irracionales (I) no existe ninguna fracción que pueda representarlos con exactitud. En este caso se cumple la aproximación I

Transcripción

1 Métoo VIAL e cálculo e fracciones 8-7- evisao Introucción. Métoo viral paso a paso. jemplos 4. Métoo el común ivisor e simplificación e fracciones 5. Métoo clásico inverso Introucción n ciencia un número real () implica información cuantitativa, pero a veces también lleva implícita información cualitativa. sa información se hace aparente cuano convertimos ese número real en su fracción equivalente. jemplo: la relación entre el número e moles e un azeótropo e estilación es,5, que inica que por caa mol e un componente coestilan,5 un moles el seguno componente. Si representamos el número,5 meiante su fracción equivalente 9/4 vemos que hay una relación geométrica exacta entre el número e moléculas e ambos componentes. sta relación geométrica se establece por la interacción e las fuerzas intermoleculares. Cualquier número real se puee representar por un número fraccionario, es ecir: y números enteros. Hay varios métoos para convertir un número real en una fracción entera. Los números reales racionales (Q) cumplen la iguala Q ; pero para los números reales ; sieno irracionales (I) no existe ninguna fracción que puea representarlos con exactitu. n este caso se cumple la aproximación I, que implica que al reemplazar el número I por una fracción se prouce un error, que será menor cuanto mayores sean los números enteros y. Intentano resolver los números y para un ejercicio sobre azeótropos e estilación tuve una intuición que me llevó a un nuevo métoo (creo que es nuevo, pero no estoy seguro), que a simple vista parece más complicao que los métoos clásicos, pero que tiene la ventaja e que se obtienen fracciones más simples y muchas veces más precisas. s el métoo que yo suelo usar porque la operativa meiante calculaora me resulta muy fácil. o sé si este métoo ya es conocio, así que lo he bautizao como métoo viral. Más aelante, en el ejemplo-, veremos la razón por la que he escogio este nombre. Un ejemplo muy sencillo e conversión e número real en su fracción equivalente es el número real racional =,5, cuya fracción equivalente es. s tan sencillo que no hace falta ningún métoo para calcularlo. Tenemos que = y = l métoo viral es un proceimiento que permite hallar los valores e y para números más complicaos que el anterior. Con este métoo se obtienen fracciones cuyo enominaor puee ser múltiplo e cualquier número primo, al contrario que con los métoos clásicos, cuyo enominaor es siempre múltiplo e o e.

2 Métoo viral paso a paso Tenemos un número real = +, one es la parte entera y es la parte ecimal (a la erecha e la coma). Por ejemplo, en el número π =,459 ; = y =,459. Se hace el inverso e la parte ecimal e y obtenemos otro número real: n este nuevo número real la parte entera es y la parte ecimal es.. Hacemos el inverso e la nueva parte ecimal:. Hacemos el inverso e la nueva parte ecimal: 4. Hacemos el inverso e la nueva parte ecimal: Se hace el inverso Se repite lo mismo tantas veces como queramos (sin exceerse), hasta que encontraremos un que será un número entero, o casi, ya que para números irracionales no llegaremos a n encontrar un número entero, así que pararemos e calcular valores e exactitu que queramos para la aproximación I en función e la n 7. Para un número real racional (Q), encontraremos un que será un número entero, y en este punto habremos terminao los cálculos. Ya no es posible seguir, ya que la parte ecimal es, y el inverso e es infinito. Obtenremos el enominaor multiplicano toos los entre sí:... i n l numeraor ya sabemos que se calcula por la ecuación: Cuano tratamos con números reales racionales (Q), será un número entero que al multiplicarlo por genera otro número entero. 8. Si es un número irracional (I) se hace lo mismo que para un numero racional, pero ahora tenremos múltiples opciones, ya que poemos obtener tantos como queramos, hasta el infinito. Un enominaor poría ser y el número fraccionario resultante sería: n i Como es imposible encontrar una fracción exacta que represente a un número irracional, hemos e ajustar y a valores enteros que nos en la precisión que eseamos. Lo veremos en los ejemplos posteriores. Para números irracionales (I) el valor e... y e no serán números n enteros, así que cuano obtengamos la fracción corresponiente eberemos multiplicar por potencias

