CAMPO GRAVITATORIO FCA 04 ANDALUCÍA

Transcripción

1 CAPO GRAVIAORIO FCA 04 ANDALUCÍA 1. a) Al desplazase un cuepo desde una posición A hasta ota B, su enegía potencial disminuye. Puede aseguase que su enegía cinética en B es mayo que en A? Razone la espuesta. b) La enegía potencial gavitatoia de un cuepo de masa m, situado a una altua h sobe la supeficie teeste, puede expesase en las dos fomas siguientes: mgh o Gm/R +h. Explique el significado de cada una de esas expesiones y po qué coesponden a difeentes valoes (y signo).. a) Detemine la densidad media de la iea. b) A qué altua sobe la supeficie de la iea la intensidad del campo gavitatoio teeste se educe a la tecea pate? G = 6, N m kg - ; R = 6370 km ; g = 10 m s - 3. a) La enegía potencial de un cuepo de masa m en el campo gavitatoio poducido po oto cuepo de masa m depende de la distancia ente ambos. Aumenta o disminuye dicha enegía potencial al aleja los dos cuepos? Po qué? b) Qué mide la vaiación de enegía potencial del cuepo de masa m al desplazase desde una posición A hasta ota B? Razone la espuesta. 4. Razone la veacidad o falsedad de las siguientes afimaciones: a) El peso de un cuepo en la supeficie de un planeta cuya masa fuea la mitad que la de la iea seía la mitad de su peso en la supeficie de la iea. b) El estado de ingavidez de los astonautas en el inteio de las naves espaciales obitando alededo de la iea se debe a que la fueza que ejece la iea sobe ellos es nula. 5. a) El oigen elegido habitualmente paa la enegía potencial gavitatoia lleva a que ésta tome valoes negativos. Po qué la enegía potencial gavitatoia teeste, en las poximidades de la supeficie de la iea, toma valoes positivos e iguales a mgh? b) Discuta la siguiente afimación: Puesto que el valo de g disminuye al aumenta la distancia al cento de la iea, la enegía potencial mgh disminuye con la altua sobe el suelo.

2 CAPO GRAVIAORIO FCA 04 ANDALUCÍA 6. a) Defina la enegía potencial. Paa qué tipo de fuezas puede definise? Po qué? b) Un satélite de masa m descibe una óbita cicula de adio alededo de un planeta de masa. Detemine la enegía mecánica del satélite explicando el azonamiento seguido. 7. Explicando las leyes físicas que utiliza, calcule: a) A qué altua sobe la supeficie de la iea la intensidad del campo gavitatoio teeste es de m s. b) Con qué velocidad debe lanzase veticalmente un cuepo paa que se eleve hasta una altua de 500 km sobe la supeficie de la iea. G = 6, N m kg - ; R = 6370 km ; g = 10 m s

3 CAPO GRAVIAORIO FCA 04 ANDALUCÍA 1. a) Si estamos hablando de enegía potencial es poque estamos en un campo de fuezas consevativo en el cual la enegía mecánica pemanece constante E = E P + E C E A = E PA + E CA E B = E PB + E CB como E A = E B y E PB < E PA esto implica que E CB > E CA m b) EP = esta ecuación nos da la enegía potencial del sistema fomado po la R + h iea y un cuepo de masa m situado a una altua h sobe su supeficie, su valo es negativo poque se considea que la enegía potencial es ceo en el infinito y que disminuye al decece la distancia. EP = m g h esta ecuación nos da el valo de la vaiación de enegía potencial paa pequeñas difeencias de altua (h << R ) en la supeficie teeste, su valo es positivo poque la enegía potencial aumenta con la altua.. a) La densidad de un cuepo es la elación ente su masa y el volumen que ocupa, paa el caso de la iea: d = = como g = G despejando la masa de la V 4 3 π R R 3 g R iea = y sustituyendo en la ecuación de la densidad G g R 3 g Kg d = = = π G R 4 π G R m 3 b) g = G R 1 g = G 3 R h ( ) ( + ) h= 3 1 R = Km dividiendo nos queda 3 3 = R + h = y despejando h R ( R + h) R

4 CAPO GRAVIAORIO FCA 04 ANDALUCÍA 3. a) la ecuación de la enegía potencial paa dos cuepos de masas m y m sepaados una distancia es la siguiente: mm ' EP = G al sepaalos, aumenta y disminuye el valo absoluto de la enegía potencial, peo como su signo es negativo, la enegía potencial aumenta b) El tabajo ealizado po las fuezas consevativas del campo gavitatoio, equivale a la vaiación negativa de la enegía potencial del sistema. W = EP = EPA EPB 4. a) En la iea 1 g = G en el planeta X g R X = G R X como el peso de un cuepo es P= m g la cuestión planteada en este apatado seá 1 vedadea siempe y cuando se cumpla que gx = g paa lo cual es necesaio que R = R como se deduce de las ecuaciones anteioes. X b) Es falsa, a la altua que obitan los astonautas la fueza gavitatoia que ejece la iea sobe ellos es consideable (sin ella seguiían una tayectoia ectilínea), peo al lleva una velocidad v pependicula a la fueza gavitatoia, esta actúa como fueza centípeta y la ingavidez se debe a su estado pemanente de caída libe. 5. a) Ve apatado b del poblema númeo 1 de esta elación. b) Es cieto que el valo de g disminuye al aumenta h (altua sobe la supeficie) g = G ( R ) + h peo m g h mide la vaiación de la enegía potencial ( EP ), no el valo de la enegía potencial m EP = R + h que disminuye con la altua en valo absoluto, peo que al se negativo aumenta po lo tanto la vaiación de la enegía potencial ( E = m g h) aumenta con la altua. P

5 CAPO GRAVIAORIO FCA 04 ANDALUCÍA 6. a) Ve poblema númeo 3 de la elación DINÁICA FCA 04 b) La enegía mecánica es la suma de la cinética y la potencial E = EC + EP la enegía potencial m E = G P 1 la enegía cinética EC m m v m G = despejando mv = G sustituyendo en la ecuación de la 1 m m enegía cinética EC = G = G = mv como la fueza gavitatoia ejece de fueza centípeta m m m E = G + G = G 7. a) La gavedad en la supeficie g0 = G a una altua h R dividiendo ambas ecuaciones miembo a miembo ( R + h) ( R + h) R g = G R h ( + ) g0 = sustituyendo y g 10 R + h despejando h = 5 h= 5 1 R = Km R R b) La enegía cinética que hay que comunica al cuepo ha de se igual ala vaiación de la potencial EC = EP, desaollando esta ecuación: 1 m m 1 1 mv = G G = G m R + h R R R + h = ( ) 1 = h v G R R + h ( ) como g = G R G = sustituyendo g R 1 h v = g R R R + h ( ) R h m v= g = R + h s

