1 INTERACCIÓN GRAVITATORIA IDEAS PRINCIPALES

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1 1 INTERACCIÓN GRAVITATORIA IDEAS PRINCIPALES Leyes de Keple Ley de gavitación univesal Constante de gavitación univesal Campo gavitatoio Intensidad del campo gavitatoio Líneas de fueza Campo gavitatoio teeste Enegía potencial y potencial gavitatoios Velocidad de escape Satélites atificiales La ley de la gavitación univesal es uno de los pilaes básicos de todo el edificio de la mecánica clásica elaboado po Newton y otos científicos de los siglos XVIII y XIX. En cusos anteioes hemos abodado la inteacción ente dos cuepos consideados como puntuales y hemos analizado fundamentalmente la atacción gavitatoia ente la Tiea y un cuepo en las poximidades de su supeficie, consideando constante su valo. Duante este cuso haemos un planteamiento a pati de la idea de «campo gavitatoio» genealizando el estudio a más de dos cuepos y, aunque dedicaemos especial atención al campo gavitatoio ceado po la Tiea, consideaemos situaciones lejanas a la supeficie teeste en las que el valo del campo gavitatoio disminuye apeciablemente especto al que tiene en las poximidades de la Tiea. Aplicaemos los esultados obtnidos al estudio del movimiento de los satélites atificiales. 43

2 1 TEORÍAS COSMOLÓGICAS Aún a iesgo de simplifica excesivamente, vamos a expone en pocas líneas algunos puntos esenciales paa compende la evolución del pensamiento sobe aspectos científicos como fue la evolución de las teoías que intentaon descibi y explica el cosmos. La oba de Aistóteles (384-3 a. de C.) peduó lago tiempo. Quizás una azón po la que el tabajo de Aistóteles tuvo tanto atactivo fue su enome amplitud. El Filósofo fomuló un concepto de la estuctua del univeso y una teoía del movimiento. Ambas ean insepaables y natualmente elacionadas e intedependientes. Juntas constituían una visión completa que duante mucho tiempo sivió de guía, a veces aceptada textualmente, a los pensadoes que se ocupaban de estos temas. Paa Aistóteles, el cento de la Tiea ea el cento mismo del Univeso. Estaba clao que podían vese sin dificultad los «siete planetas» de la antigüedad, que ya habían sido econocidos desde hacía miles de años (Luna, Sol, Mecuio, Venus, Mate, Júpite y Satuno), cuzando el cielo giando, «obviamente», alededo del cento del cosmos. El movimiento cicula ea la pefección y así, con bastante lógica, Aistóteles imaginó los planetas, cada uno suspendido en una de las siete esfeas concénticas tanspaentes. La octava esfea cistalina tanspotaba la cúpula de estellas y todo giaba alededo de una Tiea inmóvil, el eje univesal. El Filósofo sostenía que toda la mateia teeste estaba compuesta de cantidades difeentes de los cuato elementos clásicos comunes: tiea, agua, aie y fuego. Po el contaio, la egión que se extendía más allá de la Luna ea etena; lo había sido siempe y, po consiguiente, debía se inmutable e incouptible. Po tanto, el dominio celestial debía esta compuesto de un quinto elemento pefecto, el éte. La caída de los objetos po sí mismos epesentaba el movimiento natual. Cada uno de los elementos comunes tiene su luga en el univeso, hacia el que intenta movese. Aistóteles afimaba que el peso de un cuepo y la esistencia del medio en el que se mueve colaboan con el fin de hacelo cae con una velocidad popocional a su peso e invesamente popocional a la esistencia del medio. En consecuencia, un objeto diez veces más pesado que oto caeía diez veces más ápido. Resulta cuioso que Aistóteles llegase a concebi la existencia del vacío, peo que echazase esa idea pues en el vacío no se opondía ninguna esistencia al avance de los cuepos, po lo que la velocidad seía infinita, es deci, que un cuepo podía ocupa dos posiciones difeentes en un mismo instante. Esto es imposible de concebi, po lo que había que echaza la idea de vacío. El modelo ptolemaico Ptolomeo popuso en su oba El Almagesto (140 d. de C.) un sistema astonómico muy útil, pues pemitía pedeci con notable exactitud el movimiento de los cuepos celestes obsevados. En ese sistema la Tiea ocupaba el cento del univeso, y los demás cuepos celestes, incluido el Sol, se movían alededo de la Tiea. Cada cuepo descibía cículos, llamados epiciclos, al mismo tiempo que el cento de ese cículo se desplazaba sobe oto cículo, llamado defeente, alededo de la Tiea. Lo esencial del sistema tolemaico ea que la Tiea ocupaba el cento y que los movimientos ean siempe ciculaes. Defeente Epiciclo Tiea 44 CAMPOS DE FUERZAS

3 El modelo copenicano Copénico en su De Revolutionibus Obium Coelestium (1543), publicado cuando se estaba muiendo, intodujo un modelo matemático en el que la Tiea tenía tes movimientos unifomes sepaados. Giaba en una gan óbita cicula alededo del Sol, otaba sobe un eje inclinado y a su vez este eje tenía lo que después se ha llamado un movimiento de pecesión, es deci que cambia de posición. El sistema copenicano tuvo gandes dificultades paa se admitido, lo que no esulta extaño pues debemos econoce que no es fácil admiti que la Tiea se mueve. Las caacteísticas esenciales del sistema copenicano ean: 1) El Sol ocupaba el cento. ) Los movimientos ean ciculaes. 3) Los movimientos ean unifomes. Galileo jugó un papel impotante en la difusión de la teoía copenicana. Con sus telescopios analizó epetidamente la supeficie de la Luna obsevando las iegulaidades de la misma; eso contibuyó a i desmontando la idea de la sepaación ente cielos y tiea: los cielos pefectos, eflejo de la divinidad, y la tiea impefecta como coesponde a la condición humana. En Galileo se pesonifica el nacimiento de la Ciencia modena, aunque debe tenese pecaución cuando se hace una simplificación tan gande. Las leyes de Keple Keple, basándose en los datos astonómicos de Bahe y en los suyos popios, popuso ente 1600 y 160 una explicación del movimiento de los cuepos celestes en la que, admitiendo la idea de Copénico de que la Tiea no ocupa el cento del Univeso, avanzó algo más abandonando algunas ideas anteioes. En su pimea ley, abandonó el movimiento cicula como único posible paa los cuepos celestes y estableció que el movimiento de los mismos se hacía en óbitas elípticas. (Esto le costó un enome esfuezo y estuvo dudando duante vaios años). Movimiento de un planeta alededo del Sol. La excenticidad de la elipse está muy exageada En la segunda ley, abandonó la idea de que los planetas se movían unifomemente. La fomuló como sigue: «Un planeta se mueve de tal foma que una línea tazada desde el Sol a su cento bae áeas iguales en intevalos de tiempo iguales». Esto significa que los planetas se mueven con velocidad ceciente a medida que se acecan al Sol, siendo máxima en el afelio (punto más cecano al Sol), y luego fenan gadualmente según van alejándose en la óbita, siendo mínima en el peihelio (punto más lejano al Sol). 45

