Unidad didáctica 1: Interacción gravitatoria Unidad didáctica 2: Campo gravitatorio Unidad didáctica 3: Movimiento vibratorio...

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2 Índice Unidad didáctica : Inteacción gaitatoia... Unidad didáctica : Capo gaitatoio... 9 Unidad didáctica : Moiiento ibatoio... 9 Unidad didáctica 4: Moiiento ondulatoio Unidad didáctica 5: Fenóenos ondulatoios ecánicos Unidad didáctica 6: Capo eléctico... 8 Unidad didáctica 7: Capo agnético Unidad didáctica 8: Inducción electoagnética... Unidad didáctica 9: La luz y sus popiedades... 7 Unidad didáctica 0: Óptica geoética... 4 Unidad didáctica : La física del siglo XX Unidad didáctica 0: Física nuclea... 77

3 Unidad didáctica Inteacción gaitatoia

4 Soluciones unidad : Inteacción gaitatoia º Bachilleato 008 SOLUCIONES UNIDAD. INERACCIÓN GRAVIAORIA CUESIONES INICIALES. De que foas se ha explicado la posición de la iea en el Unieso a lo lago del tiepo? Según el odelo geocéntico, la iea está inóil y situada en el cento del Unieso. Los astos gian en tono a ella con oiiento cicula unifoe. En el odelo heliocéntico, es el Sol el que está situado en el cento del Sistea Sola y la iea, junto a los planetas, gian a su alededo.. Repesenta en un esquea todas las fuezas que actúan sobe el sistea foado po la iea y po la Luna. Las dos fuezas tienen el iso ódulo y la isa diección y sus sentidos son opuestos, pues son un pa de fuezas de acción y eacción.. El Sol está situado a una distancia edia de 50 illones de k. Cuál es la elocidad y aceleación edia de la iea en tono al Sol? Repesenta los ectoes anteioes sobe la tayectoia de la iea alededo del Sol. a) La elocidad de taslación de la iea es: 9 π R π /s 65 días 4 h/día 600 s/h Su diección es la de la tangente a la tayectoia y su sentido el del oiiento. El oiiento únicaente posee aceleación noal, ya que sólo se odifica la diección del ecto elocidad. (9 886 /s ) - an 5,9 0 / s R Su diección es la de la ecta que une los centos de los astos y su sentido hacia el Sol. ACIVIDADES FINALES. Si se descubiea un planeta situado a una distancia del Sol diez eces ayo que la distancia a la que se encuenta la iea, Cuántos años teestes tadaía en ecoe su óbita? Aplicando la tecea ley de Keple: Sustituyendo: (año) Planeta (U.A.) (0U.A.) R iea iea Planeta R Planeta Planeta,6años teestes. Calcula la asa del Sol sabiendo que la constante de la tecea ley de Keple paa los planetas del sistea sola tiene el alo de,5 0 8 /s. 8 La tecea ley de Keple tabién se puede expesa coo:,5 0 s 4

5 Soluciones unidad : Inteacción gaitatoia º Bachilleato 008 Paa calcula la asa del asto cental se aplica la segunda ley de Newton al oiiento cicula del planeta: G M ΣF a ; n Despejando: asto planeta planeta G M ; asto 4 π 4 π 4 π 8 Msol,5 0,98 0 G 6,67 0 N / kg s. La asa de Júpite es 8 eces la de la iea, su adio edio es 0,85 eces el teeste y su distancia edia al Sol es 5, eces la de la iea. Con estos datos calcula el peíodo obital en tono al Sol en elación a un año teeste y el alo de la gaedad en su supeficie en elación al de la iea. El peíodo de Júpite se calcula aplacando la tecea ley de Keple: J J año ; J (5, ) J,86 años La expesión de la aceleación de la gaedad en la supeficie de un asto es: MJ 8 M 8 G M g J G G,7 g 0, 6,5 / s R (0,85 R ) 0,85 R J 4. Dos satélites de counicaciones A y B ( A > B ) gian alededo de la iea en óbitas ciculaes de distinto adio (R A < R B ). Se pide: a) )Cuál de los dos se oeá con ayo elocidad lineal? b) Cuál de los dos tendá ayo peíodo de eolución? 0 kg Aplicando la segunda ley de Newton a un satélite que gia en tono a la iea en una óbita de adio, esulta que la elación ente la elocidad y el adio de la B óbita es: A G ΣF a ; s n s G De lo que se deduce que cuanto pequeño es el adio de la óbita ás depisa se uee el satélite A > B. A B Aplicando la tecea ley de Keple a los dos satélites, esulta que: De donde se deduce que si B > A entonces A < B, es deci que cuanto eno es el adio de la óbita enos tiepo se tada en ecoela, po lo que: A < B. 5. Dos satélites de igual asa obitan en too a un planeta de asa ucho ayo siguiendo óbitas ciculaes coplanaias de adios R y R y ecoiendo abos las óbitas en sentidos contaios. Calcula la elación ente sus peiodos y ente sus oentos angulaes (ódulo, diección y sentido). a) Sea A el satélite que sigue la óbita de eno adio y B el de la de ayo adio. Los peíodos de los satélites y los adios de sus óbitas están elacionados po la tecea ley de Keple. A B A B ; R ; A R R R ( R) B 7 A A A B B 7 R b) El oento angula de un satélite especto del planeta es: L x es un ecto pependicula al plano de la óbita y su sentido está deteinado po la egla de Maxwell. A B A B B A 5

6 Soluciones unidad : Inteacción gaitatoia º Bachilleato 008 Su ódulo es: L sen φ y coo la óbita es cicula, esulta que: L sen90º π L π Coo las óbitas son coplanaias la diección de los dos oentos angulaes es la isa, la de la pependicula al plano de la óbita. Al ecoe las óbitas en sentidos contaios, los sentidos de los oentos angulaes son opuestos. La elación ente los ódulos, coo tienen la isa asa, es: Sustituyendo: L L R A A B ( R) A L L A B π π 6. Se tienen dos satélites iguales, de la isa asa, uno gia en una óbita cicula alededo de la iea y el oto en tono a Mate. Cuál es la elación ente los adios de las óbitas si abos tienen en iso peíodo? Su pongaos ahoa que los dos satélites gian en óbitas del iso adio, cada uno alededo de su planeta. Cuál es la elación ente los oentos angulaes coespondientes? Datos: Mate 0, iea ; R Mate 0,5 R iea Sobe los satélites actúa la inteacción gaitatoia con su planeta coespondiente. Aplicando la segunda ley de Newton y coo las óbitas son ciculaes, se tiene: P S P 4 ΣF ;G G S an S π Despejando el adio de la óbita es: G 4 π P La elación ente sus adios obitales, coo sus peíodos son iguales es: iea Mate G 4 π iea G 4 π Mate 0, iea iea 0,,09 iea,09 El ódulo del oento angula de un satélite especto del planeta es: L La elocidad obital es: G planeta Los adios de las óbitas son iguales y la elación ente los ódulos de los oentos angulaes es: G iea Liea satélite iea iea,0 Liea,0 LMate LMate satélite Mate G 0, Mate iea 7. Un planeta descibe una óbita cicula de adio Α 0 8 k con un peíodo de otación años en tono a una estella de asa ucho ayo. Calcula la asa de la estella. La asa del asto cental se aplica aplicando la dináica del oiiento cicula del planeta: G M ΣF a ; n asto planeta planeta G M ; asto 4 π Mate A B A A B B R R A B B A 6

7 Soluciones unidad : Inteacción gaitatoia º Bachilleato 008 Despejando: M 4 π ( 0 ) asto 4 π G 6,67 0 N / kg (años65días / año 4h/ día 600s / h), Euopa, satélite de Júpite, fue descubieto po Galileo en 60. Sabiendo que el adio de la óbita que descibe es de 6,7 0 5 k y su peíodo de días, hoas y inutos, calcula la elocidad de Euopa elatia a Júpite y la asa del planeta. El peíodo de Euopa es: días hoas y inutos, s La elocidad obital del satélite es: π π 6,7 0 4,7 0 / s 5,07 0 s Paa calcula la asa del asto cental se aplica la segunda ley de Newton al oiiento cicula del planeta: G M asto planeta ΣF an ; planeta 4 8 (,7 0 / s) 6,7 0 k Despejando: M G 6,67 0 N /kg asto 8, El diáeto de la Luna es la cuata pate del de la iea y su asa es /8 de la asa de la iea. )Con qué elocidad llegaá a la supeficie de la Luna un objeto que se deja cae desde una altua de 5? La elación ente los diáetos es la isa que ente los adios. La aceleación de la gaedad en la supeficie de la Luna es: M G L 8 6 G M 6 6 G go, iea 9,8/ s,9 / s R R 8 R 8 8 L 4 g La elocidad que adquiee el objeto en la supeficie de la Luna es: g h,9 / s 5 4,4 /s 0. Supón que la iea edujese su adio a la itad anteniendo su asa. Auentaía el alo de la aceación de la gaedad en su supeficie? Se odificaía sustancialente su óbita alededo del Sol? 7 kg 9 kg El alo de la aceleación de la gaedad en la supeficie es: G M G M 4G M g ' 4 g ' 0, iea Coo la asa peanece constante y se considea localizada en el cento de la iea, la fueza gaitatoia con la que inteacciona con el Sol no se odifica y po tanto la óbita no sufe ninguna alteación.. Calcula el alo de la aceleación de la gaedad en la supeficie del planeta Mecuio sabiendo que el adio de Mecuio es igual a la tecea pate del adio teeste y que la densidad de Mecuio es /5 de la densidad de la iea. 7

8 Soluciones unidad : Inteacción gaitatoia º Bachilleato 008 Aplicando la elación ente las densidades se cuple que: MM M M R ; M ρ ρ M M M π R π R R M Aplicando la elación ente los adios: R Α R M, se tiene que la elación de las asas es: M RM MM M 5 ( R ) 45 M Aplicando la segunda ley de Newton, la aceleación de la gaedad en la supeficie de ecuio es: g M G M R M M G M 45 R 9 45 g tiea 9,8 / s / s 5. La aceleación de la gaedad en un planeta es 5 /s. Si su adio es igual a la itad del adio teeste, calcula la elación de su asa con la asa de la iea. G M La aceleación de la gaedad en la supeficie de un planeta es: g R G Miea gplaneta Riea Miea R Copaando sus aloes en los planetas, esulta que: g iea G MPlaneta MPlaneta R R Opeando: M M Planeta iea g g iea Planeta R R Planeta iea R 5/ s 9,8/ s R iea iea M 8 Planeta Planeta M 8. Un planeta de foa esféica tiene un adio de 000 k y la aceleación de la gaedad en su supeficie es 6 /s. Calcula su densidad edia. La aceleación en su supeficie es: V g R G 4 π R G g R g R G iea Planeta La densidad es: ρ 758kg/ g 4 π R G 6/ s 6 4 π 0 6, Un cuepo de asa 00 kg está situado en la supeficie de la iea. Cuál es su peso? Si se duplicaa el adio de la iea, anteniendo la asa de ésta, cuál seía entonces el peso del cuepo? Si se duplicaa el adio de la iea, anteniendo constante su densidad edia, cuál seía en tal caso el peso del objeto? N /kg iea El peso en la supeficie de la iea es: G M P g 00kg 9,8/ s R 980N Al duplica el adio y con la isa asa de la iea, se tiene que el peso seía: G M G M P 980N P 45N ( R) 4 4 8

9 Soluciones unidad : Inteacción gaitatoia º Bachilleato 008 Coo la densidad peanece constante, se tiene que la asa M de la iea es: 4 π R' M M' V' ( R) ρ ρ'; ; M' M M M M 8 V V' V 4 R π R G M' G 8 M Y el peso del objeto es: P P 980N 960N ( R) 5. En dos de los étices de un tiángulo equiláteo de de lado hay colocadas sendas asas de kg cada una. Calcula el ódulo, la diección y el sentido de la fueza con la que actúan sobe ota asa de 5 kg colocada en el oto étice. Se elige un sistea de efeencia con el lado del tiángulo que contiene las asas sobe el eje X y en el oigen una de ellas. Se denoinan y a las dos asas iguales y a la ota asa. Las dos asas iguales actúan sobe la asa desigual con fuezas del iso ódulo. G G kg 5kg F F Las coponentes en el eje X de las fuezas anteioes se anulan po sietía y las coponentes en el eje Y se efuezan. Y V F x F x F 0º F y F y 60º P X F Coo los ángulos de un tiángulo equiláteo son de 60º, esulta que la fueza que actúa sobe la asa desigual es: G kg 5kg 6,67 0 N / kg kg 5kg F Fy sen 60º sen 60º,7 0-9 N 9 Vectoialente: F,7 0 j N t 6. es asas puntuales de kg están situadas en tes étices de un cuadado de de lado. )Qué fueza actúa sobe una cuata asa de kg colocada en el oto étice? Se elige un sistea de efeencia con la asa colocada en el punto (0, 0), la situada en (, 0), la puesta en (0,) y la 4 localizada en (, ) y sobe la que se calculaá la fueza esultante. Aplicando la ley de Gaitación Uniesal y si L es la longitud del lado del cuadado, esulta que las expesiones de las fuezas con que actúan las espectias asas con la asa 4 son: G G (- j) - 4 F j 4 L G G (- i ) - 4 F i 4 L G G [ ] 4 F cos ϕ (- i ) + sen ϕ (- j) [- cos 45 i - sen 45 j) ] 4 ( L) G i - G - j 4 L 4 L F F x 4 F 45º F y F 9

10 Soluciones unidad : Inteacción gaitatoia º Bachilleato 008 Suando, las coponentes de la fueza esultante son: F + F Fx x G G - + i ; Fy F + F y - + j L 4 L 4 G F F x + F y - + ( i + j L 4 6,67 0 N / kg kg - + ( i + j) - 9,0 0 4 La fueza total es: ) Sustituyendo: ( i + j) N - - F 7. Dos puntos ateiales de asas y espectiaente, se encuentan la una distancia de. Dónde habá que coloca ota asa paa que esté en equilibio? Sea las patículas:, y M la asa en equilibio. x - x La asa M estaá en equilibio cuando los ódulos de las fuezas con las que inteacciona con las otas asas sean iguales. G M G M F F ; ; x ( x) Opeando: ( x) x ; x + x 0 x 0,4 de la asa enos F M F 8. La Luna descibe una óbita cicula en tono a la iea en 8 días. Si la asa de la iea es 6,0 0 4 kg calcula la distancia ente los centos de la iea y la Luna. Cuál es el alo de la asa de la Luna sabiendo que una patícula de asa podía esta en equilibio en un punto alineado con los centos de la iea y de la Luna, a una distancia del cento de la iea de,4 0 8? Aplicando la segunda ley de Newton y consideando a la óbita cicula, se tiene: ΣF ;G S an Despejando y coo G 4 π S S G 4 π G g0, se tiene que la distancia ente sus centos es: R 4 6 6,67 0 N /kg 6,0 0 kg (,4 0 s) 4 π,9 0 En ese punto se igualan las fuezas de inteacción gaitatoia con la iea y con la Luna. Coo d,4 0 8 y d L d d,9 0 8, ,5 0 8, esulta que: 8 G M G ML M dl 4 (0,5 0 ) ; ML 6,4 0 kg,8 0 8 d d d (,4 0 ) L 9. Un planeta obita alededo de una estella de asa ucho ayo. La distancia ás póxia es R Póxio Α 0 8 k y la ás alejada es R Alejado,8 Α 0 8 k. Calcula la elación ente las elocidades del planeta en los puntos ás póxio, P, y ás alejado, A. La inteacción gaitatoia es una fueza cental, po lo que el oento angula del planeta especto del asto cental peanece constante a lo lago de la tayectoia en ódulo, diección y sentido. kg 8 0

11 Soluciones unidad : Inteacción gaitatoia º Bachilleato 008 L L Po tanto: ; P A P x P A x A P Α P A Α A,8 0 p A La elación ente las elocidades en los puntos P y A es:, 8 0. Dos satélites, A y B, gian alededo de un planeta siguiendo óbitas ciculaes de adios 0 8 y 8 0 8, espectiaente. Calcula le elación ente sus elocidades tangenciales espectias. La fueza de inteacción gaitatoia es la que peite a los satélites descibi un oiiento cicula en tono al asto cental. Aplicando la segunda ley de Newton al oiiento cicula, se tiene: G asto satélite satélite Fgaitato ia an; satélite A G Aplicando esta elación a cada satélite y opeando, se tiene: A B G A G B asto asto : A B G A G B asto asto B A A asto P. La nae espacial del pie uelo tipulado chino obitó la iea a una distancia de 0 k de su supeficie. Calcula el peíodo obital de la nae y su elocidad en la óbita, supuesta cicula. adio de la óbita es: R + 0 k 670 Α Α 0 6,70 Α 0 6 Aplicando la segunda ley de Newton y consideando a la óbita cicula, se tiene: ΣF ;G S an Despejando y coo S G S G g R 4 π 0, se tiene que el peíodo es: (6,70 ) π π π 0 5,5 Α 0 s 9 in G g 6 R 9,8 / s (6,7 0 ) La elocidad obital es: 0 π π 6,70 0 5,5 0 s 6 6 B 7,65 Α 0 /s. Un satélite atificial descibe una óbita cicula de adio R iea en tono a la iea. Calcula su elocidad obital y el peso del satélite en la óbita si en la supeficie de la iea pesa N. Dato: R iea 6400 k La fueza de inteacción gaitatoia es la que peite al satélite descibi un oiiento cicula en tono al asto cental. Aplicando la segunda ley de Newton al oiiento cicula y coo G g0, se tiene que: R G F a ; iea satélite n G iea G R iea iea satélite G R satélite R iea iea iea 9,8/ s 6, k k 5600/ s

12 Soluciones unidad : Inteacción gaitatoia º Bachilleato 008 El peso del satélite en la óbita es la inteacción gaitatoia con la iea. Relacionando el peso en la óbita con el peso en la supeficie de la iea. P P obita sup efice G iea satélite Riea 5000N P G obita Psup efice 50N iea satélite ( R ) iea R iea. La distancia iea-luna es apoxiadaente 60 R, siendo R el adio de la iea, igual a k. Calcula la elocidad lineal de la Luna en su oiiento alededo de la iea y el coespondiente peíodo de otación en días. La asa de la iea es: 5,98 04 kg Sobe la Luna actúa la inteacción gaitatoia. Aplicando la segunda ley de Newton al oiiento cicula de la Luna: 4 G iea Luna G iea 6,67 0 N / kg 5,98 0 kg ΣF an ; Luna , / s El peíodo del oiiento es: π π π 60 6,4 0 99/ s 6,4 0 6 s 8días 4. Una sonda espacial obita en tono a Mate ecoiendo una óbita copleta cada 7,5 hoas, siendo su asa 0 kg. Sabiendo que el adio del planeta Mate es de 90 k y que su asa es igual a 6,4 0 kg y suponiendo que la óbita es cicula, calcula su adio y la elocidad con que la ecoe la sonda. En ealidad, esta sonda descibe una óbita elíptica de foa que pueda apoxiase lo suficiente al planeta coo paa fotogafia su supeficie. La distancia a la supeficie aciana en el punto ás póxio es de 58 k y de 560 k en el punto ás alejado. Obtén la elación ente las elocidades de la sonda en estos dos puntos. El peíodo del oiiento es: 7,5 h 7,5 h 600 s/h,7 0 4 s a) Sobe la sonda espacial actúa la inteacción gaitatoia con Mate que popociona la fueza centípeta necesaia paa descibi la tayectoia cicula. Aplicando conjuntaente la ley de gaitación uniesal, la segunda ley de Newton y la elación ente el peíodo del oiiento y su elocidad, esulta que: G Mate sonda ΣF an; sonda G Mate 4 π π G Despejando: Mate 9, π 6,67 0 La elocidad con la que ecoe la óbita es: N / kg 6,4 0 4 π kg (,7 0 π π 9,5 0,5 0 / s 4,7 0 s La inteacción gaitatoia es una fueza cental, po lo que el oento angula de la sonda especto de Mate es una cantidad constante a lo lago de la óbita. L ceca L lejos Aplicando la definición de oento angula y coo el ecto de posición es pependicula al ecto elocidad, esulta que: ceca lejos 560k ceca sonda ceca lejos sonda lejos 44, 8 lejos ceca 58k Lógicaente iaja ás depisa cuanto ás ceca esté de la supeficie de Mate, de acuedo con la 6 4 s)

13 Soluciones unidad : Inteacción gaitatoia º Bachilleato 008 ley de las áeas. 5. En el año 957 la extinta Unión Soiética lanzó al espacio el pie satélite atificial de la histoia, el Sputnik. El satélite pesaba 8 kg y dio 400 óbitas alededo de la tiea con un peíodo de 96, in. Calcula el oento angula del satélite especto de la iea. Paa calcula el oento angula del satélite especto de la iea hay que deteina el adio de la óbita y su elocidad. Aplicando la segunda ley de Newton y consideando a la óbita cicula, se tiene: ΣF ;G S an Despejando y coo g R 4 π S G S G g R 4 π 0, se tiene que el adio de óbita es: 6 0 9,8/ s (6,7 0 ) (96, 60s) 4 π La elocidad del satélite es la óbita es: 6,95 0 π π 6,95 0 7,6 0 / s 96, 60s El ódulo del oento angula es: L 6, kg 7,6 0 /s 4,8 0 kg /s De diección la pependicula al plano de la óbita y sentido el indicado po la egla de Maxwell. 6. Un satélite gia alededo de la iea en una obita cicula de k de adio. Si el adio de la iea es igual a 670 k y la aceleación de la gaedad en su supeficie 9,8 /s, calcula el alo de la aceleación de la gaedad en la óbita y la elocidad angula del satélite. La elación ente la aceleación de la gaedad en la supeficie y en la óbita es: g g obita 0 G M G M R iea iea R g óbita g 0 R 9,8/ s (670k) (0000k) 6 6 0,99/ s La aceleación de la gaedad en la óbita es la isa que la aceleación noal del oiiento cicula del satélite. g a n ω ω ω g 0,99/ s, Si la asa de Mate es apoxiadaente la décia pate de la iea y su peíodo de otación en tono a su eje es apoxiadaente igual al de la iea, calcula el adio de la óbita de un satélite geoestacionaio obitando sobe el ecuado de Mate. Paa que un satélite sea geoestacionaio su peíodo de eolución tiene que se el iso que el de Mate, es deci, 4 h. π Aplicando la segunda ley de Newton a la óbita, de adio, y coo, se tiene: M ΣF ; G an G M 4 π 4 / s

14 Soluciones unidad : Inteacción gaitatoia º Bachilleato 008 Despejando el adio de la óbita,, esulta que: Y coo M /0, se tiene que: G 0 4 π Multiplicando y diidiendo po el R, esulta que: Y coo: g 0, iea G g R 0, se obtiene que: 0 4 π R G M 4 π 9,8 / s ( ) (8, π G R 0 4 π R 4 s ),9 Α k 8. Desde un luga situado a una distancia del cento de la iea igual a 5/4 del adio teeste, se desea pone en óbita cicula un satélite. Qué elocidad hay que counicale? Cuál es el peíodo del satélite? Datos: g 0 9,8 /s y R iea 670 k. La fueza de inteacción gaitatoia es la que peite al satélite descibi un oiiento cicula en tono al asto cental. Aplicando la segunda ley de Newton al oiiento cicula y coo G g0, se tiene que: R G F a ; iea satélite n G G 5 R 4 satélite satélite iea 6 iea 4 G iea Riea 4 9,8 / s 6,7 0 5 R 5 iea iea 5 6 π 6,7 0 π El peíodo del oiiento es: / s INVESIGA 7079s / s. Keple, inicialente, buscando la aonía de los cielos asoció las óbitas de los planetas conocidos hasta entones con los cuepos sólidos egulaes pitagóicos: cubo, tetaedo, dodecaedo, icosaedo y octaedo. Busca de qué foa intentaba Keple encaja las óbitas de los planetas con los sólidos egulaes. Keple, en su juentud, ceyó que había alguna elación ente las óbitas de los planetas y los sólidos egulaes pitagóicos. Ideó un esquea que consistía en ete una esfea dento de cada una de estas figuas y cada figua dento de ota esfea ayo. Así, la esfea exteio, que epesentaba la óbita de Satuno, contenía al cubo, el cual contenía a la esfea de Júpite, la cual contenía al tetaedo, el cual a su ez contenía la esfea de Mate, y así hasta llega a la esfea de Mecuio, contenida en el octaedo. Keple aaillado po esta constucción, la cual consideó una eelación diina, intentó constui un odelo paa copoba si las distancias ente los planetas y el Sol iban en la isa popoción que los taaños de las esfeas. 4

15 Soluciones unidad : Inteacción gaitatoia º Bachilleato 008 Sin ebago estas no coincidían, peo tan conencido estaba Keple po esta aonía ente los planetas y los sólidos de Pitágoas, que concluyó que las obseaciones debían contene algunos eoes. Aunque él iso pudo copoba años después que este odelo no tenía ninguna elación con las posiciones de los planetas.. Recienteente se le ha quitado a Plutón la categoía de planeta. Inestiga cuando se toó ese acuedo y las azones que lo otiaon. En el año 006 y en la ciudad de Paga los astónoos apobaon po unaniidad las siguientes categoías de objetos del sistea sola. Piea categoía: Un planeta es un cuepo celeste que está en óbita alededo del Sol, que tiene suficiente asa paa tene gaedad popia paa supea las fuezas ígidas de un cuepo de anea que asua una foa equilibada hidostática, es deci, edonda, y que ha despejado las inediaciones de su óbita. Segunda categoía: Un planeta enano es un cuepo celeste que está en óbita alededo del Sol, que tiene suficiente asa paa tene gaedad popia paa supea las fuezas ígidas de un cuepo de anea que asua una foa equilibada hidostática, es deci, edonda; que no ha despejado las inediaciones de su óbita y que no es un satélite. ecea categoía: odos los deás objetos que obitan alededo del Sol son consideados colectiaente coo cuepos pequeños del Sistea Sola. En consecuencia, de acuedo con esta definición, los planetas del Sistea Sola son a pati de ahoa ocho, en luga de nuee: Mecuio, Venus, iea, Mate, Júpite, Satuno, Uano, Neptuno (odenados po su cecanía al Sol, de eno a ayo). Plutón, descubieto en 90, piede así su condición de planeta, y continúa integando el Sistea Sola coo planeta enano. ES DE AUOEVALUACIÓN. Contesta si son edadeas o falsas las siguientes afiaciones: a) La iea se uee alededo del Sol ás depisa cuando es eano en el heisfeio note que en inieno. b) Si la óbita de un satélite es cicula, su cento coincide con el de la iea. c) La constante de la tecea ley de Keple solo depende de la asa del asto cental. d) Cuanto ás lejos está un planeta del Sol eno es su elocidad obital. a) Falso La óbita de la iea es casi cicula, su distancia al Sol en el afelio de 5 illones de k y en el peihelio de 47 illones de k. Según la segunda ley de Keple la línea que une al Sol con un planeta ecoe áeas iguale en tiepos iguales. Po tanto, un planeta se uee ás depisa cuando está ás ceca del Sol que cuando está ás lejos. Cuando la iea está en el peihelio, ás ceca del Sol, es inieno en el heisfeio note y iaja ás depisa que cuando está en el afelio, ás lejos del sol, que es eano en el heisfeio note. b) Vedadeo Si la óbita no contiene al cento de la iea, entonces el oento angula del satélite especto de la iea no se conseaía ya que los ectoes de posición y fueza no seían paalelos. 5

16 Soluciones unidad : Inteacción gaitatoia º Bachilleato 008 c) Vedadeo La constante de la tecea ley de Keple depende de la asa del asto cental. 4 π G asto cental. Copleta la fase: Un satélite geoestacionaio ecoe su óbita con un peíodo de y está colocada en la etical del y se utilizan en. Un satélite geoestacionaio ecoe su óbita con un peíodo de 4 hoas y está colocada en la etical del ecuado teeste y se utilizan en counicación y eteoología.. El peso de un objeto cual se elea a una distancia igual a dos eces el adio teeste es: a) P supeficie ; b) P supeficie /; c) P supeficie /9; d) P supeficie /. La solución coecta es la c). Si el objeto se elea a una distancia de R iea, su distancia desde el cento de la iea es igual a R iea. Po lo que el peso del objeto es: G P G sup eficie P' 9 R 9 4. En el oigen de coodenadas se sitúa una asa kg, en el punto A (, 0) se coloca ota asa kg y en el punto B (0, 4) una tecea kg. El ódulo de la fueza que actúa sobe la asa colocada en el oigen es: a), N; b),7 0 - N c) 0 N d), N La solución coecta es la a) La asa actúa con una fueza de diección la del eje X y sentido positio, hacia la asa. Su ódulo es: F G 6,67 0 N kg kg kg,48 0 () N F Y F esul tante La asa actúa con una fueza de diección la del eje Y y sentido positio, hacia la asa. Su ódulo es: F G 6,67 0 N kg kg kg,5 0 (4) N O X F Las dos fuezas son pependiculaes, el ódulo de la fueza esultante se calcula aplicando el teoea de Pitágoas. F esul tan te F + F (,48 0 N) + (,5 0 N), Una unidad astonóica, U.A, es igual a la distancia edia desde la iea hasta el Sol. Si el planeta Satuno tada 9,5 años en ecoe su óbita, su distancia Sol expesada en unidades astonóicas es: a) 9,5 U.A. b) 9,5 U.A. c) 59 U.A. d) 00 U.A. N La solución coecta es la b) Aplicando la tecea ley de Keple: R iea iea R Satuno Satuno (año) (9,5años) Sustituyendo: 9,5U.A. (U.A.) R Satuno R Satuno 6

17 Soluciones unidad : Inteacción gaitatoia º Bachilleato Si un satélite está situado en una óbita a 0 k de la iea, su peíodo de eolución es: a) 9 in; b) 6 in; c) 0 in; d) h. La espuesta coecta es la a) Radio de la óbita es: R + 0 k 670 Α Α 0 6,70 Α 0 6 Aplicando la segunda ley de Newton y consideando a la óbita cicula, se tiene: ΣF ;G S an Despejando y coo S G S G g R 4 π 0, se tiene que el peíodo es: (6,70 0 ) π π π 5,5 Α 0 s 9 in G g 6 R 9,8 / s (6,7 0 ) 0 7. Un planeta posee un adio que es el doble del adio teeste y su densidad edia es la isa que la de la iea. El peso de los objetos en ese planeta especto de lo que pesan en la iea es: a) P iea ; b) P iea ; c) P iea /; d) P iea /4. La solución coecta es la a) Coo la densidad es la isa que la de la iea, la asa de se planeta es: ρ ρ'; M V M' ; V' Y el peso del objeto es: 4 π R' V' ( R) M' M M M 8 M V 4 R π R G M' G 8 M P ' P ( R) 8. Copleta la fase: El oento angula de la iea especto del Sol es un, de diección al plano de la óbita y peanece a lo lago de la tayectoia. El oento angula de la iea especto del Sol es un ecto, de diección pependicula al plano de la óbita y peanece constante a lo lago de la tayectoia. 9. Justifica si las siguientes afiaciones son edadeas o falsas: a) La inteacción gaitatoia ente dos asas depende del edio en el que coloquen. b) El oento angula de una patícula no depende del oigen del sistea de efeencia. c) Si la óbita de un satélite es estable, su ecto de posición y el ecto fueza son paalelos d) El ecto oento angula de un satélite especto de la iea está contenido en el plano de su óbita. a) Falso. EL ódulo de la fueza de inteacción gaitatoia no depende del edio en el que se coloquen los objetos, ya que el alo de G es el iso en cualquie luga o edio. b) Falso. El ecto oento angula de una patícula depende del punto especto del que se considee, ya que depende del ecto de posición. c) Vedadeo. Ya que de ota foa no se conseaía el ecto oento angula del satélite especto del planeta. 6 iea 7

18 Soluciones unidad : Inteacción gaitatoia º Bachilleato 008 d) Falso. El ecto oento angula un satélite especto de la iea es pependicula al plano de la óbita. 0. Si se duplicaa la asa de la iea, la distancia a que había que coloca la Luna paa que giase con el iso peíodo con el que lo hace actualente seía: a) ; b) ' ; c) /; d). La espuesta coecta es la b) Aplicando la segunda ley de Newton a la óbita, de adio, y coo ΣF an;g L L G 4 π Despejando el adio de la óbita,, esulta que: La elación de los adios en los dos supuestos es: G 4 π G ' 4 π G 4 π π ', se tiene: ' ' 8

19 Unidad didáctica Capo gaitatoio

20 Soluciones unidad : Capo gaitatoio º Bachilleato 008 SOLUCIONES UNIDAD. CAMPO GRAVIAORIO CUESIONES INICIALES. Cuándo se dice que una fueza es conseatia? Paa qué sie sabe si una fueza es conseatia o no? Una fueza se dice que es conseatia cuando el tabajo ealizado po la fueza depende únicaente de la posición inicial y final y no de la tayectoia seguida. Si la fueza es conseatia se puede calcula el tabajo aplicando la ley de la enegía potencial, po lo que ese tabajo es igual a la aiación de la enegía potencial cabiada de signo y no hay que ecui a la definición de tabajo eleental.. A qué se denoina enegía ecánica asociada a un objeto? Cuándo se consea la enegía ecánica duante una tansfoación? La enegía ecánica asociada a un objeto es iguala a la sua de su enegía cinética y de su enegía potencial. La enegía ecánica se consea duante una tansfoación cuando solaente actúan fuezas conseatias sobe el objeto.. Cuánto pesa un objeto situado a una distancia igual a R iea de la supeficie de la iea? El peso del objeto se diide po nuee: GM G M P P' g' ( R ) 9 R 9 ACIVIDADES FINALES. A qué altua sobe la supeficie de la iea se educe a la itad el capo gaitatoio teeste? R 6400 k La elación de los ódulos de los capos gaitatoios en la supeficie y en el punto en cuestión son: g sup eficie g P G M R g ; G M g sup eficie sup eficie Opeando: R + h Despejando: h R R R R - R k ( - ),65 0 k. Se elea un objeto de asa 0 kg desde la supeficie de la iea hasta una altua h 00 k. Cuánto ha inceentado su enegía potencial? La aiación de la enegía potencial asociada al objeto en la nuea posición es: G M ΔE p E p, altua E p, supeficie G M G M R G M R h Opeando: ΔE p R g0 R R R R (R + h) R 0

21 Soluciones unidad : Capo gaitatoio º Bachilleato 008 Coo la distancia h es ucho eno que el adio de la iea se puede ealiza la apoxiación R (R + h) R y po tanto: ΔE p g 0 h 0 kg 9,8 N/kg 00 0, J Si no se utiliza la apoxiación anteio, se tiene que: G M R h ΔE p R g0 R R R (R + h) ( ) ( ) Sustituyendo: ΔE p 9,8 /s kg ,9 0 7 J. En los étices de un tiángulo equiláteo de de lado se colocan tes asas de kg, kg y 4 kg. Calcula la enegía tansfoada paa sepaalas infinitaente. La enegía potencial gaitatoia del sistea epesenta el tabajo que ealiza la fueza gaitatoia al sepaa las patículas a una distancia infinita. 4 kg En el caso de un conjunto de patículas, la enegía potencial gaitatoia total es la sua de todas las paejas de patículas. E E p, total p, total E E p, p, + E + E p, p, + E + E p, p, G 6, N kg + kg kg + kg 4kg kg 4kg + kg -,7 0-9 J kg Que lógicaente tiene signo negatio. Ya que un agente exteno tiene que ealiza un tbajo conta la fueza gaitatoia que se alacena en foa de enegía potencial gaitatoia. 4. En los étices de un tiángulo equiláteo de de lado hay colocadas sendas asas iguales de kg cada una. Calcula el ecto capo gaitatoio en el oto étice. Deteina el ecto fueza que actúa sobe una asa de 5 kg colocada en ese étice. Indica el alo de la enegía tansfoada al taslada la asa de 5 kg desde el étice hasta el punto edio del lado que une las asas de kg. Se elige un sistea de efeencia con el lado del tiángulo que contiene las asas sobe el eje X y en el oigen una de ellas. Se denoinan y a los dos asas iguales y a la asa que se taslada. Las dos asas genean un capo gaitatoio del iso ódulo en el oto étice. G G kg g g P X Las coponentes en el eje X de los capos anteioes se anulan po sietía y las coponentes en el eje Y se efuezan. Coo los ángulos de un tiángulo equiláteo son de 60º, esulta que: G kg g y g y g sen 60º sen 60º El ódulo del capo gaitatoio en el oto étice es: g G kg 6,67 0 N g sen 60º 0 g,46 0 j N/ kg / kg kg sen 60º, N/kg Vectoialente: t Y V g x gx g 0º g y g y g 60º

22 Soluciones unidad : Capo gaitatoio º Bachilleato 008 El ecto fueza que actúa sobe la asa de 5kg colocada en el étice libe es: F g 5kg (, j N / kg),7 0 9 j N La enegía inolucada en el poceso se esuele a taés del cálculo del potencial. El potencial gaitatoio que genean las dos asas iguales y en el oto étice es una agnitud escala (siepe de signo negatio) y cuyo alo es: V V + V G V 6,67 0 N / kg kg 4,0 0 0 J / kg El potencial en el punto, P, edio del lado que contiene las asas iguales es: V P V + V G P 6,67 0 N 0,5 / kg kg 8,0 0 0 J / kg Aplicando las elaciones ente el tabajo que ealiza la fueza gaitatoia y el potencial, esulta que: W - ΔE Fgaitatoia p p - ΔV - (V P - V V ) - 5 kg [- 8,0 0-0 J/kg - (- 4,0 0-0 J/kg)] +, J El poceso es espontáneo. La fueza gaitatoia ealiza un tabajo a costa de disinui la enegía potencial asociada al sistea. 5. es asas iguales de kg cada una están situadas en los étices de un cuadado de de lado. Calcula el ódulo del capo gaitatoio en el cento del cuadado. Deteina el potencial gaitatoio en el étice libe y en el cento del cuadado. Calcula el tabajo ealizado al taslada un objeto de 0 kg de asa desde el cento del cuadado hasta el étice libe. La geoetía del ejecicio indica que los capos ceados po las asas situadas en la isa diagonal se anulan. El capo gaitatoio total es igual al ceado po la asa situada en el étice opuesto al étice libe P. Este capo tiene la diección de la diagonal que pasa po el punto P y sentido hacia la asa. Su ódulo es: G 6,67 0 N / kg kg 0 N g, 0 kg El potencial gaitatoio en un punto es igual a la sua de los potenciales geneados po cada una de las asas en ese punto. V V P O G G 6,67 0 G 6,67 0 N kg N kg kg kg +,8 0,80 0 Aplicando la ley de la enegía potencial: W O P - ΔV - (V P V O ) - 0 kg (-, J/kg +,8 0-0 J/kg) -,0 0-9 J 6. Una patícula de 4 kg de asa se coloca en el punto de coodenadas A (, 0) y ota de 9 kg de asa se coloca en el punto B (6, 0). Hay algún punto en el que se anule el capo gaitatoio? Calcula sus coodenadas. Calcula la enegía inolucada en el poceso de taslada una asa de 5 kg desde el oigen de coodenadas hasta el punto C (,0). 0 J kg 0 J kg g O P

23 Soluciones unidad : Capo gaitatoio º Bachilleato 008 Una asa puntual genea un capo gaitatoio de diección la adial y sentido hacia la asa consideada. El capo gaitatoio en un punto es la sua ectoial de los capos gaitatoios geneados po cada una de las asas. Po tanto el capo se anula en un punto situado ente las dos asas. La distancia ente las dos asas es 5. O (0, 0) Y g g X A (, 0) P B (6, 0) 4 kg 9 kg El punto P está situado sobe el eje X y dista x del punto A y 5 x del B. Coo en ese punto los ódulos de los capos geneados po cada asa son iguales, se tiene: G G 4kg 9kg g g ; ; x (5 x) Opeando: (5 x) x x ; po tanto, las coodenadas de P son: P (, 0) En pie luga se calcula el potencial gaitatoio en los puntos consideados, teniendo en cuenta que el potencial en un punto es igual a la sua de los potenciales ceados po cada una de las asas. V O V O + V O V C V C + V C G 0 G 4kg 9kg G + 6, N kg kg 5,5,67 0 G G 4kg 9kg N kg 0 G + 6,67 0 5,4 0 kg Aplicando la ley de la enegía potencial: W O C - ΔE p - ΔV - (V C V O ) - 5 kg (-,4 0-0 J/kg +, J/kg) -, J 7. Dos asas puntuales 0 kg están colocadas en los puntos A (0, 0 ) y B (8, 0 ). Calcula el ecto capo gaitatoio en el punto C (4, ). Qué fueza actúa sobe una asa de 00 g colocada en C? Calcula la enegía tansfoada al taslada la asa desde el punto C hasta el punto D (4, 0 ). Es espontáneo el poceso, intepeta el sigo obtenido. Cada una de las asas ayoes genea en el punto C un capo gaitatoio cuyo ódulo es: g G G x + y En el diagaa de la figua se obsea que las coponentes en X del capo gaitatoio se anulan y que las coponentes en Y se efuezan. Este capo tiene la diección la de la ecta que une los puntos C y D y su sentido es hacia el punto D. Su ódulo es: y g total g y g sen φ G x + y x + y Sustituyendo: g Vectoialente: N 0kg 6,67 0 kg (4) + () g 4,7 0 j N/ kg total total (4) 4 + () Y g x g C(4,) J kg J kg g x g g y g y A(0,0) D(4,0) B(8,0) X 4,7 0 Aplicando la definición de intensidad del capo en un punto esulta que: F g 0,kg ( 4,7 0 j N/kg) 4,7 0 j N total N/ kg

24 Soluciones unidad : Capo gaitatoio º Bachilleato 008 Aplicando la definición de potencial gaitatoio en un punto. El potencial geneado en un punto es igual a la sua de los potenciales geneados po cada una de las asas. V V C D G x + y G 6,67 0 x 6,67 0 N kg N kg (4) 0kg 0kg, () 0 J/ kg,67 0 Aplicando la ley de la enegía potencial W Fcapo C D - ΔE p - ΔV - (V D - V C ) - 0, kg (-,4 0-0 J/kg +, J/kg) 6,7 0 - J El poceso es espontáneo, ya que las asas están ás ceca unas de otas en la posición final que en la inicial. Las fuezas del capo ealizan un tabajo a costa de disinui la enegía potencial asociada a la nuea distibución. 8. El planeta Mecuio descibe una óbita elíptica alededo del Sol. En el afelio, su distancia al Sol es de 6,99 0 0, y su elocidad obital es de, /s, siendo su distancia al Sol en el peihelio de 4, En el peihelio de Mecuio calcula su elocidad obital, su enegía cinética, potencial y ecánica y los ódulos de su oento lineal y angula. De las agnitudes indicadas anteioente, cuáles son iguales en el afelio? Masa de Mecuio,8 0 kg; Masa del Sol:, kg; G 6, N kg -. 0 J / kg La inteacción gaitatoia es una fueza cental, po lo que el oento angula de Mecuio especto del Sol es una cantidad constante a lo lago de la óbita. L afelio L peihelio L Sol p F Aplicando la definición de oento angula y coo el ecto de posición es pependicula al ecto elocidad, esulta que: afelio afelio peihelio peihelio peihelio 5, /s La elocidad obital es un ecto tangente a la tayectoia, po lo que no se consea ni en ódulo, ni en diección, ni en sentido. Aplicando la definición de oento lineal: ppeihelio ecuio peihelio En ódulo: p peihelio Mecuio peihelio, kg /s El oento lineal es un ecto tangente a la tayectoia, luego no se consea ni en ódulo, ni en diección, ni en sentido. Aplicando la definición de enegía cinética: E c ½ ecuio peihelio 5,5 0 J Que no se consea a la lago de la tayectoia, ya que el ódulo de la elocidad no peanece constante. G Sol ecuio La enegía potencial gaitatoia asociada a esa posición es: Ep - 9, 0 J peihelio Que tapoco es constante a lo lago de la tayectoia poque la distancia no lo es. La enegía ecánica es igual a la sua de las enegías cinética y potencial gaitatoia. E E c + E p -,66 0 J Cantidad negatia, ya que Mecuio está ligado al Sol. Esta cantidad peanece constante a lo lago de la tayectoia poque la inteacción gaitatoia es una fueza conseatia. 4

25 Soluciones unidad : Capo gaitatoio º Bachilleato 008 Aplicando la definición de oento angula y coo el ecto de posición es pependicula al ecto elocidad, esulta que: L p L peihelio peihelio p peihelio 8,6 0 8 kg /s peihelio peihelio peihelio Es un ecto pependicula al plano de la óbita y cuyo sentido es el indicado po la egla de Maxwell, que coincide con el del aance de un sacacochos al oltea el ecto de posición sobe el ecto elocidad po el caino ás coto. Este ecto peanece constante a lo lago de toda la tayectoia coo coesponde a una fueza cental, ya que el oento de la fueza que actúa sobe Mecuio especto del Sol es igual a ceo, el ecto de posición y el ecto fueza son paalelos. 9. Un eteoito de 60 kg de asa cae desde un punto situado a una altua igual al adio de la iea con una elocidad de 40 /s. Cuál seá la elocidad del eteoito al cae en la supeficie teeste si despeciaos la ficción con la atósfea? M iea 5, kg, R iea 670 k Si se pescinde del ozaiento con el aie la única fueza que actúa sobe el objeto es la atacción gaitatoia, po lo que la enegía ecánica del objeto se consea duante los desplazaientos. ΔE c + ΔE p 0; E ecánica posición inicial E ecánica supeficie G M G M inicial final ; R R G RM final inicial + Despejando: Sustituyendo: inicial G M R final G M R 4 G M 6,67 0 N /kg 5,98 0 kg final inicial + (40/ s) + R ,9 0 / s 0. Un objeto de asa 000 kg se aceca en diección adial a un planeta, de adio R P 6000 k, que tiene una gaedad g 0 /s en su supeficie. Cuando se obsea este objeto po piea ez se encuenta a una distancia 0 6 R P del cento del planeta. Qué enegía potencial tiene ese objeto cuando se encuenta a la distancia 0? Deteina la elocidad inicial del objeto 0, o sea cuando está a la distancia 0, sabiendo que llega a la supeficie del planeta con una elocidad k/s La enegía potencial inicial asociada a la posición del eteoito es: E p G M p G Mp G Mp R 6 R 6 R p P P g R 6 P 0/ s 000kg ,0 0 Si se pescinde del ozaiento con el aie la única fueza que actúa sobe el objeto es la atacción gaitatoia, po lo que la enegía ecánica del objeto se consea duante los desplazaientos. ΔE c + ΔE p 0; E ecánica posición inicial E ecánica supeficie 0 J G M G M P P 0 final ; 0 Rp Despejando: Sustituyendo: 5 G M 0 G M 6 R 5 G M P P final G M R P P P 0 final final final g RP RP R P 5 0 ( 0 / s) 0 / s R 5 P P 66 / s 5

26 Soluciones unidad : Capo gaitatoio º Bachilleato 008. En la supeficie de un planeta de 000 k de adio, la aceleación de la gaedad es de /s. Calcula la asa del planeta. Hasta qué altua se eleaá un objeto que se lance eticalente desde la supeficie del planeta con una elocidad de k/s? Igualando las definiciones de peso según la ley de gaitación uniesal y la segunda ley de Newton, se tiene: G M g R P g M R G / s ( 0 ) 6,67 0 N / kg 6,8 0 Si se pescinde del ozaiento con el aie la única fueza que actúa sobe el objeto es la atacción gaitatoia, po lo que la enegía ecánica del objeto se consea duante los desplazaientos. ΔE c + ΔE p 0; E ecánica supeficie E ecánica posición final ½ O G MP O G MP O supeficie Opeando: Sustituyendo: sup eficie R P P RP G M R P 6 G M P 0 6,67 0 N 6 ( 0 / s) 0 6,67 0 sup eficie P kg RP G MP R G M / kg,8 0 kg N / kg,8 0 P 0 kg Con lo que la altua que alcanza es: h - R Se lanza un poyectil eticalente desde la supeficie de la iea, con una elocidad inicial de k/s. Qué altua áxia alcanzaá? Calcula la elocidad obital que habá que counicale a esa altua paa que desciba una óbita cicula. R 6 70 k Si se pescinde del ozaiento con el aie, la única fueza que actúa sobe el objeto es la atacción gaitatoia, po lo que la enegía ecánica se consea. ΔE c + ΔE p 0 Ψ E c, supeficie + E p, supeficie E c, final + E p, final La enegía cinética y potencial en la supeficie de la iea se tansfoan en enegía potencial gaitatoia asociada a su posición final. G M s G M s s supeficie 0 R R + h Opeando: Despejando: Coo: Sustituyendo: supeficie R - G M R G h M R G M - G M g0 0, se tiene que: R G M - 0 Ψ R + h R R + h G M G M - supeficie _ R - R R G M - R 0 supeficie R 0 supeficie supeficie supeficie h g0 - R supeficie ( 000 /s) 6,7 h 0 6 9,8 / s 6,7 0 - ( 000 /s) 6 g R supeficie R 0 - supeficie 0 0 4, La inteacción gaitatoia ente la iea y el satélite es la fueza centípeta que antiene al satélite en su óbita. Aplicando al satélite la Segunda ley de Newton, se tiene: M Σ F a ; G n Despejando: planeta G M satélite planeta satélite g0 R 9,8/ s (6,7 0 ) 7, , ,

