Semana 14-Derivadas I[1/29] Derivada. 7 de junio de Derivada

Transcripción

1 Semana 14-s I[1/9] 7 e junio e 007

2 s Introucción Semana 14-s I[/9] Introucción P f Q Consieremos el gráfico e una función f con ominio R. Sea P = (x 0, y 0 ) un punto el gráfico e f y sea Q = (x 1, y 1 ) un punto móvil por el gráfico e f. La ecuación e la secante que pasa por P y Q es: y y 0 = f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0 (x x 0 ). Si consieramos el caso límite cuano x 1 x 0, la recta se trasforma en la recta tangente que pasa por P, y su ecuación es: [ ] f (x 1 ) f (x 0 ) y y 0 = lim (x x 0 ) x 1 x 0 x 1 x 0 El término entre paréntesis cuaraos se enomina erivaa e la función f en x 0 y representa a la peniente e la recta tangente a la curva y = f (x) en x 0.

3 s Semana 14-s I[3/9] Función Diferenciable en x 0 Observación Para poer estuiar la existencia el límite ya mencionao, es necesario que x 0 Domf y que f esté efinia en torno a x 0. Para evitar complicaciones, sólo estuiaremos la erivaa e funciones en puntos x 0 que estén completamente incluios en el ominio e f y que satisfagan la relación δ > 0, tal que (x 0 δ, x 0 + δ) Dom(f ). Los puntos que satisfacen esta propiea se llamarán puntos interiores al omino e f y los anotaremos icieno que x 0 IntDom(f ). Definición f (x Sea f : A R R, iremos que f es erivable o iferenciable en x 0 IntA si y sólo si el límite lim 0 +) f (x 0 ) 0 existe. En tal caso, el valor el límite se enominará erivaa e f en x 0 y se enotará por f (x 0 ).

4 s Ejemplos Semana 14-s I[4/9] 1 f (x) = x en x 0 = 4 f (4) = lim 0 f (4 + ) f (4) f (x) = 3 x en x 0 = 0 = lim [ ] [ ] = lim 0 [ ] = 1 4 f (0) = lim = lim 0 3 = 3 f (x) = x i) x 0 > 0 f x (x 0 ) = lim 0 + x 0 0 = 1 ii) x 0 < 0 f x (x 0 ) = lim 0 + x 0 0 = 1 { iii) x 0 = 0 f 1 si 0 (0) = lim 0 = + 1 si 0 =.

5 s Función Semana 14-s I[5/9] Función erivaa Sea f una función, entonces la función tal que: x f (x) se llama función erivaa e f y se enota por f. Observaciones 1 Si y = f (x) entonces f suele enotarse también como f (x), y, y f (x) (e y a e x) o x x Las os últimas notaciones se llaman notación e Leibnitz. El ominio e f y f no necesariamente coicien, por ejemplo: Si f (x) = x entonces Domf = R y Domf = R \ {0}. En general se cumple Domf Domf. 3 Si una función es erivable en el punto x 0 entonces el límite lim x x0 f (x) existe y vale f (x 0 ). En efecto, basta observar que f (x) = f (x) f (x 0) x x 0 (x x 0 ) + f (x 0 ), x x 0.

6 s Cálculo e algunas erivaas Semana 14-s I[6/9] 1. f (x) = c =cte. f (x) = 0.. f (x) = x n con n N. f (x + ) n x n (x) = lim. 0 Pero por el Binomio e Newton tenemos que (x + ) n = n ( n )x n k k, por lo tanto k k=0 f (x) = (x + ) n x n lim 0 = n lim ( n 0 k )x n k k 1 k=1 { = lim 0 = nx n 1. nx n 1 + } n ( n k )x n k k 1 k= Luego f (x) = (x n ) = nx n 1.

