Geometría 2/2. Material UA. Material propiedad de sus autores. Ojo tiene errores. Magisterio Infantil - Primaria

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1 Geometía 2/2 Mateial U Mateial popiedad de sus autoes. Ojo tiene eoes Magisteio Infantil Pimaia / licante 84 Junto Telepizza info@academiaup.es

2 Univesidad de licante FIGURS IRULRES. ELEMENTOS IRUNFERENI E ENTRO Y RIO R, luga geomético de los puntos del plano que equidistan del punto. ELEMENTOS GEOMÉTRIOS E L IRUNFERENI Y EL ÍRULO IRUNFERENI, luga geomético fomado po un conjunto de puntos que equidistan del cento ÍRULO, figua plana fomada po una cicunfeencia más toda su egión o áea inteio RIO, segmento que une el cento con un punto cualquiea de la cicunfeencia IÁMETRO, cueda de longitud máima que une dos puntos de la cicunfeencia que pasa po el cento. (cueda que pasa po el cento, se tiene que da o eplicita). UER, segmento que une dos puntos de la cicunfeencia RO E UN IRUNFERENI, tozo de cicunfeencia limitado po dos puntos de ella. SETOR IRULR, pate del cículo compendida ente los dos adios el aco compendido ente ellos. SEGMENTO IRULR, pate del cículo compendido ente una cueda el aco que delimita. ORON IRULR, supeficie compendida ente dos cicunfeencias concénticas, una eteio ota inteio. TRPEIO IRULR, pate de la coona cicula compendida ente dos adios. epende del adio inteio (), del adio eteio (R) del ángulo Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 1 de 101

3 Univesidad de licante ÁNGULOS E UN IRUNFERENI Según la posición del vétice especto a la cicunfeencia son: ENTRL, tiene su vétice en O, cento de la cicunfeencia, un aco asociado, PQ. El ángulo se ángulo cental su medida es la medida angula de PQ. ÁNGULOS EXÉNTRIOS, no tiene el vétice en el cento de la cicunfeencia INTERIOR, tiene el vétice en el inteio de la cicunfeencia EXTERIOR, tiene el vétice en el eteio de la cicunfeencia INSRITO, tiene el vétice en la cicunfeencia los lados son dos cuedas. Los ángulos α, β son ángulos inscitos. Sus vétices están sobe la cicunfeencia. En el ángulo α, el vétice está sobe la cicunfeencia los lados P Q son cuedas de la cicunfeencia. En el ángulo β, el vétice está sobe la cicunfeencia los lados P Q son cuedas. SEMIINSRITO, tiene el vétice sobe la cicunfeencia, un lado es una cueda el oto una tangente Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 2 de 101

4 Univesidad de licante ÁNGULOS ENTRLES asociados a los acos de los ángulos: O O Inteio Eteio O O Inscito Semiinscito PROPIEES EL ÁNGULO INSRITO El ángulo cental asociado a un ángulo inscito es el doble de dicho ángulo (el ángulo inscito es la mitad que el ángulo cental). Nota: todos los ángulos inscitos de una cueda o aco tienen el mismo ángulo cental, son iguales. Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 3 de 101

5 Univesidad de licante TIVIES SORE ÁNGULOS EN UN IRUNFERENI 1. Indica si las afimaciones siguientes son siempe vedad, algunas veces, o nunca. Justifica tus decisiones. Un adio de una cicunfeencia puede tene sus etemos sobe la cicunfeencia No poque seía una cueda Un diámeto de una cicunfeencia es una cueda Sí, poque el diámeto es una cueda que pasa po el cento Una cueda de una cicunfeencia es un diámeto lgunas veces, sólo si pasa po el cento. La medida de un adio es la mitad de la longitud de un diámeto Sí, siempe La distancia ente el cento de una cicunfeencia un punto sobe la cicunfeencia es igual a la longitud del adio Sí 2. Pueba que la medida del ángulo inscito en una cicunfeencia es igual a la mitad del aco compendido ente sus lados O Qué tipo de tiángulo es el que uno de sus lados coincide con el diámeto de su cicunfeencia cicunscita? Justifica tu espuesta. Tenemos que es un diámeto a que divide la cicunfeencia en dos pates iguales. Tenemos que es un ángulo inscito cuo aco tiene un O ángulo cental asociado de 180º. Sabemos que el ángulo cental asociado a un ángulo inscito 180º es el doble, entonces. Po lo tanto el tiángulo en el que uno de los lados coincide con el diámeto de su cicunfeencia cicunscita es el ectángulo. Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 4 de 101

6 Univesidad de licante 4. Justifica po qué los tiángulos tienen los ángulos iguales cómo son los tiángulos? ecimos que las medidas de que. omo el ángulo el son opuestos po el vétice entonces son conguentes,. Tenemos que es un ángulo inscito con aco asociado M Tenemos que es un ángulo inscito con aco asociado omo los ángulos inscitos de un mismo aco asociado son conguentes entonces. ado el tiángulo, sabemos que la suma de sus ángulos intenos es 180º;. omo entonces ado el tiángulo, sabemos que la suma de sus ángulos intenos es 180º;. omo entonces Po lo tanto, los tiángulos son semejantes. 5. Si el ángulo es ecto. uánto miden los ángulos,,? Justifica tu espuesta Identificamos el ángulo inscito cuo ángulo cental asociado es. omo el ángulo cental asociado a cualquie ángulo inscito es el doble del ángulo inscito entonces. omo entonces Identificamos los ángulos inscitos, cuo ángulo cental asociado es. omo los ángulos inscitos con el mismo ángulo cental asociado miden lo mismo; entonces. Nota: el ángulo cental se identifica con el aco Tenemos que el ángulo tiene como ángulo cental asociado al ángulo que es ecto,. omo el ángulo inscito es la mitad que el ángulo cental asociado entonces. Tenemos que es un ángulo inscito con aco asociado. Tenemos que es un ángulo inscito con aco asociado. Tenemos que es un ángulo inscito con aco asociado. omo los ángulos inscitos de un mismo aco son conguentes podemos deci que R O P Q Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 5 de 101

