Matemática Aplicada - Licenciatura de Farmacia - Curso 2005/ HOJA 2 1 SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE LA HOJA 2

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1 Matemática Aplicada - Licenciatura de Farmacia - Curso 5/6 - HOJA SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE LA HOJA Para ver que las ecuaciones dadas poseen una única raíz real, intentaremos aplicar el teorema de Bolzano a funciones adecuadas y haremos razonamientos de monotonía según el signo de la derivada de dichas funciones. a) La función auiliar f) = es continua y cumple que lím f) =, y que lím f) = + +. Así, es posible dar un intervalo [a, b] conveniente en el que aplicar el teorema de Bolzano. En conclusión: f) posee al menos una raíz. Por otro lado, f ) = + ln, que es una función de signo constante positiva siempre), por lo que f es estrictamente creciente. Eso implica que f sólo corta al eje una única vez. Aunque no se pide, como complemento al ejercicio y parte del tema, calculamos la raíz usando el método de Newton en el intervalo [, ]. Compruébese que se satisfacen las condiciones para la Regla de Fourier. Si tomamos =, obtenemos = 5966, 3 = 6996, = 6857 y ya el siguiente elemento coincide con el anterior hasta los decimales mostrados, por lo que resulta válido como aproimación a la raíz. b) Análogo al anterior tomando f) = e +. Si aplicamos la Regla de Fourier en el intervalo [, ], con = obtenemos = , 3 = 56675, = 8567, 5 = 85 y 6 coincide en los decimales mostrados con el anterior valor 5. c) Tómese f) =arctg ln. El desarrollo es de nuevo análogo a los apartados anteriores, pero en el intervalo, + ). [Recuérdese que lím arctg = π/ y que lím arctg = π/.] Para encontrar un intervalo donde comenzar a aplicar el Método de Newton, tanteamos algunos valores de f hasta estar en las condiciones del teorema de Bolzano. NOTA IMPORTANTE: poner la calculadora en modo Rad siempre que se usen funciones relacionadas con trigonometría. Por ejemplo, el intervalo [, 5] es válido. Si =, tenemos = 6858, 3 = 39, = 8 y 5 coincide en las cifras decimales mostradas con el valor anterior. Se puede comprobar que todas las funciones que aparecen en este ejercicio son continuas. Al estar definidas sobre intervalos cerrados y acotados, poseen etremos absolutos teorema de Weierstrass). Para calcularlos, tomamos los candidatos a etremos, esto es: los etremos del intervalo, los puntos donde la función es derivable y la derivada se anula, y los puntos donde la función no es derivable. Evaluamos la función en dichos puntos para concluir quiénes) dan el máimo y mínimo absoluto de la función. a) Candidatos: π, π/,, π/, π. El mínimo es y se alcanza en =, = π y en = π. El máimo de f en [ π, π] es y se alcanza en = π/ y en = π/. b) Candidatos:,, 3. Etremos de f : máimo absoluto / y se alcanza en =. Mínimo absoluto / y se alcanza en =. c) Candidatos:,,, π/, π. Máimo de f :, alcanzado en = π/. Mínimo de f :, y se alcanza en =. d) Candidatos:,, 3. Máimo de f : ln, y se alcanza en =. Mínimo de f : ln y se alcanza en = 3. Se recomienda comprobar que se cumple la ecuación inicial para este valor. Eventualmente, en algunas ocasiones pero no siempre), si los cálculos de evaluación son farragosos, podemos evitarlos haciendo un análisis del crecimiento de la función a través del signo de la derivada, para concluir cuáles son los etremos absolutos.

