Teniendo en cuenta que la velocidad es tangente a la trayectoria, y que el satélite describe una α = 90 y sen α = 1.

Transcripción

1 odelo 04. Pegunta.- Lo atélite eteoat on atélite geoetacionaio, ituado obe el ecuado teete y con un eiodo obital de día. a) Suoniendo que la óbita que deciben e cicula y oeen una aa de 500 kg, deteine el ódulo del oento angula de lo atélite eecto del cento de la iea y la altua a la que e encuentan eto atélite eecto de la ueficie teete. b) Deteine la enegía ecánica de lo atélite. Dato: adio eete,7 0 ; aa de la iea 5, kg; Contante de aitación Unieal,7 0 N kg a. l oento angula de un atélite que obita en tono a un laneta e L Donde eeenta el adioecto que une al atélite con el cento del laneta y la elocidad lineal del atélite en la óbita. l ódulo del oento angula e: L L enα en α eniendo en cuenta que la elocidad e tangente a la tayectoia, y que el atélite decibe una α 90 y en α. π π L { ω } ω ω π L Paa deteina el adio de la óbita e tiene en cuenta que el atélite decibe un oiiento cicula unifoa, y o tanto, toda la fueza que actúan obe el debeán e igual a la fueza centíeta. F F c ( ω ) ω ( π ) Si el atélite e geoetacionaio, el eiodo e un día. 4,7 0 5,98 0 Conocido el adio de la óbita e calcula el ódulo del oento angula. π π 500 4,5 0 L 4,9 0 kg 400 ( 400) 4,5 0 ( ) La altua del atélite eecto de la ueficie de la tiea eá la ditancia del atélite al cento de la tiea eno el adio de la tiea. h 4,5 0, b. + c , ,7 0, 0 J 4,5 0

2 odelo 04. Pegunta.- La aa del Sol e 8 ece ayo que la de la iea y la ditancia que eaa u cento e de,5 0 8 K. Deteine i exite algún unto a lo lago de la línea que lo une en el que e anule: a) l otencial gaitatoio. n cao afiatio, calcule u ditancia a la iea. b) l cao gaitatoio. n cao afiatio, calcule u ditancia a la iea. a. l otencial gaitatoio en un unto debido a una aa ine deteinado o la exeión: V( ) Se buca un unto en la línea que une lo cento del Sol y la iea donde el otencial debido al Sol y la tiea ea nulo. Si el unto bucado e encuenta a una ditancia d de la iea y,5 0 d del Sol, e debeá culi: V VS + V 0 V S + 0,5 0 d d 8 8 0,5 0 d d,5 0 d d 8 d < 0,5 0 d d anule No hay ningún unto en la línea que une lo cento del Sol y de la iea donde el otencial e b. Según la Ley de aitación Unieal, el cao deteinado o una aa en un unto iene exeado o la iguiente función: ( ) u Se buca un unto en la línea que une lo cento del Sol y la iea donde el cao gaitatoio debido al Sol y la tiea ea nulo. Si el unto bucado e encuenta a una ditancia d de la iea y,5 0 d del Sol, e debeá culi: ( ) S 0 S ( ) ( ) u + u,5 0 d d u u (,5 0 d) d (,5 0 d) d (,5 0 d),5 0 d 8 8 ± 8 d d,5 0 8 *d,594 0 del cento de la iea + 8 Ditancia al cento del ol,5 0, ,97 0 *l igno negatio de la aíz no e tiene en cuenta ya que daía una ditancia negatia

3 Setiebe 0. Pegunta.- Do laneta, y, tienen la ia denidad. l laneta tiene un adio de 500 k y el laneta un adio de 000 k. Calcule: a) La elación que exite ente la aceleacione de la gaedad en la ueficie de cada laneta. b) La elación ente la elocidade de ecae en cada laneta. a. La exeión de la aceleación de la gaedad en la ueficie de un laneta e obtiene del hecho de que en la ueficie de un laneta, el eo de un cueo e la fueza gaitacional con la que atae el laneta al cueo. F P g g Si e alica eta exeión a cada uno de lo laneta y e coaa: g g ilificando y odenando g g : g g Paa enconta una la elación ente la aa de abo laneta, e ate de la igualdad de la denidade. π 4 π 4 : π 4 V d π 4 V d : d d eniendo en cuenta aba elacione: g g ilificando g g : g g g 7 g b. Se denoina elocidad de ecae de un laneta a la ínia elocidad de lanzaiento de un cohete aa que ueda ecaa de la atacción gaitatoia del laneta. eniendo en cuenta que el cohete e uee oetido a una fueza coneatia, la enegía ecánica e conea, y uoniendo que el cueo llega al infinito con elocidad nula, e ha de culi: ( ) ( ) 0 Infinito Sueficie ( ) ( ) 0 Sueficie Sueficie c Si alicao la exeión de la elocidad de ecae a lo do laneta y e coaa: : eniendo en cuenta la elación ente la aa de lo laneta obtenida en el aatado a: 7 7

4 Setiebe 0. Pegunta.- Do atélite deciben óbita ciculae alededo de un laneta cuyo adio e de 000 k. l ieo de ello obita a 000 k de la ueficie del laneta y u eiodo obital e de h. La óbita del egundo tiene un adio 500 k ayo que la del ieo. Calcule: a) l ódulo de la aceleación de la gaedad en la ueficie del laneta. b) l eiodo obital del egundo atélite K h a. P 000 K : 4500 K? n la ueficie del laneta, e cule: P F g g P P l Poducto, e uede obtene teniendo en cuenta que en lo atélite que etán obitando en tono al laneta e cule que F Fc. Si alicao al ieo de ello, del que conoceo adio y eiodo: ω ω ω π π Sutituyendo en la exeión de g: ( 4 0 ) g 5,4 P P 0 00 ( ) ( ) b. Patiendo de:, e llega áidaente a cte, que e la tecea Ley de Kele, alicando a lo do atélite: 4500,9 h h 4000 ' Junio 0. Pegunta. Calcule: a) La denidad edia del laneta ecuio, abiendo que oee un adio de 440 k y una intenidad de cao gaitatoio en u ueficie de,7 N kg. b) La enegía neceaia aa enia una nae eacial de 5000 kg de aa dede la ueficie del laneta a una óbita en la que el alo de la intenidad de cao gaitatoio ea la cuata ate de u alo en la ueficie. Dato: Contante de aitación Unieal,,77 0 n kg a. d Donde e la aa del ecuio y u adio, uueto eféico. V 4 π La intenidad de cao gaitatoio, e uede deduci teniendo en cuenta que el eo de un cueo e la ueficie del laneta e la fueza con la que atae el laneta al cueo, que en ódulo e: P F g g ediante oeacione equialente, e tanfoa el egundo iebo en la denidad. g g g,7 d d π π π 440 0,7 0 d 547 kg 4