4 La ley sostiene que el áea baida po cualquie planeta (po ejemplo la Tiea), digamos en una semana, seá la misma siempe que el planeta esté en la óbita, tanto si está en una semana de junio como en una de eneo. Ceca del Sol, la apidez es gande, el aco es lago y el cote tiangula coto y ancho. Lejos del Sol, la apidez es meno, el cote es estecho peo alto y el áea sigue siendo igual que antes. La tecea ley fue popuesta en 1618 y en ella se establecía una elación ente el tiempo que tada un planeta en ecoe una óbita completa y la distancia media del mismo al Sol: «La elación ente el cubo de la distancia media y el cuadado del peíodo de evolución es una constante paa todos los planetas»: D T 3 = K Esa constante es la misma paa todos los planetas que gian alededo de una misma estella, o paa todos los satélites alededo de un mismo planeta, peo es difeente cuando cambiamos de estella. Es deci, los hipotéticos planetas de la estella Alfa Centaui también cumplen esa ley, peo con un valo de K difeente al de los planetas del Sol. A.1.- Con los datos siguientes compueba si se cumple la tecea ley de Keple. En los datos D epesenta la distancia media del Sol al planeta en unidades astonómicas (D = 1 es la distancia Tiea-Sol), y T el peíodo de evolución expesado en años teestes. Mecuio: D = 0,39, T = 0,4; Venus: D = 0,7, T = 0,6; Tiea: D = 1,00, T = 1,00; Mate: D = 1,53, T = 1,88; Júpite: D = 5,1, T = 11,9; Satuno: D = 9,55 T = 9,5. «INVENCIÓN» DE LA LEY DE NEWTON DE LA GRAVITACIÓN Newton consiguió con su ley que las leyes de Keple quedaan explicadas dento de un maco más amplio, válido no sólo paa los cuepos celestes sino que también podía se aplicado a los movimientos teestes. Sin desmeece el genio de Newton, debemos tene en cuenta que el poblema estaba planteado, que había intentos de Huygens, Halley y de Hooke paa esolvelo. El mismo Hooke eclamó a Newton el hono de habe sido el pimeo en esolve el poblema de los planetas y, aunque no paece que sea cieto, es sintomático de la existencia de un poblema que había que esolve en el que tabajaba más de un científico simultáneamente. En ocasiones se cuenta la Histoia de la Ciencia como si fuea una seie de anécdotas. Una de las más difundidas es la de que Newton descubió la ley de la gavitación al ve como caían las manzanas de un ábol de su jadín. Esto da la imagen de que los descubimientos científicos son futo de la casualidad o de una ocuencia genial en un momento dado. Nada más lejos de la ealidad. Las teoías científicas no pueden compaase a un golpe de suete. Hay mucho tabajo detás, y muchos intentos fallidos, hasta que se consigue un esultado válido. Un ejemplo puede se la ley de la gavitación. Como sabes, Newton estableció en la ley de la gavitación que la atacción ente dos cuepos es univesal, siendo válidos tanto paa los cuepos de la Tiea como paa los cuepos celestes. Eso supuso un avance bastante impotante, ya que significaba iguala los cielos «divinos» con el impefecto mundo teeste «humano». 46 CAMPOS DE FUERZAS

5 Oto méito impotante de la ley de la gavitación es su extensión a todos los cuepos, aún sin tene la evidencia que justificaa esa idea. De hecho no fue hasta 1798 cuando Cavendish ealizó expeiencias en el laboatoio que pemitieon detemina el valo de G, la constante de gavitación univesal, al tiempo que se compobaba la existencia de débiles fuezas de atacción ente cuepos de masa pequeña..1 Ley de la gavitación univesal Popuesta po Newton en 1687 en su oba «Pincipios Matemáticos de la Filosofía Natual». Ente dos cuepos cualesquiea, de masas m 1 y m, en cualquie luga del Univeso donde se hallen, sepaados po una distancia d, existen dos fuezas atactivas iguales aplicadas sobe cada uno de ellos y cuyo valo es diectamente popocional al poducto de las masas de ambos cuepos e invesamente popocional al cuadado de la distancia que los sepaa. mm 1 El módulo de esas fuezas es, po lo tanto, F = G m 1 m1 m m1 m F,1 G F d 1, G d m d La constante de gavitación, G, es una constante univesal, que no depende de los cuepos que inteaccionan ni del medio en el que se encuenten. Su valo 1 en el SI es 6, Nm /kg. Las fuezas gavitatoias existen ente cualquie paeja de cuepos peo la expesión popuesta paa calcula su valo sólo es coecta cuando los dos cuepos pueden considease puntuales (es deci, su tamaño es pequeño en compaación con la distancia que los sepaa), o paa cuepos esféicos isótopos (aquellos que tienen las mismas popiedades en cualquie diección). Las fuezas gavitatoias son siempe atactivas, son centales y también consevativas, es deci, que el tabajo que ealizan no depende de la tayectoia escogida, tan sólo depende de los puntos inicial y final. 1 El valo aceptado a pati del año 1986 es G = (6,6759 ± 0,00085) Nm /kg. En el año 1998 el Comité encagado de ecoge y analiza los datos de las constantes fundamentales, estimó que la incetidumbe en la medida ea mayo de ±0,01, lo que suponía un empeoamiento en la incetidumbe. En el año 000, investigadoes de la Univesidad del estado de Washington pesentaon el valo de G = (6,6739 ± 0,0001) Nm /kg. Lo que ha mejoado ha sido que ha disminuido la incetidumbe de la medida. De todas fomas, la constante G se conoce con meno exactitud que otas, como po ejemplo la velocidad de la luz o la constante de Planck. 47

6 A..- a) Po qué la constante G tiene las unidades eseñadas? b) Calcula la fueza de atacción gavitatoia ente dos pesonas de 75 kg cada una sepaadas una distancia de 0 cm. Paa el cálculo puedes considea que las pesonas son puntuales, aunque es evidente que esto no es cieto. F = 9, N A.3.- Calcula la fueza de atacción gavitatoia ente un electón y un potón sepaados la distancia de 1 Å (El angstöm = m, se emplea mucho como unidad en física atómica ya que el tamaño de los átomos es de ese oden de magnitud); m e = 9, kg; m p =1, kg. F = N A.4.- En los dos ejemplos anteioes las fuezas gavitatoias calculadas son tan pequeñas que justifican que puedan se «despeciadas» en las situaciones eales. En qué ocasiones las fuezas gavitatoias tendán valoes que no seán despeciables? La fueza que hace el Sol sobe la Tiea seá mayo o meno que la que hace la Tiea sobe el Sol? Pincipio de supeposición Si tenemos un sistema constituido po vaios cuepos puntuales, o que podemos considea como tales, paa calcula la fueza gavitatoia sobe uno de ellos podemos utiliza el pincipio de supeposición: la inteacción gavitatoia ente dos cuepos es independiente de la pesencia de oto u otos cuepos. Po ello, podemos calcula cada una de las fuezas que actúan sobe un cuepo independientemente y sumándolas obtendemos la acción del sistema sobe ese cuepo. EJEMPLO Calcula la fueza gavitatoia que dos cuepos puntuales de 10 y 0 kg situados espectivamente en los puntos (0,0) y (10,0), sobe un tece cuepo de 4 kg situado en el punto (7,5). Paa este tipo de polemas podemos segui una seie de pasos que nos pemitan esolvelos sin mucha dificultad: 1) Repesenta la situación mediante un dibujo. Inclui las fuezas que actúan tal como nos muesta el diagama. y ) Calcula el módulo de cada una de las fuezas que actúan sobe el cuepo en cuestión. Paa ello calculaemos peviamente la distancia ente los cuepos mediante el teoema de Pitágoas, y luego utilizaemos la ley de gavitación univesal: m d 1 = = 74 F 3 1, 3 F d = = 34, 3 d 1 d m F1,3 = 6,67 10 = 3,6 10 N (0,0) m x F,3 = 6,67 10 = 15,7 10 N 34 3) Pocedeemos a la suma de todas las fuezas. Paa ello, peviamente habá que escibilas como vectoes, calculando sus componentes. 48 CAMPOS DE FUERZAS

