CUESTIONES RESUELTAS DE GRAVITACIÓN

Transcripción

1 CUESIONES ESUELAS DE GAVIACIÓN ) a) Explique el concepto de escape y deduci azonadamente su expesión. b) Qué ocuiía en la ealidad si lanzamos un cohete desde la supeficie de la iea con una velocidad igual a la velocidad de escape? Solución: la velocidad de escape paa un planeta se define como la velocidad a la que había que lanza un cuepo desde la supeficie del planeta paa que escapaa de su atacción gavitatoia, alejándose indefinidamente. En este cálculo se despecia el ozamiento con la atmósfea. esolvemos el poblema empleando conceptos enegéticos: en pime luga tenemos en cuenta que, al no tene en cuenta el ozamiento, la única fueza que va a actua sobe el movimiento del cohete seá la gavitato ia, que es consevativa. Po lo tanto, la enegía mecánica del cohete se mantendá constante. Datos: M, : masa y adio del planeta; m: masa del poyectil. Sistemas de efeencia: mediemos las distancias desde el cento del planeta. El oigen de enegía potencial gavitatoia lo colocamos a una distancia infinita del cento planetaio, po lo que la expesión usada paa la Ep G seá: Ep G - Consideaemos dos situaciones: Inicial: Lanzamiento del cohete desde la supeficie teeste con velocidad v e : Ec m ve ; Ep G - ; EM Ec + Ep m ve - Final: el cohete se aleja indefinidamente. En el límite, cuando la distancia tiende a infinito, la velocidad (y la Ec) tiende a ceo, al igual que la enegía potencial, ya que el oigen de Ep está colocado en el infinito. E M Ec + Ep 0 Aplicando la consevación de la enegía mecánica: E M E M m ve ve m ve - 0 Puesto en función de la gavedad en supeficie: v e g 0 Nótese que la velocidad de escape desde la supeficie de un planeta sólo depende de las caacteísticas (masa, tamaño) del planeta. No impota la masa del poyectil. (Evidentemente, paa acelea un poyectil de más masa hasta esa velocidad se necesitaá un mayo esfuezo, peo eso es ota cuestión). ambién puede hablase de velocidad de escape desde una cieta altua h sobe la supeficie. El concepto es el mismo, solo que en luga de pondemos +h. b) En la ealidad la situación física difiee de lo explicado anteiomente. La pesencia de la atmósfea teeste intoduce una fueza no consevativa, la fueza de ozamiento, que no puede se despeciada. De hecho, a las elevadas velocidades de las que estamos hablando, tendá un valo muy gande. El efecto que poduce este ozamiento es una disminución de la velocidad (de la Ec) y una disipación de enegía en foma de calo, po lo que la enegía mecánica del cohete no se mantendá constante y disminuiá confome se eleva según la expesión: W OZ ΔE M De este modo, al sali de la atmósfea no te ndá enegía suficiente como paa alejase indefinidamente, y llegaá un momento, a una cieta a ltua, en que el cohete se pae y vuelva a cae hacia la iea.

2 ) En una egión en la que existe un campo gavitatoio unifome de intensidad g, epesentado en la figua po sus líneas de campo. a) azone el valo del tabajo que se ealiza al taslada la unidad de masa desde el punto A al B y desde B al C. b) Analice las analogías y difeencias ente el campo descito y el campo gavitatoio teeste. Solución: a) Nos encontamos ante un campo gavitatoio de intensidad constante. La fueza gavitatoia que ejeceá este campo sobe una patícula de masa m colocada en su inteio vendá dada po: F G m g ; y también seá constante. El tabajo que ealiza esta fueza en un desplazamiento, que en geneal se calcula con la integal: W AB caso, al se la fueza constante, con la expesión: W AB F Δ F Δ cos α B A F d, podá hacese en este Así, en el desplazamiento de A a B, el tabajo seá: W AB F G Δ m g d cos 90º 0 J, ya que la fueza es pependicula al desplazamiento. En el desplazamiento de B a C, el tabajo seá: W BC F G Δ m g d cos 0º m g d. Obtenemos un tabajo positivo, ya que la fueza favoece el desplazamiento. En este caso, ya que nos dicen que la unidad de masa, el tabajo seá: W BC g d b) El campo gavitatoio descito es simila al campo gavitatoio teeste al nivel de la supeficie, consideando la apoximación de que los desplazamientos efectuados son muy pequeños en compaación con el adio teeste ( ~ 6400 km). En este caso, g teeste puede considease un campo constante y unifome con todas las caacteísticas del campo de esta cuestión. La única difeencia está en su oientación. La diección y sentido del campo teeste es la vetical y su sentido hacia abajo, aunque esto último puede se también una cuestión de punto de vista, del sistema de efeencia escogido. 3) Se suele deci que la enegía potencial gavitatoia de un cuepo de masa m situado a una altua h viene dada po la expesión E P mgh. a) Es coecta esta afimación? Po qué? b) En qué condiciones es válida dicha fómula? Solución: la ecuación es únicamente válida en el caso en el que la altua sobe la supeficie teeste sea despeciable fente al adio de la iea. Paa los casos en los que esto no sea cieto, la expesión no esulta coecta, po lo que debe utilizase la expesión geneal que indica la enegía potencial de un cuepo en un deteminado punto de un campo gavitatoio. Vamos a demostalo matemáticamente. La expesión geneal de la enegía potencial es: Ep -. La vaiación de enegía potencial seá: ΔEp Ep B - Ep A - + h + - G M m h h - G M m + h + h h h En el caso en el que >> h + h ~ ΔEp ~ + h Y como g ΔEp m g h, siendo h la difeencia de altuas. Una expesión más geneal seía: ΔEp m g Δh

3 b) Como dijimos al pincipio del apatado a), esta expesión es únicamente válida bajo la condición esgimida, que >> h + h ~. En caso de no cumplise la condición, debe emplease la expesión geneal de la enegía potencial. Si consideamos un eo azonable el meno o igual al h 5 %: 0'05 h 0'05 + h + 0'05 h 0'95 h 0'05 0' 05 h 0' km. 0' 95 0' 95 Po debajo de 335 km, la apoximación es aceptable. 4) a) Esciba la ley de Gavitación Univesal y explique su significado físico. b) Según la ley de Gavitación, la fueza que ejece la iea sobe un cuepo es popocional a la masa de éste. Po qué no caen más depisa los cuepos con mayo masa? Solución: "La fueza de atacción gavitatoia ente dos cuepos es diectamente popocional al poducto de sus masas e invesamente popocional al cuadado de la distancia que las sepaa. Paa comenta el significado físico de las magnitudes pongamos la ley en foma matemática: F G M y m: las masas de los cuepos que se ataen. Evidentemente cuanto mayoes son dichas masas mayo es la fueza de atacción. Ota magnitud que inteviene es la, que apaece en el denominado y que epesenta la distancia a la que se encuenta una masa de ota. A meno distancia ente las masas mayo seá la fueza de atacción ente ellas; y como está al cuadado, su influencia en la atacción seá más impotante que la de cualquiea de las masas. Po último apaece la constante de popocionalidad G, que es la denominada constante de gavitación univesal, cuyo valo, deteminado expeimentalmente po Cavendish, no depende del medio en el que se N encuenten las masas, y vale 6'67 0 kg, muy pequeño, po lo que la atacción gavitatoia ente cuepos solo se pone de manifiesto si estos son muy masivos. b) Poque el que caigan más o menos depisa los cuepos es el efecto de esa fueza de atacción. Es deci, según la segunda ley de Newton, la fueza que la iea ejece sobe un cuepo (en ausencia del esto de inteacciones) es igual al poducto de la masa del cuepo po la aceleación que adquiee este. La aceleación (el que caigan más o menos ápido), po tanto, es el efecto de esa fueza, así que si utilizamos las expesiones de Newton de la ley de gavitación univesal y su segunda ley de la dinámica tenemos: F a m g m que como vemos solo depende de la masa de la iea y de la distancia de la iea al cuepo que cae, y esto es lo mismo paa todos los cuepos que caen en la iea, con lo que todos caen con la misma apidez. 5) Sean A y B dos puntos de la óbita elíptica de un cometa alededo del Sol, estando A más alejado del Sol que B. a) Haga un análisis enegético del movimiento del cometa y compaa los valoes de las enegías cinética y potencial en A y en B. b) En cuál de los puntos A o B es mayo el módulo de la velocidad? Y el de la aceleación? 3