5 b. eniendo en cuenta que el cao gaitatoio e coneatio, la enegía neceaia aa one una nae eacial en óbita eá la difeencia de enegía ecánica de la nae en la óbita y en la ueficie de ecuio. ( óbita) P + c + Donde eeenta el adio de la óbita y la elocidad de la nae el la óbita. Paa calcula e tiene en cuenta el dato de que la intenidad de cao gaitatoio en la óbita(g ) el la cuata ate que en la ueficie(g). g g g : : 4 4 g Silificando: La elocidad de la nae en la óbita e obtiene teniendo en cuenta que la nae decibe un oiiento cicula unifoe, y o tanto la ua de toda la fueza que actúan obe ella debe e igual a la fueza centíeta que la hace gia. F F c Sutituyendo en la exeión de la enegía: ( óbita) P + La enegía ecánica en la ueficie e: c ( ueficie) P + La enegía neceaia aa one la nae en óbita e: { } + 4 La aa de ecuio e uede exea en función de la intenidad de cao gaitatoio en u ueficie. g g 0 4 g 4 g 4 +, , Junio 0. Pegunta 5.- Uano e un laneta que decibe una óbita elítica alededo del Sol. azone la eacidad o faledad de la iguiente afiacione: a) l ódulo del oento angula, eecto a la oición del Sol, en el afelio e ayo que en el eihelio y lo io ocue con el ódulo del oento lineal. b) La enegía ecánica e eno en el afelio que en el eihelio y lo io ocue con la enegía otencial. a. De la do afiacione que e oonen, la iea e fala, el ódulo del oento angula del de Uano eecto del ol eanece contante debido a que eta oetido a fueza centale. L cte J 4 La egunda afiación tabién e fala, teniendo en cuenta la contancia del oento angula L cte a a a a 5

6 eniendo en cuenta que el adio del eihelio e eno que el del afelio, la elocidad en el eihelio e ayo que en el afelio, o lo tanto el oento lineal de Uano en el eihelio eá ayo que en el afelio : > a > a a a b. La iea afiación e fala, debido a que Uano en u óbita alededo del Sol olo etá oetido a fueza centale, o lo tanto u enegía ecánica e contante. La egunda afiación tabién e fala, debido al caácte negatio de la enegía otencial. P < ( P) < ( ) P odelo 0. Pegunta.- Un cieto laneta eféico tiene una aa,5 0 kg y un adio,5 0. Dede u ueficie e lanza eticalente hacia aiba un objeto, el cual alcanza una altua áxia h /. Deeciando ozaiento, deteine: a) La elocidad con que fue lanzado el objeto. b) La aceleación de la gaedad en el unto á alto alcanzado o el objeto. Dato: Contante de la aitación Unieal,,7 0 N kg a. l cao gaitatoio, i e deecian lo ozaiento, e uede conidea coneatio, lo cual eite eole el aatado conideando que la enegía ecánica del objeto e conea. negía ecánica en la ueficie negía ecánica a una altua de / de la ueficie ( Sueficie) + ( Sueficie) ( h ) c + + h Silificando la aa e deeja. + + h + h + h + h h +,7 0,5 0, b. l eo de un objeto e la fuea con la que el laneta atae al objeto. P F g g + h + ( ) ( ) (,5 0 ) ( ) ( ),5 0 g,7 0,5

7 odelo 0. Pegunta.- Una nae eacial de 800 kg de aa decibe una óbita cicula de 000 k de adio alededo de un laneta. Sabiendo que la enegía ecánica de la nae e,7 0 8 J, deteine: a) La aa del laneta. b) La elocidad angula de la nae en u óbita. Dato: Contante de la aitación Unieal,,7 0 N kg a. La enegía ecánica de un atélite que decibe una óbita cicula en tono a un laneta e la ua de u enegía cinética y de u enegía otencial. c + + eniendo en cuenta que i el atélite decibe una óbita con oiiento cicula unifoa la ua de toda la fueza que actúan obe él debe igual a la fueza centíeta: F F c Sutituyendo la exeión de en la enegía ecánica: De la exeión de la enegía ecánica e uede deeja la aa del laneta. 8 (,7 0 ) ,5 0 kg, b. l aatado e uede eole de do foa difeente, atiendo de la enegía ecánica del atélite o ediante la aa del laneta calculada en el aatado a. Patiendo de la enegía ecánica: + c P + eniendo en cuenta que, utituyendo: + eniendo en cuenta: ( ) ω ω 8 (,7 0 ) ω 4,8 0 ad 800 ( 0 ) Conocida la aa del laneta y el adio de la óbita, e uede calcula la elocidad angula, aiendo de la exeión de la elocidad en la óbita. : ω ( ω ) ω ω ω 7,5 0 4,7 0,5 0 ad ( 0 ) La difeencia en el eultado e debe a la ayo ieión en el calculo de la aa del laneta. Lo do étodo on álido, eo e ejo no utiliza dato obtenido en el deaollo del oblea. 7

8 Junio 0. Pegunta.- Un atélite de aa gia alededo de la iea decibiendo una óbita 4 cicula a una altua de 0 k obe u ueficie. a) Calcule la elocidad obital del atélite alededo de la iea. b) Suonga que la elocidad. del atélite e anula eentina e intantáneaente y éte eieza a cae obe la iea, calcule la elocidad con la que llegaía el atélite a la ueficie de la ia. Conidee deeciable el ozaiento del aie. Dato: Contante de la aitación Unieal,,7 0 N kg, aa de la iea, 4 5,98 0 kg, adio de la iea,,7 0 a. Paa que un atélite gie en tono a un laneta en una óbita cicula, la ua de toda la fueza que actúen obe el tiene que e igual a la fueza centíeta. F F c n ódulo F F c Silificando la igualdad y utituyendo o lo dato del enunciado e obtiene la elocidad obital. 5,98 0, h + h, b. Suoniendo que no hay édida de enegía o ozaiento, la enegía ecánica e conea. 0 ( óbita) ( ueficie) 0 ( óbita) ( ueficie) h ( óbita) + ( óbita) ( ueficie) ( ueficie) 44 c h c + h Deejando y utituyendo o lo dato e obtiene la elocidad en la ueficie 4,7 0 5, h,7 0, Junio 0. Pegunta.- Una nae eacial de 000 kg de aa decibe, en auencia de ozaiento, una óbita cicula en too a la iea a una ditancia de,5 0 4 k de u ueficie. Calcule: a) l eíodo de eolución de la nae eacial alededo de la iea. b) La enegía cinética y otencial de la nae en dicha óbita. Dato: Contante de la aitación Unieal,.7 0 N kg. aa de la iea, kg, adio de la iea..7 0 a. Paa que una nae eacial gie en tono a un laneta en una óbita cicula, la ua de toda la fueza que actúen obe el tiene que e igual a la fueza centíeta. F F F c n ódulo Ob Fc Ob ω Ob Ob Ob ( ω ) ω Ob 8

9 ω π ω Ob π Ob π Ob Ob + h, ,7 0 π (,7 0 ) h 4,7 0 5,98 0 <> 4 b. negía otencial 5, ,7 0,8 0 J Ob,7 0 0 c Ob Ob negía cinética (,8 0 ),9 0 J odelo 0. Pegunta.- Se ha decubieto un laneta eféico de 400 k de adio y con una aceleación de la gaedad en u ueficie de 7,. a) Calcule la aa del laneta. b) Calcule la enegía ínia neceaia que hay que counica a un objeto de kg de aa aa lanzalo dede la ueficie del laneta y itualo a 000 k de altua de la ueficie, en una óbita cicula en tono al io. Dato: Contante de aitación,7 0 N kg. a. La aa de un laneta e uede calcula conocida u gaedad y u adio teniendo en cuenta que en u ueficie, el eo de un cueo e la fueza con la que el laneta lo atae. P F g g ; g ; 7, ( 4, 0 ) 4,8 0 kg,7 0 b. La enegía neceaia aa lanza un atélite dede la ueficie de un laneta y itualo en óbita, e la difeencia ente la enegía ecánica que tiene en la óbita y la que tiene en la ueficie del laneta. Óbita Sueficie ( ) ( ) La enegía ecánica de un atélite en óbita e la ua de u enegía cinética y u enegía otencial. ( Óbita) c + + Donde e el adio de la óbita Paa calcula la elocidad del atélite en la óbita, e iguala la fueza centíeta con la gaitatoia F g Fc 0 Sutituyendo en la exeión de la enegía: 9

