0). Asíntota vertical: 1. Asíntota oblicua: y 1. 49

16 8 g) p( ) 4 Dominio. Corte con ejes en ( 0,). Simétrica respecto a OY. Asíntota horizontal: y 0. Máimo relativo en ( 0,). 4 h) i( ) 1 Dominio 1,1. Cortes en (0, 4) (4,0). Asíntotas verticales: 1; 1. Asíntota horizontal: y 0. Máimo en (0,; 3,96). Mínimo en (7,8; 0,06). i) 4 v( ) 1 Dominio 1. Cortes en ( 0,4). Asíntota vertical: 1. Asíntota oblicua: y Máimo en 3, y mínimo en 5 1,;. 50

17 j) 3 w( ) 4 Dominio,. Cortes en ( 0,0). Simétrica respecto al origen. Asíntota vertical: ;. Asíntota oblicua: y. Máimo en 3,5; 5,. Mínimo en 3,5;5,. 7. La función dada es : En el dibujo está representada gráficamente la función dada. Sólo consideramos la parte positiva de la gráfica (desde t 0 ), pues el resto no tiene sentido en el conteto. 51