4 Solución: a) En el punto A, más alejado, el cometa dispone de una enegía potencia, como coesponde a su posición especto al Sol. Al hallase en su posición alejada, su enegía potencial seá: Ep -. Po oto lado, posee una velocidad obital, y, po tanto, una enegía cinética A asociada, de valo: Ec m va. La enegía mecánica en este punto seá: E MA Ec A + Ep A m va -. Más tade, cuando se halla en el punto B, poseeá un valo A de enegía potencial difeente, meno que el coespondiente al punto A (ecodemos que Ep en el infinito adopta el valo máximo, ceo). Desde luego, el cometa dispondá también de un cieto nivel de enegía cinética. Po lo tanto: E MB Ec B + Ep B m vb - B Consideando nos hallamos ante un sistema consevativo, podemos afima que la enegía mecánica del sistema se mantendá constante. Luego: E MA E MB m va - m vb - A B Como ya se ha comentado, la enegía potencial en al punto más póximo al Sol seá meno. Consecuentemente, la enegía cinética debeá se mayo, puesto que sólo así podá mantenese constante el valo de la enegía mecánica. - B m vb - A m va - ΔEp ΔEc b) Ya hemos demostado que la velocidad seá mayo cuanto más póximo se encuente el cometa del Sol. La velocidad máxima del cometa se poduciá a su paso po el peihelio (punto más cecano); y de igual modo, el valo mínimo de velocidad obital se poduciá en el afelio (punto más alejado). En cuanto a las aceleaciones, nos fijaemos en el valo de la intensidad del campo gavitatoio ( g ): S g - u, y su valo seía meno cuanto más alejado se encuente el cometa del Sol. Oto SC modo de analiza las aceleaciones se ealizaía a pati del concepto de aceleación centípeta o nomal: a C v. Si va < v B y A > B a CA < a CB 4

5 6) azone las epuestas a las siguientes peguntas: a) Si el ceo de enegía potencial gavitatoia de una patícula de masa m si sitúa en la supeficie de la iea, cuál es el valo de la enegía potencial de la patícula cuando ésta se encuenta a una distancia infinita de la iea. b) Puede se negativo el tabajo ealizado po una fueza gavitatoia? puede se negativa la enegía potencial? Solución: a) La enegía potencial gavitatoia está elacionada con el tabajo que ealiza el campo gavitatoio cuando desplaza una patícula m de un punto a oto de tal foma que: W - ΔEp G. De tal foma que lo que impota ealmente es la vaiación que sufe dicha enegía. El valo de la Ep G en un punto es abitaio, de tal foma que podemos elegi como ceo el punto que deseemos. Una vez elegido el nivel ceo, la expesión de la Ep G en oto punto vendá dada en función del tabajo que ealiza el campo gavitatoio. Vamos a calcula el tabajo que ealiza el campo gavitatoio cuando desplaza una masa m desde la supeficie de la iea hasta el infinito: W F d u d d - G M m d - Ahoa bien, este tabajo es igual a la vaiación negativa de la enegía potencial gavitatoia ente los dos puntos, luego: - - ΔEp - ( Ep - Ep supeficie ) Ep supeficie - Ep Si consideamos ahoa como ceo el valo de la Ep supeficie, entonces el valo de la enegía potencial gavitatoia a una distancia infinita seá: - - Ep Ep b) Si la masa se desplaza alejándose del cuepo que ejece la atacción gavitatoia ejemplo, la iea), el tabajo que ealiza la fueza gavitatoia es negativo. Este es el caso, po ejemplo, de un cuepo que asciende alejándose del cento de la iea. La enegía potencial gavitatoia puede se negativa, todo depende de dónde se sitúe el nivel ceo de enegía potencial gavitatoia. Po ejemplo, si el nivel ceo se sitúa en el infinito, la expesión de la enegía potencial gavitatoia en cualquie oto punto viene dada po: Ep () - Y, po lo tanto, su valo es negativo. 7) Dos satélites idénticos A y B se encuentan en óbitas ciculaes de difeente adio ( A > B ) alededo de la iea. Conteste azonadamente a las siguientes peguntas: a) Si los dos satélites estuviean en la misma óbita ( A B ) y tuviesen distinta masa (m A < m B ), cuál de los dos se moveía con mayo velocidad? cuál de ellos tendía más enegía cinética? Solución: la enegía cinética es: Ec m v, donde v es la velocidad obital del satélite en cuestión. 5

6 Como la velocidad obital de un satélite a una distancia del cento de la iea es: v, tenemos paa la enegía cinética de un satélite esta expesión: Ec, que paa cada uno de los satélites seá: Ec A ; EcB A B, ya que las masas de ambos satélites son iguales. Si A > B, es evidente que: Ec A < Ec B, ya que las otas magnitudes son iguales en ambos casos. Po lo tanto, el satélite B tiene más enegía cinética que A. b) La velocidad a que se efiee es la velocidad obital, que como ya he expesado es: v y como sólo depende de la masa del planeta en tono al que gia el satélite, y del adio de la óbita, al se estas magnitudes iguales paa ambos satélites, las velocidades son iguales. Ahoa bien, como la enegía cinética depende además de la masa del objeto que se mueve y el satélite B es más masivo que el A tendá también más enegía cinética: Ec B > Ec A. 8) Una patícula de masa m, situada en un punto A, se mueve en línea ecta hacia oto punto B, en una egión en la que existe un campo gavitatoio ceado po una masa M. a) Si el valo del potencial gavitatoio en el punto B es meno que en el punto A, azone si la patícula se aceca o se aleja de M. b) Explique las tansfomaciones enegéticas de la patícula duante el desplazamiento indicado y escibi su expesión. Qué cambios cabía espea si la patícula fuea de A a B siguiendo una tayectoia no ectilínea? Solución: a) Potencial gavitatoio (V): enegía almacenada po unidad de masa que se coloque en un punto del campo gavitatoio. El potencial gavitatoio ceado po una masa puntual M tiene la expesión (eligiendo el oigen paa ): V - En la gáfica podemos ve que el potencial aumenta con la distancia a la masa M. Po lo tanto, si el potencial es mayo en S que en A, el punto S está más alejado de M que A. La patícula se aleja. V La única fueza que actúa en esta cuestión es la gavitatoia, que es consevativa. Po tanto, las enegías pesentes son: - Enegía potencial gavitatoia, debida a la acción de la fueza gavitatoia: Ep G m V. Vaía de la misma foma que el potencial gavitatoio, po lo que aumenta desde A hasta S. Ep G - W FG - Enegía cinética, debida al movimiento: disminuye confome se aleja. Se cumple que: Ec - Ep G - Enegía mecánica (E M Ec + Ep G ): se mantiene constante, debido a que la fueza gavitatoia es consevativa. Si la tayectoia no fuea ectilínea no cabe espea ningún cambio, ya que el tabajo de la fueza gavitatoia (consevativa) es independiente del camino ealizado. Sólo depende de los puntos inicial y final. 6