6 CAPO GRAVIAORIO FCA 05 ANDALUCÍA 1. Un satélite descibe una óbita cicula alededo de la iea. Conteste azonadamente a las siguientes peguntas: a) Qué tabajo ealiza la fueza de atacción hacia la iea a lo lago de media óbita? b) Si la óbita fuea elíptica, cuál seía el tabajo de esa fueza a lo lago de una óbita completa?. a) Dibuje en un esquema las fuezas que actúan sobe un cuepo de 1000 kg, situado en el punto medio ente la iea y la Luna y calcule el valo de la fueza esultante. La distancia desde el cento de la iea hasta el de la Luna es 3, m. b) A qué distancia del cento de la iea se encuenta el punto, ente la iea y la Luna, en el que el campo gavitatoio es nulo? G = 6, N m kg - ; = 5, kg ; L = 7,35 10 kg 3. a) Considee un punto situado a una deteminada altua sobe la supeficie teeste. Qué velocidad es mayo en ese punto, la obital o la de escape? b) A medida que aumenta la distancia de un cuepo a la supeficie de la iea disminuye la fueza con que es ataído po ella. Significa eso que también disminuye su enegía potencial? Razone las espuestas. 4. La misión Cassini a Satuno-itán comenzó en 1997 con el lanzamiento de la nave desde Cabo Cañaveal y culminó el pasado 14 de eneo de 005, al posase con éxito la cápsula Huygens sobe la supeficie de itán, el mayo satélite de Satuno, más gande que nuesta Luna e incluso más que el planeta ecuio. a) Admitiendo que itán se mueve alededo de Satuno descibiendo una óbita cicula de 1, 10 9 m de adio, calcule su velocidad y peiodo obital. b) Cuál es la elación ente el peso de un objeto en la supeficie de itán y en la supeficie de la iea? G = 6, N m kg - ; Satuno= 5, kg ; itán= 1, kg ; Ritán=, m ; g = 10 m s - 5. a) Razone cuáles son la masa y el peso en la Luna de una pesona de 70 kg. b) Calcule la altua que ecoe en 3 s una patícula que se abandona, sin velocidad inicial, en un punto póximo a la supeficie de la Luna y explique las vaiaciones de enegía cinética, potencial y mecánica en ese desplazamiento. G = 6, N m kg - ; L = 7, 10 kg ; R L = 1, m 6. Dibuje en un esquema las líneas de fueza del campo gavitatoio ceado po una masa puntual. Sean A y B dos puntos situados en la misma línea de fueza del campo, siendo B el punto más cecano a. a) Si una masa, m, está situada en A y se taslada a B, aumenta o disminuye su enegía potencial? Po qué? b) Si una masa, m, está situada en A y se taslada a oto punto C, situado a la misma distancia de que A, peo en ota línea de fueza, aumenta o disminuye la enegía potencial? Razone su espuesta.

7 CAPO GRAVIAORIO FCA 05 ANDALUCÍA 1. - a) Ninguno. Como se despende de la expesión del potencial gavitatoio paa cuepos esféicos (la iea) V = G todos los puntos situados a la misma distancia del cento de gavedad de la iea, tienen el mismo valo de potencial. Si unimos todos esos puntos mediante una supeficie, esta seá una supeficie equipotencial que paa el caso de la iea, toma la foma de una esfea. Una de las implicaciones del caácte consevativo de la fueza gavitatoia, es que esta no ealiza tabajo alguno sobe un cuepo que se mueva po una supeficie equipotencial (una óbita cicula petenece a una supeficie equipotencial). Puesto que el potencial es el mismo no hay vaiación de enegía potencial y en consecuencia, el tabajo es nulo. b) Ota de las implicaciones de los campos consevativos es que no se poduce tabajo en tayectoias ceadas. Al se el mismo el punto inicial que el final, no hay vaiación de enegía potencial y po lo tanto el tabajo es nulo.. a) F F G GL 4 m 11 N m 5,98 10 Kg 1000 Kg 8 / Kg 3,84 10 = G = 6,67 10 = 10,8 N ( d ) m L m 11 N m 7,35 10 Kg 1000 Kg = G = 6,67 10 = 0,13 N 8 ( d /) Kg 3,84 10 m FRES = FG FGL = 10,69 N

8 CAPO GRAVIAORIO FCA 05 ANDALUCÍA. b) Paa que la fueza esultante sea nula, los módulos de la fueza gavitatoia de la iea y de la Luna han de se iguales m L FG = FGL G = G m x d x ( ) d x L x gado ( ) ( ) = desaollando obtenemos la siguiente ecuación de segundo L x d x+ d = sustituyendo 5,91 10 x 4,59 10 x+ 8,8 10 = 0 esolviendo ( ) ,59 10 ± 4, , ,8 10 x = siendo los dos esultados 4 5, x1 = 4,8 10 m y x 3, = m como x ha de se meno que d, en este caso el esultado que se nos pide es 8 x = 3,49 10 m 3. G a) Las expesiones de ambas velocidades son: vob = R + h G G vescp = = = R + h R + h mayo que la obital. v la velocidad de escape es veces ob m b) No, la expesión de la enegía potencial es EP = G al aumenta h, R + h disminuye el valo numéico de la enegía potencial, peo al se esta negativa su valo eal aumenta.

