MAGNETISMO MODULO 3. Ley de Faraday - Ley de Lenz

Transcripción

1 A.Paniagua-H.Poblete Física 21 MAGNETISMO MODULO 3 Ley de Faaday - Ley de Lenz Tenemos expeimentalmente que al hace gia un conjunto de espias en un campo magnético podemos obseva que se poduce una coiente que enciende un bombillo. También podemos obseva que se poduce una coiente moviendo un imán dento de una bobina conectada a un galvanómeto, el cual nos pemite detecta dicha coiente. En ambos casos se puede obseva que la intensidad de la coiente tiene que ve con la velocidad de gio de las espias o con la velocidad de desplazamiento del imán. Flujo campo magnético! B Paa explica el poqué apaece en los expeimentos ealizados una coiente, definamos en pime luga flujo de campo magnético como! B = B S o! B = " B ds (19 T) Tenemos entonces que en los dos expeimentos antes ealizados lo que vaía es el flujo del campo magnético a tavés de las espias. Ley de Faaday Esta ley dice que la fueza electomotiz que apaece en las espias y la cual poduce una coiente inducida en ellas está dada po! = " d# B dt (20 T) Ley de Lenz La Ley de Lenz se efiee al sentido de la coiente y establece que: "la coiente inducida apaece en un sentido tal que se opone a la causa que la poduce". Estudiaemos tes eglas paa obtene el sentido de la coiente inducida. 36

2 1) En la fig. se ve un cote tansvesal de una espia, de tal manea que dibujada en el plano de la hoja vemos la pate de atás de ella. Al aceca un imán con su polo Note apuntando hacia la espia esta se opone al movimiento del imán poduciéndose en el lado deecho de la espia un polo Note, oiginado po una coiente inducida que tiene el sentido que se muesta en la fig. 2) En este caso dibujamos las líneas de campo magnético del imán que se está acecando a la espia. Vemos entonces que al aceca el imán, el flujo magnético que ataviesa la espia aumenta. Po lo tanto en la espia apaeceá una coiente inducida que poduce un campo magnético en sentido contaio al del imán, dicha coiente apaece dibujada en la fig. 3) En este caso se está tatando de saca un espia que está ubicada pependiculamente a un campo magnético entante al plano de la hoja. Po lo cual en la espia apaeceá una coiente inducida que poduzca una fueza que se oponga a dicho movimiento. La coiente inducida apaece dibujada en la fig. A continuación planteaemos unos ejecicios en los cuales se puede aplica la Ley de Lenz paa obtene el sentido de la coiente inducida en una espia. 37

3 a) Se tiene una espia a la cual se aceca un imán con su polos como muesta la fig. Enconta el sentido de la coiente inducida que apaece en la espia en esta situación física. Po método 1 Po método 2 b) Repita el ejecicio consideando que el imán se aleja de la espia en luga de acecase. c) En la fig. se tiene una espia colocada hoizontalmente ente los polos de un imán. Encuente Ud. el sentido de la coiente inducida que apaece en la espia cuando ella se tata de saca de ente los polos este imán. Justifique el sentido de la coiente utilizando cada uno de los tes métodos antes descito. 38

4 Coiente altena Hemos visto expeimentalmente que al gia un conjunto de espias en un campo magnético se poduce en ellas una coiente inducida, dicha coiente se denomina "Coiente Altena". La fig. muesta el esquema de un Geneado de Coiente Altena Dicho Geneado se epesenta gáficamente de la foma indicada en la siguiente figua. Paa enconta la fem inducida que apaece en dichas espias se utiliza la Ley de Faaday! = " d# B dt po lo tanto el flujo a tavés de una espia está dado po Si existen N espias Tenemos entonces que "! B = BA cos# donde A = ab! = NB ab d dt! B = NBA cos " (21 T) ( cos ") = NB ab sen" d" dt Consideando que d! 2" = " y que! = dt T = 2"# (22 T) 39