7 11 11 F = 3,6 10 cos i+ 3,6 10 sen j 1, F = 15,7 10 cos i+ 15,7 10 sen j,3 Los valoes de las funciones tigonométicas son: sen = 5 5 = 0,58 sen = = 0, cos = 7 3 = 0,81 cos = = 0, Po tanto, podemos escibi: ,3 = F,9 10 i,1 10 j N 11 11,3 = F 8,1 10 i 13,5 10 j N = F 5, 10 i 15,6 10 j N A.5.- Tes cuepos que pueden considease puntuales tienen una masa de 500 g cada uno y están situados en los puntos A (0,0), B (0,5) y C (4, 0) (en metos). Calcula la fueza que los dos pimeos ejecen sobe el teceo. F 3 = 1, i +3, j N Foma de calcula la constante de gavitación univesal La constante G puede deteminase mediante la balanza de Cavendish (1798), que es una balanza de tosión. Como puede vese en la figua, el fundamento de la balanza es muy simple, aunque ota cosa es constuila de foma que pemita medidas muy sensibles y exactas. El dispositivo está fomado po un hilo fino que sujeta una vailla en cuyos extemos hay colocados dos cuepos cuyas masas se han medido peviamente. Cuando a esos cuepos se acecan otos de mayo masa, apaecen dos fuezas de atacción gavitatoia que hacen gia, aunque sólo ligeamente, al hilo que sostiene las dos bolas más pequeñas. Dado que el gio es muy pequeño, conviene utiliza un pocedimiento que pemita apecialo bien. Paa ello se coloca un espejo solidaio con el hilo, de foma que al gia el hilo, lo haga también el espejo, lo que povocaá que un ayo de luz se efleje hacia un luga difeente. Midiendo la desviación del ayo de luz, podemos sabe cuánto ha giado el hilo y, de ahí, sabe cuál es el valo de las fuezas ente las bolas gandes y pequeñas. Una vez medida la fueza gavitatoia es posible conoce la constante G a pati de la ley de la gavitación. Esquema de la balanza de Cavendish A.6.- a) Conocido el valo de G y el adio de la Tiea (6370 km) detemina el valo de la masa de la Tiea. Sugeencia: tene en cuenta que la fueza con la que la Tiea atae a un cuepo que se encuenta sobe su supeficie es igual a (9,8m) N. b) Calcula la densidad media de la Tiea y, con ese valo, popón una explicación de cómo debe esta constituida la Tiea. m T = 5, kg; d = 5,5 g/cm 3 49

8 EJEMPLO A la balanza de Cavendish se le llama la balanza del Univeso. El nombe lo ecibe poque la deteminación del valo G = 6, Nm /kg pemite la estimación de las masas de los cuepos celestes. Como ejemplo, calculemos la masa de la Tiea conociendo los datos del movimiento de la Luna. La Luna, que es un satélite de la Tiea, da un gio alededo de la misma cada 7,3 días y la distancia ente el cento de la Tiea y el cento de la Luna es de km. A pati de esos datos calcula la masa de la Tiea. La Luna descibe un movimiento cicula alededo de la Tiea. Paa ese movimiento cicula se necesita una fueza diigida hacia el cento que en este caso es la fueza con la que la Tiea atae a la Luna. Po lo tanto se debe cumpli que: MT ml v v d G = ml ; MT = d d G v es la velocidad lineal de la Luna en su gio alededo de la Tiea. Puede calculase teniendo en cuenta que el gio completo es una cicunfeencia de adio d, cuya duación es de 7,3 días. 8 8 Tiea 4 v = 3,84 10 = 10,9 m s MT = 10,9 3,84 10 = 6 10 kg , ,67 10 F gavitatoia Luna A.7.- Paa calcula la masa del Sol podemos utiliza los datos del movimiento de la Tiea en su gio alededo del mismo. a) Calcula la masa del Sol sabiendo que la Tiea da una vuelta en un año y que la distancia ente los centos de ambos cuepos es km. b) Cuántas Tieas había que pone paa que la masa fuese equivalente a la del Sol? c) Al calcula la velocidad de la Tiea habás obtenido un valo apoximado de 30 km/s. Cómo es posible que no nos demos cuenta que nos desplazamos a una velocidad tan alta? Po ejemplo, al echa una pelota hacia aiba ésta se debeía queda «atás», ya que si suponemos que tada 4 s en subi y baja, la Tiea habá ecoido 10 km duante ese beve intevalo de tiempo. Sin embago, nunca se obseva que si lanzamos hacia aiba una pelota, ésta caiga 10 km más atás, sino que cae apoximadamente en la misma posición desde la que se lanzó. Intenta explica po qué ocue así. a) M s = kg; b) apoximadamente Tieas Paa pode medi la masa de un cuepo celeste debemos conoce los datos del movimiento de algún satélite de ese cuepo, es deci conoce el tiempo que tada en da una vuelta completa y el adio de la óbita (o medi el peso de un cuepo de masa conocida en su supeficie, lo que esulta mucho más difícil). Po ejemplo, podemos calcula con cieta facilidad la masa de Júpite pues conocemos los datos del movimiento de sus satélites, peo no podemos calcula con este pocedimiento la masa de la Luna, ya que no tiene satélites. 3 CAMPO GRAVITATORIO. INTENSIDAD DE CAMPO Cuando Newton popuso la ley de la gavitación univesal, su enome potencia paa explica distintos fenómenos, ya que se podía aplica paa compende tanto el movimiento de los cuepos celestes como la caída de los cuepos en la Tiea, hizo que de alguna foma quedaan soteados algunos poblemas que planteaba. El más impo- 50 CAMPOS DE FUERZAS