10 ( Óbita) + n la ueficie del laneta, la enegía ecánica e únicaente otencial. ( Sueficie) P Donde P e el adio del laneta. Sutituyendo en la iea exeión e obtiene la enegía neceaia aa lanza un atélite dede la ueficie del laneta. ( ) ( ) Óbita Sueficie P P,7 0, , 0 4, 0 5,8 0 odelo 0. Pegunta.- Un atélite atificial etá ituado en una óbita cicula en tono a la iea a una altua de u ueficie de 500 k. Si el atélite tiene una aa de 00 kg: a) Calcule la enegía cinética del atélite y u enegía ecánica total. b) Calcule el ódulo del oento angula del atélite eecto al cento de la iea. Dato: Contante de aitación,7 0 N kg ; adio de la iea 70 k.; aa de la iea 5, kg. a. Po definición: c Paa calcula la elocidad del atélite en u óbita, e tiene en cuente que aa que el atélite obite entono a la iea, la ua de toda la fueza que áctuan obe él deben e igual a la fueza centíeta a la que e e oetido el atélite. F Ob F c ; Ob La enegía cinética del atélite en la óbita queda: 4 5, c,7 0,47 0 J Ob Ob 0 Ob ( ) La enegía ecánica del atélite e la ua de la enegía cinética y la enegía otencial. 0 c + +,47 0 J Ob Ob Ob 7 J b. Po definición: n ódulo: L L en α Siendo α el ángulo que foa el adio y la elocidad, que o e una óbita cicula e de 90º, teniendo en cuenta que la elocidad e tangencial a la tayectoia. L en 90º eniendo en cuenta que Ob 0

11 4 5,98 0, Ob 705,8 Sutituyendo en la exeión del ódulo: 705,8 L kg,54 0 kg Setiebe 0. Cuetión.- a) xee la aceleación de la gaedad en la ueficie de un laneta en función de la aa del laneta, de u adio y de la contante de gaitación unieal. b) Si la aceleación de la gaedad obe la ueficie teete ale 9,8, calcule la aceleación de la gaedad a una altua obe la ueficie teete igual al adio de la iea. a. l eo de un cueo e la fueza con la que la iea lo atae. abajando en ódulo g ; P F g ; o g o aceleación de la gaedad en la ueficie teete. g o b. La aceleación de la gaedad a una altua igual al adio de la iea e: g ; ; g g o 9,8 ( ) ,4 Setiebe 0. Poblea.- Una onda eacial de aa 000 kg e encuenta ituada en una óbita cicula alededo de la iea de adio,, iendo el adio de la iea. a) Calcule la elocidad de la onda en ea óbita. b) Cuánto ale u enegía otencial? c) Cuánto ale u enegía ecánica? d) Qué enegía hay que counica ala onda aa alejada dede dicha óbita hata el infinito? Dato: aa de la iea 5, kg. adio de la iea,7 0. Contante de aitación Unieal,7 l0 N kg. a. Paa que una aa ealice una óbita cicula en tono a la tiea, e debe culi: F F c abajando en ódulo y teniendo en cuenta que la única fueza que actúa obe la onda e la fuea gaitacional: F g F c ; ; 4 5,98 0,7 0,, , b. t 0,7 0,77 0 J,,7 0 c. c (,77 0 ),85 0 J d. ( inf ) ( óbita). eniendo en cuenta que la enegía ecánica en el infinito e nula: (,85 0 ),85 0 J

12 Junio 0. Cuetión.- Un atélite que gia con la elocidad angula de la tiea (geoetacionaio) de aa 5 0 kg, decibe una óbita cicula de adio, 0 7. Deteine: a) La elocidad aeola del atélite. b) Suoniendo que el atélite decibe una óbita en el lano ecuatoial de la tiea, deteine el ódulo, la diección y el entido del oento angula eecto de lo olo de la iea. Dato: Peiodo de otación teete 4 h CLCIONS PVIS: n el enunciado del oblea no coincide el dato del adio de la obita del atélite con u condición de geoetacionaio ((eoetacionaio) 4, 0 7 ). un adio de, 0 7 le coeonde un eiodo de 8 hoa 5 inuto aoxiadaente. aoco aaece ente lo dato del enunciado el adio de la tiea, iecindible aa calcula la ditancia del atélite al Polo. n nueta oinión, el aluno debe ua el dato del adio teete que dan en el oblea b, y no cuetiona la iabilidad de lo dato del enunciado, utilizándolo in ningún oblea. a. Velocidad aeola áea baida o el adioecto en la unidad de tieo. d a dt Paa una óbita cicula, eá el áea baida en un ciclo coleto diidida o el eíodo: 7 π O π (, 0 ) 0 V 4,7 0 a 4 00 b. oento angula eecto de lo Polo: ditancia del atélite al Polo L elocidad lineal eniendo en cuenta que y on eendiculae, el ódulo del oento angula e: L l alo de e obtiene del tiángulo ectángulo que foan el adio de la iea ( ), el adio de la óbita ( O ) y el adioecto (). + O 7 7 (,7 0 ) + (, 0 ),5 0 La elocidad del atélite e calcula a ati del eiodo obital y el adio de la óbita. π π 7 w O O, Sutituyendo en la exeión e obtiene el odulo del oento angula 7 4 L, ,780 kg La diección eá eendicula al lano deteinan y, iendo α el ángulo que foaá la diección de L con el eje de la iea.,7 0 0 tg α α actg 0 7 O, 0 l entido lo aca la egla del acacocho.

13 Junio 0. Poblea.- Sabiendo que el eiodo de eolución luna e de 7, día y que el adio de u óbita e L,84 0 8, calcule: a) La contante de gaitación unieal, (obtene un alo a ati de lo dato del oblea). b) La fueza que la luna ejece obe la tiea y la de la tiea obe la Luna. c) l tabajo neceaio aa llea un objeto de 5000 kg dede la iea hata la luna. (Deecia lo adio de la tiea de la iea y de la Luna, en coaación con u ditancia) d) Si un atélite e itúa ente la tiea y la Luna a una ditancia de la tiea de L /4, Cuál e la elación de fueza debida a la iea y a la Luna? Dato: aa de la iea 5, kg; aa de la Luna L 7,5 0 kg: adio de la tiea,7 0 ; adio de la Luna,74 0. a. Paa que la Luna obité alededo de la iea, e debe culi: F L L ; F C ( ω ) ; ω 8 (,84 0 ) ( 7, 400) ; ω ;,7 0 N kg 4 5,98 0 b. La do fueza on de igual ódulo diección y entido oueto, on aeja de fueza de acción-eacción. 4 L 5,98 0 7,5 0 0 F,7 0 0 N d 8,84 0 ( ) c. Po tatae de fueza coneatia: W P ( P( L) P( ) ) Paa calcula la enegía otencial en la ueficie de la Luna y en la ueficie de la tiea habá que ua lo otenciale que genea cada aa en eo unto. ( ) L + L + P L L dl L dl 4 7,5 0 5,98 0, ,9 0 J 8,74 0,84 0 P d L d L ( ) + L + L 4 5,98 0 7,5 0, ,5 0 J 8,7 0, (,9 0 (,5 0 ),9 0 J W P l igno negatio indica que aa llea el objeto de la ueficie teete a la ueficie luna habá que ealiza un tabajo de,9 0 J. d. Se ide coaa (diidi) la fueza que ejece la iea obe el atélite con la que ejece la Luna. F d d F L L L d d d ditancia del atélite a la iea L 4

