TEMA 5 : ANIMACIÓN 3D

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1 Dpto. Infomática Univesitat de València Ampliación de Infomática Gáfica TEMA 5 : ANIMACIÓN 3D Podemos considea que una animación descibe el cambio de una imagen a lo lago del tiempo, con el suficiente númeo de fotogamas po segundo paa da un efecto de continuidad. Existen divesas técnicas que intentan consegui este objetivo. A gandes asgos podemos dividilas en dos, las de animación clásica y las de animación de síntesis po odenado. Esta última, a su vez, puede basase en una epesentación 2D ó 3D de los objetos (aunque el esultado final seá siempe, obviamente, bidimensional). La animación clásica genea la secuencia de imágenes po métodos pictóicos, lo que entendemos po una imagen dibujada, fomada po pixeles cuya coloación se asigna manualmente o semiautomáticamente, po mecanismos sencillos guiados de foma manual (po ejemplo, sistemas de elleno automático). No emplea ningún tipo de síntesis paa consegui efectos de pofundidad y pespectiva, sino que es labo de los dibujantes consegui estas sensaciones po técnicas manuales. Las imágenes deben genease una po una, aunque esta taea suele distibuise en vaios niveles; sepaando el dibujo de momentos claves en la acción de los pesonajes, el dibujo de los fondos (que usualmente no cambian de un fotogama a oto) y las taeas de intepolación y coloeado de cada imagen. La animación de síntesis po odenado cea las imágenes po un poceso automático a pati de una epesentación de los objetos que foman pate de la escena y de su movimiento. Este modelo de los objetos puede se bidimensional, con lo cual el esultado se paece más a la animación tadicional, o puede basase en una epesentación 3D, a pati de la cual pueden aplicase métodos ealistas de sombeado, simulación física, etc. En este cuso vamos a centanos en las distintas técnicas de animación sintética 3D, basándonos en los conocimientos sobe epesentación de objetos y visualización que ya hemos desaollado. Tenemos que descibi, po tanto, qué técnicas son utilizadas paa descibi los cambios de todo tipo que sufe una escena tidimensional a lo lago del tiempo. Una animación de síntesis siempe funciona evaluando el estado de la escena y del obsevado paa el instante coespondiente a cada fotogama y calculando la imagen coespondiente mediante alguno de los métodos de visualización existentes. Si los fotogamas se van geneando a pati de una especificación pevia y se van almacenando en ficheos (o en un ficheo único paa toda la animación) o en cualquie oto sopote analógico o digital, hablaemos de una animación fotogama a fotogama u animación off-line. Esta es la única foma de consegui animaciones finales de gan calidad, dado que el tiempo de cómputo de cada fotogama puede oscila ente unos pocos segundos y vaias hoas. Una situación difeente se poduce cuando el poceso que cea la animación va mostando los fotogamas inmediatamente después de poducilos, pemitiendo al usuaio esponde inmediatamente y teniendo en cuenta estas espuestas en la síntesis de imágenes. En este caso, que podemos llama animación inteactiva o animación on-line, la fecuencia de pesentación de las imágenes (fecuencia de efesco o fame ate) viene deteminada po la velocidad de cómputo, que a su vez depende de la potencia del equipo y la complejidad de la escena. Cuando las esticciones tempoales de la animación inteactiva son elativamente estictas se habla de animación en tiempo eal, concepto que desaollaemos en el siguiente tema, y si además se desaolla algún tipo de simulación encagada de actualiza el estado de la escena en cada momento teniendo en cuenta posiblemente las acciones del usuaio del pogama (po ejemplo, move el atón paa indica en qué diección quiee movese), entonces hablaemos de simulación en tiempo eal. 5.1 TÉCNICAS DE FOTOGRAMAS CLAVE O KEYFRAMES Este tipo de técnicas es una adaptación de los métodos de la animación tadicional paa descibi los cambios tempoales de la escena. La idea básica consiste en defini mediante edición manual o mediante alguna función automática cuál es el estado de la escena en cietos instantes (llamados fotogamas clave o keyfames). La descipción de la escena en cada fotogama clave debe inclui la posición y oientación 77

2 Tema 5: Animación 3D de los objetos y fuentes de luz, sus popiedades, y también la posición y caacteísticas del obsevado o cámaa. Se adapta así la idea de la animación tadicional en la que el dibujante expeto taza en blanco y nego las siluetas de los pesonajes en los momentos clave, paa que posteiomente los intepoladoes se encaguen de genea las imágenes intemedias. En la animación de síntesis la intepolación en el tiempo se efectuaá a pati de los valoes que deteminan los fotogamas clave (posiciones, oientaciones, velocidades, popiedades ) mediante algún algoitmo automático. Este poceso de intepolación es clave, ya que debe poduci un esultado coheente, de apaiencia natual, sin que apaezcan saltos buscos o cambios extaños (en algunos casos no es fácil ealiza una intepolación coecta, po ejemplo en los movimientos de figuas aticuladas como el cuepo humano). Paa consegui apoximase más a los efectos deseados, el diseñado de la animación puede inseta mayo númeo de fotogamas clave (con menos sepaación tempoal ente ellos). Además de da los valoes que definen estáticamente cada fotogama clave (p.ej. las posiciones), el diseñado puede también indica cuál es el valo de cietas vaiables dinámicas (p.ej. velocidades), lo que le otogaá un mayo gado de contol sobe la intepolación. La epesentación más fomal de una animación po keyfames seía el llamado diagama de movimiento o motion gaph: una gáfica en la que apaecen los valoes de cada una de las vaiables que definen la escena y su vaiación con el tiempo: va x KF1 KF2 va y Asociado al diagama básico que muesta la evolución de las vaiables con el tiempo podemos tene otos en los que se elacionan unas vaiables con otas. Po ejemplo, la tayectoia de un móvil puede vese únicamente en función de sus componentes espaciales (ve figua a la izquieda) o a tavés de la elación de ambas coodenadas espaciales con el tiempo (ve a la deecha): t x x movimiento tayectoia y y t REPRESENTACIÓN DE LA TRAYECTORIA (path) + DIAGRAMA DE MOVIMIENTO Una vaiable (y) en función de la ota (x) Paa añadi la componente tiempo Podíamos pensa que a pati de la epesentación espacial de la tayectoia podemos aveigua la velocidad del movimiento, obsevando la distancia ecoida ente dos keyfames. Peo esto no es cieto, ya que el objeto no tiene poqué movese a velocidad constante sobe la tayectoia. La velocidad instantánea eal vendá dada po las pendientes de la función de la posición en el diagama de movimiento. Así, el vecto velocidad instantáneo seá dx dy,, y su módulo seá la apidez de dt dt taslación sobe la tayectoia. Paa constui los valoes intemedios de las vaiables a pati de los keyfames necesitamos una función de intepolación con buenas popiedades y a la vez poco costosa de evalua. Se suelen emplea cuvas paaméticas, ya que tienen un compotamiento suave y son contolables (como se comentó, cumplen la popiedad de la envolvente convexa). 78