27 Soluciones unidad : Capo gaitatoio º Bachilleato 008. Si la iea edujese su adio a la itad conseando su asa, )cuánto aldía la elocidad de escape desde su supeficie? Un cuepo queda desligado del capo gaitatoio ceado po oto cuepo cuando su enegía ecánica asociada a una posición es coo ínio igual a ceo. En este caso llega hasta el infinito, en el que la enegía potencial es ceo, con elocidad nula. La enegía ecánica asociada a un cuepo en la supeficie de un planeta es igual a la sua de la enegía cinética y potencial. Llaando e a la elocidad counicada paa que se escape del planeta, teneos: G R S planeta E ecánica E cinética + E potencial 0; - 0 Y paa la iea: e, iea g R 0 S e planeta e G R Si ahoa se educe el adio de la iea a la itad conseado su asa, entonces la elocidad de escape desde su supeficie se es: e G R planeta planeta G R / G R g 0, R 4. Desde la supeficie de la iea se lanza eticalente una patícula con una elocidad igual al doble de su elocidad de escape. Cuál seá su elocidad cuando esté uy lejos de la iea? En pie luga se deteina la elocidad de escape en la supeficie de la iea. En ese punto la enegía ecánica asociada a la patícula es igual a ceo. G M GM escape 0 escape g 0 R R R Po lo que la elocidad inicial de la patícula es: g 0 R Una ez lanzada la patícula solaente actúa la inteacción gaitatoia, po lo que la enegía ecánica se consea duante su desplazaiento. En puntos uy alejados de la iea, la enegía potencial gaitatoia asociada a ella es igual a ceo, po lo que aplicando la enegía de conseación de la enegía ecánica ente la supeficie de la iea y un punto uy alejado, esulta: G M G M ΔE c + ΔE p 0; inicial final R Sustituyendo la elocidad inicial po su alo y opeando, esulta que: 4 g R g R 0 6 g R 6 9,8/ s 6, final final k 5. Desde la supeficie de la Luna se lanza un objeto con una elocidad igual a su elocidad de escape, calcula a qué distancia del cento de la Luna se ha educido su elocidad a la itad. R Luna 78 k; g 0, Luna,6 /s. Paa que un objeto se escape de la atacción luna la enegía ecánica en su supeficie tiene que se igual a ceo. G MLuna objeto E c, supeficie + E p, supeficie 0; objeto escape 0 R Despejando: G MLuna escape R Luna g 0,Luna R Luna Luna e, planeta planeta 7

28 Soluciones unidad : Capo gaitatoio º Bachilleato 008 En el oiiento del objeto desde la supeficie de la Luna hasta el punto P que dista una distancia del cento de la Luna en el que la elocidad del objeto se educe a la itad se consea la enegía ecánica asociada al objeto. E c, supecie + E p, supeficie E c, posición + E p, posición G MLuna objeto G MLuna objeto objeto sup eficie objeto posición R Luna La elocidad en la supeficie es la de escape y la elocidad en la posición es la itad de la anteio, po tanto: escape escape G MLuna ; escape G MLuna 4 RLuna 8 RLuna Sustituyendo la elocidad de escape po su alo: 8 G M R Luna Luna G M Luna R Luna ; 4 R Luna Po tanto la distancia pedida es: 4 R Luna R Luna 6. Un satélite atificial está situado en una óbita cicula en tono a un planeta. Po qué alo hay que ultiplica su elocidad paa que se escape de la atacción gaitatoia en esa posición? La inteacción gaitatoia ente la iea y el satélite es la fueza centípeta que antiene al satélite en su óbita. Aplicando al satélite la Segunda ley de Newton, se tiene: Mplaneta satélite F ; G G Mplaneta Σ an satélite Que es la elocidad del satélite cuando la óbita es estable. Paa que el satélite se escape desde esa posición se tiene que cupli que su enegía ecánica es igual a ceo. ; E ecánica E cinética + E potencial 0 4 R Luna G M G M escape G M escape Planeta Copaando los dos aloes de la elocidad: Planeta escape Planeta G M Si se ultiplica la elocidad obitad po el satélite se escapa desde su posición. 7. El adio de un planeta es la tecea pate del adio teeste y su asa la itad. Calcule la gaedad en su supeficie y la elocidad de escape del planeta, en función de sus coespondientes aloes teestes. La aceleación de la gaedad en la supeficie del planeta es: Miea G G 9 G Miea 9 g g 0, iea R R R iea iea Se denoina elocidad de escape a la que hace igual a ceo a la enegía ecánica de una patícula situada en la supeficie del planeta. Planeta E ecánica E cinética + E potencial 0 G M escape R Planeta G M R Planeta Planeta Planeta escape 8

29 Soluciones unidad : Capo gaitatoio º Bachilleato 008 La elocidad de escape en la supeficie de la iea es: G Miea G M Riea escape,iea R R iea iea iea g 0,iea R iea Y la elocidad de escape en el planeta es: escape G M R Planeta Planeta M G Riea iea G M R iea iea Y en función de la elocidad de escape de la iea: escape g0,iea Riea escape,iea G M iea R iea R iea g 0,iea R iea 8. Un satélite de 50 kg de asa se encuenta en una óbita cicula de 5000 k de adio alededo de la iea. Calcula la enegía del satélite en la óbita. R 670 k La inteacción gaitatoia ente la iea y el satélite es la fueza centípeta que antiene al satélite en su óbita. Aplicando al satélite la Segunda ley de Newton, se tiene: ΣF ; G M a n iea satélite satélite G M El satélite en su óbita tiene enegía cinética y enegía potencial gaitatoia. E óbita E p, óbita + E c, óbita G - M iea satélite Sustituyendo la elocidad obital po su alo: E obita G - M iea satélite Opeando y sustituyendo: E óbita - g 0 R tiea satélite + satélite G M iea + - iea satélite G M iea obita satélite 6 50 kg 9-9,8 / s (6,7 0 ) - 4,64 0 J Una estación espacial se encuenta en óbita cicula alededo de la iea. Su asa es de 0000 kg y su elocidad de 4, k/s. Calcula el adio de la óbita y la enegía potencial gaitatoia de la estación. M 5, kg; R 670 k La inteacción gaitatoia ente la iea y el satélite es la fueza centípeta que antiene a la estación en su óbita. Aplicando al satélite la Segunda ley de Newton, se tiene: Σ F ; G M a n iea satélite satélite Despejando: G M 4 6,67 0 N / kg 5,98 0 kg (4, 0 / s),6 0 7 La enegía potencial gaitatoia asociada a la posición de la nae es: E p G M 6,67 0 N / kg,6 0 5, kg 0000kg,76 0 J 9

30 Soluciones unidad : Capo gaitatoio º Bachilleato Paa obsea la iea, un satélite de 000 kg de asa, que está inicialente en una óbita cicula a 60 k de la supeficie, pasa a ota que está solo a 0 k. Calcula el cociente ente los peíodos de eolución en cada óbita. El cabio en la enegía potencial del satélite debido al capo gaitatoio teeste. La enegía potencial, auenta o disinuye? R 670 k; M kg Aplicando la tecea ley de Keple a las dos óbitas del satélite: ( ) ; ( ), La enegía potencial gaitatoia en las espectias óbitas es: E E p p G M G M 6,67 0 N / kg 6 0 kg 000kg 5, ,67 0 N / kg 6 0 kg 000kg 6, La aiación de la enegía potencial gaitatoia es: ΔE p E p E p - 6,6 0 0 J + 5,7 0 0 J - 4,4 0 9 J 4 4 La aiación es negatia ya que la enegía potencial gaitatoia disinuye según se aceca el objeto a la supeficie de la iea.. Qué elación existe ente las enegías cinética y potencial gaitatoia de una satélite que gia en una óbita cicula en tono a un planeta? Cuál es la elación ente la enegía potencial gaitatoia y la enegía ecánica? La elocidad de un satélite que descibe una óbita cicula de adio, alededo de un planeta tal coo la iea, se deteina aplicando la segunda ley de Newton. G Mplaneta satélite óbita G Mplaneta ΣF satélite an; satélite óbita G Mplaneta La enegía cinética del satélite es: Ec satélite satélite G Mplaneta satélite La enegía potencial gaitatoia en la posición de la óbita es: Ep - La enegía cinética siepe tiene el signo positio, ientas que la enegía potencial gaitatoia tiene siepe signo negatio. Diidiendo abas expesiones, se tiene: E E c p G M satélite G M planeta planeta satélite E c E p La enegía ecánica es igual a la sua de la enegía cinética y la potencial gaitatoia. E otal E c + E p E p + E p E p. Un pequeño satélite de 500 kg de asa, gia alededo de la Luna obitando en una cicunfeencia de eces el adio de la Luna. Si la asa de la Luna es de 7,5 0 kg y su adio 740 k, calcula la enegía ecánica asociada al satélite en su óbita. Cuánto ale la elocidad de escape desde la supeficie de la Luna? La asa de la Luna es 7,5 0 kg y su adio 740 k. 0 0 J J 0

31 Soluciones unidad : Capo gaitatoio º Bachilleato 008 a) Aplicando la ley de Gaitación Uniesal y la segunda ley de Newton al oiiento cicula, se tiene, con M la asa de la Luna: G M G M Σ F a n ; Utilizando la elación ente la elocidad y el peíodo: π π G M ( RL ) G M Luna 6 π R G M Luna Luna π La enegía ecánica asociada al satélite en su posición, enegía de enlace, es igual a la sua de su enegía cinética y de su enegía potencial gaitatoia. G M G M E ecánica E cinética + E potencial Sustituyendo: E ecánica 6 G MLuna R Luna satelite, G M G M Se denoina elocidad de escape a la que hace igual a ceo a la enegía ecánica de una patícula situada en la supeficie de la Luna. escape G M 0 escape G M R Luna Luna. Un satélite de asa 00 kg se encuenta en óbita cicula de adio alededo del cento de la iea. Si la enegía potencial a esa distancia es de 0 9 J. Calcula la elocidad del satélite. Datos: R k. La enegía potencial gaitatoia de un satélite a una distancia del cento de la iea es: E p G M G M R R Despejando: g R E p g R 9,8/ s 00kg ( ) 9 0 J 4,0 0 La elocidad de un satélite que descibe una óbita cicula de adio, alededo de un planeta tal coo la iea, se deteina aplicando la segunda ley de Newton. G M satélite óbita G ΣF satélite an; satélite M óbita Opeando: G M G M R g R 9,8 / s ( ) óbita,7 0 R 7 4, Se desea pone en óbita un satélite geoestacionaio de 5 kg. Calcula el adio de la óbita y las enegías cinética, potencial y ecánica del satélite en la óbita. M 5, kg Se denoina óbita geoestacionaia a la óbita en la que el peíodo de taslación de un satélite es igual al peíodo de otación de la iea. 4 h 8,6 0 4 s Estos satélites antienen su posición elatia especto de un punto de la iea, po lo que se utilizan coo epetidoes de las señales electoagnéticas en counicación. π Aplicando la segunda ley de Newton a la óbita, de adio, y coo: y G iea g0, se Riea tiene que: ΣF a ;G n iea G iea 4 π 7 / s

32 Soluciones unidad : Capo gaitatoio º Bachilleato 008 G 4 π iea Despejando: iea g0 R 4 π Sustituyendo se tiene que el adio de la óbita es: 9,8 / s ( ) (8,64 0 s) 4 π El alo de la enegía cinética es: E G M 4 6, kg 4, Α k 4 kg c Y el de la enegía potencial gaitatoia es: E p G M 6,67 0 N / kg 5, N / kg 5, kg 50kg,6 0 8,8 0 La enegía ecánica es igual a la sua de la enegía cinética y de la potencial gaitatoia. E total E c + E p,8 0 8 J,6 0 8 J -,8 0 8 J Que tiene signo negatio ya que el satélite está enlazado con la iea. 5. Se desea pone en óbita cicula un satélite eteoológico de 000 kg de asa a una altua de 00 k sobe la supeficie teeste. Calcula la elocidad, el peiodo y aceleación que debe tene en la óbita. Qué tabajo hay que ealiza paa pone en óbita el satélite? La inteacción gaitatoia ente la iea y el satélite es la fueza centípeta que antiene al satélite en su óbita. Aplicando al satélite la Segunda ley de Newton, se tiene: Miea satélite Σ F ; G an satélite Despejando y coo G Miea g0, se tiene que la elocidad obital es: R iea g 6 G Miea 0 Riea 9,8 / s (6,7 0 ) 7,7 0 /s 6 6, El peíodo de eolución es: π π (6, ,7 0 /s 6 J 8 J ) 5 49 s,5hoas La aceleación noal en la óbita es: a 8,94/ s 6 6, (7,7 0 / s) b) Aplicando la ley de la conseación de la enegía ente la supeficie de la iea y la óbita del satélite, se tiene que el tabajo ealizado po los otoes es igual a la aiación de la enegía ecánica del satélite. W ealizado ΔE c + ΔE p E ecánica final - E ecánica inicial E óbita - E supeficie La enegía asociada al satélite en óbita es: E óbita E p, óbita + E c, óbita G - M iea satélite + Sustituyendo la elocidad obital po su alo: E obita G - M iea satélite + satélite G M iea - satélite obita G M G Miea obital iea satélite

33 Soluciones unidad : Capo gaitatoio º Bachilleato 008 Opeando y sustituyendo: g R - 0 tiea satélite Eóbita - 9,8 / s (6,7 0 6 ) 000 kg -, , J Si se considea que el satélite se lanza siguiendo la etical, sin apoecha el oiiento de otación de la iea, la elocidad inicial en la supeficie de la iea es igual a ceo y la enegía asociada a la posición del satélite sobe la supeficie de la iea es solaente potencial gaitatoia. E supeficie E p,supeficie G - M iea R iea satélite - g 0 R iea satélite 6 0 Sustituyendo: Esupeficie - 9,8 /s 6, kg - 6,4 0 J Po tanto, la enegía tansfoada paa pone al satélite en óbita es: W ΔE E - E -,98 0 J ( 6,4 0 J),6 0 J ealizado óbita supeficie 6. La Estación Espacial Intenacional (ISS) descibe alededo de la iea una óbita pácticaente cicula a una altua h 90 k sobe la supeficie teeste, siendo su asa 45 toneladas. a) Calcule su peíodo de otación en inutos así coo la elocidad con la que se desplaza. b) Qué enegía es necesitaía paa lleala desde su óbita actual a ota a una altua el doble? Cuál seía el peíodo de otación en esa nuea óbita? a) El adio de la óbita es: R + 90 k 6, , Aplicando la segunda ley de Newton y consideando a la óbita cicula, se tiene: ISS 4 π ΣF ISS an; G ISS G G Despejando y coo g 0, esulta que la elocidad obital es: R G g0 R g0 6 9,8 / s R 6,7 0 7,67 0 /s 6 6,76 0 De igual foa, se tiene que el peíodo de otación es: 0 (6,76 0 ) π π π 5,54 0 s 9 in G 6 g R 9,8 / s (6,7 0 ) 6 b) La enegía asociada a un satélite en óbita es igual a su enegía de enlace, es deci, a la sua de la enegía cinética y potencial. E óbita E c + E p ISS G ISS - Sustituyendo a la elocidad obital po E óbita ISS G G ISS G, y coo 0 R G ISS g 0 G g se tiene que: Al taslada a un satélite desde una óbita de adio a ota de adio, se cuple que: W cabio de óbita E E óbita E óbita ISS ISS g0 R g0 R g0 R ISS Los adios de las dos óbitas son: R + 90 k 6, , R + 90 k 6, ,5 0 6 R ISS

34 Soluciones unidad : Capo gaitatoio º Bachilleato 008 Sustituyendo, la enegía inolucada en el poceso es: W cabio óbita 9,8 / s (6,7 0 6 ) 45 0 kg 6 6,76 0 7, ,7 0 J Lógicaente de signo positio, la enegía ecánica a asociada a una óbita es ayo cuanto ás extena es. El peíodo es la nuea óbita es: 0 (7,5 0 ) π π 6,0 0 s 00 in 6 g R 9,8 / s (6,7 0 ) 6 Cuanto ás alejada está la óbita ás tiepo se tada en ecoela, de acuedo con la tecea ley de Keple. 7. La aceleación de la gaedad en la supeficie del planeta Mate es,7 /s. El adio de la iea es 6 70 k y la asa de Mate es el % de la asa de la iea. Calcula el adio del planeta Mate y la elocidad de escape desde su supeficie. La aceleación de la gaedad en la supeficie de un planeta es: G g R La elación ente las aceleaciones de la gaedad en la supeficie de la iea y la supeficie de Mate es: G g g iea Mate R G R iea iea Mate Mate iea Mate R R Mate iea 00 Despejando y sustituyendo, esulta que: R iea R iea Mate R iea 00 R R Mate iea giea Riea Riea giea 670k 9,8 / s Mate 00 g 0 g 0 Mate Mate,7 / s 48k Se denoina elocidad de escape a la que hace igual a ceo a la enegía ecánica de una patícula situada en la supeficie de Mate. escape G M 0 escape G M R Mate Mate G M R Mate Mate R Mate g Mate R Mate Sustituyendo: escape,7 / s, / s INVESIGA. Cóo se les llean los suinistos a los astonautas que están peanenteente en óbita? Los suinistos de ateial a la estación se tanspota con los cohetes Soyuz usos, con los tansbodadoes espaciales noteaeicanos o con los ehículos AV lanzados po los cohetes Aiane de Euopa. 4

35 Soluciones unidad : Capo gaitatoio º Bachilleato 008. Qué tipo de cobustible utilizan los cohetes que colocan a los satélites en óbita? El cohete euopeo Aiane y los tansbodadoes espaciales utilizan hidógeno y oxígeno. Los Soyuz usos usan una aiante de queoseno llaada syntin.. Cóo es la ida en un abiente de ingaidez? Los astonautas eciben adiestaiento paa ealiza todas las taeas cotidianas: tasladase, coe, asease, tabaja o doi. odos los objetos deben esta sujetos a algo, en un abiente de ingaidez nada es ás pesado que ota cosa. ES DE AUOEVALUACIÓN. Contesta si son edadeas o falsas las siguientes afiaciones: a) El potencial gaitatoio es una agnitud ectoial. b) El potencial gaitatoio es una agnitud cuyo signo es siepe negatio. c) El tabajo paa tanspota una asa po una supeficie equipotencial es siepe positio. d) Las supeficies equipotenciales no se pueden cota. a) Falso El potencial gaitatoio es una agnitud escala. b) Vedadeo c) Falso El tabajo paa tanspota un objeto po una supeficie equipotencial es igual a ceo, y que la difeencia de potencial ente dos puntos es ceo. d) Vedadeo. Si se cotaan habías puntos con dos aloes del capo, pependiculaes a las supeficies que se cotan.. Copleta la siguiente fase: Las líneas de capo gaitatoio son al ecto capo y paa una asa puntual son su sentido es. Las líneas de capo gaitatoio son tangentes al ecto capo y paa una asa puntual son adiales su sentido es hacia la asa.. La enegía necesaia paa sepaa dos patículas de kg de asa situadas a una distancia de hasta una distancia de es: a) +,8 0-0 J; b),8 0-0 J; c) 0 J; d),6 0-0 J. La solución coecta es la b) El tabajo ealizado paa sepaa dos asas es igual a la aiación de la enegía potencial gaitatoia. E E p inicial p final G M 6,67 0 G M 6,67 0 N kg N kg kg kg,7 0 kg kg 8,9 0 W - ΔE p - (E p final E p inicial ) - (- 8,9 0 - J +,7 0-0 J) -,8 0-0 J El poceso no es espontáneo. 4. Si la iea edujese su adio a la itad conseando su asa, el ódulo del capo gaitatoio en su supeficie es: a) g 0 ; b) 4 g 0 ; c) g 0 /; d) g 0. 0 J J 5

36 Soluciones unidad : Capo gaitatoio º Bachilleato 008 La solución coecta es la b) G M G M G M En efecto: g ' 4 4 g0 R R 5. La elocidad de escape desde la supeficie de un planeta que tiene foa esféica con un adio de 000 k en el que la aceleación de la gaedad en su supeficie es 6 /s es igual a: a) 6000 /s; b) 4000 /s; c) 5000 /s; d) 000 /s. La solución coecta es la a) El alo nuéico de la aceleación de la gaedad en la supeficie del planeta coincide con el alo de la intensidad del capo gaitatoio en su supeficie. G g R g R G La elocidad es escape es la que hace igual a ceo a la enegía ecánica de un objeto situado en la supeficie del asto. E ecánica supeficie E ecánica 0; E c supeficie + E p supeficie 0; G asto objeto ½ objeto escape 0 ; R G R asto 6 Despejando: g R 6/ s /s escape 6. El potencial gaitatoio en el punto edio del segento que une a dos asa de kg situadas a 4 de distancia es: a) 0J/kg; b) 6, J/kg; c) 6, J/kg; d) 0,5 J/kg La solución coecta es la c) La distancia de las asas al punto es de. El potencial gaitatoio es igual a la sua de los potenciales ceados po cada una de las asas. G 6,67 0 N /kg kg V V + V - 6, J/kg 7. El capo gaitatoio teeste se educe a la itad de su alo en la supeficie de la iea a una distancia del cento de la iea de: a) R iea /; b) R iea ; c) R iea ; d) 4 R iea. La solución coecta es la c) La elación de los ódulos del capo en ese punto y en la supeficie de la iea es: G M g0 g R R ; ; R R g G M 0 g0 R 8. Contesta si son edadeas o falsas las siguientes afiaciones: a) El oento angula del planeta especto de la estella es una cantidad constante. b) La elocidad de un satélite es eno cuando pasa po la posición ás póxia al planeta. c) La enegía de enlace de un satélite es siepe positia. d) La enegía ecánica asociada a un satélite tiene su alo ás eleado cuando pasa po la posición ás póxia al planeta. a) Vedadeo. En caso contaio la óbita no seía estable. 6

37 Soluciones unidad : Capo gaitatoio º Bachilleato 008 b) Falso. De acuedo con la segunda ley de Keple, ley de las áeas, la elocidad es ayo cuanto ás ceca esté el satélite al planeta. c) Falso. La elocidad de un satélite que descibe una óbita cicula de adio, alededo de un planeta tal coo la iea, se deteina aplicando la segunda ley de Newton. G Miea satélite óbita G ΣF satélite an; satélite Miea óbita Se denoina enegía de enlace de un satélite a su enegía ecánica asociada a esa óbita. G Miea - satélite Eóbita Ec + Ep satélite óbita Sustituyendo a la elocidad po su alo en la óbita y opeando: G Miea G Miea satélite G Miea satélite Eóbita satélite Que es una cantidad con signo negatio poque el satélite está ligado al planeta. d) Falso La inteacción gaitatoia es una fueza conseatia, po ello la enegía ecánica del satélite se consea a lo lago de toda la óbita. 9. Copleta la siguiente fase: Los satélites atificiales se lanzan desde y hacia el con el fin de apoecha. Copleta la siguiente fase: Los satélites atificiales se lanzan desde el ecuado teeste y hacia el este con el fin de apoecha el oiiento de otación de la iea. 0. Paa taslada un satélite de 00 kg de asa que esta situado en una óbita de adio R iea a una óbita de adio 5 R iea, la enegía inolucada es: a), 0 8 J; b) -, 0 8 J; c), J; d) 4, 0 8 J. La solución coecta es la a) Cálculo de la elocidad de un satélite en una óbita. La elocidad del satélite en su óbita se deteina aplicando la segunda ley de Newton: G M s obita F ; G M Σ s an s obita En la óbita R : obita, G M R G M R R Opeando de la isa foa en la óbita 5R es: g0 R obita, g0 R 5 odo objeto en óbita tiene asociada una enegía ecánica debido a su posición especto de la iea y a su elocidad, que se denoina enegía de enlace. E óbita G G M s G M - G M s - M s s obita Cálculo de la enegía intecabiada paa pasa de una óbita a ota. s 7

38 Soluciones unidad : Capo gaitatoio º Bachilleato 008 W Fextena ΔE E obita - E obita G M s G M s - + G M s - Sustituyendo los aloes de los adios de las óbitas: 5 - ΔE G M s G M s - G M R 5 s R 5 R 5 R Sustituyendo, se tiene que: ΔE g0 s R 5 Sustituyendo las difeentes agnitudes queda: ΔE 6 9,8 6, kg, 0 8 J 5 s 8

39 Unidad didáctica Moiiento ibatoio

40 Soluciones unidad : Moiiento Vibatoio º Bachilleato 008 SOLUCIONES UNIDAD. MOVIMIENO VIBRAORIO CUESIONES INICIALES. Enuea aios ejeplos de oiientos peiódicos e identifica alguna de sus agnitudes caacteísticas. Son ejeplos de oiientos peiódicos: el oiiento de la iea alededo del Sol y alededo de sí isa, el del exteo de la anecilla de un eloj, el de la lenteja de un péndulo, en de las copas de los áboles. Una agnitud caacteística de estos oiientos es el tiepo que tadan los objetos en ealiza un ecoido copleto y el núeo de ecoidos copletos que ecoen en la unidad de tiepo.. Dibuja las tayectoias que desciben los siguientes objetos: la Luna, una pelota que bota, un cuepo que cuelga de un uelle y oscila aiba y abajo. Dibuja los ectoes elocidad y fueza en aias posiciones de la tayectoia de los oiientos anteioes. Copaa sus diecciones y sentidos. Paa la Luna: el ecto elocidad es siepe tangente a la tayectoia y el ecto fueza siepe está diigido hacia la iea. Paa la pelota: el ecto elocidad tiene sentido hacia aiba al subi y hacia abajo al baja, el ecto fueza (peso) tiene sentido siepe hacia abajo. Paa el uelle: el ecto elocidad puede tene sentido hacia aiba o hacia abajo, el ecto fueza siepe tiene sentido contaio al desplazaiento en tono a la posición cental de equilibio.. )Cuál es la isión del péndulo de un eloj? )De qué factoes depende el peíodo de su oiiento? La isión del péndulo es la de caliba los ecanisos del eloj. Su peíodo se antiene estable ya que una asa, pesas, al descende copensa el ozaiento. Su peíodo depende de su longitud y de la aceleación de la gaedad. ACIVIDADES FINALES. La ecuación geneal del oiiento de una patícula que descibe un oiiento ibatoio aónico siple, en unidades del SI, es: x 0,0 sen (π t + π/). Cuál es el alo de la aplitud y de la fecuencia del oiiento? Calcula elocidad en el instante t s. Copaando con la elución geneal x A sen (ω t + φ ), se tiene que: A 0, 0 ω π ν π ad/s ν π/ Hz La expesión de la elocidad es: 0,0 π cos (π t + π/) /s t s 0,0 π cos (π + π/) 0 /s. Un objeto oscila según un oiiento aónico siple dado po x A sen (ω t). Si el alo de la aplitud de la oscilación es de 6 c, y la aceleación del objeto es 4 c/s cuando la posición es x - 4 c, calcula la aceleación cuando x c y la elocidad áxia del objeto. 40

41 Soluciones unidad : Moiiento Vibatoio º Bachilleato 008 Aplicando las definiciones de elocidad y aceleación de una patícula, esulta que: A ω cos (ω t); a - A ω sen (ω t) - ω x Aplicando las condiciones que se indican, esulta que la pulsación, ω, es: a - ω x; 4 c/s - ω (- 4 c) ω,45 ad/s Las expesiones de la posición, elocidad y aceleación son: x 6 c sen (,45 ad/s t); 6 c,45 ad/s cos (,45 ad/s t) 4,7 c/s cos (,45 ad/s t) a - (,45 ad/s) x - 6 ad/s x La aceleación en la posición pedida es: a - 6 ad/s c - 6 c/s La elocidad áxia es: 4,7 c/s áxia. Un objeto que oscila con una fecuencia angula ω 8,0 ad/s, se encuenta en el instante inicial, t 0, en la posición x 0 4 c y llea una elocidad de 0-5 c/s. Escibe la expesión de la posición x en función del tiepo. Las expesiones geneales de la posición y elocidad de un objeto que iba con oiiento aónico siple son: dx x A cos (ω t + φ ); - A ω sen (ω t + φ ) 0 0 dt Diidiendo abas expesiones, esulta que: - ω tag (ω t + φ 0) x 5c / s 4c Sustituyendo las condiciones iniciales: - 8,0 ad/s tag (ω 0+ φ ) Despejando, la fase inicial es: tag φ 0,785 φ 0,66 ad 0 0 Sustituyendo en la ecuación de la posición inicial, esulta que la aplitud del oiiento es: 4 c A cos (ω 0 + 0,66 ad) A 5,08 c La expesión pedida es: x (t) 5,08 cos (8,0 t + 0,66) c 4. La expesión geneal del oiiento de una patícula que descibe un oiiento ibatoio aónico es: y t 0,65 sen (6 π t + π) en unidades del SI. Deteina la aplitud, la pulsación, el peíodo, la fecuencia y la fase inicial del oiiento. Calcula la difeencia de fase ente el instante inicial y el instante s. Deduce la ecuación de la elocidad y calcula los instantes en los que adquiee su alo áxio. Copaando la ecuación dada con la expesión geneal del oiiento: y A sen (ω t + φ ). t 0 ω 6 πad / s ν Hz πad πad A 0,65 ; ω 6 π ad/s; ; s; φ π ad En el instante inicial la paticula está en el cento de la oscilación y se diige hacia elongaciones negatias: y 0,65 sen (6 π 0 + π) 0 0 La difeencia fase ente los instantes pedidos es: Δφ φ - φ 6 π + π - (6 π 0 - π) 6 π ad en fase 0 ν 0 0 De ota foa ultiplicando y diidiendo po el peíodo: Δt s Han tascuido 6 oscilaciones copletas. 6 / s 4

42 Soluciones unidad : Moiiento Vibatoio º Bachilleato 008 La ecuación de la elocidad es: t,59 π cos (6 π t + π) /s áxio,59 π /s Su alo es áxio cada ez que pase po el oigen que es el instante inicial y cada edio peíodo. En efecto, el alo de la elocidad es áxio si: n cos (6 π t + π) ± 6 π t + π n π; 6 t + n t Y poniendo en función del peíodo: n t (n ) 6 con n,, 5. Un objeto tiene que tiene una asa de 0 g pende de un uelle y descibe un oiiento aónico siple con una aplitud de 0 c y un peíodo de 0, s. En el instante inicial el uelle está estiado y el objeto ocupa la posición ás alejada del cento de ibación. Deduce la expesión geneal de la posición del objeto. Escibe las ecuaciones de la elocidad y de la aceleación y calcula sus aloes áxios. La ecuación geneal del oiiento es: y (t) A cos (ω t + φ ) 0 Paa calcula el desfase se tiene que en el instante t 0 el objeto está en y - A, po lo que: - A A cos (ω 0 + φ ); cos φ - φ π ad La pulsación es: πad πad ω 0 πad / s 0,s La expesión geneal de la posición del objeto es: y t 0 c cos (0 π ad/s t + π ad) dy La expesión de la elocidad es: - 00 π c/s sen (0 π ad/s t + π ad) Y su alo áxio: áxio 00 π c/s La expesión de la aceleación es: a t Y su alo áxio: a áxio 4000 π c/s t dt d dt π c/s cos (0 π ad/s t + π ad) 6. La aguja de una áquina de cose ealiza un oiiento ibatoio aónico siple con un ecoido de 8 y da 0 puntadas cada 0 s. Cuando se conecta el inteupto, la aguja se encuenta en la posición ás alejada de la tela (aiba del todo). Escibe las expesiones de la posición, elocidad y aceleación del exteo de la aguja e indica sus aloes áxios. En pie luga se deteinan las constantes del oiiento. La aplitud es igual a la itad del ecoido copleto: A 4 4 Α 0 - La fecuencia es: ν 0 puntadas/0 s Hz; ω Α π Α ν 4 Α π ad/s; /ν s Si se utiliza paa la descipción del oiiento la función coseno la fase inicial es: ν 0 0 ad, y si se utiliza la función seno entonces es: ν` π/ ad. 0 En efecto en el instante inicial la posición del exteo de la aguja es y 0 + A, po tanto: y 0 + A A Α cos (ω Α 0 + ν 0) Ψ cos ν0 + Ψ ν 0 0 ad y 0 + A A Α sen (ω Α 0 + ν 0) Ψ sen ν0 + Ψ ν 0 π/ ad A continuación se seguiá, po sencillez, utilizando la función coseno. a) y A Α cos (ω Α t) 4 Α 0 - t Α cos (4 Α π Α t) dy t 4 Α 0 - Α 4 Α π [- sen (4 Α π Α t)] - 6 Α 0 - Α π Α sen (4 Α π Α t) /s dt d dt a t - 6 Α 0 - Α π Α 4 Α π cos (4 Α π Α t) - 64 Α 0 - Α π Α cos (4 Α π Α t) /s 4

43 Soluciones unidad : Moiiento Vibatoio º Bachilleato 008 b) Sus aloes áxios son: y áxio 4 Α 0 - ; áxio 6 Α 0 - Α π /s; a áxio 64 Α 0 - Α π /s 7. Repesenta gáficaente el oiiento ibatoio aónico siple de una patícula que queda descito po la ecuación: y 5 cos (0 t + π/), en unidades SI. Repesenta gáficaente oto que tenga una aplitud doble y una fecuencia la itad del anteio. Copaando la expesión anteio con la un oiiento aónico siple: y A cos (ω t + φ 0 ), se tiene que las constantes del oiiento son: A 5 ; ω 0 ad/s; φ π/ ad; 0 ω 0ad / s ν π πad 5 Hz; π π s ν 5 Paa epesenta gáficaente la función anteio fente al tiepo se constuye la siguiente tabla de aloes y se epesenta la elongación fente al tiepo. t (s) 0 /4 π/0 / π/0 /4 π/0 π/5 ω t (ad) 0 π/ π π/ π ω t + φ 0 (ad) π/ π π/ π π + π/ y () Las constantes del segundo oiiento son: A A 0 ; ω ω/ 5 ad/s; ν / 5/( π) Hz; π/5 s Y La ecuación del oiiento es: y 0 cos (5 t + π/) Constuyendo la coespondiente tabla de aloes, se tiene: t (s) 0 /4 π/0 / π/5 /4 π/0 π/5 ω t (ad) 0 π/ π π/ π ω t + φ 0 (ad) π/ π π/ π π + π/ y () y () y () /0 /0 /0 /5 t (s) 0 /0 /5 /0 /5 t (s) La figua adjunta epesenta gáficaente la elocidad fente al tiepo del oiiento ibatoio aónico de una patícula de 0, kg de asa a lo lago al eje OX. Escibe la ecuación de la elongación de la patícula en función del tiepo y calcula los aloes de la enegía cinética y potencial elástica en el instante 0,05 s. (c/s) , 0,4 0,6 0,8 t (s) El peíodo del oiiento son 0,4 s, po lo que la fecuencia angula es: ω π π 5 πad/ s 0,4 4

44 Soluciones unidad : Moiiento Vibatoio º Bachilleato 008 La aplitud se calcula con su elación con la elocidad áxia: c/s áxia A ω; c/s A 5 π ad A 0,7 c áxia Coo la elocida inicial es áxia, la patícula está situada, en ese instante, en la posición cental y se diige hacia elongaciones positias. Po tanto, si se usa la función seno entonces la fase inicial es φ 0 0 ad. x 0,7 0 - sen (5 π t) x t 0,05 s 0,7 0 - sen (5 π 0,05) 9, ,7 0-5 π cos (5 π t) /s t 0,05 s, cos (5 π 0,05),4 0 - /s La enegía cinética en ese instante es: E c ½ ½ 0, kg (,4 0 - /s) 9,9 0-6 J Y la enegía potencial elástica es: E p ½ K x ½ ω x ½ 0, kg (5 π ad/s) (9,0 0-4 ) 9,9 0-6 J En ese instante coinciden los aloes de las dos enegías. 9. Colgado de un sopote hay un esote de constante K 40 N/ del que cuelga una asa de kg. En estas cicunstancias y en equilibio, la asa dista del sopote. )Cuál es la longitud del esote cuando no suspende ninguna asa? Ahoa se inceenta la asa con ota de 0,5 kg. Patiendo del punto anteio, se libea el sistea. )Cuál es la fecuencia de la oscilación? a) La defoación del esote se deteina aplicando la ley de Hooke: F K Α y Ψ Α g K Α y Despejando: g y K kg 9,8 / s 40 N/ 0,45 La longitud del esote cuando no se suspende ningún cuepo es: longitud - 0,45 0,755 y b) La fecuencia es: K ω ν ω π ν π K π 40 N/,5 kg 0,8 Hz 0. Una patícula inicia un oiiento aónico siple en el exteo de su tayectoia y tada 0, s en llega al cento de la isa. Si la distancia ente abas posiciones es de 0 c, calcula el peíodo del oiiento y la pulsación. Cuál es la posición de la patícula s después de iniciado el oiiento? La distancia ente el exteo y el cento de la tayectoia es igual a la aplitud del oiiento y el tiepo que tada en ecoe esa distancia es la cuata pate del peíodo, po tanto: A 0 c; 4 0, s 0,4 s La pulsación del oiiento es: ω π ν π πad 5 π ad/s 0,4 s La ecuación geneal de la posición en un oiiento ibatoio aónico siple es: y (t) A cos (ω t + φ ) 0 La difeencia de fase se calcula aplicando las condiciones iniciales del ejecicio, inicialente su posición es el exteo de su tayectoia que supongaos es el positio. y (t 0) A A cos (ω 0 + φ ); cos φ φ 0 ad

45 Soluciones unidad : Moiiento Vibatoio º Bachilleato 008 La ecuación del oiiento es: y (t) 0 c cos (5 π ad/s t ) Y en el instante pedido esulta que: y (t s) 0 c cos (5 π ad/s s) - 0 c La patícula está en el oto exteo de la tayectoia. En efecto la elación ente el tiepo tanscuido y el peíodo es: s t s,5 0,4s Han tanscuido dos peíodos y edio, po lo que la patícula está en oposición de fase con el instante inicial, en el oto exteo de la tayectoia.. Calcula en función de la aplitud la elongación de un oiiento ibatoio aónico siple en el instante en el que la elocidad es igual a la itad de su alo áxio. Las ecuaciones geneales de la posición y elocidad del oiiento son: x A sen (ω t +φ ); A ω cos (ω t + φ ) A ω 0 0 áx Cuando la elocidad tiene la itad de su alo áxio: A ω A ω cos (ω t + φ ) cos (ω t + φ ) 0 0 Y posición es: x A sen (ω t +φ ) A 0 cos ( ω t + ϕ0) A 4 A. Una patícula descibe un oiiento aónico siple de 0 c de aplitud. Si alcanza su elocidad áxia, de 5 s -, en el instante inicial, Cuál seá la aceleación áxia de la patícula? Cuáles seán la posición, la elocidad y la aceleación de la patícula en el instante t s? La aplitud es: A 0 c Las expesiones geneales de la elongación, elocidad y aceleación de la patícula son: dy d y A Α sen (ω Α t + ν o ); A Α ω Α cos (ω Α t + ν o ); a - A ω sen (ω t + φ ) dt Coo en el instante inicial la elocidad es áxia, se tiene que la fase inicial es: cos (ω Α 0 + ν 0 ) Ψ ν 0 0 ad Del alo de la áxia elocidad se deducen el esto de las constantes del oiiento. A Α ω 5 /s Ψ áxia ω ax A 5 /s ad 5 0, /ad s Las expesiones de la elongación, elocidad y aceleación y sus aloes en el instante t s son: y AΑsen (ωαt + ν o) 0 c Α sen (5 ad/s Αt) Ψ yt s 0 cαsen (5 ad/ s s) -,65 c dy 0 c 5 s - Α cos (5 ad/s Αt) Ψ t s 500 c/s cos (5 ad/ s s) 495,6 c/s dt d a c/s 5 s - Α sen (5 ad/s Α t) Ψ a -,5 0 4 c/s Α sen (5 ad/s s) dt -,656 0 c/s Y cuyo alo áxio es: a áxia,5 0 4 c/s. Un objeto ealiza un oiiento ibatoio aónico siple. Esciba la ecuación de dicho oiiento en unidades del SI, si su aceleación áxia es igual a 5π c/s, el peiodo de las t s dt 0 45

46 Soluciones unidad : Moiiento Vibatoio º Bachilleato 008 oscilaciones es s y la elongación del punto al iniciase el oiiento ea,5 c.. a) La expesión geneal de un oiiento ibatoio aónico siple es: x t A sen (ω t + φ 0) π π La fecuencia angula es: ω πs s La aplitud del oiiento se deduce de la expesión de la aceleación áxia: a A ω áxia a A áxia ω 5 π c / s π s La fase inicial se calcula sustituyendo las condiciones iniciales en la ecuación geneal: x 5 c sen (ω 0 s + φ ),5 c; sen φ 0,5 φ π/6 ad x c La expesión pedida es: : x 5 c sen (π s - t t + π/6 ad) 4. Escibe la ecuación geneal del oiiento ibatoio aónico de una patícula sabiendo que su elocidad es c/s cuando la elongación es,4 c, que la elocidad es c/s cuando su elongación es,8 c y que la elongación al iniciase el oiiento ea nula. Paa esole esta cuestión hay que expesa la elocidad en función de la posición. En ausencia de ozaiento la enegía ecánica del oscilado se consea, po lo que paa cualquie posición se tiene: Α K Α A Α Α + Α K Α x Coo K Α ω, se obtiene la expesión: ω Α (A x ) Sustituyendo los aloes del ejecicio, esulta que: ( c / s) ω [A (,4 c) ] 9 A 5,76 c 4 (c / s) ω [A (,8 c) ] A 7,84 c Opeando: 9 A 70,56 c 4 A,04 c ; 5 A 47,5 c A,08 c Sustituyendo en una de las ecuaciones del sistea, esulta que la fecuencia angula es: ( c/s) ω [(,08 c) (,4 c) ] ω,55 ad/s Eligiendo la función seno paa descibi el oiiento, en el instante inicial la fase es igual a 0 ad, la expesión del oiiento es: x t A sen (ω t + φ 0 ),08 c sen (,55 ad/s t) 5. Un objeto que tiene una asa de 0 g choca conta un bloque, que inicialente está en eposo, quedando adheido a él. El bloque tiene una asa de,98 kg y está unido a un esote que se puede desplaza hoizontalente sin ozaiento. De esultas del choque el conjunto se pone a iba con una fecuencia de Hz y una aplitud de 50 c. Calcula la elocidad del objeto pequeño antes del choque y la elocidad y aceleación áxias del sistea después del choque. La ecuación geneal de la posición de un oiiento ibatoio aónico siple es: x A sen (ω t + φ ) 0 dx Y la de la elocidad es: A ω cos (ω t +φ 0) dt Cuyo alo áxio es: áxio A ω A π ν 0,5 π Hz π /s 46

47 Soluciones unidad : Moiiento Vibatoio º Bachilleato 008 La elocidad áxia del conjunto se loga en el oento del ipacto. d dt La ecuación de la aceleación es: a A ω (- sen (ω t +φ )) Cuyo alo áxio es: a áxio A ω A ( π f) 0,5 ( π Hz) 8 π /s En el oento del choque se consea la cantidad de oiiento del sistea. Se elige un sistea de efeencia con el eje X la hoizontal, po lo que: Δ p 0;p p p + p p antes después objeto bloque conjunto Coo el bloque está inicialente en eposo y asignando el signo positio al sentido inicial de la bala, esulta que: objeto objeto conjunto conjunto; 0,0 kg objeto (,98 kg + 0,0 kg) π /s Despejando, la elocidad del objeto antes del choque es: objeto 00 π /s 6. Un bloque de 50 gaos de asa está unido a un uelle de constante elástica 5 N/ y oscila sobe una supeficie hoizontal sin ozaientos con una aplitud de 4 c. Cuando el bloque se encuenta a c de su posición de equilibio, calcula la fueza que actúa sobe el bloque, la aceleación del bloque y su elocidad. La fueza se calcula aplicando la ley de Hooke, su sentido es el opuesto a la defoación. F - K x - 5 N/ 0,0-0,5 N Aplicando la segunda ley de Newton se calcula la aceleación, que tiene el sentido de la fueza. F 0,5N F a a 7/ s 0,05kg La elocidad se calcula aplicando la ley de conseación de la enegía ecánica, la enegía ecánica asociada a un exteo es igual a la enegía ecánica en cualquie posición. ½ K A ½ K x + ½ K (A x ) 5N/ ((0,04) (0,0) ) ± ± ±,05/ s Despejando: 0,05kg 7. La fueza áxia que actúa sobe una patícula que ealiza un oiiento aónico siple es 0 - N y la enegía total es de J. Escibe la ecuación del oiiento de esa patícula si el peíodo es de 4 s y la fase inicial es de 0º. Cuánto ale la elocidad al cabo de s de coenza el oiiento? Aplicando las ecuaciones de la fueza áxia y de la enegía ecánica: 4 E K A E A E 5 0 J A 0,5 F F 0 N F K A π π π La fecuencia angula es: ω ad/s 4s La fase inicial es: φ 0 πad π 0º 0º 60º 6 Eligiendo paa la descipción la función coseno, tabién puede se la función seno, la ecuación del oiiento es: x 0,5 cos (π/ t + π/6) 0 47

48 Soluciones unidad : Moiiento Vibatoio º Bachilleato 008 La ecuación de la elocidad es: - 0,5 π/ sen (π/ t + π/6) /s t s - 0,5 π/ sen (π/ + π/6) 0,68 /s 8. Una patícula descibe un oiiento ibatoio aónico siple de peiodo y aplitud A, siendo nula su elongación en el instante inicial. Calcule el cociente ente sus enegías cinética y potencial en los instantes de tiepo t /, t /8 y t /6 Hay que enconta una elación que ligue las expesiones de las enegías en función del tiepo. La expesión geneal de la elongación del oiiento es: x t A sen (ω t + φ0) En el instante inicial: x t0 A sen (ω 0 + φ 0) 0 φ 0 0 Coo K ω, las expesiones geneales de la elocidad, enegía potencial y enegía cinética son: x t A sen (ω t); E p ½ K x ½ ω A sen (ω t) d t A ω cos (ω t); E c ½ ½ A ω cos (ω t) dt Diidiendo téino a téino se tiene la elación ente las enegías en función del tiepo: E E p c sen ( ω t) Ec tan ( ω t) cos ( ω t) E Coo: ω π ν Paa t / Paa t /8 Paa t /6 p tan ( ω t) π Ec, esulta que: Ep π tan t Ec Ep π π tan tan 6 Ec Ep π π tan tan 8 4 Ec Ep π π tan tan 6 9. Una patícula ealiza un oiiento ibatoio aónico siple de peiodo y aplitud A. Calcula el cociente ente sus enegías cinética y potencial cuando su elongación es x A/4, x A/ y x A. Hay que enconta una elación que ligue las expesiones de las enegías en función de la posición. La enegía total de un oscilado aónico es: E ½ K A, po lo que las expesiones geneales de las enegías potencial y cinética son: E p ½ K x ; E c E E p ½ K A ½ K x ½ K (A x ) Diidiendo téino a téino se tiene la elación ente las enegías en función de la elongación: E E c p A x x A x Ec A Si x A/4 5 E p A 4 Ec A Si x A/ E p A 48

49 Soluciones unidad : Moiiento Vibatoio º Bachilleato 008 Si x A oda la enegía está en foa de enegía potencial, la elongación es áxia y la elocidad es igual a ceo. 0. Cuál de las siguientes gáficas epesenta ejo la enegía fente a la posición paa un E E E oscilado aónico? La enegía total asociada a una patícula que iba con un oiiento aónico siple es: E ½ K A La enegía total es independiente de la posición, luego la gáfica coecta es la c). E potencial E cinética E potencial + E cinética x x x La enegía potencial del oscilado es: E p ½ K x, po tanto, la gáfica a) es incoecta poque la enegía potencial es áxia en los exteos e igual a ceo en el cento, x 0. La enegía cinética de la patícula es: E C ½, po tanto, la gáfica b) tabién es incoecta poque la enegía cinética es áxia en el cento, áxia elocidad, e igual a ceo en los exteos.. Una asa de kg oscila unida a un esote de constante k 5 N/, con un oiiento ibatoio aónico siple de aplitud 0 -. Cuando la elongación es la itad de la aplitud, calcule qué facción de la enegía ecánica es cinética y qué facción es potencial. Cuánto ale la elongación en el punto en el cual la itad de la enegía ecánica es cinética y la ota itad potencial? La enegía ecánica de un oscilado aónico es igual a la sua de su enegía potencial elástica, asociada a la posición x, y de su enegía cinética, asociada a su elocidad. Las expesiones de estas enegías son: E p ½ K x ; E c ½ Cuando la patícula pasa po los exteos de la ibación toda la enegía es de tipo potencial ( 0) y cuando pasa po el cento toda la enegía es de tipo cinética (x 0). Po lo que la enegía total de la patícula se puede escibi: E ½ K A ½ áxia a) Cuando la elongación es la itad de la aplitud, x A/, se tiene que: E p K x A K A K 4 E 4 La enegía potencial es un cuato de la enegía total. El esto coesponde a la enegía cinética: E c E 4 b) Si los aloes de la enegía potencial y cinética son iguales, entonces la enegía potencial es igual a la itad de la enegía ecánica. K A E A Ep ; K x x Despejando, la elongación en la posición en la que se igualan las enegías es: x ± A ± A ± 0. Un péndulo siple está foado po un hilo de longitud L 99, c y una bolita que oscila en hoizontal con una aplitud A 6,4 c y un peíodo,00 s. Calcula la intensidad del capo gaitatoio, g, en ese luga. Deteina y epesenta de foa gáfica la 49