9 tante de ellos es el de la llamada «acción a distancia». Cómo es posible que un cuepo ejeza una acción sobe oto que no se encuenta en contacto con el pimeo? El popio Newton ea consciente de esa dificultad, peo él supo acota el poblema que podía esolve. Se contentó con popone de qué dependía el valo de la inteacción ente los dos cuepos, peo no dio explicación alguna a cómo se podía lleva a cabo dicha inteacción. Es famosa la fase «no hago hipótesis» de Newton, con la que queía expesa que no ea su intención hace especulaciones que no pudiea poba o demosta. De esa manea, no popuso ninguna explicación paa cómo podía ejecese esa fueza a distancia en el libo en el que tataba sobe la gavitación, «Pincipios matemáticos de la filosofía natual», aunque sí expesó su oposición a la idea de «acción a distancia» en la última edición de la «Óptica», ota oba impotante suya publicada posteiomente. Más de un siglo después, cuando ya se había avanzado en la explicación de las inteacciones electomagnéticas, aún pemanecía sin esolve el poblema de la «acción a distancia». Paa muchos científicos, la acción a distancia epugnaba a la azón. A Faaday, duante la tecea y cuata décadas del s. XIX, no le paecía que la «acción a distancia» tuviea sentido físico y, viendo como un cuepo se mueve de un sitio a oto, deseaba ve también, la cueda que tiase de él o el palo que le empujase. Así, paa explica las fuezas que actúan ente las cagas elécticas y los imanes, tuvo que imagina que el espacio intemedio estaba lleno de «algo» que podía tia o empuja. Las ideas de Faaday abieon una nueva época en el desaollo de la Física. Las misteiosas fuezas que actuaban a lagas distancias ente los cuepos fueon sustituidas po «algo» distibuido continuamente po todo el espacio ente y en tono a ellos, algo a lo que podía atibuise un deteminado valo en cualquie punto. Estas ideas intodujeon las nociones de «campo de fuezas» o simplemente campo, ya fuese de inteacciones elécticas, magnéticas o gavitatoias. Las fuezas ente objetos sepaados po espacios vacíos se podían considea como el esultado de inteacciones ente los cuepos y los campos en los que estaban esos cuepos inmesos. Decimos que en una egión del espacio hay un campo cuando existe una magnitud física que toma un valo difeente en cada punto del espacio. La existencia de un cuepo como la Tiea, cea a su alededo un espacio petubado po fuezas gavitatoias, es deci, un campo gavitatoio. Esto lo sabemos poque al coloca cualquie cuepo póximo a la Tiea, sobe él se ejece una fueza, la que llamamos fueza de gavedad o, más abeviadamente «peso». Así, en luga de pensa que la Tiea atae «a distancia» a los objetos que están póximos a ella, pensamos que la Tiea petuba el espacio ceando un campo que es el esponsable de la inteacción. Si m es la masa de un cuepo sobe el que actúa una fueza gavitatoia F en un punto del espacio, llamaemos intensidad del campo gavitatoio en ese punto, que notaemos g, al cociente: F g = m Así pues, el valo de la intensidad de campo gavitatoio en cada punto nos indica el valo de la fueza que se ejeceía sobe un cuepo de masa unidad colocado en ese punto. La masa es la popiedad de la mateia que puede considease oigen del campo gavitatoio así como la esponsable de que ese campo actúe sobe los cuepos. Oto aspecto impotante en el que la teoía de campos difiee de la visión newtoniana es el de la velocidad de tansmisión de la inteacción. La inteacción newtoniana se consideaba instantánea, lo que supondía que si en un instante deteminado «desapaeciea» el Sol en ese mismo instante desapaeceía la fueza que el Sol hace sobe la Tiea; 51

10 en la teoía de campos después de Einstein, ninguna inteacción puede tansmitise más ápidamente que la luz en el vacío, po lo que si desapaeciea el Sol en un instante, la fueza que hace sobe la Tiea no desapaeceía hasta unos 8 minutos después. A.8.- Indica las unidades en el SI de la intensidad de campo gavitatoio. a) En la Luna se cuelga de un dinamómeto un cuepo de kg macando 3, N la escala del dinamómeto. Cuál es el valo de la intensidad de campo gavitatoio en la supeficie de la Luna? b) En la supeficie de Júpite el campo gavitatoio es de 5,1 N/kg, cuánto macaía un dinamómeto si de él colgamos un cuepo cuya masa es de kg? c) Puede existi campo gavitatoio en un punto si en él no hay colocado un cuepo? d) Puede existi fueza gavitatoia en un punto si en él no hay colocado un cuepo? a) g L = 1,6 N/kg; b) F = 50, N; c) Sí; d) No REPRESENTACIÓN DEL CAMPO GRAVITATORIO. LÍNEAS DE FUERZA Los campos como el gavitatoio que están definidos en cada punto del espacio po una magnitud vectoial se denominan campos vectoiales. Estos campos pueden epesentase mediante líneas de fueza. Una línea de fueza tiene la caacteística de se tangente en todos sus puntos a la diección del campo en ese punto y su sentido seá el mismo que tenga el campo. Cuando queemos que la epesentación sea útil paa adquii una idea de los valoes de la intensidad de campo, se dibujan las líneas de campo de foma que estén más juntas donde es mayo la intensidad de campo y más sepaadas donde la intensidad de campo es meno. Cuál es la diección y sentido del campo gavitatoio? El mismo de la fueza gavitatoia. En la Tiea, la atacción gavitatoia es hacia el cento de la misma po lo que si epesentamos, utilizando una escala muy gande, el campo gavitatoio ceado alededo de la Tiea, obtendíamos la figua 1, mientas que si utilizamos una escala mucho meno y epesentamos el campo gavitatoio en una zona del espacio póxima a la supeficie de la Tiea, obtendíamos la figua. En ese caso, el campo seía apoximadamente constante. Tiea Supeficie de la Tiea Figua 1 Figua A.9.- a) Según el dibujo de la figua 1, dónde es mayo la intensidad de campo gavitatoio teeste, ceca o lejos de la supeficie de la Tiea? b) Según el dibujo de la figua, cambia la intensidad de campo gavitatoio teeste en las poximidades de la Tiea? c) Existe contadicción ente la figua 1 y la figua? Explica las posibles difeencias. 5 CAMPOS DE FUERZAS

11 3.1 Cálculo de la intensidad del campo gavitatoio Si queemos detemina el valo de la intensidad de campo gavitatoio en los distintos puntos del espacio, podemos hacelo de vaias maneas: Expeimentalmente Se sitúa en el punto consideado un cuepo de pequeña masa, se mide la fueza que actúa sobe él y se calcula el cociente ente esa fueza y la masa del cuepo. Teóicamente Podemos usa la ley de la gavitación univesal, peo teniendo en cuenta que sólo es válida paa cuepos esféicos isótopos. Paa cuepos que no se puedan considea puntuales seá necesaio el desaollo de otas leyes que se estudiaán en cusos posteioes. De todas fomas, cuando las dimensiones de los cuepos son pequeñas en compaación con las distancias que estemos consideando, los cuepos se pueden considea puntuales. Así, el Sol puede considease casi puntual visto desde la Tiea, pues aunque es muy gande su tamaño es pequeño si lo compaamos con la distancia que hay a la Tiea. Lo mismo ocue con la Tiea vista desde la Luna, etc. Paa detemina la intensidad de campo gavitatoio, g, ceado po un cuepo puntual de masa M (un cuepo de dimensiones despeciables compaadas con la distancia a la que queemos calcula la intensidad de campo), tendemos en cuenta la definición de la intensidad de campo gavitatoio y la ley de la gavitación univesal. Si en un punto que se encuenta a una distancia del cento del cuepo que cea el campo, colocamos un cuepo de pueba de masa m, podemos escibi: Mm G ˆ F g = = = G M ˆ m m g m El signo negativo indica que el vecto intensidad de campo y el vecto de posición del punto consideado son de sentidos opuestos. M Pincipio de supeposición En el caso de un campo ceado po vaios cuepos utilizaemos el pincipio de supeposición paa conoce el campo global en un punto deteminado. El pincipio de supeposición nos indica que el campo gavitatoio ceado po un cuepo en un punto es independiente de los campos gavitatoios ceados po otos cuepos. Opeaemos calculando el campo ceado po cada cuepo en el punto en cuestión y los sumaemos todos (suma vectoial) paa conoce el campo total. g = Σ g i A.10.- a) Calcula la intensidad del campo gavitatoio ceado po el Sol en cualquie punto que se encuente a una distancia equivalente a la que está la Tiea. b) Calcula la intensidad de campo gavitatoio ceado po la Luna en cualquie punto que se encuente a una distancia equivalente a la que está la Tiea. c) Compaa la fueza que hace el Sol sobe la Tiea con la que hace la Luna sobe la Tiea. 53

