Síntesis de Imágenes: ray casting básico

Transcripción

1 Tema III Síntesis e Imágenes: ray casting básico Ricaro Ramos Colaboraores: Enrique Sierra Blanco, Eloy Álvarez Fernánez, Reyes Berguillos Moretón, Mª el Carmen Suárez Torrente, Mª Sanra García Peláez, Francisco J. Barroso Alfambra y Mª Félix e la Corte Martínez Comienza el estuio la Síntesis e Imágenes vieno el algoritmo e ray casting (síntesis irecta y un moelo local e iluminación) que representa la versión más sencilla e los procesos que buscan la información gráfica irectamente en el moelo vectorial 3D. 1.1 Introucción Según vimos en el primer tema, el algoritmo e ray casting se basa en un métoo irecto e búsquea e la información gráfica, y en un moelo e iluminación local. Puesto que por el momento sólo veremos una versión sencilla e este algoritmo, el moelo e iluminación que analizaremos será un moelo local simplificao. Los moelos simplificaos no sólo son útiles el los renerizaos simples, sino que aemás sirven como base para el estuio e moelos más sofisticaos, circunstancia que aprovecharemos aquí. 1. Moelo e cámara oscura El moelo e cámara oscura, en el cual se funamentan las cámaras fotográficas, sirve también como base para los métoos e búsquea irecta e la información gráfica utilizaos en la Síntesis e Imágenes. figura 1: moelo e cámara oscura Una cámara oscura consiste en una caja completamente cerraa, a excepción e un pequeño orificio en el centro e una e sus caras (figura 1).

2 Tema III: Síntesis e imágenes: ray casting básico Dichas cámaras ya eran conocias y utilizaas antes e la aparición e la fotografía. La luz entra por el agujero y se proyecta en la cara opuesta, formano así una imagen invertia (figura ). figura : la cámara oscura invierte la imagen proyectaa Este métoo e obtención e imágenes puee ser utilizao en la síntesis irecta, aunque es conveniente aplicar la transformación que veremos a continuación para facilitar la implantación el moelo. 1.3 Moelo e Ventana En el moelo e ventana (o e marco), lo que antes era el orificio e la cámara pasa a ser el ojo el observaor, el cual se sitúa etrás el plano visual o pantalla. De esta forma se evita que la imagen que se forma en la pantalla quee invertia. figura 3: moelo e ventana Ver que los componentes e este nuevo moelo son los mismos que los que intervienen en la cámara oscura, sólo que posicionaos en un oren iferente. El requerimiento anterior e que toos los rayos pasaran por el orificio, se trauce ahora en que toos los rayos e luz que atraviesen la pantalla han e converger en el punto e visión (ojo). Si se traza un rayo ese el punto e visión a caa píxel e la pantalla, y se prolongan ichos rayos hasta que intersequen con los objetos que se encuentren en su camino, entonces es posible averiguar con qué objetos intersecan y el color e las superficies one intersecan. Si se pinta los píxeles corresponiente con el color e los puntos e intersección, se obtiene la imagen el objeto que se trata e visualizar (figura 4). Los objetos visualizaos son aquellos que se encuentran entro el volumen e la pirámie, cuyas aristas pasan por los vértices e la ventana, y convergen en el punto e vi-

3 Tema III: Síntesis e imágenes: ray casting básico 3 sión, tal como muestra la figura 3. figura 4: trazao e los píxeles En efinitiva, el principio en el que se basa el algoritmo e ray casting es el e trazar una línea entre el punto e visión y el espacio e objetos (moelos), a través e caa píxel e la pantalla. 1.4 Trazao hacia aelante y hacia atrás Según inicamos en el tema anterior, los sistemas gráficos basaos en la síntesis irecta emulan el comportamiento e los fotones e luz. Como sabemos, éstos salen el emisor (lámpara) y viajan por el espacio hasta que colisionan con la materia (objetos). Cuano esto ocurre, una gran parte e los fotones son filtraos por ésta, impiieno el paso e unos (absorción) y ejano a otros pasar (transmisión) o escapar (reflexión), moificano su trayectoria en la mayoría e los casos. Las transformaciones que sufre la luz al inciir sobre materiales iferentes, se trauce en información visual que somos capaces e procesar cuano llega a nosotros. Entonces, cuano el trazao e los rayos se implanta e forma que emule el viaje natural e los fotones, se trata el trazao hacia aelante. El trazao e rayos hacia aelante es teóricamente un métoo válio. Ocurre, sin embargo, que muchos fotones que salen e la lámpara nunca llegan al observaor, es ecir, que no juegan papel alguno en la construcción e la imagen. Dao que computacionalmente es muy caro trazar rayos que no sirven e naa, es necesario encontrar una solución a este problema. La clave para evitar el coste que representa el cálculo inútil está en invertir el recorrio e los fotones. En el moelo e ventana, si un fotón llega al ojo el observaor, necesariamente ha tenio que cruzar la pantalla siguieno la irección el rayo. Entonces, si se trazan exclusivamente los rayos e luz que parten el punto e visión, a través e los píxeles e la pantalla hacia el espacio vectorial (conocios como rayos primarios), nos aseguramos e que el sistema gráfico trabaje únicamente con los rayos útiles. Cuano el trazao e rayos se realiza e esta forma, se trata el trazao hacia atrás.