9 CAPO GRAVIAORIO FCA 05 ANDALUCÍA 4. a) Como la fueza gavitatoia actúa de fueza centípeta Fcpt = FG v Satuno itán itán = G despejando 11 6 G Satuno 6,67 10 N m Kg 5,7 10 Kg m v = = = 1, 10 m paa calcula su peiodo, utilizamos la tecea ley de 4 π 4 π K m s ( 1, 10 ) = Satuno = = 11 6 G Satuno 6,67 10 N m Kg 5,7 10 Kg 1 6 = 1, s = 1, s que suponen unos 15,5 días b) P P itán iea 3 itán 11 N m Kg m gitán = G = 6,67 10 = 1,8 6 Ritán Kg s = m g = m g itán iea (,6 10 ) Pitán gitán dividiendo = = 0,18 P g iea 5. a) La masa en la Luna es igual que en la iea o en cualquie oto luga, puesto que dicha magnitud no depende del campo gavitatoio en que se encuente, si no de la cantidad de mateia del cuepo. iea Luna 11 N m 7, 10 Kg m gluna = G = 6, = 1,66 6 RLuna Kg s m ( 1, 7 10 ) m m PLuna = m gluna = 70 Kg 1,66 = 116 N s 1 1 m b) v 0 = 0 t = 3 s h= gluna t = 1, 66 3 s = 7, 47 m s al cae libemente (no hay enegía cinética inicial), la enegía potencial disminuye convitiéndose en enegía cinética, ya que al esta en un campo consevativo la enegía mecánica pemanece constante E = 0 E = E C P

10 CAPO GRAVIAORIO FCA 05 ANDALUCÍA 6. a) m m EPA = G EPB = G A B como A > B implica que E PA > E PB luego la enegía potencial disminuye. b) La enegía potencial no vaía poque el cuepo se desplaza po una supeficie equipotencial (ve poblema númeo 1 de esta elación).

11 CAPO GRAVIAORIO FCA 06 ANDALUCÍA 1.- Si po alguna causa la iea edujese su adio a la mitad manteniendo su masa, azone cómo se modificaían: a) La intensidad del campo gavitatoio en su supeficie. b) Su óbita alededo del Sol..- Un satélite obita a km de altua sobe la supeficie teeste. a) Calcule su velocidad obital. b) Razone cómo se modificaían sus enegías cinética y mecánica si su altua se edujea a la mitad. G = 6, N m kg - ; R = 6370 km ; = kg 3.- a) Un satélite atificial descibe una óbita cicula en tono a la iea. Qué tabajo ealiza la fueza con la que la iea atae al satélite, duante una óbita? Justifique la espuesta. b) Razone po qué el tabajo ealizado po las fuezas de ozamiento es siempe negativo. 4.- La masa del planeta Júpite es, apoximadamente, 300 veces la de la iea, su diámeto 10 veces mayo que el teeste y su distancia media al Sol 5 veces mayo que la de la iea al Sol. a) Razone cuál seía el peso en Júpite de un astonauta de 75 kg. b) Calcule el tiempo que Júpite tada en da una vuelta completa alededo del Sol, expesado en años teestes. g = 10 m s - ; adio obital teeste = 1, m. 5.- Razone si son vedadeas o falsas las siguientes afimaciones: a) Según la ley de la gavitación la fueza que ejece la iea sobe un cuepo es diectamente popocional a la masa de éste. Sin embago, dos cuepos de difeente masa que se sueltan desde la misma altua llegan al suelo simultáneamente. b) El tabajo ealizado po una fueza consevativa en el desplazamiento de una patícula ente dos puntos es meno si la tayectoia seguida es el segmento que une dichos puntos. 6.- Dos masas, de 5 y 10 kg, están situadas en los puntos (0, 3) y (4, 0) m, espectivamente. a) Calcule el campo gavitatoio en el punto (4, 3) m y epeséntelo gáficamente b) Detemine el tabajo necesaio paa taslada una masa de kg desde el punto (4, 3) hasta el punto (0, 0) m. Explique si el valo del tabajo obtenido depende del camino seguido. G = 6, N m kg Conteste azonadamente a las siguientes peguntas: a) Si se edujea el adio de la óbita luna en tono a la iea, aumentaía su velocidad obital? b) Dónde es mayo la velocidad de escape, en la iea o en la Luna?

12 CAPO GRAVIAORIO FCA 06 ANDALUCÍA 8.- a) La Luna se encuenta a una distancia media de km de la iea y su peiodo de taslación alededo de nuesto planeta es de 7 días y 6 hoas. Detemine azonadamente la masa de la iea. b) Si el adio obital de la Luna fuea km, cuál seía su peíodo obital? G = 6, N m kg a) Enuncie las leyes de Keple. b) Razone, a pati de la segunda ley de Keple, cómo cambia la velocidad de un planeta a lo lago de su óbita al vaia la distancia al Sol.

13 CAPO GRAVIAORIO FCA 06 ANDALUCÍA 1.- a) En la iea eal g = G R En la iea hipotética R ' R G = g' = G = R ' R g' = 4g 4 b) No se modificaía en absoluto poque el cento de gavedad de la nueva iea seguiía siendo el mismo..- h = Km = 10 7 m a) El satélite se mantiene en óbita poque la fueza gavitatoia que le ejece la iea actúa como fueza centípeta F cpt = F G sustituyendo m sat v m G sat = G despejando v = como = R + h nos queda 11 4 G 6,67 10 N m Kg 6 10 Kg m 3895, R + h 6,37 10 m+ 10 m s v = = = h b) h ' = Llamamos = R + h= 6,37 10 m+ 10 m=, m ' = R + h' = 6,37 10 m m= 1, m la enegía cinética paa ambos casos es E c 1 msat = G y 1 m Ec ' = G ' sat dividiendo ambas expesiones ente sí obtenemos Ec ' = = 1, 61 es deci Ec' = 1,61E E ' c la enegía cinética al se positiva es 1,61 veces mayo en la nueva situación. La enegía mecánica paa ambos casos es c E m 1 msat = G y E m 1 m ' = G ' sat

