Unidad 6 Funciones reales. Propiedades globales

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1 Unidad 6 Funciones reales. Propiedades globales PÁGINA 117 SOLUCIONES 1. Las soluciones pueden quedar así: a) b). En cada uno de los casos queda: a) Dom f = ; Imf = [ 0, + ) Simétrica respecto al eje OY. Acotada inferiormente por y = 0 pero no acotada superiormente. Mínimos en ( 1,0) y (1,0). Máximo en (0,1). Tiende a ( + ) para x tendiendo a ( ± ). 73

2 b) Dom g= ; Im g= [ 1,1 ] Simétrica respecto al origen de coordenadas. Periódica de período 4. Acotada inferiormente por y = 1 y superiormente por y = 1. El período tiene un máximo relativo en ( 1,1) y un mínimo relativo en (1,5; 1). c) Dom h= ; Im h= (0, + ) No es simétrica ni periódica. Acotada inferiormente por y = 0 pero no acotada superiormente. Carece de extremos relativos. Cuando x tiende a ( ) la función tiende a (+ ) y cuando x tiende a ( + ) la función tiende a 0. t 3. La función es: N = siendo N el número de bacterias y t el tiempo en horas. 74

3 PÁGINA 19 SOLUCIONES 1. Hay que buscar un número que sea a la vez triangular y cuadrado. n Números triangulares : 1,3,4,10,15,1,..., Números cuadrados : 1,4,9,16,5,..., n + n n + n x n x = esto se cumple para = 8, pues = x = 36. Como dice que hay más de 36 cajas, hay que buscar otra solución, y ésta es : n = 49, pues = 35 = 15 Luego x = 15cajas tiene.. Observamos que: 1 = 1 1 con n. n 1 n n 1 n ( ) Luego : = = = = = =

4 Sumando : = 0, Sean A, B, C, las tres rebanadas. Con A 1 indicamos que se tuesta la cara 1 y con A indicamos que se tuesta la cara. 1.º AB tarda : 30 s:tostar cara A yb s:colocar A 5 s:colocar B 5 s:sacar B.º AC tarda : 3 s:dar la vuelta A s:meterc 30 s:tostar cara A 3 s:dar la vuelta C 3.º BC tarda : 5 s:sacar A 5 s:meterb 30 s:tostar carab s :sacar B 5 s:sacarc 1 1 yc 1 yc En total se necesitan: 136 s en tostar las 3 rebanadas. 76

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6 SOLUCIONES 1. En cada apartado queda: a) La tabla de valores, la fórmula y la gráfica son: b) La tabla de valores, la fórmula y la gráfica son: c) La tabla de valores, la fórmula y la gráfica son: 78

7 d) Llamando x a la medida de la altura sabemos que la base mide 5 + x, por tanto, la tabla de valores, la fórmula y la gráfica quedan:. Los dominios quedan: g ( ] ( ) i ( ) ( k { } {} m [ ) o [ + ) ( ] [ ) q { } Domf = Dom = 3,0 Domh= 5, + Dom =,1 4, + Dom j= Dom =,3 Doml = 1 Dom =, + Domn= Dom = 1, Dom p=,, + Dom = 1 ) 3. Las funciones se caracterizan por: y= f( x) ( ) Dom f = ; Imf = 0, + Estrictamente creciente en todo su dominio. No tiene extremos relativos. y= g( x) Dom g= {, }; Im g= (, 1] ( 0, + ) Estrictamente creciente en (, ) (,0) Estrictamente decreciente en ( 0,) (, + ) Máximo relativo ( 0, 1) 79

8 y= j( x) Do m j= ; Im j= Estrictamente creciente en (, 5) ( 1, + ) Estrictamente decreciente en ( 5, 1) Máximo relativo ( 5,4) Mínimo relativo ( 1, 3 ) 80