3 Dpto. Infomática Univesitat de València Ampliación de Infomática Gáfica Hagamos un epaso de los tipos de cuvas paaméticas paa compoba cuáles pueden esulta más convenientes. Splines: La caacteística de las splines es que la cuva esultante no tiene que pasa exactamente po los puntos de contol, que en este caso son los valoes de los keyfames. Esta caacteística hace que los keyfames dejan de epesenta de foma exacta la situación de la escena en cietos instantes, lo que puede esulta inconveniente. x Keyfames Puntos intemedios Cuvas cúbicas de Bèzie a tozos: Estas cuvas tienen la caacteística de que cada tozo empieza y temina en los puntos de contol, pasando po los valoes coespondientes a los keyfames. Además, si añadimos dos puntos de contol auxiliaes en cada tamo podemos contola la tangente de la función, y po tanto detemina de foma más exacta el camino paa i de un punto a oto. Po ejemplo, en el caso de que la vaiable epesentada sea una posición, este sistema nos pemitiía contola la velocidad del movimiento en el instante definido po el keyfame. Este tipo de cuvas es, po tanto, ampliamente utilizado. t x Ptos de contol paa tangencia Puntos intemedios t Además de estas cuvas paaméticas también se puede emplea una simple intepolación lineal ente los valoes de los keyfames. Esto pemite esolve la intepolación mediante un cálculo muy sencillo, peo se tata de un tipo de ecuación que poduciá cambios buscos en la deivada de la vaiable y no pemite un contol detallado si no se añaden suficientes keyfames. Además del tipo de intepolación, esulta fundamental la elección coecta de los paámetos a contola. Po ejemplo, una intepolación lineal de la posición puede se adecuada paa una patícula que se mueve con una tayectoia suave (ve figua 5.1.(a)). Sin embago, si deseamos descibi la otación de un objeto alededo de un punto, esultaía poco adecuado hacelo con una intepolación lineal de la posición, siendo mejo hacelo con una intepolación, lineal o no, sobe un ángulo que descibe el gio (ve figua 5.1.b). 79

4 Tema 5: Animación 3D y x ( x, y ) y x 1 y 2 t ( x, y ) 2 x 2 θ Intepolación lineal de posición y θ 2 θ 1 t θ 2 θ 1 x Intepolación lineal del ángulo Figuas 5.1.: (a) Intepolación de posición y (b) Intepolación de ángulo El método de fotogamas clave deja un poblema abieto: cómo ealiza la asignación de valoes a las vaiables en los keyfames. Podemos esolvelo de distintos modos. Si disponemos de algún método algoítmico (po ejemplo una simulación basada en ecuaciones físicas) paa calcula el valo de estas vaiables en el tiempo, entonces podíamos usalo paa calcula el estado de la escena en cietos instantes y luego utiliza la intepolación ente keyfames. Este sistema puede se útil cuando el algoitmo exacto esulta demasiado costoso paa utilizalo en el cálculo de cada fotogama aislado. En el caso de que no dispongamos de un algoitmo o pocedimiento automático paa calcula la evolución de las vaiables de la escena con el tiempo tendemos que ecui a otos métodos MANIPULACIÓN DIRECTA. La manipulación diecta es el método más ceativo paa genea animaciones, asignando de foma manual (nomalmente mediante un intefaz gáfico) los valoes de las vaiables en cada keyfame. Todos los pogamas de animación 3D popocionan intefaces de manipulación diecta que pemiten ealiza dos tipos de taeas distintas, que pueden combinase ente sí paa gaantiza la coheencia del esultado: a) Paa detemina los keyfames, el intefaz debeá pemitinos da la secuencia de valoes paa una vaiable dada. Paa ello podemos manipula cada objeto y sus popiedades hasta colocalo en el estado deseado y luego asigna este estado a un instante de tiempo (keyfame). b) Dada una asignación de valoes a los difeentes keyfames, podemos epesenta la situación de la escena en cualquie instante, paa compoba si el movimiento de los distintos objetos se apoxima al efecto que queemos consegui. Es deci, dispondemos de un modo de pevisualización conjunta de la escena, al menos paa instantes concetos de tiempo. A pesa de su flexibilidad y potencia expesiva, este método manual plantea el poblema de la dificultad paa epoduci con natualidad compotamientos de sistemas complejos donde intevienen actoes (pesonas, animales u objetos animados ) o sistemas que obedecen a leyes físicas. 80

5 Dpto. Infomática Univesitat de València Ampliación de Infomática Gáfica ROTOSCOPIA La otoscopia es una técnica que se basa en la gabación de los movimientos o compotamientos eales paa la geneación de fotogamas clave. Esta técnica se usa típicamente paa epoduci la locomoción y otos movimientos de pesonas y animales. Tadicionalmente, la gabación se ealizaba mediante fotogafía o filmación y se calcaba a mano sobe los dibujos, adaptando la foma de los pesonajes. Este sistema ha sido utilizado po la compañía Disney desde el pime lagometaje de dibujos animados (Blancanieves). Este método se ha extendido a la animación po odenado mediante la captua de movimiento, que consiste en intoduci diectamente en el odenado valoes numéicas que epesentan, po ejemplo, las posiciones de las aticulaciones en cietos puntos seleccionados, medidas mediante dispositivos mecánicos, ópticos o electomagnéticos. De este modo se consiguen secuencias muy ealistas de movimiento, que luego pueden mezclase o defomase en tiempo eal (po ejemplo, los movimientos de los luchadoes o de los jugadoes de fútbol en la última geneación de videojuegos). Contol en tiempo eal de un acto sintético mediante captua de movimiento utilizando sensoes electomagnéticos Una vez asignados los fotogamas clave, ya hemos visto que la definición coecta de la intepolación implica el contol de la velocidad. La velocidad, y su deivada la aceleación, son factoes muy impotantes del movimiento que le confieen caacteísticas de más o menos ealismo. Efectos como la inecia del movimiento o la acción debida a fuezas (empujones, choques, populsión ) involucan a la velocidad y la aceleación. Paa obtene efectos adecuados en la animación debemos especifica la velocidad y aceleación, peo teniendo en cuenta que estas magnitudes se hayan diectamente ligadas al diagama de movimiento. Si hemos definido una tayectoia x = f ( t), el diagama de velocidad se obtendá deivando esta función y el de aceleación deivando una vez más. A su vez, si especificamos una velocidad inicial, podemos deduci el diagama de velocidad integando la función de aceleación, y dando la posición inicial calculaemos la tayectoia integando la función de velocidad, de manea que podemos cea tayectoias que cumplan con deteminadas especificaciones de aceleación o velocidad. 81

