CUESTIONES RESUELTAS DE GRAVITACIÓN

Transcripción

1 CUESIONES ESUELAS DE GAVIACIÓN 07 ) Una patícula de masa m se desplaza desde un punto A hasta oto punto B en una egión en la que existe un campo gavitatoio ceado po ota masa M. Si el valo del potencial gavitatoio en el punto B es mayo que en el punto A, azone si el desplazamiento de la patícula es espontáneo o no. Solución: El potencial gavitatoio, V, es la enegía almacenada po unidad de masa en un punto del campo gavitatoio. El potencial gavitatoio ceado po una masa puntual M tiene la expesión (eligiendo el oigen paa ): V - La gáfica del potencial fente a la distancia es: V Los cuepos se mueven espontáneamente desde las zonas de mayo enegía potencial a las de meno enegía potencial. Es deci, espontáneamente, el cuepo se mueve desde Ep hasta Ep, siendo: Ep > Ep. Como: Ep m V: m V > m V V > V : condición de espontaneidad. Como el cuepo se mueve desde A hasta B y V B > V A, el poceso es no espontáneo, es deci, hay que aplica una fueza no consevativa. ) Discuta la veacidad de la siguiente afimación: Cuanto mayo sea la altua de la óbita de un satélite sobe la supeficie teeste, mayo es su enegía mecánica y, po tanto, mayoes seán tanto la enegía cinética como la enegía potencial del satélite. Solución: en pate cieto, en pate falso. * Enegía cinética de un satélite: Ec. m v Si la óbita es cicula: Ec. m. G M * Enegía potencial del satélite: Ep G M m * Enegía mecánica del satélite: E M Ec + Ep G M m Si la óbita es cicula: E M G M. m v - G M m Al aumenta la altua, aumenta, luego la Ep aumenta, la Ec disminuye y la enegía mecánica aumenta.

2 Las epesentaciones gáficas coespondientes seían: Ep Ec E M 3) Dos patículas, de masas m y 3m, están situadas a una distancia d la una de la ota. Indique azonadamente en qué punto había que coloca ota masa M paa que estuviea en equilibio. Solución: Paa que la masa M estuviea en equilibio en el espacio ente los dos, la fueza total o el campo total deben se ceos en ese punto. Lo haemos po el campo. Como es una magnitud vectoial, ambos campos se suman po el pincipio de supeposición: d G M x g m g g 3 m g g + g 0 g g g g G m x G 3 m (d x ) x 3 (d x ) (d x) 3 x d x 3 x d ( + 3 ) x x d + 3 4) Dos satélites de igual masa se encuentan en óbitas de igual adio alededo de la iea y de la Luna, espectivamente. ienen el mismo peiodo obital? Y la misma enegía cinética? azone las espuestas. Solución: * Paa los peíodos: igualamos la fueza de la gavedad con la fueza centípeta: F G F C G M m v G M v v G M Po oto lado: π v 4 π v 4 π G M 4 π 3 G M

3 4 π 3 G M. Agupando las constantes: k M iea k M ; Luna k M L Dividiendo: iea Luna k M k M L M L M. Al se: M > M L 0 < M L M < iea Luna < iea < Luna : el peíodo del satélite de la iea es meno que el de la Luna. * Paa las enegías cinéticas: Ec. m v. m G M G M Agupando las constantes: Ec k M Ec iea k M ; Ec Luna k M L. Ec iea k M M Dividiendo: Ec Luna k M L M L. Al se: M > M L Ec iea > Ec Luna : la enegía cinética del satélite de la iea es mayo que la enegía cinética del satélite de la Luna. 5) a) Dibuje en un esquema las líneas del campo gavitatoio ceado po una masa puntual M. b) Ota masa puntual m se taslada desde un punto A hasta oto B, más alejado de M. azone si aumenta o disminuye su enegía potencial. Solución: G M a) El campo gavitatoio tiene la expesión: g. Las líneas de campo gavitatoio son líneas adiales que paten de la masa M y que indican el sentido en el que el campo eléctico cece, es deci, al acecase a M: b) La enegía potencial gavitatoia viene dada po: Ep G M m 3

4 Si B > A B < A B > A G M m G M m B > A Ep B > Ep A ΔEp Ep B Ep A > 0 la enegía potencial aumenta. La enegía potencial aumenta con la distancia y tiene su valo máximo (ceo) en el infinito: Los cuepos se tasladan espontáneamente (sin intevención exteio) desde los puntos de mayo a los de meno enegía potencial o también, desde los puntos de mayo a meno potencial. 6) Indique azonadamente la elación que existe ente las enegías cinética y potencial gavitatoia de un satélite que gia en una óbita cicula en tono a un planeta. Solución: G M m * Enegía potencial gavitatoia: Ep * Enegía cinética: Ec m v Como la tayectoia es cicula: F G F C G M m m v G M v Luego: Ec. m v. m G M G M Ec Ep G M m G M - La elación ente ambas es: La enegía potencial es siempe negativa y la cinética siempe positiva. En valo absoluto, la potencial es el doble de la cinética. 7) Dos patículas, de masas m y m, se encuentan situadas en dos puntos del espacio sepaados una distancia d. Es nulo el campo gavitatoio en algún punto cecano a las dos masas? Y el potencial gavitatoio? Justifique las espuestas. Solución: Al se el campo gavitatoio un vecto y el potencial un escala, es posible que haya puntos donde se anule el campo gavitatoio y no el potencial. El potencial gavitatoio ceado po dos 4

5 masas nunca es nulo, puesto que el potencial es siempe negativo y no puede anulase con oto potencial negativo. Según el pincipio de supeposición: V V + V G m G m < 0, nunca nulo. En cambio, paa el campo gavitatoio: d x g G M m g g m g g + g 0 g g g g G m x G m (d x ) x (d x ) (d x) x d x x d ( + ) x x d + 8) Un bloque de aceo está situado sobe la supeficie teeste. Indique justificadamente cómo se modificaía el valo de su peso si la masa de la iea se edujese a la mitad y se duplicase su adio. G M Solución: el peso de un cuepo viene dado po: P m g m. G M m * Peso inicial: P * Peso en las otas condiciones: P G M ( ) G M m 8 G M Dividiendo ente ambas: P P G M 8 8 El peso inicial es 8 veces supeio al peso con la iea alteada. Es mayo el efecto de altea el adio que el de altea la masa, pues el adio está elevado al cuadado en la fómula del peso. 9) a) Explique bevemente el concepto de potencial gavitatoio. b) Discuta si es posible que existan puntos en los que se anule el campo gavitatoio y no lo haga el potencial en el caso de dos masas puntuales iguales sepaadas una distancia d. 5

6 Solución: a) Es una magnitud escala que se define como el tabajo po unidad de masa que debe ealiza una fueza paa tanspota un cuepo, a velocidad constante, desde el infinito hasta un punto del campo gavitatoio. Su unidad en el SI es el julio po kilogamo (J/kg). Ep Potencial ceado po una masa puntual: V - m Vaiación del potencial fente a la distancia: En el infinito, el potencial vale ceo. A cualquie ota distancia, su valo es negativo. b) epetido. 0) Haciendo uso de consideaciones enegéticas, deduzca la expesión de la velocidad mínima que había que impimile a un objeto de masa m, situado en la supeficie de un planeta de masa M y adio, paa que saliea de la influencia del campo gavitatoio del planeta. Solución: Que un cuepo salga de la influencia del campo gavitatoio del planeta significa que llegue a una distancia infinita (Ep 0) y que su velocidad sea ceo (Ec 0), po lo tanto su enegía mecánica seía ceo. A la velocidad necesaia que hay que dale al cuepo en la supeficie del planeta paa que eso ocua se le llama velocidad de escape. Se necesita una fueza instantánea que le comunique esa velocidad inicial. Po ejemplo, en una explosión. Como el campo gavitatoio es consevativo, la enegía mecánica se mantiene constante, en consecuencia, podemos plantea la siguiente ecuación: E M E Msupeficie E Ec supeficie + Ep supeficie E c + E p M m ve - 0 m ve ve 06 ) a) Explique las caacteísticas del campo y del potencial gavitatoios ceados po una masa puntual. b) Una patícula de masa m, situada en un punto A se mueve en línea ecta hacia oto punto B, en una egión en la que existe un campo gavitatoio ceado po una masa M. Si el valo del potencial gavitatoio en el punto B es meno que en el punto A, azone si la patícula se aceca o se aleja de M. Solución: a) * Campo gavitatoio, g: petubación del espacio povocada po la pesencia de una masa. 6