50 Soluciones unidad : Moiiento Vibatoio º Bachilleato 008 elocidad de la bolita en función del tiepo, (t). oa coo oigen de tiepo, t 0, cuando la bolita pasa po su posición cental de equilibio. a) El peíodo de oscilación de un péndulo paa pequeñas aplitudes es: Despejando: g 4 π L 4 π 0,99 (,00 s) 9,79 / s 9,79N / kg π b) Paa ángulos pequeños, se puede considea que el oiiento de la bolita del péndulo es un oiiento aónico siple, po lo que su posición en el tiepo es: x t A sen (ω t + φ 0) dx Y su elocidad: t A ω cos (ω t + φ0) La pulsación es: ω dt π π πad / s,00s Coo en el instante inicial la bolita pasa po la posición ás baja, su elocidad es áxia y po ello la fase inicial es: φ 0 0 ad. La expesión de la elocidad es: 6,4 0 - π ad/s cos (π t) t Y en el instante inicial su elocidad es: π 6,4 0 - /s 0,0 /s t0 L g Al epesenta gáficaente la función (t), se tiene pesente que la elocidad está copendida ente los aloes áxios áxia ± 0,0 /s. Inicialente la patícula tiene su elocidad áxia y que sus sucesios aloes se epiten con un peíodo de,00 s. (/s) 0, - 0, t (s). Un péndulo siple que ealiza pequeñas oscilaciones tiene un peíodo de,000 s cuando está situado en un punto al niel del a. Cuando lo situaos en lo alto de una ontaña, su peíodo es de,00 s. Calcula la altua de la ontaña. R 6 70 k. El peíodo de oscilación de un péndulo siple paa ángulos uy pequeños depende de la aceleación de la gaedad del luga. La aceleación de la gaedad de un luga depende de su distancia especto del cento de la iea, po lo que conocida la elación ente los peíodos de un péndulo en dos lugaes, se puede conoce la elación ente sus distancias al cento de la iea. Aplicando las elaciones: π π g L g0 L L G M π ; g g g a los dos lugaes esulta que: G M G M R a ontaña ontaña g0 ontaña Despejando y sustituyendo: R R,00 s 670k,000 s ontaña a 676,7k Y estando el adio de la iea: h R 6 76, 7 k 6 70 k 6,7 k 6 70 INVESIGA. Po qué el péndulo descibe una otación copleta en los polos? El péndulo ota en los polos una uelta copleta al día poque su plano de oscilación es paalelo el 50

51 Soluciones unidad : Moiiento Vibatoio º Bachilleato 008 eje de la iea. polo ecuado España. Po qué no ota en el ecuado? Justo lo contaio sucede en el ecuado, donde la etical del péndulo es pependicula al eje de otación del planeta y, po tanto, no es posible detecta dicha otación. En las latitudes inteedias, el oiiento del péndulo esulta de una cobinación de los casos anteioes. ES DE AUOEVALUACIÓN. Copleta la fase: En un oiiento ibatoio aónico, una patícula ecoe y actúa una fueza al desplazaiento y sentido hacia. En un oiiento ibatoio aónico, una patícula ecoe indefinidaente un segento y actúa una fueza popocional al desplazaiento y sentido hacia el cento de la tayectoia.. Justifica si las siguientes cuestiones son edadeas o falsas: a) La aplitud de un oiiento ibatoio es igual a la elongación de la patícula. b) Dos estados de ibación están en fase cuando la difeencia de sus fases es un últiplo de π ad. c) La aceleación de un oiiento ibatoio aónico es popocional a la posición y del iso signo. d) El peíodo de ibación del oiiento de una patícula adosada a un uelle es popocional a la asa de la patícula. a) Falso. La aplitud de un oiiento ibatoio aónico siple es igual a la áxia elongación de la paticula. b) Vedadeo. Dos estados de ibación están en fase si: Δφ n π ad (n 0,,,.) c) Falso. La aceleación es popocional a la posición, peo sus signos son opuestos: a - ω x d) Falso. El peíodo de ibación del oiiento de una patícula adosada a un uelle es popocional a la aíz cuadada de la asa: π K. Un péndulo tada un segundo en da una oscilación copleta en un luga en el que g 9,8 /s. La longitud de ese péndulo es: a) ; b),6 ; c) 0 c; d) 0,8. 5

52 Soluciones unidad : Moiiento Vibatoio º Bachilleato 008 La solución coecta es la b). Despejando la longitud en la ecuación del peíodo, esulta que: π L g g (s) 9,8/ s L π π,6 4. Un objeto de kg de asa se une a un uelle hoizontal de constante elástica K 5 N/. Si se desplaza c de la posición cental y se libea, la elocidad áxia que alcanza el - - objeto es: a) 7,7 0 /s; b) 0,77 c/s; c) /s; d),54 0 /s. La solución coecta es la a) Aplicando la ley de la conseación de la enegía ecánica, la enegía potencial elástica en un exteo de la ibación es igual a la enegía cinética del objeto en el cento del ecoido. Α K Α A Α Α Ψ áxia áxia A K 0,0 5 N/ kg 7, Un objeto unido a un uelle iba con un peíodo igual a. Si se duplica la asa del objeto y la aplitud, el peíodo del oiiento pasa a se: a) ; b) ; c) 4 ; d). La solución coecta es la d) El peíodo con el que oscila un esote lineal es independiente de la longitud del uelle en eposo, L, y de la aplitud, A, de las oscilaciones. π K Al duplica la asa y estialo una cantidad A, esulta que: K K K ' Α π Α π 0 Α Α π Α 6. Una patícula ealiza 90 ibaciones po segundo con una aplitud de 0. La elocidad áxia de la patícula es: a) 5,66 /s; b),8 /s; c), /s; d) 0 /s. La solución coecta es la a) áxia A ω π A ν π 0,0 90 Hz 5,66 /s ω π ν áxia 7. La ecuación geneal de la posición de una patícula que ecoe un oiiento ibatoio aónico siple es en unidades del SI es: x cos (4 π t + π). La fecuencia con la que está aniada la patícula es: a) Hz; b) Hz; c) 4 Hz; d) Hz. La espuesta coecta es la a) Copaando la ecuación dada con la expesión geneal del oiiento: x A cos (ω t + φ 0 ), se deduce que: ω π ν 4 π ν Hz 8. Copleta la fase: Paa ángulos, el peíodo del oiiento de un péndulo es de la aplitud y de la de la patícula. Paa ángulos pequeños, el peíodo del oiiento de un péndulo es independiente de la aplitud y de la asa de la patícula. /s 5

53 Soluciones unidad : Moiiento Vibatoio º Bachilleato Justifica si son edadeas o falsas las siguientes cuestiones: a) La enegía cinética de una patícula que iba es áxia en los exteos de la ibación. b) Cualquie fueza que actúe sobe un sistea que iba le hace enta en esonancia. c) El peíodo de oscilación de un péndulo es popocional a la aceleación de la gaedad. d) El peíodo de ibación de un uelle es ayo cuanto ás se le sepae de la posición cental de equilibio. a) Falso. En los exteos de la ibación la elocidad es igual a ceo y, po ello, tabién es igual a ceo la enegía cinética. b) Falso. Un sistea enta en esonancia cuando la fueza extena actúa con una fecuencia igual a la fecuencia de ibación del sistea. c) Falso. El peíodo de oscilación de un péndulo es: cuadada de la aceleación de la gaedad. π L g, luego es inesaente popocional a la aíz d) Falso. El peíodo de ibación de un uelle es independiente de la aplitud del oiiento. 0. La ecuación geneal de un oiiento ibatoio en unidades del SI es: y 0,65 sen (6 π t + π). Cuando la patícula pasa po la posición y 0,, su elocidad es: a) ± 4,6 /s; b) 4,6 /s; c) 9,6 /s; d) ± 0,65 /s. La solución coecta es la b) Aplicando la elación: Α K Α A Α Α + Α K Α y y coo K Α ω, se obtiene la expesión: ω Α - 6 Α π ad/s Α -,47 Α π /s 4,6 /s A y (0,65 ) (0,) 5

54 Unidad didáctica 4 Moiiento ondulatoio

55 Soluciones unidad 4: Moiiento Ondulatoio º Bachilleato 008 SOLUCIONES UNIDAD 4. MOVIMIENO ONDULAORIO CUESIONES INICIALES. Al agita una cueda po un exteo se obsea que una petubación se popaga a lo lago de la isa. )De qué foa el exteo de la cueda contagia su oiiento a toda ella? La cueda es un edio continuo, po lo que al agitala cada punto está soetido a una tensión y aasta al que tiene al lado.. )Cees que cuando leantaos la oz, nuestas palabas llegan antes a nuestos intelocutoes que si hablaos ás bajo? No, la elocidad de popagación del sonido no depende de lo intenso que éste sea. 4. Al golpea un objeto se escucha un sonido si se está ceca de él. )Po qué no se oye nada a pati de una cieta distancia? Al iba un objeto tansite enegía al edio que le odea en las tes diecciones. Al aanza la onda, deben ponese as patículas en oiiento po lo que se atenúa y al cabo de una cieta distancia no tiene la suficiente aplitud coo paa se escuchado. ACIVIDADES FINALES. Una onda tansesal, de 6 c de aplitud, se popaga con una elocidad de /s y una fecuencia de 4 Hz, hacia la deecha del obseado. En el instante inicial, el oigen de coodenadas está situado a + 6 c de la posición cental de ibación. Deduce la ecuación geneal del oiiento y deteina la posición de un punto situado a del oigen en el instante t s. Deduce las expesiones geneales de la elocidad y de la aceleación con que iban las patículas del edio. Calcula la difeencia de fase paa una patícula cualquiea ente dos instantes sepaados po un tiepo de 0,65 s. La expesión geneal de un oiiento ondulatoio es: y x,t A cos (ω t - k x + ϕ 0 ) Coo en el instante inicial el oigen del sistea de efeencia está en la posición ás alejada de la cental, se tiene que: y x0,t0 6 c 6 c cos (ω 0 - k 0 + ϕ 0 ); cos ϕ 0 ϕ 0 0 ad La fecuencia angula es: ω π f 4 π 4 Hz 8 π ad/s El peíodo es: 0,5s ν 4Hz /s La longitud de onda es: λ 0,5 ν 4Hz ω 8 πad/s Y el núeo de ondas es: k 4 π /s Sustituyendo en la expesión geneal, la ecuación geneal del oiiento es: y x,t 0,06 cos (8 π t - 4 π x) Y la posición del punto consideado en el instante pedido es: y x,t 0,06 cos (8 π - 4 π ) 0,06 cos ( π) 0,06 55

56 Soluciones unidad 4: Moiiento Ondulatoio º Bachilleato 008 Aplicando las definiciones de elocidad y aceleación, se tienen las expesiones pedidas. dy 0,06 8 π [- sen (8 π t - 4 π x)] - 0,48 π sen (8 π t - 4 π x) SI dt d a - 0,48 π 8 π cos (8 π t - 4 π x) -,84 π cos (8 π t - 4 π x) SI dt Copaando el tiepo tanscuido con el peíodo, encontaos que: 0,65s Δt 0,65s,5 0,5s Luego los instantes están en oposición de fase. De ota foa, se llega a la isa conclusión: ϕ ϕ - ϕ 8 π t - 4 π x - (8 π t - 4 π x) 8 π (t - t ) 8 π ad/s 0,65 s 5 π ad. Una onda se popaga po una cueda según la ecuación: y 0, cos ( t 0, x), en unidades SI. Calcula la longitud de onda y la elocidad de popagación. Deteina el estado de ibación, elocidad y aceleación de una patícula situada en x 0, en el instante t 0,5 s. a) Copaando la expesión de la onda con la expesión geneal: y x, t A cos (ω t k x) se tiene paa la longitud de onda que: π k 0, λ π λ 0, 0 π Y la elocidad de popagación es: π ω λ ν k π ω ad/ s k 0, 0/ s b) Sustituyendo en la ecuación de la onda se tiene que la elongación de la patícula en ese instante es: y x, t 0, cos ( t 0, x) y 0, cos ( 0,5 0, 0,) 0, Aplicando la definición de elocidad de ibación: dy x, t - 0, sen ( t 0, x) - 0,4 sen ( 0,5 0, 0,) - 0, /s dt Aplicando la definición de aceleación de ibación: d a x, t - 0,4 cos ( t 0, x) a - 0,8 cos ( 0,5 0, 0,) - 0,446 /s dt. Una ailla sujeta po un exteo iba con una fecuencia de 400 Hz y con una aplitud de 0 -. La ibación se popaga en el aie a 40 /s. Escibe la ecuación de ese oiiento ondulatoio aónico. Qué elongación tendá un punto que diste del oigen 0,85 al cabo de s de coenza la ibación? La fecuencia angula ω es: ω π π Α 400 Hz 800 π ad/s π π ω 800 π ad/s 40 - El núeo de ondas k es: k π λ 40 /s a) La ecuación que descibe el oiiento es: y (x, t) A sen (ω t k x) 0-40 sen (800 π t - π x) 0 - sen 40 π (0 t - x) etos b) Sustituyendo en la ecuación geneal: y (0,85 ; s) 0 - sen 40 π (0 Α - 7 0,85) 0 - sen 40 π Α 59,

57 Soluciones unidad 4: Moiiento Ondulatoio º Bachilleato Una onda aónica en un hilo tiene una aplitud de 0,05, una longitud de onda de,4 y una elocidad de,5 /s. Deteina el peíodo, la fecuencia y el núeo de onda. Escibe la función de onda, toando coo sentido positio del eje X el sentido de popagación de la onda.,4 4 a) El peíodo es: λ s,5 /s 5 5 La fecuencia es: ν Hz 4 π π 5 - El núeo de onda k es: k π λ,4 6 5 b) La fecuencia angula es: ω π ν π ad/s 5 5 La ecuación pedida es: y (x, t) A sen (ω t - k x) 0,05 Α sen ( π t - π x) 6 Opeando: y (x, t) 0,05 Α sen 6 5 π ( 7 t - x) 5. Escibe la ecuación de una onda que se popaga en una cueda (en sentido negatio del eje X) y que tiene las siguientes caacteísticas: 0,5 de aplitud, 50 Hz de fecuencia, 00 /s de elocidad de popagación y la elongación inicial en el oigen es nula. Calcula la áxia elocidad tansesal de un punto de la cueda. Si la onda se popaga hacia la izquieda y en el instante inicial la elongación del oigen es igual a ceo, entonces la ecuación geneal es: y x,t A sen (ω t + k x) La aplitud es: A 0,5 La fecuencia angula es: ω π f π 50 Hz 500 π ad/s π λ π ν π 50Hz 00/ s El núeo de ondas es: k,5 π La ecuación pedida es: y x,t 0,5 sen (500 π ad/s t +,5 π - x) dyx,t b) La expesión de la elocidad de ibación es: x,t A ω cos( ω t + k x) dt Y su alo áxio es: áxia A ω 0,5 500 π ad/s 50 π /s 6. Una onda tansesal y sinusoidal de la foa: y A Α sen (kx + ωt), tiene una fecuencia de 50 Hz y se desplaza con una elocidad de 0, /s. En el instante inicial la elocidad de la patícula situada en el oigen tiene un alo de 4 /s. Indica el sentido de popagación de la onda a lo lago del eje X. Calcule la aplitud, el núeo de onda y la fecuencia angula ω. a) La onda se popaga hacia el sentido de las X negatias. b) La fecuencia angula es: ω π Α ν Α π Α 50 Hz 00 π ad/s El núeo de ondas k es: π k λ π ν π 50 Hz - k,5 π 0, /s λ ν La ecuación que descibe la petubación es: y A sen (kx + ωt) A sen (,5 π x - 00 π t) 57

58 Soluciones unidad 4: Moiiento Ondulatoio º Bachilleato 008 La elocidad de ibación de las patículas del edio es: dy A Α 00 Α π Α cos (,5 x - 00 π t) dt A pati de las condiciones de contono: t 0, x 0 A Α 00 Α π cos 0 4 Ψ A 0,07,7 7. A una playa llegan 5 olas po inuto y se obsea que tadan 5 inutos en llega desde un baco anclado en el a a 600 de la playa. oando coo oigen de coodenadas un punto de la playa, escibe la ecuación de onda, en el SI, si la aplitud de las olas es de 50 c y la fase inicial es nula. Si sobe el agua a una distancia 00 de la playa existe una boya, que sube y baja según pasan las olas, calcule su elocidad en cualquie instante de tiepo Cual es su elocidad áxia? Se supondá que las olas del a se copotan coo un oiiento ondulatoio De los datos iniciales se deducen los aloes de la fecuencia y de la elocidad de popagación. 5olas 600 ν 0,5Hz ; / s 60s 5in 60s / in a) La fecuencia angula y el núeo de ondas son: π ω 0,5 πad / s ω π ν π 0,5 Hz 0,5 π ad/s; k 0,5 π λ / s La expesión de la ecuación de ondas, suponiendo que se popagan hacia la deecha del obseado, es: y x,t A cos (ω t k x) 0,50 cos (0,5 π ad/s t 0,5 π - x) b) La expesión geneal de la elocidad de ibación de las patículas del edio es: dy x,t - 0,5 π /s sen (0,5 π ad/s t 0,5 π - x) /s dt Y la elocidad del punto x 00 es: x00, t - 0,5 π /s sen (0,5 π ad/s t 0,5 π - 00 ) x00, t - 0,5 π /s sen (0,5 π ad/s t 75 π) Su alo áxio es: áxio 0,5 π /s 8. La ecuación de una onda que se popaga tansesalente po una cueda expesada en unidades del SI es: y x, t 0,06 Α cos [ Α π (4 Α t - Α x)]. Repesenta gáficaente los oiientos ibatoios de las patículas situadas en x 0, x y x,5 El peíodo y la longitud de onda se deteinan copaando la expesión dada con la geneal. y x, t A Α cos (ω Α t - k Α x) πad πad ω 8 π ad/s 0,5s ω 8 πad/ s k 4 π - πad λ 0,5 4 π La difeencia de fase en un instante paa las patículas situadas en x 0 y x es: πad πad Δ ϕ Δx 4 πad, las dos patículas iban en fase. λ 0,5 La difeencia de fase en un instante paa las patículas situadas en x 0 y x,5 es: πad πad Δ ϕ Δx,5 5 πad πad + πad, las dos patículas iban en oposición de λ 0,5 58

59 Soluciones unidad 4: Moiiento Ondulatoio º Bachilleato 008 fase. Paa la epesentación gáfica, se deteina la elongación en el instante inicial de las patículas y se tiene en cuenta que las ibaciones se epiten a lo lago del tiepo con un peíodo 0,5 s. y x0, t0 0,06 Α cos Α π (4 Α 0 - Α 0) 0,06 La elongación es áxia y positia. y x; t0 0,06 Α cos Α π (4 Α 0 - Α ) 0,06, pues está en fase con el anteio. y x,5; t0 0,06 Α cos Α π (4 Α 0 - Α,5) - 0,06, está en oposición de fase con los anteioes. 9. En las figuas se epesenta la aiación de la posición, y, de un punto de una cueda ibante en función del tiepo, t, y de su distancia, x, al oigen, espectiaente. Deduce la ecuación de onda y deteine la elocidad de popagación de la onda y la elocidad de ibación de un punto de la cueda. a) De las epesentaciones gáficas se deduce que la onda se popaga hacia la deecha y que las constantes del oiiento son: π π ad π π A 0, c; 8 s; λ 4 ; ω 0,5 π ; k 0,5 π 8s s λ 4 y x,t A sen (ω t k x) 0, 0 - sen (0,5 π s - t 0,5 π - x) b) La elocidad de popagación de la onda es una cantidad que depende del edio de tansisión. λ ω 0,5 π s k 0,5 π 0,5 s La elocidad de ibación depende de la posición del punto a lo lago de la cueda. dy ibación π cos ((0,5 π s - t 0,5 π - x) s dt 0. Una onda se popaga po la pate negatia del eje X con una longitud de onda de 0 c, una fecuencia de 5 Hz, una aplitud de c y fase inicial igual a ceo. Escibe la ecuación de la onda e indica el instante en el que un punto que se encuenta a,5 c del oigen alcanza, po piea ez, una elocidad nula. La fecuencia angula es: ω π ν π 5 Hz 50 π d/s π πad El núeo de ondas es: k 0 π λ 0, 59

60 Soluciones unidad 4: Moiiento Ondulatoio º Bachilleato 008 La ecuación geneal de la onda, coo se desplaza hacia la pate negatia del eje X, es: y A sen (ω t + k x) 0,0 sen (50 π t + 0 π x) La ecuación geneal de la elocidad de ibación es: x, t,5 π cos (50 π t + 0 π x) Y la ecuación con la que iba el punto x,5 0 - es: x,5 c ; t,5 π cos (50 π t + 0 π,5 0 - ),5 π cos (50 π t + 0,5 π) La elocidad es igual a ceo cuando: cos (50 π t + 0,5 π) 0 50 π t + 0,5 π π/ Despejando: t s. En el cento de una piscina cicula de 6 de adio se poduce una petubación que oigina un oiiento ondulatoio en la supeficie del agua. La longitud de onda es de 0,50 y tada s en llega a la oilla. Calcula la fecuencia del oiiento ondulatoio. Cuál es la aplitud del iso si al cabo de 0,5 s la elongación en el oigen es de 4 c? Deteina la elongación en el instante t s en un punto situado a 6 del foco eiso. Δx 6 La elocidad de popagación es: 0,5/ s Δt s La fecuencia y peíodo de la petubación son: ν λ 0,5/ s 0,5 Hz ν Si se supone que en el instante inicial el cento de la piscina está en eposo, entonces φ 0 0 y se tiene que la expesión del oiiento ibatoio del oigen es: y x0; t A sen (ω t + φ 0 ) A sen ( π ν t + 0) Sustituyendo: 4 c A sen ( π 0,5) A 4 c Hz s La fase del oiiento es: φ ω t k x π ν t - λ π x π t - π x π t 4 π x 0,5 La difeencia de fase ente el oigen en el instante inicial y la oilla en el instante s es: Δφ φ 0 φ oilla ( π t 0 4 π x 0 ) - ( π t 4 π x) π (t 0 t) 4 π (x 0 x) π s 4 π 6 0 ad Las dos estados de ibación están en fase, po lo que la elongación de la oilla en ese instante es: y x6 ; t s 0. Un foco sonoo eite una onda aónica de aplitud 0 pascales y fecuencia 50 Hz. La onda se popaga en la diección positia del eje Y con elocidad 40 /s y en el instante inicial, t 0, la pesión es áxia en el foco eiso. Escibe la ecuación Ψ (y, t) de la onda sonoa. Cual es la aiación de la pesión especto del equilibio de un punto situado a,5 del foco en el instante t s? La expesión geneal de una onda aónica popagándose hacia la pate positia del eje Y es: Ψ (t) Ψ 0 cos (ω t k y + φ 0 ) La aplitud es: Ψ 0 0 Pa 60

61 Soluciones unidad 4: Moiiento Ondulatoio º Bachilleato 008 La fecuencia angula es: ω π ν π 50 Hz 500 π ad,s π π ν π 50Hz El núeo de ondas es: k,47 π λ 40/ s Paa calcula el desfase, se aplican las condiciones de áxia pesión en el foco en el instante inicial: Ψ y 0; t 0 0 Pa cos (ω 0 k 0 + φ 0 ) 0 Pa; cos φ 0 φ 0 0 ad La ecuación de la onda sonoa es: Ψ (t) 0 cos (500 π t,47 π y) Y la aiación especto del equilibio en el punto es instante pedidos es: Ψ y,5; t 0 cos (500 π,47 π,5) 8 Pa. Dos cochos que flotan en la supeficie del agua de un estanque son alcanzados po una onda que se poduce en dicha supeficie, tal que los sucesios fentes de onda son ectas paalelas ente sí que aanzan pependiculaente a la ecta que une abos cochos. Se obsea que los cochos ealizan 8 oscilaciones en 0 segundos, y que oscilan en oposición de fase. Sabiendo que la distancia ente los cochos es 80 c y que ésta es la eno distancia ente puntos que oscilan en oposición de fase, calcula la elocidad de popagación de la onda en el agua. 8oscilaciones La fecuencia del oiiento es: ν 0,8 Hz 0s Los puntos ás póxios que iban es oposición de fase están sepaados po edia longitud de onda. λ Po tanto: 80c λ 60c La elocidad de popagación de la onda es: λ ν 60 c 0,8 Hz 8 c/s 4. Cieta onda está descita po la ecuación: ψ (x, t) 0,00 Α sen (t - x/4), todo expesado en unidades del S.I. Deteina la fecuencia de la onda, su elocidad de popagación y la distancia ente dos puntos consecutios que iban con una difeencia de fase de 0. Copaando la expesión dada con la ecuación geneal del oiiento ondulatoio: ψ x,t A sen (ω t k x) ω ad/s π ν ν 0,59 Hz; k λ 8 π La elocidad de popagación es: 4 ω ad / s k 4 π λ 4 / s A una distancia de una longitud de onda le coesponde una difeencia de fase de π ad (60º). λ λ 8 π Δ x 0º 60º 5. Una onda tansesal se popaga según la ecuación: y 4 Α sen Α π Α [(t/4) + (x/,8)] (en unidades SI) Deteine la elocidad de popagación de la onda y la elocidad de ibación áxia de un punto alcanzado po la onda. Calcula la difeencia de fase, en un instante dado, de dos puntos sepaados en la diección de aance de la onda. a) Reescibiendo la ecuación de la onda dada y copaándola con la expesión geneal, se tiene: π π y x, t 4 sen t + x unidadessi ; y x,t A sen (ω t k x) 0,9 6

62 Soluciones unidad 4: Moiiento Ondulatoio º Bachilleato 008 π π ω ad / s; k 0,9 π s ω La elocidad de popagación es: 0,45 / s k π 0,9 Aplicando la definición de elocidad de ibación: dy π π π π π 4 sen t + x π sen t + x / s dt 0,9 0,9 Su alo áxio es: áxio π /s b) A una distancia de λ le coesponde una difeencia de fase de π ad. La longitud de onda es: π π k ; λ,8 λ π 0,9 πad πad π 0 La difeencia de fase pedida es: Δφ Δx ad πad λ,8 0, Una onda aónica se popaga po un edio unidiensional con una fecuencia de 500 Hz y una elocidad de 50 /s. Cuál es la distancia ínia ente dos puntos del edio paa que un instante iben con una difeencia de fase de 60º? Paa un cieto punto, cuál es la difeencia de fase, paa un intealo de tiepo de 0 - s? 50/ s La longitud de onda de la petubación es: λ 0,7 ν 500Hz A una distancia igual a la longitud de onda le coesponde un desfase de π ad 60º, po tanto: λ 0,7 Δ x Δϕ 60º 0, 60º 60º De igual foa a un intealo de tiepo igual al peíodo le coesponde un desfase de π ad 60º, po tanto: 0 s ν 500Hz πad πad Δϕ Δ 0 s πad, los instantes están en oposición de fase. 0 s 7. Un foco sonoo eite una enegía de,5 0 - J cada inuto, obseándose una aplitud de a una distancia de 0 del foco. Calcula la intensidad a 0 y a 0 del foco. Cuál es la aplitud a 0 del foco? La intensidad de onda esféica a una distancia R del foco es: E E,5 0 J 7 W E,5 0 W I 0 ; S t 0,5 0 Δ Δ 4 π R Δt 4 π (0 ) 60s ΔS Δt 4 π (0 ) 60s Al duplica la distancia al foco, la intensidad se diide po cuato. W 7 I La elación ente las aplitudes es: A R A 0 A c ; A c A R A 0 Al duplicase la distancia al foco, la aplitud se diide po dos. 8. Se desea aisla acústicaente una sala, cubiendo sus paedes con un ateial absobente. Paa ello, se utiliza un cieto ateial en el que la intensidad del sonido se educe a la itad cuando ataiesa c de ateial. La intensidad áxia que puede pasa al exteio es 6

63 Soluciones unidad 4: Moiiento Ondulatoio º Bachilleato 008 pw/c. Cuál es el goso del ateial aislante que debe eplease si la intensidad inteio puede alcanza hasta 0 pw/c? Aplicando la ley de la absoción se calcula el alo del coeficiente de absoción del ateial. I I 0 e - β x ; I 0 I 0 e - β c ; - Ln - β c β Ln c - Aplicando ota ez la ley anteio, se calcula el espeso del ateial a utiliza. I I 0 e - β x ; pw c - 0 pw c - Lnc x e Opeando: Ln - Ln c - x x 4, c 0 9. Un haz de ondas posee una intensidad de 0 - W/ al incidi sobe un edio absobente de de espeso. Si a la salida del edio la intensidad se ha educido a la cuata pate calcula el coeficiente de absoción del edio. Cuál es el espeso necesaio paa que la intensidad se eduzca en un 0 %? El coeficiente de absoción se calcula aplicando la ley de la absoción paa ondas planas. I I 0 e - β x; I 0 /4 I 0 e -β ; Ln - Ln 4 - β β,9 - Si la intensidad se educe en un 0 %, significa que la intensidad final es: I 0,9 I 0, aplicando ota ez la ley anteio, esulta que: I I 0 e - β,9 x - x; 0,9 I 0 I 0 e ; Ln 0,9 -,9 x x 0, Dos sonidos tienen nieles de intensidades sonoas de 50 db y 70 db espectiaente. Calcula la elación ente sus intensidades físicas. Aplicando la definición de niel de intensidad sonoa, físicas espectias son: I I 50dB 0 log ; 70dB 0 log ; I I 0 I I Restando: 0dB 0 log log ; logi logi I0 I0 I I Opeando: log ; 0 I 00 I I I El segundo sonido es cien eces ás intenso que el pieo. 0 I NS 0 log, se tiene que las intensidades I. En un patido de fútbol, un espectado canta gol con un niel de intensidad sonoa 40 db. Cuál seía el niel de intensidad sonoa si gitaan a la ez y con la isa intensidad sonoa los espectadoes que se encuentan iendo el patido? Dato: I W -. La intensidad con la que eite un espectado se copaa con la intensidad ubal ediante la ecuación del niel de intensidad sonoa. NS 0 log I I 0 I I 0 0 NS W/ La intensidad total es igual a la sua de las intensidades de todas las fuentes de sonido: I t I W/ 0-4 W/ 8 Aplicando a esta intensidad la ecuación del niel de intensidad sonoa, esulta que el niel de intensidad sonoa esultante es: W/ 0 6

64 Soluciones unidad 4: Moiiento Ondulatoio º Bachilleato 008 NS 0 log I I log W/ W/ 80 db. Una fuente sonoa puntual eite con una potencia de 0-6 W. Calcula el niel de intensidad sonoa, expesado en db, a del foco. A qué distancia de la fuente sonoa el niel de intensidad sonoa se ha educido a la itad del alo anteio? Dato: I W -. La intensidad física a la distancia de es: 6 E P P 0 J 7,96 0 ΔS Δt ΔS 4 π R 4 π ( ) W 8 I El niel de intensidad sonoa es: NS 0 log I I 0 8 7,96 0 W / 0 log 0 W / 49 db Al alejase de la fuente disinuye la intensidad y el niel de intensidad sonoa. Cuando este se ha educido a la itad, la intensidad física es: I 49dB I 0 NS 0 log ; 0 log I,8 0 W / I 0 W / 0 Y la distancia a la que está el punto de la fuente es: 6 P P 0 0 J I ;,8 0 W / 6,9 ΔS 4 π 4 π INVESIGA. Descibe beeente el efecto piezoeléctico. Piee Cuie descubió, en 880, que al aplica una pesión a dos caas paalelas de cietos cistales de cuazo, apaecen cagas de distinto signo en las caas pependiculaes a aquellas en las que se aplica la pesión, siendo la caga tanto ayo cuanto ás eleada sea la pesión. Si en ez de pesiona sobe las caas, se las soete a tacción se iniete el signo de las cagas. Y al eés, si se aplica una difeencia de potencial altena a las caas de una láina de cuazo, se oiginan en las caas pependiculaes tacciones y copesiones con la consiguiente aiación del espeso en la láina. Estas fluctuaciones del espeso tienen una aplitud que alcanza su alo áxio cuando la fecuencia de la coiente coincide con la fecuencia de ibación del cuazo, pues enta en esonancia, haciéndose las ibaciones ás intensas. Estas ibaciones se tansiten al edio que odea al cistal de cuazo oiginando los ultasonidos.. Cuándo se coenzó a desaolla el sona de los bacos? Duante la Piea Guea Mundial, Paul Langein ecibió el encago, del inisto de la guea fancés, de un poyecto paa la detección de subainos que no se llegó a pone a punto po la finalización de la isa. ES DE AUOEVALUACIÓN. Copleta la siguiente fase: El sonido es una onda poducida po la popagación en del de un objeto. El sonido es una onda longitudinal de pesión poducida po la popagación en un edio elástico 64

65 Soluciones unidad 4: Moiiento Ondulatoio º Bachilleato 008 del oiiento ibatoio de un objeto.. Indica si las siguientes afiaciones son edadeas o falsas: a) La fecuencia que tiene una onda en un edio depende de las popiedades de éste. b) El sonido necesita un edio ateial paa popagase. c) Paa una cueda dos instantes sepaados po un tiepo igual a tas eces el peíodo están en oposición de fase. d) La intensidad de una onda esféica decece popocionalente con la distancia al foco. a) Falsa. La fecuencia y la potencia de una onda son caacteísticas del foco eiso. b) Vedadeo. El sonido es una onda longitudinal de pesión y po ello no se puede popaga po el acío. c) Falso. La ecuación de las ondas aónicas unidiensionales es peiódica especto del tiepo, po ello paa una posición conceta dos instantes sepaados po un últiplo enteo del peíodo están en fase. d) Falso. La intensidad de una onda esféica es inesaente popocional al cuadado de la distancia al foco. I R I R. La elocidad de popagación po una cueda de una onda de ecuación y 0, cos ( t + 0, x), unidades del SI, es: a) 0 /s; b) /s; c) 0, /s; d) 0, /s. La solución coecta es la a) ω ad/ s 0/ s k 0, 4. La ecuación y 0,05 sen (50 t 00 x) es la de una onda tansesal, en unidades del SI, que se popaga po una cueda. La elocidad de ibación del punto situado a 50 c del oigen en el instante s es: a) 00 /s; b) /s; c),5 /s; d) 0 /s. La solución coecta es la c) La ecuación geneal de la elocidad es: dy 0,05 50 cos (50 t 00 x) x0,5 ; t 0,05 50 cos ( ,5),5 /s dt 5. Un ten de ondas tiene una intensidad de 0 W/ cuando peneta en un edio de coeficiente de absoción β 0 -. Después de ataesa,5 c de ateial, su intensidad seá: a) 0 W/ ; b) 0 W/ ; c) 5 W/ ; d) 5 W/. La solución coecta es la b). Aplicando la ecuación que elaciona la intensidad de una onda con el espeso de ateial ataesado, esulta que: I I o Α e -β x W ,5 0 e 0 W/ La intensidad de la onda se ha educido a la itad. 6. Una patícula tansite a un edio no absobente una enegía de 0 J cada 5 s. La intensidad en un punto situado a 50 c del foco es: a) W/ ; b) 50 W/ ; c) W/ ; d) 0,64 65

66 Soluciones unidad 4: Moiiento Ondulatoio º Bachilleato 008 W/. La solución coecta es la d). E E 0J La intensidad de la onda es: I 0,64W / ΔS Δt 4 π Δt 4 π (0,5) 5s 7. Copleta la fase: La enegía que tanspota una onda es función del de la fecuencia, del de la aplitud y de de las patículas que iban. La enegía que tanspota una onda es función del cuadado de la fecuencia, del cuadado de la aplitud y de la asa de las patículas que iban. 8. Indica si las siguientes afiaciones son edadeas o falsas: a) Una onda tanspota asa y enegía. b) El sonido es una onda tasesal. c) La elocidad de popagación de una onda depende de las popiedades del edio tansiso. d) Dos puntos de una cueda sepaados po una distancia igual a la longitud de onda están en fase. a) Falsa. Una onda no tanspota ateia, tansite enegía y cantidad de oiiento. b) Falsa. El sonido es una onda longitudinal. c) Vedadeo. Paa un iso tipo de onda, su elocidad de popagación depende de las popiedades del edio tansiso. d) Vedadeo. La ecuación de las ondas aónicas unidiensionales es peiódica especto de la posición, de foa que los puntos sepaados po un últiplo enteo de la longitud de onda están en fase. 9. Una onda tansesal tiene que tiene una aplitud de 0, y una longitud de onda de 0 π, se popaga con una elocidad de 0 /s. Si inicialente el oigen se encuenta en su áxia elongación, la elongación de un punto que se encuenta a 0, del oigen en el instante 0,5 s es: a) 0, ; b) 0 ; c) 0, ; d) 0,05. La solución coecta es la a). π π El núeo de onda es: k 0, λ 0 π La fecuencia angula es: ω k 0, - 0 /s ad/s Coo en el instante inicial el oigen está en la áxia elongación, la fase inicial es igual a ceo cuando se usa paa la descipción la función seno. y x, t 0, cos ( t 0, x) y x0, ; t0,5 0, cos ( 0,5 0, 0,) 0, 0. Una cueda de 8 de longitud es ecoida po una petubación cuya longitud de onda ide 65 c. La difeencia de fase ente los exteos de la cueda es: a) π ad; b) º; c) 60º; d) π/ ad La solución coecta es la b). Dos eleentos de la cueda sepaados po una distancia igual a la longitud de onda se coesponde con una difeencia de fase de 60º π ad. 66

67 Soluciones unidad 4: Moiiento Ondulatoio º Bachilleato º 60º Δ ϕ Δx 8, 60º 60º + 0, 60º 60º + º λ 0,65 Po lo que la difeencia de fase es equialente a: Δφ º 67

68 Unidad didáctica 5 Fenóenos ondulatoios ecánicos

69 Soluciones unidad 5: Fenóenos ondulatoios ecánicos º Bachilleato 008 SOLUCIONES UNIDAD 5. FENÓMENOS ONDULAORIOS MECÁNICOS CUESIONES INICIALES. Seguo que alguna ez has escuchado el fenóeno del eco, )seías capaz de explica cóo se poduce? Las ondas sonoas que se foan al habla si encuentan una supeficie adecuada, y a la distancia coneniente, en la que se eflejan, uelen po el iso caino, lo que peite que nos escucheos a nosotos isos con un cieto etaso.. )Po qué se escucha la oz de unas pesonas situadas al oto lado de una esquina, aunque no las eaos? La longitud de onda del sonido está copendida ente unos c y aios, po lo que puede bodea obstáculos tales coo las esquinas de los edificios. Sin ebago la longitud de onda de la luz es del oden del 6 Α 0-7 y po tanto no puede bodea esos obstáculos.. Si obseaos pasa los autoóiles, cuando estaos paados en el acén de una caetea, pecibios distinto sonido cuando se acecan que al alejase. )A qué cees que es debido? La sensación sonoa que nos tansite el oído depende de la fecuencia con la que fluctúa el aie que está en contacto con el típano. Esta fecuencia pecibida depende del oiiento elatio ente el foco y el obseado. ACIVIDADES FINALES. Un sonido se popaga po el aie con una longitud de onda de y una elocidad de 40 /s. Cuál seá la longitud de onda cuando se popague po el agua con una elocidad de 500 /s? Cuando la onda pasa de un edio a oto su fecuencia peanece constante. ν aie ν agua ; λ aie aie λ agua agua 40/ s 500/ s ; λ λ agua agua 8,8. Una onda de fecuencia 4 Hz se popaga po un edio con elocidad /s e incide sobe la fontea con oto edio difeente con ángulo de incidencia i 0º. En el segundo edio la elocidad de popagación de la onda es,5 /s. Calcula el ángulo de efacción y la longitud de onda en este segundo edio. seni sen sen0º sen / s,5/ s Aplicando la ley de Snell: ; 9º Cuando la onda pasa de un edio a oto peanece constante su fecuencia.,5/ s λ 0,65 ν 4Hz. Una petubación de c de longitud de onda, que se desplaza po el agua con una elocidad de 0,5 /s, accede a un edio ás pofundo con un ángulo de incidencia de 0º especto de la noa a la supeficie de sepaación de los dos edios. Si la longitud de de onda de dicha petubación en el segundo edio es de,4 c, calcula la elocidad de popagación 69

70 Soluciones unidad 5: Fenóenos ondulatoios ecánicos º Bachilleato 008 en el segundo edio y la diección de popagación. Cuando la onda pasa de un edio a oto su fecuencia peanece constante. ν ν ; 0,5/ s ; λ λ c,4c 0,6/ s Aplicando la ley de Snell, se tiene que el ángulo de efacción es: seni sen0º 0,5/ s ; 6,87º sen sen 0,6/ s 4. Una onda sonoa tiene po elución y, cos [ π (70 t - 0,5 x)] Pa. Si encuenta en su caino un autoóil, sufiá el fenóeno de la difacción? Paa deducilo hay que copaa las diensiones del autoóil con la longitud de onda de las ondas. k π 0,5 - λ π λ Coo abas agnitudes son del iso oden si que se anifiesta el fenóeno de la difacción. 5. Dos ondas sonoas coheentes tienen una fecuencia de 000 Hz y se popagan con una elocidad de 40 /s. Calcula la difeencia de fase en un punto del edio de popagación situado a 0 de una fuente y a 7 de la ota. Justifica si la intefeencia en ese punto es constuctia o destuctia. La longitud de onda del sonido es: 40/ s λ 0,7 ν 000Hz Aplicando la elación ente la difeencia de fase y las espectias distancias a los focos: πad π Δ ϕ k ( ) ( ) (7 0) 00 π ad λ 0,7 Las dos petubaciones llegan en fase, po lo que la intefeencia es constuctia. 6. Dos altaoces, consideados puntuales, eciben una señal del iso aplificado y eiten ondas sonoas en fase. Si la elocidad del sonido es de 50 /s, calcula la fecuencia ás pequeña paa que la intefeencia en un punto que dista, 47 de un altaoz y, del oto sea constuctia. Cuál seá la fecuencia ás pequeña paa que la intefeencia sea destuctia? a) La intefeencia de dos ondas coheentes es constuctia en todos los puntos del edio paa los cuales la difeencia de distancias a los focos es un últiplo de la longitud de onda. n λ con n 0,,,,.. Coo los cainos son distintos, la fecuencia ás pequeña es cuando n, y coo λ ν, esulta que: 50/ s λ ;,47, ν 000 Hz ν ν b) La intefeencia de dos ondas coheentes es destuctia en todos los puntos del edio paa los cuales la difeencia de distancias a los focos es un últiplo ipa de la seilongitud de onda. λ ( n +) con n 0,,,,.. La fecuencia ás pequeña es cuando n 0, y coo λ ν, esulta que: 70

71 Soluciones unidad 5: Fenóenos ondulatoios ecánicos º Bachilleato 008 λ 50 / s ;,47, ν 500 Hz ν ν 7. Dos ondas sonoas de ecuación y, cos [ π (70 t - 0,5 x)] Pa, poceden de dos focos coheentes e intefieen en un punto P que dista 0 de un foco y 5 del oto foco. Calcula la difeencia de fase de las dos ondas al llega al punto consideado. Deteina la aplitud de la petubación total en citado punto en cualquie instante. La difeencia de fase con la que llegan las ondas al punto consideado es: ϕ π(70 t 0,5 0) Δϕ ϕ ϕ π(70 t 0,5 5) ϕ π 0,5 5 5 πad Las ondas llegan al punto consideado en oposición de fase. En ese punto la intefeencia de las dos ondas es destuctia y po tanto está peanenteente en eposo, po lo que su aplitud siepe es igual a ceo. 8. De una onda estacionaia con los exteos fijos se sabe que los antinodos están sepaados po una distancia de,5. Calcula la longitud de onda de las ondas sinusoidales que intefieen paa da luga a dicha onda estacionaia. La distancia ente dos antinodos o ientes es igual a la itad de la longitud de onda. λ,5 λ 9. Po una cueda tensa se tansiten siultáneaente dos ondas tansesales cuyas ecuaciones utilizando el sistea intenacional son: y 0,04 sen (0 x 600 t), y 0,04 sen (0 x t). Escibe la expesión de la onda estacionaia foada y calcula la distancia ente dos nodos. a) Aplicando el pincipio de supeposición: y y + y 0,04 sen (0 x 600 t) + 0,04 sen (0 x t) Aplicando la elación: sen a + sen b sen y 0,08 sen (0 x) cos (600 t) a + b a b cos y coo: cos a cos (-a), esulta que: b) La distancia ente dos nodos es igual a itad de la longitud de onda. k 0 - ; π π λ k 0 π 5 Δx nodos λ π / 5 0,4 0. La ecuación y x,t 0,0 sen (4 π x) cos (6 π t), donde x e y están expesados en y t en s, epesenta a la función de onda de una onda estacionaia en una cueda. Deteina el áxio desplazaiento y la áxia elocidad del los puntos de la cueda situados en las posiciones: x,0 ; x 0,5 y x 0,5. El desplazaiento y la elocidad de ibación de los puntos de la cueda dependen de su posición. a) x,0 Sustituyendo esta posición en la ecuación geneal: y x,0 ; t 0,0 sen (4 π,0) cos (6 π t) 0,09 cos (6 π t) y áxio 0,09 Y su elocidad es : 7

72 Soluciones unidad 5: Fenóenos ondulatoios ecánicos º Bachilleato 008 dy x,0 ; t - 0,09 6 π sen (6 π t) /s - 0,06 sen (6 π t) /s áxia 0,6 /s dt b) x 0,5 Sustituyendo esta posición en la ecuación geneal: y x0,5 ; t 0,0 sen (4 π 0,5) cos (6 π t) 0 /s Este punto es un nodo y po ello está peanenteente en eposo. b) x 0,50 Sustituyendo esta posición en la ecuación geneal: y x0,5 ; t 0,0 sen (4 π 0,50) cos (6 π t) 0 /s abién es un nodo y po ello está peanenteente en eposo.. Una onda estacionaia esponde a la ecuación: y 8 sen ( x) cos ( t), con x e y en c y t en s. Calcula el desplazaiento áxio de la patícula situada en la posición x, c y deteina las posiciones de los nodos y de los ientes o antinodos. La ecuación de la elongación del punto consideado es: y x, c 8 sen (,) cos ( t) 4,6 cos ( t) c y x, c ; áxio 4,6 c Los nodos son los puntos del edio que están peanenteente en eposo, po lo que: π y 0; sen ( x) 0; x n π c n c con n 0,,,,. x nodos Los ientes o antinodos son los puntos en los que el desplazaiento es áxio. π π y áxio; sen ( x) ± ; x + n π ( n + ) c x ientes π ( n + ) c 6 con n 0,,,,.. La ecuación y 0,0 cos (0,5 π x) sen (50 π t) epesenta la función de onda de una onda estacionaia que se popaga po una cueda en unidades del SI. Calcula la aplitud y la elocidad de popagación de las ondas cuya supeposición da luga a la onda anteio. Deteina la distancia ente dos ientes consecutios. a) Al copaa la ecuación dada con la ecuación geneal de una onda estacionaia: y A cos (k x) sen (ω t), esulta que: A 0,0 A 0,05 k 0,5 π - π π ; λ 4 k 0,5 π ; ω 50 π ad/s; ν ω 50 πad/ s 5Hz π π λ ν 4 5 Hz 00 /s b) La distancia ente dos ientes es igual a la itad de la longitud de onda. λ 4 Δ x ientes. Una onda se popaga con una elocidad de 660 /s po una cueda colocada en una guitaa. Si al agita la cueda se foa una onda estacionaia de 4 nodos y el sonido eitido tiene una fecuencia de 990 Hz. Deteina la longitud de la cueda. Si la onda foa cuato nodos entonces la longitud de la cueda contiene tes eces a edia longitud de onda. 7

73 Soluciones unidad 5: Fenóenos ondulatoios ecánicos º Bachilleato 008 λ L 660/ s L ν 990Hz λ ν 4. La ecuación: y 0,0 sen ((0 π/) x) cos (40 π t), unidades del SI, descibe a una onda estacionaia que se popaga po una cueda. Deteina las agnitudes caacteísticas: aplitud, longitud de onda, fecuencia y elocidad de popagación de las ondas que dan luga a la onda estacionaia. Sitúa las posiciones de los nodos y calcula la distancia ente un nodo y un iente consecutios. Deteina la expesión geneal de la elocidad de ibación de cualquie punto en cualquie instante y en paticula la elocidad áxia con la que iba el punto situado a,5 del oigen del sistea de efeencia. a) Copaando la ecuación geneal de una onda estacionaia: y A sen (k x) cos (ω t), se tiene: A 0,0 A 0,0 k 0 π/ - π π ω 40 πad/ s ; λ 0,6 ; ω 40 π ad/s; ν 0Hz 0 π π π k λ ν 0,6 0 Hz /s b) Los nodos están peanenteente en eposo y 0 es deci cuando: sen ((0 π/) x) 0. sen ((0 π/) x) 0; (0 π/) x n π x n con n 0,,,. c) La distancia ente un nodo y un iente es igual a la cuata pate de la longitud de onda. Δx λ 0,6 4 4 nodo iente 0,5 d) La expesión de la elocidad de ibación de las patículas es: dy 0 π x, t - 0,8 π sen x sen (40 π t) /s dt La elocidad con la que iba el punto consideado es: 0 π x,5, t - 0,8 π sen,5 sen (40 π t) /s - 0,8 π sen (40 π t) /s Su alo áxio: áxio 0,8 π /s, lógico ya que es un iente. 5. Una cueda tensa, fija po sus dos exteos, tiene una longitud L,. Cuando esta cueda se excita tansesalente a una fecuencia de 80 Hz, se foa una onda estacionaia con dos ientes. Calcula la longitud de onda y la elocidad de popagación de las ondas en esta cueda. Paa qué fecuencia infeio a la dada se foaá ota onda estacionaia en la cueda? Repesenta esta onda. a) La onda estacionaia que se popaga po una cueda fija po los exteos tiene nodos en esos exteos. Coo la cueda pesenta dos ientes, el núeo de nodos es igual a tes y la longitud de la cueda es igual a la longitud de onda de la onda estacionaia foada. L λ, La elocidad de popagación es: λ ν, 80 Hz 96 /s b) La onda de eno fecuencia es la que tiene dos nodos en los exteos y solaente un iente. 0 7