6 Tema 5: Animación 3D dx dt dy dt Diagama de velocidad t d 2 x dt d 2 y dt Diagama de aceleación t 5.2 ANIMACIÓN PROCEDURAL Y BASADA EN REGLAS Este tipo de animaciones se caacteiza po utiliza un método algoítmico paa calcula a lo lago del tiempo las vaiables que definen el compotamiento de los objetos, de la cámaa y otas caacteísticas de la escena. Estos métodos podán utilizase paa halla diectamente el estado de la escena en cada fotogama, o bien paa asigna valoes a los keyfames y aplica más tade un método de intepolación. La pimea vaiante de funcionamiento equiee que el algoitmo encagado de calcula la evolución tempoal se ejecute al mismo tiempo que se va geneando la animación, lo que incementaá el coste tempoal total. El método de utiliza los keyfames como epesentación intemedia supone ealiza una apoximación, peo como contapatida pemite ahoa coste de computación. En los métodos poceduales una función o pocedimiento define la evolución del conjunto de paámetos po medio de una expesión paamética en función del tiempo X = f ( t) o bien mediante de una expesión integal o incemental, también en función del tiempo: Xt ( + t) = f Xt ( ), t. ( ) En los métodos basados en eglas existe un sistema o conjunto de eglas que deteminaán el valo de los paámetos en cada instante de tiempo. Las eglas suelen tene la foma básica SI (condición) ENTONCES acción, pudiendo activase o no según la condición sea vedadea o falsa, lo que nomalmente depende del valo del tiempo y de los paámetos en un instante anteio. La idea es la misma que en el caso pocedual; defini cómo cambian los valoes de la escena con el tiempo, peo ahoa este cambio no se puede expesa mediante una función matemática. Estos métodos basados en eglas se emplean cuando apaecen discontinuidades en el tiempo (po ejemplo, un objeto se compota de deteminada manea hasta que llega ceca de oto, y entonces su movimiento se altea debido a una cieta decisión), o cuando intevienen vaiables extenas (p.ej. inteacción del usuaio). Su aplicación más usual es la epesentación de las elaciones complejas, no debidas a meas inteacciones físicas, ente los distintos objetos o actoes de una escena. En algunos casos se llega a habla de métodos basados en el conocimiento o métodos de inteligencia atificial. El esultado de un sistema de eglas es difícil de evalua a simple vista. Habá situaciones en las que se dispae más de una egla, y po lo tanto habá que dota de un oden de pefeencia a las eglas o especifica cómo se combinan los esultados de decisiones difeentes (esto es posible, po ejemplo, en los sistemas basados en lógica difusa o fuzzy logic). En algunas ocasiones las eglas pueden involuca la eliminación o adición de nuevos elementos a la escena, lo que también puede povoca poblemas de consistencia. Existen lenguajes de animación que pemiten epesenta ambos métodos, tanto el basado en pocedimientos como en eglas, y combinalos simultáneamente. Son los lenguajes de scipt o guiones. Con estos métodos se pueden simula muchos sistemas natuales (nubes, fluidos, humo... ) como conjuntos de patículas que inteactúan ente sí (analizaemos esta técnica con más detalle posteiomente). Ota posibilidad consiste en el actoing; la simulación de objetos animados complejos que pueden epesentase mediante un esqueleto aticulado (que puede tene modelos asociados) que sigue cietas eglas físicas y conductuales en su movimiento. 82

7 Dpto. Infomática Univesitat de València Ampliación de Infomática Gáfica Veamos ahoa un ejemplo muy sencillo de animación pocedual. Se tata de un móvil que se desplaza en una dimensión x a una velocidad constante de diez unidades. Las vesiones paamética e incemental de un pocedimiento que devolviea la posición paa cada instante seían : Pocedimientos const v = 10; const v = 10; poc_paam( t ): eal poc_incem( x_anteio, t ): eal { etun ( v t ); } { etun ( x_anteio + v t ); } Paa epesenta la pesecución ente un depedado y su pesa en una dimensión podíamos defini el siguiente modelo basado en la combinación de eglas y cálculos poceduales: Reglas Vaiables del Depedado : X d,v d Vaiables de la Pesa : X p,v p Pocedimiento actualiza_pos_depedado ( t ) { si X d -X p < 10 (si la pesa se aceca a menos de diez unidades) V d = ( V d + V p ) / 2 se le asigna una velocidad ente la suya y la de la pesa si X d -X p >= 10 (si la pesa está más lejos) V d = 0 el depedado está paado si X d -X p < ( si se ha cazado la pesa) V d = 0; V p = 0; ambos se paan X p = X p + V p t } se actualiza la posición del depedado La función definida paa el depedado incementa automáticamente su posición al movese la pesa. Una función simila podía se utilizada paa el movimiento de ésta. Ejemplo: En la siguiente figua podemos obseva un ejemplo más elaboado, en el que el movimiento de un pájao es contolado mediante una seie de vaiables cuyos valoes puede cambia el usuaio. Figua 5.2.: Panel de contol de paámetos paa la animación pocedual de un acto sintético 5.3 ANIMACIÓN FÍSICA 83