14 d ditancia del atélite a la Luna F F L 4 L 4 5, , L L L L 4 La fueza de atacción que ejece la tiea obe el atélite e 7 ece ayo que la que ejece la luna obe él. odelo 0. Poblea. Un laneta obita alededo de una etella de aa. La aa del laneta e 0 4 Kg y u óbita e cicula de adio 0 8 K y eiodo año teete. Deteina: Dato: Contante de aitación Unieal,7 0 N kg a) La aa de la etella. b) La enegía ecánica del laneta. c) l ódulo del oento angula del laneta eecto al cento de la etella. d) La elocidad angula de un egundo laneta que decibiee una óbita cicula de adio igual a alededo de la etella. a. Paa que un laneta ealice una óbita cicula en tono a una etella, e debe culi: F F c abajando en ódulo y teniendo en cuenta que la única fueza que actúa obe la onda e la fuea gaitacional: F g F c ; tella Planeta Planeta ; tella π eniendo en cuenta que π tella óbita tella ( 0 ) 8 tella, 0 kg ,7 0 b. c + ( ), 0 0,7 0, c. L L enα Po tatae de una óbita cicula, α 90º, en 90º 4 π π π L,4 0 kg ( ) π d. Po definición: ω l eiodo de la nuea óbita e uede calcula ediante la ª ley de Kele. { } ( ) 8 8 8,49 año π π 8 ω,5 0 ad 8, J 4

15 odelo 0. Cuetión. Do atélite de aa y deciben enda óbita ciculae alededo de la iea, iendo u adio obitale y eectiaente. Contete azonadaente a la iguiente egunta: a) Si y >, cuál de lo atélite tiene ayo enegía cinética? b) Si lo do atélite etuiean en la ia óbita ( ) y tuieen ditinta aa ( < ), cuál de lo do tendía ayo enegía cinética? a. c Paa calcula la elocidad de un atélite en una óbita e tiene en cuenta que F g F c. Sutituyendo en la exeión de la enegía cinética: c La enegía cinética del atélite, e ineaente oocional al adio de la óbita. ayo óbita, eno enegía cinética. > c ( ) < c( ) l atélite tiene ayo enegía cinética. b. La enegía cinética c, e diectaente oocional a la aa, a ayo aa, ayo enegía cinética. l atélite tiene ayo enegía cinética. < ( ) ( ) c < Setiebe 00 F.. Poblea.- Un atélite atificial de 00 kg e uee en una óbita cicula alededo de la iea con una elocidad de 7,5 k/. Calcule: a) l adio de la óbita. b) La enegía otencial del atélite. c) La enegía ecánica del atélite. d) La enegía que había que uinita a ete atélite aa que cabiaa u óbita a ota con el doble de adio. Dato: Contante de aitación Unieal,7 /0 N kg aa de la iea 5, kg; adio de la iea 70 k a. Paa que un atélite obite en tono a un laneta, la ua de toda la fueza que actúan obe el atélite debe e igual a la fueza centíeta, teniendo en cuenta que la única fueza que actúa obe el atélite e la fueza gaitatoia del laneta, e ha de culi: F F c abajando en ódulo, e uede deeja el adio de la óbita en función de la aa del laneta y de la elocidad obital del atélite. :,7 0 c 5, ( 7,5 0 ) 7, K b. La exeión de la enegía otencial de un cueo oetido a una fueza cental e calcula coo la integal de la fueza eecto de la oición. 4 5, Fd F d d,7 0 5, 0 J ,09 0 5

16 c. La enegía ecánica de un atélite en obita en tono a un laneta, e la ua de la enegía otencial y cinética del atélite en la óbita. + c + eniendo en cuenta el aatado a: : ( 5, 0 ),8 0 J d. La enegía que habá de uinita al atélite aa cabia de óbita e la difeencia de enegía ecánica ente la do óbita. f i f i Si i, entonce f, quedando la exeión: f i 4 5, ,7 0,4 0 J 4 4 7,09 0 Setiebe 00 F.. Cuetión.- Conideando que la óbita de la Luna alededo de la iea e una óbita cicula, deduzca: a) La elación ente la enegía otencial gaitatoia y la enegía cinética de la Luna en u óbita. b) La elación ente el eiodo obital y el adio de la óbita decita o la Luna. a. La enegía otencial de un atélite en una óbita cicula de adio iene dada o la exeión: La enegía cinética o definición e c F FC eniendo en cuenta el que el la óbita e cule que : : c La elación ente aba e: c : c b. Patiendo de la exeión de la elocidad del atélite en la óbita e obtiene la elación edida (tecea ley de Kele). π :{ ω} : ω : ω : Odenando e obtiene la elación ente el eiodo y el adio.

17 Setiebe 00 F.. Cuetión.- Un coeta e uee en una óbita elítica alededo del Sol. xlique en qué unto de u óbita, afelio (unto á alejado del Sol) o eihelio (unto á cecano al Sol) tiene ayo alo: a) La elocidad. b) La enegía ecánica. a. La cuetión e uede eole o do ía difeente. ª Po la ley de áea. l áea baida o el adioecto que une el atélite (coeta) con el ol en tieo iguale, on iguale. l áea de un ecto cicula e uede exea en función del adio y de la longitud del aco de cua. Donde eeenta la longitud del aco y el adio. a : : a a : a a a a a eniendo en cuenta que t t a t a n tieo iguale lo aloe de t coinciden a a eniendo en cuenta que < a, aa que la igualdad e cula > a La elocidad del coeta alededo del Sol auenta a edida que e aoxia al Sol, alcanzando u alo áxio en la oición del eihelio. ª Contancia del oento angula. Debido a que laneta, atélite y coeta e ueen bajo la acción de fueza centale, el oento angula ( L ) del laneta, atélite o coeta e contante en todo lo unto de u tayectoia. L L a cte n el eihelio y en el afelio el ecto de oición e eendicula al ecto elocidad, culiéndoe en ódulo: en 90º a a en 90º a a < a > a Coo la óbita no e eendicula en todo oento al ecto de oición a lo lago del cual actúa la fueza cental, e concluye que etá fueza tiene una coonente en la diección de la tayectoia que hace aia el ódulo de la elocidad. b. La enegía ecánica de un atélite (coeta) en u obita e la ua de la enegía otencial y cinética. + c + La exeión one de anifieto que la enegía ecánica e ineaente oocional al adio de la óbita, teniendo en cuenta que el adio del eihelio e eno que el del afelio, la enegía ecánica del coeta en alo aboluto eá ayo en el eihelio. ( Peihelio) ( felio) < a > 7

18 Setiebe 00 F.. Cuetión.- Un ateoide etá ituado en una óbita cicula alededo de una etella y tiene una enegía total de 0 0 J. Deteine: a) La elación que exite ente la enegía otencial y cinética del ateoide. b) Lo aloe de aba enegía otencial y cinética. a. La enegía otencial y cinética de un atélite (ateoide) en u obita on: - - c La elación ente ella e: c : c b. Con la elación ente la eegía cinética y otencial y el alo de la enegía ecánica total e lantea un itea que eite calcula lo aloe de la enegía cinética y de la enegía otencial. 0 eoliendo c 0 J c J + c 0 J Junio 00 F.. Cuetión.- a) Deduzca la exeión de la enegía cinética de un atélite en óbita cicula alededo de un laneta en función del adio de la óbita y de la aa del atélite y del laneta. b) Deuete que la enegía ecánica del atélite e la itad de u enegía otencial. a. La enegía cinética e exea coo: c La elocidad del atélite en u óbita e uede exea en función de la aa del laneta y del adio de la óbita, teniendo en cuenta que la fueza de atacción gaitacional e igual a la fueza centíeta a la que e e oetido el atélite en u óbita. F F c a N eniendo en cuenta que a N, e deeja la elocidad. : Sutituyendo en la exeión de la enegía cinética. c b. La enegía ecánica de un atélite e la ua de la enegía cinética y la enegía otencial. c + Po definición la enegía otencial de un atélite en u óbita alededo de un laneta iene exeado o: 8