5 Tenemos de (22 T)! = NB ab 2"# sen2"#t De donde podemos ve que la fem inducida y po lo tanto la coiente en las espias tiene un compotamiento sinusoidal que se epesenta en el siguiente gáfico. Tenemos po lo tanto que la coiente inducida poducida po el gio de espias en un campo magnético, cambia su sentido cada medio ciclo, po esta azón se denomina "Coiente Altena". Esta coiente ecibe también el nombe de "Coiente Monofásica". Un geneado de coiente altena se epesenta en un cicuito po el símbolo que apaece en la fig. S Veamos algunos gáficos coespondientes a coientes continuas y coientes altenas. Los siguiente gáficos epesentan coientes continuas que denominaemos CC.. El pimeo coesponde a una coiente continua constante y el segundo a una coiente continua oscilante. Los siguiente gáficos epesentan coientes altenas que denominaemos CA. El pimeo coesponde a una coiente altena de onda sinusoidal y el segundo a una coiente altena de onda cuadada.. 40

6 Coientes bifásicas Hemos visto que al gia un conjunto de espias en un campo magnético se poduce una coiente inducida que tiene un compotamiento sinusoidal. Si se colocan dos conjuntos de espias pependiculaes uno al oto se obtiene en cada uno de ellos una coiente sinusoidal. Estas coientes se encuentan desfasadas ente sí como se muesta en la fig. de la deecha. i 1 = i 0 sen!t i 2 = i 0 sen(!t " 90 ) Esta coiente que está fomada po dos fases ecibe el nombe de "Coiente Bifásica" Una coiente bifásica popociona más potencia que una monofásica debido que cuando una fase se encuenta en el mínimo de coiente la ota fase se encuente en el máximo. Coientes tifásicas De foma simila se poduce la coiente tifásica que tiene uso industial. Este conjunto de espias poduce po lo tanto tes fases. i 1 = i 0 sen!t i 2 = i 0 sen (!t "120 ) i 3 = i 0 sen (!t " 240 ) 41

7 Rectificadoes Son dispositivos que se colocan en un cicuito con la finalidad de conveti la coiente altena CA en coiente continua CC. Recodemos que en un cicuito de CA la coiente cambia de sentido cada medio ciclo como se muesta en la fig. Un ectificado pemite que la coiente en un cicuito cicule en un solo sentido. De esa foma se conviete una coiente CA en una coiente CC o sea una coiente altema ectificada se conviente en una coiente continua oscilante. Son ectificadoes los diodos de tubo y los tansistoes. ente otos. Apaatos de medida en cicuitos de coiente altena Como vimos anteiomente los apaatos de medida funcionan en base a un galvanómeto, que es un conjunto de espias po las cuales cicula una coiente y que se encuentan ubicadas en un campo magnético. Po medio de la deflexión de una aguja podemos detemina la intensidad de coiente, paa lo cual la coiente debe cicula en un solo sentido. Po lo tanto en los apaatos de medida de CA se debe ectifica la coiente que pasa po el apaato de medida. A continuación colocamos dos fomas de ectificación en este tipo de apaatos. 42

8 Si la coiente de acuedo a la ectificación del cicuita pesenta dos posibilidades a segui, ecuede que ella seguiá el camino que vaya desde los puntos de mayo a meno potencial. Poblemas Poblema 1 H (V) 11 (N) La figua muesta una baa de cobe que se mueve con una velocidad v paalelamente a un alambe ecto lago que lleva una coiente i. Calcúlese la fem inducida en la baa, suponiendo que v = 5.0 m/seg, i = 100 amp, a = 1.0 cm. y b = 20 cm. Respuesta:! = 3.0 "10 #4 volts Datos La baa de cobe es un conducto po lo tanto posee electones libes que se pueden desplaza po la acción de una fueza. v es la velocidad de la baa paalela al alambe. i es la coiente del alambe lago que poduce un campo magnético en el cual se mueve la baa. fem =? v = 5.0 m/seg i = 100 amp a = 1.0 cm b = 20 cm 43

