2.1. Derivada de una función en un punto

Transcripción

1 Capítulo 2 Diferenciación Derivaa e una función en un punto Ritmo (o razón, o tasa) e cambio e una función en un momento ao. Peniente e la recta tangente. Aproximación por la peniente e las rectas secantes. Fórmula e la erivaa e una función y(x) en el punto x: y y(x + h) y(x) (x) = lím. (2.1) h 0 h Figura 2.1: Recta tangente a y = x 2 en x = 1 1 versión 8. v Enrique Macías Virgós. Hecho con TeXShop y Mathematica en un Macintosh. Los comentarios biográficos están aaptaos en su mayor parte e Mac- Tutor History of Mathematics archive: 1

2 Ejemplo Cálculo e la erivaa e y = x 2 en el punto x = 1: y (1) = lím h 0 y(1 + h) y(1) h = lím h 0 h 2 + 2h h = lím h 0 (1 + h) h = lím h 0 (h + 2) = 2. Biografía e Sir Isaac Newton ( ). Es probablemente la figura científica más importante e toos los tiempos. En un períoo e menos e os años (ese el verano e 1665 hasta 1667) en que la universia e Cambrige estuvo cerraa por la peste, y cuano aún no había cumplio los 25, Isaac Newton hizo revolucionarios avances en Matemáticas (cálculo iferencial e integral), Óptica (escomposición e la luz blanca en colores), Física (ley e la gravitación universal) y Astronomía (telescopio e reflexión). En 1669 suceió a su maestro I. Barrow en la cátera Lucasiana (que actualmente ocupa Stephen Hawking). Fue presiente e la Royal Society. Su libro De Methois Serierum et Fluxionum, escrito en 1671, se publicó póstumamente en 1736 (traucio al inglés). Los Philosophiae naturalis principia mathematica son e Infinitésimos La introucción el cálculo iferencial fue lenta y polémica en algunos países ebio a prevenciones e tipo filosófico y religioso. Figura 2.2: I. Newton Notación e Leibniz Incremento e la variable x; incremento e la función y. Derivaa y x = lím y x 0 x. Tiene la ventaja e mostrar siempre qué variable estamos usano, por ejemplo: x x2 = 2x, x x2 x=1 = 2. 2

3 2.2. Reglas e erivación Tabla e erivaas Al erivar y = x 2 en un punto arbitrario x obtenemos y (x) = 2x. Análogamente tenemos las siguientes funciones erivaas que conviene conocer e memoria: y(x) y (x) cte. 0 x n x sen x cos x tg x e x nx n 1 1/2 x cos x sen x 1 + tg 2 x = 1/ cos 2 x e x b x, 0 < b, b x ln b ln x 1/x log b x 1/(x ln b) arc sen x 1/ 1 x 2 arc cos x 1/ 1 x 2 arc tg x 1/(1 + x 2 ) Derivaa e una suma Las funciones pueen sumarse, (u + v)(x) = u(x)+v(x). La erivaa e una suma e funciones es la suma e las erivaas, Por ejemplo (u + v) (x) = u (x) + v (x). (sen x + cos x) = cos x sen x. x Derivaa e un proucto Las funciones pueen multiplicarse, (u v)(x) = u(x) v(x). La erivaa e un proucto e funciones está aa por la regla e Leibniz, (uv) (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x). Por ejemplo x (xex ) = e x + xe x = e x (1 + x). 3

4 Noticia e G. W. Leibniz ( ) Alemán, opuesto a las ieas e Newton sobre la la materia y la energía, trabajó en Lógica y esarrolló una máquina calculaora. En 1675 inventó el cálculo iferencial, inepenientemente e Newton. Derivaa e un cociente La erivaa e (u/v)(x) = u(x)/v(x) es ( u v ) (x) = u (x)v(x) u(x)v (x) u(x) 2, Figura 2.3: G. W. Leibniz como se euce e la regla e Leibniz escribieno u(x)/v(x) = u(x) v(x) 1. Ejemplo 1/ cos 2 x. Derivar tg x = sen x/ cos x. Sol.: 1 + tg 2 x o equivalentemente Ejemplo Derivaa e y = x en un punto arbitrario x > 0 e su ominio. Como y = x 1/2, y (x) = (1/2)x 1/2 = 1 2 x. Ejemplo Leibniz, Derivaa e una constante por una función. Usano la regla e (cte.u(x)) = cte.u x x. Regla e la caena Composición e funciones Las funciones pueen componerse o encaenarse. La función z = sen (x 2 + 1) es compuesta, es eir la calculamos en os etapas. Si llamamos u a la función x y = x y v a la función y z = sen y, nuestra función será la composición (v u)(x) = v (u(x)). En notación e Leibniz ponríamos y = y(x) = x 2 + 1, z = z(y) = sen y, y la composición se llamaría z = z(x) = sen(x 2 + 1). 4