14 CAPO GRAVIAORIO FCA 06 ANDALUCÍA.- b) (continuación) dividiendo ambas expesiones ente sí obtenemos E E m m ' = = 1, 61 es deci Em' = 1,61E ' la enegía mecánica es 1,61 veces mayo, en valo absoluto, en la nueva situación peo como su signo es negativo, ealmente es meno. 3.- a) El tabajo ealizado po una fueza sobe un cuepo viene dado po la expesión W = F x = F x cosα v donde x es el desplazamiento y α es el F G ángulo que foma la fueza y el desplazamiento. La fueza gavitatoia es la fueza centípeta que, po definición, es siempe pependicula al desplazamiento, es deci α = 90º, po lo tanto el tabajo ealizado po la fueza gavitatoia es nulo ( cos 90º = 0 ). ambién se puede esolve este apatado teniendo en cuenta que el campo gavitatoio es consevativo y en consecuencia W = E p en una óbita el punto inicial y el final son el mismo y la vaiación de la enegía potencial es ceo, po lo tanto el tabajo ealizado en una óbita es nulo. b) Po definición, la fueza de ozamiento se opone al movimiento, po lo tanto su signo seá negativo al igual que el del tabajo de ozamiento 4.- a) J = 300 si el diámeto es diez veces el de la iea, lo mismo ocue con el adio, po lo tanto R J = 10 R. Plantemos la ecuación de la gavedad en Júpite y sustituimos los valoes en función de los de la iea 300 g = J G G 3 G 3 g R = = = J ( 10 ) J R R si el astonauta pesa 75 Kg (fueza) en la iea, en Júpite pesaá tes veces más, es deci 5 Kg (fueza). ambién podíamos calcula el peso del astonauta sabiendo que g J = 30 m s - m P= m g = 75 Kg 30 m s = 50 N = 5 Kgf

15 CAPO GRAVIAORIO FCA 06 ANDALUCÍA 4.- b) Aplicando la tecea ley de Keple a los dos planetas y sabiendo que J = 5 = K 3 J Sol J = K 3 Sol dividiendo ambas expesiones obtenemos ( 5 ) 3 = = = 15 J = 15 = 11,18 = 11,18años 3 J J a) Si aplicamos la ley de gavitación univesal a la inteacción poducida ente la iea y los cuepos que están en su supeficie o cecanos a ella obtenemos m F = G u R G como vemos la fueza es diectamente popocional a la masa del cuepo. En la caída libe lo que impota es la aceleación = F = = g G a G u m R y como obsevamos en la ecuación anteio no de pende de la masa del cuepo, po lo tanto, aunque dos cuepos tengan distinta masa, si caen de la misma altua llegan al suelo simultáneamente. Esta afimación es vedadea. b) El campo gavitatoio es consevativo y en consecuencia W = E p como la vaiación de enegía potencial solo depende de los puntos inicial y final podemos indica que el tabajo ealizado ente dos puntos no depende del camino seguido. Esta afimación es falsa. 6.- m 1 = 5 Kg m = 10 Kg a)

16 CAPO GRAVIAORIO FCA 06 ANDALUCÍA 6.- a) (continuación) Calculamos las intensidades de campo ceadas po las masas m 1 y m en el punto (4,3) m 1 11 g1 = G i =,08 10 i 1 m N Kg 11 g = G j = 7,41 10 j N Kg sumando vectoialmente obtenemos g,08 10 i 7, = j N Kg b) Calculamos el potencial gavitatoio ceado po las masas m 1 y m en los puntos (0,0) y (4,3) m m 5 10 J g V(0,0) = G + = 6, =, K m m 5 10 = + = + = J g V(4,3) G 6, , K calculamos el tabajo paa taslada una caga de Kg desde el punto (4,3) hasta el punto (0,0) mediante la expesión que lo elaciona con la difeencia de potencial ( ) ( ) W = m V V = Kg + J Kg = J (0,0) (4,3), ,06 10 / 5, a) La velocidad obital de la Luna en tono a la iea se deduce de iguala la fueza centípeta a la gavitatoia G vobt = si disminuye el adio de la óbita () es evidente que aumenta la velocidad obital. b) La velocidad de escape desde la supeficie de un cuepo celeste viene dada po vaias expesiones, la que nos sive paa compaa en este caso es vescp = g paticulaizamos paa la iea y la Luna v = g R v ( ) = g R escp( iea) escp Luna L L tanto g como R son mayoes que gl y R, po lo tanto > L v escp( iea) v escp ( Luna )

17 CAPO GRAVIAORIO FCA 06 ANDALUCÍA 8.- a) L = 3, m L = s aplicamos la tecea ley de Keple 3 4π L = K L = G y despejamos la masa de la iea 3 L 4π 3 4 = L = 610 Kg G L b) L = 10 8 m 9.- a) Ve teoía 4π 3 L = L = s 10días 6hoas G ( ) b) Según la segunda ley de Keple las áeas vede y oja han de se iguales y han de se ecoidas en el mismo tiempo. Ello explica que los planetas se muevan más ápidamente en el peihelio (ceca del sol) que en el afhelio (lejos del sol)

18 CAPO GRAVIAORIO FCA 07 ANDALUCÍA 1. Un satélite atificial de 500 kg obita alededo de la Luna a una altua de 10 km sobe su supeficie y tada hoas en da una vuelta completa. a) Calcule la masa de la Luna, azonando el pocedimiento seguido. b) Detemine la difeencia de enegía potencial del satélite en óbita especto de la que tendía en la supeficie luna. G = 6, N m kg - ; R Luna = 1740 km. a) Enuncie las leyes de Keple y azone si la velocidad de taslación de un planeta alededo del Sol es la misma en cualquie punto de la óbita. b) Justifique si es vedadea o falsa la siguiente afimación: la gavedad en la supeficie de Venus es el 90% de la gavedad en la supeficie de la iea y, en consecuencia, si midiésemos en Venus la constante de gavitación univesal, G, el valo obtenido seía el 90% del medido en la iea. 3. a) Puede se negativa la enegía cinética de una patícula? Y la enegía potencial? En caso afimativo explique el significado físico del signo. b) Se cumple siempe que el aumento de enegía cinética es igual a la disminución de enegía potencial? Justifique la espuesta. 4. La masa de ate es 9 veces meno que la de la iea y su diámeto es 0,5 veces el diámeto teeste. a) Detemine la velocidad de escape en ate y explique su significado. b) Cuál seía la altua máxima alcanzada po un poyectil lanzado veticalmente hacia aiba, desde la supeficie de ate, con una velocidad de 70 km h -1? g = 10 m s - R = 6370 km 5. a) Analice las caacteísticas de la inteacción gavitatoia ente dos masas puntuales. b) Cómo se ve afectada la inteacción gavitatoia descita en el apatado anteio si en las poximidades de las dos masas se coloca una tecea masa, también puntual? Haga un esquema de las fuezas gavitatoias que actúan sobe la tecea masa. 6. a) Haciendo uso de consideaciones enegéticas, deduzca la expesión de la velocidad mínima que había que impimile a un objeto de masa m, situado en la supeficie de un planeta de masa y adio R, paa que saliea de la influencia del campo gavitatoio del planeta. b) Se desea que un satélite se encuente en una óbita geoestacionaia. Razone con qué peíodo de evolución y a qué altua debe hacelo.

