Unidad 9 Propiedades globales de las funciones

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1 Unidad 9 Propiedades globales de las funciones PÁGINA 199 SOLUCIONES 1. Las soluciones pueden quedar así: a) b). Los dominios quedan: Domf Domg 3, 3 151

2 PÁGINA 13 SOLUCIONES 1. Designamos los colores por: rojo (R), verde (V), azul (Z) y amarillo (A); y las tres formas por: cuadrada (C), circular (O), triangular (T) y pentagonal (P). Por ensayo y error las colocamos en un tablero 4 x 4, cumpliendo las condiciones que marca el enunciado. Una solución es: Podemos encontrar hasta 7 soluciones distintas.. El número total de amanitas ha de ser múltiplo de 9 menos 1, es decir, 8 amanitas. Haciendo el problema mediante ecuaciones: 8 8 x x x 8amanitas

3 3. El enunciado del problema nos muestra que el número de latas de zumo debe ser un número impar. Por ensayo y error dirigido obtenemos: Hay 7 latas de zumo. El 1. er amigo se bebe 7 0,5 4 latas. Quedan 3 latas. El. o amigo se bebe 3 0,5 latas. Queda 1 lata. El dueño de la casa se bebe 1 0,5 1 lata. Luego, efectivamente, había inicialmente 7 latas de zumo. Este problema se puede resolver también por medio de ecuaciones. 4. Sea n un número real. n n Veamos si 1 1 n n n n n n n n n1 1 3, pues es producto de tres números consecutivos. Si n3 n1 y n1, luego n1 n n1 31, Si n13 n, por lo que n n1 n n1 31, Si n13 n, por lo que n n1 n n1 3 1, En cualquier caso, efectivamente, n n

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5 SOLUCIONES 1. Los dominios quedan: g i k m o Domf Dom 3,0 Domh 5, Dom,1 4, Dom j Dom,3 Doml 1 Dom, Domn 6, Dom Dom p Domqxx1 K; K s u Dom r,1 3, Dom,, Domt1,1, Dom, 1 3,. Las funciones se caracterizan por: y f( x) Dom f ; Imf 0, Estrictamente creciente en todo su dominio. No tiene extremos relativos. y g( x) g Dom g, ; Im, 1 0, Estrictamente creciente en,,0 Estrictamente decreciente en 0,, Máximo relativo 0, 1 y j( x) Dom j; Im j Estrictamente creciente en, 5 1, Estrictamente decreciente en 5, 1 Máximo relativo 5, 4 Mínimo relativo 1, 3 155

6 3. Las representaciones quedan: 4. Las demostraciones quedan del siguiente modo: Para demostrar que existe un máximo relativo en el punto de abscisa 1 hay que probar que xe 1; f( x) f (1), es decir, que 3 3 x x x x x x (Con 0). 3 Para ello estudiamos el signo de la función: gx ( ) x 6x 9x4 x1 x 4 Luego se cumple que xe 1; f( x) f (1) Para demostrar que existe un mínimo relativo en el punto de abscisa 3 hay que probar que 3 xe 3; f( x) f (3), es decir, que x 6x 9x 0. 3 Para ello estudiamos el signo de la función: h( x) x 6x 9xx x3 Luego se cumple que xe 3; f( x) f (3) 156

7 5. Las demostraciones quedan: a) Hemos de probar que 0 1 x 0, que se cumple x. 1 x 1 x 0 x ;esto es cierto para x. x No alcanza el extremo inferior o ínfimo, luego no tiene mínimo absoluto. Para el valor x0 f(0), luego alcanza el extremo superior o supremo, es decir, tiene un máximo absoluto en x. b) Hemos de probar que 3sen( x) sen( x) sen( x) 3 1 sen( x ) 1, esto es cierto x sen( x) 1 sen( x) 1 x K x K. 4 Tiene mínimo absoluto 3 K ( K ). 4 3 sen( x) 14 sen( x) 1 x K x K. 4 Tiene máximo absoluto ( ) 4 K K. 157

