EJERCICIOS Sustituyendo x 5, el nivel de producción actual, obtenemos. dc dt (0.7) 1.05

Transcripción

1 Sustituyeno 5, el nivel e proucción actual, obtenemos 0. Repita el ejemplo 6 para la función e costo C() 5 3 C t 5 0 (0.7).05 Así que los costos e proucción se están incrementano a una tasa e.05 por año. 0 DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA DE LA CADENA La emostración e la regla e la caena, cuano se presenta en forma etallaa, es un poco más complicaa que la aa aquí. Por tanto, incluimos una emostración que, si bien cubre la mayoría e los casos que consieraremos, tiene algunas restricciones en su rango e aplicabilia. Sea un incremento en. Puesto que u y y son funciones e, variarán siempre que lo haga, e moo que enotaremos sus incrementos por u y y. Por tanto, a conición e que u 0, y y u u Hacemos ahora que 0. En este límite, también tenemos que u 0 y que y 0, y así lím 0 y lím 0 lím 0 y u y u y lím 0 u u lím 0 u u y u u Respuesta ( 5 + 3)(0.7).88 como se requería. La razón e que esta emostración esté incompleta estriba en la suposición e que u 0. Para la mayoría e las funciones u(), nunca se ará el caso e que u se haga cero si es muy pequeño (pero 0). Sin embargo, es posible que una función u() puea tener la peculiaria e que u se haga cero repetias veces a meia que 0. Cuano se presentan tales funciones, la emostración aa eja e ser vália. Es posible moificar la emostración con la finalia e cubrir casos como éste, pero no lo haremos aquí. EJERCICIOS - (-36) Calcule las erivaas e las siguientes funciones con respecto a la variable inepeniente respectiva.. y (3 5) 7. y 5 t 3. u ( ) 3/ 4. (y 3 7) 6 5. f() 6. g() ( ) 4 ( ) 3 SECCIÓN - LA REGLA DE LA CADENA 509

2 7. h(t) t a 8. F() y t 3 t 3 t. y t u 9. y t 5 3. y ( ) y 5. u 3 t 3 3 t 7. f() 3 8. g() ( 4 6) /4 9. G(u) (u ) 3 (u ) 0. H(y) (y 3) 6 (5y ). f() ( ) 3 ( ) 4. g() (3 ) 5 ( 3) 4 6. y ln 3. f() 3 ( ) 7 4. u 3 a 3 5. y [( )( ) 3] 4 6. u [(y )(y 3) 7] y 8. y t t u 3 9. y y u 5 ( 3. y ) t 3. (t ) 3 z 33. z 34. y z t Z t Encuentre f(0) si f() ( ) 4 ( 3) Encuentre f() si f() ( ) 7 ( 3) 4 (39-4) Determine una ecuación e la recta tangente a la gráfica e las siguientes funciones en el punto que se inica. 39. f() 9 en (4, 5) 40. f() 6 en 5 4. () ( /) 4 en 5 4. y en 3 6 (43-44) (Costo marginal) Determine el costo marginal para las siguientes funciones e costo. 43. C() C() 0 (45-46) (Costo promeio marginal) Calcule el costo promeio marginal e las funciones e costo e los ejercicios 43 y 44. (47-48) (Ingreso marginal) Determine el ingreso marginal e las siguientes relaciones e emana. 47. p (8 p) /3 49. (Tasa e incremento el costo) La función e costo e un fabricante es C() Si el nivel e proucción actual es 00 y está crecieno a una tasa e al mes, calcule la tasa en que los costos e proucción están crecieno. 50. (Tasa e incremento el ingreso) El fabricante el ejercicio 49 tiene una función e ingreso aa por R() Determine la tasa en que está crecieno el ingreso y la tasa en que la utilia aumenta. 5. (Tasa e cambio el ingreso) La ecuación e emana el proucto e una compañía es p 300, en one uniaes pueen venerse a un precio e $p caa una. Si la emana cambia a una tasa e uniaes por año cuano la emana alcanza 40 uniaes, a qué tasa está cambiano el ingreso si la compañía ajusta su precio a la emana cambiante? 5. (Tasa e cambio e la utilia) En el ejercicio 5, los costos e la compañía son e (5 60) ólares para proucir uniaes. Cuano el nivel e emana alcanzó las 40 uniaes y la emana se incrementa a una tasa e uniaes por año, etermine la tasa en que está cambiano la utilia. 53. (Contaminación e petróleo) El área e una mancha circular e petróleo, que proviene e la ruptura e un oleoucto, crece a razón e 30 kilómetros cuaraos por hora. Con cuánta rapiez crece el raio cuano éste es e 5 kilómetros? 54. Se está inflano un balón esférico. Si el raio es e 0 pulgaas y está crecieno a razón e pulgaas caa 5 segunos, con qué razón crece el volumen? 55. (Prouctivia) La prouctivia laboral unitaria P (proucción por hora e trabajo) es una función el capital in- 50 CAPÍTULO CÁLCULO DE DERIVADAS

