FORMULARIO MATEMÁTICO

Transcripción

1 Formulario matemático L. Gámez, B. Gámez FORMULARIO MATEMÁTICO Ientiaes trigonométricas tg a sen a cos a, cot a tg a sec a csc a cos a sen a sen a + cos a, + tg a sec a sen(a ± b) sen a cos b ± cos a sen b sen a sen a cos a cos(a ± b) cos a cos b sen a sen b cos a cos a sen a cos a sen a tg a ± tg b tg(a ± b) tg a tg a tg a tg b tg a sen a sen b cos(a b) cos(a + b) sen cos a a sen a cos b sen(a b) + sen(a + b) cos a cos b cos(a b) + cos(a + b) cos + cos a a sen a + sen b sen a + b sen a sen b cos a + b cos a + cos b cos a + b cos a cos b sen a + b ( sen a ± π ) ± cos a cos sen a eia e ia ( a ± π cos a b sen a b cos a b sen a b ) sen a tg, cos a eia + e ia i Ientia e Euler e ia cos a + i sen a ( a ± π ) cot a Ientiaes logarítmicas log xy log x + log y log x y log x log y log xn n log x log x log x (logaritmo común) log e x ln x (logaritmo natural)

2 Formulario matemático L. Gámez, B. Gámez Ientiaes exponenciales e x + x + x! + x3 3! + x one e, 783 4! e x e y e x+y (e x ) n e nx ln e x x Variable compleja Un número complejo se puee representar meiante z a + ib r θ r e iθ r (cos θ + i sen θ) one a Re z r cos θ, b Im z r sen θ r z a + b, θ arctg b a i, i i, i El complejo conjugao e z : z a ib r θ r e iθ r (cos θ i sen θ) Teorema e e Moivre (re iθ ) n r n e inθ r n (cos nθ + i sen nθ) Si z a + ib y z a + ib, entonces z z sólo si a a y b b z ± z (a ± a ) + i(b ± b ) z z (a a b b ) + i(a b + a b ) ó z z r r e i(θ +θ ) r r θ θ z a + ib a ib a a + b b z a + ib a ib a + b z + i a b a b a + b r e i(θ θ ) r θ θ z r r z a + ib r e iθ/ r θ/, z n (a + ib) n r n e inθ r n nθ z /n (a + ib) /n r /n e iθ/n r /n θ/n + πk/n (k,,,..., n ) ln(r e iθ ) ln r + ln e iθ ln r + iθ + iπk (k Z) Funciones hiperbólicas sh x ex e x, ch x ex + e x tanh x sh x ch x, coth x th x, sech x ch x, csch x sh x ch x sh x sech x + tanh x sh (x ± y) shx chy ± chx shy ch (x ± y) chx chy ± shx shy

3 3 Formulario matemático L. Gámez, B. Gámez Relaciones entre funciones hiperbólicas y trigonométricas (variable compleja) sen ix i sh x, cos ix ch x sh ix i sen x, ch ix cos x Derivaas Si f f(x), g g(x), a constante y n R (af) a (fg) g f + g ( ) fg g f g g (af n ) na f n ln f f log a f f ln a af a f ln a ef e f sen f cos f cos f sen f sh f ch f ch f sh f tg f cos f arcsen f f arccos f f arctg f + f ( + tg f) sec f [, π < arcsen f < π ], [ < arccos f < π], [ π < arctg f < π f g gf g + f g ln f ]

4 4 Formulario matemático L. Gámez, B. Gámez Integrales inefinias Si f f(x), g g(x), a constante, C constante y n R a ax + C f g fg g, integración por partes f n f n+ n + + C, n ln f + C f a f ln af + C, a a >, a e f e f + C e ax a eax + C xe ax eax a (ax ) + C x e ax eax a 3 (a x ax + ) + C ln x x ln x x + C sen ax a cos ax + C cos ax a sen ax + C tg ax a ln cos ax + C sen ax x sen ax 4a + C cos ax x + sen ax 4a + C sh ax a ch ax + C ch ax a sh ax + C th ax a ln ch ax + C

5 5 Formulario matemático L. Gámez, B. Gámez x + a a arctg x a + C x x + a ln(x + a ) + C x x + a x a arctg x a + C a x arcsen x a + C x ± a ln (x + ) x ± a + C Integrales efinias Sean m, n Z; a, b constantes π π sen mx sen nx π sen mx cos nx sen ax x {, m n cos mx cos nx π/, m n, m + n impar m m n, π/, a >, a π/, a < m + n par sen x x π sen ax x a π e ax πa e ax πa e ax cos bx a a + b e ax sen bx b a + b