7 s Cálculo e algunas erivaas Semana 14-s I[7/9] 3. f (x) = x n con n N f (x + ) n x n (x) = lim 0 { 1 1 = lim 0 (x + ) 1 } n x { n } 1 x n (x + ) n = lim 0 (x + ) n x n (x + ) n x n 1 = lim 0 (x + ) n x n = nx n 1 1 x n = nx n 1. Luego f (x) = (x n ) = nx n 1.

8 s Cálculo e algunas erivaas Semana 14-s I[8/9] 4. f (x) = n x con n N f (x) = lim 0 n x + n x. Sean a = n x, k = n x + a entonces = (a + k) n a n. Con esto: f (x) = lim 0 = lim k 0 = = 1 g (a), 1 na n 1 = 1 n a1 n. n x +. n x k (a + k) n a n n one g(x) = x

9 s Cálculo e algunas erivaas Semana 14-s I[9/9] Reemplazano el valor e a en la expresión anterior, obtenemos f (x) = 1 n ( n x) (1 n) = 1 n x 1 n 1. Luego: Si x > 0 también puee escribirse f (x) = ( n x) = 1 n ( n x) (1 n). (x 1 n ) = 1 n x 1 n 1.

10 s Cálculo e algunas erivaas Semana 14-s I[10/9] 5. f (x) = ln x f (x) = ln(x + ) ln(x) lim 0 = ln(1 + lim x 0 = ln(1 + lim x 1 0 x = 1 x. x Luego (ln x) = 1 x. 6. f (x) = exp x = e x f e x+ e x (x) = lim 0 { } e = lim e x 1 0 = e x. Luego f (x) = (e x ) = e x.

11 s Cálculo e algunas erivaas Semana 14-s I[11/9] 7. f (x) = x α one α R f (x + ) α x α (x) = lim 0 { } (1 + = lim x α x )α 1 0 = x α exp(α ln(1 + lim )) 1 x 0 { exp(α ln(1 + = x α lim )) 1 x 0 α ln(1 + ) x } { ln(1 + x x ) } α x Pero conocemos los siguientes límites: lim x 0 e x 1 x = 1 y lim x 0 ln(1 + x) x f (x) = x α ( α x ) = αx α 1. = 1. Con esto obtenremos: Luego f (x) = (x α ) = αx α 1.

12 s Cálculo e algunas erivaas Semana 14-s I[1/9] 8. f (x) = sin x f sin(x + ) sin x (x) = lim 0 = lim 0 [ = lim[sin x 0 = cos x sin x cos + cos x sin sin x ] (cos 1) + cos x sin ] Luego f (x) = (sin x) = cos x 9. (cos x) = sin x Quea como ejercicio.

13 s Álgebra e erivaas Semana 14-s I[13/9] Álgebra e erivaas Si f y g son iferenciables en x 0 y α R, entonces, f ± g, αf, fg y f /g con g(x 0 ) 0 son también iferenciables y aemás: i) (f ± g) = f ± g ii) (αf ) = αf iii) (fg) = f g + fg iv) (f /g) = f g fg g Demostración i) (f ± g) (x) = (f ± g)(x + ) (f ± g)(x) lim 0 = f (x + ) f (x) g(x + ) g(x) lim ± lim 0 0 = f (x) ± g (x) = (f ± g )(x).

14 s Álgebra e erivaas Semana 14-s I[14/9] ii) (αf ) (x) = (αf )(x + ) (αf )(x) lim 0 = αf (x + ) αf (x) lim 0 = f (x + ) f (x) lim α 0 = αf (x) = (αf )(x). iii) (fg) = (fg)(x + ) (fg)(x) lim 0 = f (x + )g(x + ) f (x)g(x). lim 0 Sumano y restano f (x)g(x + ) en el numeraor obtenemos: (fg) f (x + )g(x + ) f (x)g(x + ) + f (x)g(x + ) f (x)g(x) = lim 0 [f (x + ) f (x)] = lim g(x + ) + 0 Si separamos en os límites obtenremos el resultao final (fg) = f g + fg. [g(x + ) g(x)] f (x).