4 Tema III: Síntesis e imágenes: ray casting básico 4 Dao el ahorro e cálculos que implica el invertir el recorrio e los fotones, el trazao e rayos hacia atrás es el proceimiento utilizao. Por tanto, a partir e ahora, siempre que hablemos e ray casting o ray tracing suponremos que ambos algoritmos efectúan el trazao hacia atrás. 1.5 Fases en el algoritmo e ray casting Tenieno en cuenta que vamos a seguir la pista e los fotones partieno el punto e visión hacia los objetos y fuentes e luz, los pasos que ha e ar el algoritmo e ray casting son los siguientes: primera fase: seguna fase: Suponieno que llegasen fotones al punto e visión siguieno la trayectoria e un rayo ao, es preciso saber e óne viene icha luz, es ecir, cuál es su punto e partia o proceencia. Los puntos e proceencia pueen encontrarse en las superficies e los objetos, en las fuentes e luz o ser luz e fono, es ecir, carente e un punto concreto e proceencia. En la fase anterior hemos supuesto que llega luz al punto e visión, pero no sabemos si realmente llega. Entonces, para una trayectoria aa, una vez que se conoce el punto e proceencia, se ha e averiguar si existen fotones que recorran el camino el rayo. Si al punto e proceencia llega luz ese e cualquier lugar, cabe la posibilia e que parte e esa luz alcance también el punto e visión, siguieno la trayectoria el rayo. Por tanto, es necesario averiguar si llega luz al punto e proceencia y, en caso afirmativo, cuánta llega y e qué color. tercera fase: Una vez que se conoce la intensia y color e la luz que llega al punto e proceencia, la última cuestión que ha e resolver el algoritmo es averiguar qué cantia e esta luz llega al observaor, y cuál es su color. El trazao e un rayo cualquiera finaliza pintano el píxel cruzao por el rayo con el color e intensia e la luz que llega al observaor. Si por caa píxel e la pantalla se efectúan los pasos anteriores, al finalizar tenremos en la pantalla la imagen que ve el observaor. En el estuio el algoritmo e ray casting estuiaremos las técnicas empleaas para resolver caa una e las fases anteriores, en el oren inicao. Por tanto, comenzaremos por ver los métoos utilizaos para encontrar los puntos e proceencia e los fotones, o lo que es igual, cómo se realiza el trazao e los rayos primarios. 1.6 Primera fase: cuál es el punto e proceencia? Trazao e los rayos y cálculo e las intersecciones A la hora e sintetizar la imagen e un objeto es obvio que los rayos e luz más importantes son los que proceen e las superficies e éstos. Encontrar los puntos e proceencia e los fotones en las superficies e los objetos, no es otra cosa que averiguar los puntos e intersección entre los rayos e luz (rec-

5 Tema III: Síntesis e imágenes: ray casting básico 5 tas) y los objetos. Los métoos y algoritmos e cálculo e los puntos e intersección rayo-objeto epenen principalmente e las características geométricas e los objetos. Debio a esto, las figuras geométricas más importantes tienen su propio algoritmo e intersección. Por ejemplo, las esferas, cilinros, conos, toros, etc., isponen e un algoritmo e intersección apropiao, basao en la ecuación o ecuaciones que efinen ichos objetos. Por otro lao, los trozos e superficies (parches) también poseen su algoritmo e intersección, epenieno e cómo hayan sio matemáticamente efinios. Así, el algoritmo e intersección e un polígono ifiere el utilizao con las superficies curvas, y entro e éstas, los algoritmos e intersección varían según sea la naturaleza e ichas superficies (ver Glas89, pg. 79). Por lo que acabamos e ecir poría suponerse que caa objeto que se iseñe necesita su propio algoritmo e intersección. Si esto fuese cierto, los sistemas gráficos generales serían inviables aa la infinia e objetos que es posible iseñar. Afortunaamente, la utilización e esquemas e moelao como el CSG o el B-rep reucen el problema el cálculo e las intersecciones, al simple esarrollo e implantación e un conjunto limitao e algoritmos e intersección, tantos como primitivas iferentes (polígonos, parches curvos, etc.) se utilicen en el moelao e los objetos. Por otra parte, los algoritmos basaos en la síntesis irecta (ray casting y ray tracing) utilizan un gran porcentaje e su tiempo e cálculo (entorno al 95%) en la búsquea e los puntos e intersección rayo-objeto. Por tal motivo, es muy importante que el grao e eficiencia e los algoritmos e intersección sea lo mayor posible. A tal efecto, en el esarrollo e ichos algoritmos se buscan técnicas que minimicen el número e operaciones aritméticas, sobre too las más costosas, como el cálculo e raíces, ivisiones o multiplicaciones, reucieno éstas, si es posible, a sumas, restas y comparaciones 1. No vamos a realizar un estuio exhaustivo e los iferentes algoritmos e intersección, sino que simplemente nos limitaremos a ver los casos más representativos, como es el algoritmo e intersección recta-esfera y, más aelante, el e intersección recta-polígono Intersección rayo-esfera La búsquea e métoos eficientes para el cálculo e las intersecciones entre los rayos y las esferas es importante, no sólo porque la esfera sea un objeto ampliamente utilizao en el iseño e los moelos, sino porque también éstas sirven para acelerar el algoritmo e visualización, como veremos más aelante. 1 Aunque aquí se mantienen los criterios expuestos en los libros e texto, sin embargo en los procesaores e última generación las operaciones en coma flotante llegan a superar en rapiez al cálculo con enteros y a los procesos e toma e ecisión, por lo que en ichos procesaores quea en tela e juicio la eficacia e los algoritmos que evitan los cálculos aritméticos aplicano test basaos en comparaciones.

6 Tema III: Síntesis e imágenes: ray casting básico 6 Comenzaremos el estuio el algoritmo e intersección rayo-esfera, efinieno los elementos que intervienen en icho algoritmo, es ecir, la recta y la esfera. A) Definición e la recta: ecuación explícita o paramétrica Los parámetros que efinen el rayo (recta) son los siguientes: R R 0 [ X 0,Y 0,Z0] : punto e origen el rayo [ X,Y,Z ] : vector e irección el rayo Partieno e las expresiones anteriores, se pueen expresar las coorenaas e cualquier punto [x, y, z] e la recta R (rayo), en función e t, como sigue: [1] X X 0 + X t Y Y 0 + Y t Z Z 0 + Z t Dano istintos valores a t, se obtienen toos los puntos e la recta. Escribieno en formato vectorial las expresiones anteriores, obtenemos la ecuación explícita e la recta, es ecir: [] R(t) R0 + R* t sieno t > 0 para el rayo. Es conveniente que el vector e irección el rayo esté normalizao, es ecir, que su móulo sea unitario ( x + y + z 1). De esta forma t representa la istancia ese el origen el rayo, referia al sistema e coorenaas. Ver que en ray casting es e suma importancia conocer las istancias entre el origen el rayo (punto e visión) y los objetos con los que interseca, ya que el punto e intersección que se encuentre más cerca el origen el rayo, normalmente será el único visible por el observaor. B) Definición e la esfera: ecuación implícita Los parámetros que efinen la esfera son: Recoremos que la normalización un vector [ x, y,z], se efectúa como sigue: a) se calcula el móulo el vector: r x + y + z, y b) se normaliza el vector hacieno: r x R, r y r, z r