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9 SOLUCIONES 6. El estudio de cada función nos ofrece la siguiente información: a) Esta función y f( x) está acotada por x0yx 4. El supremo es x 4 y el ínfimo es x 0. Esta función tiene un mínimo absoluto en x 0. No tiene simetría. b) Esta función y g( x) está acotada por x3yx. El supremo es x 3 y el ínfimo es x. Esta función no tiene extremos absolutos. No tiene simetría. c) Esta función y h( x) está acotada por x3yx 5. El supremo es x 5 y el ínfimo es x 3. Esta función tiene un máximo absoluto en x 5. Es simétrica respecto al eje de ordenadas. d) Esta función y i( x) no está acotada. Es simétrica respecto al origen de coordenadas. e) Esta función y j( x) está acotada inferiormente por x 1. El ínfimo es x 1 y no tiene supremo. Esta función tiene un mínimo absoluto en x 1. No tiene simetría. f) Esta función y k( x) está acotada superiormente por x. El supremo es x y no tiene ínfimo. Esta función no tiene extremos absolutos. Es simétrica respecto al eje de ordenadas. 7. Las funciones se dividen en tres grupos: Las funciones f; i; k; l; son simétricas respecto al eje de ordenadas. Las funciones h; j; m; q; son simétricas respecto al origen de coordenadas. Las demás funciones no tienen simetrías. 159

10 8. Las funciones quedan: a) Simétrica respecto al eje de ordenadas y no periódica. b) No tiene simetría y es periódica de período T 1. c) Simétrica respecto al origen de coordenadas y periódica de período T. 9. Las gráficas quedan: 160

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12 SOLUCIONES 10. Los dominios quedan: 3 x x x x4 a) ( f g)( x) f( x) g( x) x Dominio x x 3 x x x b) ( f g)( x) f( x) g( x) ( x ) Domf g x x f f( x) x x f x x g gx ( ) x ( x)( x ) g c) ( ) :( ) Dom x x 3x 8x8 d) ( gf)( x) g [ f( x)] g x Domg f x 44xx [ ] 4 e) ( )( ) [ ( )] ( ) 4 6 Dom gg x g g x g x x x x g g 11. Queda en cada caso: a) f( x) x f ( x) x [ ] [ ] f f x f f x f x x y se comprueba que : ( )( ) ( ) 1 x 3 1x 1x gg x g[ g x ] g x b) g( x) 1 3 x g ( x) 1 1 y se comprueba que :( )( ) ( ) 1 3 x 1 c) h( x) h ( x) log x [ ] x 1 1 log y se comprueba que :( h h )( x) h h ( x) h[log x] x 1. Las soluciones son: a) f g( x) 6x11 d) ( f f)(1) 13 3 b) hg( x) x 3 e) ( gf)( 1) 4 x x 8 3 c) f h( x) f) ( hh)(0) 4 x x

13 13. La solución queda: ( f g)( x) f [ g( x)] f (3 xa) 5a3x a 5 ( gf)( x) g [ f ( x)] g(5 x) 3(5 x) a15a3x 14. Queda: Veamosque( f f f)( x) i( x) x x 1 1 ( f f f)( x) f f [ f ( x)] f f f x x x1 15. Llamando x a la base, el cateto altura será (0 x), por tanto el área viene dada por: 1 f( x) x 10x El dominio de esta función es, es decir, todos los valores reales positivos pueden tomar como valor el cateto base, excluido el cero. Es una función acotada superiormente por 50 y este valor es su máximo absoluto, y acotada inferiormente por 0 que es su mínimo absoluto, aunque estos valores carecen de sentido como catetos del triángulo. 16. Por ejemplo, las funciones pueden ser: 3 a) f( x) x g( x) x x b) hx ( ) 3 lx ( ) x x 1 c) tx ( ) px ( ) x x 17. Queda: ( f g)( x) f [ g( x)] f [x4] x3 1 ( f g) ( x) x3 1 ( f g) (4) 7 163

14 18. La representación quedaría del siguiente modo: Es una función periódica de período 45 minutos. 19. La gráfica queda del siguiente modo: a) Es la gráfica azul b) Es la gráfica verde 0. La gráfica queda del siguiente modo: 164