19 CAPO GRAVIAORIO FCA Suponga que la masa de la iea se duplicaa. a) Calcule azonadamente el nuevo peiodo obital de la Luna suponiendo que su adio obital pemaneciea constante. b) Si, además de duplicase la masa teeste, se duplicaa su adio, cuál seía el valo de g en la supeficie teeste? G = 6, N m kg - ; = kg ; R = 6370km ; Robital Luna = 3, m

20 CAPO GRAVIAORIO FCA SA = 500 Kg h = 10 Km G = 6, N m R L = 1740 Km Kg = h = 700 s = R L + h = 1, m a) La tecea ley de Keple aplicada a la Luna dice 3 = KL K L = = Como K L 4π = G L L 4π = = 7,4 10 G K L Kg b) La Enegía potencial del satélite en la obita viene dada po la expesión: en la supeficie luna E E P P L SA 9 = G = 1,33 10 J L SA = G = 1,4 10 R L 9 J Δ = = 7 EP EPóbita EPP spf 910 J.- a) Ve poblema nº 9 de CAPO GRAVIAORIO FCA 06 b) La afimación es falsa, G como su popio nombe indica, es una constante univesal, es deci su valo es el mismo paa todo el univeso. La gavedad de Venus es meno que la de la iea po el valo de su masa y de su adio. 3.- a) La enegía cinética de una patícula no puede se negativa, no tiene sentido ya que la ecuación de la enegía cinética es EC 1 = m v aunque el módulo de la velocidad puede se negativo su cuadado es positivo. La enegía potencial si es negativa, viene dada po la ecuación m E = G P El signo negativo poviene de la necesidad que se cumplan las condiciones de dicha enegía y son que cece con la distancia y ha de se ceo en el infinito. Si fuea positiva no se cumpliían dichas condiciones.

21 CAPO GRAVIAORIO FCA b) Si se tata de un campo consevativo y solo actúan las fuezas del campo, si se cumple. Si actúan fuezas no consevativas no se cumple. 4.- = 9 si el diámeto es la mitad, el adio también R 6 R = = 3185km = 3, m a) Paa detemina la velocidad de escape en ate patimos de su ecuación v escape G = peo como no nos dan ni G ni, el valo de dicho R poducto lo sustituimos po su equivalente despejado de la expesión de la gavedad G g R = sustituyendo la expesión de la velocidad de escape se queda v = g R escape conocemos el adio de ate, hemos de calcula g en su supeficie /9 4 4 g = G = G = G = g = 4, 44 m s R ( R /) 9 R 9 sustituimos en la ecuación anteio y opeamos v = g R = 5318m s = 5,3km s escape 1 1 b) Al peguntanos sobe la altua máxima alcanza po un poyectil lanzado veticalmente hacia aiba, desde la supeficie de ate, con una velocidad de 70 km h -1 (00 m s -1 ), está clao que en dicho punto su velocidad seá ceo, esto nos pemite establece la siguiente ecuación paa el balance de enegía EC( inicial) + EP( inicial) = EP( final) es deci EC = Δ EP 1 m m mv 0 = G G R eliminando m y sacando facto común obtenemos v0 = G = g R R R

22 CAPO GRAVIAORIO FCA b) (continuación) despejando v 0 y deshaciendo el paéntesis g R v0 = g R despejando y sustituyendo g R = = m g R v 0 como = R + h h= R = 4511m Esta seía la foma coecta de esolve este apatado, aunque si consideásemos que la velocidad con la que lanzamos el cuepo no es lo suficientemente elevada paa que la altua que alcance el cuepo sea elevante con especto al adio de ate, podíamos plantea la vaiación de la enegía potencial como mgh 1 mv = 0 mgh v0 h= = 4504m g como vemos el eo cometido es muy pequeño. 5.- a) La inteacción gavitatoia ente dos cuepos es atactiva y puede expesase mediante una fueza cental diectamente popocional al poducto de las masas de los cuepos e invesamente popocional al cuadado de la distancia que los sepaa. La constante de popocionalidad es la llamada constante de gavitación univesal G, vectoialmente, expesamos esta fueza de la siguiente manea: mm ' F = G u G es la ley de gavitación univesal desaollada po Newton. La fueza que actúa sobe m es igual que la actúa sobe m, peo diigida en sentido contaio. b) Cuando tenemos un conjunto de vaias masas la fueza que actúa sobe una de ellas es igual a la esultante de las fuezas que las demás ejecen sobe ella, consideadas individualmente.

23 CAPO GRAVIAORIO FCA b) (continuación) F = F + F,1 3,1 6.- a) Que un cuepo salga de la influencia del campo gavitatoio del planeta significa que llegue a una distancia infinita (E P = 0) y que su velocidad sea ceo (E C = 0), po lo tanto su enegía mecánica seía ceo. A la velocidad necesaia que hay que dale al cuepo en la supeficie del planeta paa que eso ocua se le llama velocidad de escape. Como el campo gavitatoio es consevativo, la enegía mecánica se mantiene constante, en consecuencia, podemos plantea la siguiente ecuación E (sup eficie) + E (sup eficie) = 0 P C 1 m mv escape G = 0 R despejando v escape = G R b) Un satélite geoestacionaio se caacteiza po esta situado en todo momento sobe el mismo punto del planeta, esto se consigue si su peiodo de otación es el mismo del planeta sobe el que obita (en el caso de la iea el peiodo de otación del satélite seía de 4 h). Paa calcula la altua de la óbita patimos de la tecea ley de Keple 3 = k sustituyendo k po su valo 4π = G 3 despejamos G 4π = 3 y como = R+ h h G 4π = 3 R

24 CAPO GRAVIAORIO FCA a) ' = = Robital Luna = 3,84 10 m si llamamos v a la nueva velocidad obital de la Luna podemos calculala patiendo de la igualación ente la fueza centípeta y la fueza gavitatoia L v ' ' L G = despejando G ' G v' = = = 1443,7 ms 1 calculamos el peiodo en las nuevas condiciones b) ' = R' = R π ' = = ,8 s 19,34 días v ' ( ) llamamos g a la gavedad de la iea en la nueva situación ' g' = G = G = 4,9ms R ' ( R )

