Métodos Matemáticos I ( ) Hoja 1 NúmerosComplejos. 8 (1 i) 5. (3 + 5i) (2 i) (1 + i 3 ) (1 + i) 3

Transcripción

1 Hoja NúmerosComplejos.- Calcular todos los números z IC tales que: a) z = z 2 b) z = Rez Obtener en forma binómica. a) b) c) 8 ( i) 5 (3 + 5i) (2 i) ( + i 3 ) ( + i) Obtener en forma binómica 3 4i. 4.- Hallar dos complejos que tengan igual parte imaginaria, cuya suma y cuyo cociente sean imaginarios puros. 5.- Hallar todos los números complejos z tales que z 3 z =. 6.- Hallar los números complejos de módulo unidad cuyas raíces cuartas tienen sus afijos en las bisectrices de los cuadrantes. 7.- Encontrar los pares de números complejos que satisfacen las condiciones siguientes: a) Su suma es 6i y su producto es 6 8i. b) Su cociente es imaginario puro, su suma es 5, y el módulo de uno es doble que el del otro. c) Tienen parte real positiva, la suma de sus cuadrados es 2i, y su producto vale Sabiendo que i es una raíz de z 3 (3 i)z 2 + (2 3i)z + 2i = 0, hallar las raíces de z 3 (3 + i)z 2 + (2 + 3i)z 2i = 0

2 Hoja 2.- Para los siguientes conjuntos definidos en el plano complejo a) z + i 3 d) Argz < π 4 se pide: b) 0 < z 2 < 3 e) < Imz c) z 2 f) (Rez) 2 > a) Dibujar cada conjunto en el plano complejo. b) Especificar cuáles son abiertos. c) Especificar cuáles son dominios. d) Especificar cuáles son acotados. e) Describir la frontera de cada conjunto. f) Especificar cuáles son regiones. 2.- Obtener en qué transforma la función f(z) = /z las siguientes regiones del plano complejo: a) z b) z r, r IR Hallar los siguientes límites de funciones complejas: 4z 2 z 2 + a) lim b) lim c) lim z (z ) 2 z (z ) 3 z z z 2 d) lim z 0 z e) lim z z z f) lim z 3i z z 3i ( ) 4.- Comprobar si existe el límite en z = 0 de la función f(z) = Re + 2i. z 5.- Dada la función 2z f(z) = z + si z 0 si z = 0 Especificar en qué puntos tiene límite, en qué puntos es continua y qué discontinuidades de f(z) son evitables.

3 Hoja 3.- Probar, a partir de la definición de derivada, que las siguientes funciones no son diferenciables en ningún punto del plano complejo a) Rez, b) Imz, c) z, d) z 2.- Demostrar que la función w = zrez sólo es diferenciable en z = 0. Calcular w (0). 3.- Calcular los valores que deben tomar las constantes a, b y c para que la función f(z) sea analítica en alguna región de IC: a) f(z) = x + ay + i(bx + cy) a) f(z) = cos x(chy + a shy) + i senx(chy + b shy) 4.- Determinar en qué conjuntos son analíticas las siguientes funciones: a) 8 z + i b) z z + 2 c) iz 3 + 2z z 2 + d) x 2 y 2 + i2xy e) x 2 + y 2 + y 2 + ix f) z 2 + 2z g) ( x + ) ( ) x y + i y x 2 + y 2 x 2 + y Sean f(z) y g(z) funciones enteras. Decidir cuales de las siguientes afirmaciones son siempre ciertas: a) f(z) 3 es entera b) f(z)g(z) es entera c) f(z)/g(z) es entera d) 5f(z) + ig(z) es entera e) f(/z) es entera f) g(z 2 + 2) es entera g) f(g(z)) es entera 6.- Verificar que cada función u es armónica en la región en que está definida y encontrar la función armónica conjugada de u a) u = y b) u = e x seny c) u = xy x + y d) u = senx coshy e) u = log z para Rez > 0 f) u = Im(e z2 )