74 Soluciones unidad 5: Fenóenos ondulatoios ecánicos º Bachilleato 008 En este caso la longitud de l cueda es igual a la itad de la longitud de onda. L λ/;, λ/ λ,4 96/ s Y la fecuencia es: ν 40Hz λ,4 6. Una cueda de 60 c de longitud tiene sus dos exteos fijos y oscila en un odo con dos nodos intenos y una fecuencia de 00 Hz. El punto cental de la cueda oscila con una aplitud de c. Calcula la elocidad de popagación de las ondas en la cueda. Cuál es la áxia elocidad del punto cental de la cueda. Deteina la aplitud de oscilación de un punto de la cueda situado a 5 c de uno de sus exteos. En la cueda fija po los exteos se foa la onda estacionaia de la figua adjunta, de donde se deduce que la longitud de la cueda contiene siilongitudes de onda po lo que: L λ λ L 0,60 0,40 L 0,6 / 0,0 La elocidad de popagación de la onda po la cueda es: λ ν 0,4 00 Hz 80 /s La ecuación geneal de una onda estacionaia es: y A cos (ω t) sen (k x) Y la elocidad de ibación de un eleento de la cueda es: dy - A ω sen (ω t) sen (k x) dt π Siendo su alo áxio: áxio - A ω sen (k x) - A π f sen x λ Coo el punto cental es un iente de coodenada x 0,, esulta que: π x 0,; áxio - 0,0 π 00 Hz sen 0, 50,7 /s 0,4 Aplicando la ecuación geneal de la onda estacionaia al punto consideado, esulta que: y A cos (ω t) sen (k x) La aplitud esultante de un punto de la cueda es: A A sen (k x) π Y paa el punto consideado: A (x 5 c) 0,0 sen 0,05,8 0-0,4 7. Una cueda de de longitud está sujeta po los exteos iba con una fecuencia de 5 Hz. La siguiente fecuencia de ibación es de 6 Hz. Calcula la fecuencia fundaental de ibación. En una cueda fija po los exteos se cuple que su longitud es igual a un últiplo de la itad de la longitud de onda: λ L L n ; λ con n,,,.. n Que se coesponden con las siguientes fecuencias de ibación. ν n con n,,,.. λ L L n Si la fecuencia de 5 Hz es el aónico n, la de 6 Hz es la n +. 74

75 Soluciones unidad 5: Fenóenos ondulatoios ecánicos º Bachilleato 008 νn n 5Hz L 5Hz n n 6Hz n + νn (n + ) 6Hz + L Y su elación con la fundaental: ν ν ; 5 Hz ν ν 84 Hz 8. Un tubo sonoo tiene una longitud de 0,68 y se encuenta con sus exteos abietos a la atósfea. Calcula la eno fecuencia de excitación sonoa paa la que se foen ondas estacionaias en su inteio. Cuál es el alo de la longitud de onda? Repesenta la onda estacionaia dento del tubo. En un tubo sonoo se foan ientes en los exteos abietos. La onda estacionaa que se foa es tal que la longitud del tubo es igual a un últiplo de la seilongitud de onda. λ L n Paa la fecuencia fundaental n, po tanto: λ λ L ; 0,68 λ,6 Y la fecuencia fundaental es: λ ν; 40 /s,6 ν ν 50 Hz 9. La fecuencia fundaental de un tubo de ógano ceado po un exteo es de 0 Hz. Calcula la longitud del tubo. En un tubo sonoo se foa un iente en el exteo abieto y un nodo en el ceado. La onda estacionaa que se foa es tal que la longitud del tubo es igual a un últiplo ipa de la cuata pate de la longitud de onda. λ 4 L L ( n + ) λ 4 n + Y la fecuencia fundaental, n 0, es: ν λ Sustituyendo: 40 / s 0Hz L 0,9 4 L 4 L n + ( n + ) 4 L ν 0. Un tubo sonoo tiene una longitud de 68 c y está ceado po un exteo. Calcula la eno fecuencia de excitación sonoa paa la que se foen ondas estacionaias en su inteio. Cuál es el alo de la longitud de onda? Repesenta la onda estacionaia dento del tubo. En un tubo sonoo se foa un iente en el exteo abieto y un nodo en el ceado. La onda estacionaa que se foa es tal que la longitud del tubo es igual a un últiplo ipa de la cuata pate de la longitud de onda. λ L ( n + ) 4 Paa la fecuencia fundaental n, po tanto: λ λ L ; 0,68 λ L,7 Y la fecuencia fundaental es: λ ν; 40 /s,7 ν ν 5 Hz. El silbato de un ten, que se desplaza con una elocidad de 08 k/h, eite con una fecuencia de 60 Hz. Calcula la fecuencia que pecibiá un obseado en eposo al acecase y al alejase el ten. 75

76 Soluciones unidad 5: Fenóenos ondulatoios ecánicos º Bachilleato 008 La elocidad del ehículo es: 08 k/h 0 /s. a) El obseado pecibe un sonido de una fecuencia ayo cuando se aceca el ten. Aplicando la ecuación geneal del efecto Dopple, se tiene que la elocidad del obseado es igual a ceo y la del ehículo + 0 /s. + obseado 40 /s + 0 /s ν ' ν 60 Hz 65,8 Hz - foco 40 /s - (+ 0 /s) b) El obseado pecibe un sonido de una fecuencia eno cuando se aleja el ten. Aplicando la ecuación geneal del efecto Dopple, se tiene que la elocidad del obseado es igual a ceo y la del ehículo - 0 /s. + obseado 40 /s + 0 /s ν ' ν 60 Hz 55, Hz - 40 /s - ( 0 /s) foco. Una siena de una fábica eite con una fecuencia de 500 Hz. Calcula la fecuencia que pecibiá un obseado cuando se aceque a la siena con una elocidad de 0 /s y cuando se aleja de ella con la isa elocidad. a) El obseado pecibe un sonido de una fecuencia ayo cuando se aceca a la siena. Aplicando la ecuación geneal del efecto Dopple, se tiene que la elocidad del obseado es igual + 0 /s y la del foco 0 /s. + obseado 40 /s + ( + 0 /s) ν ' ν 500 Hz 54,7 Hz - 40 /s - 0 /s) foco b) El obseado pecibe un sonido de una fecuencia eno cuando se aleja de la siena. Aplicando la ecuación geneal del efecto Dopple, se tiene que la elocidad del obseado es igual a 0 /s y la del foco 0 /s. + obseado 40 /s + ( 0 /s) ν ' ν 500 Hz 485, Hz - 40 /s - 00 /s) foco. Una abulancia que llea una elocidad de 40 /s, y su siena eite un sonido con una fecuencia de 400 Hz, se cuza con un autoóil que tansita en sentido contaio con una elocidad de 5 /s. Qué fecuencia pecibiá el conducto del autoóil cuando se apoxian los ehículos y cuando se alejan? a) El obseado pecibe un sonido de una fecuencia ayo cuando se acecan los ehículos. Aplicando la ecuación geneal del efecto Dopple, se tiene que la elocidad del obseado + 5 /s y la de la abulancia + 40 /s. + obseado 40 /s + 5 /s ν ' ν 400 Hz 487 Hz - 40 /s - (+ 40 /s) foco b) El obseado pecibe un sonido de una fecuencia eno cuando se alejan los ehículos. Aplicando la ecuación geneal del efecto Dopple, se tiene que la elocidad del obseado - 5 /s y la de la abulancia - 40 /s. + obseado 40 /s + ( 5 /s) ν ' ν 400 Hz Hz - 40 /s - ( 40 /s) foco 4. El conducto de un ehículo, que llea una elocidad de 0 /s, hace sona el claxon que eite en una fecuencia de 00 Hz. Si fente al ehículo hay una ontaña, calcula la fecuencia del eco que pecibe el conducto. En este ejeplo se pesenta un efecto Dopple doble. En pie luga un foco óil, el ehículo, eite ondas sonoas hacia un ecepto fijo, la ontaña. A continuación la paed eflectoa hace de 76

77 Soluciones unidad 5: Fenóenos ondulatoios ecánicos º Bachilleato 008 eiso fijo, y el conducto de ecepto en oiiento. a) En el pie efecto Dopple, el foco, que tiene una elocidad de + 0 /s, se aceca al obseado, en eposo, po lo que la fecuencia que ecibe la ontaña es ayo que la eitida. + obseado 40 /s + 0/ s ν ν 00 Hz 9 Hz - foco 40 /s - ( + 0 /s) b) En el segundo efecto Dopple, el obseado se aceca, con una elocidad de + 0 /s, hacia un foco, en eposo, que eite ondas sonoas con una fecuencia de 9 Hz, po lo que uele a auenta la fecuencia pecibida.. + obseado 40 /s + ( + 0 /s) ν ν 9 Hz 58 Hz - 40 /s - 0 /s foco 5. Un obseado situado en el andén de una estación pecibe el sonido del silbato de un ten que se aceca con una fecuencia de 704 Hz y al alejase apecia que la fecuencia es de 69 Hz. Calcula la elocidad del ten y la fecuencia del silbato. Aplicando la ecuación geneal del efecto Dopple, se tiene que la elocidad del obseado es igual a ceo y que la elocidad del ten cuando se aceca es + foco y cuando se aleja foco. Al acecase: Al alejase: ν ν acecase alejase + ν - + ν - obseado foco foco obseado Diidiendo iebo a iebo: Despejando: foco,8 /s 40 /s + 0 / s ; 704Hz ν 40 /s - ( + foco ) 40 /s + 0/ s ; 69Hz ν 40 /s - ( foco ) 40 /s 40 /s - foco 704Hz ; 40 /s 69Hz 40 /s + ) 704Hz 69Hz Y sustituyendo, se tiene que la fecuencia del silbato es: 40 /s + 0/ s 704Hz ν ν 659 Hz 40 /s - ( +,8/ s) foco 40 / s 40 / s 6. Un obseado está en eposo, justifica cualitatiaente si el sonido que pecibe al acecase un ehiculo es ás gae o ás agudo. Cuando un foco sonoo se aceca a un obseado en eposo, el foco intenta alcanza a las ondas que eite y el obseado ecibe ás ondas en la unidad de tiepo y pecibe una fecuencia apaente ayo que la eal de la fuente, tonándose el sonido ás agudo. + foco foco INVESIGA. Cóo se gestó la constucción del aión Concode? La constucción de aión supesónico Concode fue futo de la colaboación de Fancia y el Reino Unido. Las pieas puebas de uelo se ealizaon en 969, alcanzándose elocidades de Mach. Estas puebas desataon la eufoia en las copañías aéeas euopeas y noteaeicanas que llegaon a encaga ás de 00 unidades. Los pieos uelos coeciales se ealizaon en Cuáles fueon sus utas coeciales? 77

78 Soluciones unidad 5: Fenóenos ondulatoios ecánicos º Bachilleato 008 Las pieas utas fueon Londes-Bahein y País-Río de Janeio. Inicialente las autoidades noteaeicanas fueon eticentes a que el Concode ateizaa en suelo noteaeicano, justificándose po los pobleas edioabientales que geneaba. La cisis del petóleo de los años 970, condujo a una cisis financiea en las copañías aéeas, lo que otió que las copañías noteaeicanas cancelaan sus pedidos. Posteioente Estados Unidos autoizó los uelos supesónicos solaente paa pasajeos y se abieon las utas Nuea Yok-País y Nuea Yok-Londes. La duación edia del uelo de estos itineaios ea de unas tes hoas y edia.. En qué año se dejó de utiliza? Po qué se etió del seicio? El Concode dejó de ola en el año 00, después de 7 años de histoia. El aión dejó de esta en seicio debido a la caestía del cobustible y del anteniiento del aión. Adeás, en el año 000 se podujo el pie y único accidente de un Concode. Duante un despegue se le incendió un depósito del ala al pisa con una de las uedas una chapa que había sobe la pista. Ello hizo que se estellaa, poocando uetes en el accidente. La copañía fancesa Ai Fance ha consideado que estos aiones supesónicos deben foa pate del pationio de la huanidad y ha donado cuato de sus cinco apaatos a distintas instituciones que los conseaán y los ostaán al público. ES DE EVALUACIÓN. Contesta si son edadeas o falsas las siguientes afiaciones: a) En la eflexión de una onda el ángulo de incidencia es ayo que el de eflexión. b) Dos ondas son coheentes cuando tienen la isa longitud de onda. c) La fecuencia apaente de un foco sonoo auenta cuando se apoxia al obseado. d) En un punto se poduce una intefeencia constuctia cuando la difeencia de distancias a los focos es un últiplo de la longitud de onda. a) Falso. En la eflexión de una onda los ángulos de incidencia y de eflexión son iguales. b) Falso. Dos ondas son coheentes cuando su difeencia de fase es constante a lo lago del tiepo. c) Vedadeo. La fecuencia apaente de un foco sonoo auenta cuando se apoxia al obseado, ya que el obseado ecibe ás ondas que cuando abos están a la isa distancia elatia. d) Vedadeo. Una intefeencia es constuctia cuando: n λ.. Copleta la fase: La efacción es el cabio de que expeienta al pasa de un edio a oto en el que se odifica. La efacción es el cabio de diección que expeienta una onda al pasa de un edio a oto en el que sen odifica su elocidad de popagación.. La ecuación y 0, sen (0 π x) cos (40 π t), en unidades SI, es la de una onda estacionaia. La fecuencia de las ondas que dan luga a ella es: a) 40 π Hz; b) 0 π Hz; c) 78

79 Soluciones unidad 5: Fenóenos ondulatoios ecánicos º Bachilleato Hz; d) 0 Hz. La solución coecta es la c). Copaando la ecuación anteio con la ecuación geneal de una onda estacionaia, se tiene: y A sen (k x) cos (ω t) ω π ν 40 π ad/s ν 0 Hz 4. Dos focos sonoos iban en el aie en fase con una fecuencia de 500 Hz. Cuando la petubación llega a un punto situado a 5 de un foco y a 5,7 del oto, la difeencia de fases: a) 0 ad; b) π/ ad; c) π ad; d) 60º. La solución coecta es la b). La longitud de onda del sonido es: 40/ s λ 0,68 ν 500Hz Aplicando la elación ente la difeencia de fase y las espectias distancias a los focos: πad π π Δ ϕ k ( ) ( ) (5,7 5) ad λ 0,68 5. Una onda que se popaga po la supeficie del agua con una elocidad de 5 c/s, accede a una zona en la que se popaga con una elocidad de 6 c/s. Si el ángulo de incidencia es de 0º, el de efacción es: a) 7º; b) 5º; c) 45º; d) 0º. La solución coecta es la a). seni sen0º 5c/ s Aplicando la ley de Snell, se tiene que: ; 7º sen sen 6c/ s 6. La ecuación: y 5 cos (0 π t) cos (π x), con x en c y t en s, descibe una onda estacionaia. La sepaación de dos nodos es: a) 0 c; b) π c; c) 5 c; d) c. La solución coecta es la d). π π La longitud de onda es: λ k πc c La sepaación ente dos nodos es igual a la itad de la longitud de onda: λ c Δ x c 7. Una cueda de 70 c de longitud iba con los dos exteos fijos. Si la elocidad de popagación de las ondas es de 66 /s, la fecuencia fundaental de ibación es: a) 400 Hz; b) Hz; c) 440 Hz; d) 66 Hz. La solución coecta es la c). Si la cueda está fija po los dos exteos, su longitud es igual a un últiplo de edias longitudes de onda. λ L L n λ con n,,,.. n Coo λ ν, y coo paa fecuencia fundaental n, esulta que: 66/ s ν 440Hz λ L 0,7 n 79

80 Soluciones unidad 5: Fenóenos ondulatoios ecánicos º Bachilleato Contesta si son edadeas o falsas las siguientes afiaciones: a) En una onda estacionaia hay puntos del edio que están peanenteente en eposo. b) La fecuencia pecibida disinuye al acecase el obseado al foco. c) La longitud de una cueda fija po los dos exteos es un últiplo ipa de la cuata pate de longitud de onda de la onda estacionaia foada. d) Cuando una onda accede a un edio po el que se popaga ás despacio, el ángulo de efacción es ayo que el de incidencia. a) Vedadeo. Los nodos están peanenteente en eposo. b) Falso. Al acecase el obseado al foco se eciben ás ondas que si estuiea en eposo y po ello auenta la fecuencia pecibida. c) Falso. En los exteos de una cueda fija tienen que foase dos nodos po lo que: L n λ/. La longitud de la cueda en un últiplo de la seilongitud de onda. d) Falso. sen i Aplicando la ley de Snell:, si > sen i > sen, entonces i > y la diección de sen popagación de la onda se aceca a la ecta noal. 9. Copleta la fase: La difacción es que expeienta una onda cuando se intepone en su caino, cuyo taaño es del iso oden que. La difacción es la distosión que expeienta una onda cuando se intepone en su caino un oificio, o un obstáculo, cuyo taaño es del iso oden que el de su longitud de onda. 0. La siena de un ehículo eite un sonido con una fecuencia de 500 Hz. Si el ehículo se aceca con una elocidad de 08 k/h a un obseado en eposo, la fecuencia sonoa que pecibe éste es: a) 608 Hz; b) 9 Hz; c) 548 Hz; d) 08 Hz. La solución coecta es la c). La elocidad del ehículo es: 08 k/h 0 /s. El obseado pecibe un sonido de una fecuencia ayo cuando se aceca el autoóil. Aplicando la ecuación geneal del efecto Dopple, se tiene que la elocidad del obseado es igual a ceo y la del ehículo + 0 /s. + obseado 40 /s + 0 /s ν ' ν 500 Hz 548 Hz - 40 /s - (+ 0 /s) foco 80

81 Unidad didáctica 6 Capo eléctico

82 Soluciones unidad 6: Capo eléctico º Bachilleato 008 SOLUCIONES UNIDAD 6. CAMPO ELÉCRICO CUESIONES INICIALES )Po qué azón unos tocitos de papel se adhieen a un bolígafo peiaente fotado en la anga de un jesey? La ailla electizada cea un capo eléctico que al actua sobe las oléculas polaes del papel, sepaa sus cagas y las alinea. Coo la alineación se opone al capo exteno, en la zona del papel póxia a la ailla apaece una caga inducida de signo contaio al de ésta. A continuación la atacción de cagas de distinto signo es la esponsable de que los tozos de papel ligeos se acequen a la ailla.. La caga eléctica es una popiedad de la ateia. Sin ebago, cuando inteaccionan dos objetos extensos no se tiene en cuenta la inteacción eléctica, )po qué? La ateia consideada acoscópicaente es elécticaente neuta. Po ello, la inteacción eléctica ente dos objetos es igual a ceo.. )Cuál es la piea difeencia que se encuenta ente la inteacción ente cagas elécticas y la inteacción ente asas? La inteacción ente asas es siepe atactia. Sin ebago la inteacción ente cagas elécticas puede se atactia o epulsia, dependiendo del signo de las isas. ACIVIDADES FINALES. Una patícula que tiene una asa de,5 g y una caga eléctica de 4 µc está en equilibio en el seno de un capo eléctico etical. Calcula el ódulo y el sentido del capo eléctico. Sobe la patícula actúan su peso y la fueza eléctica. Coo se encuenta en eposo, entonces la fueza eléctica tiene sentido contaio al peso. La fueza eléctica que actúa sobe las cagas negatias tiene sentido contaio al capo, po tanto el capo eléctico tiene el iso sentido que el peso. F eléctica P; q E g Sustituyendo: C E,5 0 - kg 9,8 /s E 6,5 N/C. En los exteos de dos hilos de asa despeciable y longitud L están sujetas dos pequeñas esfeas de asa 0 g y caga q. Los hilos foan un ángulo de 0º con la etical. Dibuja el diagaa de las fuezas que actúan sobe las esfeas y deteine el alo de la caga q. Si se duplica el alo de las cagas, pasando a ale q, qué alo deben tene las asas paa que no se odifique el ángulo de equilibio de 0º? Sobe cada una de las bolas actúan su peso, la tensión del hilo y la fueza eléctica. Aplicando la condición de equilibio de taslación se tiene que: 8

83 Soluciones unidad 6: Capo eléctico º Bachilleato 008 Diidiendo: Si la longitud del hilo es L y coo cada bola se sepaa de la etical un ángulo φ, la distancia ente ellas es: L sen φ. Sustituyendo: q sen 0º,5 0-6 C Las dos cagas tienen el iso signo, positio o negatio. Utilizando la ecuación de la tangente del ángulo en la situación inicial y en la odificada que se denota coo pia y coo la distancia ente las cagas es la isa en los dos casos, esulta que: Po tanto: q ( q) 4 Las asas de las patículas se deben ultiplica po cuato.. En el oigen de coodenadas hay una caga eléctica q + 7 nc y en el punto A (4, 0) ota caga eléctica q - nc. a) )Hay algún punto del espacio en el que se anule el capo eléctico? Deteínalo. De la situación de las cagas se deduce que el capo eléctico se anulaá en algún punto de la ecta que las une, es deci, en el eje X. Sea x la coodenada la coodenada de un punto C en el que se anula el capo. Los ódulos de los capos elécticos ceados po cada una de las cagas deben se iguales. ; 9 (x - 4) x ; A x - x Y x 6 El punto C en el que se anula el capo eléctico tiene de coodenadas C (6, 0) 4. es pequeñas esfeas etálicas poistas de un oificio cental se engazan en un hilo de fiba aislante. Las dos esfeas de los exteos se fijan a la fiba sepaadas una distancia d 50 c, ientas que la inteedia puede desplazase libeente ente abas a lo lago del hilo. La asa de dichas esfeas es 0 g y se cagan con la isa caga q µc. Calcula la posición de equilibio de la esfea inteedia en el caso de que la fiba se coloque hoizontalente. Si se coloca colocaos ahoa el hilo de anea que foe un cieto ángulo α > 0 con la hoizontal se obsea que la esfea inteedia se coloca a una distancia d/ de la infeio tal coo indica la figua. Calcule el alo del ángulo α. Si la fiba está hoizontal la esfea inteedia está en equilibio cuando se coloque a la isa distancia de las otas dos, es deci, cuando está situada en el punto edio del segento que une a las dos esfeas de los exteos. 8

84 Soluciones unidad 6: Capo eléctico º Bachilleato 008 Coo las bolitas tienen cagas del iso signo, se epelen unas de las otas. Sobe la bolita inteedia actúa: su peso, la fueza noal con que actúa la fiba, la fueza con que le epele la caga infeio y la fueza con que lo hace la bola supeio. En estas condiciones la bolita está en equilibio. Se elige un sistea de efeencia con el eje X paalelo a la diección del hilo y el eje Y la pependicula a dicho hilo. Descoponiendo el peso en coponentes y aplicando las condiciones de equilibio, esulta que: ; F F + P x ; Aplicando la ley de Coulob: Opeando: Sustituyendo: 55,74º 5. Una patícula, que tiene una asa de 0,5 g y una caga de,6 µc cuelga de un hilo en el seno de un capo eléctico hoizontal de ódulo 800 N/C. Calcula el ángulo que foa el hilo con la etical. Sobe la bolita actúan su peso, la fueza eléctica y la tensión del hilo. Eligiendo un sistea de efeencia con el eje X la hoizontal y el eje Y la etical y aplicando la condición de equilibio: x F eléctica A sen n q A E 0 y P A cos n A g Diidiendo: φ 0,4º 6. Dos cagas de + µc y + 4 µc están fijas en sendos puntos que distan 6 c. Dónde podía dejase libeente una caga de + µc paa que peaneciea en eposo? Calcula la enegía potencial de esa caga. Si se desplaza la caga de + µc pependiculaente a la línea que une a las otas dos, )oleá a la posición de equilibio? Dibuja las fuezas que actúan. a) La caga de + µc peanece en eposo en aquellos puntos en los que el capo sea nulo. Coo las dos cagas fijas tienen el iso signo, el capo eléctico es nulo en algún punto situado en el segento que une las cagas. Supongaos que este punto P está situado a una distancia x de la caga q + µc. En este punto los ódulos de los capos elécticos ceados po cada una de las cagas fijas son iguales. E E ; Opeando: 6 - x x Y x La caga peanece en eposo en el segento que las une y a de la de µc. 84

85 Soluciones unidad 6: Capo eléctico º Bachilleato 008 b) La enegía potencial asociada a esa caga es, la sua de las enegías potenciales asociadas a la pesencia de cada una de las otas dos cagas. Ep Ep + Ep c) Al desplaza la caga pependiculaente a la posición de equilibio, actúa una fueza sobe la caga que tiende a alejala de la posición de las otas dos. Paa conoce su ódulo, diección y sentido, había que calcula las coponentes de cada una de las fuezas y sualas ectoialente. El dibujo es sipleente esqueático. 7. Si el flujo de un capo eléctico a taés de una supeficie ceada es ceo, )pueden existi cagas elécticas en el inteio de dicha supeficie? Razone la espuesta. Según la ley de Gauss el flujo de un capo eléctico a taés de una supeficie ceada es popocional a la caga eléctica total enceada en dicha supeficie: Po tanto, dento de la supeficie pueden existi cagas elécticas, peo de sua de las positias y de las negatias tiene que se igual a ceo. 8. Aplicando el teoea de Gauss obtén azonadaente el flujo del capo eléctico sobe la supeficie de un cubo de lado a en los siguientes casos: a) Una caga q se coloca en el cento del cubo. b) La isa caga q se coloca en un punto difeente del cento peo dento del cubo. c) La isa caga q se coloca en un punto fuea del cubo. La ley de Gauss dice que el flujo del capo eléctico a taés de una supeficie ceada es popocional a la caga enceada en dicha supeficie. Un cubo es una supeficie ceada y el flujo del capo eléctico a taés de sus caas no depende del luga en el que se sitúen las cagas en su inteio. Po tanto, en los casos a y b el flujo del capo eléctico que ataiesa la supeficie del cubo es el iso. En el caso c el flujo del capo eléctico que ataiesa la supeficie del cubo es igual a ceo, ya que la caga está situada en el exteio. odas las isas líneas de capo eléctico que penetan en la supeficie del cubo salen de ella. 9. Un cubo de lado 0, está colocado con un étice en el oigen de coodenadas, coo se uesta la figua. Se encuenta en el seno de un capo eléctico no unifoe, que iene dado po. Halla el flujo eléctico a taés de las seis caas del cubo. Deteina la caga eléctica total en el inteio del cubo. Nota: ε 0 8, C /N 85

86 Soluciones unidad 6: Capo eléctico º Bachilleato 008 a) Se define flujo de un capo eléctico a taés de una supeficie coo: Las caas del cubo tienen de ódulo S 0,09 expesiones ectoiales son: y sus A taés de las caas OABC y DEFG solaente ataiesa el flujo del capo eléctico debido a su coponente x. ; El flujo del capo eléctico a taés de las caas OADG y BCFE es igual a ceo, y que el capo no tienen coponente a lo lago del eje Y A taés de las caas ABED y OCFG solaente ataiesa el flujo del capo eléctico debido a su coponente z. ; El flujo total es igual a la sua de los flujos que pasan po todas las caas: b) La ley de Gauss indica que el flujo del capo eléctico a taés de una supeficie ceada es popocional a la caga eléctica total enceada en dicha supeficie. 0. Una caga positia, q 8A0-9 C, está fija en el oigen de coodenadas, ientas que ota caga, q C, se halla, tabién fija, en el punto (, 0), estando todas las coodenadas expesadas en. Deteina el capo eléctico, debido a abas cagas, en el punto A (4, 0) y el tabajo que las fuezas del capo ealizan paa desplaza una caga puntual q - A0-9 C, desde A hasta el punto B (0, 4). Coente el esultado que obtenga. a) Una caga puntual genea un capo eléctico en un punto del espacio de ódulo, de diección la ecta que une la caga con el punto y de sentido alejándose de la caga si es positia y hacia ella si es negatia. La expesión ectoial de los capos que cean cada una de las cagas elécticas en el punto A son: Aplicando el pincipio de supeposición, el capo total es la sua ectoial de los dos capos. 86

87 Soluciones unidad 6: Capo eléctico º Bachilleato 008 b) La fueza eléctica es una fueza conseatia, el tabajo que ealizan las fuezas del capo paa taslada una caga es igual a la aiación de la enegía potencial eléctica asociadas a las dos distibuciones de las cagas cabiada de signo. Paa deteina ese tabajo se calcula el potencial eléctico en los puntos A y B en ausencia de la caga que se taslada y posteioente la aiación de la enegía potencial. W A B - ΔE p - q ΔV - q (V B V A ) El potencial eléctico en un punto es iguala a la sua de los potenciales elécticos que cean cada una de las cagas. El tabajo que se intecabia en el poceso es: W A B - q (V B V A ) - (- 0-9 C) (7, V 9 V) -,6 0-9 J El poceso no es espontáneo, un agente exteno ealiza un tabajo paa taslada a la caga de signo negatio desde el punto A hasta el B que se alacena en foa de enegía potencial eléctica.. Una patícula que tiene una caga eléctica de µc está situada en el oigen de coodenadas. Calcula el tabajo ealizado al llea ota patícula de caga eléctica 0-8 C desde el infinito hasta un punto situado a 0 c de la piea caga. La enegía potencial eléctica asociada a las cagas sepaadas es igual a ceo: E p, 0 Y cuando está a 0 c de distancia es: Aplicando la ley de la enegía potencial: W Feléctica - ΔE p - (E p final E p inicial ) - ( 0 4 J 0 J) J El poceso no es espontáneo coo coesponde a aceca cagas elécticas del iso signo.. Sobe la cicunfeencia áxia de una esfea de adio R 0 están colocadas equidistantes ente sí seis cagas positias iguales y de alo q µc. Calcula el capo y el potencial debidos al sistea de cagas en uno cualquiea de los polos (puntos N y S) y en el cento O de la esfea. La distancia de cada caga a los polos es: a) odas las cagas genean en los polos un capo del iso ódulo. Se elige un sistea de efeencia con el oigen en el polo N, el eje Y la diección de los polos y el eje X una pependicula. Las coponentes en el eje X se anulan po sietía y las coponentes en Y se efuezan. 87

88 Soluciones unidad 6: Capo eléctico º Bachilleato 008 El capo total tiene la diección del eje que une los polos y su sentido es hacia el exteio de la esfea. El potencial eléctico en el polo es igual a la sua de los potenciales elécticos geneados po cada caga. b) El capo eléctico en el cento de la esfea es igual a ceo, ya que po sietía se anulan los de cada dos cagas elécticas opuestas. El potencial eléctico en el cento es igual a la sua de los potenciales geneados po cada una de las cagas elécticas.. Dos cagas positias q y q se encuentan situadas en los puntos de coodenadas (0,0) y (,0) espectiaente. Sabiendo que el capo eléctico es nulo en el punto (,0) y que el potencial electostático en el punto inteedio ente abas ale V, deteina el alo de dichas cagas. Las coodenadas están expesadas en etos. a) Los ódulos de los capos elécticos son iguales en el punto en el que se anula el capo. El potencial eléctico en un punto es igual a la sua de los potenciales elécticos geneados po cada una de las cagas. Opeando en las dos ecuaciones se tiene el sistea: q 0, 0-5 C y q, 0-5 C 4. Dos cagas puntuales de -0 - µc se encuentan sobe el eje de abscisas a una distancia de 0 c. A una distancia de 50 c de la etical del punto edio que une las cagas anteioes se coloca una patícula de asa g y con una caga de 0 - µc. Calcula la elocidad de esta patícula cuando pasa po en punto edio del segento que une las dos pieas cagas. Sea P el punto donde está inicialente la caga positia y Q el punto edio del segento que une las cagas negatias. La fueza esultante que actúa sobe la caga positia tiene la diección de la ediatiz del segento que une las cagas y sentido hacia el punto Q. El potencial eléctico en los puntos P y Q en ausencia de la caga positia es: 88

89 Soluciones unidad 6: Capo eléctico º Bachilleato 008 Aplicando la ley de la conseación de la enegía ecánica: ΔE c + ΔE p 0; ΔE c - ΔE p ; ½ - q (ΔV) - q (V final V inicial ) ½ 0 - kg C (- 80 V (-5,5 V)) 0,07 /s 5. Se tienen tes cagas situadas cada una de ellas en tes de los étices de un cuadado de 8 de lado tal coo indica la figua. Calcula la fueza esultante (ódulo, diección y sentido) que actúa sobe la caga situada en el étice A y el tabajo necesaio paa taslada la caga situada en el étice A hasta el punto B. Intepeta el signo obtenido. En pie luga se calcula el capo eléctico que cean en el punto A las cagas q y q, paa posteioente calcula la fueza que actúa sobe cualquie caga colocada en ese luga. Se elige un sistea de efeencia con el eje X conteniendo al segento que une las cagas q y q y el eje Y conteniendo al segento que une la caga q con el punto A. Cálculo del ódulo del capo eléctico que genea la caga q en el punto A. Vectoialente: Cálculo del ódulo del capo eléctico que genea la caga q en el punto A. Las coponentes de este capo eléctico en el sistea de efeencia elegido son: E x E sen φ,09 0 N/C,49 0 N/C E y E cos φ,09 0 N/C,49 0 N/C Cuyas expesiones ectoiales son: Aplicando el pincipio de supeposición el capo total es la sua ectoial de todos los capos. La fueza que actúa sobe la caga q colocada en A es: 89

90 Soluciones unidad 6: Capo eléctico º Bachilleato 008 El tabajo paa taslada la caga q desde el punto A hasta el B es igual a la aiación de la enegía potencial eléctica asociada a las dos distibuciones cabiada de signo. Paa deteina ese tabajo se calcula al potencial eléctico en los puntos A y B en ausencia de la caga q y posteioente la aiación de la enegía potencial. El potencial eléctico en el punto es igual a la sua de los potenciales elécticos que cean en ese punto cada una de las agas. Los potenciales elécticos en los puntos A y B debidos a las cagas elécticas q y q son: V A -, 0 V V B,90 0 V Aplicando la ley de la enegía potencial: W A B - ΔE p - q ΔV - q (V B - V A ) C (,9 0 V - (-, 0 V)) -, J El poceso no es espontáneo, un agente exteno ealiza un tabajo paa taslada la caga eléctica q desde el punto A hasta el B, que se eplea en auenta la enegía potencial de la distibución final especto de la inicial. 6. Calcula la elocidad que adquiee una patícula α después de se aceleada po una difeencia de potencial de V. Datos: α 6, kg; q α, 0-9 C El capo eléctico es conseatio, po lo que aplicando la ley de conseación de la enegía ecánica: ΔE c + ΔE p 0; ΔE c - ΔE p ; ½ - q ΔV Coo las patículas positias se ueen de foa espontánea hacia potenciales dececientes, esulta que: ½ 6, kg -, 0-9 C ( V), 0 6 /s 7. Un electón, que llea una elocidad de /s, peneta en un capo eléctico unifoe y su elocidad se anula después de ecoe una distancia de 0 c. Calcula el ódulo, la diección y el sentido del capo eléctico. Coo el electón se fena, la fueza eléctica llea la diección de la elocidad inicial y sentido contaio. Po tanto, el capo eléctico tiene la isa diección y sentido que la elocidad inicial. Coo y se ha deducido la diección y sentido del capo, se tabajaá en aloes absolutos. Aplicando la ley de la conseación de la enegía ecánica: ΔE c + ΔE p 0 ½ q ΔV ; ½ 9, 0 - kg (6 0 6 /s),6 0-9 C ΔV ΔV 0,4 V ΔV E Δ ; 0,4 V E 0, E 5 N/C 8. En una egión del espacio hay un capo eléctico unifoe diigido a lo lago de eje X. Si tasladaos una caga q + 0,5 C desde un punto cuyo potencial es de 0 V a oto punto situado 0 c a su deecha, el tabajo ealizado po la fueza eléctica es W - 00 J. Calcula el potencial en el segundo punto y el alo del ecto capo eléctico en dicha egión. Qué significado físico tiene el que el tabajo que ealiza la fueza eléctica tenga signo negatio? 90

91 Soluciones unidad 6: Capo eléctico º Bachilleato 008 La fueza eléctica es conseatia, po lo que aplicando la ley de la enegía potencial: W F eléctica - ΔE p - q ΔV - q (V final - V inicial ) Sustituyendo: - 00 J - 0,5 C (V final - 0 V) V final 0 V El capo eléctico tiene la diección y sentido de los potenciales dececientes. En efecto aplicando la elación ente el capo y el potencial y coo el desplazaiento tiene la isa diección que el capo eléctico y coo éste es unifoe ya que la aiación del potencial con la distancia es constante, se tiene que: Las cagas positias se tasladan de foa espontánea en el sentido del capo, po ello paa taslada una caga positia en sentido contaio al capo un agente exteno tiene que ealiza un tabajo, el tabajo de la fueza eléctica es negatio, conta las fuezas del capo que se eplea en auenta la enegía potencial asociada a la caga eléctica dento del capo. 9. En una egión del espacio hay un capo eléctico de diección la del eje de las abscisas. Si al oigen de coodenadas se le asigna un potencial de V, entonces el punto P situado a 0 del oigen tiene un potencial de 8 V. Deteina la expesión ectoial del capo eléctico. Si en el oigen de coodenadas se lanza un electón con una elocidad inicial de,9 A 0 6 /s y de diección y sentido los del citado eje, deteina: la enegía cinética del electón, en el oigen, expesada en ev y la elocidad con la que llega al punto P. Coenta el esultado obtenido. Datos: e 9, A 0 - kg; e - -,6 A 0-9 C. El capo tiene el sentido de potenciales dececientes. Al aanza según el je de las abscisas las líneas del capo y el desplazaiento tienen la isa diección y sentido. Po tanto, el ódulo del capo eléctico es: L expesión ectoial del capo es: Recodando que: ev,6 A 0-9 C A V,6 A 0-9 J, se tiene la enegía cinética del electón en el oigen de coodenadas es: E c A A A 9, A 0 - kg A (,9 A 0 6 /s) 6,44 A 0-9 J Que expesada en ev: E c 6,44 A 0-9 J A 4 ev El electón se fena al enta en la egión doinada po el capo eléctico. La fueza eléctica que actúa sobe el electón es conseatia, po lo que se aplica la ley de la conseación de la enegía ecánica. ΔE c + ΔE p 0; E c, P - E c, O - ΔE p - q e A ΔV Opeando: E c, P - e A O - q e A (V p - V O ) La caga del electón tiene signo negatio. E c, P A 9, A 0 - kg A (,9 A 0 6 /s) - (-,6 A 0-9 C) A (- 4 V) 0 El electón llega al punto consideado con elocidad igual a ceo. Coentaio: Si el electón sale del oigen con una enegía cinética de 4 ev y se fena con una 9

92 Soluciones unidad 6: Capo eléctico º Bachilleato 008 difeencia de potencial de 4 V, lo lógico es que se detenga. La aiación de su enegía potencial ha sido de 4 ev, que se obtiene a costa de disinui su enegía cinética. A continuación el electón egesa po el iso caino y pasa po el oigen de coodenadas con una elocidad igual a la inicial, peo con sentido contaio. Se tansfoa la enegía potencial en enegía cinética. 0. En una egión del espacio hay un capo eléctico constante de ódulo 500 N/C, de diección paalela al eje X y sentido hacia la deecha:, si al oigen de coodenadas O (0, 0) le asignaos un potencial de 00 V, deteina el potencial en el punto A (4, 0). Calcula el ódulo, diección y sentido de la fueza que actúa sobe un electón colocado en el punto A (4, 0). Si se deja en libetad al electón en el punto A (4, 0), calcula su elocidad cuando pase po el oigen de coodenadas. Datos: electón 9, A 0 - kg a) Aplicando la elación ente el capo y el potencial, esulta que: Sustituyendo: Despejando: V A V b) Aplicando la definición de capo eléctico: c) Aplicando la ley de conseación de la enegía ecánica: A A q A ΔV Y. Un electón que llea una elocidad de 0 6 /s incide pependiculaente en un capo eléctico unifoe,. Repesenta ediante un esquea la acción de este capo eléctico sobe los electones y dibuja su posible tayectoia indicando si se desían po encia o po debajo de la diección inicial del electón. Deduce la ecuación de la tayectoia y calcula la desiación etical del electón después de ecoe 5 c hoizontalente. e 9, 0 - kg Sobe estos electones actúa una fueza pependicula a su tayectoia y sentido opuesto al del capo eléctico. Po tanto, los electones están afectados de un oiiento hoizontal con elocidad constante y un oiiento etical unifoeente aceleado. La coposición de estos oiientos hace que se desíen po encia del eje X siguiendo una tayectoia paabólica. d) Si se elige coo oigen del sistea de efeencia el punto del eje X en el que coienza a actua al capo eléctico etical, la posición hoizontal y etical del electón en cualquie instante es: ; Ecuación de una paábola. Sustituyendo: 9

93 Soluciones unidad 6: Capo eléctico º Bachilleato 008 INVESIGA. Po qué la banda tanspotadoa y el odillo infeio deben constuise con ateiales aislantes difeentes? Los ateiales de la banda tanspotadoa y del odillo infeio deben se distintos paa que puedan electiza po ficción. La cobinación de abos ateiales peite acuula cagas elécticas positias o negatias en la esfea etálica.. En qué pincipio de basa la acuulación de cagas elécticas en la esfea conductoa exteio? En un conducto etálico la caga eléctica se acuula en su supeficie y po tanto el capo eléctico en su inteio es igual a ceo. Po ello no se poduce una epulsión ente las cagas elécticas depositadas en la esfea etálica y las que se tanspotan a taés de los alabes etálicos supeioes.. Cuál es la isión de los hilos etálicos colocados en las poxiidades de las zonas de la banda tanspotadoa que tacan a los odillos? Los hilos etálicos actúan coo diinutos paaayos po los que se poduce una descaga eléctica que facilitan el paso de la caga eléctica desde tiea a la banda tanspotadoa y de esta a la esfea conductoa. ES DE EVALUACIÓN. Contesta si son edadeas o falsas las siguientes afiaciones: a) La inteacción ente cagas elécticas no depende del edio en el que se coloquen. b) El tabajo que ealiza la fueza eléctica depende de la tayectoia. c) Las líneas de capo eléctico son tangentes a las supeficies equipotenciales. d) El potencial eléctico es un punto puede se positio o negatio. a) Falso. La inteacción ente cagas elécticas depende, a taés de la constante de Coulob K, del edio en el que se coloque las cagas. El ayo alo de la constante es el del acío. b) Falso. La fueza electostática es conseatia, po lo que el tabajo que ealiza la fueza eléctica solo depende de las posiciones inicial y final de la caga eléctica que se taslada. c) Falso. Las líneas del capo eléctico son pependiculaes a las supeficies equipotenciales. d) Vedadeo. El potencial eléctico es un punto puede se positio o negatio, según sea el signo de la caga eléctica:. Copleta la fase: El potencial eléctico en un punto es una agnitud y epesenta el que ealiza la fueza eléctica al taslada desde esa posición hasta 9

94 Soluciones unidad 6: Capo eléctico º Bachilleato 008. El potencial eléctico en un punto es una agnitud escala y epesenta el tabajo que ealiza la fueza eléctica al taslada a la unidad de caga positia desde esa posición hasta el infinito.. Dos cagas elécticas q - 6 µc y q µc están situadas a una distancia de. El tabajo que ealiza la fueza eléctica paa sepaalas a una distancia infinita es: a) 0 J; b) +0,08 J; c) 0,08 J; d) 90 J. La solución coecta es la c). La enegía potencial eléctica asociada a dos cagas sepaadas po una distancia epesenta el tabajo que ealiza la fueza eléctica paa sepaalas infinitaente. E p, inicial - 0,08 J E p, final El tabajo que ealiza la fueza eléctica en el poceso de sepaación de las cagas es: W F eléctica (i6f) - ΔE p - (E p, final - E p, inicial ) - [0 - (- 0,08)] -0,08 J 4. En el punto (5 c, 0 c) se coloca una caga de 4 µc. Si el capo eléctico se anula en el punto (- 5c, 0 c), la caga eléctica en el oigen de coodenadas es: a) µc; b) µc; c) 4 µc; d) µc. La solución coecta es la b). La caga eléctica del oigen de coodenadas tiene que tene signo positio. En el punto P se igualan los ódulos de los capos elécticos: E + E - ; q (0 c) 4 µc (5 c) q µc 5. Un potón se abandona en un capo eléctico unifoe de ódulo 5 V/. Si la asa de la patícula es, kg, su elocidad después de ecoe 4 c es: a) 6, 0 /s; b),4 0 /s; c), /s; d), 0 /s. La solución coecta es la a). Coo el capo eléctico es unifoe el tabajo que ealiza la fueza electostática paa tanspota a la caga se puede calcula con la expesión: q A E A Δ A cos n,6 A 0-9 C A 5 V/ A 0,04, A 0-0 J Aplicando la ley de la conseación de la enegía ecánica cinética y coo la elocidad inicial de la patícula es igual a ceo, esulta que: W ΔE c A A ;, A 0-0 J A,67 A 0-7 kg A Despejando: 6, A 0 /s 6. La distancia ente dos puntos es 5 c y la difeencia de potencial ente ellos es 0 V. El ódulo del capo eléctico es: a) 5 N/C; b) 00 V/; c) 4 V/; d) 400 N/C. La solución coecta es la d). 94

95 Soluciones unidad 6: Capo eléctico º Bachilleato 008 Las líneas del capo eléctico son pependiculaes a las supeficies de potencial. Aplicando la elación ente el capo y el potencial. En capo eléctico tiene el sentido de los potenciales dececientes. 7. Dos cagas, q l0-6 C y q C están fijas en los puntos P (0, ) y P (, 0), espectiaente. El tabajo necesaio paa desplaza una caga q C desde el punto O (0, 0) hasta el punto P (, ) es: a) 6, 0 - J; b) 8, 0 - J; c) 8, 0 - J; - 6, 0 - J. La solución coecta es la c). El tabajo que ealiza la fueza eléctica paa taslada la caga no depende de la tayectoia seguida y es igual a la aiación de la enegía potencial electostática cabiada de signo. Paa calcula la aiación de la enegía potencia electostática se calcula el potencial electostático en cada punto. Aplicando la ley de la enegía potencial: W O P - ΔE p - q ΔV - q (V P V O ) - (- 0-6 C) (0 ( V) + 8, 0 - J 8. Contesta si son edadeas o falsas las siguientes afiaciones: a) Las líneas de capo eléctico no se pueden cota. b) La enegía potencial eléctica puede se positia o negatia. c) La unidad de capo eléctico es el V/. d) La fueza que actúa sobe una caga eléctica tiene la isa diección y sentido que el capo eléctico. a) Vedadeo. Si las líneas de capo eléctico se cotaan, supondía que en un punto se pueden taza dos tangentes distintas a una línea de capo y entonces el capo eléctico tendía dos aloes distintos en un iso punto. b) Vedadeo. Si las cagas elécticas tienen el iso signo, entonces la enegía potencial eléctica es positia y si tienen distinto signo es negatia: c) Vedadeo. En efecto: d) Falso. La fueza que actúa sobe una caga eléctica tiene la isa diección que el capo eléctico y el iso sentido si la caga tiene signo positio y el contaio cuando tiene sentido negatio. 9. Copleta la fase: Las líneas del capo eléctico se tazan de foa que el ecto es a ellas en cada punto y po conenio salen de y se diigen hacia. 95

96 Soluciones unidad 6: Capo eléctico º Bachilleato 008 Las líneas del capo eléctico se tazan de foa que el ecto capo eléctico es tangente a ellas en cada punto y po conenio salen de las cagas positias y se diigen hacia las cagas negatias. 0. Dos cagas elécticas q 5 µc y q - µc están situadas en el acío a una distancia de 0 c. La fueza que actúa sobe ota caga q µc colocada en el punto edio del segento que las une es: a) 4,4 N; b) 7, N; c) 8,8 N; d) 4,5 N. La solución coecta es la a). Las dos cagas q y q actúan con fuezas de la isa diección y sentido sobe la caga q. Aplicando el pincipio de supeposición el ódulo de la fueza es: Sustituyendo: 4,4 N 96

97 Unidad didáctica 7 Capo agnético

98 Soluciones unidad 7: Capo agnético º Bachilleato 008 SOLUCIONES UNIDAD 7. CAMPO MAGNÉICO CUESIONES INICIALES. Mediante los fenóenos de electización se sepaan las cagas negatias de las positias. )Cees que al cota un ián po la itad se sepaa el polo note del polo su? Es iposible sepaa los polos de una baa ián. Siepe que se cota una baa ián, cada tozo obtenido se copota coo un nueo ián po uy pequeños que sean los pedazos.. Descibe el funcionaiento de una bújula. La bújula es un pequeño ián que puede gia libeente y po tanto alinease con el capo agnético teeste. Po la isa azón sie paa detecta la pesencia de cualquie capo agnético.. )Existe alguna difeencia ente un ián peanente y un electoián? En los electoianes el capo agnético es ás intenso que en los ianes natuales. ACIVIDADES FINALES. Un potón es aceleado, a lo lago del eje X, desde el eposo po una difeencia de potencial de 5000 V. A continuación accede pependiculaente a un capo agnético de 0,4, pependicula al plano del papel y diigido hacia el obseado. Dibuja en un esquea la tayectoia de la patícula y calcula el adio y el peíodo de su óbita. El capo eléctico que acelea al potón es conseatio, po lo que la elocidad de la patícula se deteina aplicando la ley de la conseación de la enegía ecánica. ΔE c + ΔE p 0; ½ q ΔV q ΔV 9,6 0 C 0000 V 7kg,67 0,7 0 6 / s F + F B Al peneta la patícula en el capo agnético actúa la fueza de Loentz, pependicula al ecto elocidad y si abos son pependiculaes inicialente entonces el potón descibe una tayectoia cicula. Aplicando la segunda ley de Newton al oiiento cicula, esulta que: ΣF an ;FLoentz ; q B sen90º R R Despejando: R q B Y el peiodo del oiiento es: 7,67 0 kg,7 0 / s 4,44 0 9,6 0 C 0,4 7 π R π π,67 0 kg,64 0 q B 9,6 0 C 0,4 6 7 s. Un electón y un potón acceden, con la isa elocidad, pependiculaente a una zona en la que existe un capo agnético. Calcula la elación ente sus elocidades angulaes. 98

