Matemática Aplicada y Estadística - Gradoe en Farmacia - Curso 2009/ HOJA 1 1 SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE LA HOJA 1

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1 Matemática Aplicada y Estadística - Gradoe en Farmacia - Curso 009/010 - HOJA 1 1 SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE LA HOJA 1 1 Una relación lineal es una epresión de la forma f() = a+b. Si llamamos a la temperatura en o C, e y = f() a la temperatura en o F, necesitamos determinar los valores a y b. Como a 0 o C le corresponden 3 o F, eso significa que f(0) = 3, es decir, b = 3. Como a 100 o C le corresponden 1 o F, eso significa que f(100) = 1, es decir, 100a + b = 1. Resolvemos entonces el sistema: { b = 3 100a + b = 1 La relación lineal es entonces f() = } b = 3 a = 9 5. Si un cuerpo está a 97.6 o F, si temperatura en grados Celsius vendrá determinada por: es decir, 36. o C = 97,6 = 36,, 5. Si denotamos por la biomasa no enterrada (en g.) y por y el número de semillas, la relación obtenida es y = f() = a, donde a es un valor a determinar. Para ello, usamos que si = 17 g. entonces y = 17 semillas, o lo que es lo mismo: 17 = a 17 a = De ese modo, la ecuación que relaciona ambas cantidades es y = La manzana llegará al suelo en el momento que su altura sea 0, es decir, h(t) = 0. Resolviendo 6 16t = 0 obtenemos que t = segundos. La manzana estará a una altura menor que 8 metros si h(t) 8, es decir, 6 16t 8, y eso se verifica si t 1. En resumen, desde el primer segundo la manzana está a menos de 8 metros del suelo.. La gráfica de la función es de la forma (para [0, 10])):

2 Matemática Aplicada y Estadística - Gradoe en Farmacia - Curso 009/010 - HOJA 1 Y la siguiente gráfica representa la curva anterior junto con la recta y = que el la recta que aparece punteada: Cuando el volumen es = 3 la biomasa es y = 0,1 3 0,79 = 0, Y el volumen para que la biomasa sea y = 8 es = 80 1/0,79 = 9, (a) El número de bacterias en t = 0,1 es B(0,1) = e 0,01 = 10100, El número de bacterias en t = 3 es B(3) = e 0,3 = 1398, (b) El instante t en el que el número de bacterias alcanza el valor se corresponde con resolver la ecuación B(t) = , es decir: e 0,1t = = e 0,1t ln(10) = 0,1t t = 10 ln(10) = 3, horas. (c) Para ello, calculamos el límite de B(t) cuando t +. En ese caso, lím B(t) = +, t + luego el número de bacterias aumenta indefinidamente. 6. El límite de la población viene dado por lím t + N(t) = a. Entonces,l a = 1, 106. Si en el instante t = 5 el tamaño de la población es la mitad del tamaño límite, entonces: N(5) = Por tanto, la función es N(t) = 1, 106 t. 5 + t 7. 5a = a/5 10 = 5 + k k = 5. a + k (a) La función f(t) = 0,05t(t 1)(t ) es una ecuación polinómica de tercer grado. Sus raíces son 0, 1 y. Si estudiamos el signo, teniendo en cuenta que t [0, ] (pues se trata de horas diarias), obtenemos que:

3 Matemática Aplicada y Estadística - Gradoe en Farmacia - Curso 009/010 - HOJA 1 3 es positiva en (0, 1), es negativa en (1, ). Por tanto, la temperatura se encuentra por debajo de 0 o entre t = 1, que se corresponde con las 18 (6 de la tarde), y t =, que se corresponde con las 6 (6 de la mañana) horas. (b) La función f es continua en su dominio. A las 1 a. m. su valor es f(t = 6) = 3, o F, y a la 1 p. m. su valor es f(t = 7) = 9,75 o F. Por tanto, aplicando el Teorema del valor intermedio o de Darbou deducimos que eiste algún valor intermedio t (6, 7) (entre las 1 a. m. y la 1 p. m.) en el que se alcanzan los 3 o F. 8. Según los datos, estudiamos la función R() = (9 )(7 ), que sólo tiene sentido para [0, 7] (ya que una concentración debe ser positiva y la velocidad de reacción positiva). (a) Para estudiar la monotonía de la función calculamos su derivada que es R () = ( 8). Observemos que dicha función se anula en = 8 y que R () < 0 para [0, 7]. Por tanto, la función es estrictamente decreciente en [0, 7]. (b) Observemos que se trata de una función continua definida en [0, 7]. Estamos entonces ante un problema de calculo de etremos absolutos de una función, para una función continua en un intervalo cerrado y acotado. Por tanto, para calcular los etremos absolutos de la función tenemos que estudiar los valores de dicha función en los posibles candidatos: etremos: = 0, = 7, y sus valores son R(0) = 16, R(7) = 0, puntos en (0, 7) donde R () = 0: en este caso no hay. puntos donde la función no es derivable: en este caso no hay. Máimo de R : 16, alcanzado en = 0. Mínimo de R : 0, y se alcanza en = 7. Otra forma de resolver el problema es estudiando su gráfica. Observamos que: R () = ( 8), R () = 0 = 8. Luego R es decreciente (estrictamente) en (0, 7), ya este es su dominio de definición en este caso. Como R(0) = 16 y R(7) = 0, deducimos que la función alcanza un máimo absoluto en = 0 y un mínimo absoluto en = Según los datos del enunciado estudiamos la función R() = (a) Tenemos que resolver la ecuación R() =, es decir: = =, luego la velocidad de crecimiento vale cuando la concentración del nutriente es =. (b) Para estudiar la monotonía de la función calculamos la derivada de R(): R () = 5 (1 + ) > 0, luego la función es estrictamente creciente allí donde esté definida. Aunque D(R) = R\{ 1}, como la variable mide la concentración de un nutriente, sólo tiene sentido en [0, + ). Por tanto, la función es estrictamente creciente en [0, + ), y nunca es decreciente.

4 Matemática Aplicada y Estadística - Gradoe en Farmacia - Curso 009/010 - HOJA 1 (c) Para ello, estudiamos el límite de R() cuando + : lím R() = 5. + Esto significa que la velocidad de crecimiento crece hacia el valor 5, pero nunca se alcanza aunque tiende asintóticamente a dicho valor. 10. (a) Para estudiar la monotonía de la función calculamos la derivada de L(t): L (t) = l e t > 0, que es siempre creciente, es decir, es estrictamente creciente en [0, + ) que es el dominio considerado. No es decreciente en ningún conjunto. (b) Para calcular a qué tiende la longitud cuando t +, calculamos: lím l (1 t + e t ) = l. Por tanto, l es la cota superior de la longitud que pueden alcanzar los peces en toda su vida. Como L(t) es una función estrictamente creciente, dicha cota nunca puede alcanzarse, pero la longitud tiende asintóticamente a ella. 11. Según los datos del enunciado estudiamos la función W(t) = e 0,01t : (a) Para comprobar que la función es decreciente calculamos la derivada de W(t): W (t) = 0,0 e 0,01t < 0, luego es estrictamente decreciente en [0, + ), que es el dominio considerado. (b) Para saber qué le pasa a la cantidad de C 1 cuando pasa mucho tiempo calculamos: lím W(t) = 0, t + es decir, esa cantidad es cada vez más pequeña y tiende a desaparecer, pero no se hace cero en tiempo finito. (c) Para calcular en qué momento W = 1, tenemos que resolver: e 0,01t = 1 e 0,01t = 1 ( ) 1 0,01t = ln t = 100 ln() = 69, La función B(t) es una función decreciente en todo su dominio, ya que B (t) = 0,0053B 0 e 0,0053t < 0. Por tanto, para que durante 6 horas la concentración sea superior a 0, necesitamos resolver B(t) 0 sabiendo que el primer instante en el que la concentración puede ser menor o igual que 0 es t = 6. Resolvemos entonces B(6) = 0, es decir, B 0 e 0,0318 = 0 cuya solución es B 0 = 0e 0,0318 = 0,66, siendo B 0 la cantidad de medicamento inyectada (o cantidad inicial).