12 d) Calcula la intensidad de campo gavitatoio ceado en las poximidades de la Tiea po el planeta Mate. Compáala con los valoes anteioes y discute si la influencia gavitatoia de los otos planetas sobe la Tiea puede se impotante. Datos: m Sol = kg; m Luna = 7,3 10 kg; m Mate = kg Distancia ente el Sol y la Tiea: 1, m; Distancia ente la Luna y la Tiea: 3, m; Distancia mínima ente Mate y la Tiea: m. e) Cuándo seá mayo la intensidad de campo gavitatoio total ceado po el Sol y la Luna en el cento de la Tiea, cuando haya eclipse de Sol o cuando haya eclipse de Luna? Explica la espuesta ayudándote de dibujos. Habá mucha difeencia? Explica po qué. a) g = 5, ˆ N/kg; b) g = 3, N/kg; c) F S,T = 3,5 10 N; F L,T = 10 0 N; d) g = 8, N/kg A.11.- a) Calcula el valo del campo gavitatoio en la supeficie de los siguientes cuepos celestes, suponiéndolos esféicos: Tiea: m= kg, = 6400 km; Luna: m= 7,3 10 kg, =1740 km; Júpite: m= 1, kg, = 7000 km b) Cuánto pesaía una pesona de 70 kg en la supeficie de cada uno de los tes cuepos? a) g T = 9,8 N/kg; g L = 1,6 N/kg; g J = 4,5 N/kg b) P T = 686 N; P L = 11 N; P J = 1715 N A.1.- a) Dos cuepos de 00 g están colocados en los vétices de la base de un tiángulo ectángulo, sepaados ente sí 50 cm. Calcula el módulo del campo gavitatoio en el oto vétice del tiángulo sabiendo que los otos lados miden 30 y 40 cm espectivamente. b) Calcula la intensidad del campo gavitatoio en el vétice de un tiángulo equiláteo cuyo lado mide 40 cm si en los otos dos vétices hay colocados cuepos puntuales de y 4 kg. a) g = 1, N/kg; b) g = (4,17 i 1,6 j)10 10 N/kg Júpite es el planeta que tiene el valo máximo de g en su supeficie 3. El campo gavitatoio teeste La ley de Newton de la gavitación univesal sólo es válida paa cuepos puntuales o paa cuepos esféicos cuya distibución de masas sea isótopa. Aunque la Tiea no cumple las condiciones anteioes, la difeencia con los valoes ideales son pequeñas en téminos elativos y podemos ignoalas en un pime estudio del tema. Po lo tanto, podemos utiliza paa calcula la intensidad del campo gavitatoio teeste en el exteio de la Tiea a una distancia de su cento la expesión: F MT g = = G ˆ m El signo menos significa que el campo gavitatoio está diigido en sentido contaio al vecto unitaio que señala la diección desde la Tiea al punto en cuestión. La intensidad del campo gavitatoio está siempe diigida hacia el cuepo que lo cea ya que las fuezas gavitatoias son siempe atactivas. Como indica la expesión anteio, su valo depende de la masa del cuepo que lo cea y del inveso del cuadado de la distancia a ese cuepo. 54 CAMPOS DE FUERZAS

13 Expesión de la intensidad del campo gavitatoio en función de la altua Dado que = R T + h, siendo h la altua sobe la supeficie teeste, la ecuación puede escibise también de la foma: M = T MT g G ˆ = G ˆ R h ( + ) T h A.13.- Cuál es el valo de la intensidad de campo gavitatoio en la supeficie de la Tiea? Sin necesidad de hace los cálculos, disminuiá mucho la intensidad de campo gavitatoio a 000 metos de la supeficie de la Tiea? Explica po qué. Y a la máxima altua a la que vuelan los aviones? Cuánto debemos alejanos de la supeficie teeste paa nota apeciablemente la disminución de la intensidad de campo gavitatoio? Te pedimos valoaciones cualitativas. R T A.14.- A qué altua seá nuesto peso: a) la mitad; b) la centésima pate del que tenemos en la supeficie de la Tiea? (R T = 6400 km) a) h = 651 km; b) h = km Se puede expesa el módulo de la intensidad de campo gavitatoio g a una altua h de la supeficie teeste en función del módulo de la intensidad de campo en la supeficie g o. Paa ello se multiplica y divide la expesión que nos pemite calcula g po R T : MT RT RT g = G = g0 R ( R + h) ( R + h) T T T A.15.- La Tiea y la Luna cean campos gavitatoios a su alededo. Haz una discusión cualitativa de cómo vaía la intensidad del campo gavitatoio total a lo lago de la línea Tiea-Luna. Es lógico que el punto en el que el campo gavitatoio total es nulo esté más ceca de la Luna? Qué pasaá cuando un satélite atificial lanzado desde la Tiea llegue justo a ese punto, donde el campo gavitatoio es nulo, si no lleva los cohetes encendidos?, se detendá en ese punto? Explica tu espuesta. g dento de la Tiea La intensidad de campo gavitatoio en el inteio de la Tiea es meno que en la supeficie. Se puede demosta que la elación que hay es: g = g0 R T En este caso, < R T Dibuja una gáfica en la que se epesente el valo de g en función de desde = 0, cento de la Tiea, a = 5 R T EJEMPLO Sabiendo que la masa de la Tiea es 5, kg y la de la Luna 7,35 10 kg calcula a qué distancia de la Tiea, en la línea que une la Tiea con la Luna puede considease que el campo gavitatoio es nulo. Considea que la distancia desde el cento de la Tiea al cento de la Luna es de km. En la línea Tiea-Luna existiá un punto en el que se neutalicen las atacciones debidas a la Luna y a la Tiea, que tienen la misma diección y sentido contaios. MT gt = G d M M g = g = M d d g = G d L 1 T L T L L 1 Además, debe cumplise que d 1 + d = km. Resuelto el sistema de ecuaciones, se obtiene que el punto en cuestión está a km del cento de la Luna y a km del cento de la Tiea. 55