7 9) Se desea coloca un satélite en una óbita cicula, a una cieta altua sobe la iea. a) Explique las vaiaciones enegéticas del satélite desde su lanzamiento hasta su situación obital. b) Influye la masa del satélite en su velocidad obital? Solución: El satélite se encuenta inicialmente en eposo en la supeficie de la iea, situación A de la figua: En esta posición, la enegía total del satélite seá solo enegía potencial gavitatoia, ya que está en eposo antes del lanzamiento, cuya expesión seá: S E A Ep A - Una vez en óbita, posición B de la figua, el satélite poseeá enegía potencial gavitatoia y enegía cinética puesto que está obitando con una velocidad v deteminada. Las enegías en esta posición obital seán: S Ep B - ; Ec + h B m v Ahoa bien, la velocidad obital del satélite viene dada po: v + h s Luego la enegía cinética en B seá: Ec B. + h Y la enegía total en la posición B, suma de la potencial y la cinética seá: E B Ec B + Ep B. + h s - + h S -. + h s Luego el satélite sufe vaiación de enegía cinética y vaiación de enegía potencial gavitatoia, de tal manea que la vaiación total de enegía que expeimentaá seá: s S ΔE E B - E A h Esta vaiación de enegía es la que tendá que suminista el cohete lanzado del satélite paa pode ponelo en óbita. b) Como hemos visto antes la velocidad obital del satélite a una altua h viene dada po la expesión: v. Donde se puede apecia que esta velocidad no depende paa nada de la + h masa del satélite sino de la masa de la iea y de la distancia al cento de la misma que queamos que obite el satélite. 7

8 0) Una masa m se mueve en un campo gavitatoio poducido po ota masa M. a) Aumenta o disminuye su enegía potencial cuando se acecan las dos patículas? b) Si inicialmente m estaba a una distancia de M y se taslada hasta una distancia, explique las vaiaciones de su enegía cinética y potencial. Solución: a) La enegía potencial gavitatoia se define como la enegía necesaia paa aceca dos masas desde el infinito hasta una distancia. Su valo es: Ep -. Su valo es ceo en el infinito y negativo en los demás casos. Po consiguiente, cuando se acecan las masas, su enegía potencial disminuye. Esta es la tendencia espontánea, pues la fueza gavitatoia tiende a aceca, es siempe atactiva. Paa alejalas, había que hace un tabajo conta el sistema. b) ΔEp Ep - Ep - + ΔEc Ec - Ec Es deci, la enegía cinética disminuye y la enegía potencial aumenta el doble. ) Po qué la enegía potencial gavitatoia de un planeta aumenta cuando se aleja del Sol? Solución: teniendo en cuenta la fómula de la enegía potencial gavitatoia asociada al sistema Solplaneta es: Ep - S, podemos deduci que a medida que cece, el valo de Ep se hace un númeo menos negativo. Po tanto, Ep se hace mayo cuando cece. Cuando, Ep tiene su valo máximo, ceo. ) Comente los siguientes enunciados, definiendo los conceptos físicos asociados y justifica su caácte de vedadeo o falso: a) El campo gavitatoio es consevativo y po tanto existe un potencial asociado a él. b) El tabajo ealizado po el campo gavitatoio sobe una patícula que se desplaza ente dos puntos es meno si lo hace a tavés de la ecta que une dichos puntos, ya que es el camino más coto. Solución: a) Vedadeo. El potencial gavitatoio es la enegía potencial po unidad de masa asociada a un punto del espacio, sometido a la pesión de fuezas gavitatoias. b) Falso. Una de las caacteísticas de las fuezas consevativas es que el tabajo que ealizan sólo depende de las posiciones inicial y final y no de la tayectoia seguida. 8

9 3) Suponga que la iea edujese su adio a la mitad manteniendo su masa. a) Aumentaía la intensidad del campo gavitatoio en su nueva supeficie? b) Se modificaía sustancialmente su óbita alededo del Sol? Justifique las espuestas. Solución: a) La intensidad del campo gavitatoio es: g u. Si el adio se edujese a la mitad, el nuevo campo gavitatoio seía: g' u 4 u 4 g / Po tanto, aumentaía cuato veces. b) La fueza de atacción ente la iea y el Sol no se veía S M afectada, pues depende de los siguientes factoes: F G. El único cambio povendía de la vaiación del momento de inecia de la iea, que afectaía muy poco a su movimiento de otación. 4) Dos satélites idénticos están en óbita alededo de la iea, siendo sus óbitas de distinto adio. a) Cuál de los dos se moveá a mayo velocidad? b) Cuál de los dos tendá mayo enegía mecánica? azone las espuestas. Solución: la velocidad obital de un satélite que descibe óbitas ciculaes en tono a un planeta viene dada po la expesión: v, donde M es la masa del planeta, el adio de la óbita y G la constante de gavitación univesal. Paa satélites que obiten alededo del mismo planeta, sólo depende de la distancia al cento del planeta. Vemos que si el satélite A está a mayo distancia (mayo adio), su velocidad obital seá meno. El B tendá mayo velocidad obital. - La enegía mecánica de un satélite en óbita es la suma de sus enegías cinética y potencial gavitatoia: E M Ec + Ep m v - m - - Al tatase de una enegía negativa, vemos que, a mayo adio del satélite, la enegía mecánica seá menos negativa, es deci, seá mayo. Po tanto, el A posee mayo enegía mecánica, al tene mayo adio. 5) a) Explique las analogías y difeencias ente las inteacciones gavitatoia y electostática. b) Qué elación existe ente el peíodo y el adio obital de dos satélites? Solución: a) Analogías - Su expesión matemática es semejante. - Desciben fuezas que son popocionales a la magnitud física que inteacciona, las masas en las fuezas gavitatoias y las cagas en las elécticas. - En ambas leyes las fuezas son invesamente popocionales al cuadado de la distancia. - anto las fuezas gavitatoias como las elécticas son fuezas centales, es deci, actúan en la diección de la ecta que une las masas o las cagas, espectivamente. 9 Difeencias - La fueza gavitatoia está asociada a la más y la fueza eléctica a la caga. - La fueza gavitatoia es de atacción (poque solo hay un tipo de masa) y la fueza eléctica puede se de atacción o de epulsión (poque hay dos tipos de cagas). - El valo de la constante G no depende del medio mientas que el valo de la constante K depende del medio en el que estén las cagas. - El valo de G es muy pequeño fente a K: la inteacción gavitatoia es mucho más débil que la eléctica.

10 b) La tecea Ley de Keple indica la elación que existe paa un satélite ente su peiodo y su adio. m v La deducimos: F C F G v π 4 π 4 π ³ v Si lo que tenemos que compaa son los peiodos de dos satélites, tendemos: K 3 K 3 K ³ K ³ 6) Demueste, azonadamente, las siguientes afimaciones: a) a una óbita de adio de un satélite le coesponde una velocidad obital v caacteística; b) la masa M de un planeta puede calculase a pati de la masa m y del adio obital de uno de sus satélites. Solución: a) Los fundamentos teóicos que explican el movimiento de satélites atificiales en sus óbitas estables pueden se desaollados cosideando estos pincipios físicos: Ley de la Gavitación Univesal, Consevación del Momento Angula y Consevación de la Enegía. La enegía mecánica que posee un satélite que gia alededo del planeta seá: E M Ec + Ep m v - constante. Este valo debeá se negativo en todo momento, puesto que el segundo témino se elaciona con la acción gavitatoia del satélite, y paa que el atefacto pemanezca constantemente ligado al planeta es necesaio que la enegía cinética sea meno, en téminos absolutos, que la enegía potencial coespondiente al punto de la óbita en la que se encuente dicho satélite (de este modo, no dispondá en ningún momento de la enegía suficiente como paa escapa de la acción de planeta): > m v. Esta condición se cumpliá ente deteminados valoes de, uno máximo (apogeo) y oto mínimo (peigeo). La tayectoia que cumpliá esta condición seá, clao está, una elipse con la iea en uno de sus focos, según la pimea ley de Keple. Y, clao está, una de las elipses que cumplen lo deducido anteiomente es, pecisamente, la cicunfeencia. Al analiza este sencillo caso: F G m a C. Al tene los dos vectoes iguales diección y sentido, podemos ealiza un tatamiento escala. Así : v m obital v obital v obital b) al deteminación seá posible siempe que se conozcan datos de un planeta o satélite en óbita alededo suyo. Consideando las óbitas como ciculaes, la fueza de atacción gavitatoia es la fueza centípeta poductoa del movimiento. Entonces: F C F G m v v v M G 0