7 Univesidad de licante 6. Indica lo que miden los ángulos inscitos los acos en las siguientes figuas uál es la idea clave sobe la medida que has usado paa esolve esta actividad? Identificamos el ángulo cuo aco asociado mide 136º. omo el aco asociado a un ángulo inscito es el doble que el ángulo inscito; entonces. Identificamos el ángulo cuo aco asociado es b. omo el aco asociado a un ángulo inscito es el doble que el ángulo inscito el ángulo inscito ; entonces b=104º. Identificamos el tiángulo. omo la suma de los ángulos intenos de un tiángulo es 180º; entonces. Po lo tanto. Identificamos el ángulo cuo aco asociado es a. omo el aco asociado a un ángulo inscito es el doble que el ángulo inscito el ángulo inscito ; entonces a=30º. Identificamos el ángulo cuo ángulo cental asociado coincide con el diámeto de la cicunfeencia, es deci,. omo la medida del ángulo cental asociado es la misma que la del aco asociado entonces. omo el ángulo cental I asociado a un ángulo inscito es el doble que el del ángulo inscito; entonces. Identificamos el ángulo cuo aco asociado mide 80º. omo el aco asociado a un ángulo inscito es el doble que el ángulo inscito; entonces. Identificamos el tiángulo. omo la suma de los ángulos intenos de un tiángulo es 180º; entonces. Po lo tanto. Identificamos el ángulo cuo aco asociado es j. omo el aco asociado a un ángulo inscito es el doble que el ángulo inscito el ángulo inscito ; entonces j=100º. E H F Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 6 de 101

8 Univesidad de licante Identificamos el ángulo cuo aco asociado es l+52º. omo la medida del aco asociado es el doble que la del ángulo inscito; entonces l=168º52º l=116º. Identificamos el ángulo cuo aco asociado mide 52º+76º=118º. omo el aco asociado a un ángulo inscito es el doble que el ángulo inscito; entonces. omo una cicunfeencia completa mide 360º; entonces l+m+52º+76º=360º, como l=116º m=360º244º m=116º. Identificamos el ángulo cuo aco asociado es l+m. omo la medida del aco asociado es el doble que la del ángulo inscito; entonces. Identificamos el ángulo cuo aco asociado es m+76º. omo la medida del aco asociado es el doble que la del ángulo inscito; entonces. K N R P Identificamos el ángulo cuo aco asociado es q+56º. omo la medida del aco asociado es el doble que la del ángulo inscito; entonces q=100º56º q=44º. W Identificamos el ángulo cuo aco asociado mide +56º. omo el aco asociado a un ángulo inscito es el doble que el ángulo inscito; entonces =176º56º =120º. omo una cicunfeencia completa mide 360º; entonces T s+q+56º+=360º, como =120º q=44º s+120º+44º=360º s+164º=360º s=196º. V U Identificamos el ángulo cuo aco asociado es s+q. omo la medida del aco asociado es el doble que la del ángulo inscito; entonces. Identificamos el ángulo cuo aco asociado es s+. omo la medida del aco asociado es el doble que la del ángulo inscito; entonces. Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 7 de 101

9 Univesidad de licante 7. En el diagama que sigue, las ectas m n son paalelas, qué miden los ángulos mencionados? Tenemos que es aco asociado del ángulo, como el aco asociado a un ángulo inscito es el doble que el ángulo inscito = a a=80º; entonces O omo los ángulos inscitos compaten el aco ; entonces son conguentes,. Tenemos dos ectas paalelas, mm, cotadas po el segmento que foman dos ángulos, que son altenos intenos, po lo tanto, conguentes, po lo tanto La cueda pasa po el cento dividiendo la cicunfeencia en 2 pates conguentes, po lo tanto es el diámeto su ángulo es de 180º. on lo cual +=180º 80+=180º =100º Tenemos que es el aco asociado del ángulo, como el aco asociado de un ángulo inscito es el doble que el ángulo inscito; entonces 8. En la cicunfeencia dada, indica lo que mide cada ángulo sin medilo, sabiendo que el aco mide 84º Identificamos los ángulos,,, 84º, w Tenemos que es ángulo inscito asociado a la cueda. omo la cueda asociada a un ángulo inscito es el doble v s que el ángulo inscito entonces. Tenemos que, son ángulos inscitos asociados a la u misma cueda,. omo los ángulos inscitos asociados a la misma cueda son conguentes entonces. Tenemos que E es la cueda que pasa po el cento de la cicunfeencia dividiéndola en dos pates conguentes de 180º cada una. omo E coincide con el ángulo podemos deci que. Tenemos que es un ángulo cental cuo aco asociado es 84º, po lo tanto =84º. Tenemos que E es la cueda que pasa po el cento de la cicunfeencia dividiéndola en dos pates conguentes de 180º cada una. omo E es un ángulo de 180º que contiene a los ángulos suplementaios podemos deci que +=180º. Sabemos que =84º, po lo tanto 84º+=180º =96º Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 8 de 101

10 Univesidad de licante 9. La cueda de un aco que es suma de dos acos, es la suma de las cuedas de estos? O La cueda del aco es la suma de los acos, peo la cueda del aco la del aco no es la cueda a que el segmento es meno a la suma de los segmentos. 10. emosta que la cueda del aco cuo ángulo cental es 60º, es igual al adio. Se alagan los segmentos obteniendo los puntos que llamamos. Tenemos que es ángulo opuesto po el vétice al ángulo ; entonces son conguentes,. omo entonces =60º. Tenemos que es ángulo opuesto po el vétice al ángulo ; entonces son conguentes,. 60º a b 60º 120º 120º Sabemos que la vuelta completa de una cicunfeencia son 360º; entonces 60º+++=360º. omo =60º =; entonces 60º+60º++=360º 120º+2=360º on lo que obtenemos las cuedas =120º. Tenemos que los ángulos del tiángulo son conguentes, po lo tanto se tata de un tiángulo equiláteo, que tiene todos sus lados conguentes, es deci =. 11. ado un aco, indica cómo enconta el cento de la cicunfeencia. Justifica el pocedimiento ( en qué popiedad geomética te apoas?). Elegimos un punto del aco tazamos las cuedas. Llamamos a la mediatiz del segmento a la mediatiz del segmento. Llamamos O al punto de cote ente las dos mediatices. Si O está en la mediatiz de de podemos deci que equidista de de. Si O está en la mediatiz de de podemos deci que equidista de de. Po lo tanto podemos deci que O es el cento poque equidista de los tes puntos. O Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 9 de 101

11 Univesidad de licante 12. En una misma cicunfeencia o en cicunfeencias iguales, a cuedas iguales coesponden acos iguales. [Si =E entonces aco =aco E] Tenemos que es el ángulo cental del aco, po lo tanto. Tenemos que es el ángulo cental del aco E, po lo tanto. Tenemos dos tiángulos que cumplen el citeio LL: L Los lados son conguentes poque son adios de una misma cicunfeencia Tenemos los ángulos que son conguentes poque tienen la misma medida. L Los lados E son conguentes poque son adios de una misma cicunfeencia. Po el citeio LL los dos tiángulos son conguentes. omo hemos visto que dos paes de lados de dos tiángulos conguentes son conguentes tenemos que el tece lado de dos tiángulos conguentes es conguente. 13. En una misma cicunfeencia o en cicunfeencias iguales, a acos iguales coesponden cuedas iguales. Tenemos que es el ángulo cental del aco, po lo tanto. Tenemos que es el ángulo cental del aco, po lo tanto. 2 O 2 Tenemos dos tiángulos que cumplen el citeio LL:. 2 2 L Los lados son conguentes,, poque son adios de una misma cicunfeencia Tenemos los ángulos son conguentes, poque tienen la misma medida. L Los lados son conguentes,, poque son adios de una misma cicunfeencia Po el citeio LL los dos tiángulos son conguentes. omo hemos visto que estos dos tiángulos conguentes tienen dos paes de lados conguentes entonces podemos deci que el tece pa de lados también es conguente,, po lo tanto, a acos iguales coesponden cuedas iguales. Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 10 de 101