3 e ( x ) para eliminar las cifras a la erecha e la coma, como se suele hacer con los métoos traicionales. Si no estamos conformes con la precisión que nos a la fracción obtenia, sólo hemos e multiplicar numeraor y enominaor por el siguiente i, con lo que obtenemos: OJO! no es lo mismo que:, ya que el resultao e multiplicar siempre será un valor ecimal con varios ceros a la erecha e la coma. 9. Poemos ir añaieno valores i hasta encontrar un valor e que nos proporcione la exactitu que queremos, (aunque añair más factores i no siempre prouce mejores resultaos). Finalmente hay que comprobar si la fracción se puee simplificar, iviieno el numeraor y el enominaor por un factor común.. Lo que me llevó a intuir este métoo es que cualquier número real se puee escomponer en esta serie e fracciones:... c b a ; cuación-; (*) one, a, b, c y son números enteros, por lo que al sumar estas fracciones y luego simplificar se obtiene una sola fracción compuesta por números enteros: abc abc ac bc abc e hecho las antiguas civilizaciones representaban los números como una suma e fracciones:... t s r q p o n m ; cuación-; ra una forma intuitiva e manejar cifras. Para ellos una compra no costaría, onzas e plata, sino onzas y / e onza. La ecuación- es la misma ecuación- espués e sumar entre sí algunas fracciones: p o n m c c ab b a c b a o encontré el métoo resolvieno analíticamente la ecuación-. Sencillamente fui hacieno hipótesis, comprobánolas y afinano el métoo poco a poco, error tras error, hasta llegar a algo bastante efinitivo * Cálculo e los valores a, b, c,, e la ecuación- a ; a b ; b a c ; c b a ; etc, l símbolo significa tomar la parte entera el número real y esechar la parte ecimal.

4 Un buen ejemplo e la utilización el formato e la ecuación- es el e las fracciones e las uniaes monetarias. n el caso concreto e Inglaterra su sistema basao en la libra estaba efinio e esta manera: Una transacción monetaria se componía e una cantia e libras ( ), una cantia s e chelines (s) y una cantia e peniques (). = chelines = 4 peniques; ( chelín = peniques). s s ; (s) era el símbolo e los chelines y () lo era e los peniques. 4 Inglaterra estableció la ecimalización e su monea en 97, por lo que la ecuación e los pagos en libras pasó a ser esta: ; la palabra penique (pence) pasó a significar céntimo o centavo en lugar e veinteavo y el chelín esapareció. A partir e ese momento en el imperio ya poían utilizar la anotación ecimal:, Hoy ía para contabilizar el tiempo aún se utiliza el antiquísimo sistema e fracciones. tiempo t horas t minutos t segunos h m s Pero para los cálculos científicos es inispensable traucir la notación fraccional a números reales: tm minutos t s segunos tiempo th horas horas m s 6 6 h m el seguno para abajo ya se utiliza la notación ecimal. Hay écimas, centésimas, milésimas, millonésimas y micronésimas e seguno. e moo que si nos acostumbráramos a usar el seguno como unia e tiempo ocurriría que las horas y minutos esaparecerían. Para ello habría que asimilar que una hora son.6 segunos (,6 kilosegunos). La velocia tampoco se meiría en km/h, sino en m/s. jemplos e referencia: Ya no iríamos que la velocia en autopista está limitaa a km/h sino a m/s. Los coches fórmula llegan a velociaes e hasta 95 m/s. Un atleta rápio puee correr a m/s (,85 m/s para los recormans e 4X4 m lisos) Las clases en las escuelas urarían kilosegunos (ks) (5 minutos). La jornaa laboral continua uraría 8,8 (ks) con un escanso e, ks para el bocata. Un ía tenría 86,4 ks y un año.56 ks. Las el meioía serian las 4, ks Mentalmente la gente iviiría la jornaa en paquetes (horas moernas) e 4, ks La hora e levantarse por la mañana (7 h) serian las 5, se comería a las 5 (:5) y nos acostaríamos entre las 8 y 85 e la noche, espués e ver una película que uraría unos 7 ks. Qué horas es? Son las 5,8. entro e eci-ks (ks) he e hace una llamaa Alguien puee pensar que no nos acostumbraríamos, pero no es más ifícil que cambiar e pesetas a uros, o peor aún, pasar e chelines y peniques antiguos a peniques moernos (centavos) (si a los ingleses les hubieran obligao a cambiar la palabra penique por céntimo habría habio una revolución y hubieran instaurao la república e Gran Bretaña).