7 ambién puede definise como la fueza expeimentada po unidad de masa en un punto del F G M espacio. Es una magnitud vectoial: g m. Su módulo se calcula así: g. Es diectamente popocional a la masa e invesamente popocional al cuadado de la masa: Las líneas de campo son líneas que indican la diección del vecto campo gavitatoio y el sentido en el que cece su magnitud: * Potencial gavitatoio, V: enegía potencial gavitatoia po unidad de masa. Es una magnitud escala que se define como el tabajo po unidad de masa que debe ealiza una fueza paa tanspota un cuepo, a velocidad constante, desde el infinito hasta un punto del campo gavitatoio. Su unidad en el SI es el julio po kilogamo (J/kg). Ep Potencial ceado po una masa puntual: V - m Vaiación del potencial fente a la distancia: En el infinito, el potencial vale ceo. A cualquie ota distancia, su valo es negativo. b) Potencial gavitatoio, V: enegía almacenada po unidad de masa que se coloque en un punto del campo gavitatoio. El potencial gavitatoio ceado po una masa puntual M tiene la expesión 7

8 (eligiendo el oigen paa ): V - En la gáfica podemos ve que el potencial aumenta con la distancia a la masa M. Po lo tanto, si el potencial es mayo en S que en A, el punto S está más alejado de M que A. La patícula se aleja. V ) a) Enuncie la ley de gavitación univesal y comente el significado físico de las magnitudes que intevienen en ella. b) Una patícula se mueve en un campo gavitatoio unifome. Aumenta o disminuye su enegía potencial gavitatoia al movese en la diección y sentido de la fueza ejecida po el campo? Y si se moviea en una diección pependicula a dicha fueza? azone las espuestas. Solución: a) "La fueza de atacción gavitatoia ente dos cuepos es diectamente popocional al poducto de sus masas e invesamente popocional al cuadado de la distancia que las sepaa. Paa comenta el significado físico de las magnitudes pongamos la ley en foma matemática: F G ² M y m: las masas de los cuepos que se ataen. Evidentemente cuanto mayoes son dichas masas mayo es la fueza de atacción. Ota magnitud que inteviene es la, que apaece en el denominado y que epesenta la distancia a la que se encuenta una masa de ota. A meno distancia ente las masas mayo seá la fueza de atacción ente ellas; y como está al cuadado, su influencia en la atacción seá más impotante que la de cualquiea de las masas. Po último apaece la constante de popocionalidad G, que es la denominada constante de gavitación univesal, cuyo valo, deteminado expeimentalmente po Cavendish, no depende del medio en el que se N ² encuenten las masas, y vale 6'67 0 kg², muy pequeño, po lo que la atacción gavitatoia ente cuepos solo se pone de manifiesto si estos son muy masivos. b) Un campo gavitatoio unifome se epesenta así: g 8

9 Las gáficas del campo y del potencial gavitatoios son: Es deci, la intensidad del campo disminuye con la distancia y el potencial aumenta con la distancia. Si la masa se mueve en el mismo sentido que la fueza, se mueve en el mismo sentido que el campo y que las líneas de campo. En este sentido, el campo disminuye y el potencial aumenta. Si el potencial aumenta, la enegía potencial, también. Al movese en una diección pependicula a la fueza, se mueve pependiculamente a las líneas de campo, es deci, se mueve en una supeficie equipotencial. Po consiguiente, la enegía potencial no vaía, pues el potencial no vaía y el potencial es la enegía potencial po unidad de masa. 3) a) Enuncie las leyes de Keple. b) Dos satélites de igual masa, m, desciben óbitas ciculaes alededo de un planeta de masa M. Si el adio de una de las óbitas es el doble que el de la ota, azone la elación que existe ente los peiodos de los dos satélites Y ente sus velocidades? Solución: a) Leyes de Keple: Pimea ley de Keple: los planetas gian alededo del Sol en tayectoias elípticas, ocupando el Sol uno de los focos: Segunda ley de Keple: el vecto de posición del planeta bae áeas iguales en tiempos iguales: ecea ley de Keple: el cociente ente el cuadado del peíodo de evolución y el cubo del adio 9

10 medio de la óbita es una constante paa todos los planetas: constante b) * Paa los peíodos: igualamos la fueza de la gavedad con la fueza centípeta, po se una óbita cicula: 3 F G F C G M m m v G M v v G M Dividiendo: Pime satélite: v G M Segundo satélite: v G M v v G M G M * Paa los peíodos: π v 4 π v 4 π G M 4 π 3 4 π 3 G M G M 4 π 3 Pime satélite: G M 4 π ( ) 3 Segundo satélite: G M Dividiendo:! 4 π ( ) 3 G M 4 π 3 G M 3 4) a) Defina velocidad de escape de un planeta y deduzca su expesión. b) Se coloca un satélite en óbita cicula a una altua h sobe la iea. Deduzca las expesiones de su enegía cinética mientas obita y calcule la vaiación de enegía potencial gavitatoia que ha sufido especto de la que tenía en la supeficie teeste. Solución: a) La velocidad de escape es la velocidad instantánea inicial que hay que impimile a un cuepo paa que escape de la atacción del campo gavitatoio de un planeta, llegando hasta el infinito con velocidad ceo. Como las fuezas son consevativas, la enegía mecánica se conseva y podemos aplica el pincipio de consevación de la enegía mecánica: Ec A + Ep A Ec B + Ep B, siendo el punto A la supeficie del planeta y el punto B el infinito: 0

11 m ve 0 m ve ve b) * Enegía cinética: Ec m v Como la tayectoia es cicula: F G F C G M m m v G M v Luego: Ec. m v. m G M G M * Enegía potencial: Ep G M m Enegía potencial en la supeficie: Ep Enegía potencial a una altua h: Ep Vaiación de la enegía potencial: ΔEp G M m. ( +h + ) G M h ( +h) G M m G M m +h G M m +h + G M m Si >> h + h ΔEp G M m h y como: g G M Entonces: ΔEp m g h 05 5) a) Esciba la ley de Gavitación Univesal y explique el significado de las magnitudes que intevienen en ella y las caacteísticas de la inteacción ente dos masas puntuales. b) Una masa, m, descibe una óbita cicula de adio alededo de ota mayo, M, qué tabajo ealiza la fueza que actúa sobe m? Y si m se desplazaa desde esa distancia,, hasta infinito? azone las espuestas. 6) a) Explique los conceptos de campo y potencial gavitatoios y la elación ente ellos. b) Dibuje en un esquema las líneas del campo gavitatoio ceado po una masa puntual M. Ota masa puntual m se taslada desde un punto A hasta oto B, más alejado de M. azone si aumenta o disminuye su enegía potencial. 7) a) Explique las caacteísticas del campo gavitatoio teeste. b) La enegía potencial gavitatoia de un cuepo de masa m, situado a una altua h sobe la supeficie de la iea, se puede