9 Análisis físico Hacemos pimeo un análisis físico de la situación, paa aveigua que le sucede a la baa cuando se desplaza paalelamente en el campo magnético poducido po un alambe lago po el cual cicula coiente. La baa se mueve paalelamente al alambe, po lo tanto los electones y potones que foman pate de su estuctua se mueven veticalmente con la misma velocidad. Recodemos que una patícula cagada en movimiento en un campo magnético expeimenta una fueza. Po lo tanto los electones y potones que existen en la baa expeimentan dicha fueza. Debido a que solamente los electones tienen libetad de movese, ellos se desplazaán po el efecto de la fueza magnética y se ián acumulando en el extemo deecho de la baa poduciendo en dicho extemo un exceso de caga negativa y una falta de caga negativa en el oto extemo, que de esta manea queda cagado positivamente. Esta acumulación de caga en los extemos de la baa cea, en el inteio de ella, un campo eléctico que tiene el sentido que se indica la figua. Debido a que el campo eléctico es popocional a la caga, mientas más caga se acumule en los extemos de la baa, mayo seá la intensidad del campo. Debido a este campo eléctico tenemos que sobe las patículas que constituyen la baa actúan ota fueza de tipo eléctico que tiene sentido opuesto a la fueza magnética. Po lo tanto los electones se moveán solamente hasta que ambas fuezas se igualen. Plan de solución Ahoa que sabemos lo que físicamente sucede podemos aboda el poblema. Tenemos entonces que la acumulación de caga en los extemos de la baa es la esponsable de la difeencia de potencial que apaece. Recodemos la expesión paa la difeencia de potencial ente dos puntos V a!b = " E #dl $ (1-P1) Paa pode utiliza dicha expesión debemos conoce el campo eléctico que existe ente los extemos de la baa. 44

10 Puesto que el campo eléctico apaece en la expesión de la fueza eléctica F e = qe entonces podemos obtenelo de la igualdad de la fueza eléctica y magnética que existe en la situación de equilibio. Solución De la expesión (1-P1) consideando que! = 0 y dl = dx tenemos la siguiente expesión V a!b = " $ E #dl = -$ E #dx (2-P1) paa la difeencia de potencial o fem (fueza electomotiz) ente los extemos de la baa. Necesitamos entonces enconta pimeo el campo eléctico E. Puesto que en la situación de equilibio la fueza eléctica y magnética son de igual magnitud tenemos F m = F e. qvb sen" = qe ya que " = 90 obtenemos paa el campo eléctico la siguiente expesión E = vb Reemplazando el campo eléctico en (2-P1) tenemos entonces: V a!b = -" vb dx (3-P1) donde B es el campo magnético poducido po el alambe lago que lleva una coiente i po lo tanto B = µ 0i 2!x eemplazando (4-P1) en (3-P1) tenemos (4-P1) V a!b = " µ 0iv 2# $ dx x Resolviendo la integal tenemos: 45

11 V a!b = " µ 0iv 2# ln b a Reemplazando en esta expesión los valoes numéicos del poblema y ecodando que µ 0 = 4! "10 #7 Webe / ma Tenemos fem = V a!b = "3.0 #10 "4 Volts El signo - solamente indica que el punto b tiene meno potencial que el punto a. Del poblema que acabamos de analiza vemos que cuando una baa conductoa se mueve en un campo magnético apaece en sus extemos una difeencia de potencial. Diga qué sucede si a la baa del poblema, le unimos sus extemos po un alambe conducto como se muesta en la figua 1 y 2? Si analizamos dichas situaciones consideando que la vaiación del flujo magnético a tavés de una espia conductoa ceada poduce una coiente inducida, tenemos que en la figua 1 cicula coiente no así en la figua 2. i v i v v figua 1 figua 2 Explique que sucede en cada caso y aclae la apaente contadicción que se pesenta. 46

12 Poblema 2 Una baa metálica de longitud L = 25 cm., po cuyos extemos pasan dos vaillas conductoas como se muesta en la fig, se desplaza hacia abajo con apidez constante v = 5 m / seg, pependicula a un campo unifome de inducción magnética B = 10 Tesla. La esistencia del cicuito ABCD es R = 15! y se supone constante. El oce ente las baas y las vaillas es despeciable. B l a b V c d x a) Enconta la magnitud e indica el sentido de la coiente inducida. b) Enconta la masa que debe tene la baa paa que descienda con la apidez constante antes indicada. Solución a) El sentido de la coiente inducida es sentido hoaio. Debido a que la baa va descendiendo disminuye el áea fomada po la baa y las vaillas conductoas, po lo tanto disminuye el flujo del campo magnético, lo que hace que apaezca una coiente inducida que poduce un campo en el mismo sentido del campo magnético exteno existente. Tenemos i =! donde! = " d# B R dt! B = " B ds = " BdS cos 0 = B" ds = Blx " = #Bl dx dt = Blv i = Blv R i = 0.83 amp 47