99 Soluciones unidad 7: Capo agnético º Bachilleato 008 Aplicando la segunda ley de Newton al oiiento cicula de una patícula: ΣF a n ; FLoentz ; q B sen90º R R R q B q B La elocidad angula de una patícula es: ω R Aplicándolo al potón y al electón y coo su caga eléctica tiene el iso alo: ω ω q B e q B 7 e p,67 0 kg p e 9, 0 kg p 80. Un potón, un electón y un neutón penetan con la isa elocidad y en el iso punto en una zona en la que existe un capo agnético unifoe pependicula a su tayectoia. Dibuja esqueáticaente la tayectoia descita po cada una de esas patículas en la zona en la que existe capo. Indica cuál de estas tayectoias pesenta el ayo adio de cuatua y cuál el ayo peíodo de otación. Razona las espuestas. Cuando una patícula cagada peneta en un capo agnético actúa sobe ella la fueza de Loentz: F q ( B), de diección la pependicula al plano que deteinan los ectoes y B y sentido el indicado po la egla del poducto ectoial. Si el capo agnético es unifoe y la diección del ecto elocidad es pependicula a él, entonces la fueza de Loentz popociona una aceleación noal que le obliga a la patícula a descibi descibe una tayectoia cicula contenida en un plano pependicula al capo agnético. F p n e F p e B En el caso que conciene el neutón no está afectado po el capo agnético ya que no tiene caga y el potón y el electón desciben tayectoias ciculaes ecoidas en sentidos contaios. Aplicando la segunda ley de Newton a una patícula cagada y coo el ecto elocidad y el ecto capo agnético son pependiculaes, se tiene: Σ F a ; q B sen 90º n R R q B El potón y el electón llean la isa elocidad y tienen el iso alo absoluto de su caga p e RP ;Re y coo el potón tiene una asa ayo que el electón, el adio de la óbita q B q B del potón es ayo que el de la óbita del electón. De la ecuación anteio se deduce la elocidad angula y el peíodo del oiiento. q B π π ω R ω q B π p π e Y paa cada patícula los peíodos del oiiento son: p ; e, po lo que el q B q B peíodo del potón en su óbita es ayo que el del electón. 99

100 Soluciones unidad 7: Capo agnético º Bachilleato Un ion de caga,6 0-9 C y asa 9,6 0-6 kg se acelea desde del eposo ediante una difeencia de potencial de 000 V y a continuación peneta pependiculaente en un capo agnético unifoe de 0, coo y el ostado en la figua. Sabiendo que el ion descibe un oiiento cicula unifoe cuando está suegido en el capo, se pide: a) Dibuje el sentido de la tayectoia del ion y epesente, en dos puntos q opuestos de esa tayectoia, un esquea con los ectoes que x inteienen en el poblea. b) La elocidad con la que se uee el ion dento del capo agnético y el adio de cuatua de la tayectoia descita po la patícula. a) Sobe la patícula actúa la fueza de Loentz: F q ( B), de diección la de la pependicula al plano foado po los ectoes capo agnético y elocidad y sentido el indicado po la egla del sacacochos al oltea la elocidad sobe el capo agnético siguiendo el caino ás coto. b) El capo eléctico que acelea al ion es conseatio, po lo que la elocidad de la patícula se deteina aplicando la ley de la conseación de la enegía ecánica. ΔE c + ΔE p 0; ½ q ΔV - 9 q ΔV,6 0 C 000 V 4 9,9 0 /s - 6 9,6 0 kg Al peneta la patícula en el capo agnético actúa la fueza de Loentz, pependicula al ecto elocidad y el ion descibe una tayectoia cicula. Aplicando la segunda ley de Newton al oiiento cicula del ion, esulta que: ΣF an ; FLoentz ; q B sen90º R R Despejando: R q B 6 9,6 0 kg 9,9 0 / s 9,6 0 C 0, 4 0, Un choo de patículas foadas po potones, deuteones y patículas alfa de la isa enegía cinética penetan pependiculaente en un capo agnético unifoe. La caga eléctica del potón y del deuteón es igual a la del electón y la de la patícula alfa es el doble de la del electón. Si una patícula alfa tiene una asa doble que la del deuteón y cuato eces la del potón, calcula la elación ente el adio de la óbita del deuteón y la del potón y ente el adio de la óbita de la patícula alfa y la del potón. Aplicando la segunda ley de Newton a una patícula cagada y coo el ecto elocidad y el ecto capo agnético son pependiculaes, se tiene: Σ F a ; q B sen 90º n R R q B La enegía cinética de una patícula es: E c ½ Opeando en las ecuaciones anteioes: R E q B c E q B E c c F + F B Z B Z Y Y B F F X X 00

101 Soluciones unidad 7: Capo agnético º Bachilleato 008 Coo las patículas tienen la isa enegía cinética, aplicando las elaciones ente las cagas elécticas y las asas esulta que: R R LD E q q B B q q D D D p p p P p Ec p qd P qp p c R R q q α α α p De igual foa: p q p α E B p E B c c q p α 4 p p q p q 6. Un choo de potones se desplaza hoizontalente sin desiase po un selecto de elocidades, en el que el capo eléctico tiene de ódulo 0 N/C de diección la etical y sentido hacia abajo. Si el ódulo del capo agnético es igual a 0,5, calcula la elocidad de los potones. Qué diección y sentido tiene el capo agnético? Repesenta en un diagaa todos los ectoes. La fueza eléctica tiene el iso sentido que el capo eléctico, ya que la caga del potón tiene signo positio. Po tanto, la fueza agnética tiene que tene la diección de la etical y sentido hacia aiba. De las eglas del poducto ectoial se deduce que el capo agnético es pependicula al plano del papel y su sentido es hacia dento. F + F 0 agnética eléctica En ódulo: q B q E E B 0 N/ C 4 0 / s 0,5 p F F e + E B 7. Un electón que llea una elocidad de 0 j / s peneta en una egión del espacio en la que actúa un capo eléctico unifoe E 0 kn/ C y un capo agnético unifoe B B0 i. Despeciando los efectos del capo gaitatoio, dibuja las fuezas que actúan sobe el electón y calcula el ódulo del capo agnético paa que la patícula se uea con oiiento ectilíneo unifoe. La figua adjunta epesenta las fuezas que actúan sobe el electón en el sistea de efeencia elegido. Las fuezas eléctica y agnética que actúan sobe el electón, teniendo en cuenta que su caga eléctica tiene signo negatio son: Feléctica q E qe 0 kn/ C Fagnética q ( B) qe ((0 j / s) (B0 i ) ) qe 0 B0 ( j i ) / s q 0 B ( k )N/ C q 0 B kn/ C Fagnética e 0 e 0 Y F E Z e - F e B X Paa que el electón no se desíe de su tayectoia los ódulos de las fuezas agnética y eléctica tienen que se iguales. F eléctica F agnética ; q e 0 N/C q e 0 B 0 N/C B 0 0

102 Soluciones unidad 7: Capo agnético º Bachilleato Un choo de iones es aceleado po una difeencia de potencial de V, antes de peneta en un capo agnético de. Si los iones desciben una tayectoia cicula de 5 c de adio, deteina su elación caga-asa. La aiación de la enegía cinética que expeientan los iones es: Α Α q Α ΔV Aplicando la segunda ley de Newton a la zona donde actúa el capo agnético, esulta que: Σ F ; q B sen 90º an R Despejando la elocidad en las ecuaciones anteioes e igualando, se tiene: q ΔV q R B La elación caga asa es: q ΔV V C R B (5 0 ) ( ) kg 9. Las Des de un ciclotón tienen un adio de 70 c y están inesas en un capo agnético de 0,. Deteina la fecuencia de la difeencia de potencial altena que se aplica ente las Des paa acelea a un potón. Calcula la elocidad del potón a la salida del ciclotón y su enegía cinética expesada en ev. Dento de las Des actúa un capo agnético pependiculaente a la elocidad del potón que le obliga ecoe una seicicunfeencia. Aplicando la segunda ley de Newton: ΣF ; q B sen 90º an R R q B -7 π R π π,66 kg El peíodo del oiiento es: 0-9 q B,6 0 C 0, 0,7Α0-7 s El capo eléctico en el espacio ente las Des cabia de sentido en un tiepo igual a la itad del peíodo,, que es igual a lo que tada el potón en ecoe cada una de las Des. Po tanto, el peíodo y la fecuencia de la difeencia de potencial altena coinciden con los de la tayectoia del potón: 6 fecuencia 4,6 0 Hz - 7,7 0 s La elocidad con la sale expulsado depende del adio de la últia óbita: -9 q R B,6 0 C 0,70 0, 7 áxia,0 0 /s -7,66 0 kg La enegía cinética de la patícula a la salida del apaato es: E c Α Α Α,66 Α 0-7 kg Α (,0 Α 0 7 /s),4 Α 0 - J Y expesa en ev: E c,4 Α 0 - ev J Α, Α 0 6 ev, MeV - 9,6 0 J 0. Sobe un hilo de 5 c de longitud que llea una intensidad de la coiente eléctica de 5 A actúa una fueza de 0, N. Calcula el ódulo del capo agnético que actuando pependiculaente al hilo poduce esa fueza. El ódulo de la fueza que actúa sobe el hilo es: F I L B sen φ Sustituyendo: 0, N 5 A 0,05 B sen 90 B 0,4 0

103 Soluciones unidad 7: Capo agnético º Bachilleato 008. Un cable de 0,5 de longitud tanspota una intensidad de la coiente eléctica de A, según la diección positia del eje X. Si el cable está colocado pependiculaente en un capo agnético de 0,5, que peneta en el plano del papel, calcula el ódulo de la fueza que actúa sobe el cable y epesenta en un diagaa todas las agnitudes ectoiales iplicadas. Sobe el conducto actúa una fueza que queda deteinada po la ley de Laplace: F I (L B) Su ódulo es: F I L B sen φ A 0,5 0,5 sen 90 0,5 N La diección y sentido se deteinan po las eglas del poducto ectoial, su diección es la etical y su sentido hacia aiba. F agnetica L B I. Un segento hoizontal de un conducto de 5 c de longitud y 0 g de asa po el que pasa una intensidad de la coiente eléctica de 0 A se encuenta en equilibio en un capo agnético unifoe, tabién hoizontal y pependicula al conducto. Calcula el alo del capo agnético y epesenta gáficaente la coiente, el capo agnético y las fuezas que actúan sobe el conducto. El peso tiene diección la etical y sentido hacia abajo, la fueza agnética tiene sentido contaio al peso. Si el capo agnético peneta en el plano del papel, la intensidad de la coiente eléctica se diige hacia la deecha. Coo el conducto está en equilibio: P F agnética ; g I L B sen φ Sustituyendo: kg 9,8 /s 0 A 0,5 B sen 90º B 7, F agnetica I B P. Sobe el eje X está situado un alabe de 9 c de longitud que tanspota una intensidad de la coiente eléctica de A. Si el conducto se encuente ineso en un capo agnético de 0,0 de intensidad situado en el plano XY y foando un ángulo de 0º con el eje X, )qué fueza actúa sobe el cable? Repeséntala en un diagaa. Las expesiones de los difeentes ectoes, en el sistea de efeencia de la figua son: L 0,09 i ; B (0,0 cos 0º i + 0,0 sen0º j) La coponente B x del capo es paalela al conducto y po ello no actúa con ninguna fueza. Solaente actúa sobe el conducto la coponente B y del capo. F I (L B) A (0,09 i 0,0 sen0º j ) Aplicando las eglas del poducto ectoial, esulta que la fueza que actúa sobe el conducto es: - 4 F 9 0 k N I Z Y Z Y B y F B 0º B X 0º X B x L 4. Dos conductoes ectos y paalelos están sepaados pon una distancia de 9 c y están ecoidos en el iso sentido po sendas intensidades de la coiente eléctica de A y A. )A qué distancia de los conductoes se anula el capo agnético? 0

104 Soluciones unidad 7: Capo agnético º Bachilleato 008 Cada conducto genea un capo agnético, cuyas líneas de capo son cicunfeencias concénticas en ellos y cuyo sentido es el indicado po el gio de un sacacochos que aanza según el sentido de la intensidad de la coiente eléctica. El capo agnético solaente se anula en un punto situado en el segento que une a los conductoes. I I B a P a B Si ese punto está a una distancia a del conducto I y a una distancia a del conducto I, entonces: a + a 9 c Aplicando la ley de Biot y Saat paa un conducto ectilíneo, denoinando I A e I A e igualando los ódulos del capo agnético, esulta que: μ I μ I A A B B; π a π a a a Opeando y agupando las ecuaciones, se tiene el sistea de ecuaciones: A a A a a+ a 9 c Ψa 0 c El capo agnético se anula en el segento que une a los conductoes y a una distancia de c c del conducto po el que pasa una intensidad de la coiente eléctica I A. 5. Dos hilos ectilíneos indefinidos paalelos sepaados una distancia de tanspotan coientes de intensidad I e I. Cuando las coientes ciculan en el iso sentido el capo agnético en un punto edio ale 0-6, ientas que cuando ciculan en sentidos opuestos dicho capo ale Calcule el alo de las intensidades I e I. Un hilo ectilíneo po el que pasa una intensidad de la coiente eléctica, genea un capo agnético cuyas líneas de capo son cicunfeencias concénticas en el hilo. I I B I I B B En la egión del plano situada ente los dos conductoes, los capos agnéticos son pependiculaes al plano del papel y su B sentido es el indicado po la egla de Maxwell, que coincide con el del gio de un tonillo que aance según el sentido de la coiente eléctica. Cuando la intensidad de la coiente eléctica tiene el iso sentido, los dos capos tienen sentido contaio y si la intensidad de la coiente tiene distinto sentido, entonces los dos capos tienen el iso sentido. μ I El ódulo del capo agnético geneado po un conducto a una distancia de él es: B π Aplicando la ecuación anteio y coo el punto consideado está a la isa distancia de los dos conductoes, esulta que: 04

105 Soluciones unidad 7: Capo agnético º Bachilleato 008 μ I μ I iso sentido : 0 π π μ I μ I sentido opuesto : π π 4 π 0 4 π N / A (I I ) π 0,5 0 N / A (I + I ) π 0, μ (I I) π 0 μ (I + I) π I I 5 A I 0 A; I 5 A I + I 5 A 6. Se tienen dos conductoes ectilíneos, paalelos e indefinidos, sepaados po una distancia d. Po el conducto cicula una intensidad de 4 A en el sentido ostado en la figua. a) Deteine el I 4 A d alo y sentido de la intensidad que debe cicula po el conducto de foa que el capo agnético esultante en el punto P se anule. b) Si la distancia que sepaa los dos conductoes es d 0,, calcule el capo agnético B (ódulo, diección y sentido) poducido po los dos conductoes en el punto P, en la situación anteio. Nota: Los conductoes y los puntos P y P están contenidos en el iso plano. 6 6 d/ P P 0,5 a) Cada conducto genea un capo agnético cuyas líneas de capo son cicunfeencias concénticas en ellos y cuyo sentido es el indicado po el gio de un sacacochos que aanza según la intensidad de la coiente eléctica. Los dos conductoes genean en el punto P capos agnéticos pependiculaes al plano del papel. El conducto lo genea hacia dento, po lo que el conducto lo debe genea hacia afuea y po ello el sentido de la coiente eléctica en él debe se el iso que en el conducto. Aplicando la ley de Biot y Saat paa un conducto ectilíneo e igualando los ódulos del capo agnético, esulta que: μ I μ I 4 A I BB B ; π π d/ d/ I 4 A d B d/ P P 0,5 B I Despejando el ódulo de la intensidad es: I 8 A b) Los dos conductoes genean en el punto P capos agnéticos pependiculaes al plano del papel y sentido hacia dento, po lo que sus ódulos se suan. μ I μ I B B + B + π π Opeando y sustituyendo: 7 4 π 0 N/ A 4 A B + π 0,8 8 A 0,5 4, 0-6 I 4 A d d/ P I 0,5 P B B 7. Un conducto ectilíneo tanspota una coiente de 0 A en el sentido positio del eje Z. Calcula la fueza que actúa sobe un potón situado a 50 c del conducto cuando se diige hacia el conducto con una elocidad de 0 5 /s. Se odifica la enegía cinética del potón? 05

106 Soluciones unidad 7: Capo agnético º Bachilleato 008 El capo agnético ceado po un conducto ectilíneo indefinido en un punto P a una distancia a del conducto, se deteina aplicando la ley de Biot y Saat: 7 μ0 I 4 π 0 N / A 0 A 6 B 4 0 π a π 0,5 Y Las líneas de capo agnético son cicunfeencias concénticas en el conducto y situadas en planos pependiculaes al iso. El ecto capo agnético es tangente a las líneas de capo y su sentido es el indicado po el gio de un sacacochos que aanza según el sentido de la intensidad de la coiente eléctica. Si el conducto está situado en el eje Z y el sentido de la intensidad de la coiente eléctica es el sentido positio de dicho eje, I 0 k A, las líneas de capo están situadas en el plano XY del sistea de efeencia de la figua. Si el punto en el que se localiza el potón tiene de coodenadas (0,5; 0, 0), entonces la expesión del ecto capo agnético en ese punto es: B j B B Z I O B B X La fueza que actúa sobe una patícula cagada en el seno de un capo agnético queda deteinada po la ley Loentz: F q ( B) 5 La expesión del ecto elocidad es: 0 ( i )/ s Y la fueza que actúa sobe la patícula es: F,6 0 C ( 0 i / s 4 0 j ),8 0 ( k)n B Z I Y O B B X F La fueza que actúa sobe el electón tiene la diección del conducto y sentido contaio a la intensidad de la coiente eléctica. La fueza es pependicula al ecto elocidad, y po tanto no se odifica esta y po ello la fueza agnética no ealiza tabajo y no se odifica la enegía cinética de la patícula. 8. Po un conducto ectilíneo uy lago cicula una intensidad de la coiente eléctica de 0 A. Un electón está situado a c de eje del conducto y se taslada con una elocidad de /s. Calcula la fueza que actúa sobe el electón cuando se uee paalelaente al conducto y en el iso sentido que la intensidad de la coiente eléctica. El capo agnético ceado po un conducto ectilíneo indefinido en un punto P a una distancia a del conducto, se deteina aplicando la ley de Biot y Saat: 7 μ0 I 4 π 0 N/ A 0 A 4 B 4 0 π a π 0 Y Las líneas de capo agnético son cicunfeencias concénticas en el conducto y situadas en planos pependiculaes al iso. El ecto capo agnético es tangente a las líneas de capo y su sentido es el indicado po el gio de un sacacochos que aanza según el sentido de la intensidad de la coiente eléctica. Si el conducto está situado en el eje Z y el sentido de la intensidad de la coiente eléctica es el sentido positio de dicho eje, I 0 k A, las líneas de capo están situadas en el plano XY del B B Z I O B B X 06

107 Soluciones unidad 7: Capo agnético º Bachilleato 008 sistea de efeencia de la figua. Si el punto en el que se localiza el electón tiene de coodenadas (0 -, 0, 0), entonces la expesión del ecto capo agnético en ese punto es: B j La fueza que actúa sobe una patícula cagada en el seno de un capo agnético queda deteinada po la ley Loentz: F q ( B) 6 La expesión del ecto elocidad es: 5 0 k/ s Y la fueza que actúa sobe la patícula es: F,6 0 C (5 0 k/ s 4 0 j ), 0 i N La fueza que actúa sobe el electón tiene el sentido pependicula al conducto y alejándose de él. B Z I Y O B B F X 9. La figua uesta tes conductoes paalelos y ectilíneos po los que ciculan las coientes I, I e I espectiaente. La coiente I tiene el sentido indicado en la figua. Sabiendo que la fueza neta po unidad de longitud sobe el conducto (debida a los conductoes y ) y sobe el conducto (debida a los conductoes y ) son abas nulas, azone el sentido de las coientes I e I y calcule sus aloes en función de I. Un hilo ectilíneo po el que pasa una intensidad de la coiente eléctica, genea un capo agnético cuyas líneas de capo son cicunfeencias concénticas en el hilo y situadas en un plano pependicula a él. El sentido del capo agnético es el indicado po la egla de la ano deecha que coincide con el del gio de un sacacochos que aanza según el sentido de la intensidad de la coiente eléctica. Aplicando la ley de Biot y Saat, el ódulo del capo agnético geneado po un conducto a una distancia de él es: μ I B π Al coloca oto conducto, po el que pasa una intensidad de la coiente eléctica I, a una distancia del pieo, los conductoes inteaccionan con fuezas del iso ódulo y diección, peo de sentidos contaios y que se calculan aplicando la segunda ley de Laplace: F I (L B). I I F F B x I I F B x x F B B Coo los conductoes están colocados paalelaente, se tiene que los ódulos de estas fuezas, que foan un pa de acción y eacción, son: μ I μ L F F L I B L I I I, con L la longitud de los conductoes π π Estas fuezas tienen po diección la de la pependicula a los hilos y sentido el indicado po la egla de Maxwell del poducto ectoial, de foa que coientes elécticas del iso sentido se ataen y si son de sentido contaio se epelen. Con estas consideaciones se deduce que las intensidades de las coientes eléctica I e I tiene que tene el iso sentido y que la intensidad I tiene que tene sentido opuesto al de las anteioes. Las intensidades I e I tienen que tene el iso alo, ya que de I I I F d F d F F 07

108 Soluciones unidad 7: Capo agnético º Bachilleato 008 ota foa los ódulos de las fuezas con las que actúan sobe la intensidad I no seían iguales. El alo de la intensidad de la coiente eléctica I tiene que se igual a la itad del alo de I, ya que está a una distancia de I igual a la itad de la distancia a la que está I. En efecto: los ódulos de las fuezas que actúan sobe la intensidad I tienen que se iguales. μ L μ L I F F ; I I I I I π d π d 0. Dos alabes paalelos e infinitaente lagos están situados en el plano XY. Uno de los alabes coincide con la ecta x 0 (eje Y) po el que cicula una intensidad de la coiente eléctica I A y po el oto alabe que coincide con la ecta x 9 cicula una intensidad de la coiente eléctica de I A. Calcula la fueza que actúa sobe cada uno de los alabes y po unidad de longitud: ódulo, diección y sentido. Se elige coo sistea de efeencia el indicado en la figua adjunta. El conducto I cea un capo agnético B, cuyas líneas de capo son cicunfeencias concénticas en el conducto y cuyo sentido está indicado po el gio de un tonillo que aanza con la coiente. En los puntos en los que se localiza el conducto I tiene sentido hacia dento del plano del papel y cuyo ódulo es: μ I B π Z Y I I B F B F O X x 9 Este capo agnético actúa sobe el conducto I, ediante una fueza agnética de diección la de la pependicula a los conductoes y sentido hacia el conducto I, egla del poducto ectoial. μ El ódulo es esta fueza es: F L Α I Α B Α sen ν L I I π De igual foa y aplicando la ley de acción y eacción el conducto I atae al conducto I con una fueza F del iso ódulo, la isa diección y sentido opuesto. Sustituyendo, y si los conductoes están situados en el acío, el ódulo de la fueza de atacción es: π N F F 0 N/ A L 7 A A 0,44 0 L π 9. Calcula el capo agnético en el inteio de un solenoide de 400 espias y de 5 c de longitud po el que pasa una intensidad de la coiente eléctica de A. Aplicando la ecuación del capo agnético en el inteio de un solenoide, esulta que: N espias B μ I 4 π 0 N / A A 4 0 L 0,5 INVESIGA. Po qué el fenóeno de las auoas polaes es ás fecuente en los polos de la iea? El fenóeno de las auoas polaes es ás fecuente en los polos agnéticos, ya que, al igual que en una baa ián, allí el capo agnético es ás intenso. Una patícula cagada cuando inteacciona con el capo agnético teeste adquiee una 08

109 Soluciones unidad 7: Capo agnético º Bachilleato 008 tayectoia helicoidal, debida a la fueza de Loentz, y es guiada po las líneas del capo agnético teeste hacia los polos agnéticos de la iea. Dado que el capo agnético auenta ceca de los polos de la iea, las patículas se ueen de un lado a oto en ecoidos helicoidales ente los polos note y su de la iea. Las patículas se acuulan en unas zonas denoinadas cintuones de Van Allen y son eitadas po las isiones espaciales tipuladas, poque su adiación puede daña el oganiso huano. Esta egión se extiende desde algunos cientos de kilóetos sobe la iea hasta unos a k. La ayo pate de los potones de alta enegía (ayo de 0 MeV) se encuentan en el cintuón inteio a una altitud de.00 k; los electones están ás concentados en un cintuón exteio que se extiende a uchos adios de la iea en el espacio. La estación espacial está solaente a 500 k de la supeficie de la iea, lo bastante lejos de los citados cintuones.. A qué se deben los difeentes coloes de las auoas polaes? Las auoas ocuen cuando patículas cagadas, potones y electones, pocedentes del Sol, son guiadas po el capo agnético de la iea e inciden en la atósfea ceca de los polos. Cuando esas patículas chocan con los átoos y oléculas de oxígeno y nitógeno, que constituyen los coponentes ás abundantes del aie, pate de la enegía de la colisión excita esos átoos y cuando se desexcitan eiten luz isible. El oxígeno es esponsable de los coloes ede y aaillo, ientas que el nitógeno es el esponsable de las coloaciones oja y azul. El poceso es siila al que ocue en los tubos de neón de los anuncios. En ellos el gas se excita po coientes elécticas y al desexcitase enía la típica luz osa que todos conoceos. En una pantalla de teleisión un haz de electones contolado po capos elécticos y agnéticos incide sobe la isa, haciéndola billa en difeentes coloes dependiendo del eestiiento quíico de los poductos fosfoescentes contenidos en el inteio de la pantalla.. Cees que el fenóeno de las auoas polaes es exclusio de la iea? Es posible en otos planetas? El fenóeno de las auoas polaes se da en cualquie planeta que tenga capo agnético. Las auoas han sido obseadas en los planetas del sistea sola con el telescopio Hubble. ES DE EVALUACIÓN. Contesta si son edadeas o falsas las siguientes afiaciones: a) Las líneas de capo agnético son abietas. b) Dos coientes elécticas del iso sentido se ataen. c) La constante peeabilidad agnética no depende del edio. d) Un capo agnético no inteaccionan sobe un conducto situado paalelaente al capo. a) Falso Las líneas de capo agnético foan siebe bucles ceados. b) Vedadeo. Dos coientes elécticas del iso sentido se ataen. c) Falso. La constante peeabilidad agnética puede se ayo, eno o igual a la 09

110 Soluciones unidad 7: Capo agnético º Bachilleato 008 del acío. d) Vedadeo El ódulo de la fueza con la que actúa un capo agnético sobe un conducto es: F I L B sen φ Si el capo agnético y el conducto son paalelos entonces sen φ 0 y po tanto F 0. Copleta la siguiente fase: La diección del capo agnético en un punto es la que indica y su sentido es el que señala La diección del capo agnético en un punto es la que indica la aguja de una bújula colocada en ese punto y su sentido es el que señala el polo note de la bújula.. En un selecto de elocidades el capo eléctico es 00 V. Si las patículas que llean una elocidad de 0 /s no se desían de su tayectoia, el ódulo del capo agnético es: a) 6 ; b) 0,6 ; c) ; d),. La solución coecta es la b). Paa que una patícula no se desíe los ódulos de las fuezas eléctica y agnética tienen que se iguales: E 00 V F eléctica F agnética ; q E q B B 0 / s 4. Dos alabes ectilíneos están situados paalelaente a una distancia de 0 c. Si po ellos pasan coientes elécticas de A y de 5 A, la fueza con la que inteaccionan po cada eto de conducto es: a) N/; b) N/; c) 0 N; d) 0-5 N/. La solución coecta es la d) Si las intensidades de las coientes elécticas tienen el iso sentido la fueza es atactia y si tienen sentido contaio entonces la fueza es epulsia. El ódulo de la fueza de la inteacción es: μ L F I I π a Y po unidad de longitud: F 7 μ 4 π 0 N / A A 5 A I I 0 5 N/ L π a π 0, 5. Dos conductoes ectilíneos, paalelos y uy lagos, están sepaados po una distancia de 0 c y ecoidos po intensidades de la coiente eléctica iguales de A, peo de sentido contaio. El ódulo del capo agnético en el punto edio del segento que une los dos conductoes es: a) 0 ; b),6 ; c),6 0-5 ; d) 0, La solución coecta es la c). 0,6 El ódulo del capo agnético que cea un conducto ectilíneo, indefinido a una distancia a del iso es: μ0 I B π a En el punto edio ente los dos conductoes, O, los capos agnéticos tienen la isa diección y sentido. Coo las distancias e intensidades son iguales, esulta que el ódulo del capo agnético es: I I O B B 0

111 Soluciones unidad 7: Capo agnético º Bachilleato μ0 I 4 π 0 N/ A A -5 B B + B,6 0 π a π 0,05 6. Un hilo conducto de 0 c de longitud y po el que pasa una intensidad de la coiente eléctica de 0,5 A está situado en un capo agnético de 0 - cuya diección foa un ángulo de 0º con la diección del hilo. El ódulo de la fueza agnética que actúa sobe el hilo es: a),5 0 - N; b) 0 N; c) 0 - N; d) 7,5 0-4 N. La solución coecta es la a) El ódulo de la fueza que actúa soba el hilo es: F I L B se φ 0,5 A 0, 0 - sen 0º,5 0 - N 7. Una patícula de 0 μc accede con una elocidad de 0 /s pependiculaente a un capo agnético de 0-4. El ódulo de la fueza que actúa sobe la patícula es: a) 0-6 N; b) 0 N; c) 0-6 N; d) 0 N. La solución coecta es la a) Aplicando la ley de Loenz, el ódulo de la fueza que actúa sobe la patícula es: F q B sen φ C 0 /s 0-4 sen 90º 0-6 N 8. Contesta si son edadeas o falsas las siguientes afiaciones: a) El tabajo que ealiza la fueza agnética sobe una patícula cagada es igual a ceo. b) Dos coientes elécticas de sentidos contaios se ataen. c) Un capo agnético no actúa sobe una caga eléctica en eposo. d) Una patícula que accede pependiculaente a un capo agnético, ecoe una tayectoia cicula. a) Vedadeo La fueza agnética que actúa sobe una patícula es siepe pependicula al desplazaiento y po tanto el tabajo ealizado es igual a ceo. b) Falso Dos coientes elécticas de sentidos contaios se epelen. c) Vedadeo. El ódulo de la fueza con la que actúa un capo agnético sobe una patícula cagada es: F q B sen φ. Si la patícula está en eposo, entonces la fueza es igual a ceo. d) Vedadeo. La expesión de la fueza con la que actúa un capo agnético sobe una patícula es: F q ( B) El ecto fueza es pependicula al los ectoes elocidad y capo agnético. Si inicialente los ectoes elocidad y capo agnético son pependiculaes, el ecto fueza popociona la aceleación noal que obliga a que la patícula desciba una tayectoia cicula. Si el ecto elocidad no fueza pependicula al capo agnético, entonces la tayectoia seía helicoidal. 9. Copleta la siguiente fase: En el exteio de una baa ián las líneas de capo agnético salen y entan ; el bucle se ciea po dento de la baa desde.

112 Soluciones unidad 7: Capo agnético º Bachilleato 008 En el exteio de una baa ián las líneas de capo agnético salen del polo note y entan po el polo su; el bucle se ciea po dento de la baa desde el polo su al polo note. 0. Un potón, de asa, kg, que llea una elocidad de /s accede pependiculaente a un capo agnético de 0 -. El adio de la óbita es: a) ; b) ; c) c; d) 0,5 c. La solución coecta es la c). Si los ectoes elocidad y capo agnético son pependiculaes, el ecto fueza es pependicula a la tayectoia y po ello el potón descibe un oiiento cicula y coo el ódulo de la fueza es constante, el oiiento es unifoe. El ódulo de la fueza de Loentz es: F q B sen 90º Aplicando la segunda ley de Newton al oiiento cicula del electón: ΣF a n ; FLoentz ; q B sen90º R R 7 4,67 0 kg 0 / s Despejando: R 0,0 9 q B,6 0 C 0

113 Unidad didáctica 8 Inducción electoagnética

114 Soluciones unidad 8: Inducción electoagnética º Bachilleato 008 SOLUCIONES UNIDAD 8. INDUCCIÓN ELECROMAGNÉICA CUESIONES INICIALES. Descibe las tansfoaciones enegéticas que se ealizan en una cental hidoeléctica. El agua del ebalse alacena enegía potencial gaitatoia que se tansfoa en enegía cinética del agua. Al choca el agua con los álabes de una tubina, pate de su enegía cinética se tansfoa en enegía cinética de otación. A continuación, esta enegía cinética de otación se tansfoa en enegía eléctica.. Sobe una caga que se uee, con una elocidad que foa un deteinado ángulo con un capo agnético, actúa una fueza. )Cees que actuaá alguna fueza sobe los electones de alencia de un conducto que se uee en el seno de un capo agnético? Sobe los electones libes de etal, al esta aniados con la isa elocidad que el conducto, actúa la fueza de Loentz.. )Po qué se ealiza el suinisto de enegía eléctica a nuestos hogaes con coiente altena y no con coiente continua? Las pédidas de enegía duante el tanspote de la enegía eléctica son enoes cuanto ás eleada es la difeencia de potencial. La difeencia de potencial de la coiente continua no se puede odifica; algo se ealiza con sua facilidad en la coiente altena con el uso de tansfoadoes. Po tanto, se puede poduci enegía eléctica a una difeencia de potencial bajo, tansfoala a una difeencia de potencial alto paa el tanspote y ole a educi la difeencia de potencial en el cento de consuo. ACIVIDADES FINALES. Calcula el flujo del capo agnético que ataiesa una bobina de 00 espias de 40 c de supeficie cuyo eje foa un ángulo de 60º con la diección de un capo agnético unifoe de 0 - de ódulo. Aplicando la definición de flujo de un capo agnético: N A B A S A cos n 00 A cos 60º Wb. Una baa conductoa de longitud d,5 se uee con una elocidad constate 4 /s pependiculaente a un capo agnético de ódulo B 0,5, tal y coo se epesenta en la figua adjunta. Cuál es la difeencia de potencial ente los exteos de la baa conductoa? Justifica cuál de los exteos a o b de la baa conductoa está a un potencial eléctico ás alto. x x a x x x x x x x b x x x En un tiepo igual a t la baa ecoe una distancia x t. El flujo del capo agnético que ataiesa la supeficie baida po la baa en ese tiepo t, coo el ecto capo agnético es paalelo al ecto supeficie, es: B d x B d t x x a x x d x x x x b x x x x 4

115 Soluciones unidad 8: Inducción electoagnética º Bachilleato 008 Aplicando la ley de Faaday, la fueza electootiz inducida es: ε - B d - 0,5,5 4 /s - V Al oese la baa hacia la deecha, sobe los electones de la baa actúa la fueza de Loentz, de diección la de la baa y sentido hacia el exteo infeio, b. Lo que se taduce en un desequilibio, con acuulación de cagas negatias en la pate infeio y positias en la supeio. Po tanto el exteo supeio, a, está a un potencial eléctico ayo que el infeio, b. x x x x ++ e - x x x x F Loentz - - x x x x. Una bobina cicula, foada po 00 espias de 5 c de adio, se encuenta situada pependiculaente a un capo agnético de 0,4. Deteina la fe inducida en la bobina en los casos siguientes efeidos a un intealo de tiepo igual a 0,05 s: se duplica el capo agnético; se anula el capo agnético; se iniete el sentido del capo agnético; se gia la bobina 90E en tono al eje paalelo al capo agnético; se gia la bobina 90E en tono al eje pependicula al capo agnético. Inicialente el ángulo n que foan los ectoes capo agnético y supeficie es igual a ceo. N A B A S A cos n 00 A 0,4 A π (0,05 ) cos 0º 0,06 A π Wb a) Si se duplica el capo agnético, se duplica el flujo que ataiesa la bobina. b) Si se anula el capo agnético, el flujo final es igual a ceo. c) Al ineti el sentido del capo, el flujo final es igual al inicial cabiado de signo. d) No cabia la oientación ente la bobina y el capo agnético. e) El flujo final es igual a ceo, ya que los dos ectoes son pependiculaes. 4. La ailla conductoa de la figua adjunta tiene una longitud de 40 c y se desplaza paalelaente a sí isa y sin ozaiento, con una elocidad de,5 c/s, sobe un conducto en foa de U, de 0 Ω de esistencia eléctica, situado en el inteio de un capo agnético de 0,. Calcula la fueza agnética que actúa sobe los electones de la baa y el capo eléctico en su inteio. Halla la fueza electootiz que apaece ente los exteos de la ailla y la intensidad de la coiente eléctica que ecoe el cicuito y su sentido. )Qué fueza extena hay que aplica paa antene el oiiento 5

116 Soluciones unidad 8: Inducción electoagnética º Bachilleato 008 de la ailla? Calcula la potencia necesaia paa antene ese oiiento y la potencia degada en foa de calo en la esistencia eléctica del cicuito. Sobe cada electón del conducto actúa la fueza de Loentz, de diección la de la ailla y sentido, hacia abajo. En ódulo : F q A A B,6 A 0-9 C A 0,05 /s A 0, 8,0 A 0 - N Coo consecuencia de la sepaación de cagas se oigina un capo eléctico en el inteio del conducto. Siepe que la elocidad del conducto sea constante los ódulos de la fueza agnética y de la fueza eléctica que actúan sobe los electones son iguales. F Loentz F eléctica ; q A A B q A E Y E A B 0,05 /s A 0, 5 A 0 - N/C El sentido del capo eléctico dento del conducto es desde las cagas positias a las negatias, es deci, el contaio al de la fueza eléctica. La fueza electootiz inducida se deteina aplicando la elación ente el capo y el potencial elécticos. Su alo absoluto es: ε E A L 5 A 0 - N/C A 0,4,0 A 0 - V Siepe que el conducto se uea con elocidad constante, la fueza electootiz es estable y se oigina una coiente eléctica, cuyo sentido conencional es el contaio al del oiiento de los electones. Aplicando la ley de Oh. Al oese la ailla auenta el flujo del capo agnético que peneta en la espia. Po la ley de Lenz, la intensidad de la coiente inducida gia en el sentido contaio al de las agujas del eloj, ya que de esta foa genea un capo agnético inducido que tiene sentido contaio al inducto y así se opone al aiación del flujo agnético que la ataiesa. Sobe la ailla, ecoida po la intensidad de la coiente eléctica I, actúa una fueza agnética de sentido opuesto al del ecto elocidad. Paa antene su oiiento hay que aplica una fueza extena de sentido contaio al de la fueza agnética, es deci, del iso sentido que el del ecto elocidad. Esta fueza es la que ealiza el tabajo necesaio paa antene la coiente eléctica po el cicuito. Su ódulo es: F extena I A L A B A 0-4 A A 0,4 0,,6 A 0-5 N La potencia con la que actúa un agente exteno paa antene el oiiento de ailla es: P ecánica,6 A 0-5 N A 0,05 /s 4,0 A 0-7 W Esta potencia que suinista la ailla coo geneado, se tansfoa en foa de calo en la esistencia eléctica del cicuito. P eléctica I A R ( 0-4 A) A 0 Ω 4,0 A 0-7 W 5. Un solenoide de 0 Ω de esistencia eléctica, está foado po 500 espias ciculaes de,5 c de diáeto. El solenoide está situado en un capo agnético unifoe de alo 0,, siendo el eje del solenoide paalelo a la diección del capo. Si el capo agnético disinuye unifoeente hasta anulase en 0, s, deteina: a) El flujo inicial que ataiesa el solenoide 6

117 Soluciones unidad 8: Inducción electoagnética º Bachilleato 008 y la fueza electootiz inducida. b) La intensidad de la coiente eléctica ecoida po el solenoide y la caga eléctica tanspotada en ese intealo de tiepo. El adio de las espias es:,5 c Aplicando la definición de flujo del capo agnético a taés de una supeficie: N B S cos φ 500 0, π (,5 0 - ) cos 0º 7,4 0 - Wb Aplicando la ley de Faday y coo el flujo del capo agnético final es igual a ceo: Aplicando la ley de Oh: ε R I; 0,74 V 0 Ω I I,7 0 - A Y la caga eléctica tanspotada es: Q I t,7 0 - A 0,,7 0 - C 6. En una egión del espacio hay un capo agnético cuyo ódulo aía con el tiepo según la ecuación: B(t),5 ( 0,9 t). En esa isa egión se sitúa una espia cicula de cobe de adio a 5 c, colocada de foa que el capo agnético es pependicula al plano de la espia. Calcula el flujo del capo agnético que ataiesa la espia en función del tiepo y la fueza electootiz inducida en la espia. Aplicando la definición del flujo del capo agnético y coo la supeficie de la espia peanece constante y coo el ecto capo agnético y el ecto supeficie son paalelos en todo instante, se tiene:,8 0 - π ( - 0,9 t) Wb La fueza electootiz inducida en la espia se calcula aplicando la ley de Faaday: -,8 0 - π (- 0,9) 9,6 0 - V 7. El flujo agnético que ataiesa una espia aía con el tiepo, en unidades del SI, según la expesión Φ t 0 t 4. Calcula el alo de la fueza electootiz inducida en el instante t s. Aplicando la ley de Faaday: - (6 t 40 t ) en unidades SI Y en el instante pedido: ε t - (6 40 ) V - 08 V 8. Un capo agnético unifoe de 0, foa un ángulo de 0º con el eje de una bobina cicula de 00 espias y 4 c de adio. a) Calcula el flujo agnético que taiesa la bobina. b) Si el capo agnético desciende linealente a ceo en s, cuál es el alo de la fueza electootiz inducida? Aplicando la definición de flujo del capo agnético a taés de una supeficie: N B S cos φ 00 0, π (0,04 ) cos 0º 0,6 Wb Aplicando la ley de Faday y coo el flujo del capo agnético final es igual a ceo: 9. Se tiene una espia cicula y una baa ián. Justifica el sentido de la intensidad de la coiente eléctica inducida en la espia en los tes casos 7

118 Soluciones unidad 8: Inducción electoagnética º Bachilleato 008 epesentados en la figua adjunta. Al aleja el polo su de la baa ián, disinuye el flujo agnético que la ataiesa y la coiente gia en el sentido contaio al de las agujas del eloj. Así se genea un capo agnético inducido del iso sentido que el inducto y se opone a la aiación del flujo agnético. En la figua cental no se genea coiente eléctica, ya que no hay aiación del flujo agnético. Al aceca la espia al polo note de la baa ián, auenta el flujo agnético que la ataiesa y la coiente gia en el sentido contaio al de las agujas del eloj. Así se genea un capo agnético inducido de sentido contaio que el inducto y se opone a la aiación del flujo agnético. 0. Considéese una espia conductoa, cuadada y hoizontal, de 0 de lado. Un capo agnético unifoe, de 0-7, ataiesa la espia de abajo hacia aiba foando un ángulo de 0 con la etical ascendente. A continuación inetios el sentido de ese capo, epleando 0, s en tal poceso. Calcula: a) el flujo agnético del capo inicial. b) La fueza electootiz inducida, geneada po la inesión. Aplicando la definición de flujo del capo agnético a taés de una supeficie: B S cos φ 0-7 (0 ) cos 0º 8, Wb Aplicando la ley de Faday y coo el flujo del capo agnético final es igual al flujo inicial peo cabiado de signo, se tiene:. Una bobina cicula está inesa en un capo agnético unifoe B, de alo. Este capo es paalelo al eje de la bobina y, po tanto, pependicula al plano que contiene a cada espia. La bobina posee 00 espias, tiene un diáeto de A0 - y una esistencia de 50 Ω. Supongaos que, epentinaente, se iniete el sentido del capo B. Calcula entonces el alo Q de la caga total que pasa a taés de la bobina. El flujo que ataiesa la supeficie de la expia pasa de su alo áxio a su alo ínio. Si inicialente el ecto capo agnético y el ecto supeficie foan un ángulo de 0, en la situación final es de 80. Po tanto: y Aplicando la ley de Faaday, la ley de Oh y la definición de intensidad de la coiente, se tiene: La caga tanspotada es: Paa el caso que nos ocupa: 8

119 Soluciones unidad 8: Inducción electoagnética º Bachilleato 008 Y paa una bobina con N de espias: Sustituyendo: La caga es independiente del tiepo que tade en poducise la aiación del flujo. Si la aiación es ápida la intensidad es eleada y si es lenta la intensidad es pequeña.. La figua adjunta uesta un hilo conducto ectilíneo y una espia conductoa. Po el hilo pasa una coiente continua. Justifica si se induciá coiente en la espia en los casos siguientes: a) La espia se encuenta en eposo. b) La espia se uee hacia aiba paalelaente al hilo. c) La espia se uee hacia la deecha. El hilo po el que pasa coiente genea en su entono un capo agnético, cuyas líneas de capo son cicunfeencias concénticas en el hilo y cuyo sentido es el indicado po el gio de un sacacochos que aanza según la intensidad de la coiente eléctica. En el ejeplo penetan en el papel en la posición de la espia. En los casos a y b no hay aiación del flujo del capo agnético que ataiesa la espia y po ello no se induce ninguna coiente eléctica. En el caso c hay una disinución del flujo del capo agnético que ataiesa a la espia y se genea una coiente inducida que se opone a la causa que la poduce efozando el capo agnético en esa posición y po ello se induce una coiente eléctica en el sentido de las agujas del eloj.. Razona el sentido de la coiente inducida en una espia cuando se aceca el polo note de una baa ián a una espia y cuando se aleja el plano de la espia del citado polo note de la baa ián. Al aceca el polo note de una baa ián a una espia auenta el flujo del capo agnético que pasa a su taés. Según la ley de Lenz, el capo agnético poducido po la coiente inducida se opone al auento del flujo agnético que la ataiesa, po lo que tiene sentido contaio al del capo agnético inducto. Ello se loga poduciendo una coiente inducida, ista desde el ián, que cicule en sentido contaio al de las agujas del eloj; es deci, apaece un polo note en la caa de la espia enfentada a la baa ián. Si se aleja el polo note de la baa ián disinuye el flujo del capo agnético que ataiesa la espia. La coiente inducida cabia de sentido y se opone a la disinución de flujo geneando un capo agnético del iso sentido que el inducto. El sentido de la, intensidad es el iso que el de las agujas del eloj, así el capo agnético inducido en la espia pesente su polo su en la caa enfentada a la baa ián. 4. Po un hilo conducto ectilíneo uy lago cicula una coiente de intensidad constante. )Se induce alguna coiente en la espia conductoa que apaece en la figua? Si dicha intensidad no fuea constante sino que auentaa con el tiepo )se induciía coiente en la espia? Indique en su caso el sentido en el que ciculaía la 9

120 Soluciones unidad 8: Inducción electoagnética º Bachilleato 008 coiente inducida. Nota El hilo y la espia están contenidos en el iso plano, y abos en eposo. El hilo po el que pasa coiente genea en su entono un capo agnético, cuyas líneas de capo son cicunfeencias concénticas en el hilo y cuyo sentido es el indicado po el gio de un sacacochos que aanza según la intensidad de la coiente eléctica. En el ejeplo penetan en el papel en la posición de la espia. En el pie caso, no hay aiación de la intensidad ni oiiento elatio ente el hilo y la espia. Po ello no hay aiación del flujo del capo agnético que ataiesa a la espia y no se induce ninguna intensidad de la coiente eléctica. Al auenta la intensidad de la coiente eléctica auenta el ódulo del capo agnético en la zona de la espia y auenta el flujo del capo agnético que la ataiesa. De acuedo con la ley de Lenz se genea una intensidad de la coiente eléctica que gia en sentido contaio al de las agujas del eloj. De esta foa genea un capo agnético que sale del plano del papel, hacia el obseado, y así se opone al auento de flujo del capo inducto. 5. En el plano XY se tiene una espia cicula de c de adio. Siultáneaente se tiene un capo agnético unifoe cuya diección foa un ángulo de 0º con el seieje positio y cuyo ódulo es B e -t/, donde t es el tiepo. Calcula el flujo del capo agnético y la fueza electootiz inducida en la espia en el instante t 0 s. Indica ediante un dibujo, el sentido de la coiente inducida en la espia en ese instante. Aplicando la definición de flujo del capo agnético a taés de una supeficie: B S cos φ e -t/ π (0,0 ) cos 0º,6 0 - e -t/ Wb Y en el instante inicial: Φ B, 0,6 0 - Wb Aplicando la ley de Faaday y coo el flujo del capo agnético final es igual a ceo: Y en el instante inicial: ε t0,6 0 - V El flujo del capo agnético disinuye en el tanscuso del tiepo. Aplicando la ley de Lenz la intensidad de la coiente inducida debe gia en el sentido contaio al de las agujas del eloj. De esta foa genea un capo agnético inducido del iso sentido que el inducto y así se opone a la aiación de flujo 6. Una espia cicula se coloca en una zona de capo agnético unifoe Bo pependicula al plano de la espia y diigido hacia adento tal coo se uesta en la figua. Deteine en qué sentido ciculaá la coiente inducida en la espia en los siguientes casos: a) auentaos pogesiaente el adio de la espia anteniendo el alo del capo. b) anteneos el alo del adio de la espia peo aos auentando pogesiaente el alo del capo. Razone su espuesta en abos casos. Si se auenta al adio de la espia, auentan las líneas de capo agnético que la ataiesan y 0

121 Soluciones unidad 8: Inducción electoagnética º Bachilleato 008 según la ley de Lenz, la intensidad de la coiente eléctica debe gia en el sentido contaio al de las agujas del eloj. De esa foa genea dento de la espia un capo agnético diigido hacia el obseado que se opone a la aiación del flujo del capo agnético. c) Lo iso que el apatado b). Si auenta el alo del capo agnético, auentan las líneas de capo agnético que la ataiesan y según la ley de Lenz, la intensidad de la coiente eléctica debe gia en el sentido contaio al de las agujas del eloj. De esa foa genea dento de la espia un capo agnético diigido hacia el obseado que se opone a la aiación del flujo del capo agnético. 7. Una espia cuadada de 0 c de lado, se uee con elocidad constante de 0 /s y peneta en un capo agnético de 0,5 pependiculaente al plano de la espia y diigido hacia el obseado. a) Explique, azonadaente, qué ocue en la espia desde que coienza a enta en la egión del capo. Qué ocuiá si la espia, una ez en el inteio del capo, saliea del iso? b) Calcule la fueza electootiz inducida en la espia ientas está entando en el capo? Al peneta la espia dento del capo agnético auenta el flujo agnético que la ataiesa Po la ley de Lenz, el capo agnético inducido es de signo contaio al capo inducto y po ello la intensidad de la coiente tiene el sentido de las agujas del eloj. Cuando la espia está copletaente dento del capo agnético desapaece la coiente inducida, pues no hay aiación del flujo del capo agnético. Al sali del capo agnético hay una disinución del flujo del capo agnético. La espia se opone a la aiación del flujo, apaeciendo una coiente inducida de sentido contaio al de las agujas del eloj. Así se genea un capo agnético del iso sentido que el capo inducto. El flujo eleental que ataiesa la espia al peneta en el capo agnético es: dφ B B A ds cos 0º B ds Si el conducto tiene una longitud L y se taslada una distancia dx con elocidad constante, entonces: ds L A dx; dx A dt Coo el flujo agnético que ataiesa la supeficie que deliita el conducto disinuye al auenta la distancia ecoida, esulta que: dφ B - B A L A dx - B A L A A dt Aplicando la ley de Faaday: la fueza electootiz que se induce en la espia es: - B A L A - 0,5 0, 0 /s -,5 V 8. Una espia cuadada de 0 c de lado, inicialente hoizontal, gia a 00 p, en tono a uno de sus lados, en un capo agnético unifoe de 0,, de diección etical. a) Calcula el alo áxio de la fueza electootiz inducida en la espia. b) Cóo se odifica la fueza electootiz inducida en la espia si se educe la elocidad de otación a la itad? a) La fecuencia en unidades SI es: ν 00 p 0 Hz

122 Soluciones unidad 8: Inducción electoagnética º Bachilleato 008 El flujo del capo agnético que ataiesa la espia es: Φ B B A S A cos n N B A S A cos (ω A t) Aplicando la ley de Faaday: Su alo áxio es: ε 0 B S ω B S π ν 0, (0, ) π 0 Hz 0,08 π V b) Si la elocidad de otación se educe a la itad, la fecuencia lo hace en la isa popoción y la fueza electootiz inducida es tabién la itad. ε 0 ε 0 / 0,04 π V 9. Un altenado está foado po un cuado 00 espias cuadadas de 5 c de lado, situado en el seno de un capo agnético de 0,5 de ódulo. Calcula la elocidad angula con la que deben gia las espias paa genea una fueza electootiz inducida de 0 V de alo áxio. Cuál es el alo de la fecuencia de dicha coiente? El flujo del capo agnético que ataiesa el cuado del altenado es: Φ B N B A S A cos n N B A S A cos (ω A t) Aplicando la ley de Faaday: Su alo áxio es: ε 0 N B S ω Sustituyendo: 0 V 00 espias 0,5 (0,05 ) ω ω 90 ad/s La fecuencia de la coiente es la isa que la fecuencia de gio del altenado: ω π ν; 90 ad/s π ν ν 46,4 Hz 0. Si se auenta la elocidad de gio de un altenado, indica cóo se odifica la difeencia de potencial, intensidad, potencia y fecuencia de la coiente eléctica poducida. Aplicando la ley de Faaday, la fueza electootiz inducida en un geneado es: ε N A B A S A ω A sen (ω A t) N A B A S A A π A ν A sen ( A π A ν A t) Con N el núeo de espias del cuado, B el capo agnético, S la supeficie de cada espia, ω la elocidad angula de gio y ν la fecuencia de gio. Po tanto, un auento de la fecuencia de gio poduce un auento de la difeencia de potencial. Si el cicuito exteno es el iso, po la ley de Oh, I, un auento de la difeencia de potencial poduce un auento de la intensidad que ecoe el cicuito exteno. En el cicuito exteno, lo que se antiene constante es su esistencia eléctica y la caacteística del geneado es su difeencia de potencial. Coo P I A V potencial popociona ás potencia al cicuito., un auento de la difeencia de Coo en cada uelta del cuado la fueza electootiz inducida y la intensidad cabian dos eces de sentido, en cada segundo las dos agnitudes cabian A ν eces de sentido. Po tanto, un auento de la fecuencia de gio poduce un auento ayo de la fecuencia de la coiente altena.