5 jemplos prácticos el métoo viral Vamos a ver como se aplica el métoo viral con algunos ejemplos. jemplo-: π,459 = y =,459 7,65,65,988,88 5,988,88 84, Vamos a calcular varios caniatos a. 7, 65. 7,655,988, , 58 Como sabemos que π es un número irracional, sabemos que no vamos a encontrar ningún entero, i por tanto, tampoco va a haber ningún i que sea un número entero exacto. (Como he icho antes, solamente para números reales racionales se llega a obtener un i cuyo valor es un entero, o casi, ya que también epene e la exactitu e la calculaora). Para valores irracionales (por ejemplo el número π), el número e elementos e la serie i puee ser infinito ( i ), por lo que en algún momento ebemos voluntariamente ejar e calcular y contentarnos con un número e ecimales razonable. Veamos algunas fracciones resultantes y las iversas aproximaciones e π que poemos obtener., ,65 54,784, , ,459 Al reonear las cifras e la anterior fracción vemos que el resultao es el mismo que 58,954,459 4,58. Si simplificamos esta fracción ya no conseguiremos un resultao tan preciso como el que nos ha ao, por tanto, no poremos superar a en sencillez y precisión. o vale la pena seguir calculano el resto e i, ( 4, 5 y 6)..

6 Veamos que resultao que se obtiene por el métoo clásico., Lo poemos simplificar, perieno muy poca precisión, con un error e sólo ,46 Vemos que la fracción obtenia por el métoo viral es más exacta que la obtenia por el métoo clásico: frente a (este caso con mayor péria e exactitu).. 5 Según la cuación-:, Si hacemos la anterior suma e fracciones el resultao es apabullante. o hay quien lo simplifique (ni por el métoo el común ivisor explicao más aelante) jemplo-: =,6666 (un número real racional -no factorial-) esolución por el métoo clásico , es una fracción exacta y única. o se puee simplificar sin perer precisión. l métoo viral 5. no nos puee ar una fracción más simple, pero nos puee proporcionar una fracción aproximaa que sea más sencilla. Veamos que nos a el métoo viral:,6666,5,5 (es un número entero = ya hemos acabao e calcular),5,6666 7,9998 8,66666ˆ, es una aproximación a,6666 con un error e,6 8. Se poría haber obtenio la fracción simplificaa a partir e la fracción ; vemos que el error e la aproximación es e 5... hacieno:

7 (aunque no es fácil intuir este recurso, es muy fácil si se usa el métoo el común ivisor explicao más aelante) jemplo-: = =, l métoo viral para el número irracional nos lleva a una serie e cálculos en bucle. Veámoslo! = =,689..., Tenemos que: 684,684, 684,684, 684,684, etc n este caso toos los son iguales. l inverso e la parte ecimal e es el propio (* Ver el i cuaro e texto e más abajo) sto se ebe a la efinición el propio número según la siguiente ecuación: esolvieno según el métoo viral obtenemos:,684,684,684,684, , Una simplificación aceptable e esta fracción es:.68.9,68 ; no es un mal resultao!, pero hemos tenio que multiplicar numeraor y enominaor por, según se hace con el métoo clásico, o no habríamos conseguio naa. Por el métoo clásico obtenemos: , Que se puee simplificar aún más con ligera péria e exactitu:

8 ,68 l número es uno e los ejemplos en que el métoo clásico genera una solución mejor que el métoo viral. Según la ecuación- poemos representar e esta otra forma:, Y si sumamos las fracciones queará así: Si no queremos tanta precisión la fracción anterior quea e esta bonita forma:.44 77,

9 * Los ecimales e Φ tienen una cualia conocia como ecimales virales, llamaos así porque cuano entran a formar parte e una operación e cálculo vuelve a aparecer a lo largo e sucesivas operaciones e forma consecutiva o alternaa. l ecimal viral, en realia proviene e sumar,5 a otro ecimal viral más simple, el,89... La lista e números ecimales virales es larga:,4456..,4456.., ,758.., ,758...,758..., , ;, , , , , , , , , , , e hecho, el número es un erivao el 5, según esta fórmula: 5,5, , ,89..., , Se puee comprobar con cualquiera e los ejemplos anteriores que al iviir un número viral por un entero cualquiera se obtiene un nuevo número viral. Y e estas propieaes e los números virales se eucen estas y otras sorprenentes igualaes: 4 ; ; 5 ; 5 7 7

