Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales

Transcripción

1 UNIDAD 6: Funciones reales. Propiedades globales ACTIVIDADES-PÁG.. La gráfica puede ser como la que aparece en el dibujo.. En cada uno de los casos queda: a) Dom f = R; Im f = [ 0, ) Simétrica respecto al eje OY. Acotada inferiormente por y = 0, pero no acotada superiormente. Mínimos en (-, 0) y (, 0); Máimo en (0, 4). Tiende a para tendiendo a. b) Dom g = R- {-, }; Im g = R Simétrica respecto al origen de coordenadas. No acotada Carece de etremos relativos Cuando tiende a la función tiende a -. Cuando y si tiende a - por la derecha la función y si tiende a por la la función tiende a ; si tiende a. Cuando tiende a por la izquierda la función tiende a. tiende a - por la izquierda la función tiende a tiende a derecha la función tiende a c) Dom h = R; Im h = R No es simétrica. No acotada. Tiene mínimo relativo en (0, -) y máimo relativo en (, 3). Cuando tiende a la función tiende a y cuando tiene a la función tiende a. 7

2 3. La función que da los ingresos es: I() = 50 La función que da los beneficios es: B() = La gráfica es: ACTIVIDADES-PÁG. 35. Hay que buscar un número que sea a la vez triangular y cuadrado. Los números triangulares son:, 3, 6, 0, 5,,, Los números cuadrados son:, 4, 9, 6, 5,,. n n Deba cumplirse la igualdad n n. 8 8 El valor de n más pequeño que cumple la igualdad es n = 8, ya que 36. El enunciado dice que hay más de 36 cajas, por tanto hay que buscar otra solución, y ésta es: n = 49, pues Tiene 5 cajas.. Observamos que: Dando valores, obtenemos: 3 3 ( n ) n n n con n 7

3 = Sumando y simplificando: ,00 0, Sean A, B y C las tres rebanadas. Con A indicamos que se tuesta la cara y con A indicamos que se tuesta la cara. º A B tarda: 30 s en tostar cara A y B 5 s en colocar A 5 s en colocar B 5 s en sacar B º A C tarda: 3 s en dar vuelta A 5 s en meter C 30 s en tostar cara A y C 3 s en dar la vuelta C 3º B C tarda: 5 s en sacar A 30 s en tostar cara B y C 5 s en sacar B 5 s en sacar C En total se necesitan 36 s en tostar 3 rebanadas. 73

4 ACTIVIDADES-PÁG. 37. Procedemos como se indica en el apartado representación gráfica de funciones eplícitas completas y obtenemos las gráficas que pueden verse a continuación: 3 a) f ( ) b) g ( ) c) h () =

5 75. Procedemos como se indica en el apartado representación gráfica de funciones definidas a trozos y obtenemos las gráficas que pueden verse a continuación: a) ) ( si si f b) ) ( si si si g

6 3. a) f () = a Con la herramienta Deslizador y haciendo clic sobre la Zona o Vista Gráfica colocamos un deslizador, y lo llamamos a. En el Menú Contetual del deslizador elige Propiedades; en la ficha Deslizador escoge Intervalo entre 5 y 5, Incremento. En la Ventana de Entrada introduce una función genérica f() = a, tecleando f() = a/. Varía los valores del deslizador y observa las variaciones de la gráfica. 76

7 b) f () = + a + b Con la herramienta Deslizador y haciendo clic sobre la Zona o Vista Gráfica colocamos dos deslizadores, uno detrás de otro, y los llamamos a y b escoge Intervalo entre 5 y 5, Incremento. En el Campo de Entrada introduce una función genérica f() = + a + b tecleando la epresión f() = ^+a*+b Varía los valores del deslizador y observa las variaciones de la gráfica. 77

8 c) f () = a b Con la herramienta Deslizador y haciendo clic sobre la Zona o Vista Gráfica colocamos dos deslizadores, uno detrás de otro, y los llamamos a y b, escoge Intervalo entre 5 y 5, Incremento y en el del segundo escoge Intervalo entre 0 y 5, Incremento. En la Ventana de Entrada introduce una función genérica f() = a b tecleando f() = a * b^. Varía los valores de los deslizadores y observa las variaciones de la gráfica. ACTIVIDADES-PÁG. 38. En cada caso queda: a) Llamando a la medida de la altura sabemos que la base mide 50 -, por tanto, la tabla de valores, a fórmula y la gráfica quedan: Altura () Área (A) A () = (50 - ) A () = ; con Dom A = (0, 50) e Im A = (0, 565) 78