13 b) Paa que la baa descienda con velocidad constante la suma de las fuezas que actúan sobe ella debe se igual a ceo. Po lo tanto P = F m mg = ilb m = ilb g = Kg a b c F m P l i d B x Inductancia Al conecta un bombillo a una fuente de coiente continua se puede obseva que pende instantáneamente, en cambio al conecta en seie con el bombillo una bobina se puede obseva que el bombillo pende lentamente hasta alcanza un billo estable meno que en la conexión anteio. La disminución del billo del bombillo se debe a la esistencia de la bobina que se agegó al cicuito. En cambio la lentitud en pendese se debe a lo oposición que ejece la bobina a que la coiente cezca hasta su valo máximo en dicha conexión. Paa entende mejo este último aspecto ecodemos las Leyes de Faaday y de Lenz. Tenemos de acuedo a la Ley de Faaday que si existe una vaiación de flujo magnético a tavés de una espia en ella apaece una fueza electomotiz que genea una coiente. Este efecto se poduce tanto si la vaiación de flujo es debida a un agente exteno o si es poducida po una coiente, vaiable en el tiempo, que cicula en la misma espia. En este caso tenemos que la coiente esultante que cicula po dicha espia estaá dada po la suma algebaica de dichas coientes. Paa conoce el sentido de dicha coiente se utiliza la Ley de Lenz :"la coiente inducida apaece en un sentido tal que se opone a la causa que la poduce" Analicemos con más detalle la aplicación de esta Ley paa las siguientes situaciones físicas: 48

14 a) La coiente en una bobina aumenta. b) La coiente en una bobina disminuye. a) Si la coiente que ataviesa un bobina aumenta, en ella apaece un fueza electomotiz inducida que impulsa una coiente en sentido contaio paa oponese a dicho aumento. b) Si la coiente que ataviesa un bobina decece, en ella apaece un fueza electomotiz inducida que impulsa una coiente en el mismo sentido paa oponese a dicha disminución. i aumenta i disminuye En el expeimento que se descibe anteiomente, aunque la bobina está conectada a una fuente de coiente continua, que es constante a tavés del tiempo, en su momento inicial existe un aumento de coiente desde 0 al valo constante paa ese cicuito, este aumento de coiente poduce en la bobina una vaiación del campo magnético y po lo tanto del flujo magnético que pasa a tavés de ella, geneando una coiente inducida que se opone a dicho aumento de coiente. Po esta azón es que el bombillo al esta conectado en seie con una bobina se demoa un intevalo de tiempo en alcanza su coiente máxima paa ese cicuito. Las bobinas po lo tanto pesentan una oposición a la coiente en aquellos cicuitos que las coientes son vaiables en el tiempo como es el caso de la coiente altena. Paa enconta los paámetos que caacteizan a una bobina analicemos el flujo magnético a tavés de ella. Tenemos que el flujo depende de la intensidad de coiente que cicula po la bobina y del númeo de vueltas N! B " i (23T) Podemos intoduci una constante y escibi la expesión (23T) como N! B = Li (24T) donde L es una constante de popocionalidad y se denomina Inductancia de la bobina. 49

15 Si eemplazamos (24T) en la Ley de Faaday tenemos! = "L di dt de donde obtemos que L =! ", de esta expesión se define la unidad de la di dt inductancia volt! seg = Heny amp Paa calcula inductancias se utiliza la expesión (24T) de donde obtenemos que L = N! B i (25T) La inductancia L depende de la estuctua geomética de la bobina de foma simila como la capacidad de los condensadoes. Tansfomado Es un dispositivo que está compuesto po dos bobinas que están enolladas en un núcleo de hieo que las une, como se muesta en la fig La bobina 1 esta conectada a una fuente de coiente altena po lo tanto la coiente que cicula po ella es vaiable en el tiempo. Esto hace que en la bobina 1 apaezca una fueza electomotiz inducida! 1! 1 = " d(n 1# B1 ) (26T) dt A tavés del núcleo de hieo que une a ambas bobinas se tansmite el flujo magnético poduciendo en la bobina 2 una fueza electomotiz inducida! 2! 2 = " d(n 2# B2 ) dt (27T) Si no existe pédida de flujo! B1 =! B2 tenemos entonces combinando (26T) y (27T) que las fuezas electomotices en ambas bobinas están elacionadas po 50