10 Una curiosia sobre el número Φ es que parece ser que hace más e 4.5 años en la construcción e la pirámie e Kheops los egipcios utilizaron una fracción que aproximaamente representa al número Φ. La altura e la pirámie respecto a los laos mantenía la relación 4/. 4,7 4 96, 698 l error e esta aproximación fue e sólo el,%, pero tal vez no fuera un error. (La razón por la que parece que los egipcios utilizaron esta relación imperfecta la explico en el referio artículo eicao a la pirámie e Kheops). Se obtiene casi el mismo resultao con la fracción 9 8, e hecho 8 forma parte e una sucesión que se acerca a Φ a meia que n crece: n 5 n n n Φ,666,5,4,7,58,6,6,6,67,68,68,68,68,684,68 Se trata e una variante e la sucesión e Fibonacci: f n =f n- +f n-, en la que se toman como primeros elementos el y el 5 en lugar el y el e la sucesión original, que es:,,,,, 5, 8,,, 4, 55, 89, 44,, 77, 6, 987, 597, etc n n la tabla siguiente poemos ver como la sucesión tiene a, 684 a meia que se n esplaza a la izquiera. n n Φ -,68 -,678 -,686 -,67 -,6 -,69 -,64 -,555 -,8 -,5 -,666,5,4,7 jemplo-4:,6,7, 75, 6,6,7,75, 5,6,5 Hemos encontrao un valor entero y ya no se puee continuar, ya que toos los entre sí y obtenemos el perfecto y efinitivo. i,5,6,75,7,6. ntonces multiplicamos,6

11 jemplo-5: =,57485,57485,75,,75 ;,,,75 7, Por el métoo clásico obtenríamos:, ; ste resultao es pésimo en comparación con la fracción equivalente 7 Si en alguna ocasión te encuentras una fracción como , te vas a imaginar que se 5 puee tratar e la fracción? 7 Hay muchas fracciones como esta. Para intentar resolverlas también poemos aplicar el siguiente métoo. Métoo el común ivisor e simplificación e fracciones Cuano nos encontramos con fracciones que aparentemente no se pueen simplificar, como la el anterior:, a veces se resuelven al iviir el numeraor y el enominaor por el propio o por la parte ecimal e : , , , , , ,57485 Quién lo iba a ecir! esconozco si este métoo ya era conocio y e uso habitual. Lo he reescubierto e forma intuitiva. A este métoo se le poría llamar Métoo el común ivisor. Métoo clásico inverso Puestos a poner nombres, le llamo métoo clásico inverso (y para mi tenrá este nombre hasta que me entere e su veraero nombre) al siguiente proceimiento e calculo e fracciones para números reales.

12 ) Se calcula el inverso e ) scribir la fracción ' y resolverla por cualquier métoo conocio. ) Ahora tenemos una fracción que en lugar e tener un enominaor múltiplo e o e 5, el múltiplo e o e 5 es el numeraor. 4) Finalmente le volvemos a ar la vuelta a la fracción para que represente al número original. Veamos un ejemplo con el número π,459. ',898,8;,459,8.8 n este caso hemos conseguio una fracción menor y más ajustaa que la conseguia con el métoo clásico irecto (, 459 ) 5. Si no necesitamos tanta precisión poemos simplificar: ,47.97 Aunque con esta simplificación el resultao no es mejor que con el métoo clásico (, 46 )..5 jemplo- resuelto por el métoo clásico inverso. =,6666,75 ;,6666, Y así se resuelve aplicano la simplificación el común ivisor al métoo clásico , , ,6666 ste ejercicio ifícilmente lo habría resuelto sin utilizar el truquillo e iviir el numeraor y el enominaor por la parte ecimal e. jemplo-5 resuelto por el métoo clásico inverso. =,57485,57485, Y ahora meiante el métoo clásico y simplificano según el métoo el común ivisor: , , ,

13 La clave el métoo viral es encontrar un número entero que multiplicao por la parte ecimal e un número real proporciones como resultao otro número entero. La parte entera el número real es neutral, ya que al ser multiplicao por un número entero siempre nos ará otro número entero. Los multiplicaores más simples, como el,,,. etc., utilizaos en el métoo traicional, tienen el inconveniente que con frecuencia no permiten encontrar las fracciones más simples. sto es too. Saluos.