3 vertio K en planta y maquinaria. Suponga que P 0.5K K 5, one K está meio en millones e ólares y P en ólares por hora e trabajo. Si K es 0 y está crecieno a razón e por año, con qué rapiez está crecieno P? *56. (Requerimiento laboral) Una compañía observa que cuano el volumen e su proucción semanal es miles e uniaes, el número e sus empleaos es N 500( ). Si la proucción semanal crece 5% al año, a qué razón crece el número e empleaos cuano se están proucieno 00,000 uniaes semanales? O cuano se proucen 00,000 semanales? 57. (Reacción química) La razón R en la cual una reacción química progresa es igual a T, one T es la temperatura. Si T varía con el tiempo t e acuero con la fórmula T (3t )/(t ), encuentre la razón e cambio e T con respecto a t. 58. (Germinación e semillas) La proporción P e semillas que germinan epene e la temperatura T el suelo. Supongamos que bajo ciertas coniciones P T 7 y que T varía con respecto a la profunia e ebajo e la superficie como T ( 3)/( 3). Encuentre la razón e cambio e P con respecto a la profunia. 59. (Nuevas vivienas) El número e nuevas vivienas por año N (millones) epene e la tasa hipotecaria e interés anual r e acuero con la fórmula N(r) r a) Si actualmente r es 0 y se incrementa a una tasa e 0.5 por mes, cuál es la tasa e cambio e N? 8t b) Si r(t), en one t es el tiempo en meses, calcule la tasa e cambio e N en t t DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS En la figura aparece la gráfica e la función eponencial f() a en el caso típico en que a. Cuano 0, y a 0, e moo que la gráfica pasa por el punto (0, ) para cualquier valor e a. La peniente e la gráfica al cruzar el eje y en este punto varía, epenieno e a: cuanto más grane sea el valor e a, mayor será la peniente en 0. Escojamos el valor particular e a tal que la peniente e la gráfica en 0 sea igual a. Para este valor e a, la gráfica está inclinaa hacia arriba y su peniente forma un ángulo e 45 con la horizontal al cruzar el eje y. La conición que ebe satisfacerse es que la erivaa f(0) ebe ser igual a. De esta manera, puesto que f( ) f() f() lím 0 y y f () a Peniente f' (0) (0, ) 0 FIGURA SECCIÓN -3 DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 5

4 TABLA Resumen e la regla e la caena f () f () f () f () [u()] n e u() n[u()] n u () e u() u() ln u() u() u( ) o bien, (interior) n e interior ln (interior) inte rior n (interior) n (interior) e interior (interior) (interior) EJERCICIOS -3 (-66) Calcule y/ para caa una e las siguientes funciones.. y 7e. y e 7 3. y e 3 4. y e 5. y e 6. y e 3 7. y e 8. y e / 9. y e 0. y e. y e. y e 3. y e 3 4. y e e 5. y e 6. y e ( ) e e e 7. y 8. y e e e 9. y 0. y 3 ln e. y ln. y ln 7 3. y ln 3 log 4 4. y (ln 3)(ln ) ln 5. y 6. y ln(3 7) l n 7 7. y ln( 5) 8. y ln( e ) 9. y (ln ) y ln 3. y 3. y ln ln 33. y 34. y ln ln 35. y ln 36. y (ln ) 37. y ln ( ) 38. y ln ( ) 39. y e ln 40. y e ln( ) 4. y ln 4. y 43. y ln ( ) ln ln 44. y ln ( ) 45. y ln (3 ) 46. y log (e ) 47. y log(e ) 48. y log (e ) 49. y ln 3 5. y ln y ln e 53. y ln 54. y l l 5. y ln ( ) e 3 n 3 n (Sugerencia: Utilice la fórmula e cambio e base en los ejercicios 55-66). 58 CAPÍTULO CÁLCULO DE DERIVADAS