15 s Álgebra e erivaas Semana 14-s I[15/9] iv) Se ejará como ejercicio. Corolario (1 f ) = f f. Ejemplos (tan x) = x sec x (sec x) = sec x tan x x (cot x) = x csc x (csc x) = csc x cot x x

16 s Aproximación e primer oren e funciones Semana 14-s I[16/9] Teorema Sea f : A R R y sea x 0 Int(A). La función f es iferenciable en x 0 si y sólo si existe una constante real m y una función E : [ δ, 0) (0, δ] R con δ > 0 y lim 0 E() = 0 tales que: f (x 0 + ) = f (x 0 ) + m + E() [ δ, 0) (0, δ]. Demostración. Como 0 se tiene que la expresión el Lema es equivalente a f (x 0 + ) f (x 0 ) = m + E() [ δ, 0) (0, δ]. Si esta expresión es cierta entonces claramente la función es erivable en x 0 ya que f (x 0 + ) f (x 0 ) lim 0 = m + lim 0 E() = m. Aemás se concluye que f (x 0 ) = m. Si recíprocamente, f es iferenciable en x 0 entonces efinimos m = f (x 0 ) y E() = f (x 0 + ) f (x 0 ) y con esto la fórmula es cierta y aemás lim 0 E() = 0. m [ δ, 0) (0, δ], Obs: La función x f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) se llama aproximación e primer oren e f y representa gráficamente la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto e abscisa x 0.

17 s e una composición e funciones Semana 14-s I[17/9] Teorema Sea f iferenciable en x 0 y sea g iferenciable en y 0 = f (x 0 ), entonces gof es iferenciable en x 0 y aemás se cumple que: (gof ) (x 0 ) = g (f (x 0 )) f (x 0 ). Demostración. Usamos la aproximación e primer oren e g en torno al punto y 0 = f (x 0 ), e este moo, para y = f (x) se tiene que Por lo tanto Si x x 0 se tiene que y y 0 y y y 0 x x 0 e one se obtiene el resultao buscao. g(f (x)) = g(y 0 ) + g (y 0 ) (y y 0 ) + (y y 0 ) E (y y 0 ) ( ) ( ) g(f (x)) g(y 0 ) y = g y0 y y0 (y 0 ) + E (y y 0 ) x x 0 x x 0 x x 0 f (x 0 ) por lo tanto se obtiene que g(f (x)) g(y 0 ) lim = g (y 0 )f (x 0 ) + f (x 0 ) 0, x x 0 x x 0

18 s Ejemplos Semana 14-s I[18/9] Ejemplos 1 (x 1) = (x 1) x. x 3 x cos x = 1(x + { 1 + cos 3 x) 3 x 1 x + 1+cos x } cos x ( sin x) x α = αx α 1. x x ax = a x ln a. x x = x x [ln x + 1]. x x u(x)v(x) = u(x) v(x) [v (x) ln u(x) + v(x) u (x) u(x).

19 s Funciones iperbólicas Semana 14-s I[19/9] A partir e la función exponencial, se efinen las funciones iperbólicas meiante las reglas sen(x) = ex e x, cos(x) = ex + e x, tan(x) = sen(x) cos(x), etc. 1) e seno iperbólico: x sen(x) = ( ) e x e x = ex (e x ). Pero, usano la regla e la erivaa e una composición se tiene que ( e x ) = e x ( x) = e x, por lo tanto ) e coseno iperbólico: x sen(x) = ex + e x = cos(x). x cos(x) = ( e x + e x = ex + (e x ) ) = ex e x = sen(x).