7 Tema III: Síntesis e imágenes: ray casting básico 7 S c X c,y c, Z c : centro e la esfera S r : raio e la esfera Too punto X,Y,Z s s s que se encuentre en la superficie e la esfera, ha e cumplir la siguiente ecuación: ( X X)+Y ( Y)+Z ( Z) S s c s c s c r La expresión anterior se conoce como ecuación implícita e la esfera. Como vemos, a partir e [3] no se pueen obtener irectamente los puntos pertenecientes a la superficie e la esfera (e la forma que hemos visto en la ecuación explícita el rayo, ano valores a t ), pero sirve para comprobar si un eterminao punto pertenece a ella o no. Por tanto, los puntos e la recta que satisfagan la ecuación [3], serán los puntos e intersección rayo-esfera que buscamos. [3] C) Cálculo e los puntos e intersección Antes e estuiar el algoritmo que permite encontrar los puntos e intersección rayo-esfera veamos algunas consieraciones previas sobre las posibles situaciones e intersección, en función e la ubicación el origen el rayo. A la hora e calcular las intersecciones rayo-esfera existen tres posibiliaes: que el origen el rayo (R0) se encuentre fuera e la esfera, que esté en la superficie, o bien, que se encuentre en el interior e ella. figura 5: origen el rayo fuera e la esfera En la figura 5 se representa el caso e un rayo que interseca con la esfera, cuyo origen se encuentra fuera e ella. Como vemos, necesariamente ha e intersecarla en os puntos i0 e i1, sieno en ambos el valor e t positivo. En este caso interesa que el algoritmo evuelva las coorenaas el punto i0, ya que es el más cercano al origen el rayo y, según comentamos arriba, será el punto visible por el observaor 3. Aemás, también es necesa- 3 En ocasiones también interesa conocer las coorenaas el punto i1, por ejemplo, cuano los moelos han sio efinios utilizano el esquema e moelao CSG.

8 Tema III: Síntesis e imágenes: ray casting básico 8 rio conocer la normal a la superficie e la esfera en este punto i0, ao que posteriormente se ha e utilizar para calcular la intensia e luz que se refleja en icho punto, la cual epene e la orientación e la superficie. La siguiente posibilia es que R0 i0, es ecir, que el origen el rayo se encuentre en la superficie e la esfera. Si este es el caso, e la ecuación [] se euce que t 0. Sin embargo, al efinir icha ecuación pusimos por conición que t > 0, por lo que quea escartaa la posibilia e que t 0, sin antes tomar ciertas precauciones. Esto es ebio a los problemas e precisión que se originan al efectuar los cálculos en coma flotante. Por ejemplo, para realizar la seguna fase el algoritmo e ray casting, con frecuencia se han e trazar rayos hacia las fuentes e luz, con el origen en la superficie e los objetos, para averiguar si llega luz irecta e las fuentes a los puntos e intersección visibles. A este tipo e rayos se les conoce como rayos e sombra. Teóricamente se supone que el origen e los rayos e sombra se encuentra en las superficies e los objetos (t 0), ya que sus coorenaas coincien con las e los puntos e intersección e los rayos primarios. Sin embargo, en la práctica, ebio a las imprecisiones en el cálculo e los puntos e intersección, es muy posible que t sea casi cero, pero no cero, o lo que es igual, que el origen el rayo e sombra se encuentre muy cercano a la superficie, pero no en la superficie. Esto puee ar lugar a que los rayos trazaos con origen en una superficie intersequen con ella misma (como se muestra en la figura 6), lo que prouciría manchas no eseaas en la superficie. figura 6: problemas con la precisión e los cálculos cuano el origen está en la superficie Entre otras soluciones para este problema, se puee utilizar una variable booleana e control que inique si el origen el rayo es un punto e la esfera, o bien ano unos limites e tolerancia a la iguala con cero, en función el tamaño e la esfera (ver [Glas89, pg. 46]). Por último, consieramos el caso en el que el origen el rayo se encuentra entro e la esfera (figura 7). Como se puee apreciar, el valor e t para el punto i0 será negativo, es ecir, pertenece a la trayectoria el rayo, pero no al rayo, ya que se encuentra etrás e su origen (R0). Por tanto, el algoritmo tenrá que evolvernos las coorenaas el punto i1, aemás e la normal en icho punto; en este caso tenrá irección hacia el centro e la

9 Tema III: Síntesis e imágenes: ray casting básico 9 esfera. figura 7: origen el rayo entro e la esfera i.- Búsquea algebraica e los puntos e intersección La solución más simple para saber si el rayo interseca con la esfera consiste en sustituir la ecuación el rayo [1], en la ecuación implícita e la esfera [3], y calcular los valores e t (puntos el rayo) que verifican la ecuación e la esfera, es ecir: ((X 0+ X t) X c) + ((Y 0+ Y t) Y c) + ((Z 0+ Z t) Z c) Sr Operano y sacano factor común, ésta ecuación se convierte en una ecuación e seguno grao en t, es ecir: [5] one: A t + B t +C 0 [4] A X B + Y C (X0 X ) + Z [ X (X0 X c) + Y (Y0 Y c) + Z (Z0 Z c) ] c 1 + (Y0 Y ) c + (Z0 Z ) c S r [6] Tenieno en cuenta que A 1, las soluciones a la ecuación [5] vienen aas por: [7] t t B - B + B 4C B 4C

10 Tema III: Síntesis e imágenes: ray casting básico 10 Depenieno el valor que tome el iscriminante B - 4C (positivo, cero o negativo) nos encontraremos ante los siguientes casos: B - 4C < 0 Si el iscriminante es negativo, las soluciones a la ecuación e seguno grao son ambas complejas. Dao que según la ecuación [] la intersección rayo-esfera sólo es posible para valores reales y positivos e t, se euce que el rayo no interseca con la esfera. B - 4C 0 Cuano el iscriminante sea nulo, sustituyeno en [7] se obtiene que t0 t1, es ecir, los puntos e entraa y salia el rayo en la esfera coincien. Esto significa que el rayo es tangente a la esfera. B - 4C > 0 Por último, si el iscriminante es positivo, las raíces t0 y t1 e la ecuación [5] serán reales. En este caso puee ocurrir que: 1) Ambas sean positivas (t0 > 0, t1 > 0): la solución que buscamos será ti t0, ya que e las expresiones [7] se euce fácilmente que t0 < t1. En consecuencia, el punto más cercano al observaor (visible) será t0, y t1 el más alejao. Como vimos, en este caso el origen el rayo se encuentra fuera e la esfera figura 5. ) Ambas negativas (t0 < 0, t 1 < 0): por efinición e la ecuación paramétrica el rayo ([]), éste no interseca con la esfera, aunque sí su trayectoria. 3) Una positiva y una negativa (t0 < 0, t1 > 0): e igual moo, por la efinición e la ecuación [] la solución que buscamos será ti t1, ya que el origen el rayo se encuentra entro e la esfera (figura 7). * Si e los cálculos anteriores se obtiene un valor real y positivo para ti, esto querrá ecir que el rayo interseca la esfera, con lo cual pasaremos a calcular las coorenaas el punto e intersección más cercano al origen el rayo. Para ello, se sustituye el valor e ti en la ecuación paramétrica el rayo ([]): R(ti) [ x i, y i,zi] [ X0 + X ti, Y0 + Y ti, Z0 + Z ti] [8] ii.- Cálculo e la normal a la esfera en el punto e intersección Según mencionamos con anterioria, es interesante que el algoritmo e intersección encuentre también la normal a la superficie e la esfera en el punto e intersección, pues más tare será necesaria en el cálculo e la intensia e la luz. Dao que la normal (rn) en cualquier punto e la superficie e la esfera