19 La enegía ecánica del atélite eá la ua de u enegía otencial y cinética. + c + 44 Junio 00 F.. Poblea.- Un atélite de l000 kg de aa decibe una óbita cicula de 0 k de adio alededo de la iea. Calcule: a) l ódulo del oento lineal y el ódulo del oento angula del atélite eecto al cento de la iea. Cabian la dieccione de eto ectoe al cabia la oición del atélite en u óbita? b) l eiodo y la enegía ecánica del atélite en la óbita. Dato: aa de la iea 5,9 0 4 kg Contante de aitación Unieal,7 0 N kg a. l oento lineal o cantidad de oiiento e: Su ódulo e: Po tatae de un atélite en óbita, u elocidad e uede one en función de la aa del laneta y del adio de la óbita, teniendo en cuenta que el la óbita e cule que la fueza de atacción gaitacional e igual a la fueza centíeta. F F c : : Sutituyendo en la exeión del oento lineal: ,9 0, ,7 0 kg oento angula: L ódulo del oento angula: L en α eniendo en cuenta que el adio y la elocidad on eendiculae (en 90 ): L 000,7 0 5, ,87 0 La diección del oento lineal e la diección de la elocidad, tangente a la tayectoia, y cabia continuaente (en cada unto eá tangente a la tayectoia). La diección del oento angula e eendicula al lano de la obita y e antiene contante en toda u tayectoia. b. Peiodo: Se obtiene de la igualdad ente la fueza de atacción gaitacional y la fueza centíeta. F F c : : : ω : : ω : ª Ley de Kele π ω : kg π 4,7 0 5,9 0 ( 0 ) 9

20 La enegía ecánica de un atélite e la ua de la enegía cinética y la enegía otencial. c + Po definición la enegía otencial de un atélite en u óbita alededo de un laneta iene exeado o: Po definición la enegía cinética e: F F c c Suando: + c + 4 5, ,7 0,4 0 J 0 Junio 00 F.. Cuetión.- a) nuncie la ª ley de Kele. xlique en qué oicione de la óbita elítica la elocidad del laneta e áxia y dónde e ínia. b) nuncie la ª ley de Kele. Deduzca la exeión de la contante de eta ley en el cao de óbita ciculae. a. ª Ley de Kele. l adio ecto que une un laneta y el Sol bae áea iguale en tieo L. iguale. ta Ley e el equialente a la contancia del oento angula ( ) Po e el oento angula de un laneta en u óbita alededo del Sol contante (en odulo L ), cuando el laneta eta á alejado del Sol (afelio), u adio eá áxio y u elocidad obital ínia, ienta que cuando eta á óxio (eihelio), u adio eá ínio y u elocidad eá áxia. b. ª Ley de Kele. Lo cuadado de lo eiodo on diectaente oocionale a lo cubo de lo eieje de la eectia óbita. n una óbita, la fueza de atacción gaitacional e igual a la fueza centíeta. F F c ; ; ω eniendo en cuenta: π π :. Sutituyendo en la igualdad anteio: ω π ; ; cte Junio 00 F.. Poblea.- Io, un atélite de Júite, tiene una aa de 8,9 0 kg, un eiodo obital de,77 día, y un adio edio obital de 4, 0 8, Conideando que la óbita e cicula con ete adio, deteine: a) La aa de Júite b) La intenidad de cao gaitatoio, debida a Júite, en lo unto de la óbita de Io. c) La enegía cinética de Io en u óbita. d) l ódulo del oento angula de Io eecto de u óbita a. Paa Calcula la aa del laneta (Júite) con lo dato del enunciado, e tiene en cuenta que la eultante de toda la fueza que actúan obe el atélite en obita, debe e igual a la fueza centíeta que actúa obe el atélite. F F c : : 0

21 eniendo en cuenta: ( ) ω : ω ω : π ω : π : h Según el enunciado:,77 d,77 d d h,7 0 N 8 ( 4, 0 ) Kg ( 598),9 0 b. La intenidad de cao gaitatoio e obtiene igualando la fueza gaitacional al eo. 7,9 0 F P : g : g,7 0 0,7 8 4, 0 c. c c, 0 J ( ) 7 Kg 7,9 0 8,9 0, , 0 d. Po definición: L. l ódulo del oento angula e: L en α Si conidea una óbita cicula (α 90º): L en 90 Io J 8,9 0,7 0, , 0 8,5 0 5 Kg odelo 00. Poblea.- Dede un unto de la ueficie teete e lanza eticalente hacia aiba un objeto de 00 kg que llega hata una altua de 00 k. Deteine: a) La elocidad de lanzaiento. b) La enegía otencial del objeto a ea altua. Si etando ituado a la altua de 00 k, queeo coneti el objeto en atélite de foa que e onga en óbita cicula alededo de la iea, c) Qué enegía adicional habá que counicale? d) Cuál eá la elocidad y el eiodo del atélite en ea óbita? Dato: Contante de aitación,7 0 - N kg - aa de la iea 5, kg; adio de la iea 70 k a. n auencia de fueza extena (ozaiento) el objeto e encuenta en un cao coneatio y o lo tanto la enegía ecánica e conea. ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) c + + h Silificando la aa del objeto (), e deeja la elocidad. + ; ; + h + h + h 4,7 0 5,98 0 h,7 0, ,

22 b. La enegía otencial del objeto a ea altua iene dada o la exeión: + h K 4 5, ,7 0 5,98 0 J,7 0 c. La enegía adicional que había que counica al objeto aa conetilo en atélite e la difeencia ente la enegía del objeto conetido en atélite obitando a ea altua y la enegía del objeto a ea altua, calculada en el aatado anteio. La enegía de un atélite de 00 kg de aa que obita a una altua de 00 K obe la ueficie de la tiea e la ua de la enegía otencial y la enegía cinética. ( ) Satélite + c + l oducto e uede obtene teniendo en cuenta que aa que un atélite obite en tono a un laneta, la fueza de atacción gaitacional debe e igual a la fueza centíeta. F F c ; ; Sutituyendo en la exeión de la enegía ecánica del atélite: ( Satélite) + 4 5, Satélite,7 0,99 0,7 0 ( ) J La enegía que habá que counica al objeto ituado a 00 K de altua aa conetilo en un atélite e: ( atélite) ( objeto),99 0 ( 5,98 0 ),99 0 J d. Paa que un atélite obite en tono a un laneta, la fueza de atacción gaitacional debe e igual a la fueza centíeta. F F c ; ; ; 4 5,98 0,7 0, l eiodo del atélite e uede calcula alicando la tecea ley de Kele., ,7 0 5,98 0 ( ) abién e uede calcula a ati de la elocidad. π π π π,7 0 ω odelo 00. Cuetión.- a) Cuál e el eiodo de un atélite atificial que gia alededo de la iea en una óbita cicula cuyo adio e un cuato del adio de la óbita luna?