8 Tema 5: Animación 3D Este tipo de animación pocedual utiliza un modelo matemático paa descibi el movimiento y otos cambios. Se supone que este modelo epoduce con cieta fidelidad la ealidad física. Un modelo cinético solamente incluye aceleaciones y velocidades, peo no las fuezas que se elacionan con el movimiento, mientas que un modelo dinámico considea estas fuezas paa deduci el valo de los paámetos cinemáticos. Las técnicas de animación o simulación física pueden implica un coste más o menos gande según la complejidad del modelo matemático que debe evaluase y el númeo de inteacciones a considea. Los casos más elementales son los siguientes CINEMÁTICA DEL PUNTO En este caso la vaiable epesentativa del sistema es la posición de un punto sin dimensiones (po tanto no tiene sentido considea la oientación y el compotamiento de otación, el cuepo no tiene momento de inecia ni momento angula). La masa se supone concentada en ese único punto. Paa genea la animación hay que calcula xt ( ), nomalmente en función de la velocidad vt () y la aceleación at (). El movimiento vendá descito po ecuaciones difeenciales que elacionaán estas tes funciones. La esolución se efectuaá los métodos de integación apopiados. Consideemos un caso muy sencillo en el que disponemos como dato de la función de aceleación a(t). A pati de ella podemos calcula la velocidad y la posición, utilizando, po ejemplo, el método de integación de los tapecios. paa t = 0 hasta t f con paso dt a= f ( t) a B= f(t); vb= vb+ ( aa+ ab) 2 dt x(0) = xo x t = ( v A+v B) dt v(0) = v 2 o v A= v B ; aa = a B / * pasa al siguiente tozo */ DINÁMICA DEL PUNTO Es simila al modelo anteio, peo ahoa debemos tene en cuenta las fuezas y la masa del punto en las ecuaciones difeenciales que ligan posición, velocidad y aceleación. Según el tipo de fuezas incluidas en el modelo debeán defini otas popiedades del objeto, como caga eléctica, elasticidad, etc. La ecuación básica es Ft () = mat. (), que indica que a pati de la expesión de las fuezas puede calculase la aceleación del punto, y po tanto la velocidad y la posición. La fueza puede depende a su vez de la posición (po ejemplo, las fuezas elásticas) o la velocidad (fuezas de ozamiento, fuezas magnéticas sobe cagas elécticas). También podemos considea en este modelo fuezas impulsivas, debidas a choques o contactos tempoales con otos cuepos que pueden modifica buscamente la velocidad y diección de movimiento del punto. Reoganizando la fómula anteio podemos deduci el cambio de velocidad poducido po una fueza que actúa duante un tiempo dt : Ft () = mat. () = m. dv Ft (). dt= mdv. dt Las fuezas no impulsivas suelen considease geneadas po un campo de fuezas que actúa sobe alguna magnitud activa (masa, caga) del objeto, po ejemplo el campo gavitatoio geneado po otos cuepos CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 84

9 Dpto. Infomática Univesitat de València Ampliación de Infomática Gáfica La difeencia ente el modelo de sólido ígido y el del punto mateial es la intoducción de la extensión del cuepo, y po tanto de un nuevo compotamiento: la otación alededo de su cento de masas. Al movimiento popio del cento de masas pueden aplicase las mismas ecuaciones que del modelo puntual. Peo además hay que descibi la otación a su alededo. Ésta puede se muy compleja, puesto que existen tes gados de libetad, y en pincipio había que descibi la evolución de tes ángulos de gio independientes. Sin embago, en muchos casos podemos educi el gio a un movimiento alededo de un eje, y po tanto descito po un único ángulo. El ángulo juega el mismo papel que la posición en las ecuaciones cinemáticas, donde no apaecen fuezas. Denominando θ al ángulo de gio tenemos: Velocidad angula: ω = d θ Aceleación angula: dt α = dω dt DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO Las fuezas actúan sobe el cento de masas del sólido ígido de la misma foma que sobe el punto mateial, peo las fuezas impulsivas (y otas, como las magnéticas) influyen en el posible gio del objeto. En la dinámica de otación, el momento de inecia (que, en pincipio, es una matiz 3x3) hace el papel equivalente a la masa, y el momento de una fueza sustituye a las fuezas en las ecuaciones de otación. El momento de una fueza se define como el poducto vectoial ente la fueza aplicada al objeto y el vecto de posición del punto en que se aplica ( ). ω F M = F M momento de fueza -1 M = I α α = I M I momento de inecia Si el gio se poduce alededo de un eje fijo, I se conviete en un escala, obteniendo: α = M I Modelos paa colisiónes (choques) En una colisión elástica en la que no actúan fuezas extenas, además de consevase la cantidad de movimiento total (masa po vecto velocidad) también se conseva la enegía cinética total Ec = 1 mv 2. 2 De esta manea, en un sistema donde solamente hay colisiones elásticas no se piede enegía y los objetos siguen moviéndose indefinidamente. En una colisión inelástica sí existe pedida de enegía cinética, que es absobida po los cuepos que chocan. Las colisiones eales siempe suponen la pédida de alguna enegía. Resulta complicado desaolla un buen modelo de colisión, ya que éste implica calcula con pecisión el punto de contacto ente los cuepos y esolve las condiciones impuestas po los pincipios de consevación y la posible pédida de enegía (incluyendo en el caso eal las defomaciones que pueden sufi los cuepos). Si suponemos un compotamiento elástico y un punto de contacto en el que uno de los objetos puede apoximase como una supeficie localmente plana y el oto como un punto, podemos desaolla un modelo sencillo (que seviía, po ejemplo, paa epesenta el ebote de una pelota conta una paed o suelo). 85

10 Tema 5: Animación 3D v N v N : vecto nomal del plano v : dieccion inicial de la pelota v : dieccion esultante de la pelota ( 2 N) v = v v N Existen sistemas donde la inteacción es mucho más compleja y no puede educise a una colisión de tipo clásico. Un ejemplo es el compotamiento de una tela que cube a un cuepo humano. Su movimiento depende de la fueza de la gavedad, del contacto con la foma geomética del cuepo y de las caacteísticas elásticas de la supeficie de la tela, y se equiee el desaollo de modelos matemáticos especiales SISTEMAS DE PARTÍCULAS Independientemente del modelo físico que utilicemos paa epesenta los objetos individuales, podemos considea cómo apoximanos al compotamiento físico de aquellos sistemas que están fomados po un conjunto de cuepos (po ejemplo, los planetas del Sistema Sola). Al igual que en los modelos de objetos aislados que hemos visto, debeemos llega a un compomiso ente la fidelidad de la epesentación y el coste computacional, ecuiendo a difeentes tipos de simplificaciones. Sistemas de patículas independientes Esta seía la apoximación más sencilla y menos costosa, en la que consideamos que los difeentes objetos no se elacionan ente sí, o que lo hacen solamente en momentos deteminados. Incluso con un método tan sencillo es posible epesenta de foma ealista fenómenos complejos, como cietos pocesos natuales (gases, humo, cietos flujos de líquidos). Po ejemplo, si queemos simula una fuente de agua podemos supone que cada patícula se compota como un punto mateial, y genea un gan númeo de éstas de foma aleatoia a pati de un punto. Paa ealiza la geneación aleatoia tendíamos que caacteiza la fuente mediante vaias distibuciones estadísticas que nos den la pobabilidad de los ángulos de salida y la velocidad inicial a pati del punto: P(γ), P(ϑ), P(v 0 ) ω θ v 0 Fuente de patículas γ 86