123 Soluciones unidad 8: Inducción electoagnética º Bachilleato 008 INVESIGA. Po qué se les llaa coientes paásitas o tubillonaias? Cuando un capo agnético aiable intesecta un conducto, o iceesa. El oiiento elatio causa una ciculación de electones, poduciendo una coiente eléctica dento del conducto. Estas coientes son ás intensas cuanto ayo sea la aiación del flujo del capo agnético dento del conducto y ayo sea su conductiidad. Se les llaa coientes paásitas poque genealente son indeseables ya que llean asociada una pédida de potencia eléctica po efecto Joule. Se denoinan tabién tubillonaias ya que foan cicuitos ceados dispesos po todo el ateial, a odo de tobellinos.. Po qué los núcleos de hieo de los tansfoadoes se coponen de láinas unidas? Coo puede obsease en la figua adjunta, el que los núcleos de hieo de las bobinas de los tansfoadoes estén lainados liita las coientes de Foucault dento del ateial. Estas pédidas son iniizadas utilizando núcleos con ateiales agnéticos que tengan baja conductiidad eléctica, coo po ejeplo feita, o utilizando delgadas hojas de ateial agnético, conocido coo lainados. Los electones no pueden ataesa la capa aisladoa ente los lainados y po lo tanto no pueden cicula en acos abietos gandes.. Cita alguna de las aplicaciones de las coientes de Foucault Las coientes de Foucault se utilizan en los honos de inducción paa todo tipo de etales, cocinas itoceáica de inducción, sisteas de disinución de la elocidad en ehículos pesados y tenes. La cocción po inducción posee nueosas entajas especto a los sisteas tadicionales. El calentaiento de los ecipientes es ás ápido que con otos sisteas. El iesgo de sufi queaduas es ás educido debido a la eno tepeatua de la zona de cocción de la supeficie de la placa. Esta eno tepeatua de la placa edunda en una lipieza ás fácil. ienen una ayo eficiencia enegética ya que el foco de calo se adapta al taaño del ecipiente. ES DE EVALUACIÓN. Copleta la fase: La pesencia de en una espia se debe a la de las líneas de capo agnético. La pesencia de una coiente inducida en una espia se debe a la aiación de las líneas de capo agnético que la ataiesan.. Justifica si las siguientes cuestiones son edadeas o falsas: a) Apaece una coiente inducida en una espia cuando se coloca ceca de un potente ián. b) El flujo de un capo agnético a taés de una supeficie ceada es igual a ceo. c) Si a una espia se le aceca el polo note de un ián, la intensidad inducida, ista desde el ián, gia en el sentido de las gujas del eloj. d) El alo de la fueza electootiz inducida en una espia depende de cóo se poduzca la aiación del flujo agnético.

124 Soluciones unidad 8: Inducción electoagnética º Bachilleato 008 a) Falso. Si no hay oiiento elatio no se poduce coiente inducida, pues no hay aiación del flujo agnético a taés de la espia. b) Vedadeo. Le flujo de un capo agnético a taés de una supeficie ceada es igual a ceo poque al se ceadas las líneas de capo agnético, las isas líneas que entan en la supeficie salen de ella. c) Falso. La intensidad de la coiente inducida debe gia en el sentido contaio al de las agujas del eloj paa así cea un capo agnético de sentido contaio al inducto y así oponese a la aiación del flujo agnético. d) Falso. Según la ley de Faaday, el alo de la fueza electootiz inducida en una espia es independiente de las causan que pooque la aiación del flujo agnético.. Una baa conductoa de longitud se uee con una elocidad constate /s pependiculaente a un capo agnético de ódulo B 0,5. El capo eléctico en su inteio es: a),5 N/C; b) 0,5 N/C; c) N/C; d) 0 N/C. La solución coecta es la c) En el equilibio la fueza de Loentz que actúa sobe los electones y la fueza con la que actúa el capo eléctico tienen el iso ódulo: F Loentz F eléctica ; q B q E E B /s 0,5 N/C 4. Una bobina de 000 espias de 0 c de adio está colocada pependiculaente a un capo agnético de 0,. El flujo agnético que la ataiesa es: a) 9,4 Wb; b) 0,94 Wb; c) 9,4 0 - Wb; d) 4,7 Wb. La solución coecta es la a) Aplacando la definición del flujo de un capo agnético: N B A S A cos n 000 0, A π (0, ) cos 0º 9,4 Wb 5. En una bobina de 0 espias se induce una fueza electootiz de V. En las isas condiciones, en una bobina de 40 espias se induciá una fueza electootiz de: a) 0,5 V; b) V; c) 4 V: d) V. La solución coecta es la d) Según la ley de Faaday la fueza electootiz inducida es popocional al núeo de espias de la bobina, po lo que la fueza electootiz inducida en la segunda bobina se ultiplica po dos. 6. Una bobina de 00 espias de c de adio se encuenta situada pependiculaente en el seno de un capo agnético de 0,5. Si el capo agnético se anula s, la fueza electootiz inducida es: a) 57 V; b),57 V; c) 0,5 V; d) 5,7 V. La solución coecta es la d) 4

125 Soluciones unidad 8: Inducción electoagnética º Bachilleato 008 El flujo del capo agnético inicial que ataiesa la bobina es: El flujo agnético final es igual a ceo. Aplicando la ley de Faaday 7. Un altenado de 0 espias de 5 c de lado gia con una fecuencia de 00 Hz en un capo agnético de 0,8. Si la esistencia eléctica es de 70 Ω, el alo áxio de la intensidad es: a) 0,9 A; b) 0,8 A; c),8 A; d) 0,6 A. La solución coecta es la b) El flujo del capo agnético que ataiesa el cuado del altenado es: Φ B N B A S A cos n N B A S A cos (ω A t) Aplicando la ley de Faaday: Aplicando la ley de Oh: ε R I I sen (ω A t) Cuyo alo áxio es: 8. Copleta la fase: El de la intensidad de la coiente eléctica inducida es tal que ceado po ella se del flujo agnético que la poduce. El sentido de la intensidad de la coiente eléctica inducida es tal que el capo agnético ceado po ella se opone a la aiación del flujo agnético que la poduce. 9. Justifica si son edadeas o falsas las siguientes cuestiones: a) El alo de la fueza electootiz inducida en un cicuito no depende de la apidez de la aiación del flujo agnético. b) Si se aceca un ián a una espia, al alejalo la coiente inducida cabia de sentido. c) Un altenado y una dinao poduce coiente altena, peo po étodos difeentes. d) La fueza electootiz inducida en una espia depende de la cantidad de espias que posea. a) Falso El alo de la fueza electootiz inducida en un cicuito es igual a la apidez de la aiación del flujo agnético que pasa a su taés. b) Vedadeo. Si se aceca un ián a una espia, al alejalo la coiente inducida cabia de sentido, es una de las expeiencias de Faaday. c) Falso. Un altenado poduce coiente altena y una dinao poduce coiente continua. La única difeencia ente los dos apaatos es la conexión del cicuito exteno a los teinales de la espia que se uee en el seno de un capo agnético. d) Vedadeo. 5

126 Soluciones unidad 8: Inducción electoagnética º Bachilleato 008 La fueza electootiz inducida en una espia depende de la cantidad de espias que posea ya que así lo indica la ley de Faaday. 0. Una espia de 0 c de adio está situada pependiculaente a un capo agnético de 0,. Si la espia gia 90º en tono a un diáeto en s, la fueza electootiz inducida es: a), V; b) 6, V; c),6 V; d),5 V. La solución coecta es la b) El flujo del capo agnético inicial que ataiesa la bobina es: El flujo agnético final es igual a ceo. Aplicando la ley de Faaday: 6

127 Unidad didáctica 9 La luz y sus popiedades

128 Soluciones unidad 9: La luz y sus popiedades º Bachilleato 008 SOLUCIONES UNIDAD 9. LA LUZ Y SUS PROPIEDADES CUESIONES INICIALES. )Qué difeencias hay ente las ondas luinosas y las ondas sonoas? Las ondas luinosas son ondas electoagnéticas tansesales, que se popagan con difeente elocidad po los edios ateiales tanspaentes y que, adeás, pueden popagase po el acío, donde lo hacen a la elocidad constante de k/s. Las ondas sonoas son ondas de natualeza ecánica, son longitudinales, no se popagan po el acío y su elocidad depende del edio y de otas aiables, coo, po ejeplo, la tepeatua.. )En qué consiste el fenóeno del aco iis? El aco iis se debe a la dispesión de la luz en las gotas de lluia cuando el Sol está a nuesta espalda. Las gotas de lluia sepaan la luz blanca incidente en las luces eleentales de difeentes coloes (ojo, naanja, aaillo, ede, azul, añil y ioleta) caacteizados po su espectia longitud de onda.. La niee efleja casi toda la luz que incide en su supeficie. Po qué no nos eos eflejados en ella? La niee no foa una supeficie plana y pulida de odo que la eflexión que poduce su supeficie no es especula sino difusa. Esto quiee deci que un haz de ayos incidentes paalelos se eflejan en todas las diecciones y el ojo no puede pecibi una iagen eflejada. ACIVIDADES FINALES. Deduce que paa un ato de luz que ataiesa dos edios ateiales se cuple la elación λ n λ n. La elación ente la elocidad de popagación de la luz en un edio con su fecuencia es: λ ν Si la luz se popaga de un edio a oto edio, y coo la fecuencia es una caacteística del foco y no del edio, se cuple que: λ ν λ ν λ λ Aplicando la definición de índice de efacción: c n λ c n λ ; n λ n λ n λ n λ c n y sustituyendo:. La longitud de onda de luz láse oja helio-neón en el aie es de 6,8 n. Calcula la longitud de onda y la elocidad con la que se popaga po un idio de índice de efacción,5. 8

129 Soluciones unidad 9: La luz y sus popiedades º Bachilleato 008 La fecuencia de una adiación no depende del edio de popagación po se una caacteística de la fuente eisoa. La elocidad de popagación y la longitud de onda dependen del edio tansiso. Coo la elocidad de popagación de la luz en el acío es pácticaente iguala a la del aie, esulta: 8 c 0 / s 4 ν 4,7 0 Hz 9 λ 6,8 0 acío Aplicando la definición de índice de efacción de un edio especto del acío, se tiene: 8 c c 0 /s 8 nidio idio 0 /s idio nidio,5 c λ acío ν λ acío λ acío 6,8n nidio λ idio 4,9 n λ ν λ n,5 idio idio idio idio. Una luz onocoática tiene una longitud de onda de 6 n en el aie y de 474 n en el huo acuoso del inteio del ojo huano. Calcula el índice de efacción del huo acuoso del ojo huano. Deteina la fecuencia de la adiación y la elocidad de popagación de esa luz po el ojo. La elación ente la elocidad de popagación de la luz en un edio con su fecuencia es: λ ν c λ aie ν; ojo λ huo acuoso ν Coo la fecuencia es una caacteística del foco y no del edio, esulta que: c λ aie ν; 0 8 /s ν ν 4, Hz 8 c ojo 0 / s ojo ; ojo, /s λ λ 6n 474n aie huo acuoso c 0 / s Y el índice de efacción es: nhuo acuoso, 4 8,46 0 / s 4. Deteina la elocidad de la luz en el etanol teniendo en cuenta que su índice de efacción absoluto es n,6. Un haz de luz oja cuya longitud de onda en el aie es de 695 n peneta en dicho alcohol. Si el ángulo de incidencia es de 0, cuál es el ángulo de efacción? Cuál es la longitud de onda y la fecuencia del haz de luz en el alcohol? 8 Aplicando la definición de índice de efacción: n c ;,6 8 0 / s, 0 8 / s Aplicando la ley de Snell: n aie sen i n alcohol sen ; sen 0º,6 sen,57º La fecuencia de la luz es la isa en el aie que en el alcohol: Y la longitud de onda es: 8 7, 0 / s λ 5, 0 4 ν 4, 0 Hz 8 c 4 ν 0 / s 4, 0 9 λ n 5. Un ayo de luz que se popaga po el aie incide con un ángulo de 40º con la ecta noal a la supeficie de sepaación con un edio en el ángulo de efacción es de 6º con la citada ecta noal. Calcula el índice de efacción del edio. Aplicando la ley de Snell: n aie sen i n edio sen ; sen 40º n edio sen 6º n edio,47 Hz 9

130 Soluciones unidad 9: La luz y sus popiedades º Bachilleato La ecuación E x,t 0 - Α cos (5 Α 0 0 Α t - 00 Α x), en unidades del SI, epesenta la popagación del capo eléctico de una onda electoagnética plana po un edio deteinado. Este capo eléctico está confinado en el plano XY. Calcula la fecuencia y la longitud de onda de esa onda electoagnética. Deteina el índice de efacción del edio. Escibe la expesión del capo agnético de la onda e indica en que plano está confinado. La expesión geneal de un capo eléctico es: E x,t E 0 cos (ω t k x) Copaando abas expesiones, esulta que: ω 5 Α 0 0 ad/s Α π Α ν Ψ ν 8 Α 0 9 Hz; k 00 - π Ψ λ, Α 0 - λ 0 ω 5 La elocidad de popagación es: c λ Α ν 0 ad/s 8,5 0 /s - k 00 c 0 / s Y el índice de efacción del edio es: n, 8,5 0 / s Las ondas que desciben los capos eléctico y agnético están en fase y sus ódulos están elacionados po: E 0 B 0 ; 0 - N/C,5 0 8 /s B 0 B La ecuación del capo agnético es: B x, t Α cos (5 Α 0 0 Α t - 00 Α x) Está confinado en el plano ZX los ectoes E y B son pependiculaes ente sí y pependiculaes a la diección de popagación. 7. Una onda electoagnética que tiene una longitud de onda de 0 n está polaizada linealente y se popaga en el acío en el sentido positio del eje OX. Si la aplitud del capo eléctico es E 0 4 N/C y iba en el plano XY, escibe las ecuaciones ectoiales del capo eléctico y del capo agnético. Las constantes que peiten descibi las ecuaciones de los capos son: π π 8 k 0 π 9 λ 0 0 ω c ω c k 0 8 /s 0 8 π π ad/s k La aplitud del capo agnético es: E 0 c B 0 ; 4 N/C 0 8 /s B 0 B El capo eléctico iba en el plano XY y pependicula al eje X, y su expesión ectoial es: E 4 N/C cos (6 0 6 π t 0 8 π x) j en unidades SI x,t El capo agnético es pependicula al capo eléctico y a la diección de popagación, luego iba en el plano ZX y su expesión ectoial es: B cos (6 0 6 π t 0 8 π x) k en unidades SI x,t 8. Un ayo luinoso incide sobe una supeficie plana de sepaación aie-líquido. Cuando el ángulo de incidencia es de 45 el de efacción ale 0 Qué ángulo de efacción se poduciía si el haz incidiea con un ángulo de 60º. 8 0

131 Soluciones unidad 9: La luz y sus popiedades º Bachilleato 008 a) Aplicando la ley de Snell a la piea efacción se calcula el índice de efacción del líquido. n aie sen i n líquido sen ; sen 45º n líquido sen 0º n líquido,4 Aplicando nueaente la ley de Snell a la segunda efacción se calcula el nueo ángulo de efacción: n aie sen i n líquido sen ; sen 60º,4 sen 8,º i aie líquido 9. Un ayo de luz se popaga po el aie e incide con un ángulo de 0º con la diección noal a la supeficie de un idio. Si el índice de efacción en el idio es,5. Calcula el ángulo que foan el ayo eflejado y el ayo efactado. El ángulo de eflexión es de 0º y el de efacción se calcula aplicando la ley de Snell. n aie sen i n idio sen ; sen 0,5 sen 9,47º i i aie idio Si φ es el ángulo pedido, de la figua adjunta se deduce que: i + φ + 80º φ 80º 0º - 9,47º 0,5º 0. Un ayo de luz incide sobe una supeficie plana de un idio con un índice de efacción n,5. Si el ángulo foado po el ayo eflejado y el efactado es de 90, calcule los ángulos de incidencia y de efacción. Coo el ángulo de eflexión, i, es igual al ángulo de incidencia, de la figua adjunta se deduce que: 80º i + 90º + ; 90º i + 90º - i Aplicando la ley de Snell a la efacción, esulta que: n aie sen i n idio sen ayo incidente aie agua ecta noal i i 90º ayo eflejado ayo efactado Sustituyendo: sen i,5 sen (90º - i) sen i,5 cos i Opeando: tag i,5 i ac tg,5 56,º; 90º - i,69º. Sobe un pisa cúbico de índice de efacción n situado en el aie incide un ayo luinoso con un ángulo de 60. El ángulo que foa el ayo eegente con la noal es de 45. Deteina el índice de efacción n del pisa. Qué ángulo foan ente sí la diección del ayo incidente en A con la diección del ayo eegente en B de la figua? a) Aplicando la ley de Snell a la efacción que se poduce en el punto A, se tiene que: n aie sen i n pisa sen ; sen 60º n pisa sen 45º n pisa,5 0º b) El ángulo de incidencia en el punto B es de 45º, aplicando la ley de la efacción a este punto: n pisa sen i n aie sen ;,5 sen 45º sen 60º 45º A 45º B 45º 60º El ayo incidente foa un ángulo de 60º con la etical y el eegente lo foa de 0º. Po tanto, las diecciones de estos ayos foan ente 60º

132 Soluciones unidad 9: La luz y sus popiedades º Bachilleato 008 sí un ángulo de 0º.. Una capa de aceite, de índice de efacción n aceite,45 flota sobe una capa de agua de índice de efacción n agua,. Un ayo de luz peneta desde al aie en el aceite con un ángulo de 40º especto de la ecta noal. Calcula el ángulo de efacción dento del agua y pesenta en un esquea la tayectoia de los ayos. Aplicando la ley de Snell a las dos efacciones que se poducen, esulta que: n aie sen i aie n aceite sen aceite ; sen 40º,45 sen aceite aceite 6,º 40º aie El ángulo de incidencia en la supeficie del agua es el iso que el ángulo de efacción en el aceite. Po tanto: n aceite sen i aceite n agua sen agua ;,45 sen 6,º, sen agua i aceite agua Despejando: agua 8,9º. Una capa de aceite flota sobe una capa de agua de índice de efacción n agua,. Un ayo de luz incide desde el aie foando un ángulo de 0,4º especto de la ecta noal en el punto de incidencia. El ayo se efacta en el aceite e incide en la supeficie del agua foando un ángulo de 0º especto de la ecta noal. Calcula el índice de efacción del aceite y el ángulo de efacción en el agua. El ángulo de efacción en la supeficie del aceite es el iso que el incidencia en la supeficie del agua. n aie sen i aie n aceite sen aceite ; sen 0,4º n aceite sen 0º Despejando: n aceite,48 Aplicando la ley de Snell a la segunda efacción: n aceite sen i aceite n agua sen agua ;,48 sen 0º, sen agua Despejando: agua,4º 4. Un ayo de luz ataiesa una láina, de 5 c de espeso, de un ateial tanspaente de índice efacción n,4. Deduce que el ayo que el ayo que eege de la láina es paalelo al ayo incidente. Calcula el desplazaiento que ha expeientado el ayo eegente especto del ayo incidente cuando el ángulo de incidencia es de 0º. El ayo incide desde el aie en una caa con un ángulo i y se efacta, acecándose a la noal, con un ángulo, pasando al inteio; ataiesa la láina e incide en la pate inteio de la ota caa con un ángulo i efactándose, alejándose de la noal, saliendo al aie con un ángulo eegente. 0,4º 0º aie aceite agua a) Aplicando la ley de Snell a las dos efacciones que se poducen en las caas de la láina, se tiene: n aie Α sen i n láina Α sen ; n láina Α sen i n aie Α sen De la figua se deduce que: i, y po tanto: n aie Α sen i n aie Α sen i Luego el ayo eegente sale de la láina paalelo al incidente peo desplazado latealente una distancia igual a d. i A i - i C B d D aie láina n aie b) Aplicando la ley de Snell a la piea caa se obtiene el alo del ángulo de efacción.

133 Soluciones unidad 9: La luz y sus popiedades º Bachilleato 008 n aie sen i n láina sen ; sen 0º,4 sen 0,9º Del tiángulo ectángulo ACB de la figua se obtiene la distancia AB ecoida po el ayo dento de la láina: AC 5c AB 5,5 c cos cos 0,9º Del tiángulo ectángulo ADB de la figua se obtiene el desplazaiento lateal BD. d BD AB sen (i ) 5,5 c sen (0º 0,9º) 0,84 c 5. Deosta que dos ayos paalelos que inciden sobe una láina plana, eflejándose uno de ellos en la piea caa de la láina y el oto en la segunda, después de habese efactado en su paso po la piea, salen ota ez al edio de incidencia siendo paalelos. El ayo que se efleja en la piea láina se efleja con un ángulo igual al de incidencia: i. i i i aie Paa el segundo ayo que efacta en la piea caa se cuple la ley de Snell: n aie sen i n láina sen i i i láina Al llega a la segunda caa se efleja con un ángulo de incidencia i y el ángulo de eflexión tabién es i. De la figua se deduce que i y que i Po tanto el ángulo de incidencia, al pasa al aie del ayo que se efleja en la segunda caa es: i i Aplicando la ley de Snell a esta efacción: n láina sen i n aie sen ; Opeando: n láina sen n aie sen Copaando esta ecuación con la de la piea efacción se deduce que: n aie sen i n aie sen i Y po tanto los dos ayos son paalelos. 6. Un ayo de luz onocoática incide sobe una caa lateal de un pisa de idio de índice de efacción y cuya base es un tiángulo equiláteo. Calcula el ángulo con el que eege el ayo del pisa si el ángulo de incidencia es de 0º. Dibuja un esquea gáfico con la tayectoia de los ayos. Coo la base del pisa es un tiángulo equiláteo, el ángulo ente cualquiea de sus caas es de 60º. 60º El ángulo de efacción dento del pisa se calcula aplicando la ley de Snell al ayo incidente a la caa del pisa. n aie Α sen 0º n pisa Α sen ; Α Α sen 0,7 0º 90º- 90º-i i Es el ángulo de efacción en la piea caa del pisa. Del tiángulo foado po la tayectoia del ayo dento del pisa y uno de sus étices se deduce el alo del ángulo de incidencia en la segunda caa.

134 Soluciones unidad 9: La luz y sus popiedades º Bachilleato º 90º + 60º + 90º - i ; + i 60º i 60º - 0,7º 9,º Voliendo a aplica la ley de Snell a esta segunda eflexión esulta que el ángulo de eegencia es: n idio sen i n aie sen ; sen 9,º sen 6,6º 7. El ángulo líite de la luz aailla de 589 n en el diaante es de 4,4º. Calcula el índice de efacción del diaante y la elocidad de popagación de esa adiación en su inteio. Aplicando la ley de Snell cuando la luz pasa del diaante al aie, esulta que: n diaante Α sen 4º Α sen 90º Ψ n diaante,4 8 c Aplicando la definición de índice de efacción: 0 /s 8 n,4 0 /s,4 8. Pependiculaente a un disco de cocho y en su cento se claa un alfile que sobesale c. El dispositio se coloca flotando en el agua de un ecipiente con el alfile hacia abajo. Si el agua tiene un índice de efacción n,, calcula el adio ínio del disco pa que no se pueda e la cabeza del alfile desde fuea del agua. c La cabeza del alfile no se e desde el exteio si el cocho tapa a todos los ayos que se efactan en la supeficie del agua. Es deci el disco debe oculta aquellos ayos cuyo ángulo de incidencia sea eno que el ángulo líite. Paa los deás ayos se poduce el fenóeno de la eflexión total. c i líite Aplicando la ley de Snell: n agua sen i líite n aie sen 90 Despejando: i líite ac sen 48,75º, De la figua se deduce que: tag i líite c tag 48,75º,8 c c 9. Un ayo de luz ede pasa de una placa de idio de índice de efacción n,5 al aie. La longitud de onda de la luz en la placa es Calcula la longitud de onda de la luz ede en el aie y el ángulo cítico a pati del cual se poduce la eflexión total. La fecuencia de una adiación es una cantidad constante ya que solo depende del foco eiso. La longitud de onda siepe auenta al pasa de un edio tansiso al acío. Aplicando la definición de índice de efacción de un edio, se tiene: c λaie ν n λ aie n λ idio,5 n 499,5 n 499,5 0-9 λ ν idio b) El ángulo cítico, i líite, es aquel paa el cual el ayo efactado sale asante a la supeficie de sepaación de abos edios: 90Ε. A este fenóeno se llaa eflexión total poque, paa ángulos de incidencia ayoes que el ángulo líite, la luz no se efacta, sino que se efleja totalente en la supeficie de sepaación de los dos edios. Aplicando la ley de Snell, esulta que: n idio sen i liite n aie Α sen 90º edio con eno índice de efacción ecta noal ecta noal ecta noal i < i líite i i líite i > i líite efacción asante eflexión total edio con ayo índice de efacción 4

135 Soluciones unidad 9: La luz y sus popiedades º Bachilleato 008 naie Despejando: sen ilíite i líite 4,8º nidio,5 0. Sobe una de las caas de un bloque ectangula de idio de índice de efacción n,5 incide un ayo de luz foando un ángulo θ con la noal al idio. Inicialente, el bloque se encuenta casi totalente ineso en agua, cuyo índice de efacción es,. Halle el alo del ángulo θ paa que en un punto P de la caa noal a la de incidencia se poduzca la eflexión total. Si se eliina el agua que odea al idio, halle el nueo alo del ángulo θ en estas condiciones y explique el esultado obtenido. a) Sea Q el punto en el que incide la luz en el bloque de idio. Aplicando la ley de Snell en el punto P se calcula el ángulo líite del idio fente al agua. n idio sen i líite n agua sen 90º;,5 sen i líite, sen 90º i liite 6,46º aie agua P i líite Q 90º - i líite Paa ángulos de incidencia, en el punto P, ayoes que 6,46º se poduce la eflexión total en esta caa 90º idio El ángulo de efacción,, en la supeficie aie-idio es: 90 i líite 90 6,46º 7,54º Luego el ángulo debe se eno que 7,54º. Aplicando la ley de Snell en el punto Q, esulta que: n aie sen θ n idio sen 7,54º; sen θ,5 sen 7,54º θ 4,9º Po tanto el ángulo de incidencia en el punto Q debe se eno que 4,9º, paa que se poduzca el fenóeno descito. b) Se eliina el agua. Aplicando la ley de Snell en el punto P se calcula el ángulo líite del idio fente al aie. n idio sen i líite n aie sen 90º;,5 sen i líite sen 90º i liite 4,8º aie Q 90º - i líite Paa ángulos de incidencia, en el punto P, ayoes que 4,8º se poduce la eflexión total en esta caa El ángulo de efacción,, en la supeficie aie-idio es: 90 i líite 90 4,8º 48,9º Luego el ángulo debe se eno que 48,9º. P i líite 90º idio Aplicando la ley de Snell en el punto Q, esulta que: n aie sen θ n idio sen 48,9º; sen θ,5 sen 48,9º sen θ,8 Coo el seno de un ángulo no puede se nunca ayo que la unidad, se concluye que el ayo no puede sali po la caa lateal, pependicula a la caa incidente, es deci paa cualquie ángulo de incidencia, el ayo nunca sale del cubo, sufe eflexiones totales dento de él. 5

136 Soluciones unidad 9: La luz y sus popiedades º Bachilleato 008. Un pisa de idio tiene po base un tiángulo isósceles, cuyas caas iguales foan ente si un ángulo de 90º. Un ayo láse incide pependiculaente a una de las caas iguales, (cateto). Si el pisa se coloca en el aie, calcula el índice de efacción ínio del idio paa que el ayo salga po la ota caa del pisa, (el oto cateto) que es igual a la piea. Dibuja la tayectoia de los ayos. Dibuja la tayectoia del iso ayo anteio cuando el pisa se suege en agua de índice de efacción,. Paa que el ayo salga po el oto cateto debe sufi la eflexión total, paa ello el ángulo líite debe se 45º. Aplicando la ley de Snell: n idio sen i líite n aie sen 90º; n idio sen 45º nidio nidio Al suegi el pisa en el agua y aplicando la ley de Snell en el punto de incidencia de la hipotenusa y coo i 45º, se tiene: n idio sen 45º n agua sen ;, sen 48,75º 45º 45º 45º i líite i líite 45º. Se tiene un pisa de idio de índice de efacción y cuya base es un tiángulo equiláteo. Con qué ángulo incidiá un ayo de una en una de las caas paa que al popagase dento el pisa sufa en ota de las caas el fenóeno de la eflexión total? Un ayo de luz incide con un ángulo i en una de las caas, se efacta con un ángulo y se popaga dento del pisa. Al llega a la siguiente caa sufe el fenóeno de la eflexión total. 60º Po tanto aplicando la ley de Snella esta segunda caa, se tiene que: n idio sen i líite n aie sen 90; sen i líite sen 90º Despejando: i líite 45º i 90º- 90º-i líite 90º i líite Del tiángulo foado po la tayectoia del ayo dento del pisa y uno de sus étices se deduce el alo del ángulo de efacción en la piea caa. 80º 90º + 60º + 90º - i líite ; + i líite 60º 60º - 45º 5º Aplicando la ley de Snell a la piea efacción esulta que: n aie Α sen i n pisa Α sen ; Α sen i Α sen 5º i,5º Paa ángulos de incidencia enoes que,5º se poduce el fenóeno de la eflexión total en la ota caa.. Dos focos luinosos eiten en el acío luces onocoáticas y coheentes con una fecuencia de Hz. Qué tipo de intefeencia se poduciá en un punto cuya difeencia de distancia a las fuentes es, 0-6? c 0 / s 7 La longitud de onda de la luz eitida es: λ n 4 ν 5 0 HZ Paa calcula el tipo de intefeencia hay que elaciona la distancia con la longitud de onda. 8 6

137 Soluciones unidad 9: La luz y sus popiedades º Bachilleato 008 Δ, λ, 0 λ Las ondas llegan en fase y la intefeencia es constuctia. 4. Dos fuentes luinosas eiten en el acío luces onocoáticas y coheentes con una fecuencia de, Hz. Qué tipo de intefeencia se poduciá en un punto cuya difeencia de cainos a las fuentes es de 400 n? c 0 / s 7 La longitud de onda de la luz eitida es: λ n 4 ν,75 0 HZ La difeencia de cainos es igual a la itad de la longitud de onda, luego la intefeencia es destuctia. λ λ Δ 400 n 400n 800n 5. El ayo eflejado en una supeficie tanspaente y pulientada está polaizado linealente cuando foa un ángulo de 90º con el ayo efactado. Deduce que esas condiciones se poducen cuando el índice de efacción del edio es igual a la tangente del ángulo de incidencia. Coo el ángulo de eflexión, i, es igual al ángulo de incidencia, de la figua adjunta se deduce que: 80º i + 90º + ; 90º i + 90º - i Aplicando la ley de Snell a la efacción, esulta que: n aie sen i n edio sen Opeando: sen i n edio sen (90 i) n edio cos i Despejando: seni n edio tgi cosi 8 ayo incidente aie edio ecta noal INVESIGA. Con que ateiales se fabican el núcleo y el eestiiento de las fibas ópticas? i i 90º ayo eflejado ayo efactado El núcleo, es la pate inteio de la fiba, que esta fabicado po un ateial dieléctico, noalente, idio de sílice, SiO, al que se le añaden ipuezas coo B O, GeO o P O 5 paa ajusta su índice de efacción. Paa pequeñas aplicaciones tabién se encuentan en el ecado fibas ópticas con el núcleo de plástico o cuazo fundido. El eestiiento, que enuele al núcleo, fabicado con ateiales siilaes al núcleo peo con un índice de efacción eno, paa que se poduzca el fenóeno de la eflexión total.. Descibe los dos tipos ás counes de fibas ópticas. Las difeentes tayectoias que puede segui un haz de luz en el inteio de una fiba se denoinan odos de popagación y según el odo de popagación se tienen dos tipos de fiba óptica: ultiodo y onoodo. Una fiba ultiodo es aquella en la que los haces de luz pueden cicula po ás de un odo o caino. Estas fibas tienen un diáeto del núcleo ucho ayo que las fibas onoodo. Las fibas ultiodo fueon las pieas en fabicase y coecializase. Se usan coúnente en aplicaciones de cota distancia, enoes a k y son adecuadas paa el tendido de edes LAN o 7

138 Soluciones unidad 9: La luz y sus popiedades º Bachilleato 008 sisteas de ideoigilancia. Las edes constuidas con estas fibas son uy siples de diseña y uy econóicas, se conectan fácilente y tiene ayo toleancia a los coponentes de poca pecisión. Las fibas ópticas onoodo tienen un diáeto del núcleo ucho eno y son las ás adecuadas paa tansiti la infoación a gandes distancias. Debido al educido taaño de su núcleo sólo se popaga un odo de luz. Estas fibas onoodo se diseñan paa sisteas de counicación óptica de laga distancia. Existe una noatia que establece un colo deteinado paa el cable según el tipo de fiba: así el colo naanja indica una fiba ultiodo y el aaillo una onoodo.. Enuea las entajas y los inconenientes de las fibas ópticas fente a los cables de cobe. Ente las entajas de la fiba óptica fente a los cables de cobe están: - Un único cable de fiba óptica puede tansiti ás infoación de una de cobe. - Su atenuación es uy baja. - Es inune al uido electoagnético. - Es segua, al peanece el haz de luz confinado en el núcleo, no es posible accede a los datos tasitidos po étodos no destuctios. - La ateia pia con la que se fabica es abundante. - Es uy ligea en copaación con el cableado eléctico tadicional - Disinuye el iesgo de incendios. - Se puede instala en lugaes donde puedan habe sustancias peligosas o inflaables, ya que no tansite la coiente eléctica. Desentajas A pesa de las entajas antes enueadas, la fiba óptica pesenta una seie de desentajas fente a otos edios de tansisión, siendo las ás eleantes las siguientes: - La fagilidad de las fibas. - Necesidad de usa tansisoes y eceptoes ás caos. - Los epales ente fibas son difíciles de ealiza, especialente en el capo, lo que dificulta las epaaciones en caso de otua del cable. - No puede tansiti coiente eléctica paa alienta epetidoes inteedios. - La necesidad de efectua, en uchos casos, pocesos de conesión eléctica-óptica. - La fiba óptica conencional no puede tansiti potencias eleadas. - No existen eoias ópticas. ES DE EVALUACIÓN. Copleta la fase: Las ondas electoagnéticas son ondas que consisten en la popagación, de un sopote ateial, de un capo eléctico y de oto agnético y a la diección de. Las ondas electoagnéticas son ondas tansesales que consisten en la popagación, sin necesidad 8

139 Soluciones unidad 9: La luz y sus popiedades º Bachilleato 008 de de un sopote ateial, de un capo eléctico y de oto agnético pependiculaes ente sí y a la diección de popagación.. Justifica si las siguientes cuestiones son edadeas o falsas: a) La luz isible tiene una longitud de onda ayo que los ayos infaojos. b) odas las sustancias tienen un índice de efacción ayo que la unidad. c) El capo eléctico y el capo agnético de una onda electoagnética iban en fase. d) En las intefeencias luinosas se destuye la enegía luinosa. a) Falso. La luz isible tiene una fecuencia ayo que los ayos infaojos y po ello su longitud de onda es eno que la de los citados ayos. b) Vedadeo. c De la definición de índice de efacción n, coo siepe es c >, el índice de efacción de cualquie sustancia es ayo que la unidad. c) Vedadeo. La luz es una onda electoagnética en la que las oscilaciones de los capos elécticos y agnéticos lo hacen en fase. d) Falso. En las intefeencias luinosas no se destuye la enegía luinosa, se edistibuye.. El capo eléctico de una onda electoagnética tiene una aplitud E N/C. La aplitud del capo agnético es: a) 0-6 ; b) 8 0 ; c) ; d). La solución coecta es la a) La elación ente las aplitudes de los dos capos es: 600 N/C - E0 c B0 B /s 6 4. Una ayo de luz se desplaza po el diaante con una elocidad de,4 0 8 /s. El índice de efacción del diaante es: a) 0,4; b),4; c) 4,84; d),. La solución coecta es la b). 8 c 0 / s Aplicando la definición de índice de efacción: n, 4 8,4 0 / s 5. Un ayo de luz cuya longitud de onda en el aie es de 600 n peneta en un idio de índice de efacción,5. La longitud de onda de la luz en este edio es: a) 600 n; b) 900 n; c) 400 n; d) 500 n. La solución coecta es la c). Aplicando la definición de índice de efacción de un edio especto del acío, se tiene: c λ acío ν λ acío λ acío 600n nidio λ idio 400 n λ ν λ n,5 idio idio idio idio 6. Un ayo de luz que se popaga po el aie incide con un ángulo de 60º en la supeficie del agua de índice de efacción,. El ángulo de efacción es: a) 0,º; b) 40,6º; c) 60º; d) 80,6º. 9

140 Soluciones unidad 9: La luz y sus popiedades º Bachilleato 008 La solución coecta es la b). Aplicando la ley de Snell: n aie sen i n agua sen ; sen 60º, sen 40,6º 7. Un edio tiene un índice de efacción de,46. El ángulo de incidencia a pati del cual se poduce el fenóeno de la eflexión total al pasa la luz de ese edio al aie es: a) 4º; b) 48º; c) º; d) 0º. La solución coecta es la a) Aplicando la ley de Snell, esulta que: n diaante sen i liite n aie Α sen 90º naie Despejando: sen ilíite i líite 4º n,46 diaante 8. Copleta la fase: La dispesión es la de la luz incidente, al pasa po un edio ateial, en las caacteizadas po su espectia. La dispesión es la sepaación de la luz incidente, al pasa po un edio ateial, en las distintas luces eleentales caacteizadas po su espectia longitud de onda. 9. Justifica si son edadeas o falsas las siguientes cuestiones: a) Las ondas electoagnéticas son ondas longitudinales. b) El fenóeno de la eflexión total se poduce al pasa la luz del agua al aie. c) Al pasa la luz blanca po un pisa la luz que ás s e desía es la ioleta. d) El ayo luinoso es tangente al fente de ondas. a) Falso. Lan ondas electoagnéticas son ondas tansesales. b) Vedadeo. Paa que se poduzca el fenóeno de la eflexión total la luz debe pasa de un edio de ayo índice de efacción a oto de eno índice de efacción. c) Vedadeo. Al pasa la luz blanca po un pisa la luz que ás se desía es la ioleta, ya que la elocidad de popagación de la luz ioleta es eno que la de la luz oja. d) Falso. Un ayo luinoso es una línea iaginaia pependicula a los fentes de onda, e indica la diección de popagación de la luz. 0. Un ayo de luz se popaga po el aie e incide con un ángulo de 50º con la diección noal a la supeficie de un idio. Si el índice de efacción en el idio es,. El ángulo que foan el ayo eflejado y el efactado es: a) 80º; b) 50º; c) 90º; d) 94º. La solución coecta es la d) El ángulo de eflexión es de 50º y el de efacción se calcula aplicando la ley de Snell. n aie sen i n idio sen ; sen 50º, sen 6º i i aie idio Si φ es el ángulo pedido, de la figua adjunta se deduce que: i + φ + 80º φ 80º 50º - 6º 94º 40

141 Unidad didáctica 0 Óptica geoética

142 Soluciones unidad 0: Óptica geoética º Bachilleato 008 SOLUCIONES UNIDAD 0. ÓPICA GEOMÉRICA CUESIONES INICIALES. Una gan pate de la infoación que ecibios del undo exteio la pecibios po edio del sentido de la ista. )Puedes da una explicación del ecaniso que tiene luga en el acto de e un objeto iluinado? Un objeto iluinado efleja pate de la luz que le llega, diigiéndola en todas diecciones. El ojo se copota coo una lente conegente, que concenta y diige la luz que ecibe del objeto hacia la etina. El neio óptico enía las señales luinosas desde la etina hasta el ceebo, donde se intepeta la infoación ecibida y se copleta el ecaniso de la isión.. )Po qué un lápiz suegido pacialente en un aso con agua paece esta doblado? FIGURA pág 4 guía anteio El lápiz paece quebado debido al fenóeno de la efacción. Los ayos luinosos que pasan del agua al aie se alejan de la ecta noal y sus polongaciones se cotan en un punto po encia de la posición del objeto. Así se foa una iagen que hace paece que disinuye la sensación de pofundidad y el lápiz está apaenteente quebado.. )Qué difeencias, apate de su taaño, hay ente el espejo colocados en los cuatos de baño de las iiendas y los que se sitúan a la salida de los gaajes con poca isibilidad? FIGURA pág 5 guía anteio En los cuatos de baño se colocan espejos planos y a la salida de los gaajes se sitúan espejos conexos. Ello se debe a que los espejos conexos aplían el capo de isión. Abos popocionan iágenes ituales de los objetos, peo ientas que en los espejos planos, las iágenes son del iso taaño que el objeto en los espejos conexos son siepe ás pequeñas que el objeto. ACIVIDADES FINALES. Deduce si la pofundidad apaente de un ío es ayo, eno o igual a su pofundidad eal, sabiendo que el índice de efacción del agua es ayo que el del aie. FUGURA pag 8 libo anteio Física º Coo el índice de efacción del agua es ayo que el del aie, los ayos que poceden de un objeto suegido se alejan de la noal y el obseado apecia una iagen itual situada a una pofundidad apaente, s, eno que la pofundidad eal, s. En efecto, aplicando la ecuación del dioptio plano : n n n s s s s n Paa el caso de un objeto isto desde el aie: n n agua y n n aie, po tanto: pofundidad apaente pofundidad eal naie n Coo n aie < n agua, entonces la pofundidad apaente es eno que la eal. agua 4

143 Soluciones unidad 0: Óptica geoética º Bachilleato 008. Un buzo obsea un aión que uela a una altua de 400 sobe la supeficie del agua. Si el índice de efacción del agua es 4/, justifica si la altua apaente a la pesona e al aión sobe la supeficie del agua es ayo, eno o igual a los 400. Constuye el coespondiente diagaa de ayos que justifique la conclusión. FIGURA pag 8 libo anteio Los ayos luinosos que acceden desde el aie al agua se desían de su tayectoia y se acecan a la ecta noal. Coo consecuencia de ello, un obseado colocado dento del agua apecia una iagen itual del objeto situada a una altua ayo que la altua eal. Al aplica paa el buzo la ecuación del dioptio plano, esulta que los datos son: s 400 c; n n aie y n n agua El buzo pecibe una iagen itual del aión situada a una distancia po encia de la supeficie del agua de: n s n 4 / s 400 c 5 s. Las distancias focal objeto de un dioptio esféico es f 0 c y la distancia focal iagen f 40 c. Calcula el adio de cuatua del dioptio es indica si es cóncao o conexo. Deteina la posición de un objeto que está situado a 0 c del étice del dioptio. Aplicando la elación ente el adio y las distancias focales: f + f - 0 c + 40 c + 0 c Po lo que el dioptio es cóncao. Aplicando la ecuación de Gauss paa un dioptio y coo s - 0 c, esulta que: f' f 40c 0c + ; + s - 40 c s' s s' 0c La iagen se foa delante del dioptio. 4. Un dioptio esféico cóncao tiene un adio de cuatua de 0 c y sepaa dos edios de índices de efacción n y n 4/. Calcula las distancias focales del dioptio. Qué elación hay ente las distancias focales del dioptio y su adio de cuatua? Coo el dioptio es cóncao: - 0 c La ecuación fundaental de un dioptio es: n n n - - s s n Las distancias focales objeto, f, e iagen, f, son: 4 ( 0c) n ( 0c) n' f 0c ; f' 40c n' n 4 n' n 4 La sua de las distancias focales es igual al adio del dioptio. f + f 0 c + (- 40 c) - 0 c 5. Una ailla cilíndica de idio, de índice de efacción,5, está liitada po una supefice conexa de c de adio. Un objeto de de altua se coloca pependiculaente al eje de la ailla y a una distancia de 0 c, a la izquieda de ella. Calcula la posición y el taaño de 4