23 b) Cuál e la elación ente la elocidad del atélite y la elocidad de Luna en u eectia óbita? Dato: Peiodo de la óbita luna L 7, día a. eniendo en cuenta la tecea ley de Kele: l cuadado del eiodo del oiiento de un laneta e diectaente oocional al cubo de la ditancia edia del laneta al ol licando eta exeión al atélite y a la Luna: S S S S : Silificando. S : Diidiendo. L L L L L xeión de la que e uede deeja el eiodo del atélite: Según el enunciado: S 4 S L S L L L S L L L S 4 L S L 4 L L L L L L 4 7, L S,4 día <> d, 9h, 57 in 8 8 π ω b. eniendo en cuenta que: : ω π π L L π ; π L 4 L L 4 L L L L L L Setiebe 009. Cuetión.- azone i on edadea o fala la iguiente afiacione: a) l alo de la elocidad de ecae de un objeto lanzado dede la ueficie de la iea deende del alo de la aa del objeto. b) n el oiiento elítico de un laneta en too al Sol la elocidad del laneta en el eihelio (oición á óxia al Sol) e ayo que la elocidad en el afelio (oición á alejada del Sol). a. FLSO. Po el inciio de coneación de la enegía, la enegía ecánica en la ueficie teete (ua de cinética y otencial) debe e igual a la que tendá cuando ecae del cao gaitatoio, que eá nula debido a que uoneo que llega con elocidad nula ( c 0) y que eta a una ditancia infinita ( 0). Silificando la aa e deeja. : b. VDDO. eniendo en cuenta que el odulo del oento angula del laneta en u gio alededo del Sol y en auencia de fueza extena, eanece contante. 0 L S

24 L L L en 90 cte L felio L Peihelio P P P { > P } P : > Junio 009. Cuetión.- Un atélite atificial de 500 kg que decibe una óbita cicula alededo de la iea e uee con una elocidad de,5 k/. Calcule: a) La enegía ecánica del atélite. b) La altua obe la ueficie de la iea a la que e encuenta. Dato: Contante de aitación Unieal.7 x 0 N kg aa de la iea 5,98 x 0 4 kg adio de la iea,7 x 0 a. La enegía ecánica de un atélite que obita alededo de la iea e la ua de la enegía cinética y de la enegía otencial, y e calcula ediante la exeión Donde eeenta la ditancia del atélite al cento de la iea. Paa calcula e tiene en cuenta que aa que un atélite obite alededo de la iea, la fueza centíeta del atélite debe e igual a la fueza de atacción de la iea. 4 5,98 0 :,7 0 9, Conocido el adio, e calcula la enegía ecánica. 4 5, ,7 0,0 0 J 9,44 0 b. Paa calcula la altua dede la ueficie teete, e eta el adio de la tiea al adio de la óbita. h ob 9,44 0,7 0,07 0 P Poblea - Suoniendo que lo laneta Venu y la iea deciben óbita ciculae alededo del Sol, calcule: a) l eiodo de eolución de Venu. b) La elocidade obítale de Venu y de la iea. Dato: Ditancia de la iea al Sol:,49 x 0 Ditancia de Venu al Sol:,08 x 0 Peiodo de eolución de la iea: 5 día a. La fueza de atacción que ejece el Sol obe cada laneta caua la aceleación centíeta neceaia aa que el laneta obite alededo de él. Si e conidea la aoxiación de óbita ciculae, e uede deduci la Ley de Kele. licando la egunda ley de Newton ( F a ), al laneta que óbita: F a n : S : { } ( ) ω : S ω : S π ω : ω : 4

25 S π : S : cte S ta exeión eite calcula el eiodo de un laneta (Venu) conocida u ditancia al Sol, no obtante, en ete cao no no dan coo dato la aa del Sol, o lo que habá que coaa lo aáeto de Venu con lo teete. V 5 día V (,08 0 ) cte : V 5 V (,49 0 ) b. Suueta una óbita cicula, conocido el eiodo e calcula la elocidad angula, y con la elocidad angula y el adio la elocidad obital. π ω π π : : ω π π Paa Venu: V V, π π Paa la iea:, ,9 K 9,7 K odelo Cuetión. a) nuncie la tecea ley de Kele y deuétela aa el cao de óbita ciculae. b) lique dicha ley aa calcula la aa del Sol uoniendo que la óbita de la iea alededo del Sol e cicula con un adio edio de l,49xo 8 k.. Dato: Contante de aitación Unieal,7 x 0 - N kg - a. ecea ley de Kele: l cuadado del eiodo del oiiento de un laneta e diectaente oocional al cubo de la ditancia edia del laneta al ol Deducción: n el cao de una óbita cicula, la fueza que actúa obe un cueo e la fueza gaitatoia y la aceleación e la aceleación centíeta; o lo tanto odeo ecibi la egunda ley de Newton coo: Silificando y deejando: ω : ω : ω ω : π ω b. Paa calcula la aa del ol e deeja de la tecea ley de Kele. 8,49 0 K,49 0 (,49 0 ),7 0 N Kg 7 7 5día,5 0,7 0 (,5 0 ), Kg 5

26 Setiebe 008. Cuetión. Calcule el ódulo del oento angula de un objeto de 000 kg eecto al cento de la iea en lo iguiente cao: a) Se lanza dede el olo note eendiculaente a la ueficie de la iea con una elocidad de0 K/. b) ealiza un óbita cicula alededo de la iea en el lano ecuatoial a una ditancia de 00 k de u ueficie.. Dato: Contante de aitación Unieal,7 0 N kg aa de la iea 5, kg. adio de la iea,7 0 l oento angula e define coo el oducto ectoial del adioecto o la cantidad de oiiento: L ( ) Su odulo, iene dado o: L en α a) n ete cao el ángulo que foan el ecto oición con el ecto elocidad e ceo o lo que el odulo del oento angula e nulo. kg L en 0º 0 ( ) b) n ete cao el ángulo que foa el ecto oición y la elocidad obital e 90º. L en 90º La elocidad de obita e calcula teniendo en cuenta que debe e tal que la fueza de atacción gaitatoia ea la fueza centíeta neceaia aa decibi la óbita de adio. + h, ,97. 0 : 4 5,98 0 F F c : :, ,97 0 Conocida la elocidad obital e calcula el ódulo del oento angula. L en 90º, ,7 0 kg l ecto L e eendicula a al lano obital. Setiebe 008. Poblea.- Un atélite atificial de 00 kg e uee en una óbita cicula alededo de la iea con una elocidad de 7,5 k/. Calcule: a) l adio de la óbita b) La enegía otencial del atélite. c) La enegía ecánica del atélite. d) La enegía que había que uinita al atélite aa que deciba una óbita cicula con adio doble que el de la óbita anteio.. Dato: Contante de aitación Unieal.,7 0 N kg aa de la iea 5, kg; adio de la iea,7 0 a. Paa que un atélite obite en tono a un laneta, la fueza de atacción gaitacional a la que e e oetido debe e igual a la fueza centíeta que deaolla el atélite al gia en la óbita. F F c : :,7 0 5, ( 7,5 0 ) b. La enegía otencial de un atélite en óbita iene dada o la exeión: 4 5, ,7 0 5,5 0 J ,09 0