4 7.- Hallar una función f(z) que cumple simultáneamente: a) Es analítica en un dominio z < R b) Re ( ) x f = x x 2 + (y 3) 2 c)f (i) = i 2 e)f( + 3i) = 4πi

5 Hoja 4.- Representar en forma exponencial los números:,, i, i, + i, i, + i, i 2.- Hallar los módulos y los valores principales de los argumentos de los números complejos: e 2+i ; e 2 3i ; e 3+4i ; e 3 4i ; ae iϕ (a > 0, ϕ π); e iϕ ( ϕ π). 3.- Valiéndose de la definición de e z, demuestrar que a) e z e z 2 = e z +z 2 ; b) e z+2πi = e z ; c) Si e z+w = e z para todo z, entonces ω = 2πki(k = 0, ±, ±2,...). 4.- Partiendo de la definición de las funciones correspondientes, demostrar que: ( ) π a) sen 2 z + cos 2 z = b) senz = cos 2 z c) sen(z + z 2 ) = senz cosz 2 + cosz senz 2 d) cos(z + z 2 ) = cosz cosz 2 senz senz 2 e) tg2z = 2tgz tg 2 z f) ch(z + z 2 ) = chz chz 2 + shz shz Demostrar que: a) seniz = ishz; b) cos iz =chz; c) tg iz = ith z; d) ctg iz = icth z. 6.- Hallar la parte real e imaginaria de los siguientes valores de funciones: a) cos(2 + i); b) sen2i; c) tg (2 i); d) ctg ( f) th ln3 + πi ) Calcular: ( π 4 iln2 ) ; e) cth(2 + i); a) Log4, Log(-), log(-); b) Log i, log i; c) Log ± i 2 ; d) Log (2 3i), Log ( 2 + 3i)

6 8.- Demostrar las siguientes igualdades (se toman en consideración todos los valores de las raíces): a) arcosz = ilog ( z + z 2 ) b) arsenz = ilog ( iz + z 2 ) c) artgz = i 2 log i + i z = 2i d) arctgz = i 2 log z i z + i 9.- Hallar todos los valores de las siguientes funciones: log + iz iz a) arsen ; b) arcos 2; c) arsen i Hallar todas las raíces de las siguientes ecuaciones: a) senz + cos z = 2; b) chz sh z = ; c) 2chz+shz = i..- Comprobar que las condiciones de Cauchy-Riemann se verifican para las funciones z n, e z, cos z y logz y demostrar que: (z n ) = nz n, (e z ) = e z, (cosz) = sen z, (logz) = z. 2.- Encontrar dónde es analítica Log[cosz] (Determinación principal). 3.- Encontrar dónde es analítica z 2 (Determinación principal).

7 Hoja 5.- Explique en qué transforma la función w = e z a) la franja a < y < β (0 α < β 2π); b) la semifranja x < 0, 0 < y < α 2π; c) la semifranja x > 0, 0 < y < α 2π; d) el rectángulo α < x < β, γ < y < δ (δ γ 2π). 2.- Dada la función w = z halle las imágenes de las siguientes curvas: a) la familia de circunferencias x 2 + y 2 = ax; b) la familia de circunferencias x 2 + y 2 = by; c) el haz de rectas paralelas y = x + b; d) el haz de rectas y = kx; e) el haz de rectas que pasan por un punto dado z 0 0; f) la parábola y = x Explique en qué se transforman los recintos indicados mediante las funciones dadas. a) El cuadrante x > 0, y > 0; w = z i z + i. b) El semicírculo z <, Im z > 0; w = 2z i 2 + iz. c) La franja 0 < x < ; ) w = z ; 2) w = z z z 2 d) El anillo < z < 2; w = z z. 4.- Halle las transformaciones de Moebius (bilineales) que transforman los puntos, i y + i en los puntos: a) 0, 2i y i; b) i, y, respectivamente.