11 Como: v ω ππ M 4 π G 4 π ³ G 7) a) Enuncie la ley de gavitación univesal y comente el significado físico de las magnitudes que intevienen en ella. b) Según la ley de gavitación univesal, la fueza que ejece la iea sobe un cuepo es popocional a la masa de éste. Po qué no caen más depisa los cuepos con mayo masa? Solución: La fueza de atacción gavitatoia ente dos cuepos es diectamente popocional al poducto de sus masas e invesamente popocional al cuadado de la distancia que las sepaa. Paa comenta el significado físico de las magnitudes pongamos la ley en foma matemática: M F G G. Así, M y m son las masas de los cuepos que se ataen. Evidentemente cuanto mayoes son dichas masas, mayo es la fueza de atacción. Ota magnitud que inteviene es la, que apaece en el denominado y que epesenta la distancia a la que se encuenta una masa de ota. A meno distancia ente las masas, mayo seá la fueza de atacción ente ellas; y como está al cuadado, su influencia en la atacción seá más impotante que la de cualquiea de las masas. Po último apaece la constante de popocionalidad G, que es la denominada constante de gavitación univesal, cuyo valo, deteminado expeimentalmente po Cavendish, no depende del medio en el N que se encuenten las masas, y vale 6'67 0 kg, muy pequeño, po lo que la atacción gavitatoia ente cuepos solo se pone de manifiesto si estos son muy masivos. b) Poque el que caigan más o menos depisa los cuepos es el efecto de esa fueza de atacción. Es deci, según la segunda ley de Newton, la fueza que la iea ejece sobe un cuepo (en ausencia del esto de inteacciones) es igual al poducto de la masa del cuepo po la aceleación que adquiee este. La aceleación (el que caigan más o menos ápido), po tanto, es el efecto de esa fueza, así que si utilizamos las expesiones de Newton de la ley de gavitación univesal y su segunda ley de la dinámica tenemos: a m F m g. Es deci, todos los cuepos cecanos a la iea caeán con la aceleación g (0 m/s), independientemente de sus masas. 8) Un satélite atificial descibe una óbita cicula alededo de la iea. a) Explique qué se entiende po velocidad obital y deduzca azonadamente su expesión. b) Conociendo el adio de la óbita y su peíodo, podemos detemina las masas de la iea y del satélite? azone la espuesta. Solución: a) La velocidad obital de un satélite, es aquella que debe tene paa que su óbita sea estable y ha de cumplise que la fueza gavitatoia que le ejece la iea sea la fueza centípeta: F G F C m v obital v obital v obital

12 b) eniendo en cuenta que los datos obitales del satélite son, su peiodo () y el adio de la óbita (). Aplicando F C F G : m v v M v G Como: v ω ππ M 4 π G 4 π ³ G Así obtenemos la masa de la iea en función de la constante G y de los datos popocionados: y. Sin embago, no podemos conoce la masa del satélite, pues los datos obitales no dependen de él. 9) a) Haciendo uso de consideaciones enegéticas, detemine la velocidad mínima que había que impimile a un objeto de masa m, situado en la supeficie de un planeta de masa M y adio, paa que saliea de la influencia del campo gavitatoio del planeta. b) Se desea que un satélite se encuente en una óbita geoestacionaia. Con qué peíodo de evolución y a qué altua debe hacelo? Solución: a) Que un cuepo salga de la influencia del campo gavitatoio del planeta significa que llegue a una distancia infinita (Ep 0) y que su velocidad sea ceo (Ec 0), po lo tanto su enegía mecánica seía ceo. A la velocidad necesaia que hay que dale al cuepo en la supeficie del planeta paa que eso ocua se le llama velocidad de escape. Se necesita una fueza instantánea que le comunique esa velocidad inicial. Po ejemplo, en una explosión. Como el campo gavitatoio es consevativo, la enegía mecánica se mantiene constante, en consecuencia, podemos plantea la siguiente ecuación: E M E Msupeficie E Ec supeficie + Ep supeficie E c + E p M m ve - 0 m ve ve b) Un satélite geoestacionaio se caacteiza po esta situado en todo momento sobe el mismo punto del planeta. Ésto se consigue si su peiodo de otación es el mismo del planeta sobe el que obita (en el caso de la iea el peiodo de otación del satélite seía de 4 h). Paa calcula la altua de la óbita patimos de la tecea ley de Keple: k ³. Sustituyendo k po su valo: 4 π ³. Despejamos : 3 y como: + h: 4 π h 3-4 π

13 0) Un satélite está en óbita cicula alededo de la iea. azone si la enegía potencial, la enegía cinética y la enegía total del satélite son mayo, meno o igual que las de oto satélite que sigue una óbita, también cicula, peo de meno adio. Solución: estas son las expesiones de las tes enegías paa cualquie satélite: Ep - ; Ec m v. Como la velocidad obital es: v Ec m ; E M Ec + Ep - - Supongamos que A > B. Como la Ec es invesamente popocional a, a mayo, meno Ec. Luego: Ec A < Ec B. La Ep también es invesamente popocional a, peo su expesión tiene signo negativo. Eso significa que, a mayo, Ep se hace menos negativo, o sea, más gande. Luego: Ep B > Ep A. Como la EM también tiene signo negativo y es también invesamente popocional a, po el mismo azonamiento que con la Ep, E MB > E MA. ) a) La enegía potencial de un cuepo de masa m en el campo gavitatoio poducido po oto cuepo de masa m' depende de la distancia ente ambos. Aumenta o disminuye dicha enegía potencial al aleja los dos cuepos? Po qué? b) Qué mide la vaiación de enegía potencial del cuepo de masa m al desplazase desde una posición A hasta ota B? azone la espuesta. Solución: a) la ecuación de la enegía potencial paa dos cuepos de masas m y m sepaados una G' distancia es la siguiente: Ep -. Al sepaalos, aumenta y disminuye el valo absoluto de la enegía potencial, peo como su signo es negativo, la enegía potencial aumenta. b) El tabajo ealizado po las fuezas consevativas del campo gavitatoio, equivale a la vaiación negativa de la enegía potencial del sistema, pues las fuezas consevativas son las únicas capaces de modifica el valo de la enegía potencial: W FC Ep Ep A - Ep B. ) azone la veacidad o falsedad de las siguientes afimaciones: a) El peso de un cuepo en la supeficie de un planeta cuya masa fuea la mitad que la de la iea seía la mitad de su peso en la supeficie de la iea. b) El estado de "ingavidez" de los astonautas en el inteio de las naves espaciales obitando alededo de la iea se debe a que la fueza que ejece la iea sobe ellos es nula. planeta Solución: a) P iea ; PPlaneta Dividiendo miembo a miembo: P P Planeta iea 3