144 Soluciones unidad 0: Óptica geoética º Bachilleato 008 la iagen cuando la ailla se encuenta en el aie. En un dioptio conexo + c y las distancias s - 0 c e y. Adeás los índices de efacción son: n y n,5. Aplicando la ecuación fundaental del dioptio esféico: n' n n' n,5,5 ; s 0 c s' s s' 0c c Iagen situada a la deecha del dioptio y es una iagen es eal. Aplicando la elación del auento lateal: y' n s' y' 0 c β' ; y - c y n' s,5 ( 0c) El signo enos indica que la iagen está inetida especto del objeto. 6. Una oneda, de c de diáeto, está situada en el inteio de una bola de cistal aciza de 5 c de adio y cuyo índice de efacción es: n idio,5. Si la oneda está situada a 0 c de la supeficie de bola, calcula la posición de la iagen. La iagen que se obsea, seá ás gande, ás pequeña o de igual taaño que el objeto? Coo la luz se popaga de izquieda a deecha, de la figua se deduce que la supeficie de la esfea en un dioptio cóncao, - 5 c y que pie edio es el idio n,5 y que el segundo edio es el aie n. Los ayos luinosos al pasa del idio al aie se alejan de la ecta noal, po lo que diegen y sus polongaciones se cotan dento del la esfea y po tanto la iagen es itual y ás pequeña que el objeto. Aplicando la ecuación del dioptio esféico, con s - 0 c, esulta que: n' n n' n,5,5 ; s - 8,57 c s' s s' 0c 5c Iagen situada a la izquieda del dioptio y es una iagen itual. n n s Aplicando la elación del auento lateal: La iagen es ás pequeña y está diecta. β' y' y n s' ; n' s y',5 ( 8,57 c) y,9 c c ( 0c) 7. Si se desea obsea la iagen apliada de un objeto, qué tipo de espejo hay que utiliza? Explica con un esquea las caacteísticas de la iagen foada. FIGURA en pág libo anteio El único espejo con el que se puede obsea la iagen apliada de un objeto es con un espejo cóncao. Paa ello hay que situa el objeto ente el foco y el espejo y la iagen foada es itual, diecta y de ayo taaño que el objeto. 8. Un objeto de 5 c de altua está situado a 75 c de un espejo cóncao de de adio. Calcula la posición y el taaño de la iagen. Dibuja la tayectoia de los ayos. FIGURA en pag libo anteio Aplicando la ecuación fundaental de los espejos esféicos y coo - 00 c, s - 75 c, esulta que: 44

145 Soluciones unidad 0: Óptica geoética º Bachilleato 008 s + s s c - 00 c Aplicando la elación del auento lateal:,, s - 50 c y s y' 50c β - ; y - 0 c y s 5 c 75c Coo la distancia focal es f - 50 c, el objeto está situado ente el cento de cuatua y el foco y la iagen es eal, ás gande que el objeto y está inetida. 9. Un objeto de 5 c de altua está situado a 5 c de un espejo cóncao de de adio. Calcula la posición y el taaño de la iagen. Dibuja la tayectoia de los ayos. FIGURA la isa que la de la actiidad 7. Aplicando la ecuación fundaental de los espejos esféicos y coo - 00 c, s - 5 c, esulta que: + + s + 50 c s s s - 5 c - 00 c Aplicando la elación del auento lateal:,, y y' 50c β - s ; y + 0 c y s 5 c 5c Coo la distancia focal es f - 50 c, el objeto está situado ente el foco y el espejo y la iagen es itual, diecta y es ás gande que el objeto. 0. Un espejo esféico foa una iagen itual, deecha y de taaño doble que el del objeto cuando está situado eticalente sobe el eje óptico y a 0 c del espejo. Calcula la posición de la iagen y el adio de cuatua del espejo. Dibuja las tayectoias de los ayos. FIGURA la isa que la de la actiidad 9. Aplicando la elación del auento lateal y coo s - 0 c e y y, esulta que:,,, y - s y β ; - s s s - (- 0 c) 0 c y s y s La iagen está situada a la deecha del espejo. Aplicando la ecuación fundaental de los espejos esféicos se tiene que: + ; c s s 0c 0c Es un espejo cóncao. La distancia focal es: f; - 40 c f f - 0 c. El objeto está situado ente el foco y el espejo y po ello popociona una iagen itual, diecta y ás gande que el objeto.. En los alacenes utilizan espejos conexos, paa consegui un aplio agen de obseación y igilancia con un espejo de taaño azonable. Uno de los espejos, que tiene un adio de cuatua de,, peite al dependiente, situado a 5 del iso, inspecciona el local enteo. Si un cliente está a 0 del espejo, a qué distancia de la supeficie del espejo 45

146 Soluciones unidad 0: Óptica geoética º Bachilleato 008 está su iagen? Está detás o delante del espejo? Si el cliente ide, qué altua tendá su iagen? FIGURA pag libo anteio Paa cualquie posición de un objeto los espejos conexos popocionan iágenes ituales, situadas detás del espejo, diectas y ás pequeñas que el objeto. Aplicando la ecuación fundaental de los espejos esféicos, coo +, y s - 0, esulta que: + ; + Ψ s 0,57 c s s s - 0, Es una iagen itual, foada a la deecha del espejo conexo. y y' 0,57 Aplicando la elación del auento lateal: β - s ; y 0,4 y s 0 Iagen diecta y ás pequeña que el objeto.,. Qué tipo de lente utiliza un poyecto de diapositias? Dónde y coo hay que coloca la diapositia? Repesenta en un diagaa la tayectoia de los ayos luinosos. FIGURA pág 6 libo anteio El poyecto de diapositias se constuye con una lente conegente. La diapositia hay que colocala a una distancia de la lente ente dos eces la distancia focal y el foco objeto. Cuanto ás ceca esté el objeto de la lente, ás gande es la iagen y ás lejos hay que coloca la pantalla. Coo la iagen foada está inetida especto del objeto, la diapositia ha que colocala inetida paa que la iagen apaezca diecta.. Una lupa se eplea paa obsea con detalle objetos de pequeño taaño. Explica su funcionaiento óptico indicando el tipo de lente, la colocación del objeto y el tipo de iagen que se foa. Dibuja un tazado de los ayos que explique el poceso de la foación de la iagen. FIGURA pág 0 libo anteio La lupa es una lente conegente que peite obsea a los objetos con un taaño ayo que su taaño natual. Al utiliza la lupa se sitúa el objeto ente el foco objeto y la lente, paa que se foe una iagen itual, ás gande que el objeto y diecta. 4. Calcula la potencia de una lente conegente sabiendo que no se foa ninguna iagen cuando se coloca un objeto a 0 c de la lente. Dibuja la tayectoia de los ayos., Al no obsease ninguna iagen significa que el objeto está colocado en el foco objeto de la lente. Coo la lente es conegente, su distancia focal iagen es: f + 0 c. F F 46

147 Soluciones unidad 0: Óptica geoética º Bachilleato 008 Aplicando la definición de potencia: P 5 dioptías f' 0,0 5. Un objeto de c de alto se coloca a 75 c de una lente conegente de 5 de distancia focal. Calcula la posición y el taaño de la iagen. Constuye un diagaa con la tayectoia de los ayos. FIGURA en pág 6 libo anteio Aplicando la ecuación fundaental de las lentes y coo f + 5 c, y c y s - 75 c, esulta que: s - ; s f' s c 5 c s + 7,5 c Aplicando la ecuación del auento lateal de una lente, se tiene que: y s y 7,5 c β ; Ψ y -,5 c y s c - 75 c El objeto está colocado ás allá de dos eces la distancia focal y la iagen es eal, se puede poyecta en una pantalla, está inetida, es de eno taaño que el objeto. 6. Un objeto se coloca a 0 c de una lente conegente de 5 dioptías. Calcula la posición de la iagen y el auento lateal. Dibuja la tayectoia de los ayos luinosos. FIGURA en pág 6 libo anteio Coo la lente es conegente, la distancia focal iagen es: P ; 5 dioptías f 0, 0 c f' f' Aplicando la ecuación fundaental de las lentes y coo f + 0 c y s - 0 c, esulta que: - ; - s - 0 c s s f' s - 0 c 0 Aplicando la ecuación del auento lateal de una lente, se tiene que: y s y 0 c β ; y s y - 0 c c El objeto está colocado ente la distancia focal y la lente. La lente actúa coo una lupa y la iagen es itual, diecta y ás gande que el objeto. 7. Mediante una lente delgada de distancia focal f 0 c se quiee obtene una iagen de taaño doble que el objeto. Calcula la posición del objeto en el caso de que la iagen se pueda poyecta en una pantalla. Copueba gáficaente los esultados ediante el tazado de ayos. FIGURA en pág 6 libo anteio Aplicando la ecuación del auento lateal de una lente, y coo las iágenes eales popocionadas po las lentes conegentes siepe están inetidas especto del objeto, se tiene que: 47

148 Soluciones unidad 0: Óptica geoética º Bachilleato 008 y s y s' β ; s - s y s y s Aplicando la ecuación fundaental de las lentes y coo f + 0 c esulta que: - ; - s - 5 c s s 0 c s s f' El objeto está colocado a 5 c de la lente, a otad de caino ente la distancia focal y dos eces la distancia focal. 8. Un objeto luinoso está situado a una distancia de 4 de una pantalla. Ente el objeto y la pantalla se coloca una lente esféica delgada, de distancia focal desconocida, que popociona una iagen nítida de taaño tes eces ayo que el del objeto. Deteina la natualeza de la lente y su posición especto del objeto y de la pantalla. Calcula la distancia focal de la lente, su potencia óptica y efectúa la constucción geoética de la iagen. Si la iagen es eal, se poyecta en una pantalla, la lente tiene que se conegente con el objeto situado en ente dos eces la distancia focal y la distancia focal. y F La distancia ente el objeto y la pantalla es igual a la sua de la distancia objeto, de signo negatio, y la distancia iagen. Adeás la iagen está inetida especto del objeto. - s + s' 4 - s + s' 4 y' s' ; ; - 4 s 4 y s s' s La posición del objeto es: s - Y la de la iagen es: s 4 + s 4 + (- ) s f s y El objeto está a a la izquieda de la lente y la pantalla a a la deecha de la lente. Aplicando la ecuación de las lentes delgadas, esulta que la distancia focal de la lente es: ; f s' s f' f' Y la potencia óptica: P f' 4 4 dioptías 9. Un sistea óptico está foado po dos lentes conegentes idénticas, de distancia focal f 0 c y sepaadas po una distancia de 40 c. Si a 0 c de la piea lente se coloca un objeto de c de altua, calcula la posición y el taaño de la iagen foada po el sistea de lentes. Constuye el coespondiente diagaa de ayos que justifique la espuesta. El objeto está situado a dos eces la distancia focal, 0 c, de la piea lente, po lo que se foa una iagen eal, inetida, del iso taaño que el objeto y situada a f 0 c de esta piea lente. F f F f F F f Lente Lente 48

149 Soluciones unidad 0: Óptica geoética º Bachilleato 008 Esta iagen hace de objeto de la segunda lente, situado a una distancia de ella igual a dos eces su distancia focal, 0 c, la iagen que se foa es eal y situada a una distancia de f 0 c de esta segunda lente. Po tanto el efecto de las dos lentes es popociona una iagen eal, diecta y del iso taaño que el objeto. 0. Una lente de 5 dioptías de potencia está constuida con un idio de índice de efacción iguala,5. Si una de las caas tiene un adio de cuatua de 0 c, calcula el adio de cuatua de la ota caa y dibuja la foa de la lente. La lente es una lente conegente ya que su potencia es positia. Suponiendo que el adio de la piea caa es + 0,0 y aplicando la ecuación del constucto de lentes, esulta que: P (n - ) f Luego la lente es plano conexa. - ; 5 dioptías (,5 ) 0,0 0. Una lente conegente está liitada po dos caas con adios de cuatua iguales y tiene una distancia focal de 50 c. Con la lente se poyecta sobe una pantalla la iagen de un objeto de taaño 5 c. Calcula la distancia de la pantalla a la lente paa que la iagen tenga un taaño de 40 c y deteina el adio de cuatua de las caas. FIGURA en pág 6 libo anteio Paa que una lente conegente poduzca una iagen eal y ayo que el objeto, este hay que colocalo a una distancia ente dos eces la distancia focal y el foco objeto de la lente. Aplicando la ecuación del auento lateal y coo la iagen está inetida, esulta que: y s 40cy s' β ; Ψ s - 8 s y s 5 c s Aplicando la ecuación fundaental de las lentes y coo f + 50 c, esulta que: - ; - s - 56,5 8 s s 50 c s s f' Aplicando la ecuación del fabicante de lentes, y coo los adios son iguales y de signo contaio, se tiene: P + dioptías f 0,5 P (n - ) - ; dioptías (,5 ) ; dioptía 0,5 0,5 50 c f. Un objeto de de altua se coloca a 50 c de una lente de 6 dioptías de potencia óptica. Calcula la posición y el taaño de la iagen. Constuye un diagaa con la tayectoia de los ayos luinosos. 49

150 Soluciones unidad 0: Óptica geoética º Bachilleato 008 FIGURA en pag 6 del libo anteio La lente es diegente y su distancia focal iagen es: P ; 6 dioptía f' f f' 6 La posición de la iagen se deteina aplicando la ecuación fundaental de las lentes, teniendo en cuenta que s - 0, ; - s - 0,5 s - 0,5 s s f Aplicando la ecuación del auento lateal de una lente, se tiene que: y s y - 0,5 β ; Ψ y 0,75 y s - 0,5 La iagen es itual, diecta, de eno taaño que el objeto y está situada a la izquieda de la lente.. Un coleccionista de sellos desea utiliza una lupa de distancia focal 5 c paa obsea un ejepla. Calcula la distancia a la que debe coloca los sellos especto de la lente paa obtene una iagen itual diez eces ayo que el oiginal. Una lente conegente actúa coo lupa cuando el objeto se coloca a una distancia de la lente eno que su distancia focal. Aplicando la ecuación del auento lateal de las lentes, se tiene la elación ente las distancias a las que están colocados el objeto y su iagen. y' s' 0 y s' β ' ; s 0 s y s y s Aplicando la ecuación fundaental de las lentes delgadas esulta que: ; s' s f' 0 s s 5c Despejando, el objeto hay que colocalo a una distancia de: s - 4,5 c de la lente 4. Un objeto de c de taaño se coloca a 80 c de una lente diegente. Si la iagen se foa a 40 c de la lente, calcula su potencia y el taaño del objeto. Constuye con diagaa con la tayectoia de los ayos luinosos. FIGURA la isa que la de la actiidad Paa cualquie posición del objeto una lente diegente foa una iagen itual del iso, luego está situada a la izquieda de la lente. Aplicando la ecuación fundaental de las lentes y coo: s - 80 c y s - 40 c, esulta que - ; - f - 80 c - 0,8 s s f 40c - 80 c f' Su potencia es: P -,5 dioptías f - 0,8 Aplicando la ecuación del auento lateal de una lente, se tiene que: y s y - 40 c β ; Ψ y,5 c y s c - 80 c La iagen es itual, diecta, de eno taaño que el objeto. 50

151 Soluciones unidad 0: Óptica geoética º Bachilleato Una lente bicóncaa, constuida con un idio de índice de efacción igual a,8, está liitada po dos supeficies esféicas de adios 0 c y 40 c. Si la lente está colocada en el aie calcula su potencia óptica. Aplicando la ecuación del constucto de lentes y coo - 0 c y +40 c, se tiene que su potencia óptica es: P (n - ) - ; P (,8 ) f La lente es diegente. 0, 6 dioptías 0,4 6. Cuál es la potencia óptica y la distancia focal iagen del sistea óptico foado po una lente conegente, de dioptías de potencia optica, puesta en contacto con una lente diegente de 6 dioptías de potencia óptica. La potencia óptica de ópticas de aias lentes puestas en contacto unas con otas es igual a la sua de las espectias potencias. P conjunto P + P dioptías + (- 6 dioptías) - 4 dioptías La distancia focal iagen es el ineso de la potencia óptica. f' 0,5 P 4 dioptias 7. El ojo noal se aseeja a un sistea óptico foado po una lente conegente, el cistalino, de + 5 de distancia focal. La iagen de un objeto lejano, situado en el infinito, se foa en la etina, que se considea coo una pantalla pependicula al eje óptico. Calcula la distancia ente la etina y el cistalino y la altua de la iagen de un ábol de 6 de altua, que está a 00 del ojo. Una lente conegente foa la iagen de un objeto lejano en el plano focal iagen, po lo que paa objetos lejanos la distancia ente el cistalino y la etina es igual a la distancia focal iagen, es deci: 5. Paa una lente conegente se tiene que su auento lateal es: y s s' 5 β y' y 6,4 y s s 00 La iagen está inetida. 8. Uno de los defectos ás counes del ojo es la iopía. Explica en qué consiste este defecto e indica con qué tipo de lentes se coige. Si un ojo iope es incapaz de e nítidaente objetos situados a ás de 0,5 de distancia (punto eoto), cuántas dioptías tiene? El ojo de una pesona iope tiene excesia conegencia y enfoca la luz pocedente de los objetos lejanos delante de la etina. Los objetos lejanos se en boosos y se coige con lentes diegentes. Paa coegi el defecto, las lentes que utilizaá esa pesona deben se tales que las iágenes de los objetos situados uy lejos, s +, se foen en el punto eoto del ojo, s - 0,5. - ; - Ψ f - 0,5 s s f - 0,5 - f La pesona utilizaá unas lentes diegentes con una potencia de: P - dioptías f - 0,5 5

152 Soluciones unidad 0: Óptica geoética º Bachilleato 008 INVESIGA. Po qué los telescopios actuales son de eflexión? Repesenta la acha de los ayos en estos. En los telescopios de efacción la luz debe ataesa la lente objetio, que se debe puli pefectaente en abas caas sin ipefecciones que afecten a la posteio iagen. Coo el índice de efacción del idio es distinto paa cada colo, esto genea un defecto conocido coo abeación coática y que se econoce coo un aco iis alededo del objeto obseado. Los telescopios de efacción son ás pesados y oluinosos que los de eflexión y a pati de los 80 de diáeto su costo es sensibleente ayo al de un telescopio eflecto de iguales diensiones. En los telescopios de eflexión la luz no debe ataesa el idio sino solaente eflejase en su supeficie. Po lo tanto no se equiee un idio especial y la única condición que debe euni es la de se estable a los cabios de la tepeatua abiental a los que se e soetido. El espejo a su ez equiee del tallado y pulido de una sola supeficie cua.. Po qué la isla de la Pala es un luga piilegiado paa la obseación del cielo? En el Obseatoio del Roque de los Muchachos, al bode del Paque Nacional de la Caldea de abuiente, a.96. de altitud, en la isla de La Pala, se encuenta una de las bateías de telescopios ás copleta del undo. Su ubicación geogáfica, en edio del Atlántico, y el peculia clia poocan la foación de nubes ente los 000 y 000 de altua, que hacen de espejo e ipiden que la containación luinosa de las poblaciones de la costa dificulte la obseación de las estellas. Po encia de esa altua la atósfea es uy estable y sin nubes.. Cuáles son las caacteísticas del apaato y de la óbita del telescopio espacial Hubble? El telescopio espacial Hubble obita alededo de la iea a 59 k sobe el niel del a, con un peiodo obital de 97 in y se puso en óbita en 990. El elescopio Espacial Hubble ha sido uno de los poyectos que, sin duda, ás han contibuido al descubiiento espacial y gan pate del conociiento científico que se dispone del espacio inteestela se debe a él. Peso 69 toneladas, es de foa cilíndica y tiene una longitud de, y un diáeto de 4,. Es un telescopio eflecto, cuyo espejo pincipal tiene un diáeto de,4. Desde su lanzaiento ha ecibido aias isitas del tasbodado espacial paa que los astonautas coigiean diesos eoes de funcionaiento e instalale equipos adicionales. ES DE EVALUACIÓN. Copleta la fase: Los espejos planos poducen iágenes, situadas, de taaño al del objeto y de diección. 5

153 Soluciones unidad 0: Óptica geoética º Bachilleato 008 Los espejos planos poducen iágenes ituales, situadas a la isa distancia del espejo que el objeto, de taaño igual al del objeto y de la isa diección.. Justifica si las siguientes cuestiones son edadeas o falsas: a) La iagen foada en un espejo conexo es siepe itual. b) En un dioptio la sua de las distancias focales es igual al adio del dioptio. c) Una lupa es una lente diegente. d) Una lente conegente tiene una potencia negatia. a) Vedadeo. Los espejos conexos foan iágenes ituales paa cualquie posición de los objetos. b) Vedadeo. En un dioptio siepe f + f. c) Falso. Una lupa es una lente conegente, que actúa coo tal cuando el objeto se coloca ente el foco objeto y la lente. d) Falso. Una lente conegente tiene distancia focal iagen positia y po ello su potencia es tabién de signo positio.. Una ailla de idio, de índice de efacción,5, tiene su exteo en foa de dioptio conexo de c de adio. Su distancia focal iagen es: a) 6 c; b) 6 c; c) c; d) c. La solución coecta es la a) Aplicando la ecuación geneal de un dioptio cuando el objeto está uy lejos: s - y + c, esulta que: n n n - n n,5 c - f 6c f - n - n,5 4. Una pesona está situada en la oilla de un estanque de,5 de pofundidad. Si el índice de efacción del agua es 4/, la pofundidad apaente del estanque es: a) ; b),5 ; c),5 ; d) 0,75. FIGURA en la pag 8 del libo anteio La solución coecta es la b). Al aplica la pesona la ecuación del dioptio plano, se tienen los datos: s,5 ; n n agua 4/; n n aie La pesona pecibe una iagen itual del fondo a una pofundidad de: n ' n s ',5,5 s' s 4 / 5. Una lente tiene una potencia de 5 dioptias. Si un objeto se coloca a 0 c de la lente, la posición de la iagen está situada en: a) 0 c; b) 0 c; c) 0 c; d) 50 c. La solución coecta es la c). 5

154 Soluciones unidad 0: Óptica geoética º Bachilleato 008 Aplicando la ecuación fundaental de las lentes y coo: s - 0,0 c y P + 5, esulta que: 5 - ; - s - 0, - 0 c s s f' s - 0, 6. Un objeto se coloca a 5 c de un espejo cóncao de 0 c de adio de cuatua. La iagen foada está situada a una distancia del espejo de: a) 0 c; b) 5 c; c) 7,5 c; d) 7,5 c. La solución coecta es la c) Aplicando la ecuación fundaental de los espejos esféicos y coo s - 5 c y - 0 c, esulta: + + s - 7,5 c s s s - 5 c - 0 c 7. Un objeto de c de altua se coloca a una distancia de 0 c de una lente. Si la iagen se foa a 60 c a la deecha de la lente, el taaño del objeto es: a) c; b) c; c) 4 c; d) - 4 c. La solución coecta es la d) Aplicando la ecuación del auento lateal de una lente, donde: y + c; s - 0 c y s + 60 c, se tiene que: y s y 60 c β ; Ψ y - 4 c y s c - 0 c 8. Copleta la fase: Los espejos esféicos tienen foco, situado del segento que une el cento geoético y el cento de cuatua y po ello la distancia focal iagen es que la distancia focal objeto. Los espejos esféicos tienen un solo foco, situado en el punto edio del segento que une el cento geoético y el cento de cuatua y po ello la distancia focal iagen es igual que la distancia focal objeto. 9. Justifica si son edadeas o falsas las siguientes cuestiones: a) En un dioptio cóncao se considea > 0. b) La iagen foada po una lente diegente es siepe itual. c) El foco iagen de una lente diegente está colocado a la deecha de la lente. d) Las iágenes foadas po un espejo cóncao son siepe iágenes eales. a) Falso. En un dioptio cóncao el cento de cuatua está a la izquieda de la supeficie y po ello su adio tiene el signo negatio. b) Vedadeo. Las lentes diegentes foan iágenes ituales paa cualquie posición de los objetos. c) Falso. Los ayos paalelos al eje pincipal diegen después de ataesa una lente diegente y po ello sus polongaciones se eúnen a la izquieda de la lente en el foco iagen. d) Falso Un espejo cóncao foa iágenes ituales cuando los objetos se colocan ente su foco y el f' 54

155 Soluciones unidad 0: Óptica geoética º Bachilleato 008 espejo. 0. Un objeto se sitúa a 0 c de una lente diegente de 0 c de distancia focal. La distancia desde la lente a la iagen foada es: a) -50 c; b) c; c) 0 c; d) c. La solución coecta es la d). Aplicando la ecuación fundaental de las lentes, teniendo en cuenta que s - 0 c y que coo la lente es diegente f - 0 c, esulta que: - ; - s - c s s f s - 0 c - 0 c 55

156 Unidad didáctica La física del siglo XX

157 SOLUCIONARIO DEL LIBRO DE FÍSICA DE DE BACHILLERAO Unidad didáctica : La Física del siglo XX Cuestiones iniciales. Hay alguna difeencia ente obseaciones y postulados? Sí, pues son conceptos difeentes. Una obseación es una copobación eal o expeiental de un hecho o un fenóeno físico que se tata de estudia o analiza. Un postulado es una suposición dento de un aco teóico que se utiliza paa explica po qué sucede el hecho que se está obseando.. Una pesona que está en un globo aeostático, e que oto globo está subiendo, )puede esta segua de que ealente es el oto globo el que asciende? No, pues la isa sensación pecibe el obseado cuando su globo está en eposo y el oto asciende, que si su globo está bajando y el oto está en eposo.. Coenta la siguiente fase de Wene Heisenbeg, uno de los físicos ás ipotantes de la Física cuántica: Cabe deci que el pogeso de la ciencia sólo exige de los que en ella coopean el aditi y el elaboa nueos contenidos intelectuales. Cuando se pisa un teeno ealente nueo, puede sucede que no solaente haya que acepta nueos contenidos, sino que sea peciso, adeás, cabia la estuctua de nuesto pensa, si se quiee copende lo nueo. La fase debe conduci a la eflexión que ante nueos hechos no explicables po el odelo teóico ipeante, hay que abi el undo del pensaiento a nueas fonteas, que es lo que ocuió duante la apaición de la Física cuántica. INVESIGA. Pon un título altenatio a la lectua anteio y explica el significado de los téinos: deteiniso, causa y aza y explica po qué no se pueden aplica las leyes de la Física Clásica al undo icoscópico. Se pueden pone títulos coo: el fin de la Física Clásica, se teinó el pincipio de deteiniso y el de causalidad o ha nacido una nuea Física. Las leyes clásicas de la Física a taés de sus expesiones ateáticas peiten pedeci el copotaiento de un sistea en un tiepo posteio en función de los datos peios y esto es lo que se entiende po pincipio de deteiniso. 57

158 Adeás en la Física clásica está pefectaente caacteizado que la eolución o el copotaiento de un sistea se debe a una causa, que es explicada po la teoía física adecuada. En la Física Cuántica el aza sie paa caacteiza el copotaiento aleatoio de un sistea y se usa la pobabilidad paa pedeci el copotaiento estadístico del iso. No se puede aplica las leyes de la Física Clásica al undo icoscópico poque en él igen las leyes de la Física Cuántica, y, adeás, no se deben utiliza ejeplos de la ida acoscópica, coo pelotas de tenis, etc, paa explica el copotaiento de los sisteas icoscópicos.. Las dos pintuas ostadas epesentan dos tipos de paisajes (Constable es el auto del que apaece a la izquieda; Monet, del de la deecha), obséalos y elaciona esta eolución del paisaje en el ate con la eolución de las teoías físicas. El paisaje de John Constable es un paisaje tadicional ealista, aunque no busca el ealiso exacto en la epesentación de las cosas, sino la capacidad que tienen las cosas paa eoca ideas o eociones. Se peocupa po los efectos abientales de la luz sobe la natualeza, con nubes inestables en los que el aspecto cabia de un oento a oto. Constable afió: La foa de un objeto es indifeente; la luz, la soba y la pespectia siepe lo haán heoso. La pintua de Monet, unas ninfeas, en botánica es el nobe científico de los nenúfaes, las cultió en el jadín acuático que acondicionó en 89 en su popiedad de Gieny. Eacuando el hoizonte y el cielo, Monet concenta el punto de ista en una pequeña zona del estanque, pecibida coo una pate de la natualeza, casi en plano de ceca. Ningún punto detiene la atención ás que oto, y la ipesión doinante es aquella de una supeficie infoe. El foato intensifica esta neutalidad de la coposición donde la ausencia de punto de efeencia popociona al fagento las calidades del infinito, de lo iliitado. Si se ia el lienzo de ceca, se tiene la ipesión de una total abstacción, tanto los tazos de pintua depositada po la bocha supean la identificación de las plantas o de sus eflejos. El espectado debe ealiza un esfuezo óptico y ceebal constante paa econstitui el paisaje eocado. El inacabado de los bodes dejados sin pinta, acentúa esta insistencia sobe la pintua coo supeficie cubieta de coloes, y es una de las obas aestas de los paisajes abstactos. Po tanto la isión de los dos cuados sie coo otio paa el paso del estudio de lo gande o aco (el paisaje de Constable) a lo pequeño, lo nenúfaes de Monet, a lo ico, adeás de que en Monete se obsea la falta de un punto de efeencia, no así en el pasaje de Constable.. Consulta una heeoteca o en el buscado y da una explicación de si una ez constuidos los pilaes de la Física Cuántica en el pie tecio del siglo XX, finalizó la contoesia sobe la isa. No. Con objeto de da una estuctua lógica a las nueas ideas y esole el elatio caos en el que se encontaba la Física eóica en la década de 90, Boh intoduce en 9 el pincipio de coespondencia en el que afia que, dado que las leyes de la Física Clásica están plenaente confiadas en los pocesos acoscópicos, postula coo condición necesaia de la nuea Física Cuántica, el que todos los pobleas de la Física Cuántica deben conduci en el líite a los isos esultados que la Física 58

159 Clásica. El pincipio de coespondencia uesta que, paa un eleado núeo de patículas o unos aloes uy gandes de los núeos cuánticos de la Física Cuántica, se obtiene lo peisto po la Física Clásica. Este pincipio supone aditi, po un lado, la existencia de dos nieles en la Física: el icoscópico, foado po el estudio de la ateia a niel atóico o subatóico, y el acoscópico, constituido po los sisteas o los hechos diectaente obseables, y po oto, la conexión en el líite del undo icoscópico con el acoscópico. Po oto lado, la descipción de los sisteas icoscópicos coo onda o copúsculo de acuedo con la hipótesis de De Bogile epesentaba una gan incoodidad intelectual. Po ello, paa Boh, la descipción de un sistea coo onda o copúsculo epesenta sólo un caso líite de "algo" paa lo que no se tiene un odelo clásico, y es peciso utiliza los dos conceptos paa tene una isión geneal del copotaiento de la ateia. De esta foa Boh enuncia en 97 su pincipio de copleentaidad, que tiene una natualeza ás filosófica que física y iene a deci que en la descipción de cietos pocesos en todos los ódenes del conociiento es peciso utiliza a la ez conceptos que son excluyentes peo copleentaios. Boh aplica su pincipio a aquellos fenóenos físicos paa los que esulta iposible euni en una única iagen los esultados de difeentes tipos de expeiencias, coo las que se efieen a las popiedades copusculaes y ondulatoias de la ateia, que deben considease ás bien coo aspectos copleentaios en el sentido de que sólo la totalidad de los esultados suponen la infoación total sobe el sistea estudiado. En octube de 97 se celeba en Buselas el 5 Congeso Solay dedicado al tea electones y fotones y la opinión genealizada es que en él las nueas teoías ecibiían la ealidación definitia. A dicho Congeso asiste Einstein y sopende el que no acepte la intepetación pobabilística de la Física Cuántica, que paa él ea debido a la falta de conociiento. Einstein se dedicó a intenta poba, ediante contaejeplos, que la nuea teoía es inconsistente consigo isa. Peo Boh, Heisenbeg y otos fueon contestando uno a uno todos ellos, efutando las ideas de Einstein. Paa Einstein, el aspecto indeteinado de la eoía Cuántica no ea satisfactoio y pesentía que debía existi algo ás, po se insuficientes los edios de obseación de entonces, y dicha teoía ea pobabilística po se incopleta. Peo paa Boh, la Física Cuántica satisfacía el pincipal citeio de toda teoía, que ea el de peiti pee los esultados de las expeiencias, aún en téinos de pobabilidad, afiando que dicha teoía se tataba de un instuento adecuado de tabajo. Gacias al pestigio de Einstein y a las apaentes paadojas de la aplicación de la Física Cuántica con pincipios tan básicos coo el de causalidad, tuo luga la apaición de una seie de teoías, coo altenatia, que se conocen coo teoías de aiables ocultas, cuya petensión ea que si se pudiesen conoce los aloes de estas aiables exta todo quedaía bien deteinado y no había luga paa incetidubes ni esultados pobabilísticos. A pati de la segunda guea undial el desaollo de la Física Nuclea, con la constucción de gandes aceleadoes de patículas, situó a la Física Cuántica en un segundo plano. Peo en la década de 960, un físico del CERN (Gineba), el ilandés del note John Bell (98-990), popició un cabio adical en esta apeciación, al 59

160 senta las bases de los posibles expeientos físicos de laboatoio que pudiean deshace la contoesia planteada sobe la eacidad o no de las teoías de las aiables ocultas. En la década de 980 la tecnología fue capaz de llea a cabo dichos expeientos y el fancés Alain Aspect (nacido en 947) fue el pieo en copoba que la balanza se decantaba a fao de la Física Cuántica. Coo consecuencia de ello, la década de 990 ha iido el enaciiento de la isa, pasando de se una cuiosidad acadéica a se el oto del desaollo de una nuea eolución científica: la Nanociencia, que cabiaá en el siglo XXI el futuo de nuestas idas. Se adjunta a continuación las siguientes tablas con equialencia de unidades y aloes de constantes físicas paa pode esole los ejecicios siguientes. Diesas unidades pácticas y su equialencia en unidades del S.I. 60

161 Magnitud Unidad Síbolo Equialencia distancia unidad astonóico año-luz pásec U.A. a.l.,5 Α 0 9,5 Α 0 5, Α 0 6 oluen Lito L 0 - asa densidad tonelada unidad de asa atóica gao/centíeto cúbico t u 0 kg,6606α0-7 kg g/c 0 - kgα - fueza kilopondio Kp 9,8 N enegía Kilowatio-hoa electonoltio caloía atósfea Α lito kwh ev cal at Α L,6Α0 6 J,60Α0-9 J 4,84 J,0 Α 0 J potencia caballo de apo CV 7,55Α0 W pesión atósfea ba at ba,0α0 5 Pa 0 5 Pa capo agnético Gauss G 0-4 actiidad adiactia Cuio Ci,7Α0 0 Bq dosis de adiación Rad Rad 0 - Gy dosis efectia Re Re 0 - S Pincipales constantes físicas Magnitud Síbolo Valo en el SI Aceleación de la gaedad en la g o 9,8 Αs - 9,8 NwΑkg - supeficie teeste al niel del a Constante de gaitación uniesal G 6,67Α0 - NΑ Αkg - Constante de Coulob (en el acío) K o 9Α0 9 NΑ ΑC - Peitiidad del acío ε o 8,854Α0 - C ΑN - Α - Peeabilidad del acío μ o 4πΑ0-7 N ΑA - Constante de Planck h 6,66Α0-4 JΑs Velocidad de la luz en el acío c,998α0 8 Αs - Velocidad de popagación del sonido sonido 40 Αs - en el aie a 0 C Caga eléctica eleental e,60α0-9 C Masa del electon e 9,09Α0 - kg 5,49Α0-4 u Masa del poton p,67α0-7 kg,007 u Masa del neuton n,675α0-7 kg,0087 u Facto conesión asa-enegía u 9,5 MeVΑc - Constante de Aogado N A 6,0Α0 patículasαol - Constante de Rydbeg R,097Α0 7 - Constante de Stefan-Boltzann σ 5, J s - - K -4 Radio de la iea R 6,7 0 6 Ceo en la escala Celsius de tepeatua 0 ΕC 7,6 K Actiidades finales 6

162 . Un obseado teeste ide la longitud de una nae espacial que pasa póxia a la iea y que se uee a una elocidad < c, esultando se L. Los astonautas que iajan en la nae le counican po adio que la longitud de su nae es L 0. a) Coinciden abas longitudes? Cuál es ayo? Razona la espuesta. b) Si la nae espacial se oiese a la elocidad de la luz, cuál seía la longitud que ediía el obseado teeste? a) No, pues de las ecuaciones de tansfoación de Loente y utilizando la teinología del enunciado se deduce que: L 0 L y coo < c, entonces L 0 > L c L L b) Si c, esulta que: L 0 L L0 0 0 c c Físicaente es un esultado iposible de dase, lo cual es una pueba de que c es la áxia elocidad que existe y que no se puede alcanza en la páctica po cualquie sistea que no sea la luz popagándose en el acío.. En elación con una nae espacial: a) Cuál debeía se la elocidad de esa nae espacial especto a la iea paa que un obseado situado en la iea ida que su longitud es la itad de lo que ide un obseado situado en la nae espacial? b) Cuál seía la enegía cinética de la nae espacial si su asa en eposo es 5000 kg? a) L L' L L c c L L Coo: L, entonces: L, luego: c 4 c Po tanto: 8 c,59 0 / s 4 b) E C ( 0 ) c donde: Po tanto: 0, luego: c E C 0 ( 0 ) c c ( 5000 kg kg) ( 0 / s) 4,4 0 8 (,59 0 / s) 8 ( 0 / s) E C 0 J 6

163 . Un electón tiene una enegía en eposo de 0,5 MeV. Si el electón se uee con una elocidad de 0,8 c, calcula su asa elatiista, su oento lineal y su enegía total. Datos: caga del electón: e,6 0-9 C; c 0 8 /s. E R 0 c. De esta foa: E R 0,5 MeV 0,5 0 6 ev 0,5 0 6 ev,6 0-9 J/eV 8,6 0-4 J De esta foa: 8,6 0-4 J 0 ( 0 8 /s) 0 9, kg Po tanto: 0 c 9,06 0 kg (0,8 c) c 5, 0 kg El alo nuéico de su oento lineal p iene dado po la expesión: p 5, 0 - kg 0,8 0 8 /s,6 0 - kg /s E c 5, 0 - kg ( 0 8 /s),6 0 - J 4. Con qué apidez debe conetise asa en enegía paa poduci 0 MW? P 0 MW W A pati de la expesión de la potencia, se puede deteina la apidez con que la asa E se coniete en enegía: P t Ahoa: ( 0 / s) 0 0 W W, 0 kg / s 8 t t ( 0 / s) Luego deben conetise, 0-0 kg de asa en enegía cada segundo paa poduci 0 MW de potencia. 5. Según la teoía de la elatiidad, cuál debe se la elocidad de una ailla paa que su longitud sea la tecea pate de la que tiene en eposo? L c L, coo: L' L c L L, entonces: L 8 c c c 0,94 c L' Se deteina po étodos ópticos la longitud de una nae espacial que pasa po las poxiidades de la iea, esultando se de 00. En contacto adiofónico, los astonautas que iajan en la nae counican que la longitud de su nae es 0. A qué elocidad iaja la nae con especto a la iea? 6

164 L 8 (00 ) 8 L L c 0 / s,66 0 / s c L' (0 ) 7. En qué se paece la no siultaneidad de oí el tueno después de e el ayo a la no siultaneidad elatiista. No se paece en nada. La duación ente e el ayo y escucha el tueno no tiene nada que e con los obseadoes en oiiento ni con la elatiidad. En este caso sólo se hacen coecciones al tiepo que tadan las señales (sonido y luz) en llega a la pesona que pecibe el fenóeno. La elatiidad de la siultaneidad es una discepancia genuina ente obseaciones hechas po pesonas en oiiento elatio, y no sólo una dispaidad ente distintos tiepos de ecoido paa las distintas señales. 8. Se puede considea la ecuación: E c desde oto ángulo y deci que la ateia se tansfoa en enegía pua cuando iaja con la apidez de la luz eleada al cuadado? No y es un gan eo hace ese azonaiento. No se puede hace que la ateia se uea con la apidez de la luz y ucho enos a la apidez de la luz eleada al cuadado ( que no es una apidez!) La ecuación: E c sólo indica que la enegía y la asa son dos caas de la isa oneda. 9. El peíodo de un péndulo situado sobe la iea se ide en un sistea de efeencia que está en eposo con especto a la iea, encontándose que es igual a,0 s Cuál seá el peíodo edido po un obseado que esté en una nae espacial oiéndose a una elocidad de 0,95 c con especto al péndulo?,0 s 9, 6 s (0,95 c) c c Es deci, las edidas ealizadas po el obseado de la nae uestan que se tada ás en ealiza una oscilación en copaación con un obseado situado sobe la iea. 0. Un astonauta ealiza un iaje a la estella Siio, situada a 8 años-luz de la iea. El astonauta ide que el tiepo del iaje de ida es de 6 años-luz. Si la nae espacial se uee a una elocidad constante de 0,8 c, cóo podeos econcilia el hecho de que la distancia sea de 8 años-luz con la duación de 6 años edida po el astonauta? Los 8 años-luz epesentan la longitud popia (la distancia de la iea a Siio), edida 64

165 po un obseado que iea tanto a la iea coo a Siio en eposo. El astonauta e que Siio se está apoxiando a él a la elocidad de 0,8 c, peo tabién e la distancia que le sepaa de la estella está contaída hasta el alo: L L c 8 añosluz (0,8 c) c. Sea un potón que se uee a una elocidad donde se tienen en cuenta los efectos elatiistas. Halla: a) Su enegía en eposo en MeV. b) Si su enegía total es tes eces la del eposo, cuál es el alo de su elocidad? c) Su enegía cinética. d) El ódulo del oento lineal del potón. Datos: asa del potón en eposo p, kg. a) E R 0 c, kg ( 0 8 /s), J Luego: ev MeV E 0 6 R,50 0 J 97,5 0 ev 97, 5 MeV 9,6 0 J 0 6 ev 0 c b) E c 0 c c Po tanto: c 0 / s,8 0 / s c c) E C ( 0 ) c donde: 0, luego: c Luego: E C 0 ( 0 ) c c,67 0 kg E C (,67 0 kg) ( 0 / s),0 0 8 (,8 0 / s) 8 ( 0 / s) J E igualente: ev GeV E 0 9 C,0 0 J,89 0 ev, 89 GeV 9,6 0 J 0 9 ev d) El ódulo de su oento lineal p iene dado po la expesión: p Luego: p p c c p c E Sustituyendo ahoa el alo de en la ecuación: E c, esulta: 65

166 E 0 c p c ( E c ) Opeando y despejando E, se obtiene: E p c + ( 0 c ) Coo: E 0 c entonces: ( 0 c ) p c + ( 0 c ) de donde: p c 8 ( 0 c ) Po tanto: p 8 c c E c 0,50 0 J / s 0 R 8 8,4 0 kg / s. )En qué consiste el efecto fotoeléctico? Explica su oigen y sus pincipales caacteísticas y epesenta la aiación de la enegía cinética de los fotoelectones eitidos en función de la fecuencia de la señal luinosa incidente. El efecto fotoeléctico consiste en la libeación de electones de un etal po la acción de la luz, especialente si tiene una fecuencia eleada. El oigen del efecto fotoeléctico está en los tabajos que estaba ealizando el físico aleán Hetz paa tata de deosta con expeiencias la teoía electoagnética de la luz y de foa fotuita copobó que la chispa ente dos esfeas etálicas cagadas elécticaente saltaba ás fácilente si éstas ean iluinadas con luz ultaioleta. Sus pincipales caacteísticas son:. La enegía cinética de los electones aancados no depende de la intensidad de la luz incidente y sí es función de la fecuencia de la isa.. Paa cada etal existe una fecuencia luinosa ubal, llaada ν 0, po debajo de la cual no se poduce la eisión fotoeléctica.. Una adiación incidente de fecuencia supeio a ν 0, basta paa aanca electones, aunque su intensidad luinosa sea uy pequeña. La ecuación que ige el efecto fotoeléctico es: E W 0 + E C h Α ν h Α ν o + Α e Α Po tanto: E C E - W 0 h Α ν W 0 Y al epesenta E C fente a ν se obtiene la siguiente gáfica: 66

167 . Indica cuál es la espuesta coecta de las siguientes afiaciones sobe el efecto fotoeléctico: a) La enegía cinética de los electones eitidos depende de la intensidad de la luz incidente. b) La enegía de extacción no depende del etal. c) Hay una fecuencia ínia paa la luz incidente. d) Al auenta la fecuencia de la adiación incidente disinuye la enegía cinética de los electones eitidos. La espuesta coecta es la c) 4. En el contexto del efecto fotoeléctico, )qué se entiende po tabajo de extacción del etal de la placa a iluina? Supuesto conocido el alo del tabajo de extacción, )cóo se puede deteina la fecuencia ubal? Coo el fotón es el cuanto de adiación que inteacciona con los electones del etal y el efecto fotoeléctico se explica po la existencia de fotones de enegía suficiente paa aanca los electones del etal. Pate de la enegía del fotón se eplea en aanca el electón del etal y el esto se coniete en enegía cinética del electón libe. Se llaa enegía de extacción del etal, W 0 (tabién conocida coo tabajo de extacción) a la enegía que hay que tansfei al etal paa pode aanca un electón del iso. Si E es la enegía del fotón que incide sobe el etal y que ecibe el electón, de acuedo con el pincipio de conseación de la enegía, E - W 0 es la enegía cinética E C del electón que escapa. Coo: E - W 0, E C esulta que: h ν 0 - W 0 0 W 0 ν 0, donde ν 0 es la fecuencia h ubal. Luego si incide una adiación de fecuencia ayo que la ubal, ν > ν 0, se aancan electones de cieta enegía cinética, y dicha enegía cinética seá ayo cuanto ayo sea la fecuencia ν de la adiación incidente. 5. Si el tabajo de extacción de la supeficie de deteinado ateial es W 0,07 ev: a) )Qué ango de longitudes de onda del especto isible puede utilizase con este ateial en una célula fotoeléctica, sabiendo que las longitudes de onda de la luz isible están copendidas ente 80 n y 775 n. b) Calcula la elocidad de extacción de los electones eitidos paa una longitud de onda de 400 n. a) La ecuación de Einstein del efecto fotoeléctico es: E W 0 + E c La elación ente el tabajo de extacción y la longitud de onda ubal es: W 0 h ν c h c 6,6 0 J s 0 / s 9 h λ n 9 λ W,07eV,6 0 J / ev 0 0 El efecto fotoeléctico se poduce paa las longitudes de onda enoes que la ubal. Po tanto dento del especto isible, se aancan electones paa las longitudes de onda copendidas ente 80 n y 600 n. 67

168 b) Voliendo a aplica la ecuación de Einstein, se tiene que: c c h h + λ λ 0 h c ( ) λ λ 0. Po tanto: ,6 0 J s 0 / s 9, 0 kg De donde despejando se obtiene: 6,0 0 5 /s 6. Deteina la fecuencia de la onda asociada a un fotón con 00 MeV de enegía y calcula su longitud de onda y su oento lineal. Aplicando la ecuación de Planck, esulta que: E h ν, luego: 6 9 E 00 0 ev,6 0 J / e ν 4,8 0 s - 4 h 6,6 0 J s Utilizando la elación ente las difeentes agnitudes, se tiene que la longitud de onda asociada es: λ ν 8 c 0 /s 5 6,5 0-4,8 0 s Según la hipótesis de De Boglie, el oento lineal del fotón coo patícula es: λ h p h p λ 4 6,6 0 J s 9,06 0 kg / s 5 6, Un equipo láse de 60 n de longitud de onda, concenta 0 W de potencia en un haz de de diáeto. a) Deduce y deteina el alo de la intensidad del haz en este caso. b) Halla el núeo de fotones que el equipo eite en cada segundo. a) Se denoina intensidad de una onda en un punto, I, a la enegía que se popaga a taés de la unidad de supeficie pependiculaente a la diección de popagación en la unidad de tiepo. Coo la enegía popagada en la unidad de tiepo es la potencia con que eite el foco, se cuple que: E P P 0 0 W I ΔS Δ t ΔS π π (0,5 0 ) - 4,7 0 W/ - b) Utilizando la definición de potencia, la enegía que concenta el haz en la unidad de tiepo es: P E Δt E P Δt W s J 68

169 Aplicando la ecuación de Planck esulta que la enegía de un fotón de esa longitud de onda es: E fotón h ν h λ c 6,6 0-4 J s /s -9,6 0-9 J Po lo que la cantidad de fotones eitidos en un segundo es: n E E 0 0 J 9,6 0 J / fotón fotón,6 0 6 fotones 8. Un láse de helio-neón de W de potencia eite luz onocoática de longitud de onda λ 6,8 n. Si se hace incidi un haz de este láse sobe la supeficie de una placa etálica cuya enegía de extacción es,8 ev: a) Calcula el núeo de fotones que inciden sobe el etal tanscuidos segundos. b) La elocidad de los fotoelectones extaídos y el potencial que debe adquii la placa (potencial de fenado) paa que cese la eisión de electones. a) Aplicando la definición de potencia y la ley de Planck: Enegía eitida P t P t P t n λ, luego: Enegía fotón h ν c h c h λ n 0 4 6,60 J / s s 6,8 0 J s / s, fotones b) La enegía de la adiación incidente es: E h ν h λ c, luego: / s 9 9 ev E 6,6 0 J s,4 0 J,4 0 J, ,8 0,6 0 J ev Aplicando la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctico, se tiene: E W 0 + E C,96 ev,8 ev + E C Po tanto la enegía cinética de los electones eitidos es: E C 0,6 ev Coo: E C V 0 e, esulta que el potencial de detención o fenado que ipide que lleguen los electones al ánodo es: V 0 0,6 V Aplicando la definición de enegía cinética, esulta que la elocidad de los electones es: E C ½ luego: 9,6 0 J 0,6 ev kg ev 9, 0,7 0 5 /s 69