20 s Funciones iperbólicas (II) Semana 14-s I[0/9] 3) e la tangente iperbólica: x tan(x) = ( ) sen(x) cos(x) = cos (x) sen (x). cos (x) 4) Algunas propieaes algebraicas: De la efinición se obtiene irectamente que sen(x) es una función impar y que cos(x) es una función par. De eco, corresponen a la escomposición e la función exponencial en una parte par y una impar. Aemás se tiene que cos(x) + sen(x) = ex + e x cos(x) sen(x) = ex + e x por lo tanto, multiplicano se tiene que + ex e x ex e x = e x = e x. cos (x) sen (x) = e x e x = 1. Esto constituye la ientia funamental e las funciones iperbólicas. Con esta propiea se tiene que x tan(x) = 1 cos (x) = sec (x)

21 s Funciones iperbólicas (II) Semana 14-s I[1/9] 5) e la cotangente iperbólica: x cot(x) = ( ) cos(x) sen(x) = sen (x) cos (x) cos (x) = cosec (x). 6) Otras erivaas son: (sec(x)) = sec(x) tan(x) y (cosec(x)) = cosec(x)cot(x).

22 s Observación Semana 14-s I[/9] En aplicaciones físicas o e otro tipo, comúnmente las variables tienen significao, como tiempo, masa, volumen, ensia, etc. En estos casos suele tenerse lo siguiente: Sean x, u, v tres variables físicas que se encuentran relacionaas el siguiente moo: u = f (x) y v = g(u) = gof (x). En estos casos el teorema e la erivaa e una composición suele escribirse así: v x = (gof ) (x) = g (f (x)) f (x) = v u u x. Es ecir v x = v u u x. Por esta razón el teorema e la erivaa e una composición suele llamarse Regla e la Caena.

23 s e la función inversa Semana 14-s I[3/9] Proposición Sea f : [a, b] [c, ] una función monótona y biyectiva. Si f es iferenciable en x 0 (a, b) y f (x 0 ) 0 entonces f 1 es iferenciable en y 0 = f (x 0 ) y aemás (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ) = 1 f (f 1 (y 0 )). Observación y = f (x) x = f 1 (y) luego usano la notación e Leibnitz poemos escribir lo siguiente: Ejemplos 1 (arcsin x) = 1 1 x (arc cos x) = 1 3 (arctan x) = 1 1+x 1 x ( x y ) = 1 ( y x o bien (y ) x ) = 1 ( x y ).

24 s Derivación e funciones implícitas Semana 14-s I[4/9] Existen relaciones el tipo F(x, y) = 0, las cuales efinen alguna función y = f (x) en torno e algún punto P = (x 0, y 0 ), en las cuales no es posible espejar algebraicamente la variable epeniente y para obtener una forma explícita e la función f. En este caso se ice que la relación F(x, y) = 0 efine a la función y = f (x) en forma implícita en torno el punto P = (x 0, y 0 ). Ejemplos 1 x + y = R x 3 + 3xy + y 3 = 1 3 x 3 y sin y + cos xy = 1 4 x + y = 1 a b Para erivar estas funciones basta con recorar que y = f (x) y erivar las expresiones usano la regla para erivar composiciones. Así por ejemplo en el caso (3) se obtiene que: x 3 y sin y + cos xy = 1/ x 3x y 3 + x 3 3y y + 3 cos y y sin xy (y + xyy ) = 0, e one: y = y x = y sin xy 3x y 3 3x 3 y + 3 cos y xy sin(xy ). En estos casos, ebe arse el punto completo para evaluar el valor e la erivaa, es ecir, ebe conocerse (x 0, y 0 ).