11 Tema III: Síntesis e imágenes: ray casting básico 11 tiene la misma irección que el raio que pasa por icho punto, para calcular la normal en el punto e intersección, sólo hace falta normalizar el vector el raio que pasa por éste. Por la expresión [3] vemos que Sr es el móulo el raio. Por tanto: r n (x i X c) i c i, (y Y ), (z Sr Sr S Z c) En el caso e que el rayo tenga su origen entro e la esfera, la normal que se obtenrá estará irigia hacia el centro e la esfera. r [9] iii.- Algoritmo e intersección: solución algebraica Como ya hemos comentao, evitar cálculos innecesarios en la búsquea e los puntos e intersección es muy importante. En el algoritmo para la búsquea algebraica e los puntos e intersección se gana velocia si, por ejemplo, antes e calcular t1 se encuentra t0 y se prueba si es positivo. En caso afirmativo ya tenemos la solución, por lo que sólo será preciso calcular t1, si t0 resulta negativo. A continuación se establecen los istintos pasos que se han e ar para realizar el cálculo algebraico e las coorenaas e los puntos e intersección rayo-esfera. En caa paso se establece la ecuación que se utiliza para los cálculos. Los argumentos e entraa serán los parámetros que se han establecio para efinir el rayo y la esfera, es ecir: R R S c S r [ X 0, Y 0, 0] [ X, Y, ] [ X c,y c, Zc] 0 Z Z : punto e origen el rayo : vector e irección el rayo normalizao : centro e la esfera : raio e la esfera interseccion_algebraica(r 0, R, S c, S r ) { /* paso 1: Calcular los coeficientes A, B y C e la ecuación e seguno grao */ A X + Y + Z 1 B [ X (X0 X c) + Y (Y0 Y c) + Z (Z0 Z c) ] C(X0 X c) +(Y0 Y c) +(Z0 Z c) Sr N 1 //Sentio e la normal por efecto /* paso : Calcular el iscriminante y comprobar si es > 0 */ D (B 4C) Si D 0 entonces SALIDA: RAYO NO INTERSECA LA ESFERA

12 Tema III: Síntesis e imágenes: ray casting básico 1 /* paso 3: Calcular t 0 y comprobar si es positiva */ t 0 - B B 4C Si t 0 > 0 entonces t i t 0//origen el rayo fuera e la esfera sino { /* paso 4: Calcular t 1 y comprobar si es positiva */ } t 1 - B + B 4C Si t 1 < 0 entonces SALIDA: RAYO NO INTERSECA LA ESFERA sino { t i t 1 N -1//Se cambia el sentio e la normal } /* paso 5: Coorenaas el punto e intersección */ xx+x i 0 ti yy i 0+Y ti zz+z i 0 ti SALIDA: r i x,y,z i i i /* paso 6: Calcular la normal en el punto e intersección */ (xi X c) (yi Y c) (zi Z c) r n,, S r Sr Sr SALIDA: rn x n, y n, zn N } /* Fin el algoritmo interseccion_algebraica() */ Ejemplos numéricos sobre el algoritmo e intersección algebraico Veamos a continuación os ejemplos numéricos. En el primero se muestra el caso en el que el origen el rayo está fuera e la esfera (figura 5) y el seguno, cuano se encuentra entro (figura 7). Ejemplo 1: El origen el rayo está fuera e la esfera: Sea el rayo: El vector e irección no está normalizao. R0 r [ 1,-,-1] [ 1,,4] Lo normalizamos, queano: r ,, 4 y por tanto R [ 0.18, 0.436, 0.873] R0 [ 1,-,-1] el rayo será: R [ 0.18, 0.436, 0.873]

13 Tema III: Síntesis e imágenes: ray casting básico 13 Por otro lao, sea la esfera: Sc Sr 3 [ 3,0,5] Aplicación el algoritmo algebraico /* paso 1: Calcular los coeficientes A, B y C */ A X +Y +Z A1 //por estar el vector e irección el rayo normalizao B B B [ X (X0 X c) + Y (Y0 Y c) + Z (Z0 Z c) ] [ 0.18 ( 1 3) (- 0) (-1 5) ] C(X0 X c) +(Y0 Y c) +(Z0 Z c) Sr C ( 1 3) C35 + (- 0) + (-1 5) 3 N 1 /* paso : Calcular el iscriminante y ver si es positivo */ D D31.4 ( B 4C) ( 13.09) ( 4 35) Como D > 0 el rayo puee intersecar la esfera /* paso 3: Calcular t 0 y comprobar si es positivo */ t 0 - B t B 4C Como t 0 >0 entonces t t i /* no tenremos que calcular t 1 */ /* paso 5: Calcular las coorenaas el punto e intersección*/ xi yi zi X0 + X ti Y0 + Y ti Z0 + Z ti SALIDA: r 1.816, ,.69 i /* paso 6: Calcular la normal en el punto e intersección */ r n (xi X c) (yi Y c) (zi Z c) r n,, S r Sr Sr ( ) ( ) (.69 5),, SALIDA: r n , ,

14 Tema III: Síntesis e imágenes: ray casting básico 14 Ejemplo : El origen el rayo se encuentra entro e la esfera Sea el rayo: El vector e irección no está normalizao R0 r Lo normalizamos: [ 3,-,] [ 1,,3] r R El rayo normalizao es: Sea la esfera: Sc Sr , 14 [ 4,1,3], 14 R0 R Aplicación el algoritmo algebraico [ 0.67, 0.534, 0.80] [ 3,-,] [ 0.67, 0.534, 0.80] /* paso 1: Calcular los coeficientes A, B y C */ AX +Y +Z A1 /* por estar el vector e irección normalizao */ B [ X (X0 X c) + Y (Y0 Y c) + Z (Z0 Z c) ] B [ ( ) ( ) ( )] B C(X0 X c) +(Y0 Y c) +(Z0 Z c) Sr C ( 3 4) + (- 1) + ( 3) 4 C-5 N 1 /* paso : Calcular el iscriminante y ver si es positivo */ D B 4C D ( ) (( ) ( )) Como D > 0 el rayo puee intersecar la esfera /* paso 3: Calcular t 0 y comprobar si es positivo */ t 0 - B t B 4C Como t 0 < 0 entonces tenemos que calcular t 1 /* paso 4: Calcular t 1 y comprobar si es positivo */ t 1 - B + t B 4C Como t 1 > 0 entonces t i t 1, N -1 /* paso 5: Calcular las coorenaas el punto e intersección*/