12 Univesidad de licante 14. Poba que el diámeto pependicula a una cueda es su mediatiz. Tenemos el aco tiene como cueda el segmento. Tazamos la mediatiz del segmento que, como es la ecta pependicula que pasa po el punto medio de dicho segmento, sabemos que pasaá po el cento de la cicunfeencia. Si dicho segmento lo alagamos hasta el etemo opuesto de la cicunfeencia obtenemos el diámeto de la cicunfeencia. Po lo tanto la mediatiz de la cueda (segmento ) es el diámeto de la cicunfeencia. O EJERIIOS EXTR uánto vale? Sabemos que es ángulo inscito del aco Sabemos que es ángulo inscito del aco omo los ángulos inscitos de un mismo aco son iguales podemos deci que onsideamos el tiángulo ; omo la suma de sus ángulos inteioes es 180º entonces. omo, ; entonces 90º+20º+=180º =180º110º =70º. El ángulo mide 70º 20º M O Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 11 de 101

13 Univesidad de licante FIGURS GEOMÉTRIS SEMEJNTES os FIGURS GEOMÉTRIS son SEMEJNTES si tienen la misma foma, peo no el mismo tamaño, si una es un modelo eacto a escala de la ota. En POLÍGONOS, ha de cumplise que sus ángulos sean conguentes (iguales) sus lados popocionales según una azón o elación constante, azón de semejanza o escala k. EJEMPLO: os figuas son semejantes si: Sus ángulos son conguentes,,,, Sus lados son popocionales según la constante k.. Po lo tanto, Ejemplo: dados los cuadados de vétices, si se designa po k la azón de semejanza, se veifica que:. Los cuadados de vétices son semejantes a que sus ángulos son iguales sus lados son popocionales según la azón de semejanza Nota: Han de cumplise las dos condiciones poque dos figuas pueden: 4 E a e 2 b 1 c 1 d 2 Tene los lados iguales, po lo que son popocionales, peo no se semejantes poque no tienen ángulos conguentes. 8 E a e c 4 4 b d 2 2 Tene ángulos conguentes, en este caso ectos, peo no se semejantes poque no tienen lados popocionales. EJEMPLO: os figuas son semejantes si: a) Sus ángulos son conguentes,,,, b) Sus lados son popocionales según la constante k.. Po lo tanto, a 4 e E 2 b 1 c 1 d 2 8 a c 4 b 2 2 d E e 4 Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 12 de 101

14 Univesidad de licante TRIÁNGULOS SEMEJNTES os tiángulos de vétices son semejantes si veifican dos condiciones: Los lados coespondientes popocionales: Los ángulos coespondientes conguentes (iguales): ; ; RTERIZIÓN E LOS TRIÁNGULOS: Popiedad 1. Si dado un tiángulo tazamos una paalela,, a uno de sus lados,, el tiángulo esultante es semejante al tiángulo. os tiángulos son semejantes si sus ángulos son conguentes emostación: los tiángulos tienen sus ángulos conguentes (iguales) sus lados popocionales,. Tenemos que es común a que los ángulos que foman, α, son altenosintenos, a que los segmentos son paalelos, opuestos po el vétice. Tenemos que es común a que los ángulos que foman,, son altenosintenos, a que los segmentos son paalelos opuestos po el vétice. Po tanto los ángulos coespondientes son conguentes (iguales). Ejemplo: 80º 80º 40º 60º 40º 60º Los lados coespondientes son conguentes Según la popiedad Toda paalela a un lado de un tiángulo divide a los otos dos lados en pates N popocionales tenemos que paalela a que misma azón: Ejemplo:, de lo que se deduce Se taza una paalela a po N obteniendo se obseva que es conguente (igual) a po la Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 13 de 101

15 Univesidad de licante os tiángulos están en POSIIÓN E TLES si compaten un mismo ángulo los lados son paalelos, es deci, según la popiedad los lados coespondientes son conguentes. Po tanto los tiángulos, son semejantes. TEOREM E TLES: dos ectas secantes cotadas po familias de ectas paalelas dan luga a segmentos popocionales. RITERIOS E SEMEJNZ E TRIÁNGULOS M N ados los tiángulos se toma sobe un punto M tal que se taza paalela a obteniendo el tiángulo pacial es semejante al tiángulo. 1. iteio. os tiángulos son semejantes si tienen tes ángulos espectivamente conguentes (iguales) (según la caacteización 1: dos tiángulos son semejantes si sus ángulos son conguentes). emostación. Sabemos que ; ;. Los tiángulos tienen: El ángulo conguente al ángulo, po se coespondientes ente paalelas, conguente al ángulo, a que po hipótesis. El ángulo es conguente con el ángulo po hipótesis Según el citeio de conguencia de tiángulos L, los tiángulos son conguentes, po lo que como el tiángulo es semejante al tiángulo, también lo es al tiángulo. M N Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 14 de 101

16 Univesidad de licante 2. iteio LL. os tiángulos son semejantes si tienen dos paes de lados coespondientes popocionales los espectivos ángulos compendidos ente ellos son conguentes. emostación. Sabemos que además. Sus lados seán popocionales omo, entonces. on esta igualdad la de la hipótesis, llegamos a que Los tiángulos tienen: El ángulo igual al po se coespondientes ente paalelas, conguente al ángulo, a que po hipótesis. Según el citeio de conguencia de tiángulos LL, los tiángulos son conguentes, po lo que como el tiángulo es semejante al tiángulo, también lo seá del tiángulo 3. iteio LLL. os tiángulos son semejantes si tienen los tes lados espectivamente popocionales (según la caacteización 2: dos tiángulos son semejantes si sus lados coespondientes son conguentes). emostación. Sabemos que además. Sus lados seán popocionales. Si se compaan las dos igualdades se obtiene que, Po tanto, los tiángulos tienen: Según el citeio de conguencia de tiángulos LLL, los tiángulos son conguentes, po lo tanto el tiángulo es semejante al tiángulo, también lo es al tiángulo 4. iteio L. os tiángulos son semejantes si tienen dos paes de ángulos iguales el lado coespondiente ente ellos es popocional. M M N N 7 100º 4 100º 60º iteio onguencia Semejanza L LL LLL onguencia de lados Popocionalidad de lados 60º Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 15 de 101