8 5.- Halle las transformaciones de Moebius que transforman los puntos -,, e i en los puntos a) i, y + i; b), i y ; c) 0, y respectivamente. 6.- Calcule las integrales I = xdz e I 2 = ydz siguiendo los caminos siguientes: a) a lo largo del radio vector del punto z = 2 + i; b) a lo largo de la semicircunferencia z =, 0 arg z π (el camino se inicia en el punto z = ); c) a lo largo de la circunferencia z a = R. 7.- Calcule la integral C z zdz, donde C es un contorno cerrado compuesto por la semicircunferencia z =, y 0 y por el segmento x, y = Calcule la integral (z a) n dz(n es un número entero): a) a lo largo de la semicircunferencia z a = R, 0 arg (z a) π (el camino se inicia en el punto z = a + R); b) a lo largo de la circunferencia z a = R; c) a lo largo del perímetro de un cuadrado de centro en el punto a y de lados paralelos a los ejes de coordenadas. 9.- Calcule la integral D = {z IC/ z > 0, α < argz α + 2π} C logzdz, donde se considera logz = ln z +i argz definido en el dominio a) C es la circunferencia unidad y α = π b) C es la circunferencia unidad y α = π 2 c) C es la circunferencia z = R y α = π d) C es la circunferencia z = R y α IR +.

9 .- Calcule la integral C Métodos Matemáticos I ( ) dz z 2 + 9, si: Hoja 6 a) el punto 3i se encuentra dentro del contorno C y el punto 3i fuera de él; b) el punto 3i se encuentra dentro del contorno C y el punto 3i fuera de él; c) los puntos ±3i se encuentran dentro del contorno C. dz 2.- Calcule todos los valores posibles de la integral para diferentes posiciones del C z(z 2 ) contorno C. Se supone que el contorno C no pasa por ninguno de los puntos 0,, y Calcule la integral 4.- Calcule la integral z a =a 2πi C zdz z 4, a >. e z dz z( z) 3, si: a) el punto 0 se encuentra dentro y el punto fuera del contorno C; b) el punto se encuentra dentro y el punto 0 fuera del contorno C; c) los puntos 0 y se encuentran ambos dentro del contorno C. 5.- La función f(z) es analítica en un recinto que contiene en su interior el origen de coordenadas y cuya frontera es una curva simple cerrada, C que corta al semieje real negativo en un solo punto z 0. Demuestre que f (z)logzdz = f(z 0 ) f(0). 2πi C 6.- Calcule la integral z = 7.- Calcular C z α dz donde α es un número complejo cualquiera y α =. z α dz, con C z = y z α = e αlogz. 8.- Calcular C z 4 Logz dz, con C z = positivamente orientada.

10 Hoja 7.- Desarrolle las funciones dadas en una serie de potencias c n z n y halle el radio de convergencia: n=0 a) sen 2 z b) ch 2 z c) z + i (donde i = + i ) 2 d) z z 2 4z + 3 e) z 2 f) Log + z (z + ) 2 z g) z 0 e s2 ds h) z 0 sens s ds 2.- Desarrolle la función dada en serie de Laurent o bien en el anillo indicado o bien en una vecindad del punto indicado. En el último caso determine el recinto para el cual es válido el desarrollo: a) b) c) d) z 2 z( z) en entornos de los puntos z = 0 y z = z 2 2z + 5 (z 2)(z 2 + ) en entornos de los puntos z = 0, z = y z =. en un entorno del punto z = 2 y en el anillo < z < 2. en entornos de los puntos z = i y z =. (z 2 + ) 2 e) e z en entornos de los puntos z = y z =. NOTA.- z = quiere decir, en un recinto que alcance el infinito. 3.- Analice si las funciones dadas admiten desarrollo en serie de Laurent en un entorno del punto indicado. a) cos z, z = 0; b) sec z, z = ; c) th, z = 0; z d) Logz, z = 0; e) z α (= e αlogz ), z = 0.