25 CAPO GRAVIAORIO FCA 08 ANDALUCÍA 1. Los satélites meteoológicos son un medio paa obtene infomación sobe el estado del tiempo atmosféico. Uno de estos satélites, de 50 kg, gia alededo de la iea a una altua de 1000 km en una óbita cicula. a) Calcule la enegía mecánica del satélite. b) Si disminuyea el adio de la óbita, aumentaía la enegía potencial del satélite? Justifique la espuesta. G = 6, N m kg - ; R = 6400 km ; = 6, kg. Un satélite del sistema de posicionamiento GPS, de 100 kg, se encuenta en una óbita cicula de adio 3 R. a) Calcule la vaiación que ha expeimentado el peso del satélite especto del que tenía en la supeficie teeste. b) Detemine la velocidad obital del satélite y azone si la óbita descita es geoestacionaia. G = 6, N m kg - ; = 6, kg ; R = 6400 km 3. a) Explique qué se entiende po velocidad obital de un satélite y deduzca azonadamente su expesión paa un satélite atificial que descibe una óbita cicula alededo de la iea. b) Se pueden detemina las masas de la iea y del satélite conociendo los datos de la óbita descita po el satélite? Razone la espuesta. 4. a) Analice las caacteísticas de la inteacción gavitatoia ente dos masas puntuales. b) Razone po qué la enegía potencial gavitatoia de un cuepo aumenta cuando se aleja de la iea. 5. Un satélite atificial de 1000 kg descibe una óbita geoestacionaia con una velocidad de 3, m s -1. a) Explique qué significa óbita geostacionaia y detemine el adio de la óbita indicada. b) Detemine el peso del satélite en dicha óbita. G = 6, N m kg - ; = 6, kg ; R = 6400 km 6. a)explique qué se entiende po velocidad de escape de la iea y deduzca azonadamente su expesión. b) Suponiendo que la velocidad de lanzamiento de un cohete es infeio a la de escape, explique las caacteísticas del movimiento del cohete y ealice un balance de enegías.

26 CAPO GRAVIAORIO FCA 08 ANDALUCÍA 1.-a) m = 50 kg h = 10 6 m = R + h = 7, m La enegía mecánica es la suma de la cinética y la potencial E = EC + EP la enegía potencial m EP = G 1 la enegía cinética EC = mv como la fueza gavitatoia ejece de fueza m mv m centípeta G = despejando mv = G sustituyendo en la ecuación 1 m m de la enegía cinética EC = G = G m m m E G G G 6, = + = = J m b) la enegía potencial es EP = G, al disminui, el valo numéico de la enegía potencial aumenta peo como es una magnitud negativa, su valo eal disminuye..-a) Si dividimos ente sí las intensidades del campo gavitatoio en la óbita y en la supeficie g G R o = g s = G (3 ) R g o g = s 1 9 calculamos la elación ente ambos pesos Po P s m g o = = m gs 1 9 el peso del satélite es nueve veces meno en la óbita que en la supeficie. b) La fueza centípeta que actúa sobe el satélite en óbita estable es la fueza gavitacional mv mm Gm = G despejando v obital = como = 3 obtenemos v obital Gm = = 4565,5 m 3 1 s

27 CAPO GRAVIAORIO FCA 08 ANDALUCÍA.-b) (continuación) Paa que la óbita sea geoestacionaia el peiodo obital del satélite ha de se el mismo que el peiodo sidéeo de otación teeste (3 hoas, 56 minutos). Calculamos el peiodo del satélite aplicando la tecea ley de Keple = k 3 la k paa la iea es 4π k = y como = 3 nos queda Gm 4π = = s h Gm 3 (3 ) 643 (7 1min) La óbita no es geoestacionaia. 3.-a) La velocidad obital de un satélite, es aquella que debe tene paa que su óbita sea estable y ha de cumplise que la fueza gavitatoia que le ejece la iea sea la fueza centípeta mv mm Gm = G despejando v obital = siendo el adio de la óbita medida desde el cento de la iea ( = + h) b) eniendo en cuenta que los datos obitales del satélite son, su peiodo () y el adio de la óbita (). Aplicando la tecea ley de Keple = k 3 podemos calcula el valo de la constante k y como esta viene dada po la ecuación 4π k = Gm despejando obtenemos la masa de la iea. Sin embago, no podemos conoce la masa del satélite, pues los datos obitales no dependen de ella. 4.-a) La inteacción gavitatoia ente dos cuepos es atactiva y puede expesase mediante una fueza cental diectamente popocional al poducto de las masas de los cuepos e invesamente popocional al cuadado de la distancia que los sepaa. La constante de popocionalidad es la llamada constante de gavitación univesal G, vectoialmente, expesamos esta fueza de la siguiente manea: m m' F = G u G

28 CAPO GRAVIAORIO FCA 08 ANDALUCÍA 4.-a) (continuación) es la ley de gavitación univesal desaollada po Newton. La fueza que actúa sobe m es igual que la actúa sobe m, peo diigida en sentido contaio. m b) la enegía potencial es EP = G, al aumenta, el valo numéico de la enegía potencial disminuye, peo como es una magnitud negativa, su valo eal aumenta. 5.-a) Un satélite geoestacionaio se caacteiza po esta situado en todo momento sobe el mismo punto del planeta, esto se consigue si su peiodo de otación es el mismo del planeta sobe el que obita (en el caso de la iea el peiodo de otación del satélite seía de 4 h). Paa calcula la altua de la óbita patimos de la tecea ley de Keple 3 = k sustituyendo k po su valo 4π = G m 3 despejamos G m 3 = = m (497 km ) 4π en este ejecicio, también podía calculase, patiendo de la ecuación de la velocidad obital, ya que el enunciado nos da el valo de esta v obital Gm Gm = = m km v = despejando (41644 ) la difeencia ente ambos cálculos estiba en que la velocidad obital está edondeada. b) Calculamos la gavedad en la óbita geoestacionaia ( = m) g = G = 0, ms como la masa del satélite es m = 1000 kg tenemos P = mg = 0 N

29 CAPO GRAVIAORIO FCA 08 ANDALUCÍA 6.-a) Es la velocidad mínima que hay que comunicale a un cuepo situado en la supeficie de la iea paa que abandone de manea definitiva el campo gavitatoio de esta. El cuepo que se halla en la supeficie del planeta con la coespondiente enegía potencial mm EP = G es dotado de la enegía cinética necesaia paa que llegue a una distancia infinita (E P = 0) donde su velocidad y po consiguiente su enegía cinética, se haga ceo. El pincipio de consevación de la enegía mecánica exige que 1 mm + = 0 mvescp G despejando v escp = Gm b) Es evidente que el cohete no saldá del campo gavitatoio teeste. Duante la ascensión y mientas due el combustible, la enegía cinética que le povoca la combustión se tansfoma en enegía potencial. Cuando el combustible se agota, su velocidad va disminuyendo hasta queda paado (siempe que no tenga una componente tangencial de velocidad, en cuyo caso entaía en óbita) con la máxima enegía potencial, en este momento comienza la caída hacia la supeficie de la iea duante la cual, la enegía potencial se tansfoma en cinética.