17 Univesidad de licante IMPORTNI del estudio de la semejanza de tiángulos, todo polígono se puede descompone en tiángulos. sí, dos polígonos son semejantes si al descomponelos en tiángulos, éstos son semejantes dos a dos con la misma azón de semejanza. ONSTRUIÓN E FIGURS SEMEJNTES Se ealiza aplicando sucesivamente el teoema de Tales a los difeentes paes de puntos coespondientes patiendo de un vétice común, cento de semejanza, que puede se: El cento de semejanza es un punto eteio a la figua. Según la azón o escala 1:3 O Se tazan desde el cento de semejanza O las semiectas O, O O. Se taza de modo que O =3O Patiendo de se tazan los lados, paalelos a los dados. e modo que los tiángulos son semejantes a que tienen ángulos conguentes, poque los lados que los foman son paalelos, los lados popocionales tal que El cento de semejanza es un vétice de la figua. Según la azón 2:1 E E O== esde el cento de semejanza se tazan las semiectas Se taza de modo que =2 Patiendo de se tazan los lados, E paalelos a los dados. e modo que los pentágonos son semejantes a que tienen ángulos conguentes, poque los lados que los foman son paalelos, los lados popocionales po se tiángulos en posición de Tales: con, con E con E. Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 16 de 101

18 Univesidad de licante El cento de semejanza es un punto inteio a la figua. Según la azón 1:3 O esde el cento de semejanza O se tazan las semiectas O, O O Se taza de modo que O =2O Patiendo de se tazan los lados, paalelos a los dados. e modo que los tiángulos son semejantes a que tienen ángulos conguentes, poque los lados que los foman son paalelos, los lados popocionales po se tiángulos en posición de Tales: O con O, O con O O con O. RELIÓN ENTRE PERÍMETRO Y ÁRE E FIGURS 1. PERÍMETRO a b c Si ha dos figuas semejantes sus peímetos son popocionales 2. ÁRE c a c b a b Las áeas de dos figuas es el cuadado de la constante de popocionalidad. Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 17 de 101

19 Univesidad de licante EJERIIOS EXTR 1) Sabiendo que son semejantes, calcula, eplicando qué popiedad utilizas en cada caso: a b =12,5 c a) Paa aveigua utilizamos la popiedad de la suma de los ángulos intenos del tiángulo, po lo que, po lo que, es deci, omo el peímeto es igual a la suma de los lados del polígono entonces. omo el áea de un tiángulo se halla multiplicando la base po la altua dividiendo po dos entonces, po lo que. omo son semejantes entonces sus lados coespondientes son popocionales según una azón de semejanza, po lo que. omo sabemos la medida de b b entonces b) omo son semejantes entonces sus lados coespondientes son popocionales según una azón de semejanza Sabemos que, po lo que que. Po lo tanto. omo son semejantes entonces sus ángulos coespondientes son conguentes, po lo que ; ;. Entonces ; ; c) omo los peímetos de dos figuas semejantes son popocionales según la constante de popocionalidad sabemos que que, entonces. Po lo tanto. omo las áeas de dos figuas semejantes son el cuadado de la constante de popocionalidad sabemos que que, entonces. Po lo tanto,. 105º a=3 h=2 60º c=7 b=5 a) b) c) Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 18 de 101

20 Univesidad de licante TIVIES. FIGURS GEOMÉTRIS SEMEJNTES 1. Identifica figuas semejantes ente las siguientes: 2. Las dimensiones de un ectángulo son 12 cm 16 cm. Elige ente los siguientes un ectángulo semejante a él. Justifica tu espuesta. a) 24 cm 34 cm b) 6 cm 7 cm c) 18 cm 24 cm d) 3 cm 8 cm 3. Los lados de un tiángulo miden 3 cm, 4 cm 5 cm. Oto tiángulo semejante tiene po coespondiente del mao un lado que mide 20 cm. uál es la azón de semejanza? Halla los estantes lados. 4 Los tiángulos dados son semejantes poque sus lados 3 a b coespondientes son popocionales según la azón de popoción 5 5a=80 a=16 5b=60 b=12 20 Po lo tanto la azón de popoción es Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 19 de 101

21 Univesidad de licante 4. os tiángulos ectángulos tienen un ángulo agudo que mide 40º son semejantes? Esta afimación se cumpliá siempe paa cualquie pa de tiángulos ectángulos? Justifícalo. E 40º F En el tiángulo la suma de los ángulos intenos es 180º, po lo que, es deci,. Po lo tanto. En el tiángulo la suma de los ángulos intenos es 180º, po lo que, es deci,. Po lo tanto. Tenemos dos tiángulos,, que cumplen: 1 pa de ángulos conguentes,, po se tiángulo ectángulo. 1 pa de ángulos conguentes,, po el enunciado. 1 pa de ángulos conguentes,, po la suma de los ángulos intenos del tiántulo. Po el citeio de semejanza de tiángulos son semejantes. Tenemos dos tiángulos ectángulos que no son semejantes a que sus ángulos agudos no son semejantes. E 40º G 50º 30º 5. Razona si son semejantes los siguientes polígonos, en caso afimativo, calcula la azón de semejanza Sabemos que dos figuas son semejantes si: 2m 8m Sus ángulos son conguentes. omo se tata de dos heágonos egulaes, a que los lados de cada uno miden lo mismo, obtenemos que la medida de cada uno de los ángulos es. Sus lados son popocionales, según una constante omo se cumplen ambas condiciones se puede confima que son figuas semejantes. Sabemos que dos figuas son semejantes si: Sus ángulos son conguentes, sabemos que, po lo menos un pa de ángulos de ambas figuas son conguentes ente sí. Sus lados son popocionales, según una constante omo se cumplen ambas condiciones se puede confima que son figuas semejantes. 40º F 60º 50º 50º 8m 5m Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 20 de 101