14 A.16.- Dibuja hacia dónde caeía cada uno de los matillos que se le han escapado a un astonauta en distintos momentos de su óbita. El oto dibujo epesenta dos agujeos que se han hecho en la Tiea, que van desde el ecuado al cento de la Tiea y al polo Su espectivamente. Dónde iía a paa la pelota? Cuáles son las unidades del campo gavitatoio? El campo gavitatoio se debe expesa en N/kg ya que se define como la fueza que actúa sobe cada unidad de masa. Po eso decimos que el valo del campo gavitatoio ceado po la Tiea en su supeficie es de 9,8 N/kg. Po qué se dice, a veces, que el valo de g es de 9,8 m/s? La azón es sencilla: cualquie cuepo de masa m es ataído po la Tiea con una fueza de m 9,8 y, si este cuepo está sometido solamente a esa fueza, caeá sobe la Tiea con una aceleación a = m 9,8/m, es deci la aceleación seá de 9,8 m/s. Po eso a veces se dice: «la aceleación de la gavedad» vale 9,8 m/s. En ealidad, es una foma simplificada de deci: la aceleación con la que cae un cuepo en las poximidades de la supeficie teeste, sometido únicamente a la fueza de atacción de la Tiea (fueza de gavedad), es de 9,8 m/s. Así pues, la unidad coecta del campo gavitatoio es el N/kg. La utilización del m/s seá válida siempe que se utilice en el sentido antes indicado. Nunca se debe confundi el campo gavitatoio con una aceleación. Situación de «ingavidez» Cuando caemos en una montaña usa, al supea un cambio de asante muy ponunciado, al hace puenting, etc., se dice que expeimentamos la ingavidez. Los astonautas en un satélite a 400 km de la Tiea también se dice que están en una situación de ingavidez. Supone eso que en esas situaciones no existen las fuezas gavitatoias? No, las fuezas gavitatoias existen en todas las situaciones. En ealidad, las que no existen son las fuezas que, nomalmente, contaestan a las gavitatoias. Cuando estamos de pie, el suelo ejece sobe nosotos una fueza de igual valo y sentido contaio a la atacción gavitatoia de la Tiea, de foma que nos encontamos en equilibio. Cuando estamos sentados, la fueza la ejece la silla, etc. En las ocasiones en las que caemos como en la montaña usa, el puenting, etc., la fueza que desapaece es la que hace el suelo, la silla, o aquella supeficie que nomalmente nos sostiene. Así, sometidos únicamente a la fueza gavitatoia caemos hacia la Tiea con la aceleación de 9,8 m/s, hasta que actúa alguna fueza capaz de paanos. Qué ocue en el caso de los astonautas? Pues que también están sometidos a la atacción de la Tiea (a 400 km de altua es casi igual que en la supeficie), peo esa fueza ahoa no es equilibada po nada. Po qué no caen los astonautas hacia la Tiea? Po que están giando; la fueza de atacción de la Tiea lo que hace es pemiti el gio de la nave espacial, y de los astonautas que están dento. Si no existiea esa fueza, la nave y los astonautas seguiían en línea ecta y se pedeían en el espacio exteio. 56 CAMPOS DE FUERZAS

15 Maeas Las maeas consisten en las oscilaciones peiódicas del nivel del agua del ma. La fase de la maea que coesponde a la máxima subida se llama pleama; el nivel infeio coesponde al bajama. Las maeas no son muy impotantes en el Mediteáneo, peo sí lo son en los océanos, en los que el nivel de las aguas sube y baja vaios metos. Las maeas tienen su oigen en la acción combinada de vaios factoes, ente los que destacan : a) La difeente atacción gavitatoia que ejece la Luna sobe los puntos de la Tiea que están más cecanos a ella y los que están más lejanos. b) La defomación de los océanos, que no son cuepos ígidos. c) La atacción gavitatoia del Sol, que al combinase con la atacción de la Luna da luga a las llamadas maeas vivas o maeas muetas. La atacción gavitatoia de la Luna es mayo en la caa de la Tiea que está más póxima a la Luna que en la caa opuesta. Si la distancia ente el cento de la Luna y de la Tiea es de km, C la distancia ente el cento de la Luna y el punto A seá de ( B 6400) km, mientas que la distancia al punto B seá de ( A D 6400) km. Eso poduce una defomación 3 de foma que en el punto B el agua tiende a alejase mientas que en el punto A tiende a Luna acecase a la Luna. En los puntos C y D no existiían esos efectos Tiea de foma que seían zonas donde el espeso de agua es meno. El gio de la Tiea sobe su eje hace que cada 4 hoas, cada La distancia Tiea-Luna no está epesentada a la misma escala que el tamaño de la Tiea. zona de la Tiea pase po los puntos A, C, B y D. Cuando pase po el punto A seá pleama en esa zona, cuando pase po el punto C estaá en bajama, cuando esté en el punto B seá ota vez pleama y, po último, cuando esté en la pate cecana al punto D seá de nuevo bajama. Los pleamaes ocuen cada 1 hoas, intecalados con los bajamaes que a su vez ocuen cada doce hoas. Además, dado que el agua sube y baja peiódicamente, esto da luga a un movimiento oscilatoio que poduce una amplificación del fenómeno. La influencia del Sol es meno que la de la Luna pues, aunque la atacción gavitatoia del Sol sobe la Tiea es mayo que la que ejece la Luna, la difeencia de atacción ente los puntos que están más ceca y más lejos del Sol es meno que en el caso de la Luna, aunque no puede decise que sea despeciable. Cuando el efecto poducido po el Sol se suma al poducido po la Luna tienen luga las maeas vivas, en los que la subida y bajada del ma son más ponunciadas, mientas que cuando el efecto del Sol contaesta pacialmente al de la Luna, la subida y bajada del ma es más pequeña y las maeas se dicen que son muetas. También afecta el movimiento de otación de la Tiea alededo del cento de masas del sistema Tiea-Luna, combinado con el movimiento de otación de la Tiea sobe su eje. 3 Aunque decimos que la Luna gia alededo de la Tiea, en ealidad tanto la Luna como la Tiea gian alededo de un punto ente la Luna y la Tiea aunque más póximo a la Tiea que a la Luna. Paa el gio de la Tiea alededo de ese punto se necesita una fueza centípeta. Esa fueza centípeta es la atacción de la Luna. La fueza centípeta necesaia es mayo en los puntos más lejanos que en los más cecanos a la Luna, pecisamente lo contaio a lo que ocue debido a las atacciones gavitatoias. Esa difeencia poduce una tendencia a defoma a la Tiea, que puesto que no es ígida sufe esa defomación, más acusada en el ma que en la coteza. Podemos deci que la causa de la defomación es: En el punto A la fueza de atacción gavitatoia Luna-Tiea es mayo que la fueza que se necesita paa que ese zona de la Tiea ote. Como consecuencia, esa zona «tiende a acecase» hacia el cento de gio. En el punto B la fueza de atacción gavitatoia Luna-Tiea es meno que la fueza que se necesita paa que esa zona de la Tiea ote. Como consecuencia, esa zona «tiende a alejase» del cento de gio. 57