5 Derivaa e una composición Se usa la regla e la caena: (v u) (x) = v (u(x)) u (x). Ejemplo: Para y = sen (x 2 + 1), la función erivaa es y (x) = cos (x 2 + 1) (2x). La regla e la caena, en notación e Leibniz, se escribe z x = z y y x, lo que facilita los cálculos. En el mismo ejemplo z/y = cos y, y/x = 2x, luego z/x = (cos y) (2x) y al sustituir y por su valor en función e x quea z/x = 2x cos (x 2 + 1). PROBLEMAS 1. El número y e células en un cultivo epene e la cantia e luz x, que a su vez epene e la hora el ía t. Si por ejemplo y(x) = x 2 1, x(t) = sen(t + 2), calcular a qué ritmo está cambiano la población e células en el momento t = El raio r e una célula epene e la concentración C e nutrientes. Si la célula es esférica, su volumen V viene ao por V (r) = (4/3)πr 3 (fórmula escubierta por Arquímees). Calcular a qué ritmo está cambiano el volumen cuano C = Dejamos caer arena a un ritmo e 1000 cm 3 por minuto, e manera que se va formano una montón e forma cónica. A qué velocia está aumentano la altura h el cono en el momento en que h = 10cm? (la fórmula el volumen e un cono circular también se ebe a Arquímees: 1/3πr 2 h). Derivaa e las funciones inversas Si tenemos una función y = y(x) y su inversa x = x(y), la regla e la caena nos ice que x y y x = x x = 1, 5

6 porque esta última erivaa es la e la función ientia x x (gráfica: la iagonal, recta e peniente 1). Por tanto la erivaa e una función y la e su inversa, en los puntos corresponientes, al multiplicarlas an 1, o lo que es lo mismo x y = 1 y/x. Ejemplo Para erivar x = arc tg y, π/2 < y < +π/2, sabemos que y = tg x y que y/x = 1 + tg 2 x, luego x y = tg 2 x = y. 2 Ejemplo Derivar la función v = arc sen u, en un punto arbitrario e su ominio 1 u +1. Sabemos que u = sen v y que u/v = cos v, por tanto v u = 1 cos v = 1 1 u 2 (el último paso se euce e cos 2 v + sen 2 v = 1). Ejemplo Derivar z = ln t, t > 0. Como t = e z cumple t/z = e z, será z/t = 1/e z = 1/t El teorema el valor intermeio Estuio e la erivabilia Al erivar una función y = y(x) puee haber puntos x en los que y(x) no es erivable (porque el límite e la efinición e erivaa no existe). En general iremos obtenieno una función erivaa y (x) cuyo ominio es igual o menor que el inicial. Ejemplo La siguiente función no es erivable en x = 0 ni en x = 1: 2 si x < 0, y(x) = x 2 si 0 x 1, 3x 2 si x > 1. 6

7 Ejemplo La función x sen(1/x) (ver figura 2.4) puee hacerse continua en x = 0, pero no iferenciable Figura 2.4: y(x) = x sen(1/x) Derivabilia y continuia Si una función no es continua en un punto x entonces ya no puee ser erivable en ese punto. En cambio, si es continua en x puee ser erivable o no, epenieno e que la gráfica sea suave o no (hay que estuiar las rectas tangentes laterales). Teorema el valor intermeio Tiene muchas aplicaciones, teóricas y prácticas. Algunas las veremos en este curso.. Si una función y = y(x) es continua en un intervalo cerrao [a, b] y iferenciable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe algún punto intermeio a < c < b one se cumple que y (c) = y(b) y(a). b a Esto significa que la recta tangente en x = c es paralela (es, ecir, tiene la misma peniente) a la recta que une los extremos e la gráfica. El punto c no tiene por qué ser único (ver figura 2.5). Contraejemplo La función y = x, 1 x +1 no cumple el teorema. La razón es que no es iferenciable en x = 0. 7

8 Figura 2.5: Teorema el valor intermeio Contraejemplo La función y(x) = { x 2 si 0 x < 1, 2008 si x = 1 no cumple el teorema. La razón es que no es continua en x = 1. Cálculo aproximao e funciones Aritmética e la calculaora: cantia fija e ígitos y coma flotante. Poemos escribir la fórmula el teorema el valor intermeio como y(x + h) = y(x) + y (c)h para algún c intermeio entre x y x + h (puee que h sea negativo). Ejemplo Para calcular sen 0,1 tomamos y(x) = sen x, x = 0, y(0) = 0, h = 0,1. Entonces sen 0,1 = 0 + 0,1 cos(c) para algún 0 < c < 1. Poemos estimar el error e aproximación y (c)h como sigue: como 0 < cos(c) < 1 se euce 0 < sen 0,1 < 0,1, es ecir sen 0,1 = 0,0... con una cifra ecimal exacta. Para una aproximación mejor hay que usar erivaas e oren superior (polinomios e Taylor). PROBLEMAS 1. Encontrar un punto 0 < c < 1 en el que se cumpla el teorema el valor intermeio para la función y = x 2 + 1, 0 x Calcular aproximaamente 2 0,9 (hay que usar que 2 < e y por tanto ln 2 < 1). 3. Calcular aproximaamente cos 1,01. 8