27 c. La enegía ecánica del atélite e la ua de u enegía otencial y de u enegía cinética del en la óbita. F F c + c , ,7 0,8 0 9 J 7,09 0 d. La enegía que habá que uinita al atélite aa que deciba una óbita de doble adio e la difeencia de enegía ecánica exitente ente la do óbita. ( ) ( ) 4 4 5, ,7 0, J 4 7,09 0 Junio 008. Cuetión. Una onda de aa 5000 kg e encuenta en una óbita cicula a una altua obe la ueficie teete de,5. Deteine: a) el oento angula de la onda en ea óbita eecto al cento de la iea; b) la enegía que hay que counica a la onda aa que ecae del cao gaitatoio teete dede ea óbita. Dato: Contante de aitación Unieal,7 0 N kg aa de la iea 5, kg; adio de la iea,7 0 a. oento angula: L L en 90º 5 Donde e la ditancia de la onda al cento de la tiea La elocidad en la óbita e calcula igualando la fueza centíeta a la fueza gaitacional:,7 0 5, ,5,7 0 Sutituyendo lo dato en la exeión del ódulo del oento angula: 4 L,5, kg 5005,98 0 kg 4 ( ) ( ) ( ) b. La enegía neceaia aa ode ecaa del cao gaitatoio teete Po coneación de la enegía, la enegía otencial en la óbita á la enegía cinética que le counicao ha de e igual a la enegía ecánica en el infinito, que e ceo, teniendo en cuenta que llega con elocidad nula ((c) 0), y que al e la enegía otencial e 0. Paa que la onda ecae del cao gaitatoio, tendá que uea u otencial gaitatoio, e deci, tendá que gana una enegía igual a la enegía ecánica que tiene en la óbita. 4 5'98 0 ( ) ( ) ( kg) 5000( kg) 0 0 Óbita '7 0 N kg, 0 J,5,7 0 odelo 008. Cuetión.- Cuato aa untuale idéntica de kg cada una etán ituada en lo étice de un cuadado de lado igual a. Calcule: a) l cao gaitatoio que cean la cuato aa en el cento de cada lado del cuadado. ( N) 7

28 b) l otencial gaitatoio ceado o la cuato aa en el cento del cuadado, toando el infinito coo oigen de otenciale. Dato: Contante de aitación Unieal,7 0 N kg a. Se ide calcula la intenidad de cao gaitatoio ( g ) en lo unto edio de lo lado del cuadado. Sobe la aa colocao lo eje de coodenada, y denoinao P, Q, y S a lo unto edio de lo lado del cuadado. nalizao el unto P: La intenidad de cao gaitatoio iene deteinada o la exeión: u g d Debido a la igualdad de la aa y, dado el caácte ectoial de la agnitud, o ietía e coueba que g g, anulándoe utuaente. Ocue lo io con la coonente OX de la intenidade ceada o la aa y 4 g 4 g x, o lo tanto la intenidad del cao eultante x en el unto P eá la ua de la coonente OY de la intenidade ceada o la aa y 4. g g co α j co α j,7 0 j 7, 0 j y d ( 5) 5 g g + g 4 : y y 4 g 4 g 4 co α j co α j,7 0 j 7, 0 j y d ( 5) 5 g 7, 0 j + 7, 0 j 4, 0 j Pueto que la aa on iguale y la ditancia de la aa a lo unto edio de lo lado tabién lo on, la intenidade de cao gaitatoio en lo unto Q, y S on: g Q 4, 0 i g 4, 0 j g S 4, 0 i b. l otencial en P e la ua ecala de lo otenciale que cea cada aa en ee unto. V P VP + V P + V P + V P4 l otencial gaitatoio en un unto debido a una aa ituada a una ditancia d iene dado o la exeión: V d licando eta exeión al itea de aa oueto VP d d d d 8

29 V P 4 kg 4 9 4,7 0, 0 d J kg odelo 008. Poblea.- Un atélite atificial de 00 kg decibe una óbita cicula alededo de la iea. La elocidad de ecae a la atacción teete dede ea óbita e la itad que la elocidad de ecae dede la ueficie teete. a) Calcule la fueza de atacción ente la iea y el atélite. b) Calcule el otencial gaitatoio en la óbita del atélite. c) Calcule la enegía ecánica del atélite en la óbita. d) Se tata de un atélite geoetacionaio? Jutifique la eueta. Dato: Contante de aitación Unieal,7 0 N kg aa de la iea 5, kg; adio de la iea,7 0 Paa eole la difeente cuetione que lantea el oblea hace falta conoce el adio de la obita donde e encuenta el atélite, aa ello e infoa que la elocidad de ecae en la óbita ( ) e e la itad que la elocidad de ecae dede la ueficie. teete ( ) e o Se denoina elocidad de ecae de un cueo (cohete, atélite, ), a la elocidad que ete debe adquii, en el oento e e lanzado, aa que ecae del cao gaitatoio del laneta en el que e encuenta. Se calcula ediante un balance enegético. La enegía de ecae e la difeencia ente la enegía en el infinito (0) y le enegía ecánica total en la óbita, iendo el infinito el unto donde la inteacción gaitatoia e anula. Si denoinao a la elocidad del atélite en la óbita: (cae) (Infinito) (Óbita) e c La enegía cinética en la óbita e uede exea en función del adio de la óbita igualando la fueza de atacción gaitacional con la fueza centíeta. F g F c Sutituyendo la exeión en el balance enegético y oeando e deeja la elocidad de ecae en la óbita: e e e e e La elocidad de ecae dede la ueficie teete e calcula de igual foa, teniendo en cuenta, que el la ueficie teete olo hay enegía otencial. eo 0 ; o Coaando la elocidade de ecae e obtiene el adio de la óbita: e 9

30 e e eo ; o ; ; ; e,7 0,74 0 ; a. F,7 0 5, (,74 0 ) 00 49,5 N b. V, ,98 0,74 0, 0 7 J kg 4 5, c.,7 0, 0 J,74 0 d. Paa que un atélite ea etacionaio, u eiodo debe e de 4 hoa. l eiodo e uede calcula alicando la ª ley de Kele. 4,7 0 5,98 0 ; (,74 0 ) 4 0 h 58' " l atélite no e geoetacionaio Setiebe 007. Cuetión.- a) Cuál e la aceleación de la gaedad en la ueficie de un laneta eféico cuyo adio e la itad del de la iea y oee la ia denidad edia? b) Cuál eía el eíodo de la óbita cicula de un atélite ituado a una altua de 400 k eecto a la ueficie del laneta? Dato: adio de la iea 7 k celeación de la gaedad en la ueficie de la iea g 9,8 a. La aceleación de la gaedad en la ueficie de un laneta e uede exea en función de la aa y el adio del laneta, igualando el eo en la ueficie con la fueza gaitacional. P F ; g ; g La gaedad en el laneta que e ide e calcula o coaación con la gaedad teete. g g Coaando g g 4 V ρ π ρ eniendo en cuenta que ρ ρ ρ g g 4 π ρ Silificando 4 π ρ g g 0

31 g g g g 9,8 4,9 g g b. Utilizando la ª ley de Kele: Donde + h y el oducto lo obteneo de la aceleación de la gaedad en la ueficie del laneta. g g Sutituyendo: ( h) ( + h) + g g g Sutituyendo o lo dato del enunciado: 7 0 4' ' 00 in Setiebe 007. Poblea.- Un atélite de aa 0 kg e coloca en óbita cicula obe el ecuado teete de odo que u adio e ajuta aa que dé una uelta a la iea cada 4 hoa. í e conigue que iee e encuente obe e] io unto eecto a la iea (atélite geoetacionaio). a) Cuál debe e el adio de u óbita? b) Cuánta enegía e neceaia aa itualo en dicha óbita? Dato: Contante de aitación Unieal,7 0 N kg aa de la iea 5,9 0 4 kg adio de la iea 7 K a. Si un atélite decibe una óbita geoetacionaia alededo de la iea, el eiodo del atélite eá de 4 hoa, y el adio de la óbita e uede calcula teniendo en cuenta ete dato. F F c a n : : eniendo en cuenta que ω π : ω π : π : 4 5,98 0,7 0 ( 400) 7 4, 0 b. La enegía neceaia aa onele en óbita un atélite, e la difeencia ente la enegía ecánica que tiene el atélite en la óbita y la que tiene en la ueficie teete. ( óbita) ( ueficie) +