22 Univesidad de licante Sabemos que dos figuas son semejantes si: Sus ángulos son conguentes. omo se tata de dos ectángulos sabemos que todos sus ángulos son conguentes que miden 90º Sus lados son popocionales, según una constante Puesto que sólo se cumple una de las condiciones estas no son figuas semejantes. 7m 6m 5m 4m 6. Razona si son semejantes los siguientes paes de tiángulos: Sabemos que dos tiángulos son semejantes si sus ángulos son conguentes. omo conocemos dos paes de ángulos, que son 40º 40º 30º conguentes ente sí, podemos deci que el 3º de los ángulos también lo 30º es. omo la suma de los ángulos intenos de un tiángulo es 180º podemos aveigua el valo del ángulo que falta mediante +30º+40º=180º, po lo que =110º. Po lo tanto ambos tiángulos son semejantes. Sabemos que dos tiángulos son semejantes si los lados coespondientes son conguentes según una azón de popoción. En este caso no son tiángulos semejantes poque sólo son popocionales dos de los lados, cua constante es k=2, peo no el teceo, cua constante es k=1. Según el citeio LL, dos tiángulos son semejantes si tienen dos paes de lados coespondientes popocionales los espectivos ángulos compendidos ente ellos son conguentes. Sabemos que los ángulos compendidos ente los lados son conguentes. Los paes de lados coespondientes son popocionales si,, po lo que los lados coespondientes son popocionales. omo se cumplen ambas condiciones podemos conclui que los tiángulos son semejantes. 7. alcula las dimensiones de un ectángulo cua diagonal mide 75 cm, sabiendo que es semejante a oto ectángulo cuos lados miden 36 cm 48 cm, espectivamente. alculamos la diagonal del ectángulo cuas dimensiones son utilizando el Teoema de Pitágoas, donde, po lo que omo los dos ectángulos son popocionales, entonces sus diagonales también lo son según la constante, po lo que. omo entonces. omo entonces. Po lo tanto las dimensiones del ectángulo semejante, cua diagonal mide 75cm, son 45cm 60cm. 4m 6m 5m 8m 10m 43º 12m 5m 16m 43º 8m 5m Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 21 de 101

23 Univesidad de licante 8. La azón de semejanza de dos cuadados es 1,5. El cuadado de meno tamaño tiene un peímeto de 20 cm. alcula el peímeto del cuadado mao el áea de cada uno de ellos. Qué elación ha ente los peímetos de polígonos semejantes? Qué elación ha ente las áeas de polígonos semejantes? Sabemos que el peímeto de una figua geomética es igual a la suma de sus lados, po lo que, es deci, po lo tanto omo la azón de semejanza es sabemos que, entonces, po lo que. omo el peímeto es la suma de los lados entonces, po lo que, entonces. omo el áea del cuadado es, entonces 9. Pueba que dos tiángulos ectángulos son semejantes si los catetos coespondientes son popocionales. Paa que dos tiángulos ectángulos sean semejantes se a tiene que cumpli que tenga: c a) Un ángulo agudo conguente, sabemos que, a po lo menos, tiene dos ángulos conguentes c, que sus catetos son popocionales, po lo que sus ángulos agudos b han de se conguentes, es deci b) os catetos popocionales, sabemos que los catetos de los dos tiángulos ectángulos son popocionales, entonces c) Popocional un cateto la hipotenusa, si los catetos de ambos tiángulos son popocionales también lo son con la hipotenusa, 10. ibuja un ectángulo cualquiea. onstue un ectángulo semejante a escala 2:1 con el cento de semejanza en uno de los vétices. b = Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 22 de 101

24 Univesidad de licante PROR 1 1. Poba que dos ángulos que tienen sus lados espectivamente pependiculaes son iguales o suplementaios (es deci suman dos ectos) Ha tes casos en los que : 1. os ángulos agudos atos: Lamamos a omo ; entonces. Si ; entonces. omo ; entonces. Si ; entonces. O omo ; entonces. Po lo tanto, es deci, po lo tanto 2. os ángulos obtusos atos: Lamamos a omo ; entonces. Si ; entonces. omo ; entonces. Si ; entonces. omo ; entonces. Po lo tanto O 3. Un ángulo agudo oto obtuso atos: omo una cicunfeencia completa mide 360º foman una cicunfeencia completa; entonces, po lo tanto,, Po lo que, es deci, son suplementaios. O Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 23 de 101

25 Univesidad de licante 2. Poba que las bisectices de dos ángulos adacentes son pependiculaes. Sabemos que son suplementaios, po tanto Llamamos a la bisectiz de si solo si Lamamos ON a la bisectiz de si solo si Tenemos que que, po lo tanto,,, es deci, con lo que se puede afima que las dos bisectices son pependiculaes. 3. Las bisectices de los ángulos opuestos po el vétice están en línea ecta (foman un ángulo llano) Identificamos los ángulos como ángulos opuestos po el vétice, po tanto, conguentes;. M Identificamos como la bisectiz de, a que se tata N del segmento que divide el ángulo en dos ángulos conguentes pasa po su vétice. O Identificamos como la bisectiz de, a que se tata del segmento que divide el ángulo en dos ángulos conguentes pasa po su vétice. N M omo son ángulos opuestos po el vétice la bisectiz de un ángulo pasa po el vétice del ángulo dividiéndolo dos iguales, entonces podemos deci que foman pate del segmento a que pasan po el mismo vétice. 4. Poba que todo punto de la bisectiz de un ángulo equidista de los lados de ese ángulo Sea P un punto peteneciente a t con t bisectiz de s Llamamos z al segmento. Si t es la bisectiz de s entonces: t z Tenemos un tiángulo, entonces la suma de sus ángulos intenos vale 180º, po lo tanto ; ; ; s Tenemos un tiángulo, entonces la suma de sus ángulos intenos vale 180º, po lo tanto ; ; ; O N O P M Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 24 de 101

26 Univesidad de licante Identificamos los tiángulos que cumplen: Tene 1 pa de ángulos conguentes, po la popiedad de la bisectiz. Tene 1 pa de lados conguentes po tene un lado común. Tene 1 pa de ángulos conguentes, po la suma de los ángulos intenos del tiángulo. Po lo tanto po el citeio L de conguencia de tiángulos los dos tiángulos son conguentes,. Tenemos que en el tiángulo el lado es opuesto al ángulo en el tiángulo el lado es opuesto al ángulo. omo en los tiángulos conguentes los lados opuestos de ángulos conguentes son conguentes; entonces, po lo tanto. Po lo tanto todo punto de la bisectiz de un ángulo equidista de los lados de ese ángulo. 5. Todo punto equidistante de los lados de un ángulo está sobe la bisectiz de ese ángulo Sea P un punto de la ecta t que divide al ángulo,,,. t biseca a? Llamamos z al segmento, al segmento al segmento. O P Si t es la bisectiz de s entonces: t z omo entonces el ángulo es ecto po lo tanto el tiángulo es ectángulo. omo la suma de s los ángulos intenos del tiángulo es 180º entonces ; ; ; omo entonces el ángulo es ecto po lo tanto el tiángulo es ectángulo. omo la suma de los ángulos intenos de un tiángulo es 180º entonces ; ; ; O z P Identificamos los tiángulos que cumplen: Tene 1 pa de lados conguentes,, po hipótesis. Tene 1 pa de ángulos conguentes, po enunciado. Tene 1 pa de lados conguentes po tene un lado común. Po lo tanto po el citeio LL de conguencia de tiángulos los dos tiángulos son conguentes,. Tenemos que en el tiángulo el lado es opuesto al ángulo en el tiángulo el lado es opuesto al ángulo. omo en los tiángulos conguentes los lados opuestos de ángulos conguentes son conguentes; entonces, po lo tanto. O z P Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 25 de 101