2 Matemática Aplicada - Licenciatura de Farmacia - Curso 5/6 - HOJA 3 Para resolver problemas de optimización con enunciado, debemos previamente traducir a un conteto matemático los datos e incógnitas. Es decir, debemos obtener la epresión de la función a optimizar en nuestro caso funciones reales de variable real) a partir de cierta variable en general varias, pero relacionadas entre sí de modo que al final todo queda como epresión de una única variable) y del dominio de definición de la función, esto son los valores para los que tiene sentido la construcción del problema real. a) Tomando como variables a y b, lados de la parcela, como máimo el perímetro 8, siendo el río uno de los lados paralelo a b), implica a + b = 8. Despejamos por ejemplo) b, y el área A = ab) queda como la función Aa) = a8 a). El problema tiene sentido cuando a, ), por lo que estudiaremos optimizar la función anterior en DomA) = [, ]. Incluir los valores etremos es sólo cuestión técnica para tener asegurado máimo y mínimo de la función, y se observa que no produce ningún efecto perjudicial sobre el problema ya que A se anula en los etremos.) Los candidatos a etremos:,,. El máimo es 8 y se alcanza cuando a = y por tanto b = ). b) Para este apartado, ahora el dato es ab = 8, mientras que el perímetro P = a+b es la epresión a optimizar. Si despejamos la variable b queda P = a + 8. Hay que analizar para qué valores tiene a sentido dicha epresión: cuál es el dominio práctico del problema? En este caso comprobamos que DomP ) =, + ) [al menos teóricamente tiene sentido, supuesto el río infinito y que disponemos de tanta malla como requiramos]. Cómo resolver este problema? Cuando el dominio de la función no es un cerrado y acotado, un análisis más preciso es requerido. Hay dos opciones:.- Analizar el problema en dominios cerrados y acotados, en este caso de la forma [m, M] con ambos valores positivos y hacerlos cada vez más cercanos al verdadero dominio del problema, m + y M +..- Usar el signo de la derivada para analizar crecimiento y decrecimiento de la función, y argumentar razonadamente dónde se hallan los máimos y mínimos absolutos, si es que se alcanzan, o supremo e ínfimo de la función. En el primer caso, llegamos a que los puntos a estudiar serían a = 3, donde se anula la derivada P a) = 8, y los etremos m y M. Pero como en realidad los hacemos tender a los etremos del a verdadero dominio, los valores imágenes a comparar son P 3) = y los límites lím P m) = + m + y lím P M) = +. Así, el mínimo valor es y se alcanza cuando a = 3. M + El segundo modo permite obtener el mismo resultado viendo simplemente que la función P es decreciente en, 3) por tener derivada con signo negativo, y creciente en 3, + ) por la razón contraria. La función S) = C ) debe ser maimizada en el dominio natural donde tiene sentido, esto es, en el intervalo [, C], ya que las dosis, así como la sensibilidad al fármaco se sobrentiende deben ser valores positivos. Al tratarse de una función continua, definida sobre un intervalo cerrado y acotado T. de Weierstrass) la función S tiene máimo y mínimo. Los candidatos a etremos absolutos son: los etremos del intervalo, esto es, y C, y los puntos donde se anula la derivada, S ) = C, es decir, = C/. Obsérvese que la función S es siempre derivable, por lo que no hay más candidatos posibles. Viendo que S) = SC) = y que SC/) = C/), es éste último el máimo valor de la sensibilidad al fármaco, y la dosis con que se consigue, es = C/, valor que se pedía.