16 ! 1 N 1 =! 2 N 2 (28T) Paa elaciona la fueza electomotiz! 1 con la fueza electomotiz! que popociona el geneado de coiente altena, aplicamos Kichoff al cicuito de la izquieda. Puesto que la coiente cambia de sentido con el tiempo y tiene intevalos en los cuales es ceciente y otos en los cuales es dececiente, tomaemos paa escibi esta ecuación un intevalo de tiempo en el cual la coiente esta aumentando y tiene el sentido que se indica en la fig. En un instante de tiempo Tenemos entonces que! "! 1 = 0!! =! 1 eemplazando en (28T) tenemos! 2 =! N 2 N 1 (29T) De donde vemos que fueza electomotiz! 2 es popocional al númeo de vueltas del secundaio A pati de la expesión (29T) tenemos que si: a) N 2 > N 1 N 2 N 1 > 1!! 2 >! el tansfomado se llama elevado b) N 2 < N 1 N 2 N 1 < 1!! 2 <! el tanfomado se llama educto. 51

17 Poblema 3 Calcula la inductancia de un solenoide ideal de espias cuadadas adyacentes muy pegadas, que tiene una longitud l y n vueltas po unidad de longitud. El áea tasvesal del solenoide es A. Se considea un solenoide ideal, a un solenoide en el cual su longitud es mucho mayo que su diámeto. En dicho solenoide si las espias están muy juntas ente sí, se puede considea que paa puntos exteioes póximos a la zona cental el campo magnético es nulo. Solución Calculaemos la inductancia utilizando la expesión L = N! B i Supongamos que la coiente que cicula po la bobina es i 0 puesto que! B = BA y N = nl tenemos L = nlba i 0 (1-P3) De esta expesión vemos que paa enconta la inductancia debemos conoce el campo magnético dento del solenoide. Paa enconta dicho campo aplicamos la Ley de Ampée a la tayectoia que se indica en la fig. La coiente enlazada po esta tayectoia es i 0 n siendo n el númeo de vueltas po unidad de longitud. Tenemos entonces paa la Ley de Ampée b B dl = B! dl + B d l +!! B d l +! B dl = µ 0 i 0 nh (2-P3)! a c b d c a d 52

18 Los integales a lo lago de las tayectoias b! c y d! a se anulan po se B!dl, a lo lago de la tayectoia c! d el integal se anula po se el campo magnético nulo fuea del solenoide. Ya que el campo magnético es constante dento del solenoide a pati de la expesión (2-P3) tenemos b B! dl = B dl cos 0 = B dl = µ!! 0 i 0 nh a b a Puesto que la longitud ente los puntos a! b es h tenemos finalmente b a B = µ o ni 0 (3-P3) Reemplazando esta expesión en (1-P3) se tiene L = µ o n 2 la Poblema 4 Deívese una expesión paa la inductancia de un tooide de sección tansvesal ectangula como se muesta en la fig. Obtenga su valo numéico paa N =10 3, a = 5.0cm, b = 10cm y h = 1.0cm Solución Calculamos la inductancia po medio de la expesión L = N! B (1-P4) i Po lo tanto debemos calcula en pime luga el campo magnético paa pode enconta el flujo magnético y eemplazalo en la expesión(1-p4) Cálculo del campo magnético paa un tooide En la fig.se muesta un tooide de adios a y b. Tenemos que la líneas de campo magnético B paa el tooide son cículos concénticos. Po lo tanto podemos aplica la Ley de Ampée a una tayectoia cicula de adio. Consideando que po el alambe que foma el enollado del tooide cicula una coiente i 0 y que el tooide tiene N vueltas tenemos 53

19 B d l = µ! o i 0 N (1-P4) (B)(2!) = µ o i o N y po lo tanto B = µ oi o N 2! De esta expesión vemos que el campo magnético no es unifome y vaía con el adio, po lo tanto el flujo debemos calculalo po la expesión! B = B ds Po lo tanto el flujo! B paa la sección tansvesal del tooide es: "! B = B ds = µ B ds cos0 = (B)(hd) = " o i o N " " " 2# hd Siendo hd el áea de la tia elemental que se muesta en la figua. Recodando que la coiente que cicula po la bobina es i 0 tenemos a pati de la ecuación (1-P4) b a b a L = N! B i o = µ o N 2 h ln b 2" a L = (4! "10#7 webe amp # m)(10 3 ) 2 (1.0 "10 #2 m) ln 10 "10#2 m 2! 5 "10 #2 m = 1.4 "10#3 webe amp = 1.4mh L =1.4mh 54