11 Dpto. Infomática Univesitat de València Ampliación de Infomática Gáfica P( V 0 ) P( γ) P( ϑ) γ ϑ V 0 Es fácil compende que en los sistemas de patículas independientes el coste computacional seía de oden lineal con el númeo de patículas, puesto que el cálculo del modelo individual se epite paa cada uno de los componentes. Sistemas de patículas con ligaduas flexibles Diemos que dos patículas están elacionadas mediante una ligadua flexible cuando existe una fueza ente ellas, peo no hay una esticción en los gados de libetad de la posición de ambas. Veemos más adelante que existen oto tipo de ligaduas no flexibles, en las que los cuepos pueden esta unidos mediante aticulaciones, apaeciendo esticciones en el movimiento. a) Inestuctuadas : Cada una de las patículas inteactúa con todas las demás. Esto sucede con la fueza gavitatoia y otas fuezas de lago alcance. En una simulación del Sistema Sola tendíamos en pincipio que considea las fuezas que actúan ente cada pa de cuepos i, j: F G m m i ij = 3 ij j ij El poblema de considea todas estas inteacciones es que el númeo de cálculos a ealiza tiene un coste cuadático con el númeo de patículas. b) Estuctuadas : En este caso se supone que las patículas solamente inteactúan con algunas de sus vecinas. Este tipo de inteacción apaece, po ejemplo, cuando las patículas foman pate de una estuctua que limita el alcance de las fuezas, como sucede ente las moléculas de un líquido o un sólido. Incluso puede utilizase esta apoximación paa simula sistemas en los que la vecindad ente patículas puede cambia (po ejemplo, en un fluido muy viscoso). Si suponemos que el númeo de vecinas a considea es más o menos constante (k), el coste de cálculo de las inteacciones seía de nuevo lineal con el númeo de patículas. Ejemplo : Patículas en una estuctua ígida con inteacciones elásticas locales. En una estuctua cúbica cada patícula tiene seis vecinas. La fueza de inteacción seía: ij F = k ( ) = k. ij i j Ejemplo : Estuctua molecula no ígida con potencial atactivo-epulsivo. Un ejemplo de este tipo seían los sistemas como geles, espuma, gelatina, líquidos viscosos, en los que estas fuezas van haciendo evoluciona la distibución de las patículas con el tiempo. El conjunto de paticulas vecinas debeá, po tanto, actualizase cada cieto tiempo. La elación ente la fueza F y el potencial V es: F = V. Un ejemplo de la vaiación de estas magnitudes según la distancia ente las patículas podía se: ij 87

12 Tema 5: Animación 3D V() F Repulsión Repulsión equilibio Atacción Atacción 5.4 LIGADURAS RESTRICTIVAS Y FIGURAS ARTICULADAS Un tipo de ligadua difeente al visto en el apatado anteio apaece cuando dos objetos se elacionan po medio de fuezas que limitan sus movimientos, ceándose una unión o contacto de alguna clase. La llamaemos ligadua no flexible, ligadua con esticciones o ligadua ígida. El númeo de gados de libetad es la cantidad mínima de vaiables necesaias paa especifica exactamente la posición de un objeto. Si un objeto no está sometido a ningún tipo de esticción, tiene seis gados de libetad: tes coodenadas espaciales paa detemina su localización, y tes ángulos paa detemina su oientación. El númeo de gados de libetad no vaía aunque cambiemos el tipo de sistema de coodenadas (las tes coodenadas espaciales pueden se catesianas, esféicas o de cualquie oto tipo, peo siempe haán falta tes). Cuando apaece una ligadua ígida el númeo de gados de libetad disminuye. Po ejemplo, si sujetamos el objeto a una bisaga estática eliminamos todos los gados de libetad de posición y solamente dejamos un gado de libetad de otación. En muchos pogamas de animación y simulación existe la posibilidad de establece este tipo de ligaduas ente difeentes objetos y apovechalas paa poduci animaciones. Paa establece una ligadua ígida se suelen defini funciones de tansfeencia ente las vaiables de posición u oientación de difeentes objetos. Po ejemplo, podemos especifica que la posición en x de un objeto se elacione con el ángulo de gio θ de oto objeto po medio de la función θ = x 2 π. Esta función debe actua haciendo que si en cualquie momento cambia el valo de x, el valo de θ vaiaá según esta elación. taslada z taslada z gio alededo de x gio x En este ejemplo, a pati del gio del cilindo se deteminaía mediante una función el valo de la tanslación en z del cubo. Las ligaduas establecidas mediante una función de tansfeencia seán evesibles cuando la función sea estictamente ceciente o dececiente, existiendo una coespondencia biunívoca ente los dos gados de libetad ligados. En nuesto ejemplo significaía que a pati de taslada z se pueda obtene gio x y también a la invesa. Peo también pueden se no evesibles, en el caso de que la función no sea siempe ceciente o dececiente, como sucede en la gáfica del ejemplo, ya que no podemos halla la elación invesa; a un deteminado valo de taslada z podían coesponde dos valoes difeentes de gio x. 88

13 Dpto. Infomática Univesitat de València Ampliación de Infomática Gáfica Peo establece una elación de ligadua no especifica los valoes absolutos que ambas vaiables van a adquii con el tiempo. Po esta azón a las funciones de tansfeencia se suelen añadi los llamados geneadoes de funciones tempoales, que podemos imagina como pocedimientos cuya salida es un valo que cambia en función del tiempo (po ejemplo, siguiendo una función lineal o sinusoidal). En algunos entonos paa el desaollo de animaciones se puede tabaja con una epesentación gáfica de las funciones de tansfeencia y de los geneadoes tempoales como bloques que se conectan ente sí y también con los gados de libetad de los objetos (como muesta la siguiente figua). En otos sistemas no existe un entono gáfico, peo sí las estuctuas y funciones necesaias paa cea estos objetos (como en el entono de desaollo dvise de Division Ltd. o en la libeía gáfica IRIS Invento). Ota técnica utilizada paa establece ligaduas ígidas es defini paámetos vituales. En luga de establece una coespondencia ente dos vaiables de objetos de la escena, como se hace en una función de tansfeencia, se cea un nuevo paámeto que no coesponde a ningún objeto paticula peo que sive paa contola a dos o más gados de libetad de los objetos. Esta es una manea sencilla de coodina los movimientos de difeentes pates de un objeto o de elaciona un objeto con oto. Las ligaduas po medio de paámetos vituales pueden anidase, ceándose una jeaquía de ligaduas, de manea que con pocas vaiables pueden contolase un gan númeo de gados de libetad de la escena. En la figua de ejemplo se han definido dos paámetos vituales (p1 y p2) que pemiten, a tavés de cuato funciones, contola de foma coodinada las posiciones de los dos ojos y la boca mediante el valo de p1. z taslada x gio z gio z taslada x x gio z LIGADURA gio z = f ( t ) (GENERADOR DE FUNCIÓN TEMPORAL) F ( t ) = sen t t del sistem a Ejemplo de conexión ente funciones de tansfeencia, geneadoes tempoales y paámetos de los objetos f1 p1 f2 p2 f3 f4 ojo ojo boca 89