14 Vedadeo. El peso en el planeta seía la mitad del peso en la iea. b) Falso. La ingavidez es solo apaente, poque la gavedad existe. Lo que ocue es que el satélite se mueve con una aceleación exactamente igual a la de la gavedad: Paa un obsevado inecial: v v g a nomal y paa un obsevado no inecial: g acentífuga. Po eso cuando un astonauta suelta un objeto pemanece a la misma distancia del astonauta, dando la impesión de que no se mueve. Es exactamente el mismo caso que si viajamos en un ascenso y se pate la cueda. ecodemos que un sistema inecial es aquel en eposo o con velocidad constante; en él, apaece la inecia. Un sistema no inecial es un sistema aceleado; en él, apaecen la fueza centífuga. 3) Un satélite descibe una óbita cicula alededo de la iea. Conteste azonadamente a las siguientes peguntas: a) Qué tabajo ealiza la fueza de atacción hacia la iea a lo lago de media óbita? b) Si la óbita fuea elíptica, cuál seía el tabajo de esa fueza a lo lago de una óbita. Solución: a) Ninguno. Como se despende de la expesión del potencial gavitatoio paa cuepos M esféicos (la iea): V G, todos los puntos situados a la misma distancia del cento de gavedad de la iea, tienen el mismo valo de potencial. Si unimos todos esos puntos mediante una supeficie, esta seá una supeficie equipotencial que paa el caso de la iea, toma la foma de una esfea. Una de las implicaciones del caácte consevativo de la fueza gavitatoia, es que esta no ealiza tabajo alguno sobe un cuepo que se mueva po una supeficie equipotencial (una óbita cicula petenece a una supeficie equipotencial). Puesto que el potencial es el mismo no hay vaiación de enegía potencial y en consecuencia, el tabajo es nulo. En supeficies equipotenciales: W FC - ΔEp 0 b) Ota de las implicaciones de los campos consevativos es que no se poduce tabajo en tayectoias ceadas. Al se el mismo el punto inicial que el final, no hay vaiación de enegía potencial y po lo tanto el tabajo es nulo. 4) a) Considee un punto situado a una deteminada altua sobe la supeficie teeste. Qué velocidad es mayo en ese punto, la obital o la de escape? b) A medida que aumenta la distancia de un cuepo a la supeficie de la iea disminuye la fueza con que es ataído po ella. Significa eso que también disminuye su enegía potencial? azone las espuestas. Solución: a) Las expesiones de ambas velocidades son: v escape ; v obital. Luego: vescape v obital. La velocidad de escape es veces más gande que la velocidad obital. b) No. La expesión de la enegía potencial es: Ep -. Al aumenta h, disminuye el valo + h numéico de la enegía potencial, peo al se esta negativa, su valo eal aumenta. La enegía potencial aumenta al alejanos de la iea, pues se hace menos negativa, hasta llega a su valo máximo en el infinito: 0. 4

15 5) Dibuje en un esquema las líneas de fueza del campo gavitatoio ceado po una masa puntual M. Sean A y B dos puntos situados en la misma línea de fueza del campo, siendo B el punto más cecano a M. a) Si una masa, m, está situada en A y se taslada a B, aumenta o disminuye su enegía potencial? Po qué? b) Si una masa, m, está situada en A y se taslada a oto punto C, situado a la misma distancia de M que A, peo en ota línea de fueza, aumenta o disminuye la enegía potencial? azone su espuesta. Solución: a) Las enegías potenciales coespondientes son: Ep A - ; EpB - A. Como la enegía potencial tiene signo negativo y es invesamente popocional a la distancia, al se A > B, entonces: Ep A > Ep B. b) La enegía potencial no vaía poque el cuepo se desplaza po una supeficie equipotencial. Como se despende de la expesión del potencial gavitatoio paa cuepos esféicos (la iea): M V G. odos los puntos situados a la misma distancia del cento de gavedad de la iea, tienen el mismo valo de potencial. Si unimos todos esos puntos mediante una supeficie, esta seá una supeficie equipotencial que paa el caso de la iea, toma la foma de una esfea. Una de las implicaciones del caácte consevativo de la fueza gavitatoia, es que esta no ealiza tabajo alguno sobe un cuepo que se mueva po una supeficie equipotencial (una óbita cicula petenece a una supeficie equipotencial). Puesto que el potencial es el mismo no hay vaiación de enegía potencial y en consecuencia, el tabajo es nulo. B 6) Conteste azonadamente a las siguientes peguntas: a) Si se edujea el adio de la óbita luna en tono a la iea, aumentaía su velocidad obital? b) Dónde es mayo la velocidad de escape, en la iea o en la Luna? Solución: a) La velocidad obital de la Luna en tono a la iea se deduce de iguala la fueza centípeta a la gavitatoia: F G F C m v obital v obital v obital La velocidad obital es invesamente popocional al adio de gio. Si disminuye el adio de la óbita () es evidente que aumenta la velocidad obital. b) La velocidad de escape es la velocidad inicial mínima que hay que impimile a un cuepo desde la supeficie de un planeta paa que escape de su atacción gavitatoia. La velocidad de escape desde la supeficie de un cuepo celeste viene dada po vaias expesiones. La que nos sive paa compaa en este caso es: v e g. 5

16 Paticulaizamos paa la iea y la Luna: v e Como g > g L y > L, entonces: v e > v el g ; v el g L L 7) azone, a pati de la segunda ley de Keple, cómo cambia la velocidad de un planeta a lo lago de su óbita al vaia la distancia al Sol. Solución: La segunda ley de Keple afima que la velocidad aeola de un planeta es constante. Si llamamos A al áea baida po el segmento que une el Sol con el planeta, la ley se puede expesa matemáticamente da así: k. dt Como las áeas deben se iguales y deben se ecoidas en el mismo tiempo: t - t t 4 - t 3, es deci, que cuando el planeta está más alejado del Sol debe movese más lento que cuando está más ceca, que debe i más ápido paa que el áea A sea baida en el mismo tiempo. Podemos conclui, po tanto, que en su movimiento alededo del Sol un planeta se mueve más despacio cuanto más alejado está de él y va aumentando su velocidad a medida que se va acecando, paa luego i disminuyéndola de nuevo a medida que se aleja. 8) a) Explique las analogías y difeencias ente el campo eléctico ceado po una caga puntual y el campo gavitatoio ceado po una masa puntual, en elación con su oigen, intensidad elativa, diección y sentido. b) Puede anulase el campo gavitatoio y/o el campo eléctico en un punto del segmento que une a dos patículas cagadas? azone la espuesta. Solución: a) Analogías: Su expesión matemática es semejante. Desciben fuezas que son popocionales a la magnitud física que inteacciona, las masas en las fuezas gavitatoias y las cagas en las elécticas. En ambas leyes las fuezas son invesamente popocionales al cuadado de la distancia. anto las fuezas gavitatoias como las elécticas son fuezas centales, es deci, actúan en la diección de la ecta que une las masas o las cagas, espectivamente. La fueza gavitatoia está asociada a la masa y la fueza eléctica a la caga. Difeencias: La fueza gavitatoia es de atacción (poque solo hay un tipo de masa) y la fueza eléctica puede se de atacción o de epulsión (poque hay dos tipos de cagas). El valo de la constante G no depende del medio mientas que el valo de la constante K depende del medio en el que estén las cagas. El valo de G es muy pequeño fente a K: la inteacción gavitatoia es mucho más débil que la eléctica. 6

17 b) El campo gavitatoio puede anulase, como se ve en la figua: cagas han de se de igual signo: Paa que se anule el campo eléctico, las No es necesaio que las cagas sean de igual módulo, ni que las masas sean iguales, ni que la distancia sea la mitad ente los cuepos y las cagas. Lo que es necesaio es que los campos sean iguales y de sentidos opuestos. 9) a) Enuncie las leyes de Keple y azone si la velocidad de taslación de un planeta alededo del Sol es la misma en cualquie punto de la óbita. b) Justifique si es vedadea o falsa la siguiente afimación: la gavedad en la supeficie de Venus es el 90% de la gavedad en la supeficie de la iea y, en consecuencia, si midiésemos en Venus la constante de gavitación univesal, G, el valo obtenido seía el 90% del medido en la iea. Solución: a) Según la segunda ley de Keple, las áeas de la figua han de se iguales y han de se ecoidas en el mismo tiempo. Ello explica que los planetas se muevan más ápidamente en el peihelio (ceca del sol) que en el afelio (lejos del sol): b) La afimación es falsa. G, como su popio nombe indica, es una constante univesal, es deci su valo es el mismo paa todo el univeso. La gavedad de Venus es meno que la de la iea po el valo de su masa y de su adio: g Venus V V ; g iea ; M V V < M 30) a) Analice las caacteísticas de la inteacción gavitatoia ente dos masas puntuales. b) Cómo se ve afectada la inteacción gavitatoia descita en el apatado anteio si en las poximidades de las dos masas se coloca una tecea masa, también puntual? Haga un esquema de las fuezas gavitatoias que actúan sobe la tecea masa. 7