15 Tema III: Síntesis e imágenes: ray casting básico 15 xi X0 + X ti yi Y0 + Y ti zi Z0 + Z ti SALIDA: r i 4.645,1.90,6.935 /* paso 6: Calcular la normal en el punto e intersección */ rn (xi X c) (yi Y c) (zi Z c) r n,, S r Sr Sr ( ) ( ) ( ),, SALIDA: r n 0.161, 0.073, (-1) 1.7 Seguna fase: Llega luz? Cuánta, y e qué color? Para averiguar si llega luz o no a un punto e intersección (punto e proceencia), se han e consultar los elementos el escenario que porían aportar luz a icho punto. Éstos son conocios como fuentes e luz o e iluminación Fuentes e luz En los moelos e iluminación se consieran os fuentes básicas e luz: Fuentes e luz emitia, como por ejemplo una lámpara o el sol. Fuentes e luz reflejaa, constituias por las superficies e los objetos circunantes, tales como las parees, espejos, etc., que reflejan la luz que reciben, y por tanto se convierten en reemisores. Las fuentes e luz emitia se clasifican en os granes grupos, epenieno e su geometría. Cuano el tamaño e la fuente emisora es pequeño comparao con el e los objetos, se consiera una fuente puntual, como por ejemplo una bombilla o el sol, ya que éste está lo suficientemente lejos como para consierarlo como un punto. En otros casos se trata e fuentes e luz istribuia, como ocurre con las barras e neón, que comparativamente no pueen ser consieras como un punto cuano iluminan a los objetos cercanos (figura 8).

16 Tema III: Síntesis e imágenes: ray casting básico 16 figura 8: fuentes emisoras (puntual y istribuia) y reflejaa 1.7. Las fuentes e luz en los moelos e iluminación locales Según vimos en el tema anterior, los moelos locales e iluminación no tienen en cuenta la luz reflejaa en los objetos circunantes. Por tanto, las únicas fuentes e luz que se tienen en consieración son las fuentes emisoras. Sin embargo, al evaluar la luz que llega a un punto se tiene presente una forma e luz reflejaa, llamaa luz ambiente, que se supone uniforme en too el espacio que envuelve a los objetos. Esta uniformia hace que la aportación lumínica ebia a la luz ambiente sea igual en toos los puntos e las superficies, inepenientemente e su orientación. Aunque la luz ambiente sea reflejaa (pues se ebe a la combinación e las múltiples reflexiones e la luz en los objetos circunantes), en su moelización está totalmente esvinculaa e las superficies one se ha reflejao. Por tanto, su inclusión en los moelos e iluminación no implica que ichos moelos tengan en cuenta la aportación irecta e las fuentes e luz reflejaa. En efinitiva, los moelos locales que consieran la luz ambiente, no por eso ejan e serlo. Resumieno, en un moelo e iluminación local, la luz que llega a un punto ao (luz inciente) viene irectamente e las fuentes emisoras, o bien se trata e luz ambiente. Ambas opciones no son excluyentes, o sea, tanto la luz ambiental como la proceente e las fuentes emisoras pueen estar presentes en la iluminación e las superficies, si bien la presencia e esta última no está garantizaa. Así, si entre un punto en la superficie e un objeto y la fuente emisora se encuentra un objeto opaco, entonces éste prouce sombra, o lo que es igual, la fuente e luz no contribuye a la iluminación el punto. En la versión simplificaa el algoritmo e ray casting no suele incluirse el cálculo e las sombras, por lo que ejaremos el estuio el sombreao para el próximo tema, y posteriores.

17 Tema III: Síntesis e imágenes: ray casting básico Moelos e iluminación locales simplificaos Existen ocasiones, como por ejemplo en las primeras fases e iseño, en las que se requiere máxima velocia en la síntesis, lo que normalmente se trauce en una calia inferior e las imágenes obtenias. En estas situaciones, en las que la velocia prima sobre la calia, conviene aplicar moelos e iluminación simplificaos que faciliten alcanzar la velocia eseaa, a la vez que proporcionen imágenes aceptables. Para ello, se aopta un moelo e iluminación local (en vez e uno semiglobal o global), simplificánolo, más o menos, en función e la calia e las imágenes que se pretena obtener. En lo que resta e tema iremos inicano las simplificaciones que introucimos en el moelo local que se escribe. En los moelos locales simplificaos, se excluye normalmente la posibilia e la existencia e sombras (simplificación 4). Hay una razón para ello. Dao que se pretene simplificar el moelo, se suele utilizar una única fuente emisora e luz (simpl. 1), e tipo puntual (simpl. ), posicionaa normalmente en el punto e visión o cerca e él (simpl. 3), como por ejemplo, en el origen e coorenaas el marco el visor (figura 9). De esta forma, si un punto es visible, también ha e estar iluminao por la fuente e luz, por lo que no puee encontrarse en sombra. figura 9: posición e las fuentes e luz en los moelos sencillos Intensia e la luz inciente en los moelos simplificaos En los moelos e iluminación simplificaos, la intensia e la luz que llega a las superficies proceente e las fuentes puntuales se consiera e igual intensia que la emitia por ichas fuentes, es ecir, no se tiene en cuenta la atenuación ebia a la istancia que recorre (simpl. 5). Por tanto, si a la intensia e la luz ambiente la llamamos I a, y la que sale e la fuente puntual emisora Ii, la intensia total e luz inciente en caa punto viene aa en los moelos simplificaos por: Ia + Ii