25 s Derivación logarítmica Semana 14-s I[5/9] Operaor logarítmico El operaor L asigna a caa función iferenciable, y no nula f, la función f /f, es ecir, es un operaor tal que: f L(f ) = (ln f ) = f f L se enomina operaor logarítmico. Propieaes 1 L(f ) = f /f f = f L(f ) (por efinición) L(f g) = (fg) = Lf + Lg fg 3 L(f /g) = Lf Lg 4 L(f α ) = αl(f ) Ejemplos 1 L(x) = L(i(x)) = 1 = 1 i(x) x L(sin x) = cos x = cot x 3 L(x m ) = sin x = m x mx m 1 x m

26 s Ejercicios Semana 14-s I[6/9] 1 Calcular f para f (x) = (x +1) 3/ sin 3 x +4 (x 4 +1) 7 cos 6 (x+) Tomano L se tiene: { } (x L(f (x)) = L +1) 3/ sin 3 x +4 (x 4 +1) 7 cos 6 (x+) = L(x + 1) 3/ + L sin 3 x + 4 L(x 4 + 1) 7 L cos 6 (x + ) = 3L(x + 1) + 3L sin x + 4 7L(x 4 + 1) 6L cos(x + ) = 3 x + 3 cos x +4 x x x 3 6 sin(x+) x +1 x 4 +1 cos(x+) = 3x Con esto f (x) = f (x)l(f (x)). sin + 3x cot x +1 x +4 x +4 x +4 8x tan(x + ). x f (x) = (sin x)3/ (cos x) 1/5 4 x (propuesto)

27 s Aplicaciones e la erivaa Semana 14-s I[7/9] La primera aplicación e la erivaa es la proveniente e la efinición, es ecir, obtener rectas tangentes a curvas efinias por la regla y = f (x). De este moo, si f es iferenciable en el punto x 0 la peniente e la recta tangente es f (x 0 ) y así: L T : y = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) es la ecuación e la recta tangente. Aemás, si f (x 0 ) 0, la ecuación e la recta normal es L N : y = f (x 0 ) 1 f (x 0 ) (x x 0)

28 s Aplicación física Semana 14-s I[8/9] Consieremos una partícula P que se mueve sobre una curva C. Si llamamos s(t) a la función que efine la istancia el punto P a un punto fijo O e la curva, a lo largo e la curva, en función el tiempo, se tiene que entre os instantes sucesivos t 1 y t la partícula abrá recorrio una istancia neta aa por s(t ) s(t 1 ). Si se ivie esta istancia por el tiempo empleao por la partícula para moverse (t t 1 ) se abrá calculao la velocia meia e la partícula entre estos os instantes. Es ecir, v m (t 1, t ) = s(t ) s(t 1 ) t t 1. Si la función s fuera iferenciable en el instante t 1, en la expresión anterior se puee calcular el límite cuano t t 1 obteniénose así, la velocia instantánea e la partícula en ese instante. Es ecir v(t 1 ) = lim t t 1 s(t ) s(t 1 ) t t 1 = s (t 1 ). De este moo se puee ar una nueva interpretación a la erivaa e una función, icieno que representa la velocia instantánea e una partícula. En estricto rigor, en nuestro cálculo emos obtenio lo que los físicos llaman la rapiez instantánea, ya que en física se reserva la palabra velocia para la erivaa el vector posición e una partícula y resulta ser un vector (más etalles al respecto corresponen al curso e física corresponiente).

29 s Aplicación física Semana 14-s I[9/9] Si la función v(t) fuese conocia para too t, poríamos repetir nuestro razonamiento icieno que entre os instantes sucesivos t 1 y t la iferencia e velocia iviia por el tiempo transcurrio es la aceleración meia e la partícula. Es ecir a m (t 1, t ) = v(t ) v(t 1 ) t t 1. Así, tomano el límite cuano t t 1, si la función v es erivable, se obtiene la aceleración instantánea e la partícula. Es ecir v(t ) v(t 1 ) a(t 1 ) = lim = v (t 1 ). t t 1 t t 1 De este moo, tenemos otra interpretación e la erivaa. En estricto rigor, como sólo emos erivao la rapiez, emos obtenio la aceleración tangencial e la partícula. En el curso e Física se verá que al erivar el vector velocia, aparece una aceleración normal que es igual a v, one ρ es el raio e curvatura e la trayectoria. Por ejemplo, en un movimiento circular esta ρ aceleración es la llamaa centrípeta.