16 4 TRATAMIENTO ENERGÉTICO EN UN CAMPO GRAVITATORIO Cualquie cuepo cea a su alededo un campo gavitatoio. La intensidad de campo gavitatoio depende de la distancia a ese cuepo, siendo una magnitud vectoial que se extiende en las tes dimensiones del espacio. Paa que los dibujos sean más simples epesentaemos los campos gavitatoios en un plano. Además de conoce las fuezas que actúan sobe un cuepo, en muchas ocasiones nos inteesa conoce la enegía que tiene ese cuepo o la enegía necesaia paa que pase de un punto a oto. Es necesaio hace un estudio de la enegía de un cuepo asociada a su situación en un campo gavitatoio. Puesto que la enegía es una magnitud escala, esulta más fácil un estudio enegético que el coespondiente al estudio de las fuezas. Además, como veemos, a pati de las enegías potenciales también podemos calcula el valo de la intensidad de campo gavitatoio. Aunque nos efeiemos al caso del campo gavitatoio teeste, el estudio es simila paa cualquie cuepo puntual, o paa cualquie cuepo esféico isótopo. 4.1 Enegía potencial y potencial gavitatoio en puntos cecanos a la supeficie Aunque el campo gavitatoio depende de la distancia, en puntos cecanos a la supeficie de la Tiea lo podemos considea unifome, es deci, con un valo constante. Como el campo gavitatoio es consevativo, asociado a él se define una enegía potencial gavitatoia de la foma conocida: W A B = E p = (E pb E pa ) = E pa E pb En puntos cecanos a la supeficie de la Tiea, podemos supone que el campo gavitatoio es unifome; la difeencia de enegía potencial ente dos puntos se puede calcula con la expesión: E p = E pb E pa = mgh B mgh A = mg h Como vemos depende de la masa del cuepo que se taslade de un punto a oto (también depende de la intensidad del campo gavitatoio g y de la difeencia de altua h ente los dos puntos). Si queemos una magnitud que sea independiente del cuepo y sólo dependa del campo, podemos dividi la difeencia de enegía potencial po la masa del cuepo. A esa magnitud la llamamos difeencia de potencial gavitatoio, y se acostumba a epesenta como V A V B. EpA EpB mg h V A VB = = = g h m m Es impotante tene en cuenta que no depende de la masa del cuepo que se coloque es esos puntos, ya que se tata de la enegía que tiene cada unidad de masa. Lo único que podemos conoce con seguidad es la difeencia de potencial ente dos puntos y no el potencial en cada punto. Reflexión sobe el signo La expesión V A V B = g h expesa la elación que existe ente la difeencia de potencial ente dos puntos y la difeencia de altua, supuesto g constante. El signo menos apaece poque en el lado izquiedo hablamos de V A V B mientas que en el lado deecho h = h B h A. La mejo manea de no equivocase es ecoda que aquellos puntos que están a mayo altua son los que tienen mayo potencial. O dicho de ota manea, el potencial gavitatoio disminuye en la misma en la misma diección y sentido que tiene la intensidad de campo gavitatoio. Llamamos difeencia de potencial gavitatoio ente dos puntos A y B a la difeencia de enegía potencial gavitatoia que tendía un cuepo de un kilogamo ente esos dos puntos. 58 CAMPOS DE FUERZAS

17 A pati de la ecuación anteio, se puede ve que la elación ente el valo de la intensidad de campo gavitatoio y la difeencia de potencial ente dos puntos que se encuentan a difeente altua viene dada po la expesión: Supeficies equipotenciales VA V g = h B Una supeficie equipotencial es aquella fomada po puntos que tienen todos el mismo potencial gavitatoio. Ya que todos los puntos que están a la misma altua, especto al suelo, tienen todo el mismo potencial gavitatoio, las supeficies equipotenciales gavitatoias podemos considealas como planos paalelos a la supeficie de la Tiea. La supeficie fomada po todos esos puntos se llama supeficie equipotencial. Teniendo en cuenta como hemos definido la enegía potencial y el potencial, sólo podemos conoce difeencias de esas magnitudes peo nunca su valo absoluto. Fíjate que la definición que hemos dado es que el tabajo ente dos puntos es igual a la vaiación de enegía potencial ente esos dos puntos. Así, si W B A = 10 J, lo que sabemos es que la difeencia de enegía potencial ente esos dos puntos es de 10 J. Peo eso se cumple de muchas maneas; una podía se si la enegía potencial en A vale 15 y en B vale 5, ota que en A valga 45 y en B 35, etc. Ahoa bien, si nosotos fijamos mediante un convenio un punto como efeencia y, a ese punto, le asignamos un valo del potencial o de la enegía potencial nulo, a los demás puntos se les puede asigna un valo de estas magnitudes, no siendo ya necesaio habla de una difeencia. Peo siempe hay que tene muy clao que hemos asignado abitaiamente el valo 0 a un punto. A.17.- a) Qué unidad debemos utiliza en el SI paa expesa el potencial gavitatoio? Y la difeencia de potencial gavitatoio ente dos puntos? b) Supongamos que al suelo hoizontal lo consideamos como supeficie equipotencial de potencial gavitatoio nulo. Dibuja cuáles seían las supeficies equipotenciales que coespondeían a los siguientes potenciales gavitatoios: supeficie A, 10 J/kg; supeficie B, 0 J/kg; supeficie C, 50 J/kg. c) Una vez dibujado lo anteio, epesenta la diección y sentido del campo gavitatoio en un punto cualquiea. d) En la expesión que elaciona la intensidad de campo gavitatoio con la difeencia de potencial gavitatoio, epesenta h la distancia ente dos puntos? qué es lo que epesenta h? A.18.- Explica po qué la intensidad de campo gavitatoio es siempe nomal a las supeficies equipotenciales gavitatoias. Paa la demostación, imagina un cuepo de masa m que se desplaza ente dos puntos de una supeficie equipotencial, qué vaiación de enegía potencial expeimenta el cuepo?, de acuedo con eso, qué tabajo ealiza el campo sobe ese cuepo cuando se desplaza sobe la supeficie hoizontal? Paa que eso se cumpla siempe, cómo tienen que se las diecciones de la fueza y el desplazamiento? La difeencia de potencial gavitatoio está elacionada con la diección y sentido del campo gavitatoio. La diección del campo gavitatoio es pependicula en cada punto a las supeficies equipotenciales. El sentido va desde los potenciales mayoes a los menoes. V B V A Mayo potencial g Meno potencial Diección y sentido del campo gavitatoio 59