18 Tema III: Síntesis e imágenes: ray casting básico 18 Ya conocemos la proceencia e intensia e la luz inciente en un punto, pero naa sabemos e su color. Aunque too el muno tiene una iea más o menos intuitiva sobre la forma en que los televisores y monitores obtienen su gama e colores, vamos a estuiar los moelos e color para entener mejor cómo se establece el color e la luz inciente, y cómo se calcula el color e la luz reflejaa en un punto, una vez que ha interactuao con la superficie Moelos e color La finalia e los moelos e color es averiguar el color e la luz reflejaa en un punto, a partir e las propieaes ópticas e la materia (punto) y las características e la luz inciente. Son varios los moelos e color, aunque se pueen clasificar en os grupos principales: a) moelos basaos en la combinación e tres colores, a partir e los cuales se obtienen los emás. En este grupo encontramos, entre otros, los moelos RGB y CMY. Los moelos e este grupo pueen ser aitivos o substractivos. Cuano la gama e colores que abarca el moelo se obtiene agregano colores (como el RGB), los moelos son aitivos. Si la gama e colores se consigue eliminano colores, entonces los moelos son substractivos, como en el caso el moelo CMY. b) grupo e moelos e color basaos en la paleta e los pintores, que obtienen las combinaciones e color partieno e un color puro, añaieno blanco o negro, para obtener las iversas tonaliaes. Este tipo e moelo es e uso más intuitivo. Dentro e este grupo están los moelos HSV y HLS. El siguiente iagrama muestra una clasificación más completa e los moelos e color: moelos e color Harware moelos e equipo informático moelo RGB moelo CMY MODELOS DE COLOR moelos e televisión moelo YIQ moelo YUV moelos e color e interfaz gráfica moelo HSV moelo HLS iagrama 1 Debio a nuestra política simplificaora, e momento nos limitaremos a ver los moelos RGB y CMY, ejano los restantes moelos para el siguiente tema. La elección e estos moelos, clasificaos a veces como moelos harware, se ebe a que son los utilizaos por los periféricos gráficos (monitores e impresoras), y por tanto los que más urge conocer. Los moelos HSV y HLS han sio pensaos para facilitar al usuario la manipulación e

19 Tema III: Síntesis e imágenes: ray casting básico 19 los colores, e ahí que se les conozca como moelos e interfaz gráfica. Antes e escribir los moelos RGB y CMY conviene conocer las bases teóricas en que se funamentan, por lo que no quea más remeio que comenzar ese el principio vieno qué entenemos por luz y color. A) Luz y color El color es un concepto frecuentemente utilizao para escribir el aspecto e un eterminao objeto. Aunque en la mayoría e las ocasiones el escribir el color e un objeto es una tarea sencilla, el concepto e color es bastante más complicao ya que no sólo epene e la naturaleza el objeto, sino que también epene e las características e la luz que lo ilumina, y e la fisiología el observaor. La luz está formaa por infinia e partículas cuánticas, enominaas fotones, los cuales son emitios principalmente por los electrones e los átomos al pasar e un estao e energía a otro inferior. Dao que las partículas cuánticas son al mismo tiempo onas electromagnéticas, normalmente se consiera y estuia la luz como raiación e este tipo. En el espectro electromagnético, la luz visible se correspone con una bana e frecuencias que va ese los 4,3x10 14 hasta los 7,5x10 14 hertzs. Dentro e esta bana, caa frecuencia es etectaa e interpretaa por nuestro sistema visual como un color iferente, sieno la frecuencia más baja la corresponiente al rojo y la más alta al violeta. Entre estas os frecuencias extremas el espectro e la luz, el ojo humano puee istinguir cerca e colores iferentes. Según emostró Newton meiante su famoso experimento el prisma, la luz el Sol (que consieramos luz blanca ) no es otra cosa que la combinación en nuestros ojos e las iferentes frecuencias el espectro visible que, una vez separaas (clasificaas) por el prisma, se nos manifiestan e forma más o menos iniviual agrupaas entorno a 7 frecuencias funamentales que enominamos violeta, añil, azul, vere, amarillo, naranja y rojo. Cuano la luz e una fuente (el Sol, por ejemplo) incie sobre un objeto, algunas frecuencias son reflejaas y otras absorbias por éste. La combinación e frecuencias presentes en la luz reflejaa etermina lo que nosotros percibimos como color el objeto. B) Características e la luz Acabamos e escribir la luz como un conjunto e onas electromagnéticas entro e una bana e frecuencias eterminaa. Sin embargo, nos interesa también hablar e la luz en términos e longitues e ona, lo cual no representa problema alguno, pues en las onas electromagnéticas ambas magnitues están relacionaas por la ecuación c λ f sieno c la velocia e la luz, λ la longitu e ona y f la frecuencia. [10]

20 Tema III: Síntesis e imágenes: ray casting básico 0 Poemos ecir entonces que la luz visible está formaa por onas electromagnéticas e iferentes longitues e ona, en el espectro comprenio entre los 400 (violeta) y los 700 nanometros (roja). Si ecimos que un objeto es e color rojo, la luz que estamos percibieno tiene una frecuencia ominante o longitu e ona ominante que es la que se correspone con el color rojo. La frecuencia ominante es, por lo tanto, lo que se enomina color o matiz e la luz. Las características e la luz se pueen meir o evaluar ese la perspectiva subjetiva el ojo humano, o bien ese un punto e vista más objetivo, como el e la colorimetría. Este campo e la física consiera asociaos a la luz los parámetros e pureza o saturación y luminancia. El primero se refiere al número e frecuencias iferentes que forman la luz. Cuantas menos frecuencias iferentes posea, más pura es la luz; por tanto, la luz blanca es la menos pura e toas. Por otra parte, la luminancia está relacionaa con la meia e la intensia e la luz que se percibe. Por último, la palabra cromaticia o cromatismo se utiliza para inicar las características e la luz meiante los os parámetros que la efinen: longitu e ona ominante y pureza. La terminología anterior sirve tanto para las fuentes e luz emitia, como para las e luz reflejaa. Las características e la luz que percibimos e os o más fuentes quean eterminaas por éstas. Dos fuentes e luz emitieno en iferentes colores pueen ser utilizaas para generar una gran iversia e colores meiante la variación e las intensiaes e ambas fuentes. Si como resultao e la combinación resulta el color blanco, se ice que los colores e ambas fuentes son complementarios. Algunas e estas combinaciones son el rojo con el cian, el azul con el amarillo y el vere con el magenta. Con una selección apropiaa e os o más colores e partia se puee obtener otros muchos colores. Normalmente se utilizan tres colores para este fin, y el conjunto e colores obtenio meiante su combinación se conoce como gama e colores el moelo. Los os o tres colores mezclaos para proucir otros se conocen como colores primarios el moelo. C) Colores primarios estánar Existen muchos grupos e colores que al combinarlos pueen ar lugar a una amplia gama e colores, lo que significa que hay muchos colores que porían consierarse primarios. Como ocurre siempre que hay muchas posibiliaes one elegir, pronto se planteó la cuestión sobre cuál era el número mínimo e colores necesarios para generar toos los emás, y cuáles eran los más eficientes. La respuesta fue que con tres colores era suficiente para conseguir una amplia gama e colores; sin embargo, en el espectro visible no hay ningún grupo e tres colores capaces e generar toos los colores el espectro, es ecir, entre los conjuntos e colores primarios no hay ninguno universal. El problema e la estanarización e los colores primarios se resolvió airosamente eligieno tres colores primarios ficticios (inexistentes), los cua-