6 6 Formulario matemático L. Gámez, B. Gámez Relaciones vectoriales Sean A y B campos vectoriales, φ y ψ campos escalares y λ R. x i + y j + z k operaor nabla en cartesianas graφ φ iva A rota A (φ + ψ) φ + ψ (λφ) λ φ (φψ) φ ψ + ψ φ (A B) (B )A + (A )B + B ( A) + A ( B) (A + B) A + B (λa) λ A (φa) φ A + A ( φ) (A B) B ( A) A ( B) ( φ) φ φ ( A) (A + B) A + B (λa) λ A (φa) φ A + φ( A) (A B) (B )A B ( A) (A )B + A ( B) ( φ) ( A) ( A) A A l ( A) S Teorema e Stokes L S φ l φ S L S A S ( A)τ Teorema e Ostrograski-Gauss s τ φ S φ τ s τ A S A τ s τ

7 7 Formulario matemático L. Gámez, B. Gámez Series binomiales (a + x) n a n + ( ) n a n x + ( ) n a n x + ( ) n a n 3 x x + x x 3 + x 4... < x < + x ( + x) x + 3x 4x 3 + 5x 4... < x < + x x x x < x + x + x 4 x x < x Desarrollos en serie e x + x + x! + x3 3! +... < x < ln( + x) x x + x3 3 x4 ( ) < x + x ln x + x3 x 3 + x5 5 + x < x < sen x x x3 3! + x5 5! x7 7! +... < x < cos x x! + x4 4! x6 6! +... < x < Aproximaciones más usuales Si x ( ± x) n ± nx e x + x ln( + x) x sen x x ó lím sen x x x cos x tg x x

8 8 Formulario matemático L. Gámez, B. Gámez Integrales elípticas Son las expresaas meiante f(t, g(t)) t one g(t) es un polinomio e tercer o cuarto grao en t, que meiante ciertas transformaciones an lugar a istintos tipos e integrales. Integrales elípticas e primera especie Integral elíptica incompleta e primera especie con x sen φ u F (k, φ) φ φ am u llamaa amplitu e u < k < α x k sen α t t k t Se encuentran tabulaas en función e φ( ) y e ψ( ) arc sen k Integral elíptica completa e primera especie K F (k, π/) π/ α k sen α t t k t Se encuentran tabulaas en función e ψ( ) arc sen k Integrales elípticas e seguna especie Integral elíptica incompleta e seguna especie E(k, φ) φ x k k sen α α t t t Se encuentran tabulaas en función e φ( ) y e ψ( ) arc sen k Integral elíptica completa e seguna especie E E(k, π/) π/ k k sen α α t t t Se encuentran tabulaas en función e ψ( ) arc sen k Funciones elípticas e Jacobi Con base en la efinición e la integral elíptica incompleta e primera especie se efinen las siguientes funciones elípticas: - senam x sen φ sen(am u) sn u - cosam x cos(am u) cn u - esam k x k sn u n u

9 9 Formulario matemático L. Gámez, B. Gámez Cuáricas Superficie efinia por una ecuación e seguno grao en tres variables. Cuáricas con centro Ax + By + Cz D Si A, B, C, D entonces se puee escribir ± x a ± y b ± z c que a lugar a tres superficies istintas: x a + y b + z c x Si a b c Elipsoie Si a b pero b c Elipsoie e revolución (x h) (y k) (z j) Si a + b c elipsoie con centro (h, k, j) y ejes paralelos a las os coorenaas Si a b c x + y + z a Esfera (raio a) Si (x h) + (y k) + (z j) a esfera con centro (h, k, j) y raio a a + y b z c Hiperboloie e una hoja Si a b Hiperboloie e revolución e una hoja x a y b z c Hiperboloie e os hojas Si b c Hiperboloie e revolución e os hojas Cuáricas sin centro Ax + By + Iz Si A, B, I entonces se puee escribir ± x a ± y b z c que a lugar a os superficies istintas: x a + y b cz x Paraboloie elíptico a y cz, (c > ) Paraboloie hiperbólico b Superficie cilínrica Generaa por una recta, generatriz, que se esplaza paralelamente a otra fija y que se apoya constantemente en una curva también fija, irectriz. Si la generatriz es paralela a uno e los ejes coorenaos y la irectriz es una curva situaa en el plano coorenao perpenicular a la generatriz, entonces la superficie cilínrica tiene la misma ecuación que la irectriz. Ejemplo: Si la irectriz es una recta paralela al eje Oz y la irectriz es la circunferencia x + y a la ecuación e la superficie cilínrica también es x + y a.