3 Matemática Aplicada - Licenciatura de Farmacia - Curso 5/6 - HOJA 3 5 Siendo ft) = t t + t +, la derivada es f t) = t t. Así, el máimo de f es y se alcanza con + t =, y el mínimo de f es / y corresponde a t =. 6 En todos los apartados adaptamos la epresión sobre la que hay que calcular el límite para poder utilizar la Regla de L Hôpital compruébese que en cada caso se satisfacen las hipótesis para ello): a) lím 3 ln ln = lím 3 = lím / 3 = lím L H 3 3 =. b) lím ln = + no es problemático. + Por completitud, comentamos el caso cuando + que sí es propiamente una indeterminación. ln lím ln = lím + + = L H lím / = lím =. + + De los dos límites anteriores podemos obtener la idea grosso modo de que cualquier polinomio vence a un logaritmo. Lo volvemos a comprobar en el siguiente caso: c) lím + 7 ln = lím 7 ln ) = + = álgebra lim ln donde hemos usado que lím = L H d) Dos observaciones sobre este apartado: lím / + =..- como cabía esperar, igual que todo polinomio vence a un logaritmo, ocurre que la eponencial vence a todo polinomio: lím + e = lím + e = lím 3 + e = lím + e = lím + e = lím + e =. Como segunda observación: para ver que eiste el límite que nos planteamos, aplicamos la Regla de L Hôpital, y si bien no podemos conseguir una resolución eplícita inmediata, sí reiteramos la Regla sobre esa epresión, sucesivamente, hasta conseguir ver que eiste límite. e) lím + e ln = lím + e ln e donde la Regla de L Hôpital la usamos para hallar ln f) lím + ln = lím + = lím / L H + =. ) = + ) = + álgebra lim ln lím + e = lím / + e =. 7 Cada uno de los apartados de este ejercicio requiere un estudio detallado. A modo de indicación, y dado que en el siguiente ejercicio se pide básicamente lo mismo, se incluyen simplemente sus representaciones gráficas:

4 Matemática Aplicada - Licenciatura de Farmacia - Curso 5/6 - HOJA y= /+ )

5 Matemática Aplicada - Licenciatura de Farmacia - Curso 5/6 - HOJA 5 3 /+) ep )

6 Matemática Aplicada - Licenciatura de Farmacia - Curso 5/6 - HOJA 6 /+ep)) log + ) 3 6 6

7 Matemática Aplicada - Licenciatura de Farmacia - Curso 5/6 - HOJA 7 logabs))/ ep)/+)

8 Matemática Aplicada - Licenciatura de Farmacia - Curso 5/6 - HOJA 8 ep-)/+)) ) abs )/ Estudiamos la función f) = + +. Asíntota vertical en =. Asíntota oblicua por tanto no tiene horizontal): la recta y =. La derivada de la función es: f ) = ). Por tanto, los cambios de signo vienen dados por las zonas en que queda dividida la recta real usando los ceros del numerador: ±. No obstante, hay que tener en cuenta que no basta signo de la derivada para hablar de decrecimiento en todo el intervalo, ya que por medio la función no es continua: en = tiene una asíntota vertical. Hecha esta apreciación podemos afirmar que:

9 Matemática Aplicada - Licenciatura de Farmacia - Curso 5/6 - HOJA 9 La función crece en el intervalo, ] [ ) y decrece en,. Así, en tiene ) un máimo relativo, f. En el intervalo, + ] [ + ) decrece y en, + crece por tanto tiene un mínimo relativo en + + ) : f. Ninguno de dichos etremos relativos es absoluto, debido a la asíntota vertical en = : lím f) = y lím f) = Para la función f) =, el dominio es Domf) = R\{}, pues es el único punto que e anula el denominador. En = f tiene una asíntota vertical. Para el estudio de la eistencia de asíntotas horizontales, calculamos lím + f) y lím f). Usando álgebra de límites y las propiedades de la función eponencial, es obvio que lím + f) = / ) =, mientras que lím f) = / ) =. Obsérvese que las rectas y = e y = son asíntotas horizontales, es decir, no tienen porqué ser única, de hecho, no tiene porqué haber por ambos lados, y si las hay, no tienen porqué coincidir, como prueba este ejemplo. En todo el dominio de la función f, la función es continua y derivable, con derivada f ) = e e ). La derivada es siempre negativa en el dominio de definición de f, que es, ), ). Esto significa que la función es decreciente en, ) y también lo es en, ). Pero NO significa que lo sea en todo R, ni que si < <, entonces se implique que f ) < f ) de hecho, esto NO ocurre). Si f) = e + ), entonces f ) = e + ) + e + ) que es, en efecto, positivo si >. [Esto prueba el apartado a).] El apartado b) es trivial pues, de hecho, la función f es siempre positiva.