18 Solución: a) La inteacción gavitatoia ente dos cuepos es atactiva y puede expesase mediante una fueza cental diectamente popocional al poducto de las masas de los cuepos e invesamente popocional al cuadado de la distancia que los sepaa. La constante de popocionalidad es la llamada constante de gavitación univesal, G, vectoialmente, expesamos esta fueza de la siguiente manea: M F G G u Es la ley de gavitación univesal, desaollada po Newton. La fueza que actúa sobe m es igual que la actúa sobe m, peo diigida en sentido contaio. b) Cuando tenemos un conjunto de vaias masas, la fueza que actúa sobe una de ellas es igual a la esultante de las fuezas que las demás ejecen sobe ella, consideadas individualmente. Es el llamado pincipio de supeposición: 3) Se desea que un satélite se encuente en una óbita geoestacionaia. azone con qué peíodo de evolución y a qué altua debe hacelo. Solución: un satélite geoestacionaio se caacteiza po esta situado en todo momento sobe el mismo punto del planeta. Ésto se consigue si su peiodo de otación es el mismo del planeta sobe el que obita (en el caso de la iea el peiodo de otación del satélite seía de 4 h). Paa calcula la altua de la óbita: F G F C m v v ππ Elevando ambos miembos al cuadado: más que la tecea ley de Keple. 4 π 4 π ³ ; k ³, que no es 8

19 Luego el adio de gio seía: 3. 4 π Y teniendo en cuenta que: + h h π 3) Suponiendo que la velocidad de lanzamiento de un cohete es infeio a la de escape, explique las caacteísticas del movimiento del cohete y ealice un balance de enegías. Solución: es evidente que el cohete no saldá del campo gavitatoio teeste. Duante la ascensión y mientas due el combustible, la enegía cinética que le povoca la combustión se tansfoma en enegía potencial. Cuando el combustible se agota, su velocidad va disminuyendo hasta queda paado (siempe que no tenga una componente tangencial de velocidad, en cuyo caso entaía en óbita) con la máxima enegía potencial, en este momento comienza la caída hacia la supeficie de la iea duante la cual, la enegía potencial se tansfoma en cinética. 33) Se desea coloca un satélite en una óbita cicula a una altua h sobe la iea. Deduzca las expesiones de la enegía cinética del satélite en óbita y de la vaiación de su enegía potencial especto a la supeficie de la iea. Solución: en una óbita cicula, el satélite tiene un movimiento cicula unifome, con velocidad de módulo constante denominada velocidad obital, y que se obtiene con la expesión: v, donde M y son la masa y el adio de la iea, espectivamente. + h La enegía cinética se calcula así: Ec m v m + h + h Al alejase desde la supeficie de la iea, la enegía potencial del satélite aumenta debido a que la fueza gavitatoia ealiza un tabajo negativo sobe él. ΔEp - W FC ΔEp > 0. Suponiendo el nivel ceo de enegía potencial gavitatoia a una distancia infinita de la iea, la expesión de la enegía potencial queda: Ep - Ep - ; Ep - ; + h ΔEp Ep - Ep h G M m ( +h h ( +h ) ) + h G M m ( +h ) 34) Explique las vaiaciones enegéticas de un objeto cuando se lanza desde la iea y alcanza una altua h sobe ella. Solución: cuando decimos se lanza, suponemos que al cuepo se le aplica una fueza instantánea y se le comunica una velocidad inicial. En estas condiciones, no hay fuezas consevativas, luego la enegía mecánica se conseva: W W FC + W FNC - ΔEp + 0 ΔEc - ΔEp ΔEc Ec A + Ep A Ec B + Ep B 9

20 Es deci, la enegía mecánica se conseva, tansfomándose la enegía cinética en potencial. Si existiea ozamiento, la expesión seía: W FC + W OZ - ΔEp + W OZ ΔEc Esto significa que la enegía cinética inicial se inviete en pate en aumenta la enegía potencial y en pate en vence el ozamiento con el aie. Una óbita geoestacionaia es aquella en la que el cuepo gia alededo de la iea sin escapa al espacio y sin cae a la supeficie de la iea. Pueden ocui dos cosas tas el lanzamiento: que la Ec sea suficiente paa alcanza la óbita geoestacionaia o no. Si no tenía la enegía cinética suficiente, el cuepo volveá a cae a la supeficie de la iea. En caso de llega a la óbita geoestacionaia, el cuepo giaía en tono a la iea en una óbita estable, en una tayectoia elíptica o cicula, en una supeficie equipotencial, es deci, el incemento de Ep seía nulo; sus enegías cinética, potencial y mecánica seían constantes. 35) El adio obital de un planeta es N veces mayo que el de la iea. azone cuál es la elación ente sus peiodos. Solución: la tecea ley de Keple dice que los cuadados de los peiodos de evolución de los planetas son popocionales a los cubos de la distancia media de los planetas al sol: k ³ iea k 3 ; Planeta k P 3. Dividiendo miembo a miembo: planeta iea k ³ k ³ planeta iea k N k ³ iea iea ³ N³ planeta N³ iea planeta iea N ³ 36) azone qué enegía había que comunica a un objeto de masa m, situado a una altua h sobe la supeficie de la iea, paa que se alejaa indefinidamente de ella. Solución: antes de esolve este apatado, hemos de supone dos cosas, pimeo, que el cuepo inicialmente está paado con especto a la iea (Ec 0) a una altua h de su supeficie, ya que el enunciado del poblema no dice que esté en obita, segundo, que el sentido de la fase alejalo indefinidamente significa, sacalo de la influencia de su campo gavitatoio, es deci, ponelo en el infinito (Ep 0) a velocidad ceo (Ec 0). La enegía necesaia paa aleja indefinidamente al objeto seía la difeencia de enegía ente esas dos posiciones: ΔE E - E h Ec + Ep - Ec h - Ep h ( +h ) + h 37) Demueste la tecea ley de Keple a pati de la ley de gavitación univesal de Newton paa un óbita cicula. Solución: la tecea ley de Keple dice que el cuadado del peíodo de evolución de un planeta es popocional al cubo de su distancia de gio al Sol. F G F C v ππ S m v 4 π v v S. Como la óbita es cicula: S 4 π ³ k ³ S 0

21 38) azone cómo vaiaía la enegía mecánica de un satélite si se duplicaa su masa. Solución: Ep - ; Ec m v. Como la velocidad obital es: v Ec m ; E M Ec + Ep - - Si se duplicase la masa del satélite, se duplicaía su enegía mecánica. 39) Explique en qué punto, ente dos masas puntuales, puede encontase en equilibio una tecea masa puntual y cuál seía su enegía potencial. Solución: el punto ente dos masas puntuales en que puede encontase en equilibio una tecea masa puntual es aquel en que las fuezas gavitatoias que ejecen cada una de las masas sobe la tecea, que se encuenta ente ellas, son iguales y de sentido contaio con lo que se anulan ente ellas y la esultante es ceo. La enegía potencial de la tecea masa en ese punto seía mínima con especto a la que tendía en cualquie ota posición del eje X ya que se encuenta en equilibio. 40) Un cuepo de masa m se eleva desde el suelo hasta una altua h de dos fomas difeentes: diectamente y mediante un plano inclinado. azone que el tabajo de la fueza peso es igual en ambos casos. Solución: la fueza gavitatoia (peso) es consevativa y po lo tanto se cumple que, como en ambos casos es la misma, la vaiación de enegía potencial y po lo tanto el tabajo son iguales. W FC - ΔEp. Dicho de ota foma: el tabajo ealizado po fuezas consevativas no depende del camino seguido, sólo de las posiciones inicial y final. 4) a) elación ente campo y potencial gavitatoios. b) Dibuje en un esquema las líneas del campo gavitatoio ceado po una masa puntual M. Una masa m, situada en un punto A, se taslada hasta oto punto B, más póximo a M. azone si aumenta o disminuye su enegía potencial. Solución: se define el campo gavitatoio que cea una masa M como la fueza po unidad de masa con la que es capaz de atae a cualquie ota masa m situada en el espacio que la odea. a F G m m g donde G es la constante de gavitación univesal, M es la masa que cea el campo y es la distancia a al que se quiee calcula el campo. Es una magnitud vectoial cuya unidad (m/s) muesta que epesenta una aceleación que, en el caso de que M sea una masa puntual es adial y hacia dento.