14 Tema 5: Animación 3D Ejemplo de ligaduas a tavés de paámetos vituales anidados JERARQUÍAS ARTICULADAS Una jeaquía aticulada es un conjunto de pates ígidas (segmentos) que están unidas dos a dos po medio de ligaduas estictivas llamadas aticulaciones. Este tipo de sistemas (que la Robótica estudia en pofundidad) nomalmente no tiene gados de libetad elacionados con la posición, sino solamente con las otaciones (desde uno hasta tes ángulos independientes dependiendo del tipo de aticulación). Sin embago, puesto que los objetos visuales no tienen necesaiamente poqué segui las leyes de las aticulaciones eales, es posible añadi opeaciones de taslación y escalado (cambio de tamaño) en cada aticulación, siendo posible teóicamente tene nueve gados de libetad po cada una. Segmentos ígidos Aticulación B1 C B2 T (RAíZ DE JARARQUíA) T P1 R1 P2 R2 C B1 B2 P1 P2 Jeaquía aticulada R1 R2 Desde el punto de vista de la infomática gáfica podemos imagina la jeaquía aticulada como una estuctua de datos que nos pemite dibuja las pates del objeto en la posición adecuada y contola su movimiento. El algoitmo que dibuja la escena ecoe ecusivamente la estuctua aticulada tansfomando el sistema de coodenadas utilizado paa la epesentación de los objetos. Si suponemos que la epesentación visual de cada segmento ígido está definida especto a un sistema de coodenadas centado en el punto de aticulación, entonces cada vez que el algoitmo de ecoido llega a una aticulación de la jeaquía debe: 1.- Taslada el sistema de coodenadas desde su posición anteio hasta el punto donde se conectaá el siguiente segmento. 2.- Una vez tasladado allí, tiene que gia el sistema de coodenadas según el estado de la aticulación, es deci, según los valoes de los ángulos. Si consideamos que cada aticulación viene definida po tes gados de libetad de otación, entonces son necesaios 3*n valoes (n es el númeo de aticulaciones) paa especifica completamente la posición de la figua aticulada. El conjunto de estos 3*n ángulos se llama vecto de configuación ( θ ) CONTROL DE LA JERARQUÍA ARTICULADA El poblema que plantean los objetos aticulados es el gan númeo de gados de libetad que poseen, cuyo cambio en el tiempo debe especificase paa ealiza la animación. Vamos a ve cuáles son los métodos de que disponemos paa consegui que la figua ealice los movimientos deseados. Las dos fomas de especifica la posición son da el vecto de configuaciónθ (los ángulos de las aticulaciones), o bien da diectamente la posición final de cada segmento ígido, datos que ecogemos dento de un vecto X. Hay dos vaiantes básicas paa hace el contol de posición con el tiempo: 90

15 Dpto. Infomática Univesitat de València En los métodos diectos, dados los valoes de θ calculaemos los de En los métodos invesos, dado X calculaemos θ. Ampliación de Infomática Gáfica Ambos tipos de métodos pueden combinase con keyfames de dos maneas difeentes: po un lado los keyfames pueden descibi la vaiación con el tiempo de los datos de contol (ángulos en el caso diecto y las posiciones en el caso inveso); po oto lado, una vez calculado el esultado paa cietas posiciones de tiempo, estos valoes pueden almacenase en foma de keyfames. De esta última foma, cuando la animación deba ejecutase de nuevo no seá necesaio calcula ota vez el movimiento de la estuctua aticulada, sino que se puede intepola sobe los keyfames pecalculados. En este caso hay que evita que los keyfames se encuenten excesivamente sepaados en el tiempo, ya que la intepolación podía poduci esultados ieales Cinemática Diecta Es el método más sencillo. Se calcula X f( ) X. = θ mediante un meo cálculo geomético, sin tene en cuenta las popiedades dinámicas de la jeaquía aticulada (inecia, esistencia, peso). Este método es muy eficiente, puesto que a pati de los ángulos de las aticulaciones podemos asigna fácilmente posiciones a los segmentos ecoiendo la estuctua abóea de foma ecusiva tal como hemos visto antes. El inconveniente de este método es que no facilita la colocación de la figua en la postua deseada cuando existen muchos gados de libetad. Se emplea pincipalmente paa descibi movimientos que no están oientados a objetivos, sino que se desaollan de foma mecánica y autónoma Dinámica Diecta Al no considea las vaiables dinámicas, la cinemática diecta puede poduci efectos ieales desde el punto de vista físico (po ejemplo, cambios instantáneos en el movimiento de un bazo aticulado, sin inecia ni apaente esfuezo). Po esta azón es conveniente hace el cálculo diecto utilizando ecuaciones difeenciales en las que apaezcan las fuezas, momentos, tosiones, etc., aunque esto significa aumenta consideablemente el coste computacional Cinemática Invesa 1 Los métodos invesos en los que se petende llega a una elación θ = f ( x) conllevan un poceso de cálculo mucho más costoso que los diectos, y po tanto esultan de difícil aplicación paa tiempo eal, sobe todo cuando el númeo de gados de libetad es elevado (existen algunas apoximaciones de tipo iteativo que pueden utilizase). Sin embago, este tipo de métodos esultan casi impescindibles paa cea animaciones ealistas de figuas aticuladas cuyo compotamiento está oientado a objetivos, es deci, que tatan de alcanza cietas posiciones (como coge un objeto con una extemidad o camina sobe una supeficie). Uno de los inconvenientes de los métodos invesos, y en paticula de la cinemática invesa, es que pueden existi infinitas soluciones paa los valoes de los ángulos que llevan a una posición final dada, y debe elegise solamente una de ellas. También es posible que, debido a las esticciones de la estuctua (po ejemplo, no puede intesectase consigo misma), no exista solución Dinámica Invesa Este último método, aunque el más costoso, pesenta una seie de ventajas fente a los descitos anteiomente. Po un lado la intoducción de citeios dinámicos, pincipalmente el citeio de utiliza la mínima enegía posible en el desplazamiento, pemiten educi el espacio de posibles soluciones paa enconta la óptima. Además poducen esultados muy natuales, puesto que las estuctuas aticuladas natuales como las de los animales siguen el mismo pincipio de mínima enegía Otos Métodos Complementaios de Contol 91