12 calcula con la fómula Ep mgh. Explique el significado y los límites de validez de dicha expesión. Se puede calcula la enegía potencial gavitatoia de un satélite utilizando la fómula anteio? azone la espuesta. 8) a) Enuncie las leyes de Keple. b) Dos satélites A y B se encuentan en óbitas ciculaes alededo de la iea, estando A al doble de distancia que B del cento de la iea. Qué elación guadan sus espectivos peiodos obitales? 04 9) a) Explique qué es la velocidad obital de un satélite y deduzca su expesión. b) Indique qué es un satélite geoestacionaio. Con qué peíodo de evolución y a qué altua debe obita en tono a la iea? 0) a) Explique las caacteísticas del campo gavitatoio de una masa puntual. b) Dos patículas de masas m y m están sepaadas una cieta distancia. Explique qué fueza actúa sobe cada una de ellas y cuál es la aceleación de dichas patículas. ) a) Explique las caacteísticas de la inteacción gavitatoia ente dos masas puntuales. b) Dos patículas puntuales de masa m están sepaadas una distancia. Al cabo de un cieto tiempo la masa de la pimea se ha educido a la mitad y la de la segunda a la octava pate. Paa que la fueza de atacción ente ellas tenga igual valo que el inicial, es necesaio acecalas o alejalas? azone la espuesta. ) a) Enuncie la ley de gavitación univesal y comente el significado físico de las magnitudes que intevienen en ella. b) Suponga que el planeta iea duplicase su adio. En qué facto debeía vaia su masa paa que el campo gavitatoio en su supeficie se mantuviea constante? azone la espuesta. 03 3) a) Desciba las caacteísticas de la inteacción gavitatoia ente dos masas puntuales. b) azone en qué punto, situado ente dos masas puntuales m y m (m m ), seía nula la fueza sobe una tecea masa puntual m 3 y cuál seía la enegía potencial de esta última masa en esa posición. 4) a) Explique qué es el peso de un objeto. b) azone qué elación existe ente el peso de un satélite que se encuenta en una óbita de adio en tono a la iea y el que tendía en la supeficie teeste. 5) a) Esciba la ley de gavitación univesal y explique las caacteísticas de la inteacción gavitatoia ente dos masas puntuales. b) azone po qué la enegía potencial gavitatoia de un cuepo aumenta cuando se aleja de la iea. 6) a) Enuncie las leyes de Keple. b) La iea está más ceca del Sol en el invieno boeal (en el hemisfeio note) que en el veano. anto eneo como julio tienen 3 días. En cuál de esos meses

13 ecoe la iea mayo distancia en su tayectoia? Justifique la espuesta. 7) a) Explique qué es la velocidad obital y deduzca su expesión paa un satélite que desciba una óbita cicula en tono a la iea. b) Dos satélites A y B de distintas masas (m A > m B ) desciben óbitas ciculaes de idéntico adio alededo de la iea. azone la elación que guadan sus espectivas velocidades y sus enegías potenciales. 0 8) a) Explique las caacteísticas de la inteacción gavitatoia ente dos masas puntuales. b) Qué tabajo ealiza la fueza que actúa sobe una de las dos masas puntuales al descibi media óbita cicula de adio alededo de la ota? Y si se desplazaa desde esa distancia hasta el infinito? azone las espuestas. 9) a) Enegía potencial gavitatoia de una masa puntual en pesencia de ota. b) Deduzca la velocidad de escape de un cuepo desde la supeficie de un planeta esféico de masa M y adio. 30) a) Enuncie las leyes de Keple. b) azone, a pati de la segunda ley de Keple y con la ayuda de un esquema, cómo cambia la velocidad de un planeta al descibi su óbita elíptica en tono al Sol. 3) a) Explique las caacteísticas del campo gavitatoio teeste. b) Dos satélites idénticos están en óbita cicula alededo de la iea, siendo y los espectivos adios de sus óbitas ( > ). Cuál de los dos satélites tiene mayo velocidad? Cuál de los dos tiene mayo enegía mecánica? azone las espuestas. 3) a) Explique el movimiento de un satélite en óbita cicula en tono a la iea y deduzca la expesión de la velocidad obital. b) Indique el significado de velocidad de escape y azone cómo cambia la velocidad de escape de un cuepo si vaía su altua sobe la supeficie teeste de a ) a) elación ente campo y potencial gavitatoios. b) Dibuje en un esquema las líneas del campo gavitatoio ceado po una masa puntual M. Una masa m, situada en un punto A, se taslada hasta oto punto B, más póximo a M. azone si aumenta o disminuye su enegía potencial. 34) a) Enegía potencial gavitatoia teeste. b) Dos satélites idénticos gian alededo de la iea en óbitas ciculaes de distinto adio. Cuál de los dos se moveá a mayo velocidad? Cuál de los dos tendá mayo enegía mecánica? azone las espuestas. 35) a) Esciba la ley de gavitación univesal y explique las caacteísticas de la inteacción gavitatoia. b) Según la ley de gavitación, la fueza que la iea ejece sobe un cuepo es popocional a la masa de éste. azone po qué no caen con mayo velocidad los cuepos con mayo masa. 36) a) Velocidad obital de un satélite. b) Suponga que el adio de la iea se edujea a la mitad de su valo manteniéndose constante la masa teeste. Afectaía ese cambio al peiodo de evolución de la iea alededo del Sol? azone la espuesta. 3

14 00 37) a) Explique qué se entiende po velocidad de escape y deduzca azonadamente su expesión. b) azone qué enegía había que comunica a un objeto de masa m, situado a una altua h sobe la supeficie de la iea, paa que se alejaa indefinidamente de ella. 38) a) Indique las caacteísticas de la inteacción gavitatoia ente dos masas puntuales. b) Explique en qué punto, ente dos masas puntuales, puede encontase en equilibio una tecea masa puntual y cuál seía su enegía potencial. 39) a) La enegía potencial gavitatoia de un cuepo de masa m situado a una altua h puede escibise como Ep m g h. Comente el significado y los límites de validez de dicha expesión. b) Un cuepo de masa m se eleva desde el suelo hasta una altua h de dos fomas difeentes: diectamente y mediante un plano inclinado. azone que el tabajo de la fueza peso es igual en ambos casos ) a) Defina velocidad de escape de un planeta y deduzca su expesión. b) Se desea coloca un satélite en una óbita cicula a una altua h sobe la iea. Deduzca las expesiones de la enegía cinética del satélite en óbita y de la vaiación de su enegía potencial especto de la supeficie de la iea. 4) a) Defina velocidad de escape de la iea y deduzca su expesión. b) Explique las vaiaciones enegéticas de un objeto cuando se lanza desde la iea y alcanza una altua h sobe ella. 4) a) Enuncie la ley de gavitación univesal y explique algunas difeencias ente las inteacciones gavitatoia y eléctica. b) azone po qué dos cuepos de distintas masas caen con la misma aceleación hacia la supeficie de la iea. 43) a) Enuncie las leyes de Keple. b) El adio obital de un planeta es N veces mayo que el de la iea. azone cuál es la elación ente sus peíodos ) a) Explique qué se entiende po velocidad obital de un satélite y deduzca azonadamente su expesión paa un satélite atificial que descibe una óbita cicula alededo de la iea. b) Se pueden detemina las masas de la iea y del satélite conociendo los datos de la óbita descita po el satélite? azone la espuesta. 45) a) Analice las caacteísticas de la inteacción gavitatoia ente dos masas puntuales. b) azone po qué la enegía potencial gavitatoia de un cuepo aumenta cuando se aleja de la iea. 46) a) Explique qué se entiende po velocidad de escape de la iea y deduzca azonadamente su expesión. b) Suponiendo que la velocidad de lanzamiento de un cohete es infeio a la de escape, explique las caacteísticas del movimiento del cohete y ealice un balance de enegías. 4