5 55. y a 56. y y log a 58. y log 3 ( ) ln 59. y l og 60. y 6. y (log 3 )(log ) 6. y log 63. y log ( ) 64. y a 65. y log 66. y lo g 67. Encuentre f() si f() e ln 68. Encuentre f(0) si f() e ln ( ) (69-7) Determine una ecuación e la recta tangente a las gráficas e las siguientes funciones en el punto inicao. 69. y e en (0, 0) 70. y ln en e 7. y ln ( ) en (Utilia marginal) Una compañía encuentra que su utilia está aa por R pe 0.p cuano su proucto está coe 7. y ln en 0 (73-76) (Ingreso marginal) Calcule el ingreso marginal para las siguientes relaciones e emana. 7. p 5 e p 4 e ( e p ) ln (6 p ) (77-78) (Costos marginales) Calcule el costo marginal y el costo promeio marginal para las siguientes funciones e costo. 77. C() 00 e C() 5 ln ( ) log log3 79. (Publicia y ventas) Para vener uniaes e su proucto semanalmente, una compañía ebe gastar A ólares semanales en publicia, one A 00 ln Los objetos se venen a $5 caa uno. La utilia neta es entonces R 5 A. Calcule la razón e cambio e R con respecto a A. tizao en p ólares por unia. Encuentre la utilia marginal con respecto al precio cuano p es a) $5 b) $0 c) $5 8. (Ley e ifusión e Fick) De acuero con la ley e Fick, la ifusión e un soluto a través e la membrana e una célula está gobernaa por la ecuación c(t) k[c s c(t)], one c(t) es la concentración el soluto en la célula, c s es la concentración en el meio que la roea y k es la constante que epene el tamaño e la célula y e las propieaes e la membrana. Pruebe que la función c(t) c s Ce kt satisface esta ecuación para cualquier constante C. Relacione C con la concentración inicial c(0). *8. (Función e supervivencia) El porcentaje e abejas que mueren urante el invierno e cierto grupo e colmenas es una función e la temperatura promeio. Supongamos que p 00e 0.e0.T one T es la temperatura (en graos Celsius) y p es el porcentaje e abejas muertas. Si T ecrece a razón e C por semana, calcule la razón en la cual cambia p cuano t 0 C. 83. (Aciez) El ph e una solución está efinio como ph log 0 [H] one [H] es la concentración e iones e hirógeno. Es una meia e aciez, con ph 7 la solución es neutral. Calcule los valores e ph/[h] cuano [H] 0 4,0 7 y (Meicina) Después e una inyección, la concentración e cierta roga en la sangre e un paciente, cambia e acuero con la fórmula c pt e kt, one p y k son constantes. Calcule la razón e crecimiento e la concentración en el tiempo t. *85. (Crecimiento e una población) Cierta población crece e acuero con la fórmula y y m ( Ce kt ) 3 en one y m,c y k son constantes. Calcule la tasa e crecimiento en el instante t y pruebe que y 3ky /3 (y/3 t m y /3 ) *86. (Difusión e información) La proporción p e méicos que han oío algo acerca e una nueva roga t meses espués e que salió a la venta satisface la ecuación SECCIÓN -3 DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 59

6 ln p ln ( p) k(t C) en one k y C son constantes. Eprese p como una función e t y calcule p/t. Demuestre que p t kp ( p) *87. Pruebe que (/)( n ) n n para cualquier número real n y 0. (Sugerencia: Escriba n e n ln ). -4 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Si y f(t) es una función el tiempo t, entonces, como hemos visto, la erivaa y/t f (t) representa la tasa en que y cambia. Por ejemplo, si s f(t) es la istancia recorria por un móvil, s/t f (t) a la tasa e cambio e la istancia o, en otras palabras, la velocia instantánea el móvil. Denotaremos esta velocia con. Así que también es una función e t, y (por regla) puee erivarse y resultar así la erivaa /t. Al incrementarse la velocia e un móvil, ecimos que se acelera. Por ejemplo, cuano presionamos el peal e aceleración e un automóvil, provocamos que aumente su velocia, esto es, que vaya más aprisa. Supongamos que en un perioo e 5 segunos, el automóvil acelera e una velocia e 0 pies/seguno (que es alreeor e 4 millas por hora) a 80 pies/seguno (55 millas por hora). El incremento en la velocia es 60 pies/seguno y el incremento e tiempo t 5 segunos, e moo que la aceleración promeio está aa por 6 0 pies/seguno/seguno (o pies/seguno ) t 5 Para un objeto en movimiento, a menuo nos interesa la aceleración instantánea, que se efine como el límite e la aceleración promeio /t cuano t 0. En otras palabras, la aceleración instantánea es la erivaa /t. Nos a la tasa instantánea en que la velocia está cambiano. Así que, con la finalia calcular la aceleración, ebemos erivar s y luego erivar el resultao una vez más. Tenemos que Aceleración t t s t La aceleración se enomina la seguna erivaa e s con respecto a t y por lo regular se enota con f (t) o por s/t. En problemas en que intervienen objetos móviles, la seguna erivaa, la aceleración, es una cantia e mucha importancia. Por ejemplo, el grao e seguria el sistema e frenos e un automóvil epene e la esaceleración que puea lograr (la esaceleración no es otra cosa que una aceleración negativa). O los efectos fisiológicos el lanzamiento e un cohete en un astronauta epenen el nivel e aceleración a que esté sujeto. De mayor importancia, una e las leyes básicas e la 50 CAPÍTULO CÁLCULO DE DERIVADAS