21 Tema III: Síntesis e imágenes: ray casting básico 1 les generan una gama e colores superior a la generaa por cualquier trio e colores reales. En 1931, la Comisión Internacional e Iluminación (Commission Internationale e l'eclairage (CIE)) estableció un estánar internacional para los tres colores primarios, los cuales quearon eterminaos meiante funciones matemáticas; así, cualquier color puee ser efinio como una combinación e los colores primarios estánar, si se conoce la cantia (intensia) que se precisa e caa uno. El conjunto e colores primarios CIE normalmente se representa meiante X, Y, Z representano al rojo, vere y azul. X se consiera como un rojo con una saturación (pureza) mayor que cualquier rojo real. Algo parecio ocurre con los otros os colores, sieno Z e Y un azul y vere supersaturaos, respectivamente. Si (X, Y, Z) se representan como vectores unitarios en los ejes e un espacio e coorenaas triimensional, entonces cualquier color C λ puee expresarse como: C λ XX + YY + ZZ one X, Y, y Z son las cantiaes necesarias e colores primarios para obtener el color C λ. Para analizar las propieaes el color es conveniente normalizar las cantiaes X, Y, Z con respecto a la luminancia, es ecir, la cantia total e luz (color) que se utiliza (X + Y + Z). Quea entonces que: [11] sieno x + y + z 1. X Y Z x y X + Y + Z X + Y + Z z X + Y + Z [1] D) El iagrama e cromatismo CIE. Utilizano los valores normalizaos anteriores x, y, z, es posible efinir los colores con sólo os cantiaes, por ejemplo x e y, ya que z 1 (x + y). Estos valores (x, y), suelen conocerse como valores o parámetros e cromatismo, ya que al haber sio normalizaos iviieno por la luminancia, sólo epenen el tono e la luz (frecuencia ominante) y e su pureza, sieno inepenientes e la cantia e energía luminosa (luminancia). Si se representan en el plano los valores (x, y) para toos los colores visibles el espectro, se obtiene una curva conocia como iagrama e cromatismo CIE, como muestra la figura 10.

22 Tema III: Síntesis e imágenes: ray casting básico figura 10: iagrama e cromatismo CIE Los puntos e la curva se corresponen con los colores puros el espectro, etiquetaos a lo largo e ésta con la longitu e ona en nanometros ese el rojo hasta el violeta. La línea que une el rojo con el violeta, conocia como línea púrpura, no forma parte el espectro. Por último, los puntos interiores representan toas las posibles combinaciones e colores el espectro. El punto B representa a la luz blanca el Sol. El iagrama e cromatismo se utiliza para: Determinar la longitu e ona ominante y la pureza e un color ao. Comparar gamas e colores generaas por ternas iferentes e colores primarios. Ientificar colores complementarios. Determinación e la pureza y longitu e ona ominante Si la curva se enominaa iagrama e cromatismo es porque ha sio construia a partir e los valores x e y (valores e cromatismo), que como vimos epenen únicamente e la longitu e ona ominante y e la pureza el color. Por tanto, el iagrama proporciona un métoo eficaz para efinir cuantitativamente la pureza y la longitu e ona ominante e los colores. Por ejemplo, sea A el color representao en el gráfico

23 Tema III: Síntesis e imágenes: ray casting básico 3 figura 11: representación el color A en el iagrama cromático Para este punto e color efiniremos: a) pureza el color: Viene eterminaa por la istancia relativa el punto e color (A en este caso) al punto e luz blanca (B), tomano como referencia la recta que une ambos puntos con la curva. figura 1: búsquea e la pureza el un color En este caso, el color A es alreeor e un 40% puro ya que no está situao en la mita e la recta (en cuyo caso sería puro al 50 %) sino algo más cerca el punto e color blanco (B). Cuanto más cerca está un color el blanco (punto B), más frecuencias iferentes forman icho color, y por lo tanto menos puro es. b) longitu e ona ominante: La longitu e ona ominante e un color A, quea eterminaa por

24 Tema III: Síntesis e imágenes: ray casting básico 4 el punto e la curva one interseca la línea que une B con A. Para el punto A, la longitu e ona viene eterminaa por la longitu e ona el punto C, ya que es el punto en el cual se prouce la intersección con la recta que pasa por A y B. figura 13: búsquea e la longitu e ona ominante en un color Determinación e la gama e colores Sean D y E los colores primarios que van a ser mezclaos en cantiaes variables para proporcionar otros colores. La gama e colores resultante e la mezcla e los os anteriores viene representaa en el iagrama e cromatismo por la línea que une los colores D y E. figura 14: gama e colores combinano os primarios Si se incluye un tercer color F para mezclar con los anteriores, entonces los colores e la gama son los comprenios en el triángulo formao por la unión e los tres colores.

25 Tema III: Síntesis e imágenes: ray casting básico 5 figura 15: gama e colores combinano tres primarios El iagrama anterior permite explicar por qué ningún conjunto e tres colores puee ar lugar a toos los colores el espectro. La razón se ebe a que no es posible formar ningún triángulo que abarque toos los colores el iagrama e cromatismo. Por ejemplo, si formamos uno e los triángulos más amplios que se puee conseguir en el iagrama e cromatismo (figura 16), la gama e los colores es la comprenia en el área oscura, pero quean unos cuantos colores (como el G) que no pueen ser generaos a partir e los colores primarios seleccionaos. figura 16: no puee existir un triángulo que abarque toos los colores Determinación e los colores complementarios Como la gama e colores ebia a os colores primarios está formaa por toos los colores e la línea que los une, os colores primarios complementarios (mezclaos an el blanco) han e estar posicionaos en los extremos e una línea que pase por el punto B, como muestra el ejemplo e la figura 17. Mezclano las cantiaes apropiaas e los colores C 1 y C, se ha