15 007 47) a) Enuncie las leyes de Keple y azone si la velocidad de taslación de un planeta alededo del Sol es la misma en cualquie punto de la óbita. b) Justifique si es vedadea o falsa la siguiente afimación: la gavedad en la supeficie de Venus es el 90% de la gavedad en la supeficie de la iea y, en consecuencia, si midiésemos en Venus la constante de gavitación univesal, G, el valo obtenido seía el 90% del medido en la iea. 48) a) Analice las caacteísticas de la inteacción gavitatoia ente dos masas puntuales. b) Cómo se ve afectada la inteacción gavitatoia descita en el apatado anteio si en las poximidades de las dos masas se coloca una tecea masa, también puntual? Haga un esquema de las fuezas gavitatoias que actúan sobe la tecea masa. 49) a) Haciendo uso de consideaciones enegéticas, deduzca la expesión de la velocidad mínima que había que impimile a un objeto de masa m, situado en la supeficie de un planeta de masa M y adio, paa que saliea de la influencia del campo gavitatoio del planeta. b) Se desea que un satélite se encuente en una óbita geoestacionaia. azone con qué peíodo de evolución y a qué altua debe hacelo ) Si po alguna causa la iea edujese su adio a la mitad manteniendo su masa, azone cómo se modificaían: a) La intensidad del campo gavitatoio en su supeficie. b) Su óbita alededo del Sol. 5) a) Un satélite atificial descibe una óbita cicula en tono a la iea. Qué tabajo ealiza la fueza con la que la iea atae al satélite, duante una óbita? Justifique la espuesta. b) azone po qué el tabajo ealizado po las fuezas de ozamiento es siempe negativo. 5) azone si son vedadeas o falsas las siguientes afimaciones: a) Según la ley de la gavitación la fueza que ejece la iea sobe un cuepo es diectamente popocional a la masa de éste. Sin embago, dos cuepos de difeente masa que se sueltan desde la misma altua llegan al suelo simultáneamente. b) El tabajo ealizado po una fueza consevativa en el desplazamiento de una patícula ente dos puntos es meno si la tayectoia seguida es el segmento que une dichos puntos. 53) Conteste azonadamente a las siguientes peguntas: a) Si se edujea el adio de la óbita luna en tono a la iea, aumentaía su velocidad obital? b) Dónde es mayo la velocidad de escape, en la iea o en la Luna? 54) a) Enuncie las leyes de Keple. b) azone, a pati de la segunda ley de Keple, cómo cambia la velocidad de un planeta a lo lago de su óbita al vaia la distancia al Sol ) Un satélite descibe una óbita cicula alededo de la iea. Conteste azonadamente a las siguientes peguntas: a) Qué tabajo ealiza la fueza de atacción hacia la iea a lo lago de media óbita? b) Si la óbita fuea elíptica, cuál seía el tabajo de esa fueza a lo lago de una óbita completa? 56) a) Considee un punto situado a una deteminada altua sobe la supeficie teeste. Qué velocidad es mayo en ese punto, la obital o la de escape? b) A medida que aumenta la distancia de 5

16 un cuepo a la supeficie de la iea disminuye la fueza con que es ataído po ella. Significa eso que también disminuye su enegía potencial? azone las espuestas. 57) Dibuje en un esquema las líneas de fueza del campo gavitatoio ceado po una masa puntual M. Sean A y B dos puntos situados en la misma línea de fueza del campo, siendo B el punto más cecano a M. a) Si una masa, m, está situada en A y se taslada a B, aumenta o disminuye su enegía potencial? Po qué? b) Si una masa, m, está situada en A y se taslada a oto punto C, situado a la misma distancia de M que A, peo en ota línea de fueza, aumenta o disminuye la enegía potencial? azone su espuesta. Cuestiones de la ponencia de Física 58) a) Explique el concepto de escape y deduci azonadamente su expesión. b) Qué ocuiía en la ealidad si lanzamos un cohete desde la supeficie de la iea con una velocidad igual a la velocidad de escape? Solución: la velocidad de escape paa un planeta se define como la velocidad a la que había que lanza un cuepo desde la supeficie del planeta paa que escapaa de su atacción gavitatoia, alejándose indefinidamente. En este cálculo se despecia el ozamiento con la atmósfea. esolvemos el poblema empleando conceptos enegéticos: en pime luga tenemos en cuenta que, al no tene en cuenta el ozamiento, la única fueza que va a actua sobe el movimiento del cohete seá la gavitato ia, que es consevativa. Po lo tanto, la enegía mecánica del cohete se mantendá constante. Datos: M, : masa y adio del planeta; m: masa del poyectil. Sistemas de efeencia: mediemos las distancias desde el cento del planeta. El oigen de enegía potencial gavitatoia lo colocamos a una distancia infinita del cento planetaio, po lo que la expesión usada paa la Ep G seá: Ep G - Consideaemos dos situaciones: Inicial: Lanzamiento del cohete desde la supeficie teeste con velocidad v e : Ec m ve ; Ep G - ; EM Ec + Ep m ve - Final: el cohete se aleja indefinidamente. En el límite, cuando la distancia tiende a infinito, la velocidad (y la Ec) tiende a ceo, al igual que la enegía potencial, ya que el oigen de Ep está colocado en el infinito. E M Ec + Ep 0 Aplicando la consevación de la enegía mecánica: E M E M m ve ve m ve - 0 Puesto en función de la gavedad en supeficie: v e g 0 Nótese que la velocidad de escape desde la supeficie de un planeta sólo depende de las 6

17 caacteísticas (masa, tamaño) del planeta. No impota la masa del poyectil. (Evidentemente, paa acelea un poyectil de más masa hasta esa velocidad se necesitaá un mayo esfuezo, peo eso es ota cuestión). ambién puede hablase de velocidad de escape desde una cieta altua h sobe la supeficie. El concepto es el mismo, solo que en luga de pondemos +h. b) En la ealidad la situación física difiee de lo explicado anteiomente. La pesencia de la atmósfea teeste intoduce una fueza no consevativa, la fueza de ozamiento, que no puede se despeciada. De hecho, a las elevadas velocidades de las que estamos hablando, tendá un valo muy gande. El efecto que poduce este ozamiento es una disminución de la velocidad (de la Ec) y una disipación de enegía en foma de calo, po lo que la enegía mecánica del cohete no se mantendá constante y disminuiá confome se eleva según la expesión: W OZ ΔE M De este modo, al sali de la atmósfea no te ndá enegía suficiente como paa alejase indefinidamente, y llegaá un momento, a una cieta a ltua, en que el cohete se pae y vuelva a cae hacia la iea. 59) En una egión en la que existe un campo gavitatoio unifome de intensidad g, epesentado en la figua po sus líneas de campo. a) azone el valo del tabajo que se ealiza al taslada la unidad de masa desde el punto A al B y desde B al C. b) Analice las analogías y difeencias ente el campo descito y el campo gavitatoio teeste. Solución: a) Nos encontamos ante un campo gavitatoio de intensidad constante. La fueza gavitatoia que ejeceá este campo sobe una patícula de masa m colocada en su inteio vendá dada po: F G m g ; y también seá constante. El tabajo que ealiza esta fueza en un B desplazamiento, que en geneal se calcula con la integal: W AB F d, podá hacese en este caso, al se la fueza constante, con la expesión: W AB F Δ F Δ cos α Así, en el desplazamiento de A a B, el tabajo seá: W AB F G Δ m g d cos 90º 0 J, ya que la fueza es pependicula al desplazamiento. En el desplazamiento de B a C, el tabajo seá: W BC F G Δ m g d cos 0º m g d. Obtenemos un tabajo positivo, ya que la fueza favoece el desplazamiento. En este caso, ya que nos dicen que la unidad de masa, el tabajo seá: W BC g d b) El campo gavitatoio descito es simila al campo gavitatoio teeste al nivel de la supeficie, consideando la apoximación de que los desplazamientos efectuados son muy pequeños en compaación con el adio teeste ( ~ 6400 km). En este caso, g teeste puede considease un campo constante y unifome con todas las caacteísticas del campo de esta cuestión. La única difeencia está en su oientación. La diección y sentido del campo teeste es la vetical y su sentido hacia abajo, aunque esto último puede se también una cuestión de punto de vista, del sistema de efeencia escogido. 60) Se suele deci que la enegía potencial gavitatoia de un cuepo de masa m situado a una altua h viene dada po la expesión E P mgh. a) Es coecta esta afimación? Po qué? b) En qué condiciones es válida dicha fómula? Solución: la ecuación es únicamente válida en el caso en el que la altua sobe la supeficie teeste A 7