27 Univesidad de licante 6. Todo punto de la mediatiz de un segmento equidista de los etemos Sea P un punto peteneciente a s, siendo s la mediatiz de. Si s es la mediatiz tenemos que: M es el punto medio z s P t Si M es el punto medio de entonces. M omo está en la mediatiz de entonces. Llamamos P Identificamos los tiángulos que z cumplen: t Tene 1 pa de lados conguentes, po el punto medio. M Tene 1 pa de ángulos conguentes po la pependiculaidad de la mediatiz. Tene 1 pa de lados conguentes, po se lado común. Po lo tanto po el citeio LL de conguencia de tiángulos los dos tiángulos son conguentes,. omo son dos tiángulos ectángulos conguentes en los tiángulos ectángulos conguentes sus hipotenusas son conguentes; entonces, po lo tanto. Po lo tanto todo punto de la mediatiz de un segmento equidista de sus lados. Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 26 de 101

28 Univesidad de licante 1. PROR 2 a. En todo paalelogamo los lados opuestos son iguales ente si?? Llamamos t a la ecta que pasa po, a la ecta que pasa po, a la ecta que pasa po, a la ecta que pasa po a la ecta que pasa po t z omo son ectas paalelas cotadas po la secante común t están en posición de altenos intenos, entonces son conguentes,. t omo son ectas paalelas cotadas po la secante común t están en posición de altenos intenos, entonces son conguentes, β. t Tenemos dos tiángulos que cumplen: 1 pa de ángulos conguentes,, po altenos intenos. 1 pa de lados conguentes,, po lado común. 1 pa de ángulos conguentes,, po altenos intenos. z Po el citeio de conguencia L tenemos que es lado opuesto al ángulo β es lado opuesto al ángulo β omo en los tiángulos conguentes lo lados opuestos de los ángulos conguentes son conguentes, entonces, es deci, omo se cumple que siendo podemos deci que en todo paalelogamo los lados opuestos son iguales. Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 27 de 101

29 Univesidad de licante b. Todo cuadiláteo conveo que tiene dos lados opuestos iguales paalelos es un paalelogamo? Llamamos t a la ecta que pasa po, a la ecta que pasa po, a la ecta que pasa po, a la ecta que pasa po a la ecta que pasa po t omo son ectas paalelas cotadas po la secante común t están en posición de altenos intenos, entonces son conguentes,. t Tenemos dos tiángulos que cumplen: 1 pa de lados conguentes,, po el enunciado. 1 pa de ángulos conguentes,, po altenos intenos. 1 pa de lados conguentes,, po lado común. z t Po el citeio de conguencia LL tenemos que es ángulo opuesto al lado. es ángulo opuesto al lado. omo en los tiángulos conguentes los ángulos opuestos de los lados conguentes son conguentes, entonces, es deci,. omo tenemos dos ectas, cotadas po una secante común que mantiene los altenos intenos podemos deci que las ectas son paalelas,, po tanto Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 28 de 101

30 Univesidad de licante c. En todo paalelogamo, los ángulos opuestos son iguales ente si Llamamos: t z Tenemos dos tiángulos que cumplen: 1 pa de ángulos conguentes,, po altenos intenos. 1 pa de lados conguentes,, po lado común. 1 pa de ángulos conguentes,, po altenos intenos. t Po el citeio de conguencia L tenemos que es opuesto a. es opuesto a. omo en los tiángulos conguentes los ángulos opuestos de los lados conguentes son conguentes, entonces. Tenemos dos tiángulos que cumplen: 1 pa de ángulos conguentes,, po altenos intenos. 1 pa de lados conguentes,, po lado común. 1 pa de ángulos conguentes,, po altenos intenos. Po el citeio de conguencia L tenemos que es ángulo opuesto al lado. es ángulo opuesto al lado. omo en los tiángulos conguentes los ángulos opuestos de los lados conguentes son conguentes, entonces. omo entonces podemos deci que en todo paalelogamo los ángulos opuestos son iguales ente sí. 2. Está pefectamente deteminado un omboide cuando conocemos la medida de dos de sus lados? epende, si nos dan los dos lados que son paalelos no queda deteminado, peo si nos dan dos lados consecutivos sí que queda deteminado. Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 29 de 101

31 Univesidad de licante 3. En todo paalelogamo las diagonales se cotan en el punto medio Llamamos a la ecta que pasa po, a la ecta que pasa po, a la ecta que pasa po a la ecta que pasa po. Llamamos t a la ecta que pasa po, z a la ecta que pasa po, M al punto de cote ente t z. Llamamos al segmento, al segmento, al segmento al segmento. t M z omo son ectas paalelas cotadas po la secante común t están en posición de altenos intenos, entonces son conguentes,. t omo son ectas paalelas cotadas po la secante común z están en posición de altenos intenos, entonces son conguentes,. Tenemos dos tiángulos que cumplen: 1 pa de ángulos conguentes,, po altenos intenos. 1 pa de lados conguentes,, po se un M paalelogamo. 1 pa de ángulos conguentes,, po altenos intenos. Po el citeio de conguencia L tenemos que es lado opuesto al ángulo es lado opuesto al ángulo omo en los tiángulos conguentes los lados opuestos de los ángulos conguentes son conguentes, entonces, es deci es lado opuesto al ángulo es lado opuesto al ángulo omo en los tiángulos conguentes los lados opuestos de los ángulos conguentes son conguentes, entonces, es deci omo entonces podemos deci que M es el punto medio donde se cotan las dos diagonales. z Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 30 de 101

32 Univesidad de licante 4. Las diagonales del cuadado son iguales pependiculaes Sabemos que los cuadados tienen todos sus lados conguentes, po tanto,, Sabemos que en los paalelogamos las diagonales se cotan en el punto medio M, entonces., po se ángulos opuestos po el vétice., po se ángulos opuestos po el vétice. Tenemos dos tiángulos que cumplen: 1 pa de lados conguentes,, po se lado del cuadado. 1 pa de lados conguentes,, po se lado común. t z 1 pa de lados conguentes,, po se la diagonal. M Po el citeio LLL de semejanza de tiángulos, los tiángulos t son conguentes,. es lado opuesto al ángulo. es lado opuesto al ángulo. omo en los tiángulos conguentes los ángulos opuestos de los lados conguentes son conguentes, entonces, es deci. omo el ángulo es opuesto po el vétice al ángulo, entonces. omo el ángulo es opuesto po el vétice al ángulo, entonces. Sabemos que. omo, entonces,,,,. omo, entonces,,. Po lo tanto se puede deci que las diagonales del cuadado son iguales pependiculaes. z t M z t Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 31 de 101