26 Tema III: Síntesis e imágenes: ray casting básico 6 e obtener el color blanco. figura 17: colores primarios complementarios Por último, para finalizar la lista e utiliaes el moelo CIE, al ser un moelo teórico que abarca toos los colores el espectro visible, se puee utilizar como base e comparación (meia) e otros moelos e color. Meiante transformaciones lineales, los colores primarios e cualquier moelo pueen transformarse en colores X, Y, Z el moelo CIE, y viceversa. Por tanto, este moelo proporciona un enlace entre toos los posibles moelos. Estuiemos ahora los moelos RGB y CMY cuya filosofía es muy similar a la el estánar CIE, aunque más realista. E) Moelo e color RGB Este moelo se basa en la teoría el triestímulo sobre la visión, que ice que percibimos los colores ebio a tres pigmentos situaos en unas células e la retina enominaas conos, que son sensibles al rojo (630 nm), vere (530 nm) y azul (450 nm). Hacieno caso a esta teoría, el moelo RGB (Re, Green, Blue) aopta el rojo el vere y el azul como colores primarios. Este moelo es la base para la emisión e color en una pantalla e rayos catóicos, utilizano estos tres colores primarios. Tenieno en cuenta las longitues e ona anteriores, la gama e colores el moelo RGB quea representaa en el iagrama cromático como se ve en la figura 18.

27 Tema III: Síntesis e imágenes: ray casting básico 7 figura 18: gama e colores el moelo RGB La gama e colores el moelo RGB, que según muestra la figura anterior se trata e un subconjunto e los colores que puee percibir el ojo humano, puee quear matemáticamente representaa meiante un cubo unitario (normalizao). Los vértices en los ejes ortogonales representan los colores primarios puros, y los vértices opuestos están asocios a los colores complementarios e caa uno e los primarios. figura 19: representación el espacio e color el moelo RGB Como inicamos al comienzo, el RGB se trata e un moelo aitivo, pues las intensiaes e los colores primarios se suman para ar lugar a otros colores. Los colores se consiguen combinano istintos valores e los componentes rojo, vere y azul. El magenta, por ejemplo, viene representao por (1,0,1) y se obtiene sumano el azul (0,0,1) y el rojo (1,0,0). Caa punto e color en el cubo puee ser representao por una terna (R,G,B) one R, G y B toman valores comprenios entre 0 y 1. Así, un co-

28 Tema III: Síntesis e imágenes: ray casting básico 8 lor cualquiera C λ, viene ao por: C λ RR + GG + BB sieno (R, G, B) los vectores unitarios e caa eje, y R, G, B valores escalares en el rango [0, 1]. Si los tres componentes (rojo, vere y azul) e un color son iguales (y istintos e 0 y 1) el resultao es un color en la gama e los grises. Por lo tanto, la escala e grises se representa en este moelo meiante la iagonal que une los vértices e los colores blanco y negro. Un gris a mita e camino entre el negro y el blanco quearía representao por la terna: (0,5, 0,5, 0,5) A un monitor llegan iferentes señales e intensia (R,G,B) one (0,0,0) correspone al color negro y (1,1,1) al blanco; en este último los colores rojo, vere y azul alcanzan su máxima intensia (luminancia), que nosotros percibimos como máximo brillo. Entre estos os extremos se obtiene un rango e intensiaes que, en un monitor e 4 bits por píxel, es e 56 para caa color. [13] F) Moelo e color CMY Este moelo se utiliza para escribir los colores que se obtienen sobre papel blanco mezclano pigmentos e color. Los colores primarios utilizaos son el cian, el magenta y el amarillo, que son los colores complementarios el rojo, vere y azul. Los tres colores primarios el CMY son llamaos substractivos ya que su efecto es sustraer color e la luz blanca. Por ejemplo, el cian procee e una mezcla e vere y azul. Cuano la luz blanca se refleja en algo coloreao e cian, la luz reflejaa no tenrá componente rojo. Esto significa que el rojo es absorbio (sustraío) por la tinta color cian. Una combinación e cian y magenta prouce azul porque los componentes rojo y vere e la luz inciente son absorbios. Siguieno el mismo proceso se obtienen otras combinaciones e color. Dao que los colores son onas electromagnéticas e frecuencias iferentes, el moelo CMY se entiene más fácilmente si en vez e hablar e mezcla e colores, se habla e mezcla o combinación e filtros. Así, C sería el filtro el rojo (R), M el filtro el vere (G) e Y el el azul (B). En otras palabras, si e la luz blanca (RGB) se elimina la luz roja, quearían la vere y la azul (GB), que al combinarse en nuestros ojos proucirían el color cian, que es precisamente el color que atribuimos al filtro e la luz roja. El filtrao e la luz blanca quearía esquemáticamente como sigue RGB (luz blanca) R (luz roja) GB C (color cian) RGB (luz blanca) G (luz vere) RB M (color magenta) RGB (luz blanca) B (luz azul) RG Y (color amarillo)

29 Tema III: Síntesis e imágenes: ray casting básico 9 La representación matemática e este moelo consiste, al igual que en el moelo anterior, en un cubo cuyas coorenaas en caa eje son las complementarias e los colores el moelo RGB. figura 0: representación el espacio e color el moelo CMY. El origen el cubo e color (0,0,0) representa el blanco. Aumentano la cantia e caa uno e los colores (filtros) primarios se tiene hacia el negro en la esquina opuesta el cubo y tiene por coorenaas (1,1,1); por lo tanto, la gama e los grises es representaa meiante la iagonal que une ambos vértices. Los ispositivos e impresión utilizan 3 fuentes (epósitos) e color, para los colores cian, magenta y amarillo. Aemás, utilizan una cuarta fuente para el color negro, ya que la unión e los tres colores primarios no proporciona negro, sino gris oscuro. G) Conversión entre ambos moelos e color Una imagen en color generaa en un monitor se rige por el moelo RGB. Si se esea imprimir ésta imagen, los valores e caa color en el moelo RGB han e ser transformaos en valores CMY ya que es el moelo utilizao en las impresoras e color. Dao que los colores e ambos moelos son complementarios, si un color tiene componentes (r, g, b), en el moelo CMY tenrá por componentes (1-r, 1-g, 1-b). De la misma manera, un color (c, m, y) tenrá por componentes (1-c, 1-m, 1-y) en el moelo RGB. Esto significa que un valor (R,G,B) sustraío e la luz blanca proporcionará el valor (C,M,Y). De la misma manera, ao un color (C,M,Y), se obtenrá el corresponiente (R,G,B) restano (C,M,Y) el color negro. Las ecuaciones vectoriales e conversión quean [14] C 1 R M 1 G Y 1 B