18 sea despeciable fente al adio de la iea. Paa los casos en los que esto no sea cieto, la expesión no esulta coecta, po lo que debe utilizase la expesión geneal que indica la enegía potencial de un cuepo en un deteminado punto de un campo gavitatoio. Vamos a demostalo matemáticamente. La expesión geneal de la enegía potencial es: Ep -. La vaiación de enegía potencial seá: ΔEp Ep B - Ep A - + h + h h - G M m + h + h h h En el caso en el que >> h + h ~ ΔEp ~ + h ² Y como g ΔEp m g h, siendo h la difeencia de altuas. Una expesión más geneal ² - G M m ( +h ) seía: ΔEp m g Δh b) Como dijimos al pincipio del apatado a), esta expesión es únicamente válida bajo la condición esgimida, que >> h + h ~. En caso de no cumplise la condición, debe emplease la expesión geneal de la enegía potencial. Si consideamos un eo azonable el meno o igual al h 5 %: 0'05 h 0'05 + h + 0'05 h 0'95 h 0'05 0' 05 h 0' km. 0' 95 0' 95 Po debajo de 335 km, la apoximación es aceptable. 6) a) Esciba la ley de Gavitación Univesal y explique su significado físico. b) Según la ley de Gavitación, la fueza que ejece la iea sobe un cuepo es popocional a la masa de éste. Po qué no caen más depisa los cuepos con mayo masa? Solución: "La fueza de atacción gavitatoia ente dos cuepos es diectamente popocional al poducto de sus masas e invesamente popocional al cuadado de la distancia que las sepaa. Paa comenta el significado físico de las magnitudes pongamos la ley en foma matemática: F G ² M y m: las masas de los cuepos que se ataen. Evidentemente cuanto mayoes son dichas masas mayo es la fueza de atacción. Ota magnitud que inteviene es la, que apaece en el denominado y que epesenta la distancia a la que se encuenta una masa de ota. A meno distancia ente las masas mayo seá la fueza de atacción ente ellas; y como está al cuadado, su influencia en la atacción seá más impotante que la de cualquiea de las masas. Po último apaece la constante de popocionalidad G, que es la denominada constante de gavitación univesal, cuyo valo, deteminado expeimentalmente po Cavendish, no depende del medio en el que se N ² encuenten las masas, y vale 6'67 0 kg², muy pequeño, po lo que la atacción gavitatoia ente cuepos solo se pone de manifiesto si estos son muy masivos. b) Poque el que caigan más o menos depisa los cuepos es el efecto de esa fueza de atacción. Es deci, según la segunda ley de Newton, la fueza que la iea ejece sobe un cuepo (en ausencia del esto de inteacciones) es igual al poducto de la masa del cuepo po la aceleación que adquiee este. La aceleación (el que caigan más o menos ápido), po tanto, es el efecto de esa 8

19 fueza, así que si utilizamos las expesiones de Newton de la ley de gavitación univesal y su segunda ley de la dinámica tenemos: F a m ² g ² m que como vemos solo depende de la masa de la iea y de la distancia de la iea al cuepo que cae, y esto es lo mismo paa todos los cuepos que caen en la iea, con lo que todos caen con la misma apidez. 6) Sean A y B dos puntos de la óbita elíptica de un cometa alededo del Sol, estando A más alejado del Sol que B. a) Haga un análisis enegético del movimiento del cometa y compaa los valoes de las enegías cinética y potencial en A y en B. b) En cuál de los puntos A o B es mayo el módulo de la velocidad? Y el de la aceleación? Solución: a) En el punto A, más alejado, el cometa dispone de una enegía potencia, como coesponde a su posición especto al Sol. Al hallase en su posición alejada, su enegía potencial seá: Ep -. Po oto lado, posee una velocidad obital, y, po tanto, una enegía cinética A asociada, de valo: Ec m va. La enegía mecánica en este punto seá: E MA Ec A + Ep A m va -. Más tade, cuando se halla en el punto B, poseeá un valo A de enegía potencial difeente, meno que el coespondiente al punto A (ecodemos que Ep en el infinito adopta el valo máximo, ceo). Desde luego, el cometa dispondá también de un cieto nivel de enegía cinética. Po lo tanto: E MB Ec B + Ep B m vb - B Consideando nos hallamos ante un sistema consevativo, podemos afima que la enegía mecánica 9

20 del sistema se mantendá constante. Luego: E MA E MB m va - m vb - A B Como ya se ha comentado, la enegía potencial en al punto más póximo al Sol seá meno. Consecuentemente, la enegía cinética debeá se mayo, puesto que sólo así podá mantenese constante el valo de la enegía mecánica. - m vb - B A m va - ΔEp ΔEc b) Ya hemos demostado que la velocidad seá mayo cuanto más póximo se encuente el cometa del Sol. La velocidad máxima del cometa se poduciá a su paso po el peihelio (punto más cecano); y de igual modo, el valo mínimo de velocidad obital se poduciá en el afelio (punto más alejado). En cuanto a las aceleaciones, nos fijaemos en el valo de la intensidad del campo gavitatoio ( g ): S g - u, y su valo seía meno cuanto más alejado se encuente el cometa del Sol. ² SC Oto modo de analiza las aceleaciones se ealizaía a pati del concepto de aceleación centípeta o nomal: a C v². Si va < v B y A > B a CA < a CB 63) azone las epuestas a las siguientes peguntas: a) Si el ceo de enegía potencial gavitatoia de una patícula de masa m si sitúa en la supeficie de la iea, cuál es el valo de la enegía potencial de la patícula cuando ésta se encuenta a una distancia infinita de la iea. b) Puede se negativo el tabajo ealizado po una fueza gavitatoia? puede se negativa la enegía potencial? Solución: a) La enegía potencial gavitatoia está elacionada con el tabajo que ealiza el campo gavitatoio cuando desplaza una patícula m de un punto a oto de tal foma que: W - ΔEp G. De tal foma que lo que impota ealmente es la vaiación que sufe dicha enegía. El valo de la Ep G en un punto es abitaio, de tal foma que podemos elegi como ceo el punto que deseemos. Una vez elegido el nivel ceo, la expesión de la Ep G en oto punto vendá dada en función del tabajo que ealiza el campo gavitatoio. Vamos a calcula el tabajo que ealiza el campo gavitatoio cuando desplaza una masa m desde la supeficie de la iea hasta el infinito: W F d ² u d ² d d - G M m ² - Ahoa bien, este tabajo es igual a la vaiación negativa de la enegía potencial gavitatoia ente los dos puntos, luego: - - ΔEp - ( Ep - Ep supeficie ) Ep supeficie - Ep Si consideamos ahoa como ceo el valo de la Ep supeficie, entonces el valo de la enegía potencial gavitatoia a una distancia infinita seá: 0