5 Matemática Aplicada y Estadística - Gradoe en Farmacia - Curso 009/010 - HOJA (a) El campo abierto sólo requiere 3 lados de cerca, ya que el lado del rectángulo que falta tiene como frontera el río. Al tratarse de un rectángulo, habrá lados de longitud y un lado de longitud y. Por tanto, el perímetro viene dado por + y y según el enunciado debe ser igual a 80, es decir, + y = 80. Por otra parte, el área de dicha figura (que es un rectángulo) viene dada por A = y. Si queremos deducir la epresión del área A en función de, hacemos lo siguiente: A = y + y = 80 } A() = (80 ) = 80. Observemos que se trata de una función continua definida en [0, 0], pues fuera de dicho intervalo la función A() toma valores negativos (y eso no tiene sentido). Estamos entonces ante un problema de calculo de etremos absolutos de una función, para una función continua en un intervalo cerrado y acotado. Por tanto, para calcular los etremos absolutos de la función tenemos que estudiar los valores de dicha función en los posibles candidatos: etremos: = 0, = 0, y sus valores son A(0) = 0, A(0) = 0, puntos en (0, 0) donde A () = 0: = 0, y su valor es A(0) = 800, puntos donde la función no es derivable: en este caso no hay. Máimo de A : 800, alcanzado en = 0. Mínimo de A : 0, y se alcanza en = 0, = 0. Otra forma de resolver el problema es estudiando su gráfica. Observamos que: A () = 80, A () = 0 = 0. Luego A es creciente (estrictamente) en (0, 0) y decreciente (estrictamente) en (0, 0). Por tanto, la función A() alcanza un máimo local en = 0, que es A(0) = 800. Como A(0) = 0 y A(0) = 0, deducimos que dicho máimo es global. En definitiva, debe haber lados de 0m. y un lado de 0 m. para que el área encerrada por la cerca sea la máima posible. (b) En este caso, los datos del problema nos llevan a la conclusión siguiente, donde P es el perímetro de la superficie que se desea vallar: } y = 18 P() = + 18 P = + y. Observemos que se trata de una función continua definida en (0, + ), pues fuera de dicho intervalo la función P() toma valores negativos (y eso no tiene sentido). Estamos entonces ante un problema de calculo de etremos absolutos de una función, para una función continua en un intervalo semiabierto y no acotado. Por tanto, para calcular los etremos absolutos de la función sólo podemos usar el segundo razonamiento del apartado anterior. Observemos que: P () = 18, P () = 0 = 3. La función P() es decreciente en (0, 3) y creciente en (3, + ), por tanto posee un mínimo local en = 3 que vale P(3) = 1. Como además lím P() = + y lím 0 + deducir que dicho mínimo es global. + P() = +, podemos En definitiva, debe haber lados de 3m. y un lado de 6 m. para que se requiera la mínima cantidad de valla.

6 Matemática Aplicada y Estadística - Gradoe en Farmacia - Curso 009/010 - HOJA El volumen de una caja de base cuadrada de lado y altura y viene dado por: V = y; y el área viene dado por la suma del área de la base, que es, y de los cuatro laterales, cada uno de ellos de área y. Por tanto, A = + y. Según los datos del problema, A = 100, por tanto, 100 y =. La función a maimizar es el volumen, que usando la epresión de y anterior viene dado por: V = ( 100 ) = Observemos entonces que la función a maimizar es f() = que tiene sentido para [0, 100]. Como se trata de una función continua definida en un intervalo cerrado y acotado, podemos aplicar el Teorema de Weiertrass y concluir que posea máimo y mínimo absolutos en dicho intervalo. Los candidatos son: los etremos del intervalo = 0, = 100, los puntos donde la derivada se anula, es decir, f () = 300 3, que es = 0. Como f(0) = 0, f(0) = 000 y f( 100) = 0, entonces elm máimo se alcanza en = 0 y el volumen máimo es 000 cm Considerando que la sensibilidad es una magnitud positiva, observemos que S es positiva si [0, C]. La función S posee como derivada S () = C, por tanto tiene un etremo relativo en = C/, siendo creciente en (0, C/) y decreciente en (C/, C). Por tanto, posee un máimo absoluto que es S(C/) = C /, que se alcanza en = C/. 16. Siendo f(t) = t t + 1 t + 1, la derivada es f (t) = t 1 (t + 1). Observemos que f (t) = 0 si t = 1 luego f(1) = 1, f(0) = 1 y lím f(t) = 1. Así, el máimo de f es 1 y se alcanza con t = 0, y el t + mínimo de f es 1/ y corresponde a t = Observemos en primer lugar que al tratarse de una población, N sólo tiene sentido si es positiva o cero, pero la función f(n) puede ser negativa (por ejemplo por causas de sobrepoblación unidas a escasez de alimentos). Por tanto asumimos que Eso ocurre si N [0, + ). La epresión de f (N) es f (N) = r ( 1 N K decreciente en (K/, + ). 18. ). Dicha epresión se anula en N = K/, siendo creciente en (0, K/) y a) La derivada de la función N(t) viene dada por N (t) = 600e t (1 + 3e t > 0 luego se trata de una ) función estrictamente creciente. b) Es fácil deducir que lím N(t) = 100. t + c) La derivada segunda de la función viene dada por la epresión N (t) = 100e t (1 + 3e t ) 3 (3e t 1), que se anula para t = ln(3) ( ) ln(3). Observemos que N = 50. d) A la vista de los apartados anteriores y sabiendo que N(0) = 5, su gráfica viene dada por:

7 Matemática Aplicada y Estadística - Gradoe en Farmacia - Curso 009/010 - HOJA y=100/(1+3e t ) Para a, k > 0 la función f tiene como dominio D(f) = R. Sin embargo, sólo estudiaremos lo que pasa en [0, + ), ya que representa a una densidad, que es una magnitud positiva. Para calcular en qué puntos es máima dicha función debemos tener una idea de su gráfica. Observemos que: f (N) = a (k N ) (k + N ). Por tanto, f es creciente (estrictamente) en (0, k) y decreciente (estrictamente) en ( k, + ), luego f posee un máimo local en N = k que es f( k) = a. Notemos también, k f(0) = 0 y lím f() = 0, + con lo que podemos deducir que dicho máimo es absoluto. Por tanto, la cantidad de gusanos para la que la velocidad de depredación es máima es N = k, y dicha velocidad de depredación es a k. 0. La función f tiene como dominio D(f) = R. Sin embargo, sólo estudiaremos lo que pasa en [0, + ), ya que N representa el nivel de nitrógeno, que es una magnitud positiva. Para calcular en qué puntos es máima dicha función debemos tener una idea de su gráfica. Observemos que: f (N) = 1 N (1 + N ). Por tanto, f es creciente (estrictamente) en (0, 1) y decreciente (estrictamente) en (1, + ), luego f posee un máimo local en = 1 que es f(1) = 1. Notemos también, f(0) = 0 y lím f(n) = 0, N + con lo que podemos deducir que dicho máimo es absoluto. Por tanto, el nivel de nitrógeno del suelo que maimiza la cosecha es N = a) La concentración inicial es C(0) = 1.

8 Matemática Aplicada y Estadística - Gradoe en Farmacia - Curso 009/010 - HOJA 1 8 b) El valor a largo plazo de la concentración será lím C(t) = 0, es decir, tiende a cero. t + c) Observemos que C (t) = te t < 0, para t 0, luego es decreciente en [0, + ). Además, C (t) = e t (t 1) luego tiene un punto de infleión en t = 1 siendo C(1) = /e. Observemos que como lím C(t) = 0, posee una asíntota horizontal en y = 0 cuando t +. Por tanto, su t + gráfica viene dada por (para t [0, 10]): Cada uno de los apartados de este ejercicio requiere un estudio detallado. A modo de indicación, y dado que en el siguiente ejercicio se pide básicamente lo mismo, se incluyen simplemente sus representaciones gráficas: (a) La siguiente gráfica corresponde a la función y = en el intervalo [, ]:

9 Matemática Aplicada y Estadística - Gradoe en Farmacia - Curso 009/010 - HOJA 1 9 (b) La siguiente gráfica corresponde a la función y = en el intervalo [ 10, 10]: (c) La siguiente gráfica corresponde a la función y = que la función no está definida en = 1): 3 en el intervalo [ 6, 6] (observemos (1 + ) 3 /(1+) (d) La siguiente gráfica corresponde a la función y = e en el intervalo [, 3]:

10 Matemática Aplicada y Estadística - Gradoe en Farmacia - Curso 009/010 - HOJA ep( ) (e) La siguiente gráfica corresponde a la función y = 1 en el intervalo [ 6, 6]: 1 + e (f) La siguiente gráfica corresponde a la función y = ln( +) en el intervalo [ 10, 10] (observemos que la función no está definida en [, 0]):

11 Matemática Aplicada y Estadística - Gradoe en Farmacia - Curso 009/010 - HOJA (g) La siguiente gráfica corresponde a la función y = la función no está definida en = 1): e 1 + en el intervalo [ 3, 3] (observemos que (h) La siguiente gráfica corresponde a la función y = e 1 1+ en el intervalo [ 10, 10] (observemos que la función no está definida en = 1):

12 Matemática Aplicada y Estadística - Gradoe en Farmacia - Curso 009/010 - HOJA 1 1 ep((1-)/(1+))