22 Se definen las líneas de campo como las líneas tangentes al campo gavitatoio en todos los puntos del espacio. Se define el potencial gavitatoio que cea una masa M como la enegía potencial gavitatoia po unidad de masa que tendía una masa m en las poximidades de M: V Ep - m La epesentación de V fente a la distancia es: - m donde se puede ve cómo V siempe tiene un valo negativo y que paa, V tiende a ceo. Se definen las supeficies equipotenciales como las egiones del espacio que están a potencial constante. La elación ente el campo y el potencial gavitatoios consiste en la expesión: dv g, que indica que el valo del campo gavitatoio que cea una masa puntual es igual a la d deivada del potencial especto a la distancia en ese punto. En geneal se cumple que: las líneas de campo siempe son pependiculaes a las supeficies equipotenciales; las líneas de campo siempe apuntan hacia potenciales dececientes. g g g g V V 3 V Siendo: V > V > V 3

23 b) Como la masa m se aceca a M pasando del punto A al punto B, se tiene que las enegías potenciales son: Ep A m V A ; Ep B m V B El potencial es: V - Al esta B más ceca de M que de A, se tiene que B < A, con lo que V B < V A, po lo que la masa m piede enegía potencial al pasa de A hasta B. 4) a) Explique bevemente el concepto de potencial gavitatoio. b) Discuta si es posible que existan puntos en los que se anule el campo gavitatoio y no lo haga el potencial en el caso de dos masas puntuales iguales sepaadas una distancia d. Solución: a) Es una magnitud escala que se define como el tabajo po unidad de masa que debe ealiza una fueza paa tanspota un cuepo, a velocidad constante, desde el infinito hasta un punto del campo gavitatoio. Su unidad en el SI es el julio po kilogamo (J/kg). Ep Potencial ceado po una masa puntual: V - m Vaiación del potencial fente a la distancia: En el infinito, el potencial vale ceo. A cualquie ota distancia, su valo es negativo. b) Sí, es posible. En ambos casos, se aplica el pincipio de supeposición: Paa el potencial: V V + V. Paa el campo gavitatoio: E E + E El potencial es un escala y el campo es un vecto. Los potenciales son siempe númeos negativos, po lo que su suma siempe seá oto númeo negativo y nunca ceo. Los campos pueden se positivos o negativos, dependiendo de las diecciones y sentidos de los vectoes, luego sí pueden anulase los vectoes y da luga a un campo total nulo. 43) Dos satélites de igual masa, m, desciben óbitas ciculaes alededo de un planeta de masa M. Si el adio de una de las óbitas es el doble que el de la ota, azone la elación que existe ente los peiodos de los dos satélites Y ente sus velocidades? Solución: según la tecea ley de Keple, el cuadado del peíodo de gio de un satélite es popocional al cubo de su adio de gio. Aplicando ésto a cada satélite: A k ³ A ; B k ³ B k ( A )³ k 8 ³ A. Dividiendo miembo a miembo: B A k 8 ³ k ³ A A 8 ; B 8 A 3

24 Paa las velocidades: v π ; v A π A A ; v B π B B Dividiendo miembo a miembo: v v B A B B A A B A A B B A B A 44) Explique qué es un satélite geoestacionaio y calcule el valo de la altua especto de la supeficie teeste a la que se encuenta dicho satélite. Solución: un satélite es cualquie cuepo (natual o atificial) que descibe una óbita alededo de oto cuepo celeste de mayo masa. La distancia del satélite al planeta no es constante, ni tampoco su velocidad. Los satélites también siguen las leyes de Keple. Un satélite geoestacionaio es aquel que siempe se encuenta sobe la misma vetical de la supeficie teeste. Paa que esto ocua, el satélite tiene que esta en la vetical del ecuado. Su peíodo de otación es, po tanto, igual al de la iea, 4 hoas. F G F C m v v 4 π Elevando ambos miembos al cuadado: 4 π ³ ; más que la tecea ley de Keple. Luego el adio de gio seía: k ³, que no es 3. Y teniendo en cuenta que: + h h π 4 π 45) a) Una patícula se mueve en un campo gavitatoio unifome. Aumenta o disminuye su enegía potencial gavitatoia al movese en la diección y sentido de la fueza ejecida po el campo? Y si se moviea en una diección pependicula a dicha fueza? azone las espuestas. b) Esciba una expesión del tabajo ealizado po la fueza gavitatoia sobe la patícula paa un desplazamiento "d" en ambos casos. En qué se inviete dicho tabajo? Solución: Si el campo gavitatoio es unifome significa que su valo, en módulo, es igual en todos los puntos del espacio. Si una patícula se mueve en la diección y sentido del campo significa que es el campo gavitatoio quien está ealizando el tabajo paa desplazala, este tabajo lo ealiza el campo a consta de la enegía potencial gavitatoia almacenada, luego la enegía potencial gavitatoia disminuye confome se avanza en la diección y sentido del campo. Como el campo gavitatoio es consevativo, entonces el tabajo que ealiza se puede pone: W FC - ΔEp Y al se positivo este tabajo, la vaiación de enegía potencial seá negativa, es deci, la enegía potencial disminuiá. 4

25 Si la patícula se mueve en una diección pependicula a la fueza gavitatoia, ésta no ealizaía tabajo alguno, ya que fomaía un ángulo de 90º con el desplazamiento, po lo tanto si: W FC 0 - ΔEp 0 y la enegía potencial gavitatoia no vaiaía. Esto es lógico ya que al movenos en una diección pependicula al campo gavitatoio estaíamos desplazándonos po una supeficie equipotencial donde la enegía potencial pemanece constante. b) En el pime caso el tabajo que ealizaía el campo gavitatoio, según la figua, seía: W F d F i di F d m g d Y como la masa y el campo son constantes: W mg d m g d m g ( - ) m g d Este tabajo ealizado se inviete en disminui la enegía potencial gavitatoia de la masa que se desplaza y, como el campo es consevativo, aumentaá su enegía cinética. En el segundo caso el tabajo es nulo ya que, a pati de la figua tendemos que: W F d Fi dj F d cos90º 0 Po lo tanto, al se nulo el tabajo, no vaiaá ni la enegía potencial ni la cinética. 46) a) Una masa, m, descibe una óbita cicula de adio alededo de ota mayo, M, qué tabajo ealiza la fueza que actúa sobe m? b) Y si m se desplazaa desde esa distancia,, hasta infinito? Solución: a) Cuando una masa gia en una óbita cicula en tono a ota sin la ayuda de fuezas extenas, el sistema es estable y la masa m se mueve en una supeficie equipotencial. El tabajo ealizado po una fueza consevativa en una supeficie equipotencial es ceo. b) El tabajo paa move esa masa hasta el infinito es justamente la enegía potencial: W FC - ΔEp Ep A - Ep B ) Dos patículas de masas m y m están sepaadas una cieta distancia. Explique qué fueza actúa sobe cada una de ellas y cuál es la aceleación de dichas patículas. Solución: la fueza de atacción ente dos masas viene dada po la ley de Newton de la gavitación G univesal: F G G. 5