16 Tema 5: Animación 3D Contol po puntos fijos Hasta ahoa hemos supuesto que el nodo aíz de la jeaquía aticulada ea siempe el mismo. Resulta evidente que la posición del segmento ígido que actúa como aíz de la jeaquía no va a cambia en el poceso ecusivo de evaluación, ya que éste comienza pecisamente a pati de ese nodo del ábol. Po tanto, la posición del segmento aíz en el espacio puede se asignada de foma independiente y nos sive paa move la totalidad de la figua aticulada po el espacio. Sin embago, hay ocasiones en que nos inteesaía pode detemina diectamente la posición de oto segmento de la jeaquía y mantenelo fijo duante el movimiento. Po ejemplo, cuando andamos uno de los pies se mantiene en contacto con el suelo mientas nos desplazamos, y luego cambiamos el apoyo al oto pie. Paa epoduci ese compotamiento podemos comenza po asigna el nodo que epesenta al pie fijo como nodo aíz, a pati del cual se calcula la posición de los otos segmentos. Podemos luego cambia el nodo aíz de un pie a oto y eodena la jeaquía, teniendo en cuenta que las tansfomaciones ealizadas en cada aticulación se invetián. aiz 1 aiz 2 aiz 3 Movemos el cuepo Movemos los pies Cambio del nodo aíz del tonco (aiz 1) a los pies (aiz 2 y aiz 3) paa contola el movimiento al anda. Contol del cento de masa Paa cea postuas estáticas y movimientos de balanceo ealista debemos de tene en cuenta que el cento de masa de toda la figua aticulada que esté en equilibio debe situase sobe la vetical de la supeficie de sustentación (po ejemplo la fomada po la planta de un pie en el caso de sostenese sobe uno solo, o la que uniía los dos pies en el caso de apoyase sobe ambos). En algunos movimientos, po ejemplo al anda, el cento de masa sale fuea de esta supeficie tempoalmente (al cambia de un pie a oto), cuando la figua deja de esta en equilibio. Ligaduas estictivas adicionales Podemos combina la estuctua aticulada ligaduas ente los valoes de los paámetos de las aticulaciones. De esta manea disminuimos el númeo de gados de libetad y esulta más fácil consegui movimientos en los que difeentes pates de la estuctua están coodinadas. Po ejemplo, podemos consegui que los dos bazos de una figua humana se muevan a la vez, ligando sus ángulos mediante funciones de tansfeencia que los igualan. 5.5 CAMBIOS DE FORMA Hasta ahoa hemos supuesto que los objetos no cambiaban de foma con el tiempo, peo eso no siempe se coesponde con la ealidad. En muchos casos puede esulta inteesante descibi estos cambios de foma, bien paa intoducilos en la animación o bien como una ayuda paa modela los objetos duante el poceso pevio de edición hasta que adopten la foma que nos inteesa. Veemos pimeo las técnicas utilizadas paa manipula la foma en imágenes planas y luego las extendeemos a los objetos tidimensionales MORPHING 2D 92

17 Dpto. Infomática Univesitat de València Ampliación de Infomática Gáfica Recientemente se han populaizado en publicidad y efectos especiales cinematogáficos las técnicas llamadas de mophing. Debemos distingui claamente ente aquellos efectos que se basan en la manipulación de imágenes planas de aquellos otos que tabajan con una epesentación tidimensional. En el mophing de imágenes se utilizan dos efectos básicos; la defomación de la imagen, edistibuyendo sus coloes y fomas, y el fundido de dos imágenes, pasando de foma continúa de una a ota. Ambos efectos paten de una descomposición del espacio de la imagen en una malla de tiángulos. Paa especifica un cambio continuo en la foma de la imagen basta con descibi cómo vaía la posición de los vétices de la malla de un instante de tiempo al instante posteio. ANTES DESPUÉS La clave paa que la imagen se defome de manea coheente con la malla de tiángulos es consegui que cuando un tiángulo de la malla cambie de foma, el tozo de imagen que queda en su inteio se edistibuya sobe el mismo tiángulo. Esto esulta muy fácil de implementa epesentando la imagen como una textua bidimensional sobe una malla plana de tiángulos (el uso de textuas se descibiá en el tema 7). El mophing se poduce automáticamente cuando se mueven los vétices sin altea las coodenadas de textua oiginales. Si lo que se desea es hace más gande una pate del objeto epesentado en la imagen, se debeán estia los tiángulos que lo cuben; si lo que se quiee es hacela más pequeña habá que disminui el tamaño de los coespondientes tiángulos. Se puede también uni vétices, con lo que cietos tiángulos (y la coespondiente pate de la imagen) desapaeceán completamente. Paa consegui efectos inteesantes de mophing cada asgo elevante de la imagen debe queda cubieto po tiángulos de manea pecisa. Po ejemplo, si queemos manipula la foma de una naiz en la imagen de una cabeza humana, tendemos que ecubi la naiz con tiángulos que macan claamente su fontea. Un caso especial de este tipo de mophing es el que se ealiza paa simula el movimiento de la cámaa desde un luga a oto, patiendo de dos imágenes, la inicial y la final, tomadas desde difeentes puntos de vista. La foma clásica de ealiza un fundido ente dos imágenes es intepolalas en el tiempo, dando pogesivamente más peso a una de las imágenes y menos a la ota. Peo este sistema no ealiza una intepolación de las fomas de los objetos que contengan las imágenes inicial y final. Podemos utiliza el mophing 2D paa i distosionando las dos imágenes al mismo tiempo que fundimos la infomación de colo. Paa ello tenemos que defini mallas tiangulaes en ambas imágenes y establece una 93

18 Tema 5: Animación 3D coespondencia ente los vétices. Lo más sencillo es busca una coespondencia estuctual, de manea que el vétice coespondiente a un asgo (po ejemplo, la punta de la naiz) se coesponda en ambas imágenes, haciendo que ambas mallas sean isomofas o coheentes. También es posible duplica o colapsa vétices duante el poceso. Funcionamiento del view mophing MORPHING 3D Mophing 2D con defomación y fundido simultáneo En este caso no se tata de modifica una imagen sino la foma del objeto en tes dimensiones. Este cambio continuo puede utilizase en animación paa epesenta defomaciones o cea efectos visuales. Oto uso, más técnico, consiste en suaviza las tansiciones ente difeentes epesentaciones de un mismo objeto cuando éstas tienen difeente nivel de detalle (las técnicas de nivel de detalle las pesentaemos en el tema 6). Aunque existen técnicas de mophing paa otos tipos de epesentaciones, la manea más común de hacelo es definiendo los objetos, al igual que en 2D, mediante una malla de tiángulos. La intepolación 94