33 Univesidad de licante 5. Las diagonales del ectángulo son iguales ; ; El ectángulo está fomado po las ectas: que contiene los puntos t que contiene los puntos que contiene los puntos M que contiene los puntos iagonales: s que contiene los puntos a t que contiene los puntos a. Tenemos que,,,, Sabemos que los ectángulos tienen sus lados conguentes dos a dos, s Sabemos ectángulos tienen todos sus ángulos conguentes Tenemos dos tiángulos que cumplen: 1 pa de lados conguentes,, po lados del paalelogamo. 1 pa de ángulos conguentes,, po pependiculaidad de lados. 1 pa de lados conguentes,, po lados del paalelogamo. Po el citeio LL de conguencia de tiángulos se cumple que. omo son dos tiángulos ectángulos conguentes sabemos que en los tiángulos ectángulos conguentes sus hipotenusas son conguentes, entonces, es deci. Po lo tanto, las dos diagonales del ectángulo son iguales. t s Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 32 de 101

34 Univesidad de licante 6. Las diagonales de un ombo son pependiculaes, po se ángulos opuestos po el vétice., po se ángulos opuestos po el vétice. Sabemos que los ombos tienen todos sus lados conguentes, po tanto,, Sabemos que en los paalelogamos las diagonales se cotan en el punto medio M, entonces. Tenemos dos tiángulos que cumplen: 1 pa de lados conguentes,, po se lado común. 1 pa de lados conguentes,, po conguencia de z lados de un ombo. 1 pa de lados conguentes,, po se punto medio. M Po el citeio LLL de conguencia de tiángulos, los tiángulos son conguentes,. es ángulo opuesto al lado es ángulo opuesto al lado omo en los tiángulos conguentes los ángulos opuestos de los lados conguentes son conguentes, entonces, es deci omo el ángulo es opuesto po el vétice al ángulo, entonces. omo el ángulo es opuesto po el vétice al ángulo, entonces. Sabemos que. omo, entonces,,,,. omo, entonces,,. Po lo tanto podemos deci que las diagonales del ombo son pependiculaes. z z M Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 33 de 101

35 Univesidad de licante 7. El cuadiláteo es un paalelogamo. Se veifica que. Se pide: a. Poba que los tiángulos son conguentes atos: Llamamos: a la diagonal del cuadiláteo Tenemos dos tiángulos que cumplen: 1 pa de lados conguentes,, po cuadiláteo. 1 pa de ángulos conguentes,, po el enunciado. 1 pa de lados conguentes,, po paalelas. Po el citeio de conguencia LL tenemos que z s F z H s H s z F z b. Poba que los tiángulos son conguentes atos: Llamamos la diagonal del cuadiláteo Tenemos dos tiángulos que cumplen: 1 pa de lados conguentes,, po ectas paalelas 1 pa de ángulos conguentes,, po altenos intenos. 1 pa de lados conguentes,, po lado común. Po el citeio de conguencia L tenemos que. z F s s F s z H s H Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 34 de 101

36 Univesidad de licante 1. ada la figua plana : a. Si. Poba que PROR 3 atos: z Llamamos z al segmento Tenemos dos tiángulos que cumplen: 1 pa de lados conguentes,, po el enunciado. 1 pa de lados conguentes po el enunciado. 1 pa de lados conguentes po lado común. Po el citeio de conguencia LLL se cumple que. Tenemos que: es lado opuesto al ángulo. es lado opuesto al ángulo. z omo en los tiángulos conguentes los ángulos opuestos a lados conguentes son conguentes; entonces po lo tanto. Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 35 de 101

37 Univesidad de licante b. Si. Poba que atos:? Llamamos: z omo el tiángulo tiene dos lados conguentes,, podemos deci que es un tiángulo isósceles. En los tiángulos isósceles los ángulos opuestos a los lados conguentes son conguentes po lo tanto. Tenemos que: Po lo tanto podemos deci que Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 36 de 101

38 Univesidad de licante 2. ada la figua siguiente con las siguientes condiciones:. Poba que el tiángulo es isósceles. atos: isósceles?? omo es un tiángulo que tiene dos ángulos conguentes es isósceles. omo en los tiángulos isósceles los lados opuestos de los lados conguentes son conguentes entonces,. omo son suplementaios suman 180º. Po lo tanto, es deci, omo son suplementaios suman 180º. Po lo tanto, es deci, Tenemos dos tiángulos que cumplen: 1 pa de lados conguentes,, po el enunciado. 1 pa de lados conguentes, po tiángulo isósceles. 1 pa de ángulos conguentes po suplementaios de conguentes. 1 pa de lados conguentes po enunciado. Po el citeio de conguencia LL se cumple que. Tenemos dos tiángulos conguentes con dos paes de lados conguentes po lo que el tece pa de lados es conguente po lo tanto el tiángulo es isósceles. M M 180º P P K K Q 180º Q N N 3. En la figua siguiente,,. Poba que. atos: G H? K L Llamamos al segmento. G H Tenemos dos tiángulos que cumplen: 1 pa de ángulos conguentes,, po el enunciado. 1 pa de lados conguentes, po lado común. 1 pa de ángulos conguentes po el enunciado. G L H Po el citeio de conguencia L se cumple que. Tenemos dos tiángulos ectángulos conguentes, po lo tanto sus hipotenusas también son conguentes, K Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 37 de 101

39 Univesidad de licante 4. En la figua siguiente. Poba que los tiángulos son conguentes atos: α? E Llamamos al ángulo. Tenemos dos tiángulos que cumplen: 1 pa de ángulos conguentes,, po el enunciado. 1 pa de lados conguentes, po el enunciado. 1 pa de ángulos conguentes po ángulo común. Po el citeio de conguencia L se cumple que. E 5. En la figua ;,. Poba que. atos:? z w E z Llamamos al ángulo. Llamamos w al segmento. Tenemos que: Tenemos dos tiángulos que cumplen: 1 pa de lados conguentes, po el enunciado. 1 pa de lados conguentes,, po suma de lados. 1 pa de lados conguentes, po el enunciado. Po el citeio de conguencia LLL se cumple que. E Tenemos que: es lado opuesto al ángulo. es lado opuesto al ángulo. omo en tiángulos conguentes los ángulos opuestos a lados conguentes son conguentes entonces, es deci, po lo que ambos ángulos son conguentes. Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 38 de 101