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10 SOLUCIONES 4. Las representaciones quedan: 5. El estudio de cada función nos ofrece la siguiente información: a) Esta función y= f( x) está acotada por y= 0ey= 4. El supremo es y = 4 y el ínfimo es y = 0. Esta función tiene un mínimo absoluto en y = 0. b) Esta función y= g( x) está acotada por y= 3ey=. El supremo es y = 3 y el ínfimo es y =. Esta función no tiene extremos absolutos. c) Esta función y = h( x) está acotada por y= 3ey= 5. El supremo es y = 5 y el ínfimo es y = 3. Esta función tiene un máximo absoluto en y = 5. d) Esta función y= i( x) no está acotada. e) Esta función y= j( x) está acotada inferiormente por y = 1. El ínfimo es y = 1 y no tiene supremo. Esta función tiene un mínimo absoluto en y = 1. f) Esta función y = k( x) está acotada superiormente por y =. El supremo es y = y no tiene ínfimo. Esta función no tiene extremos absolutos. 8

11 6. Las simetrías en cada caso son: Las funciones: f; i; k; l; son simétricas respecto al eje de ordenadas. Las funciones: h; j; m; son simétricas respecto al origen de coordenadas. Las demás funciones no tienen simetrías. 7. En cada caso las respuestas son: a) La variable independiente es el número de años desde su fundación, y la variable dependiente el beneficio en miles de euros. b) Domf = [ 0, + ) Imf = [ 0,75] c) La empresa tiene beneficios máximos al cabo de 4 años, y estos ascienden a euros. d) Durante los primeros cuatro años los beneficios crecen; a partir del 4º año empiezan a decrecer. e) Como en todo el dominio se verifica que f( x) > 0, no habrá pérdidas en ningún momento; siempre habrá beneficios. 83

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13 SOLUCIONES 8. En cada caso queda: { } a) Domf = 1,1 Domg= b) Quedan : c) Queda : 3 x x + 4 ( f + g)( x) = Dom( f + g) = 1, x 1 x + 3 ( f g)( x) = Dom( f g) = 1 x + 1 { } { 1} { } f x+ 3 f ( x) = Dom 1,1 3 = g x x x+ 1 g 1 x 1 1 ( x) Dom 3 f = = x+ 3 f 9. Los dominios quedan: { } 3 x x + x x+ 4 a) ( f + g)( x) = f( x) + g( x) = + x + = Dominio= x x 3 x x + x b) ( f g)( x) = f( x) g( x) = ( x + ) = Domf g = x x f f( x) x x f x x g = = + = = gx ( ) x ( x)( x + ) g c) ( ) :( ) Dom x x 3x 8x+ 8 d) ( g f)( x) = g [ f( x)] = g = x + = Domg f = x 4 4x+ x [ ] 4 e) ( )( ) [ ( )] ( ) 4 6 Dom g g x = g g x = g x + = x + + = x + x + g g = {} {} {} {} 85

14 10. Las soluciones son: a) f g( x) = 1+ 3x d) ( f f)(1) = 49 3 b) h g( x) = x + 1 e) ( g f)( 1) = 4 x + x c) f h( x) = f) ( h h)(0) = 4 x + x La solución queda: ( f g)( x) = f [ g( x)] = f (3 x a) = 5+ a 3x a = 5 ( g f)( x) = g [ f ( x)] = g(5 x) = 3(5 x) a= 15 a 3x 1. Por ejemplo, las funciones pueden ser: 3 f( x) = x g( x) = x + = = x hx ( ) 3 lx ( ) x x + 1 tx ( ) = px ( ) = x x Las inversas quedan: x a) f ( x) no existe d) f ( x) = x 1 x x b) f ( x) = e) f ( x) = 3 x x c) f ( x) = x 1 f) f ( x) = 3x Las inversas quedan: 1 x x f x log ( ) = x+ g ( x) = h ( x) = 3 log 15. Queda: 1 1 ( f g)( x) = x 3 ( f g) ( x) = x+ 3 ( f g) (4) = 7 86

15 16. La solución queda: Haciendo t = 0 obtenemos N = 550 socios fundadores. La gráfica de la función viene dada por: El número de afiliados desciende los tres primeros años hasta alcanzar el número de 750 y, a partir de ese año, empieza a aumentar. En ningún momento es nulo este número. 17. La solución queda: Cable I P = 15 Cable II P = 0,05 t Veamos a partir de qué número de horas el precio de una empresa y de la otra es el mismo: 0,05 t= 15 t= 300 horas Hasta 300 horas mensuales interesa más la empresa Cable II; a partir de 300 horas mensuales interesa más la empresa Cable I, y si se utiliza Internet durante 300 horas mensuales exactamente es indistinta la empresa a elegir. 87