32 ( ) + óbita c + La elocidad del atélite en la óbita e uede exea en función de la aa de la iea y el adio de la tiea. F c F g Sutituyendo en la exeión de la enegía: ( óbita) + ( u eficie) n la ueficie teete, el atélite olo tiene enegía otencial. Sutituyendo en el inceento de enegía:,7 0 5, , 0 7, 0 Junio 007. Cuetión.- Sabiendo que la aceleación de la gaedad en un oiiento de caída libe en la ueficie de la Luna e un exto de la aceleación de la gaedad en la ueficie de la iea y que el adio de la Luna e aoxiadaente 0,7 (iendo el adio teete), calcule: a) la elación ente la denidade edia ρ Luna / ρ iea b) la elación ente la elocidade de ecae de un objeto dede u eectia ueficie ( e ) Luna / ( e ) iea. a. te aatado e euele coaando la intenidad de cao gaitatoio (g) en la ueficie de la iea y en la ueficie luna. La aceleación de la gaedad en la ueficie de un laneta e uede exea en función de la aa y el adio del laneta, igualando el eo en la ueficie con la fueza gaitacional. P F ; g ; g Paa la ueficie teete: g Paa la ueficie luna: g L L L L g g L g L L L g L La aa de la tiea y de la luna e exea en función de u denidade 4 ρ ρ V L π L L L ρ L L ρ L ρ V 4 L ρ ρ π ρ L L ρl ρ L 0, ρ 0,7 ρ 9 J

33 b. La elocidad de ecae de un laneta e calcula o el inciio de coneación de la enegía, la enegía ecánica en la ueficie del laneta (ua de cinética y otencial) debe e igual a la que tendá cuando ecae del cao gaitatoio, que eá nula debido a que uoneo que llega con elocidad nula ( c 0) y que eta a una ditancia infinita ( 0). Silificando la aa e deeja. : 0 ( ) e Luna ( ) e iea L L : ( e ) Luna L L ( e ) L iea L ( e ) ( ) Luna e iea 4 π L ρl 4 π ρ L L ρ L ρ ( 0,7 ) 0, 0,7 0, 0, Junio 007. Poblea.- Fobo e un atélite de ate que gia en una óbita cicula de 980 k de adio, eecto al cento del laneta, con un eiodo de eolución dé 7,5 hoa. Oto atélite de ate, Deio, gia en una óbita de 40 k de adio. Deteine: a) La aa de ate. b) l eíodo de eolución del atélite Deio. e) La enegía ecánica del atélite Deio. d) l ódulo del oento angula de Deio eecto al cento de ate. Dato: Contante de aitación Unieal,7 0 N Kg aa de Fobo, l0 Kg; aa de Deio,4 l0 5 Kg a. Paa calcula la aa de ate () e tiene en cuenta que i Fobo ealiza una óbita cicula alededo de ate, la ua de fueza que actúan obe Fobo eá igual a la fueza centíeta que actúa obe él. F g F c f f,7 0 ( 9,8 0 ) ( 7, 00) π ( ω ),49 0 Kg b. l eiodo de Deio e uede calcula alicando la ª ley de Kele. cte D f D f (,4 0 ) ( 9,8 0 ) D D f 7, 0,4 h d h f 8 in c. D D c + D + D D D 5,49 0,4 0,7 0, 0 J,4 0

34 d. L n ódulo L enα licando a Deio: LD D DD enα D D α 90 ; en α π LD D DD D D ωd D D D D 5 π 5 LD,4 0,4 0 7,5 0 N 0,4 00 ( ) odelo 007. Cuetión.- Un objeto de 5 kg de aa oee una enegía otencial gaitatoia 8 0 J cuando e encuenta a cieta ditancia de la iea. a) Si el objeto a eta ditancia etuiea decibiendo una óbita cicula. cuál eía u elocidad? b) Si la elocidad del objeto a ea ditancia fuee de 9 k/, cuál eía u enegía ecánica? Podía el objeto eta decibiendo una óbita elítica e ete cao? a) Sobe un objeto que decibe una óbita cicula la única fueza que a actúa obe él e la fueza de atacción gaitatoia, e una fueza centíeta diigida hacia el cento de la tiea. F g F c d d deejando d Po oto lado, la enegía otencial gaitatoia e: 8 0 J d d 0 8 ( kg) J Sutituyendo en la exeión de la elocidad: d 8 0 J kg 8 0 J 4 ' K ( ) 5 kg b) La enegía ecánica e la ua de la enegía otencial y de la enegía cinética. 8 + c ( 9000) 5 0 J Si la enegía ecánica e ayo que ceo, el objeto e ecaa del cao gaitatoio, y o tanto no decibe ningún tio de óbita. Nota l citeio que e debe egui aa ealua el tio de óbita e el iguiente: Si > 0, el objeto e ecaa del cao gaitatoio, llegando al infinito con elocidad, eguiá una tayectoia hiebólica. Si 0, el objeto e ecaa del cao gaitatoio, llegando al infinito in elocidad (cao teóico, el tieo que tadaía eia infinito), eguiá una tayectoia aabólica Si la < 0, el objeto queda ataado en el cao gaitatoio. n ete cao e ueden da te ituacione difeente: - < c < l objeto decibe una óbita elítica, auentando la excenticidad de la elie a edida que auente la elocidad (enegía cinética). - c l objeto decibe una óbita cicula. - > c l objeto no decibe ningún tio de óbita y acaba colaando conta el laneta. 4

35 Setiebe 00. Cuetión.- a) Dede la ueficie de la iea lanza eticalente hacia aiba un objeto con una elocidad. Si e deecia el ozaiento, calcule el alo de neceaio aa que el objeto alcance una altua igual al adio de la iea. b) Si e lanza el objeto dede la ueficie de la iea con una elocidad doble a la calculada en el aatado anteio, ecaaá o no del cao gaitatoio teete? Dato: aa de la iea 5,98 x0 4 kg adio de la iea 70 kg Contante de aitación,7x0 - N kg - a. Igualao la enegía ecánica en la ueficie de la iea y en la obita con Sueficie Óbita ( ) ( ) + Silificando la aa en toda la ecuación, e deeja la elocidad Sutituyendo dato nuéico: '7 0 '7 0 5' ' b. Si ecaa del cao gaitatoio, la enegía ecánica final eá la que tenga en el infinito (unto donde la tiea no ejece influencia), que e igual a ceo. Pocediendo coo en el aatado a Sueficie Infinito ( ) ( ) + Diidiendo toda la ecuación `o la naa del objeto: + Paa abe i el objeto ecaa de la tiea, e calcula con la igualdad anteio la elocidad de ecae de la tiea. + ec 0 ec 0 0 '7 0 79, 58, > objeto ec 5,98 0, Coo la elocidad del objeto e ueio a la de ecae, el objeto e ecaa del cao gaitatoio Junio 00. Cuetión.- Llaando g o y V o a la intenidad de cao gaitatoio y al otencial gaitatoio en la ueficie teete eectiaente, deteine en función del adio de la iea: a) La altua obe la ueficie teete a la cual la intenidad de cao gaitatoio e g o /. b) La altua obe la ueficie teete a la cual el otencial gaitatoio e V o /. l cao gaitatoio y el otencial gaitatoio a una ditancia del cento de la iea on, eectiaente y en alo aboluto: g V donde contante de gaitación y aa de la tiea. 5