170 9. La gáfica adjunta epesenta la enegía cinética de los electones eitidos po un etal en función de la fecuencia de la luz incidente. Deduce el alo de la constante de Planck y de la enegía de extacción del etal. La ecuación de Einstein del efecto fotoeléctico es: Ec (ev) Fecuencia (0 4 Hz) E W 0 + E C h ν h ν 0 + E c Despejando la enegía cinética de los electones eitidos, esulta que: E c h (ν ν 0 ) Al epesenta gáficaente la enegía cinética de los electones fente a la fecuencia de la adiación incidente, se tiene que la pendiente de la gáfica es la constante h de Plack: ΔE pendiente C h, luego: Δν pendiente ΔEC Δν , ev 0 ev Hz 0 0 4eV,6 0 Hz J / ev Hz J s Po tanto, el alo de h hallado en la gáfica es: h 6,4 0-4 J s La fecuencia ubal es aquella paa la que la enegía cinética de los electones eitidos es igual a ceo. De la epesentación gáfica se deduce que su alo es: Fecuencia ubal: ν Hz Po lo que la enegía de extacción del etal es: W 0 h ν 0 6,4 0-4 J s Hz 6,4 0-9 J 0. Al iluina un etal con luz onocoática de fecuencia, 0 5 Hz, es necesaio aplica un potencial de fenado de V paa anula la coiente que se poduce. Calcula la fecuencia ínia que ha de tene la luz paa extae electones de dicho etal. Se poduce efecto fotoeléctico al iluina el etal con una adiación de 500 n? Que el potencial de fenado sea V significa que la enegía cinética de los electones eitidos es igual a: E C ev. Aplicando la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctico, esulta que: E W 0 + E C h ν h ν 0 + E C, de esta foa: 6,6 0-4 J s, 0 5 Hz 6,6 0-4 J s ν 0 + ev,6 0-9 J/eV Despejando, se obtiene que la fecuencia ubal es: ν 0 7, 0 4 Hz A la adiación de 500 n en el acío le coesponde una fecuencia de: 70

171 ν c / s 9 λ Hz Coo esta fecuencia es eno que la fecuencia ubal, no se poduce efecto fotoeléctico al iluina el etal con esa adiación.. Una antena de telefonía óil eite una adiación de 900 MHz, con una potencia de 500 W. Calcula la longitud de onda de la adiación eitida. Cuál es el alo de la intensidad de la adiación a una distancia de 50 de la antena. Cuántos fotones eite la antena en s? Utilizando la elación ente la longitud de onda y la fecuencia de la onda electoagnética esulta: 8 c 0 / s λ ν Hz 0, Se denoina intensidad de una onda en un punto, I, a la enegía que se popaga a taés de la unidad de supeficie pependiculaente a la diección de popagación en la unidad de tiepo. Coo la enegía popagada en la unidad de tiepo es la potencia con que eite el foco y aplicándolo paa una esféica, esulta: E I ΔS Δ t P ΔS P 500 W 4 π 4 π (50) W 0,048 / Aplicando la ecuación de Planck esulta que la enegía de un fotón de esa longitud de onda es: E fotón h ν 6,6 0-4 J s Hz 5, J Po lo que la cantidad de fotones eitidos en un segundo es: n P E fotón 500 5,97 0 J / s 7,5 0 5 J / fotón fotones / s. Aditiendo que el potón en eposo tiene una asa 86 eces ayo que la del electón en eposo, qué elación existiá ente las longitudes de onda de De Boglie de las dos patículas si se ueen con la isa enegía cinética y consideando despeciables los efectos elatiistas? h h La longitud de onda asociada a una patícula es: λ p Y su enegía cinética es: E C ½ h λ h / λ h Opeando en esta ecuación: E C λ Si la enegía cinética de las dos patículas son iguales, esulta que: E C,p E C,e, luego: h λ p p h p λ p e λ e λ e e 7

172 λ e p 86 e Opeando: 4, 85 λ p e e La longitud de onda asociada al electón es apoxiadaente 4 eces ayo que la longitud de onda asociada al potón.. Qué elocidad ha de tene un electón paa que su longitud de onda de De Boglie sea 00 eces la coespondiente a un neutón de enegía cinética 6 ev? Se puede considea que el electón a esa elocidad es no elatiista? Datos: e 9, 0 - kg; e,6 0-9 C; n,7 0-7 kg; c 0 8 /s. Utilizando la definición de enegía cinética: E C ½ se calcula la elocidad del neutón: 9 EC 6 ev,6 0 J / e 4 n,4 0 / s 7,7 0 kg Aplicando la hipótesis de De Boglie, la longitud de onda asociada es: λ n h 4 6,6 0 J s 7 4,7 0 kg,4 0 / s, 0 La longitud de onda asociada al electón es: λ e 00 λ n 00, 0 -, 0-9 Y su elocidad es: λ e 4 h h 6,6 0 J s e λ 9, 0 kg, 0 e 9, 0 5 / s Que copaada con la elocidad de la luz esulta que es: 5, 0 / s 00 0,% de la elocidad de la luz, po lo que sí se pueden despecia 8 0 / s los efectos elatiistas. 4. La gáfica de la figua epesenta el potencial de fenado, V 0, de una célula fotoeléctica en función de la fecuencia de la luz incidente. La odenada en el oigen tiene el alo de V. a) Deduce la expesión teóica de V 0 en función de ν. b) Qué paáeto caacteístico de la célula fotoeléctica podeos deteina a pati de la odenada en el oigen y deteina el alo. c) Qué alo tendá la pendiente de la ecta de la figua. a) La ecuación de Einstein del efecto fotoeléctico se puede escibi coo: E W 0 + E C e igualente: E W 0 + e V 0 h ν W 0 + e V 0 7

173 Despejando: V 0 h ν W e e 0 b) Del alo de la odenada en el oigen se calcula el tabajo de extacción y la W0 fecuencia ubal de eisión de electones: V e Luego: W 0 V,6 0-9 C, 0-9 J W 4 9 0, 0 J Y la fecuencia ubal: ν 0 4,8 0 4 h 6,6 0 J s 4 h 6,6 0 J s 5 c) La pendiente de la ecta es: pendiente 4,4 0 V s 9 e,6 0 C Hz 5. Halla la longitud de onda de las dos pieas líneas obtenidas po la ecuación de Bale del especto del átoo de hidógeno, sabiendo que la constante de Rydbeg R tiene el alo de, Se cuple la siguiente ecuación:,097 0 ( - ) λ n Donde la piea línea del especto es aquella en la que n, de foa que:,097 0 λ ( ) λ 656, Α , n. Repitiendo los cálculos paa n 4 se obtiene la segunda línea, de foa que:,097 0 λ ( ) λ 486, Α , n 6. Deteina la longitud de onda de un electón que se ha puesto en oiiento ediante la aplicación de un capo eléctico de 00 V. El electón al se puesto en oiiento adquiee una enegía cinética y po tanto una elocidad que iene dada po la ecuación: e ΑV Α Α, con lo que la elocidad del iso es: e V -9,6 0 C 00 V - 9, 0 kg 5,9 0 6 / s Copaando con c podeos despecia los efectos elatiistas, luego la longitud de onda del electón es: λ h -4 6,6 J s 0-9, 0 kg 5,9 0 6, 0 / s -0 7

174 est de ealuación. En una caea de 00, el atleta A ealiza su caea en 9,89 s y el atleta B en 9,75 s. Si la pista del atleta B es paalela a la del A, peo desplazada 00 y los atletas salen de sus acas cuando oyen el pistoletazo de salida, suponiendo que la que elocidad del sonido es 0 /s, quien llega antes a la eta: a) El atleta A. b) El atleta B. c) Ninguno po se salida nula. d) Los dos a la ez. El oigen del poblea está en que el pistoletazo que aca la salida es oído un tiepo después po el segundo coedo que está sepaado del pieo 00. Po ello el pie coedo sale antes y po esta entaja llega antes a la eta, aunque el segundo coedo ealice su caea en enos tiepo. Si la elocidad del sonido en las cicunstancias del oento de la caea es 0 /s, po tanto el pistoletazo de salida es oído po el segundo atleta cuando coe po la pista que está sepaada 00 de la piea: s 00 s t sonido t sonido 0, 9s 0 / s Si el atleta A ealiza su caea de 00 en 9,89 s y el coedo B en 9,75 s, supongaos paa siplifica los cálculos que toda la caea se hace a la elocidad edia obtenida a pati de dichas acas, de esta foa: El coedo A tiene una elocidad edia de: El coedo B tiene una elocidad edia de: s 00 A 0, / s t 9,89 s s 00 B 0,6 / s t 9,75 s El coedo A, antes de que salga el coedo B, ha ecoido una distancia de: s A tsonido 0, / s 0,9s 9, 0 y es la entaja que llea al atleta B. Po tanto, cuando el atleta A llega a la eta, el coedo B ha estado coiendo un tiepo igual a: 9,89 s 0,9 s 8,98 s y en este tiepo ha ecoido una distancia de: s B 8,98 s 0,6 / s 8,98 s 9, y se encuenta de la eta a una distancia de 00 9, 7,87 Luego la espuesta coecta es la: a) Llega antes a la eta el atleta A. Lógicaente este poblea no existiía si los dos atletas coen en la isa pista y oyen el pistoletazo de salida a la ez, y en este caso el coedo B llega antes a la eta y le saca la siguiente entaja al A: s A 9,75 s 0, / s 9,75 s 98, 57. Po tanto, el atleta B saca una entaja al coedo A de: 00 98,57,4.. Que la enegía esté significa que puede toa aloes, es deci. 74

175 La espuesta coecta es: Que la enegía esté cuantizada significa que puede toa aloes discetos, es deci, no continuos.. Indica si las siguientes afiaciones son edadeas o falsas. a) oda teoía científica es sólo una apoxiación a la ealidad. b) El segundo postulado de Einstein de la teoía de la elatiidad especial es consecuencia del pieo. c) La catástofe del infaojo es una consecuencia de la aplicación de la Física Clásica. d) La palaba cuanto designa la cantidad eleental de enegía. a) oda teoía científica es sólo una apoxiación a la ealidad es edadea. En la ciencia no hay edades absolutas, todo está soetido a alidación y contaste. b) El segundo postulado de Einstein de la teoía de la elatiidad especial es consecuencia del pieo es edadeo poque es necesaio paa que se pueda aditi el cupliiento del pie postulado. c) La catástofe del infaojo es una consecuencia de la aplicación de la Física Clásica es falso, la catástofe es la del ultaioleta, que es una consecuencia de la aplicación de la Física Clásica. d) La palaba cuanto designa la cantidad eleental de enegía es edadeo, pues es pecisaente la definición de cuanto. 4. La nanocienca estudia la ateia a escala de: a) 0 -. b) 0-6. c) 0-9. d) 0 -. La espuesta coecta es la c) A escala de Indica si las siguientes afiaciones elatias al pincipio de incetidube de Heisenbeg son edadeas o falsas: a) iene que e con la pecisión de la edida. b) Se efiee a la edida siultánea del tiepo y la posición. c) De la fueza y la enegía. d) De la posición y el oento lineal. a) iene que e con la pecisión de la edida es falsa, ni depende ni de la calidad ni de la pecisión de la edida del instuento utilizado. b) Se efiee a la edida siultánea del tiepo y la posición es falsa, pues abas agnitudes no son conjugadas especto de las elaciones de incetidube. c) De la fueza y la enegía es falsa, pues abas agnitudes no son conjugadas especto de las elaciones de incetidube. d) De la posición y el oento lineal es edadea, pues abas agnitudes son conjugadas especto de las elaciones de incetidube. 6. La longitud de onda asociada a un electón de elocidad k/s es: a),6 0. b),6 0 k. c), d),6 0 - k. 75

176 λ -4 h 6,6 0 J s -, , 0 kg 0 / s Luego la espuesta coecta es la c). 7. El efecto consiste en la de de un po la acción de la. La espuesta coecta es: El efecto fotoeléctico consiste en la libeación de electones de un etal po la acción de la luz. 8. La fecuencia de un oscilado icoscópico cuyo cuanto de enegía es 5, 0-9 J tiene el alo: a) Hz. b) Hz. c) s. d) s. E h ν 6,6 0-4 J s 5, 0-9 J 6,6 0-4 J Hz Luego la espuesta coecta es la b). 9. La asa de una pesona en eposo es 70 kg y uela en una supuesta nae espacial a la elocidad 0,9 c, po lo que su asa es: a) 70 kg. b) 40 kg. c) 60,6 kg d) 60,6 kg kg 60, 6 kg (0,9 c) c c Luego la espuesta coecta es la d). 0. Sean dos geelos A y B. A está en la iea y B a y uele a una estella que está a 5 años-luz de la iea, con una elocidad 0,8 c, po lo que A detecta que B a su egeso a la iea ha enejecido: a) 7,5 años. b),5 años. c) Abos lo iso. d) 0 años. Coo el año-luz es la distancia ecoida en un año po la luz, entonces paa el geelo A, que se encuenta en la iea, el tiepo tanscuido es: 5 años c, 5 años 0, 8 c El tiepo tanscuido paa B es: c (0,8 ),5 años 7, 5 años c c El geelo A detecta que su heano B en luga de enejece,5 años (que es lo que enejece él iso) enejece 7,5 años, luego la espuesta coecta es la a). 76

177 Unidad didáctica Física nuclea

178 SOLUCIONARIO DEL LIBRO DE FÍSICA DE DE BACHILLERAO Unidad didáctica : Física nuclea Cuestiones iniciales. Cuál es la azón de que en el pie cuato del siglo XX se descubiesen tantos eleentos quíicos? Po la aplicación de las técnicas deiadas del descubiiento de la adiactiidad a la Quíica, pues los ecientes eleentos quíicos son adiactios.. Calcula, ediante la ecuación de Einstein, la enegía que se poduce al tansfoase g de ateia en enegía. Aplicando la citada ecuación: E R 0 Α c 0 - kg Α ( Α 0 8 /s) 9 Α 0 J. La noche del 5 al 6 de abil de 986 se podujo el ayo accidente ocuido en una cental nuclea. uo luga en la cental ucaniana de Chenobil (antigua URSS). )Cees que una cental nuclea, dedicada a la poducción de enegía eléctica, puede explota coo una boba atóica? Aunque en la actualidad la pobabilidad del iesgo de un accidente nuclea es uy educido, )po qué la sociedad acepta uy al el iesgo nuclea, a pesa de se uy infeio al de otos tipos de accidentes (autoóil, aión, etc)? En cuanto a la piea pegunta: nunca podía estalla una cental nuclea coo una boba atóica, pues las condiciones de tabajo en el eacto nuclea nunca son las que se pecisan paa ocasiona la explosión nuclea de una boba. Con especto a la segunda cuestión: la espuesta es po los efectos deastadoes deiados del uso ilita en la fabicación de bobas nucleaes y el tiste ecuedo y los efectos que aún peduan del desaste de la cental nuclea de Chenobil de 986. Po oto lado, el ecuedo y la isión de películas sobe los efectos de las bobas de Hioshia y Nagasaki han poducido una eoia colectia de echazo. Sin pede de ista los efectos fisiológicos, tales coo la apaición de cánce, que el contacto con poductos adiactios puede ocasiona. odo ello se taduce en gan iedo a todo lo que se elacione con la adiactiidad. INVESIGA. A pati de la lectua del texto anteio explica el significado de los téinos: agente odeado, absobente y efigeante. Agente odeado es aquel que fena los neutones ápidos poducidos en una fisión nuclea paa hacelos aptos paa que se puedan eplea con eactios en otas fisiones nucleaes. 78

179 Absobente es aquel ateial que captua neutones sobantes paa que el núeo existente de los isos en el eacto nuclea sea el adecuado paa antene una eacción en cadena autoantenida y contolada.. Consulta una heeoteca o en el buscado y da una explicación de cuáles son las causas del debate que hay en los pieos años del siglo XXI sobe la uelta o no al uso de la enegía nuclea paa poduci enegía eléctica. La causa es la aenaza de la caestía del petóleo coo fuente enegética piodial de la sociedad actual. La disinución de las eseas de petóleo de fácil acceso po el consuo efectuado duante tantos años hace que las pospecciones y extacciones futuas sean cada ez ás costosas de ealiza y ello se coplica con el gan auento de la deanda del petóleo po los países eegentes, coo China y La India, lo que hace que la deanda de petóleo sea uy gande, incluso puede llega a se supeio a la de la capacidad de extacción y de abasteciiento de una foa eficaz. odo ello, apate de los pobleas especulatios, hace que el pecio del petóleo se haya dispaado, po lo que se ha eabieto el debate po la utilización de la enegía nuclea coo fuente enegética paa la poducción de enegía eléctica, paa así tata de diesifica la ofeta enegética y contaesta los pobleas que ocasiona un petóleo uy cao.. Igualente busca infoación en los edios anteioes sobe el desaste de la cental de Chenobil de 986 y explica cuál fue la causa de dicho desaste. En la adugada del 6 de abil de 986, una explosión en el cuato eacto de la planta de Chenobil, depositó en los alededoes de la cental isótopos adiactios con una actiidad de 80 Α 0 Bq y espació una adiactiidad al edio abiente 00 eces ayo que la libeada po las bobas atóicas de Hioshia y Nagasaki. La cental de Chenobil estaba foada po cuato eactoes. El núeo cuato es el tisteente faoso po el accidente, fue puesto en funcionaiento en diciebe de 98 y es un eacto de tipo RBMK de 00 MW de potencia téica y 000 MW de potencia eléctica, que usa agua en ebullición coo efigeante y gafito coo odeado, que se dispone en bloques con canales donde an alojadas las ainas de cobustible, ciculando el efigeante ente ainas y gafito. El odeado coniete los neutones ápidos poducidos en las eacciones de fisión en neutones téicos, que son los que absobe el uanio-5 paa segui poduciendo ás fisiones. Po tanto, el papel del odeado es auenta la cantidad de neutones que son capaces de poduci nueas fisiones, y apaecen coo tales en el gafito y deben ataesa la película de agua de efigeante paa enta en el cobustible. El efigeante en este caso tabién actúa de absobente de neutones téicos, po lo que si po alguna causa el efigeante dejaa de flui ente el gafito y las ainas del cobustible, se estaía quitando un blindaje neutónico ente el gafito y el cobustible, auentando la eactiidad del poceso. Cuiosaente el accidente se podujo al ealiza un expeiento elacionado con la seguidad, en el que se petendía deosta que la electicidad poducida po el altenado a pati de la inecia de la tubina sin apo podía usase paa alienta cietos coponentes del sistea de efigeación de eegencia. Se peeía expeienta con una educción de la potencia del eacto hasta 000 MW 79

180 téicos, peo el eacto no pudo estabilizase con suficiente apidez y la potencia se edujo hasta 0 MW téicos. Se acuuló una gan cantidad de enegía súbita, que no pudo se efigeada, po lo que se podujo una disgegación del cobustible seguida de una explosión po efecto de la onda de choque po la pesión acuulada. Dos o tes segundos después ocuió una segunda explosión, causada pobableente po la libeación de gas hidógeno po la oxidación del etal de las ainas de cobustible po el apo sobepesionado. La iolencia de la explosión eleó la losa sopote del eacto, de dos toneladas, haciendo inopeatio el sistea de contención. La posteio entada de aie facilitó la cobustión del gafito, alcanzándose la fusión de la asija. Fue po tanto, el tipo de accidente ás gae que puede ocui en una cental nuclea y la isa peaneceá adiactia coo ínio los póxios años. Fueon necesaios nuee días de heoico esfuezo paa pode contola el incendio posteio a la explosión del eacto. Paa contola el fuego y contene la adiactiidad, los helicópteos lanzaon sobe el eacto ás de 5000 toneladas de ploo, boo y otos ateiales. Posteioente se constuyó un gigantesco sacófago o bunke de potección, que se teinó de constui en noiebe de 986, y fue hecho con de hoigón y toneladas de aceo. Un auténtico ejecito de ilitaes, obeos, ingenieos y especialistas de toda la URSS, llaados liquidadoes, fueon oilizados a la zona del siniesto paa las taeas de descontainación y constucción del sacófago. El tabajo de estas pesonas saló al planeta de un enoe y letal foco adiactio, peo con el tiepo tanscuido, pate de ellos han ueto diectaente po causa de la adiactiidad, otos uchos han quedado inálidos y el esto necesitan de una constante atención édica, pues ecibieon una adiactiidad edia ente 50 y 500 S. El esuen de íctias iniciales según Naciones Unidas fue el siguiente: uieon en el oento del accidente y se diagnosticaon 7 pesonas con signos de síndoe de adiación aguda (náuseas, óitos, diaeas o pocesos heoágicos). De ellas 8 uieon días o seanas después, aunque con el paso del tiepo, son uchas ás el núeo de pesonas de este colectio que ya han ueto. Po efecto de la explosión, al enos 9 illones de pesonas esultaon containadas en ayo o eno gado po la nube adiactia ocasionada. La catástofe dejó containado k de teitoio ucaniano, bielouso y uso, con centenaes de iles de pesonas que tuieon que se eacuadas de las zonas de ayo peligo. La adiactiidad containó el ío Pipyat y las balsas y pequeños ebalses constuidos paa etene las aguas containadas agaaon el poblea, pues fueon ebasadas al cae las pieas lluias intensas. El agua containada po los esiduos adiactios afecta a 9 illones de pesonas que beben agua containada y illones coen alientos egados con aguas adiactias o peces con nieles inaceptables de adiactiidad. Una consecuencia de la catástofe fue la absoción, po el oganiso de iles de pesonas, de gandes cantidades de yodo-. Dicho isótopo, aunque tiene una ida edia cota, se acuula en la glándula tioides, causando hipetioidiso y cánce, sobe todo en los niños. Según la OMS (Oganización Mundial de la Salud) en 995 el cánce de tioides en Bielousia ea 85 eces ás fecuente que antes de la catástofe, y las enfeedades de todo tipo en Ucania son un 0 % supeio a lo noal, po el debilitaiento del sistea inunológico causado po la adiación. Los deás eactoes (del iso tipo) de la cental siguieon funcionando po la cisis econóica que sufe Ucania desde la desebación de la URSS. Ceca de.000 pesonas tabajan en la zona containada y de ellas 5000 en el coplejo nuclea han seguido ecibiendo dosis inadisibles de adiactiidad. El de octube de 99 se 80

181 ceó el eacto núeo dos po causa de un incendio y el de noiebe de 996 el núeo uno, tas gaes deficiencias en su sistea de efigeación. El sacófago, diseñado en teoía paa aguanta 0 años necesita se sustituido con ugencia, al tene 00 de gietas y gaes pobleas de estuctua. El eacto núeo tes ha tenido aios incendios y aunque su estuctua estaba afectada po la coosión ha estado funcionando hasta el 5 de diciebe de 000, fecha en la que Ucania logó la financiación econóica opotuna paa la constucción de un segundo sacófago y el abasteciiento enegético del país. La catástofe de Chenobil ha acado un antes y un después de la enegía nuclea, la cual se encuenta suida en una pofunda cisis. La enegía nuclea epesenta un pocentaje cada ez eno en el consuo undial de enegía, agobiada po los pobleas de seguidad y el alacenaiento definitio de los esiduos adiactios. Altenatias ejoes coo las centales de gas de ciclo cobinado, el uso de las enegías enoables y la oposición de la opinión pública bien infoada hace que la enegía nuclea no tenga un futuo halagüeño. Se adjunta a continuación las siguientes tablas con equialencia de unidades y aloes de constantes físicas paa pode esole los ejecicios siguientes. Diesas unidades pácticas y su equialencia en unidades del S.I. Magnitud Unidad Síbolo Equialencia distancia unidad astonóica año-luz pásec U.A. a.l.,5 Α 0 9,5 Α 0 5, Α 0 6 oluen Lito L 0 - asa densidad onelada unidad de asa atóica gao/centíeto cúbico t u 0 kg,6606α0-7 kg g/c 0 - kgα - fueza Kilopondio Kp 9,8 N enegía Kilowatio-hoa electonoltio caloía atósfea Α lito kwh ev cal at Α L,6Α0 6 J,60Α0-9 J 4,84 J,0 Α 0 J potencia caballo de apo CV 7,55Α0 W pesión Atósfea Ba at ba,0α0 5 Pa 0 5 Pa capo agnético Gauss G 0-4 actiidad adiactia Cuio Ci,7Α0 0 Bq dosis de adiación Rad Rad 0 - Gy dosis efectia Re Re 0 - S Pincipales constantes físicas Magnitud Síbolo Valo en el SI 8

182 Aceleación de la gaedad en la g o 9,8 Αs - 9,8 NwΑkg - supeficie teeste al niel del a Constante de gaitación uniesal G 6,67Α0 - NΑ Αkg - Constante de Coulob (en el acío) K o 9Α0 9 NΑ ΑC - Peitiidad del acío ε o 8,854Α0 - C ΑN - Α - Peeabilidad del acío μ o 4πΑ0-7 N ΑA - Constante de Planck h 6,66Α0-4 JΑs Velocidad de la luz en el acío c,998α0 8 Αs - Velocidad de popagación del sonido sonido 40 Αs - en el aie a 0 C Caga eléctica eleental e,60α0-9 C Masa del electon e 9,09Α0 - kg 5,49Α0-4 u Masa del poton p,67α0-7 kg,007 u Masa del neuton n,675α0-7 kg,0087 u Facto conesión asa-enegía u 9,5 MeVΑc - Constante de Aogado N A 6,0Α0 patículasαol - Constante de Rydbeg R,097Α0 7 - Constante de Stefan-Boltzann σ 5, J s - - K -4 Radio de la iea R 6,7 0 6 Ceo en la escala Celsius de tepeatua 0 ΕC 7,6 K Actiidades finales. Un potón incide sobe litio y poduce patículas alfa. Escibe la eacción nuclea que tiene luga y deteina en núeo atóico del litio y de qué isótopo de tata. El litio tiene de núeo atóico Z, po lo que en la eacción nuclea se poducen dos patículas α. La eacción nuclea es:? Li + H 4 He Po lo que el isótopo de litio es el de núeo ásico: A 4 7. Copleta las siguientes ecuaciones: a) N + He O? b) Be + He C? a) N + He O H b) Be + He C n Desde el punto de ista de la equialencia asa-enegía, )la asa de los núcleos estables es ayo o eno que la sua de las asas de sus coponentes? Razona la espuesta. 8

183 La asa de los núcleos estables es eno que la sua de las asas de sus constituyentes En una cáaa de seguidad se enciea una uesta de U, de 0,5 kg de asa. El 8 06 U se desintega de odo natual, poduciendo Pb, y paa siplifica se supone que este poceso tiene luga diectaente sin etapas inteedias. Al cabo de cieto tiepo, se abe la cáaa, copobando que la uesta oiginal contiene ahoa 0,04 kg de 06 Pb. Se sabe que el peíodo de seidesintegación del 8 U es de 4,5 Α 0 9 años. Calcula el tiepo tanscuido desde que se guadó la uesta hasta la apetua de la cáaa. 9 8 Hay que ecoda que un ol de patículas (átoos, oléculas, iones o núcleos) contiene una cantidad igual a la constante de Aogado (N A 6,0 0 ) de entidades eleentales (átoos, oléculas, iones o núcleos). Paa el 8 U su asa ola es igual a su núeo ásico, expesado en el núeo de núcleos de 8 U que contiene la uesta inicialente es: 0,5 0 g N0, U N A 0,60 N A 8 g/ol ol, luego: g El núeo de núcleos de 06 Pb que tiene la uesta al final coincide con el núeo de núcleos de 8 U desintegados y coo la asa ola del 06 ol Pb es 06, g entonces: 0,04 0 g Ndesintega dos,u NPb N A 0,94 06 g/ol N A Po tanto el núeo de núcleos de 8 U que quedan sin desintega es: N N 0 - N Pb 0,46 Α N A Aplicando la ley de desintegación adiactia: N N 0 e - λ t - N0 e Ln t Y sustituyendo: 0,46 N A 0,60 N A e Ln t 4,5 0 9 años Opeando y toando logaitos nepeianos esulta: 0,46 Ln Ln - 0,60 4,5 0 años 9 t t,9 Α 0 9 años 8

184 5. Se dispone de ol de un isótopo adiactio, cuyo peíodo de seidesintegación es 00 días. a) Al cabo de cuánto tiepo quedaá solo el 0 % del ateial inicial? b) Qué elocidad de desintegación o actiidad tiene la uesta en ese oento? a) Aplicando la ley de desintegación adiactia y la elación ente el peíodo de seidesintegación,, y la constante de desintegación, λ, esulta que la cantidad de átoos pesentes al cabo de un tiepo, t, es: Ln t t N λ 0 N N 0 e N 0 e 0 oado logaitos nepeianos y opeando esulta: Ln Ln0 Ln0 t t 00días,9 días Ln b) A λ N, po tanto: Ln A ol 0 N A 00día 4 Ln h / día 600 s / h ol 6,0 0 0 núcleo / ol de donde: A 4,8 0 5 núcleo 4,8 0 5 Bq s 6. Se dispone de 0 g de 0 Po, cuyo peíodo de seidesintegación es 8 días. Calcula: a) El tiepo que debe tanscui paa que se desintegen 6 g. b) La cantidad de núcleos quedan sin desintega al cabo de 65 días. a) Aplicando la ley de desintegación adiactia esulta que la cantidad de átoos λ t pesentes al cabo de un tiepo, t, es: N N e 0 Los núcleos de los átoos de una uesta se pueden expesa en función de su asa (), la constante de Aogado (N A ) y la asa ola (M), po lo que: N N e N λ t 0 λ t 0 A N A e 0 MPo MPo oando logaitos nepeianos: Ln λ t 0 La cantidad pesente en un instante,, es la difeencia ente la cantidad inicial 0 y Ln la cantidad desintegada y coo λ, esulta que: e λ t 84

185 Ln t 0 Ln Ln de sin tegada 0 0 de Ln 0 sintegada t, despejando t esulta: 8días Ln 0 Ln g 6 g 0 g 8,4 días b) La cantidad de núcleos de átoos iniciales que coponen la uesta es: g N0 N A 6,0 0 núcleos / ol,87 0 M 0 g / ol Po 9 núcleos Aplicando la ley de desintegación adiactia: Ln t Ln 65 días 9 8 días N N0 e,87 0 núcleos e 4, núcleos 7. El peíodo de seidesintegación del 4 U es,α0 5 años. Calcula: a) La constante de desintegación y la ida edia. b) Si se pate de una uesta inicial de 5 Α0 7 núcleos de átoos de dicho isótopo, )cuántos núcleos quedaán al cabo de 000 años? a) Aplicando las elaciones ente el peíodo de seidesintegación (), la constante de desintegación (λ) y la ida edia (τ), esulta que: Ln λ,975 0 años 5, 0 años τ Ln 6,6 0 6 λ,975 0 años 5 años b) Aplicando la ley de desintegación adiactia esulta que la cantidad de núcleos de átoos pesentes al cabo de un tiepo, t, es: 6 t 7 λ 7,975 0 años 000 años N N0 e 5 0 núcleos e 4,985 0 núcleos 5 8. Se dispone de ol del isótopo adiactio 4 C, cuyo peíodo de seidesintegación es 7 días. Calcula: a) La constante adiactia. b) )Cuántos gaos de C quedaán al cabo de 6 eses? a) La constante adiactia λ es: Ln λ 5,7 0 días 7días Ln b) La isa elación hay ente la asa pesente y la asa inicial que ente los núcleos pesentes y los núcleos iniciales, ya que la constante de popocionalidad es 85

186 la constante de Aogado diidida ente la asa ola. N N 0 e - λ t y tabién:, luego: 0 e - λ t 0 λ t N A N A e C MC M Coo la asa ola del 5 C es: M C 5 g/ol, se tiene que la asa al cabo de ese tiepo es: ol 5 g / ol e 5,7 0 día 6 eses 0 días / es 0,50g 9. Una uesta aqueológica contiene 4 C que tiene una actiidad de,8 0 7 Bq. Si el peiodo de seidesintegación del 4 C es 570 años, deteina: a) La constante de desintegación del 4 C en s - y la población de núcleos pesentes en la uesta. b) La actiidad de la uesta después de 000 años. a) Aplicando las elaciones ente las agnitudes estadísticas, esulta que: Ln λ, 0 año 570 años Ln 4 Y asiiso: Ln λ,8 0 s 570 años 65días 4hoas 600s Ln A λ N N A,8 0 λ,8 0 Bq s 7 7,4 0 8 núcleos b) Aplicando la ley de desintegación adiactia: A A 0 e -λ t 4 t 7 λ 7, 0 año 000 años A0 e,8 0 Bq e,48 0 Bq 0 0. El 8 Bi se desintega espontáneaente po eisión de electones con un peíodo se seidesintegación de 5 días. Si se dispone de dicho isótopo de - una cantidad de 6 Α 0 kg, calcula: a) Los potones y neutones que tiene el núcleo que esulta después de la eisión. b) La cantidad que quedaá al cabo de 5 días a) La ecuación del poceso que tiene luga es: Bi e Po El núeo atóico del núcleo Z 84 indica el núeo de potones del núcleo. El núeo ásico A expesa el núeo de nucleones (potones + neutones) del núcleo. Po tanto: 86

187 núeo de potones 84 núeo de neutones b) El núeo de núcleos pesentes en una uesta es: N M NA, po tanto si no hay ezclas de sustancias adiactias: Aplicando la ley de desintegación adiactia: N N 0 Α e - λ Α t y sustituyendo: Ln 0 5 días Ln NA NA e 5 días y opeando esulta: 0 e M M oando logaitos nepeianos: Ln - Ln Ln 0 /8 0 8 Ota foa de hace este apatado es la siguiente: Al cabo de 5 días han tanscuido peíodos de seidesintegación. De una cantidad de núcleos iniciales N 0, al cabo de 5 días () quedan N 0 /, al cabo de 0 días ( ) quedan N 0 /4 y al cabo de 5 días ( ) teneos N 0 /8. Y la cantidad de sustancia que queda po desintega es: 0 /8 Α 0 - kg. El isótopo 4 U tiene un peíodo de seidesintegación de años. Si se pate de una uesta de 0 gaos de dicho isótopo, deteina: a) La constante de desintegación adiactia. b) La asa que quedaá sin desintega después de años. a) La constante adiactia λ es: Ln λ,77 0 años años Ln 6 b) La isa elación hay ente la asa pesente y la asa inicial que ente los átoos pesentes y los átoos iniciales ya que la constante de popocionalidad es la constante de Aogado diidida ente la asa ola. N N 0 e - λ t y 0 e - λ t 0 λ t N A N A e U MU M Sustituyendo: 0 g e, años años 8,7 g. En un instante inicial t 0, se dispone de una uesta de estoncio adiactio cuya peíodo de seidesintegación es 8,8 años. Calcula: a) La constante λ de desintegación. b) El núeo de años tanscuidos paa que el 87

188 núeo de núcleos inestables pesentes en la uesta sea el 5 % de los existentes en t 0. a) λ Ln 0,69,4 0 8,8 añ os a ños b) El que el núeo de núcleos pesentes en la uesta sea el 5 %, significa: 5 N0 N N Aplicando la ley de desintegación adiactia: N N 0 Α e - λ Α t Sustituyendo: N 0 /4 N 0 Α e - λ Α t oando logaitos nepeianos: Ln /4 - λ Α t Ln 4 λ Α t Despejando: Ln 4 Ln 4 57,6 añ os λ,4 0 años t esultado lógico ya que paa que quede el 5 % de una uesta adiactia deben tanscui de seidesintegación. abién se puede pocede de la siguiente foa que ateáticaente es ás coecta: N N 0 Α e - λ Α t Ln N0 - t N0 e 4 Ln Opeando y toando logaitos nepeianos: Ln t Ln Opeando: - Ln t Po lo que el tiepo tanscuido es: t Α 4. Dada la eacción nuclea dada po la expesión: 7 N (n, p) X. a) Deteina el poducto X de la isa. b) Esta eacción libea 0,6 MeV, halla el inceento o disinución de asa que tiene luga en la isa. c) El peíodo de seidesintegación de X es de 5600 años, )cuánto tiepo tada en pede / de su asa? 4 4 a) N + n H C b) Si se libea enegía, entonces hay una disinución de asa en la eacción nuclea. Aplicando la ecuación de Einstein: ΔE Δ Α c 88

189 0,6 MeV Δ Α 9,5 MeV u c c Δ 6,5 Α 0-4 u Ln c) La constante de desintegación λ del eleento X es: λ La cantidad de núcleos pesentes al cabo de un tiepo es: N N 0 e - λ t N 0 e Ln - t Si se piede un tecio de su asa, significa que el núeo de núcleos pesentes es: N N0 Sustituyendo en la ecuación exponencial, se tiene: oando logaitos nepeianos: Ln Ln t Ln N N e t a ñ os Despejando: t Ln Ln 76,5 años Ln Ln 4. La asa del núcleo del isótopo 5 P es 0,970 u. Calcula: a) El defecto de asa. b) La enegía edia de enlace po nucleón en MeV. Datos: Masa del potón:,007 u; asa del neutón:,0087 u. a) El defecto de asa es igual a la asa de los constituyentes - enos la asa del isótopo. Constituyentes: 5 potones y 5 6 neutones. Δ 5 potones,007 u + 6 neutones,0087 u 0,970 u 0,787 u En unidades del SI: Δ 0,787 u 7,66 kg 8 0 u 4,6 0 kg Aplicando la ecuación de Einstein la enegía de la adiación es: ΔE c 4,6 0-8 kg ( 0 8 /s) 4,6 0 - J ev MeV Y expesado en MeV: ΔE 4,6 0 J 60 MeV 9 6,6 0 J 0 ev MeV Al iso esultado se llega aplicando la elación asa enegía: u 9,5 c 89

190 ΔE Δ c MeV 0, 787u 95, c 60 u c MeV b) Coo el núeo de nucleones, potones y neutones, es nucleones, se tiene: 60 MeV MeV Enegía edia enlace po nucleón 8,9 nucleones nucleón 5. El deuteio y el titio son dos isótopos del hidógeno. Al incidi un neutón sobe un núcleo de deuteio se foa un núcleo de titio, eitiéndose adiación gaa en el poceso. Si las asas atóicas del deuteio, del titio y del neutón son:,04740 u,,07005 u y, u, espectiaente, a) Esciba y ajuste la eacción nuclea citada. b) Calcula la longitud de onda del fotón eitido, así coo su oento lineal. a) H + n H + γ 0 b) En pie luga hay que calcula el defecto de asa y la enegía de la adiación: Δ deuteio + neutón titio,04740 u +, u,07005 u 6,7 0 - u En unidades del SI: Δ 6,7 0 - u 7,66 0 kg 9 u,57 0 Aplicando la ecuación de Einstein la enegía de la adiación es: kg ΔE Δ c, kg ( 0 8 /s), J Aplicando la ecuación de Planck: ΔE h ν h λ c, de donde: 4 8 h c, 6 0 J s 0 / s λ 98, 0 ΔE 004, 0 J 6 Según la ecuación de De Boglie, el oento lineal del fotón coo patícula es: 4 h 6,6 0 J s p,5 0 kg / s λ, Cuando se bobadea con un potón un núcleo de litio, Li, éste se descopone en dos patículas α. a) Escibe y ajusta la eacción nuclea del poceso. b) Calcula la enegía libeada en dicha desintegación, siendo las asas atóicas del litio, el hidógeno y el helio 7,08 u,,0076 u y 4,009 u, espectiaente. Expesa el esultado en ev. 90

191 7 4 a) Li + H He + γ b) La pédida de asa que se genea en el poceso es: Δ 7,08 u +,0076 u - Α 4,009 u 0,0 u Y aplicando la ecuación de Einstein paa halla la enegía libeada esulta: ΔE Δ Α c MeV 0,0 u Α 9,5 u c c 8,6 MeV 7. El deuteio y el titio son isótopos de un cieto eleento quíico; el pieo posee un neutón y dos el segundo, espectiaente. En un poceso de fusión nuclea, el deuteio y el titio genean helio, y en esa eacción nuclea hay una pédida de asa de una cuantía igual a: Δ 0,0886 u. a) Escibe la ecuación de la eacción nuclea que tiene luga, ajustándola adecuadaente. b) Calcula, en MeV, la enegía libeada en la foación de un núcleo de helio, al poducise la eacción nuclea encionada. 4 a) H + H He n + 0 b) Aplicando la ecuación de Einstein: ΔE Δ Α c MeV 0,0886 u Α 9,5 u c Α c 7,57 MeV 8. La actiidad del 4 C se puede usa paa deteina la edad de algunos estos aqueológicos. Supón que una uesta contiene 4 C y pesenta una actiidad de,8 0 7 Bq. La ida edia del 4 C es de 870 años. Deteina: a) La población de núcleos de 4 C en dicha uesta. b) La actiidad de esta uesta después de 000 años. a) La actiidad de una uesta iene dada po la ecuación: A λ N y adeás se cuple que: τ, po tanto: λ A 7 núcleos día hoa s N A τ, año λ s año día hoa de donde N 7,0 0 7 núcleos b) Aplicando la ley de desintegación adiactia: A A 0 e -λ t esulta: año año 7 7 A,8 0 Bq e,48 0 Bq 9

192 9. El I es un isótopo adiactio que se utiliza en edicina paa tata el hipetioidiso, ya que se concenta en la glándula tioides. Su peíodo de seidesintegación es de 8 días. a) Explica coo cabia una uesta de 0 g de I tas esta alacenada en un hospital duante 48 días. b) Cuál es la actiidad de un icogao de I? a) Aplicando la ley de desintegación adiactia en función de la asa, se tiene que: 0 e -λ t o e Ln t Ln 48días 8días 0 g e 0, g b) La actiidad de una sustancia adiactia es la cantidad de núcleos que se desintegan en la unidad de tiepo. A λ N 6 Ln Ln 0 g 6, 0 0 núcleos / ol M 8días 4 h / día 600s / h g / ol 4,6 0 9 núcleos desintegados/s 0. Se obsea que la actiidad adioactia de una uesta de adea pehistóica es diez eces infeio a la de una uesta de igual asa de adea odena. Sabiendo que el peiodo de seidesintegación del 4 C es 570 años, calcula la antigüedad de la piea uesta. La actiidad de una uesta en función de la actiidad inicial es: A(t) A 0 e λ t A 0 Ln e t Coo la actiidad actual es la décia pate de la inicial, se tiene que: A Ln A e 0 Ln 0 t - Ln 0 - t 0 Despejando: Ln 0 Ln 0 t 570 años 904, 6 años Ln Ln. El cabono-4 tiene un peíodo de seidesintegación de 570 años y una asa atóica de 4,00 u. Se dispone de una uesta de cabono-4 con una actiidad de 4,9 0 9 desintegaciones po inuto. Deteina: a) La actiidad. b) La asa al cabo de 0 0 segundos. 9

193 a) La actiidad de una uesta en función de la actiidad inicial es: A(t) A 0 e λ t A 0 e Ln t 4,9 0 9 de sintegaciones in in 60s e Ln 0 0 s años,5 0 s / año 7,9 0 7 Bq b) La actiidad de una uesta está elacionada con los átoos pesentes con la elación: A λ N, luego: 7 7 A A 7,9 0 Bq 570 años,5 0 s / año N, átoos λ Ln Ln Coo la asa ola del cabono-4 es 4,00 g/ol, la asa de esos átoos es: 9,06 0 átoos g 4, 00 4, g 6,0 0 átoos / ol ol. Calcula la enegía libeada, expesada en kw h, duante la fisión de g de 5 U, sabiendo que la fisión de cada núcleo de uanio libea una enegía de 00 MeV. Coo en un ol de átoos de uanio hay una cantidad de núcleos igual a la constante de Aogado, esulta que los núcleos de uanio contenidos en la uesta son: g N 6,0 0 núcleos / ol,56 0 núcleos 5 g / ol La enegía libeada es: E,56 0 núcleos 00MeV / núcleo 5, 0 MeV Y expesada en kw h es: E 5, ev,6 0 ev 9 J kw h 000 J / s 600 s,8 0 4 kw h. El Sol iadia enegía con una potencia de W. Suponiendo que esto se deba a la conesión de cuato potones en helio, lo cual libea 6,7 0 6 ev y que los potones constituyen la itad de la asa del Sol, estia cuántos años faltan paa que el Sol se extinga si continúa adiando enegía al ito actual. Dato: M Sol 0 0 kg. 9

194 La cantidad de potones que contiene el Sol es: n 0 Msol / 0 kg / 7,67 0 kg p p 5, potones Y la enegía libeada po la conesión de estos potones en helio es: ,7 0 ev E 5,988 0 potones 4, 4 potones 0 6 ev Y expesada en julios: 9 6,6 0 J E 4, 0 ev 6,6 0 ev 44 J Y aplicando la definición de potencia, esulta que el tiepo pedido es: 44 E 6 6,6 0 J P 4 0 W t, s 5, 0 0 años t t 4. El núcleo 5 P se desintega eitiendo un electón que adquiee una enegía cinética igual a,7 MeV. Escibe la eacción nuclea que tiene luga, deteinando A y Z del núcleo hijo y la asa de ese núcleo si la asa del P es,97908 u. 5 La eacción nuclea que tiene luga es: P X e La enegía cinética del electón expesada en julios es: E,7 MeV,7 0 6 ev,6 0-9 J/eV, J Que coesponde a una disinución de asa igual a: E,76 0 J 0 Δ,04 0 kg, c ( 0 / s) 7 Y expesada en unidades de asa atóica (u): g Δ, g, g u, g,8 0 u La asa del núcleo hijo es:,97908 u,8 0 - u,97077 u 5. El isótopo de fósfoo P, cuya asa es,979 u, se tansfoa po 5 eisión beta en un isótopo estable de azufe (Z 6), de asa,97 u. El 94

195 poceso, cuyo peíodo de seidesintegación es 4,8 días, está acopañado po la libeación de enegía en foa de adiación electoagnética. Con estos datos: a) Escibe la eacción nuclea, el tipo de desintegación beta poducido, la enegía y la fecuencia de la adiación eitida. b) Calcula la facción de núcleos de átoos de fósfoo desintegados al cabo de 48 hoas paa una uesta foada inicialente sólo po núcleos de P. 5 0 a) 5 P 6 S + e, luego se tata de una eisión beta de un electón y no de un positón. A continuación hay que calcula el defecto de asa paa halla la enegía de la adiación eitida: Δ fósfoo ( azufe + electón ),979 u (,97 u + 5, u) 0,00 u 7,66 0 En unidades del SI: Δ 0,00 u, u Aplicando la ecuación de Einstein la enegía de la adiación es: kg 0 kg ΔE Δ c, kg ( 0 8 /s), J Aplicando la ecuación de Planck: ΔE h ν, de donde: ΔE ν s h 6,6 0 J s, J 0,8 0 4 Ln - λ t - t N b) N N0 e N0 e, luego: e N 0 N Ln - 48 hoas Po tanto: e 4,8 día 4 hoas / día 0, 907 N 0 Ln - t Y expesado en % es: 0, ,7 %, que es el % de fósfoo que hay al cabo de 48 hoas, luego la facción desintegada es: 00 90,7 9, %. est de ealuación. Indica si son edadeas o falsas las siguientes afiaciones elacionados con la fluoescencia y la adiactiidad: a) Son fenóenos que dependen el uno del oto. b) Son fenóenos difeentes, peo elacionados ente sí. c) Son fenóenos difeentes y sin elación alguna ente sí. d) Abos son el iso fenóeno físico. La fluoescencia y la adiactiidad son fenóenos que no guadan una elación de dependencia ente sí y la adiación adiactia sigue eitiéndose aunque no se excite a la sustancia que oigina fluoescencia con adiaciones electoagnéticas. Po tanto: 95

196 a) Son fenóenos que dependen el uno del oto es falsa. b) Son fenóenos difeentes, peo elacionados ente sí es falsa. c) Son fenóenos difeentes y sin elación alguna ente sí es edadea. d) Abos son el iso fenóeno físico es falsa.. Ante un capo eléctico foado po una placa positia situada a la deecha y una placa negatia a la izquieda pasan a su taés ayos α, β y γ, cóo es la tayectoia de los isos al ataesa el capo eléctico paalelaente a las placas: a) La isa en los tes casos. b) Los α y β no se desían y γ sí. c) γ no se desía, α hacia la placa negatia y β hacia la positia. d) γ no se desía, β hacia la placa negatia y α hacia la positia. Las patículas α son núcleos de helio y po ello tienen caga positia, po lo que son ataídos hacia la placa negatia y epelidos po la placa positia. Las patículas β son electones, po lo que se diigen hacia la placa positia y se alejan de la negatia. Las patículas γ son adiación electoagnética y no sufen desiación al ataesa el capo eléctico. Gáficaente se obtiene: Po tanto: a) La isa en los tes casos es falsa. b) Los α y β no se desían y γ sí es falsa. c) γ no se desía, α hacia la placa negatia y β hacia la positia es edadea. d) γ no se desía, β hacia la placa negatia y α hacia la positia es falsa.. Si en el Uanio: Z 9 y A 8, el núeo de neutones es: a) 9. b) 8. c) 46. d) 0. 96