30 CAPO GRAVIAORIO FCA 10 ANDALUCÍA 1. a) Explique qué se entiende po velocidad de escape y deduzca azonadamente su expesión. b) Razone qué enegía había que comunica a un objeto de masa m, situado a una altua h sobe la supeficie de la iea, paa que se alejaa indefinidamente de ella.. Dos masas puntuales m 1 = 5 kg y m = 10 kg se encuentan situadas en los puntos (-3, 0) m y (3, 0) m, espectivamente. a) Detemine el punto en el que el campo gavitatoio es ceo. b) Compuebe que el tabajo necesaio paa taslada una masa m desde el punto A (0, 4) m al punto B (0, -4) m es nulo y explique ese esultado. 3. a) Indique las caacteísticas de la inteacción gavitatoia ente dos masas puntuales. b) Explique en qué punto, ente dos masas puntuales, puede encontase en equilibio una tecea masa puntual y cuál seía su enegía potencial. 4. Un satélite de 00 kg descibe una óbita cicula alededo de la iea con un peiodo de dos hoas. a) Calcule azonadamente el adio de su óbita. b) Qué tabajo tendíamos que ealiza paa lleva el satélite hasta una óbita de adio doble. G = 6, N m kg - ; = kg 5. La masa de la iea es 81 veces la de la Luna y la distancia ente sus centos es 3, km. a) Calcule en qué punto, ente la iea y la Luna se encontaía en equilibio un meteoito de 00 kg. b) Cuál seía la enegía potencial del meteoito en ese punto? G = 6, N m kg -, L = 7,35 10 kg 6. a) Enuncie las leyes de Keple. b) Demueste la tecea ley de Keple a pati de la ley de gavitación univesal de Newton paa un óbita cicula. 7. a) Explique qué se entiende po velocidad obital y deduzca su expesión paa un satélite que descibe una óbita cicula alededo de la iea. b) Razone cómo vaiaía la enegía mecánica del satélite si se duplicaa su masa.

31 CAPO GRAVIAORIO FCA 10 ANDALUCÍA 8. Dos masas puntuales m = 10 kg y m = 5 kg están situadas en los puntos (0,3) m y (4,0) m, espectivamente. a) Dibuje el campo gavitatoio poducido po cada una de las masas en el punto A (0,0) m y en el punto B (4,3) m y calcule el campo gavitatoio total en ambos puntos. b) Detemine el tabajo necesaio paa desplaza una patícula de 0,5 kg desde el punto B hasta el A. Discuta el signo de este tabajo y azone si su valo depende de la tayectoia seguida. G = 6, N m kg - 9. Un satélite de kg gia alededo de la iea en una óbita cicula de km de adio. a) Detemine azonadamente su velocidad obital. b) Suponiendo que la velocidad del satélite se anulaa epentinamente y empezaa a cae sobe la iea, con qué velocidad llegaía a la supeficie teeste? Considee despeciable el ozamiento del aie. G = 6, N m kg - ; = kg; R = 6370 km

32 CAPO GRAVIAORIO FCA 10 ANDALUCÍA 1.- a) Es la velocidad mínima que hay que comunicale a un cuepo situado en la supeficie de cualquie asto paa que abandone de manea definitiva el campo gavitatoio de este. Suponiendo que dicho asto fuese la iea el cuepo que se halla en la supeficie del planeta con la coespondiente enegía potencial mm EP = G es dotado de la enegía cinética necesaia paa que llegue a una distancia infinita (E P = 0) donde su velocidad y po consiguiente su enegía cinética, se haga ceo. El pincipio de consevación de la enegía mecánica exige que 1 mm + = 0 mvescp G despejando v escp = Gm b) Antes de esolve este apatado, hemos de supone dos cosas, pimeo, que el cuepo inicialmente está paado con especto a la iea (E c = 0) a una altua h de su supeficie ya que el enunciado del poblema no dice que esté en obita, segundo, que el sentido de la fase alejalo indefinidamente significa, sacalo de la influencia de su campo gavitatoio, es deci, ponelo en el infinito (E p = 0) a velocidad ceo (E c = 0). Si llamamos E a la enegía que hay que comunicale, el pincipio de consevación de la enegía nos dice E ( ) 0 p h + E = mm G E 0 + h + = mm E = G + h.- a) m 1 = 5 kg en el punto (-3,0) y m = 10 kg en el punto (3,0) x y 6 x x m 1 g 1 P g m Como vemos en la figua el campo gavitatoio se anula en el punto P (más cecano a m 1 ya que esta es más pequeña), donde ambos campos se anulan al se iguales en módulo y de sentido contaio. Si llamamos x a la distancia ente m 1 y P, la distancia ente m y P seá, 6 x. Planteamos la ecuación de la igualdad ente módulos g1 m1 m = g G = G x (6 x)

33 CAPO GRAVIAORIO FCA 10 ANDALUCÍA.- a) (continuación) 5 10 = x 36 1x+ x x + x = 0 esolviendo y escogiendo la solución adecuada nos sale x =,48 m, po lo tanto el punto P seá ( 0,5, 0) b) y A d d m 1 m x d d B Como vemos en la figua, las cuato distancias macadas ente los puntos A y B y ambas masas son iguales, aplicando Pitágoas obtenemos d = + = m calculamos el potencial en A sumando los potenciales que cean en dicho punto las masas m 1 y m m1 m G VA = V1A + VA = G G = ( m1+ m) d d d calculamos el potencial en A sumando los potenciales que cean en dicho punto las masas m 1 y m m1 m G VB = V1B + VB = G G = ( m1+ m) d d d como vemos ambos potenciales son iguales y po lo tanto el tabajo paa taslada una masa m desde A hasta B es nulo poque es nula la difeencia de potencial.