26 Según la tecea ley de Newton: "Cuando un cuepo ejece una fueza (acción) sobe oto, el oto cuepo le devuelve ota fueza (eacción) de igual módulo, de sentido contaio y aplicada al oto cuepo". Es deci, ambas fuezas son iguales. Sin embago, las aceleaciones que expeimentan son distintas, pues son distintas las masas: G G F G F G a ; a m m m m Es deci, la de doble masa expeimenta la mitad de aceleación que la ota. 48) Dos patículas puntuales de masa m están sepaadas una distancia. Al cabo de un cieto tiempo la masa de la pimea se ha educido a la mitad y la de la segunda a la octava pate. Paa que la fueza de atacción ente ellas tenga igual valo que el inicial, es necesaio acecalas o alejalas? azone la espuesta. Solución: la fueza de atacción ente dos masas viene dada po la ley de Newton de la gavitación G univesal: F. En las nuevas condiciones: F m m G 8 G 6 Igualando ambas expesiones: G G Se tendían que aceca a la cuata pate de la distancia inicial. 49) Suponga que el planeta iea duplicase su adio. En qué facto debeía vaia su masa paa que el campo gavitatoio en su supeficie se mantuviea constante? azone la espuesta. Solución: la expesión del campo gavitatoio en condiciones habituales es la siguiente: g. Si se duplicaa el adio: g Si las igualamos: 4 M M 4 4 M 4 M El adio del planeta influye al cuadado en la fómula e invesamente. La masa influye diectamente y linealmente. Paa compensa el efecto del tamaño doble, la masa había de cuadiplicase, pues 4. 6

27 50) azone qué elación existe ente el peso de un satélite que se encuenta en una óbita de adio en tono a la iea y el que tendía en la supeficie teeste. Solución: el peso se define como el poducto de la masa del objeto po la aceleación de la gavedad en el luga consideado (o intensidad del campo gavitatoio). En la supeficie de la iea su valo s es: g supeficie y su peso seía: Psupeficie m g supeficie P óbita s. Dividiendo miembo a miembo: s Póbita P supeficie s ( ) La elación ente sus pesos es el inveso del cociente ente los cuadados de sus adios. 5) azone po qué la enegía potencial gavitatoia de un cuepo aumenta cuando se aleja de la iea. Solución: la enegía potencial es: Ep -. Al aumenta, el valo numéico de la enegía potencial disminuye, peo como es una magnitud negativa, su valo eal aumenta. El ceo de enegía potencial está en el infinito y va disminuyendo confome el cuepo se va acecando. 5) La iea está más ceca del Sol en el invieno boeal (en el hemisfeio note) que en el veano. anto eneo como julio tienen 3 días. En cuál de esos meses ecoe la iea mayo distancia en su tayectoia? Justifique la espuesta. Solución: según la segunda ley de Keple, el adio vecto que une el Sol con un planeta bae áeas iguales en tiempos iguales. Las áeas de la figua han de se iguales y han de se ecoidas en el mismo tiempo. Ello explica que los planetas se muevan más ápidamente en el peihelio (ceca del sol) que en el afelio (lejos del sol): 7

28 Paa que las áeas sean iguales, la distancia ecoida es mayo en las cecanías del Sol, es deci, en el invieno boeal, en el mes de eneo. 53) Imaginemos dos masas puntuales. Qué tabajo ealiza la fueza que actúa sobe una de las dos masas puntuales al descibi media óbita cicula de adio alededo de la ota? Y si se desplazaa desde esa distancia hasta el infinito? azone las espuestas. Solución: al se consevativa la inteacción gavitatoia, se cumple: W - ΔEp. En una óbita semicicula el punto inicial y el final están a la misma distancia () del oigen del campo, po lo tanto, sus enegías potenciales son iguales y en consecuencia el tabajo ealizado es ceo. Si se desplazaa desde esa distancia hasta el infinito, como allí, po definición, la enegía potencial es ceo, obtendíamos: W - ΔEp Ep A - Ep B Ep () - Ep - 54) Indique el significado de velocidad de escape y azone cómo cambia la velocidad de escape de un cuepo si vaía su altua sobe la supeficie teeste de a 3. Solución: la velocidad de escape es la velocidad mínima que hay que comunicale a un cuepo situado en la supeficie del planeta paa que abandone de manea definitiva el campo gavitatoio de este. El cuepo que se halla en la supeficie del planeta con la coespondiente enegía potencial: Ep - es dotado de la enegía cinética necesaia paa que llegue a una distancia infinita (Ep 0) donde su velocidad y po consiguiente su enegía cinética, se haga ceo. El pincipio de consevación de la enegía mecánica exige que: m v escape - 0 v escape eniendo en cuenta que cuando la altua es, la distancia al cento es 3 y que cuando la altua es 3 la distancia al cento es 4 ( + h), hallamos la azón ente las dos velocidades de escape: v v escape escape h h ) azone las espuestas a las siguientes cuestiones: a) Si el ceo de enegía potencial de una patícula de masa m se sitúa en la supeficie de la iea, Cuál es el valo de la enegía potencial de la patícula cuando ésta se encuenta a una distancia infinita de la iea? b) Puede se negativo el tabajo ealizado po una fueza gavitatoia?, puede se negativa la enegía potencial gavitatoia? 8

29 Solución: a) La ecuación que todos conocemos de enegía potencial, pate del hecho de considea nulo el valo de esta en el infinito. De este modo, a un cuepo situado en la supeficie teeste le coespondeía un valo: Ep supeficie - ; E 0 El tabajo que ealizaía la fueza consevativa paa lleva el cuepo de masa m desde la supeficie al infinito seía, en este caso: W AB - ΔEp E - Ep supeficie 0 + Este valo del tabajo no es sino la difeencia ente las enegías potenciales de los dos puntos consideados. Basándonos en este agumento, un cambio en el nivel ceo de enegía potencial no debe modifica el valo de la difeencia de potencial ente los dos puntos. Si a esto le añadimos que todos los pocesos espontáneos van diigidos hacia estados de meno enegía potencial, llegaemos fácilmente a compende que: Ep supeficie 0 ; E W AB - ΔEp E - Ep supeficie Que, clao está es el mismo que el anteio, como ya pesuponíamos según el agumento indicado. Peo también podemos ealiza la agumentación matemáticamente. Si cambiamos la definición de enegía potencial conocida po esta ota, el tabajo ealizado po la fueza consevativa paa lleva un objeto de masa m desde el infinito hasta un punto de la supeficie teeste, en cuyo luga su valo es nulo, la ecuación matemática quedaía como: W BA A F d B B - A Ep A - Ep +. Puesto que, debido al nivel ceo elegido EpA 0: 0 - Ep - 0 Ep b) El tabajo que ealiza la fueza gavitatoia en un poceso espontáneo es siempe positivo. La sepaación de masas no es un poceso espontáneo, y es necesaio efectua un tabajo en conta de la fueza gavitatoia. En este caso, el tabajo de esta fueza gavitatoia es negativo (al no se ella quien ealiza dicho tabajo): W,B - ΔEp Ep - Ep B 0 + B B (Poceso espontáneo) W B, - ΔEp Ep B - Ep B - 0 B (Poceso no espontáneo) b) Al estima el infinito como efeente de enegías potenciales, las enegías potenciales siempe son negativas, ya que, al tatase de una fueza atactiva, un cuepo abandonado en el campo gavitatoio tendeá a desplazase hacia lugaes de meno enegía potencial. Si en el infinito, la enegía potencial es nula, el único modo de disminui seá consideando que en cualquie oto punto difeente del infinito, estas enegías potenciales sean negativas. 9