21 - - Ep Ep b) Si la masa se desplaza alejándose del cuepo que ejece la atacción gavitatoia ejemplo, la iea), el tabajo que ealiza la fueza gavitatoia es negativo. Este es el caso, po ejemplo, de un cuepo que asciende alejándose del cento de la iea. La enegía potencial gavitatoia puede se negativa, todo depende de dónde se sitúe el nivel ceo de enegía potencial gavitatoia. Po ejemplo, si el nivel ceo se sitúa en el infinito, la expesión de la enegía potencial gavitatoia en cualquie oto punto viene dada po: Ep () - Y, po lo tanto, su valo es negativo. 64) Dos satélites idénticos A y B se encuentan en óbitas ciculaes de difeente adio ( A > B ) alededo de la iea. Conteste azonadamente a las siguientes peguntas: a) Si los dos satélites estuviean en la misma óbita ( A B ) y tuviesen distinta masa (m A < m B ), cuál de los dos se moveía con mayo velocidad? cuál de ellos tendía más enegía cinética? Solución: la enegía cinética es: Ec m v², donde v es la velocidad obital del satélite en cuestión. Como la velocidad obital de un satélite a una distancia del cento de la iea es: v, tenemos paa la enegía cinética de un satélite esta expesión: Ec, que paa cada uno de los satélites seá: Ec A ; EcB A B, ya que las masas de ambos satélites son iguales. Si A > B, es evidente que: Ec A < Ec B, ya que las otas magnitudes son iguales en ambos casos. Po lo tanto, el satélite B tiene más enegía cinética que A. b) La velocidad a que se efiee es la velocidad obital, que como ya he expesado es: v y como sólo depende de la masa del planeta en tono al que gia el satélite, y del adio de la óbita, al se estas magnitudes iguales paa ambos satélites, las velocidades son iguales. Ahoa bien, como la enegía cinética depende además de la masa del objeto que se mueve y el satélite B es más masivo que el A tendá también más enegía cinética: Ec B > Ec A. 65) Una patícula de masa m, situada en un punto A, se mueve en línea ecta hacia oto punto B, en una egión en la que existe un campo gavitatoio ceado po una masa M. a) Si el valo del potencial gavitatoio en el punto B es meno que en el punto A, azone si la patícula se aceca o se aleja de M. b) Explique las tansfomaciones enegéticas de la patícula duante el desplazamiento indicado y escibi su expesión. Qué cambios cabía espea si la patícula fuea de A a B siguiendo una tayectoia no ectilínea?

22 Solución: a) Potencial gavitatoio (V): enegía almacenada po unidad de masa que se coloque en un punto del campo gavitatoio. El potencial gavitatoio ceado po una masa puntual M tiene la expesión (eligiendo el oigen paa ): V - En la gáfica podemos ve que el potencial aumenta con la distancia a la masa M. Po lo tanto, si el potencial es mayo en S que en A, el punto S está más alejado de M que A. La patícula se aleja. V La única fueza que actúa en esta cuestión es la gavitatoia, que es consevativa. Po tanto, las enegías pesentes son: - Enegía potencial gavitatoia, debida a la acción de la fueza gavitatoia: Ep G m V. Vaía de la misma foma que el potencial gavitatoio, po lo que aumenta desde A hasta S. Ep G - W FG - Enegía cinética, debida al movimiento: disminuye confome se aleja. Se cumple que: Ec - Ep G - Enegía mecánica (E M Ec + Ep G ): se mantiene constante, debido a que la fueza gavitatoia es consevativa. Si la tayectoia no fuea ectilínea no cabe espea ningún cambio, ya que el tabajo de la fueza gavitatoia (consevativa) es independiente del camino ealizado. Sólo depende de los puntos inicial y final. 66) Se desea coloca un satélite en una óbita cicula, a una cieta altua sobe la iea. a) Explique las vaiaciones enegéticas del satélite desde su lanzamiento hasta su situación obital. b) Influye la masa del satélite en su velocidad obital? Solución: El satélite se encuenta inicialmente en eposo en la supeficie de la iea, situación A de la figua: En esta posición, la enegía total del satélite seá solo enegía potencial gavitatoia, ya que está en eposo antes del lanzamiento, cuya expesión seá: S E A Ep A - Una vez en óbita, posición B de la figua, el satélite poseeá enegía potencial gavitatoia y enegía cinética puesto que está obitando con una velocidad v deteminada. Las enegías en esta posición obital seán:

23 Ep B - + h S ; Ec B m v² Ahoa bien, la velocidad obital del satélite viene dada po: v + h s Luego la enegía cinética en B seá: Ec B. + h Y la enegía total en la posición B, suma de la potencial y la cinética seá: E B Ec B + Ep B. + h s - + h S -. + h s Luego el satélite sufe vaiación de enegía cinética y vaiación de enegía potencial gavitatoia, de tal manea que la vaiación total de enegía que expeimentaá seá: s S ΔE E B - E A h Esta vaiación de enegía es la que tendá que suminista el cohete lanzado del satélite paa pode ponelo en óbita. b) Como hemos visto antes la velocidad obital del satélite a una altua h viene dada po la expesión: v. Donde se puede apecia que esta velocidad no depende paa nada de la + h masa del satélite sino de la masa de la iea y de la distancia al cento de la misma que queamos que obite el satélite. 67) Una masa m se mueve en un campo gavitatoio poducido po ota masa M. a) Aumenta o disminuye su enegía potencial cuando se acecan las dos patículas? b) Si inicialmente m estaba a una distancia de M y se taslada hasta una distancia, explique las vaiaciones de su enegía cinética y potencial. Solución: a) La enegía potencial gavitatoia se define como la enegía necesaia paa aceca dos masas desde el infinito hasta una distancia. Su valo es: Ep -. Su valo es ceo en el infinito y negativo en los demás casos. Po consiguiente, cuando se acecan las masas, su enegía potencial disminuye. Esta es la tendencia espontánea, pues la fueza gavitatoia tiende a aceca, es siempe atactiva. Paa alejalas, había que hace un tabajo conta el sistema. b) ΔEp Ep - Ep - + ( + ) ΔEc Ec - Ec - - Es deci, la enegía cinética disminuye y la enegía potencial aumenta el doble. ( 4 ) ) Po qué la enegía potencial gavitatoia de un planeta aumenta cuando se aleja del Sol? 3

24 Solución: teniendo en cuenta la fómula de la enegía potencial gavitatoia asociada al sistema Solplaneta es: Ep - S, podemos deduci que a medida que cece, el valo de Ep se hace un númeo menos negativo. Po tanto, Ep se hace mayo cuando cece. Cuando, Ep tiene su valo máximo, ceo. 69) Comente los siguientes enunciados, definiendo los conceptos físicos asociados y justifica su caácte de vedadeo o falso: a) El campo gavitatoio es consevativo y po tanto existe un potencial asociado a él. b) El tabajo ealizado po el campo gavitatoio sobe una patícula que se desplaza ente dos puntos es meno si lo hace a tavés de la ecta que une dichos puntos, ya que es el camino más coto. Solución: a) Vedadeo. El potencial gavitatoio es la enegía potencial po unidad de masa asociada a un punto del espacio, sometido a la pesión de fuezas gavitatoias. b) Falso. Una de las caacteísticas de las fuezas consevativas es que el tabajo que ealizan sólo depende de las posiciones inicial y final y no de la tayectoia seguida. 70) Suponga que la iea edujese su adio a la mitad manteniendo su masa. a) Aumentaía la intensidad del campo gavitatoio en su nueva supeficie? b) Se modificaía sustancialmente su óbita alededo del Sol? Justifique las espuestas. Solución: a) La intensidad del campo gavitatoio es: g u. Si el adio se edujese a la ² mitad, el nuevo campo gavitatoio seía: g' u 4 u 4 g / ² ² Po tanto, aumentaía cuato veces. b) La fueza de atacción ente la iea y el Sol no se veía S M afectada, pues depende de los siguientes factoes: F G. El único cambio povendía de ² la vaiación del momento de inecia de la iea, que afectaía muy poco a su movimiento de otación. 7) Dos satélites idénticos están en óbita alededo de la iea, siendo sus óbitas de distinto adio. a) Cuál de los dos se moveá a mayo velocidad? b) Cuál de los dos tendá mayo enegía mecánica? azone las espuestas. Solución: la velocidad obital de un satélite que descibe óbitas ciculaes en tono a un planeta viene dada po la expesión: v, donde M es la masa del planeta, el adio de la óbita y G la constante de gavitación univesal. Paa satélites que obiten alededo del mismo planeta, sólo depende de la distancia al cento del planeta. Vemos que si el satélite A está a mayo distancia (mayo adio), su velocidad obital seá meno. El B tendá mayo velocidad obital. - La enegía mecánica de un satélite en óbita es la suma de sus enegías cinética y potencial gavitatoia: E M Ec + Ep m v² - m - - Al tatase de una enegía negativa, vemos que, a mayo adio del satélite, la enegía mecánica seá menos negativa, es deci, seá mayo. Po tanto, el A posee mayo enegía mecánica, al tene mayo adio. 7) a) Explique las analogías y difeencias ente las inteacciones gavitatoia y electostática. 4

