Donde A es el Dominio y B es el Recorrido o Imagen. Veremos estos conceptos en las siguientes diapositivas.

Transcripción

1 Funciones

2 Concepto de función Llamamos función f del conjunto A en el conjunto B a una relación de dependencia en la que a cada elemento x de A se corresponde con un único elemento y de B. Se simboliza mediante: f : A B x y=f (x) Donde A es el Dominio y B es el Recorrido o Imagen. Veremos estos conceptos en las siguientes diapositivas. Como A y B van a ser subconjuntos del conjunto de los número reales R, a estas funciones se les denomina función real de variable real. f(x) Podemos imaginarnos las funciones como si fueran maquinas de forma que le metemos un número que cogemos de A y nos devuelve un número que está en el conjunto B.

3 Formas de definir una función Una función puede venir expresada de diferentes formas. Normalmente trabajaremos con su forma analítica, pero puede venir dada de la siguientes formas: Forma analítica Tabla de valores Gráfica f (x)=2 x +3 x y=f(x) Podemos pasar de la forma analítica a la gráfica realizando una tabla de valores y uniendo los puntos que hemos obtenido. Salvo en el caso de las rectas, que con dos puntos es suficiente, cuantos más puntos tengamos más exacta será la gráfica.

4 Dominio(I) El subconjunto de números reales x para los que la función está definida se llama dominio de f, D(f). Veamos algunos ejemplos: f (x)=3 x 3 +2 x 2 x+5 En funciones polinómicas el dominio es todo R ya que podemos introducir en la función cualquier valor. f (x)= x2 1 x 2 En funciones racionales el dominio depende tanto del numerador como del denominador recordando además que el denominador no puede valer 0. A esta línea que aparece cuando el denominador vale 0 la denominamos ASÍNTOTA VERTICAL En estas funciones tenemos que ver cuales son los valores en los que el denominador vale 0. x 2=0 x=2 Por tanto el dominio de esta función es: D(f)= R Por tanto el dominio de esta función es: D(f)= R-{2}

5 Dominio(II) El dominio del numerador, x, al ser polinómica es R. f (x)=2+ x 3 En ecuaciones con radicales el dominio son todos aquellos valores de x en los que los radicandos son positivos. Para ello debemos resolver una inecuación. x 3 0 x 3 x f (x)= 2 x 3 Todo lo anterior se puede combinar. Por tanto el dominio de esta función es: D(f)= [3,+ ) Nota: Si hubiesen más raíces se hace una inecuación por raíz y posteriormente se cogería la intersección de todas las soluciones. Es decir un sistema de inecuaciones. Cuando se combinan radicales y fracciones debemos primero hallar los intervalos donde los radicandos son positivos y luego los puntos donde el denominador vale 0. x 3 0 x 3 2 x 3=0 x=7 Por tanto el dominio de esta función es: D(f)= [3,7)U(7,+ )

6 Recorrido Los valores de y que toma f forman un subconjunto llamado IMAGEN o RECORRIDO de f, R(f). f (x)=sen(x)+2 f (x)=x 2 Por tanto el recorrido de esta función es: R(f)= [1,3] Por tanto el recorrido de esta función es: R(f)= [0,+ )

7 Características (i) Funciones periódicas Una función f es periódica de periodo T si existe un número real positivo T, tal que para cualquier x del dominio de f se verifica f(x+t)=f(x). Es decir, se repite en intervalos de longitud T. Por ejemplo la función seno, f(x)= sen(x) se repite con periodo 2π. Funciones acotadas Una función f está acotada superiormente si existe un número que sea mayor que cualquier valor de la función. En este caso está acotada superiormente por 1. Análogamente sería con la cota inferior. En este caso la función está acotada inferiormente por -1.

8 Características (ii) Funciones pares e impares Una función f es par si para cualquier valor de su dominio f(-x)=f(x). Si una función es par es simétrica respecto al eje y. f (x)=x 2 f ( x)=( x) 2 =x 2 =f (x) Una función f es impar si para cualquier valor de su dominio f(-x)=f(x). Si una función es par es simétrica respecto al origen. f (x)=x 3 f ( x)=( x) 3 = x 3 = f (x)

9 Características (iii) Monotonía: Crecimiento y decrecimiento, Extremos absolutos y relativos. Veamos estos conceptos directamente con un ejemplo. Usaremos la función f(x)=x⁵-5x en el intervalo [-1.5,+ ) Podemos observar que la función es estrictamente creciente en el intervalo [-1.5,-1] y [1,+ ) y es estrictamente decreciente en el intervalo [-1,1]. Los extremos relativos son los puntos donde la función cambia de creciente a decreciente y viceversa. Por tanto tenemos un máximo relativo en x=-1 y un mínimo relativo en x=1. Los extremos absolutos son los valores máximos y mínimo que toma la función. En este caso la función no tiene máximo absoluto porque la función nunca para de crecer. Tiene un mínimo absoluto en el punto x=1. Realmente el dominio de esta función sería todo R, pero en muchas ocasiones a las funciones se les asocia un dominio más pequeño. Los máximos y mínimos absolutos no tienen por qué coincidir con los relativos.

10 Características (iv) Tendencia. Observemos la siguiente gráfica. A partir de un cierto valor de x el valor de la función tiende a 4, y cuanto más grande es la x más nos acercamos a 4. Gracias a ello podemos ver y predecir como se va a comportar una función en zonas lejanas al intervalo estudiado.

11 Características (v) Puntos de corte con los ejes. A la hora de estudiar funciones o representarlas resulta muy útil hallar en que puntos corta a los ejes. Para hallar el punto de corte con el eje y basta con hacer x=0, es decir f(0) y ver el valor obtenido. Solo puede haber un corte con el eje y. Para hallar los puntos de corte con el eje x se iguala la función a 0 y se resuelve la ecuación. No hay limite de cortes con el eje x. Veremos un ejemplo en el estudio de la parábola.

12 Continuidad Discontinuidad inevitable del salto infinito Discontinuidad inevitable del salto finito Discontinuidad evitable

13 Modificaciones: traslaciones Si sumamos un número a a la función está se desplazará sobre el eje y hacia arriba si a es positivo o hacia abajo si a es negativo. f (x)=x 2 f (x)=x 2 +2 f (x)=x 2 2 Si sumamos un número a a la variable la gráfica se desplazará sobre el eje x hacia la izquierda si es positiva y hacia la derecha si es negativa, en contra de lo que la intuición pudiese decirnos en un principio. f (x)=x 2 f (x)=(x+2) 2 f (x)=(x 2) 2