9 b) La tabla de valores, la fórmula y la gráfica, con el dominio y recorrido, son: Espacio ( m) Precio ( ),6,7 3 3,5 f () =,5 + 0,000. El dominio es (0, + ) y la imagen es (,5; + ) La gráfica es una línea recta casi paralela al eje OX c) La tabla de valores, la fórmula y la gráfica son: Nº Vecinos (n) Paga cada uno ( ) La fórmula es: P ( ) 800 n El dominio y la imagen son: Dom P = (0, 800) e Im P = (0, + ). Los dominios y recorridos son: a) Dom f = R; Im f =, 0 b) Dom f = R; Im f = Z c) Dom f =, 0 (, ) ; Im f = 0, 3. a) Dom f = R c) Dom f = [-, ] e) Dom f = R b) Dom f = R {-, 0} d) Dom f = R f) Dom f = [, ) 4. a) Dom f = R {-, }. Im f = R. Estrictamente creciente en 3,46) (3,46, Estrictamente decreciente en ( 3,46, ), (, 3,46) y Mínimo relativo (3,46; 5,). b) Dom f = R. Im f = 3, 0] ( 0, ), Máimo relativo en (0, 0).,.. Máimo relativo en (- 3,46; - 5,) (. Estrictamente decreciente en, 0. Estrictamente creciente en 5. El número de socios fundadores es N (0) = El dominio de esta función es [ 0, ) siendo 0 el año Se verifica para [- 6, - 5] [-, 0]. 79

10 ACTIVIDADES-PÁG Posibles gráficas, que verifiquen las condiciones, son: a) b) c) 80

11 8. a) y = f () Dom f = R; Im f = 0, Acotada inferiormente por 0 pero no esta acotada superiormente por lo que no esta acotada. Estrictamente decreciente en, 0) (,. Estrictamente creciente en (0, ) No presenta simetría. Mínimo relativo en (0, 0) y máimo relativo en (; 0,54) b) y = f () Dom f = R; Im f = [-, ] Acotada inferiormente por - y superiormente por, por lo cual esta acotada. Estrictamente decreciente en, ) (,. Estrictamente creciente en (-, ) Es simétrica respecto al origen de coordenadas. Mínimo relativo en (-, - ) y máimo relativo en (, ) 9. Las simetrías son: a) Simétrica respecto al Origen. d) No tiene simetría. b) Simétrica respecto al eje OY. e) Simétrica respecto al Origen. c) Simétrica respecto al eje OY. f) Simétrica respecto al Origen. 0. Las respuestas son: a) El dominio es [4, ] y el recorrido [0, ] b) A las 4 de la mañana tiene litros de agua. Disminuye de 9 de la mañana a las horas. c) La máima capacidad la tiene a las 9 de la mañana y es de litros. d) Se queda sin agua a las horas.. Las respuestas son: a) f () + g () = b) f () g () = c) f() : g() = d) f - () = e) f - o g () = 3 : + = = 3 =. Dom f - () = R {}. Dom (f +g) () = R {, - }. Dom (f g) () = R {}. Dom (f : g) () = R. Dom f - o g () = R - 3, 3 8

12 f) / g () =. Dom (/g()) = R. Las respuestas son: a) (f o g) () = 3 b) (f o h o g) () = c) (g o h) ( -) = d) (g o g) (7) = ACTIVIDADES-PÁG La función es h (t ) = -5t + 5t. La gráfica puede verse en el dibujo. La altura máima la alcanza a los,5 s y es de 3,5 m 4. Las funciones inversas son, en cada caso: a) f - () = b) f - () = 3 3 c) f - () = Fácilmente se comprueba la propiedad que cumple la f función inversa. 5. Alcanzan la misma velocidad cuando -3 t +5 t+66 = -8 t + 56, es decir a las 5 horas. Observando las gráficas podemos decir que el primero es más rentable desde t = 0 a t = 5 horas. 8

13 6. Llamando al nº de espectadores, la función es f() = f 360 si 0 30 ( ) si si 60 0 Su gráfica es la del dibujo. De ella y de su epresión obtenemos que: Dom(f) = (0, 0]. Im f = [360, 00] 7. La función es: f(r) = 450 r π r - 4 r 8. En cada caso: a) En el dibujo aparece la gráfica de la función y = f () (en rojo) y la gráfica simétrica respecto del eje de ordenadas (en azul). Hay que tener en cuenta que, en algunos intervalos, ambas gráficas coinciden. 83

14 b) En el dibujo aparece la gráfica de la función y = f () (en rojo) y la gráfica simétrica respecto del origen de coordenadas (en azul). c) En el dibujo aparece la gráfica de la función y = f () (en rojo) y la gráfica y = f () (en azul). Hay que tener en cuenta que, en algunos intervalos, ambas gráficas coinciden. 84

15 9. La función es: f(t) = (000,5 t) (,5 + 0,5 t) = ,75t 0,5 t A la vista de su gráfica podemos decir que Dom f= [0; 666,67] y que Im f = [0; 5755,63]. 0. Las respuestas son: a) El beneficio que obtiene es 40 C (40) = 338, 56. b) La función buscada es: B () = C() = c) El beneficio será nulo para =,05 o para = 64, ACTIVIDADES-PÁG. 4 Ofrecemos bibliografía sobre la relación entre matemáticas y deporte. BOLT, B. y HOBBS, D. (99). 0 proyectos matemáticos. Labor. Barcelona. CORBALÁN, Fernando. (007) Matemáticas en la vida misma. Graó. Barcelona. CORBALÁN, Fernando. (0) Matemáticas de cerca. Graó. Barcelona. ORTEGA, Tomás. (005). Coneiones matemáticas. Graó. Barcelona. 85

16 SORANDO MUZÁS, J. M. (0) Matemáticas y deporte. Sugerencias para el aula. Revista Números. Volumen 80. SORANDO MUZÁS, J. M. VV. AA. (03). Matemáticas y deporte. Revista UNO. Graó. Barcelona. 86