34 CAPO GRAVIAORIO FCA 10 ANDALUCÍA 3.- a) La inteacción gavitatoia ente dos cuepos es atactiva y puede expesase mediante una fueza cental diectamente popocional al poducto de las masas de los cuepos e invesamente popocional al cuadado de la distancia que los sepaa. La constante de popocionalidad es la llamada constante de gavitación univesal G, vectoialmente, expesamos esta fueza de la siguiente manea: m m' F = G u G es la ley de gavitación univesal desaollada po Newton. La fueza que actúa sobe m es igual que la actúa sobe m, peo diigida en sentido contaio. b) El punto ente dos masas puntuales en que puede encontase en equilibio una tecea masa puntual es aquel en que las fuezas gavitatoias que ejecen cada una de las masas sobe la tecea, que se encuenta ente ellas, son iguales y de sentido contaio con lo que se anulan ente ellas y la esultante es ceo. La enegía potencial de la tecea masa en ese punto seía mínima con especto a la que tendía en cualquie ota posición del eje X ya que se encuenta en equilibio. 4.- a) Paa calcula el adio de la óbita aplicamos la tecea ley de Keple teniendo en cuenta que la constante que apaece en esta ley sólo depende de la masa del cuepo sobe el que se obita, en este caso, la iea y que el peiodo es de dos hoas (700 s) 3 = k 4π k = G 4π = G G 700 6, s Nmkg kg = = 3 = 8, π 4π b) El tabajo lo calculamos como la difeencia de enegía mecánica del satélite ente las dos óbitas de adio y ( = 8, m) mm mm W =Δ Em = Em( ) Em( ) = G G ( ) mm mm mm 4 4, W = G G = G = J 6 m

35 CAPO GRAVIAORIO FCA 10 ANDALUCÍA 5.- a) Paa que el meteoito se encuente en equilibio, la fueza esultante ha de se nula y los módulos de la fueza gavitatoia de la iea y de la Luna han de se iguales F G = F GL m m ml m G = G x d x ( ) ( ) m d x = m x L desaollando obtenemos la siguiente ecuación de segundo gado (m = 81m L = kg) ( m m ) x m d x m d + = 0 L ,91 10 x 4,59 10 x+ 8,8 10 = 0 ( ) 4,59 10 ± 4, , ,8 10 x = 4 5, siendo los dos esultados x1 = 4, 8 10 m y x = 3, m como x ha de se meno 8 que d, en este caso el esultado que se nos pide es x = 3, m medidos desde la iea. b) La enegía potencial del meteoito en ese punto es la suma de la enegía potencial del meteoito con especto a la iea y la que tiene con especto a la Luna 6.- a) Ve teoía mm mm L Ep = G G =,55 10 x d x b) Consideemos un planeta de masa m que obita en tono al Sol (de masa m S ) a una distancia, si tenemos en cuenta que la fueza gavitacional es centípeta G mm S = mω 8 J

36 CAPO GRAVIAORIO FCA 10 ANDALUCÍA 6.- b) (continuación) como ω = π /, entonces mm S 4π G = m eoganizando la anteio igualdad se obtiene 4π = Gm 3 S llamando k a los valoes constantes obtenemos la tecea ley de keple 4π k = =k Gm S a) La velocidad obital de un satélite, es aquella que debe tene paa que su óbita sea estable y ha de cumplise que la fueza gavitatoia que le ejece la iea sea la fueza centípeta mv mm Gm = G despejando v obital = siendo el adio de la óbita medida desde el cento de la iea ( = + h) b) La enegía mecánica del satélite en obita viene dada po la siguiente expesión mm Em = G si se duplicaa la masa del satélite, se duplicaía la enegía mecánica. 8.- a) m 1 = 10 kg m = 5 kg y m 1 g 1A g A g B g 1B B g B A g A m Calculamos las intensidades de campo ceadas po las masas m 1 y m en el punto A (0,0)

37 CAPO GRAVIAORIO FCA 10 ANDALUCÍA 8.- a) (continuación) m N = = 7,41 10 Kg 1 11 g1a G i j 1 A m N = =,08 10 Kg 11 g A G j i A sumando vectoialmente obtenemos g A =,08 10 i + 7,41 10 j N Kg Calculamos las intensidades de campo ceadas po las masas m 1 y m en el punto B (4,3) m 1 11 N g1b = G i = 4,17 10 i Kg 1B m N = = 3, 7 10 Kg 11 g AB G j j B sumando vectoialmente obtenemos g B i = 4, ,7 10 j N Kg b) Calculamos el potencial gavitatoio ceado po las masas m 1 y m en los puntos (0,0) y (4,3) m m 10 5 J = + = + = g V(0,0) G 6, , A A 3 4 K m m 10 5 J = + = + = g V(4,3) G 6,67 10, B B 4 3 K calculamos el tabajo paa taslada una caga de 0,5 Kg desde el punto (4,3) hasta el punto (0,0) mediante la expesión que lo elaciona con la difeencia de potencial ( ) ( ) W = m V V = Kg + J Kg = J (0,0) (4,3) 0,5 3,05 10,78 10 / 1,35 10 el signo negativo nos indica que la enegía potencial aumenta ( W = Δ Ep ), es deci, que el tabajo se ealiza conta las fuezas del campo. Puesto que es un campo consevativo, su valo no depende de la tayectoia seguida.

38 CAPO GRAVIAORIO FCA 10 ANDALUCÍA 9.- a) La velocidad obital de un satélite, es aquella que debe tene paa que su óbita sea estable y ha de cumplise que la fueza gavitatoia que le ejece la iea sea la fueza centípeta mv mm Gm = G despejando v obital = v ob ,67 10 Nm kg 6 10 kg = = 89m m 1 s b) Si la velocidad del satélite se anulaa epentinamente, en ese instante sólo tendía enegía potencial E () p, al llega a la supeficie de la iea tendía enegía cinética Ec y enegía potencial E ( ), aplicando el pincipio de consevación de la enegía mecánica p E () = E + E ( ) E = E () E ( ) p c p c p p mm mm E G G = 11 c 3, = J sustituyendo la enegía cinética po su expesión calculamos la velocidad 1 1 3,03 10 mv = 1 J 11 3,0310 J v= = 141m kg 1 s

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