40 Univesidad de licante 6. En la figua,. Poba que. atos:? Llamamos w al segmento. Tenemos que: Tenemos dos tiángulos que cumplen: M S 1 pa de lados conguentes, po el enunciado. 1 pa de lados conguentes,, po suma de R N lados. 1 pa de lados conguentes, po el enunciado. Q Po el citeio de conguencia LLL se cumple que. Tenemos que: es lado opuesto al ángulo. es lado opuesto al ángulo. omo en tiángulos conguentes los ángulos opuestos a lados conguentes son conguentes entonces, es deci. Tenemos que: es suplementaio de. es suplementaio de. omo los ángulos suplementaios de ángulos conguentes son conguentes, entonces, es deci, po lo tanto los dos ángulos son conguentes. M P z R P w S z Q N Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 39 de 101

41 Univesidad de licante 7. a. En la figua, si,. Poba que atos: α F G? E Tenemos dos tiángulos que cumplen: 1 pa de lados conguentes, po el enunciado. 1 pa de ángulos conguentes,, po el enunciado. 1 pa de lados conguentes, po el enunciado. Po el citeio de conguencia LL se cumple que. Tenemos que: es opuesto al lado. es opuesto al lado. omo los lados opuestos a ángulos conguentes son conguentes, entonces deci los dos lados son conguentes. F G E, es Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 40 de 101

42 Univesidad de licante b. En la figua, si,. Poba que atos: F G? E Tenemos que: es suplementaio a po lo tanto suman 180º,,, po lo tanto G es suplementaio a po lo tanto suman 180º,,, po lo tanto F E F Tenemos dos tiángulos que cumplen: 1 pa de ángulos conguentes,, po el enunciado. 1 pa de lados conguentes, po suma de lados. 1 pa de ángulos conguentes,, po ángulos suplementaios. Po el citeio de conguencia L se cumple que. 180º G 180º E Tenemos que: es lado opuesto al ángulo es lado opuesto al ángulo omo los ángulos opuestos a lados conguentes son conguentes, entonces. omo la suma de los ángulos intenos de un tiángulo es 180º entonces, α β, F. omo es suplementaio de suman 180º, entonces, E omo la suma de los ángulos intenos de un tiángulo es 180º entonces, α β,. omo es suplementaio de suman 180º, entonces, G omo podemos deci que los dos ángulos son conguentes Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 41 de 101

43 Univesidad de licante 8. En la figua siguiente se veifica que, se pide poba que atos:? E Llamamos Tenemos dos tiángulos que cumplen: 1 pa de lados conguentes, po lado común. 1 pa de lados conguentes,, po el enunciado. 1 pa de lados conguentes, po el enunciado. z z Po el citeio de conguencia LLL se cumple que. Tenemos que: es opuesto a. es opuesto a. omo los ángulos opuestos a lados conguentes son conguentes, entonces deci,, los dos ángulos son conguentes., es Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 42 de 101

44 Univesidad de licante PROR 4 1. En todo tiangulo isósceles, a. lados iguales se le oponen ángulos iguales atos: isósceles:? b Tenemos dos tiángulos que cumplen: 1 pa de lados conguentes, po tiángulo isósceles. 1 pa de ángulos conguentes,, po tiángulo isósceles. 1 pa de lados conguentes, po bisectiz. Po el citeio de conguencia LL se cumple que. Tenemos que: es opuesto a es opuesto a b omo los ángulos opuestos a lados conguentes son conguentes, entonces deci,, los dos ángulos opuestos a lados conguentes son conguentes., es Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 43 de 101

45 Univesidad de licante b. La bisectiz del ángulo fomado po los dos lados iguales es a la vez la mediana, mediatiz altua del lado distinto (ecípoco de a, si un tiángulo tiene dos ángulos iguales, también tiene iguales los lados opuestos a esos ángulos). atos: isósceles: ; b M Tenemos dos tiángulos que cumplen: 1 pa de lados conguentes, po tiángulo isósceles. 1 pa de ángulos conguentes,, po tiángulo isósceles. 1 pa de lados conguentes, po bisectiz. Po el citeio de conguencia LL se cumple que. Tenemos que: es opuesto a es opuesto a Sabemos que en los tiántulos conguentes los ángulos opuestos a lados conguentes son conguentes, entonces, po lo tanto, b es también la altua del tiángulo isosceles. Tenemos que: es opuesto a es opuesto a Sabemos que en los tiángulos conguentes los lados opuestos a ángulos conguentes son conguentes, entonces, po lo tanto, M es punto medio de. Po tanto también la mediana mediatiz del tiángulo isosceles. b M Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 44 de 101

46 Univesidad de licante 2. En un tiángulo isósceles, el punto S no es el punto medio del segmento. Poba que no puede se la bisectiz de. atos: S b (No punto medio No bisectiz) S b (punto medio bisectiz) Q P b S R Tenemos dos tiángulos que cumplen: Si S punto medio Tenemos que: opuesto a opuesto a omo en tiánglos conguentes los lados opuestos a ángulos conguentes son conguentes,. Q P b S R Si en el tiángulo isósceles el punto S no es punto medio de, entonces no puede se la bisectiz de. Paa demosta que S b hemos demostado que si b es la bisectiz S es el punto medio., es deci, hemos demostado que TEORÍ emostaciones po educción al absudo: emostaciones usuales: nálisis: Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 45 de 101

47 Univesidad de licante 3. Poba que dos tiángulos ectángulos: a. Que tienen espectivamente iguales la hipotenusa un ángulo agudo, son iguales. atos: S R T omo la suma de los ángulos intenos de los tiángulos es 180º entonces,,, po lo tanto omo la suma de los ángulos intenos de los tiángulos es 180º entonces,,, po lo tanto Po lo tanto tenemos que, es deci,. Tenemos dos tiángulos que cumplen: Un pa de ángulos conguentes,, po el enunciado. Un pa de lados conguentes,, po hipotenusa. Un pa de ángulos conguentes,, po conguencia de suma de ángulos intenos. Po lo tanto, po el citeio de conguencia L Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 46 de 101

48 Univesidad de licante b. Que tienen espectivamente iguales la hipotenusa un cateto, son iguales. atos: S R T Según el Teoema de Pitágoas tenemos que : En el tiángulo,,, po lo tanto, En el tiángulo,,, po lo tanto, Po lo tanto tenemos que, es deci,. Tenemos dos tiángulos que cumplen: 1 pa de lados conguentes,, po cateto conguente. 1 pa de ángulos conguentes, po tiángulo ectángulo 1 pa de lados conguentes,, po Teoema de Pitágoas. Po lo tanto, po el citeio de conguencia LL Pacial 2 Resumen Teoía Páctica solucionada Página 47 de 101