25 b) Qué elación existe ente el peíodo y el adio obital de dos satélites? Solución: a) Analogías - Su expesión matemática es semejante. - Desciben fuezas que son popocionales a la magnitud física que inteacciona, las masas en las fuezas gavitatoias y las cagas en las elécticas. - En ambas leyes las fuezas son invesamente popocionales al cuadado de la distancia. - anto las fuezas gavitatoias como las elécticas son fuezas centales, es deci, actúan en la diección de la ecta que une las masas o las cagas, espectivamente. Difeencias - La fueza gavitatoia está asociada a la más y la fueza eléctica a la caga. - La fueza gavitatoia es de atacción (poque solo hay un tipo de masa) y la fueza eléctica puede se de atacción o de epulsión (poque hay dos tipos de cagas). - El valo de la constante G no depende del medio mientas que el valo de la constante K depende del medio en el que estén las cagas. - El valo de G es muy pequeño fente a K: la inteacción gavitatoia es mucho más débil que la eléctica. b) La tecea Ley de Keple indica la elación que existe paa un satélite ente su peiodo y su adio. m v La deducimos: F C F G v ² π 4 π ² ² 4 π ² ³ v ² ² Si lo que tenemos que compaa son los peiodos de dos satélites, tendemos: K 3 K 3 ² K ³ ² K ³ 73) Demueste, azonadamente, las siguientes afimaciones: a) a una óbita de adio de un satélite le coesponde una velocidad obital v caacteística; b) la masa M de un planeta puede calculase a pati de la masa m y del adio obital de uno de sus satélites. Solución: a) Los fundamentos teóicos que explican el movimiento de satélites atificiales en sus óbitas estables pueden se desaollados cosideando estos pincipios físicos: Ley de la Gavitación Univesal, Consevación del Momento Angula y Consevación de la Enegía. La enegía mecánica que posee un satélite que gia alededo del planeta seá: E M Ec + Ep m v² - constante. Este valo debeá se negativo en todo momento, puesto que el segundo témino se elaciona con la acción gavitatoia del satélite, y paa que el atefacto pemanezca constantemente ligado al planeta es necesaio que la enegía cinética sea meno, en téminos absolutos, que la enegía potencial coespondiente al punto de la óbita en la que se encuente dicho satélite (de este modo, no dispondá en ningún momento de la enegía suficiente como paa escapa de la acción de planeta): > m v². Esta condición se cumpliá ente deteminados valoes de, uno máximo 5

26 (apogeo) y oto mínimo (peigeo). La tayectoia que cumpliá esta condición seá, clao está, una elipse con la iea en uno de sus focos, según la pimea ley de Keple. Y, clao está, una de las elipses que cumplen lo deducido anteiomente es, pecisamente, la cicunfeencia. Al analiza este sencillo caso: F G m a C. Al tene los dos vectoes iguales diección y sentido, podemos ealiza un tatamiento escala. Así : v² m obital v obital v obital ² b) al deteminación seá posible siempe que se conozcan datos de un planeta o satélite en óbita alededo suyo. Consideando las óbitas como ciculaes, la fueza de atacción gavitatoia es la fueza centípeta poductoa del movimiento. Entonces: F C F G m v v² ² v² M G Como: v ω ππ M 4 π ² ² ² G 4 π ² ³ G ² 74) a) Enuncie la ley de gavitación univesal y comente el significado físico de las magnitudes que intevienen en ella. b) Según la ley de gavitación univesal, la fueza que ejece la iea sobe un cuepo es popocional a la masa de éste. Po qué no caen más depisa los cuepos con mayo masa? Solución: La fueza de atacción gavitatoia ente dos cuepos es diectamente popocional al poducto de sus masas e invesamente popocional al cuadado de la distancia que las sepaa. Paa comenta el significado físico de las magnitudes pongamos la ley en foma matemática: M F G G. Así, M y m son las masas de los cuepos que se ataen. Evidentemente cuanto ² mayoes son dichas masas, mayo es la fueza de atacción. Ota magnitud que inteviene es la, que apaece en el denominado y que epesenta la distancia a la que se encuenta una masa de ota. A meno distancia ente las masas, mayo seá la fueza de atacción ente ellas; y como está al cuadado, su influencia en la atacción seá más impotante que la de cualquiea de las masas. Po último apaece la constante de popocionalidad G, que es la denominada constante de gavitación univesal, cuyo valo, deteminado expeimentalmente po Cavendish, no depende del medio en el N ² que se encuenten las masas, y vale 6'67 0 kg², muy pequeño, po lo que la atacción gavitatoia ente cuepos solo se pone de manifiesto si estos son muy masivos. b) Poque el que caigan más o menos depisa los cuepos es el efecto de esa fueza de atacción. Es deci, según la segunda ley de Newton, la fueza que la iea ejece sobe un cuepo (en ausencia del esto de inteacciones) es igual al poducto de la masa del cuepo po la aceleación que adquiee este. La aceleación (el que caigan más o menos ápido), po tanto, es el efecto de esa fueza, así que si utilizamos las expesiones de Newton de la ley de gavitación univesal y su segunda ley de la dinámica tenemos: 6

27 a m F ² m ² g. Es deci, todos los cuepos cecanos a la iea caeán con la aceleación g (0 m/s²), independientemente de sus masas. 75) Un satélite atificial descibe una óbita cicula alededo de la iea. a) Explique qué se entiende po velocidad obital y deduzca azonadamente su expesión. b) Conociendo el adio de la óbita y su peíodo, podemos detemina las masas de la iea y del satélite? azone la espuesta. Solución: a) La velocidad obital de un satélite, es aquella que debe tene paa que su óbita sea estable y ha de cumplise que la fueza gavitatoia que le ejece la iea sea la fueza centípeta: F G F C ² m ² v obital v obital v obital b) eniendo en cuenta que los datos obitales del satélite son, su peiodo () y el adio de la óbita (). Aplicando F C F G : m v v² M ² v² G Como: v ω π M 4 π ² ² ² G 4 π ² ³ G ² Así obtenemos la masa de la iea en función de la constante G y de los datos popocionados: y. Sin embago, no podemos conoce la masa del satélite, pues los datos obitales no dependen de él. 76) a) Haciendo uso de consideaciones enegéticas, detemine la velocidad mínima que había que impimile a un objeto de masa m, situado en la supeficie de un planeta de masa M y adio, paa que saliea de la influencia del campo gavitatoio del planeta. b) Se desea que un satélite se encuente en una óbita geoestacionaia. Con qué peíodo de evolución y a qué altua debe hacelo? Solución: a) Que un cuepo salga de la influencia del campo gavitatoio del planeta significa que llegue a una distancia infinita (Ep 0) y que su velocidad sea ceo (Ec 0), po lo tanto su enegía mecánica seía ceo. A la velocidad necesaia que hay que dale al cuepo en la supeficie del planeta paa que eso ocua se le llama velocidad de escape. Se necesita una fueza instantánea que le comunique esa velocidad inicial. Po ejemplo, en una explosión. Como el campo gavitatoio es consevativo, la enegía mecánica se mantiene constante, en consecuencia, podemos plantea la siguiente ecuación: E M E Msupeficie E Ec supeficie + Ep supeficie E c + E p M m ve - 0 m ve ve 7

