Estrictamente decreciente,4. Estrictamente creciente 4,. Mínimo relativo en (4, 4). Está acotada inferiormente por 4.Mínimo absoluto 4.

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2 SOLUCIONES 10. Las gráficas quedan: a) f x x x ( ) = Domf = [ ) Imf = 4, + ( ) ( + ) Estrictamente decreciente,4. Estrictamente creciente 4,. Mínimo relativo en (4, 4). ( ) Está acotada inferiormente por 4.Mínimo absoluto 4. Es simétrica respecto a su eje x = 4. b) gx x x ( ) = Dom g = [ ) Img = 0, + ( ) ( + ) Estrictamente decreciente,3. Estrictamente creciente 3,. Mínimo relativo en (3,0). ( ) Está acotada inferiormente por 0.Mínimo absoluto en 0. Es simétrica respecto a su eje x = 3. c) hx x x ( ) = + 3 Dom h = [ ) Imh =, + ( ) ( + ) Estrictamente decreciente,1. Estrictamente creciente 1,. Mínimo relativo en (1,). ( ) Está acotada inferiormente por.mínimo absoluto en. Es simétrica respecto a su eje x =

3 d) ix x x ( ) = Dom i = ( ] Im i =, ( ) ( + ) Estrictamente creciente,. Estrictamente decreciente,. Máximo relativo en (, ). ( ) Está acotada superiormente por. Máximo absoluto en. Es simétrica respecto a su eje x =. e) jx x x ( ) = Dom j = ( ] Im j =,4 ( ) ( + ) Estrictamente creciente,3. Estrictamente decreciente 3,. Máximo relativo en (3,4). ( ) Está acotada superiormente por 4. Máximo absoluto en 4. Es simétrica respecto a su eje x = 3. f) kx x x ( ) = 4 4 Dom k = ( ] Im k =,0 ( ) ( + ) Estrictamente creciente,. Estrictamente decreciente,. Máximo relativo en (,0). ( ) Está acotada superiormente por 0. Máximo absoluto en 0. Es simétrica respecto a su eje x =. 175

4 11. Las soluciones son: a) f( x) = ax + bx + c Imponiendo que pase por el punto (0,6), por el punto (,) y tiene en este último su vértice, obtenemos: f x x x ( ) = b) gx ( ) = ax + bx+ c Imponiendo que pase por el punto ( 1,0),( 3,0) y tiene su vértice en (,1), obtenemos: gx x x ( ) = 1 1. Hay infinitas soluciones. Todas las funciones cuadráticas de la forma: ( ) y = K x 1 con K. 13. La representación queda: A la vista de la gráfica tenemos que : ( ) ( ) ( ) f( x) > 0 en,1 5, +. f( x) < 0 en 1,5. f( x) = 0 en x= 1y x= Buscamos f( x) = x 5x+ 6 x 5x Para calcular los intervalos observamos la representación de dicha función: Veamos los intervalos para los cuales la función x = x x+ g( ) En la gráfica se observa que : ( ) ( ) gx ( ) > 0 en,1 4, +. gx ( ) = 0 en x= 1y x= 4. ( ] [ ) Luego f( x) en,1 4, + 176

5 15. La función que da el beneficio P en función del tiempo t en días es: P= ( t) (0,3 + 0,0 t) = t 10t Es una función cuadrática, y el beneficio será máximo en el vértice de la parábola, es decir, en t =,5 días, y el beneficio será: P = 306,5euros. 16. Los números que suman 18 son x y(18 x). Su producto es P= x(18 x) P= x + 18 x. Este producto será máximo en el vértice de la función, es decir, para x= 9; y= 9 y P= Se demuestra del siguiente modo: if( x+ z) = f( x) + f( z) f( x+ z) = a( x+ z) = a( x + xz+ z ) Luego f( x + z) f( x) + f( z) f ( x) f ( z) ax az + = + if( x z) = f( x) f( z) f( x z) a( x z) ax z = = f( x) f( z) = a x z Luego f( x z) f( x) f( z) iftx ( ) = tfx ( ) ftx= atx = at x ( ) ( ) t ( f x) = tax Luego ftx ( ) tfx ( ) 18. Las representaciones quedan: 177

6 19. Las representaciones quedan: 0. La solución queda: 6 } x x x =± 1} a) y = x x= 0 6 y = x = 0 Los puntos de corte son : (0,0), (1,1) y ( 1,1) 7 5 } x x x =± 1} 5 b) y = x x= 0 7 y = x = 0 Los puntos de corte son : (0,0), (1,1) y ( 1, 1) 3 } x x x = 1} c) y = x x= 0 3 y = x = 0 Los puntos de corte son : (0,0), (1,1) 178

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8 SOLUCIONES 1. La correspondencia queda: y = f x = x d 4 ( ) 1 ( ) ( ) y = g( x) = x+ 1 ( e) 1 y = h x = x a 8 y = i x = x + f 3 ( ) ( ) 5 ( ) 1 ( ) 7 ( ) y = j( x) = x 1 ( c) y = m x = x b 4 ( ) ( ). Las representaciones quedan: 3. La correspondencia queda: 1 1 f( x) = ;con n par g( x) = ;con n impar n n x x n n h( x) = x;con n par k( x) = x;con n impar 4. La solución queda: a) x=+ 1 x= 1 Dos soluciones b) x=+ 1 x= 1 Dos soluciones c) x =+ 1 Una solución 180