7 C' () EJEMPLO 4 (Análisis e la función e costo) Para la función e costo el costo marginal es La seguna erivaa es FIGURA C() C() C() ( 00) Si 50, el costo marginal es C(50) 7.5. Más aún, C(50) 0.006(50 00) 0.3 Poemos interpretar que este resultao significa que caa unia aicional proucia conuce a un incremento e 0.3 en el costo marginal. Observe que en este ejemplo, C() 0 cuano 00. Esto significa que si 00, el incremento en la proucción lleva a un ecrecimiento en el costo marginal. La gráfica e C() es una función e que se inclina hacia abajo cuano 00. (Véase la figura ). Sin embargo, si 00, la gráfica e C() se inclina hacia arriba, e moo que su peniente, C(), es positiva. En este caso, el incremento en la proucción causa un incremento en el costo marginal. EJERCICIOS -4 (-4) Calcule las erivaas primera y e oren superior e las siguientes funciones con respecto a la variable inepeniente corresponiente.. y u (t ) 3. f() y(u) (u )(3u ) 5. Encuentre y si y 6. Encuentre f (t) si f(t) t t SECCIÓN -4 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 53

8 7. Determine g (4) (u) si g(u) 8. Encuentre y si y t t 9. Encuentre u si u 0. Encuentre 3 y si y 3,() 3. Encuentre y si y ln. Encuentre y (4) si y ln 3. Determine y (4) si y e 4. Encuentre y si y e 5. Determine y si y ln [( )( )] 6. Encuentre y si y 3 e 7. Encuentre y si y ( )e 8. Encuentre y si y e 9. Si y ae m be m, one a, b, m son constantes, entonces, pruebe que y/ m y 0. Si y / entonces pruebe que yy 0. (Velocia y aceleración) Calcule la velocia y la aceleración e un móvil para caa istancia aa s recorria al tiempo t. 3u a) s 9t 6t b) s 3t 3 7t 5t. (Velocia y aceleración) Suponga que la istancia s recorria al tiempo t está aa por s t(3 t). a) En qué instantes es cero la velocia? b) Cuál es el valor e la aceleración cuano la velocia es cero? (3-4) (Tasa e costo marginal) Calcule el costo marginal y la tasa e cambio el costo marginal con respecto al volumen e proucción en el caso e las siguientes funciones e costo. 3. C() C() ln (Tasa e costo promeio marginal) Si C() es la función e costo promeio, emuestre que C() C() C() C() 3 6. (Tasa e ingreso marginal) Si R() es la función e ingreso, pruebe que R() p() p() en one p p() es el precio como una función e la emana. *7. (Crecimiento e población) Una población crece e acuero con la ecuación logística y y m /( Ce kt ), one y m, C y k son constantes. Calcule la razón con la cual cambia la razón e crecimiento e la población. REPASO DEL CAPÍTULO Términos, símbolos y conceptos clave. Regla el proucto. Regla el cociente. Costo marginal promeio.. Regla e la caena. Tasas relacionaas..3 Derivaas e las funciones eponencial y logarítmica..4 Seguna erivaa; aceleración. Derivaas tercera, cuarta y e oren superior. Fórmulas Regla el proucto: u (u) u o (u) u u Regla el cociente: u o bien, u Ingreso marginal: Costo marginal promeio: C u u R (p) p p u u C() [C () C()], en one C() 54 CAPÍTULO CÁLCULO DE DERIVADAS