18 4. Enegía potencial y potencial gavitatoio en puntos lejanos a la supeficie teeste Si consideamos puntos lejanos a la supeficie la intensidad de campo gavitatoio puede cambia consideablemente de un punto a oto. La difeencia con lo que hemos calculado en el apatado anteio está en que, al no pode considea la fueza gavitatoia constante, el tabajo se debe calcula mediante una integal. m dx Cualquie desplazamiento se puede considea como la composición de dos, uno paalelo a la diección del campo y oto pependicula a la diección del mismo. 1 F g Sólo se ealiza tabajo en el tamo que es paalelo al campo, mientas que el tabajo es nulo en el tayecto en el que el desplazamiento y el campo gavitatoio son pependiculaes. Así pues, cualquie desplazamiento de un cuepo ente dos puntos podá se consideado siempe como suma de dos desplazamientos consecutivos, uno paalelo al campo, duante el cual se ealiza tabajo, y oto pependicula al campo duante el que no se ealiza tabajo alguno. Po lo tanto, a efectos del cálculo del tabajo, es lícito considea sólo desplazamientos paalelos al campo tal como el epesentado en la figua. 1 T p1 p mm = = T 1 mgmt mgmt W F d G d = mgm = = E E mgmt mgmt Ep = + cte E = + 1 p cte 1 Si queemos asigna valoes absolutos a la enegía potencial de un cuepo en un deteminado punto del campo, seá necesaio establece un valo de efeencia. El valo de efeencia puede se cualquiea y, hasta este momento, el que hemos utilizado ha sido que la enegía potencial de un cuepo en la supeficie de la Tiea ea nulo. Llamaemos a ese citeio, convenio 1. Convenio 1: La enegía potencial de un cuepo colocado en la supeficie de la Tiea es nula. Si consideamos al punto 1 en la supeficie de la Tiea, el convenio anteio nos llevaía a: mgmt mgm Ep = 0 cuando = = + = 1 1 RT 0 cte cte R R T T T La enegía potencial de un cuepo a una distancia del cento de la Tiea: mgmt mgmt RT Ep = + = mgmt RT RT sustituyendo = R + h y GM = g R RT Ep = mg0h R + h T T 0 T T A.19.- Hasta ahoa habíamos calculado la enegía potencial gavitatoia de un cuepo de masa m a una altua h po la expesión E p = mg o h. Qué difeencias encuentas con la ecuación que acabamos de demosta? A qué se deben? 60 CAMPOS DE FUERZAS

19 A.0.- a) Calcula la enegía potencial de un cuepo de 100 kg cuando se encuenta a 8 km de altitud. Compaa el valo obtenido con el que se obtendía utilizando la fómula «simplificada» paa el valo de la enegía potencial. b) Repite el cálculo paa cuando se encuente a 8000 km de altua. a) 7, J, 7, J; b) 3, J, 7, J A.1.- Teniendo en cuenta el convenio 1, demuesta que la enegía potencial gavitatoia de un cuepo de masa m colocado en el infinito es: E p = mg o R T. Convenio : La enegía potencial de un cuepo colocado en el infinito es nula E 1 mgmt = 0 cuando = 0 = + cte cte = 0 p 1 La enegía potencial de un cuepo a una distancia del cento de la Tiea: E mgmt mgm = + = p 0 T A..- Usando la expesión obtenida a pati del convenio calcula la enegía potencial gavitatoia de un cuepo de 00 kg situado sobe la supeficie teeste Qué significa que la enegía potencial sea negativa? Te paece lógico el esultado? E p = 1, J 4.3 Velocidad de escape Cuando un cuepo que está en la supeficie de la Tiea queemos lanzalo de foma que escape a la atacción gavitatoia de la Tiea (es deci, que no vuelva a cae hacia la Tiea), es necesaio dale, como mínimo, la enegía que tendá ese cuepo en el infinito. Si utilizamos el convenio 1, la enegía potencial gavitatoia del sistema Tieacuepo cuando éste está en la supeficie de la Tiea es nula. En una actividad anteio demostamos que la enegía potencial gavitatoia del sistema Tiea-cuepo cuando éste está en el infinito es igual a m g 0 R T. Po lo tanto, la vaiación de enegía ente las dos situaciones es: E p = m g 0 R T 0 = m g 0 R T Si queemos dale al cuepo enegía cinética en cantidad suficiente como paa que pueda alejase hasta el infinito, debe cumplise que: 1 mv mg R v g R 0 T 0 T Sustituyendo los valoes que coesponden a la intensidad de campo gavitatoio en la supeficie de la Tiea y al adio de la Tiea se obtiene que la velocidad mínima que debe tene cualquie cuepo paa que escape de la Tiea es de 11, km/s. En ealidad, si lanzamos un cuepo con esa velocidad ese cuepo no escapaá a la atacción de la Tiea. El ozamiento con la atmósfea teeste seía muy impotante y consumiía gan pate de la enegía cinética que le hubiésemos dado al cuepo. 61

20 A.3.- Calcula la velocidad de escape en la Luna teniendo en cuenta que la intensidad de campo gavitatoio en la supeficie de la Luna es 1,6 N/kg y su adio 1740 km. Explica po qué es más fácil que exista atmósfea en la Tiea que en la Luna. v = 360 m/s A.4.- a) Calcula la velocidad mínima que debe tene un cuepo en la supeficie de la Tiea paa escapase del campo gavitatoio teeste peo ahoa utilizando el convenio paa el cálculo de la enegía potencial gavitatoia. Escibe una ecuación que epesente la dependencia de la velocidad de escape de la masa y adio del cuepo que cea el campo gavitatoio. b) Calcula la velocidad mínima paa escapase de la atacción gavitatoia de Júpite. c) Paa que la velocidad de escape sea mayo, cómo debe se la masa del planeta? y el adio? Paa que se cumplan ambas condiciones, cómo debe se la densidad del cuepo celeste si queemos que la velocidad de escape sea muy alta? d) Qué es un agujeo nego? Cómo debe se la densidad de un agujeo nego? a) v = 1, (M/R) 1/ ; b) v = 59,7 km/s Los agujeos negos son cuepos con campos gavitatoios tan intensos que ni la luz puede escapa de ellos. Tienen una masa gande en un adio pequeño (son muy densos). Se supone que los átomos se han colapsado cayendo los electones sobe los núcleos (podíamos deci que son sólo mateia nuclea). Podemos peguntanos cómo es posible sabe de la existencia de los «agujeos negos» si ni la luz puede sali de ellos? Pues no pueden obsevase diectamente, peo se supone su existencia po los efectos gavitatoios que povocan; los campos gavitatoios que cean son muy intensos y afectan al movimiento de aquellos cuepos celestes que se encuenten ceca de un agujeo nego. Cuando los astónomos no pueden explica el movimiento obsevado de algún cuepo celeste, cabe pensa en la existencia de un agujeo nego cuya influencia povoque ese tipo de movimiento. 4.4 Enegía potencial y potencial en un campo gavitatoio ceado po un cuepo puntual En el apatado anteio hemos ealizados cálculos de enegía potencial elacionados con la Tiea. Podemos genealiza esos cálculos a cualquie cuepo que consideemos puntual, tal como hemos hecho con la Tiea. Si seguimos utilizando el convenio, enegía potencial gavitatoia nula a una distancia infinita del cuepo puntual, la expesión paa la enegía potencial del sistema fomado po un cuepo de masa m que se encuenta a una distancia del que cea el campo, de masa M, es: Mm Ep G Si queemos calcula el potencial gavitatoio ceado po un cuepo puntual en un punto deteminado, dividiemos la expesión anteio po m: Ep M V = = G m Esta expesión paa el potencial gavitatoio es válida si elegimos el convenio de que V = 0 paa =. 6 CAMPOS DE FUERZAS