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10 SOLUCIONES 5. La verificación queda: [ ] ( ] 4 a) x 1 Se verifica en 1,1 5 b) x 3 Se verifica en, c) 4 Se verifica en, 0 x 6. La representación queda: {} 7. En cada uno de los casos queda: a) log,5 < log 3 b) > c) log 6 < log 4 d) > < > e) 0,5 0,5 f) log log 18

11 8. La solución queda: a) La gráfica queda: b) La parte negativa de a gráfica no tiene sentido. En cada caso: t= p= 64% siguen funcionando al cabo de años. t= 5 p= 3,768% siguen funcionando al cabo de 5 años. c) El punto de corte con el eje de ordenadas significa el 100% de ordenadores que funcionan en el momento de salir de la cadena de montaje. 9. La solución queda: En el año hay una unidad de madera. En el año había (1+ 50% de 1) = 1,5 unidades de madera. En el año había En el año 005 había 3 1, 5 4,05 1, 5 unidades de madera. unidades de madera. a) La función es y = 1, 5 t, con t = siglos a partir de En el año había 1 1,5 = 0,667 En el año había 1,5 = 0,444 u m. 1.5 En el año había 1,5 = 0,544 u m. 6 En el año había 1,5 = 0,087 u m. unidades de madera (u m). 183

12 b) Para que haya el doble de madera que en se ha de verificar: t log = 1,5 t = = 1,710 siglos Es decir, en el año = log1,5 Para que haya la mitad de madera que en se ha de verificar: 1 t log0,5 = 1,5 t = = 1,710 siglos Es decir, en el año = 149. log1,5 c) Si consideramos la madera en un tiempo t como 1, 5 t y queremos saber cuánto tiempo t ha de pasar para que la madera se triplique, 3 1, 5 t, obtenemos: t 1,5 + t t t = 3 1,5 1,5 = 3 t =,710 siglos Es decir, cada,710 siglos o 71 años, la madera se triplica. 30. La solución queda: La función que da el número de tulipanes al cabo de t años es: N = 5 t. Al cabo de 5 años habrá 3 15 tulipanes. Para que haya tulipanes han de pasar: = 5 t t = 6años. 31. La demostración queda: x Si (m, p) está en la gráfica de la función y = a entonces: y= a p= a = = a m, pertenece a la misma función y a m = p a p p x m m x 184

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14 SOLUCIONES 3. Queda en cada caso: 1 π 4π a) cos x en, 3 3 π π 5π 3π b) tg x > 1 en,, 4 4 c) > sen x en todo el intervalo 0,π 3 π 11π d) cos x 0 en 0,, π 6 6 [ ] 33. Queda: 3 40º + 360º K a) arc sen = 300º + 360º K b) arc tg1= 45º + 180º K 1 60º + 360º K c) arc cos = 300º + 360º K d) arc tg 3 = 60º + 180º K 1 30º + 360º K e) arc sen = 150º + 360º K f) arc cos 0 = 90º + 180º K 34. Queda: 1 1 y = 10º + 360º K a) y = arc sen sen y= y = 330º + 360º K 3 3 y = 30º + 360º K b) y = arc cos cos y= y = 330º + 360º K ( ) c) y = arc tg 1 tg y= 1 y= 135º + 180º K 186

15 35. En cada caso queda: a) Se obtiene de trasladar la gráfica y 4 = x, unidades hacia abajo. 1 b) Se obtiene de trasladar la gráfica y =, 3 unidades hacia arriba. 3 x c) Se obtiene de trasladar la gráfica y = log x, unidades hacia arriba. d) Se obtiene de trasladar la gráfica y 3 = x, unidades hacia la derecha. 1 e) Se obtiene de trasladar la gráfica y =, 1 unidad hacia la izquierda. 4 x f) Se obtiene de trasladar la gráfica y = cos x, π unidades hacia la derecha. g) Se obtiene de trasladar la gráfica y = sen x, 3 unidades hacia abajo. h) Se obtiene de trasladar la gráfica y x = e, 1 unidad hacia la derecha. i) Se obtiene de trasladar la gráfica y = cos x, unidades hacia abajo. π unidades hacia la izquierda y ésta j) Se obtiene a partir de la gráfica y = cos x, multiplicando por sus ordenadas. k) Se obtiene a partir de la gráfica y = sen x, con período T = 4π. π l) Se obtiene a partir de la gráfica y = sen x, con período T = Decimos: a) Se obtiene de trasladar la gráfica de la función y = x, 1 unidad hacia la derecha y ésta 4 unidades hacia arriba. b) Se obtiene de trasladar la gráfica de la función y = sen x, π unidades hacia la izquierda y ésta 3 unidades hacia abajo. x c) Se obtiene de trasladar la gráfica de la función y = e, unidades hacia la izquierda y ésta unidades hacia abajo. 187

16 37. Las resultantes quedan: d) 188