9 Regla e caena: Tasas relacionaas: Si y f(), entonces (e ) e y y u u y t f () t Formas e la regla e la caena: Si y [u()] n, entonces Si y e k, entonces Si y e u(), entonces y y y ke k n[u()] n e u() u u (ln ) y u Si y ln u(), entonces u () u() u() PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO. Establezca la veracia o falsea e caa una e las siguientes proposiciones. Caa enunciao falso cámbielo por una proposición veraera corresponiente. a) La erivaa e una suma e funciones es igual a la suma e las erivaas e las funciones. b) La erivaa e un cociente e funciones, siempre que la función en el enominaor no sea igual a cero, es el cociente e las erivaas. c) La seguna erivaa e una función lineal siempre es cero, sin importar en óne se evalúe. ) (e ) e e) ( e ) (e) e f) 3 g) Si la aceleración e un móvil es cero, entonces su velocia también es cero. y h) Si y [u()] n, entonces n[u()] n u () i) Si p() es un polinomio e grao n, entonces [p()] es una constante. j) (log(e)) e n n k) Si y u(), entonces y y y (-5) Calcule para las siguientes funciones.. y (3 7)(5 ) 3. y ( )( 3 ) 3 4. y 5. y e ( ) 6. y ( ) 3 7. y ln( ) y 9. y ln() 0. y e *. y *. y 3. y 3 e 4. y 9 5. y 6. y e e 7. y ln e e 8. y 9. y e e 0. y ( ) 3. y 3 e e e e e. y 3. y y 5. y 3 6 (6-30) Determine una ecuación e la recta tangente a la gráfica e caa una e las siguientes funciones en el punto que se inica. 6. f() e, en f(), en 4 ln 8. f(), en 9. f(), en 0 e 4 3 e e 4 PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO 55

10 30. f(), en 3 y (3-34) Determine para caa una e las siguientes fun- ciones. 3. y e 3. y ( ) 3 ( ) 33. y y ln(ln( )) (35-36) (Ingreso marginal) Calcule el ingreso marginal para caa una e las siguientes relaciones e emana. a y b son constantes positivas. 35. p a b ln 36. a b ln p (37-38) (Costo marginal) Calcule el costo marginal y el costo promeio marginal e las siguientes funciones e costo. 37. C() ln() 38. C() (Precio marginal) La ecuación e emana e cierto artículo es p 50/( ). Calcule el precio marginal a un nivel e emana e 3 uniaes. 40. (Precio marginal) Si uniaes pueen venerse a un precio e $p caa una, en one ln, 0 0 p (0 40), calcule el precio marginal. 4. (Demana marginal) Con la relación e emana el problema anterior, calcule la emana marginal a un nivel e precio e p. Interprete su resultao. 4. (Demana marginal) La emana e cierto artículo está aa por la relación p 3000, en one uniaes pueen venerse a un precio e $p caa una. Determine la emana marginal a un nivel e precio e 0 ólares. Interprete su resultao. 43. (Prouctivia física marginal) La prouctivia física e cierta empresa está aa por p 500(3 ) 000, one es el número e máquinas en funcionamiento. Determine la prouctivia física marginal cuano están en funcionamiento 8 máquinas. Interprete el resultao. 44. (Objeto en movimiento) La istancia recorria por un objeto en movimiento, en el instante t, está aa por (t )(t ) 3/. Determine la velocia instantánea en el instante t. 45. (Objeto en movimiento) La istancia h recorria por un objeto en movimiento, en el instante t, está aa por h 49t 4.9t a) Determine la velocia instantánea en el instante t. b) Determine la aceleración el objeto en el instante t. c) Para qué valores e t la velocia el objeto es igual a cero. 46. (Crecimiento e una población) Si la población e cierta especie e zorros en un bosque se puee moelar meiante la función 50,0000 P(t) e 0.075t one t se mie en semestres. Determine la razón e cambio e la población con respecto al tiempo. 47. (Crecimiento e una población) Con respecto al problema anterior. Determine la razón e cambio al inicio el año 4 y al inicio el año 36; al inicio e cuál e estos os años, la población crece con mayor rapiez? 48. (Epiemia) Durante una epiemia el número e iniviuos afectaos en el instante t, en semanas, está ao por I(t) 00t 6 e t 0. Determine el valor e t para el cual I (t) 0. Cuál es el número e iniviuos infectaos para ese valor e t? Aproime su respuesta al entero más cercano. 49. (Epiemia) Con respecto al problema anterior, respona las siguientes preguntas: a) Al inicio, t 0, cuántos iniviuos estaban enfermos? b) Determine la razón e cambio instantánea el número e iniviuos enfermos. c) Cuál es la razón e cambio en la semana 5? ) Cuál es la razón e cambio en la semana 7? 56 CAPÍTULO CÁLCULO DE DERIVADAS