19 Dpto. Infomática Univesitat de València Ampliación de Infomática Gáfica de la posición ente la situación inicial y final se ealizaá en este caso en el espacio tidimensional. También pueden intepolase otas popiedades del objeto, como la textua o el mateial. Igual que en el caso bidimensional, las dos estuctuas de vétices pueden se isomofas, o podemos añadi o elimina vétices duante el poceso. Esta última opción se usa cuando queemos efectua la tansición ente dos niveles de detalle difeentes del mismo objeto, que están caacteizados pecisamente po tene un númeo difeente de vétices. Ejemplo de cambio de la foma tidimensional ente dos muñecos Existen difeentes fomas de añadi o quita vétices de foma continua. Una manea de hacelo es aceca (o sepaa) pogesivamente los dos vétices. Debemos tene en cuenta que al cea nuevos vétices debemos econstui la tiángulación de la supeficie. Adición pogesiva de un nuevo vétice paa aumenta el nivel de detalle, con etiangulación Recientemente esta técnica se ha extendido paa constui la llamada epesentación pogesiva de objetos poligonales, que pemite el contol continuo de nivel de detalle. La epesentación pogesiva de un objeto consiste en una malla tiangula básica, la de meno detalle, más una lista de vétices que deben ise añadiendo paa pasa a vesiones más detalladas del objeto (más la infomación sobe su posición final de esos vétices). Ejemplo de epesentación pogesiva de un objeto, con la posibilidad de hace mophing ente niveles CAMBIOS DE FORMA INDEPENDIENTES DE LA REPRESENTACIÓN Las técnicas de mophing descitas tienen dos poblemas. El pimeo es que esulta costoso genea de foma sencilla cambios globales en la foma del objeto (es más útil paa especifica cambios en los 95

20 Tema 5: Animación 3D detalles). La segunda desventaja es que la descipción del un cambio de foma solo es aplicable a un cieto objeto, y en teniendo en cuenta deteminada epesentación, po ejemplo la poligonal. Vamos a ve ahoa otas técnicas paa descibi cambios de foma, que pueden aplicase independientemente del sistema de epesentación y no están ligadas a la foma conceta del objeto. Paa especifica y visualiza estas defomaciones se suele utiliza un objeto geomético sencillo (p. ej. un cubo) que envuelve al objeto eal. El objeto envolvente se defoma, y el objeto eal sufe la misma tansfomación según su posición dento de la figua envolvente. Modelo de defomaciones no lineales globales ( Ba ) Hemos visto que mediante la aplicación de matices a las coodenadas espaciales de los vétices de un objeto es posible genea tansfomaciones del tamaño y la posición del objeto llamadas tansfomaciones lineales. Las tes tansfomaciones lineales más utilizadas son el escalado, la taslación y la otación. Sin embago, estas tansfomaciones lineales no altean la foma básica del objeto y cada aista ecta del objeto continúa siendo ecta después de la tansfomación. La idea del método de Ba es utiliza estas mismas tansfomaciones elementales, peo aplicándolas de manea difeente a cada punto del objeto, dependiendo de sus coodenadas. Como esultado, el efecto de la opeación sobe la foma global del objeto es una tansfomación no-lineal. Es posible escoge difeentes conjuntos de tansfomaciones no lineales tomando unas u otas tansfomaciones básicas y haciéndolas depende de las coodenadas x, y, z de divesas maneas. Algunos ejemplos podían se: Compimi : se utiliza el escalado de dos de las coodenadas en función de la tecea; po ejemplo, el escalado paa cada punto (x, y) vaiando en función de z: ESCALA x = f(z) ESCALA y = f(z) escala x escala y y z z z x Retoce : se aplica una otación a dos de las coodenadas que depende de un ángulo que a su vez es función de la coodenada estante. Dobla : en este caso es la tanslación de dos de las coodenadas la que vaía en función de una de la ota. TRAS x, y = f(z) y ty tx z z x Defomaciones con volúmenes paaméticos (Fee-Fom Defomation ó FFD) 96

21 Dpto. Infomática Univesitat de València Ampliación de Infomática Gáfica Es una defomación basada en la tansfomación de un volumen definido de foma paamética, como po ejemplo el hipetozo ticúbico de Bèzie, en el que cada lado es un tozo cúbico de Bèzie definido po dos cuvas cúbicas. O sea, cada aista viene definida po cuato puntos de contol: los dos vétices del cubo más dos puntos intenos en la aista. En la posición de eposo los puntos de contol se encuentan en las caas de un cubo. Cada vétice en el inteio del cubo tiene unas coodenadas paaméticas inducidas po la posición de los puntos de contol. Po tanto, paa cada posición de los puntos de contol existe una elación: ( xyz,, ) = f( uvw,, ) ( uvw,, ) = f 1 ( xyz,, ) El poceso de defomación funciona de la siguiente foma: a) En la posición de eposo se calculan las coodenadas paaméticas de cada vétice (u o, v o, w o ). b) Cada vez que se muevan los puntos de contol del hipetozo, la elación ente coodenadas paaméticas y catesianas viene dada po una nueva función f. Lo que hacemos es supone que las coodenadas paaméticas de cada punto pemanecen invaiantes y ecalculamos las coodenadas catesianas, lo que poduciá un cambio en la foma del objeto: (x, y, z ) = f (u o, v o, w o ) ARTICULACIONES FLEXIBLES ( SKINNING ) La epesentación visual de segmentos ígidos en una figua aticulada plantea el inconveniente de que la juntua existente ente cada paeja de segmentos, no esulta natual, sobe todo cuando intentamos epesenta cuepos flexibles. Paa solucionalo tenemos dos técnicas. La pimea se basa en un modelo de músculos que actúan como fomas elementales paa genea una supeficie equipotencial que epesente el papel de piel, ceando una supeficie continua que da una mejo apaiencia a la aticulación. La segunda técnica emplea volúmenes paaméticos concatenados (hipetozos como los que hemos visto en el método FFD). Uno de estos hipetozos estaá conectado a los dos segmentos ígidos (ve figua ) y esultaá defomado po el movimiento de la aticulación. Mediante el método FFD calculaemos la coespondiente tansfomación suave de una supeficie intemedia que epesenta el tamo de la aticulación. 97