28 b) Un satélite geoestacionaio se caacteiza po esta situado en todo momento sobe el mismo punto del planeta. Ésto se consigue si su peiodo de otación es el mismo del planeta sobe el que obita (en el caso de la iea el peiodo de otación del satélite seía de 4 h). Paa calcula la altua de la óbita patimos de la tecea ley de Keple: ² k ³. Sustituyendo k po su valo: ² 4 π ² ³. Despejamos : 3 ² y como: + h: 4 π ² h 3 ² - 4 π ² 77) Un satélite está en óbita cicula alededo de la iea. azone si la enegía potencial, la enegía cinética y la enegía total del satélite son mayo, meno o igual que las de oto satélite que sigue una óbita, también cicula, peo de meno adio. Solución: estas son las expesiones de las tes enegías paa cualquie satélite: Ep - ; Ec m v². Como la velocidad obital es: v Ec m ; E M Ec + Ep - - Supongamos que A > B. Como la Ec es invesamente popocional a, a mayo, meno Ec. Luego: Ec A < Ec B. La Ep también es invesamente popocional a, peo su expesión tiene signo negativo. Eso significa que, a mayo, Ep se hace menos negativo, o sea, más gande. Luego: Ep B > Ep A. Como la EM también tiene signo negativo y es también invesamente popocional a, po el mismo azonamiento que con la Ep, E MB > E MA. 78) a) La enegía potencial de un cuepo de masa m en el campo gavitatoio poducido po oto cuepo de masa m' depende de la distancia ente ambos. Aumenta o disminuye dicha enegía potencial al aleja los dos cuepos? Po qué? b) Qué mide la vaiación de enegía potencial del cuepo de masa m al desplazase desde una posición A hasta ota B? azone la espuesta. Solución: a) la ecuación de la enegía potencial paa dos cuepos de masas m y m sepaados una G' distancia es la siguiente: Ep -. Al sepaalos, aumenta y disminuye el valo absoluto de la enegía potencial, peo como su signo es negativo, la enegía potencial aumenta. 8

29 b) El tabajo ealizado po las fuezas consevativas del campo gavitatoio, equivale a la vaiación negativa de la enegía potencial del sistema, pues las fuezas consevativas son las únicas capaces de modifica el valo de la enegía potencial: W FC Ep Ep A - Ep B. 79) azone la veacidad o falsedad de las siguientes afimaciones: a) El peso de un cuepo en la supeficie de un planeta cuya masa fuea la mitad que la de la iea seía la mitad de su peso en la supeficie de la iea. b) El estado de "ingavidez" de los astonautas en el inteio de las naves espaciales obitando alededo de la iea se debe a que la fueza que ejece la iea sobe ellos es nula. planeta Solución: a) P iea ; PPlaneta ² ² ² PPlaneta ² Dividiendo miembo a miembo: Piea ² Vedadeo. El peso en el planeta seía la mitad del peso en la iea. b) Falso. La ingavidez es solo apaente, poque la gavedad existe. Lo que ocue es que el satélite se mueve con una aceleación exactamente igual a la de la gavedad: Paa un obsevado inecial: v² v² g a nomal y paa un obsevado no inecial: g acentífuga. Po eso cuando un astonauta suelta un objeto pemanece a la misma distancia del astonauta, dando la impesión de que no se mueve. Es exactamente el mismo caso que si viajamos en un ascenso y se pate la cueda. ecodemos que un sistema inecial es aquel en eposo o con velocidad constante; en él, apaece la inecia. Un sistema no inecial es un sistema aceleado; en él, apaecen la fueza centífuga. 80) Un satélite descibe una óbita cicula alededo de la iea. Conteste azonadamente a las siguientes peguntas: a) Qué tabajo ealiza la fueza de atacción hacia la iea a lo lago de media óbita? b) Si la óbita fuea elíptica, cuál seía el tabajo de esa fueza a lo lago de una óbita. Solución: a) Ninguno. Como se despende de la expesión del potencial gavitatoio paa cuepos M esféicos (la iea): V G, todos los puntos situados a la misma distancia del cento de gavedad de la iea, tienen el mismo valo de potencial. Si unimos todos esos puntos mediante una supeficie, esta seá una supeficie equipotencial que paa el caso de la iea, toma la foma de una esfea. Una de las implicaciones del caácte consevativo de la fueza gavitatoia, es que esta no ealiza tabajo alguno sobe un cuepo que se mueva po una supeficie equipotencial (una óbita cicula petenece a una supeficie equipotencial). Puesto que el potencial es el mismo no hay vaiación de enegía potencial y en consecuencia, el tabajo es nulo. En supeficies equipotenciales: W FC - ΔEp 0 b) Ota de las implicaciones de los campos consevativos es que no se poduce tabajo en tayectoias ceadas. Al se el mismo el punto inicial que el final, no hay vaiación de enegía potencial y po lo tanto el tabajo es nulo. 8) a) Considee un punto situado a una deteminada altua sobe la supeficie teeste. Qué velocidad es mayo en ese punto, la obital o la de escape? b) A medida que aumenta la distancia de un cuepo a la supeficie de la iea disminuye la fueza con que es ataído po ella. Significa eso 9

30 que también disminuye su enegía potencial? azone las espuestas. Solución: a) Las expesiones de ambas velocidades son: v escape ; v obital. Luego: vescape v obital. La velocidad de escape es veces más gande que la velocidad obital. b) No. La expesión de la enegía potencial es: Ep -. Al aumenta h, disminuye el valo + h numéico de la enegía potencial, peo al se esta negativa, su valo eal aumenta. La enegía potencial aumenta al alejanos de la iea, pues se hace menos negativa, hasta llega a su valo máximo en el infinito: 0. 8) Dibuje en un esquema las líneas de fueza del campo gavitatoio ceado po una masa puntual M. Sean A y B dos puntos situados en la misma línea de fueza del campo, siendo B el punto más cecano a M. a) Si una masa, m, está situada en A y se taslada a B, aumenta o disminuye su enegía potencial? Po qué? b) Si una masa, m, está situada en A y se taslada a oto punto C, situado a la misma distancia de M que A, peo en ota línea de fueza, aumenta o disminuye la enegía potencial? azone su espuesta. Solución: a) Las enegías potenciales coespondientes son: Ep A - ; EpB - A. Como la enegía potencial tiene signo negativo y es invesamente popocional a la distancia, al se A > B, entonces: Ep A > Ep B. b) La enegía potencial no vaía poque el cuepo se desplaza po una supeficie equipotencial. Como se despende de la expesión del potencial gavitatoio paa cuepos esféicos (la iea): M V G. odos los puntos situados a la misma distancia del cento de gavedad de la iea, tienen el mismo valo de potencial. Si unimos todos esos puntos mediante una supeficie, esta seá una supeficie equipotencial que paa el caso de la iea, toma la foma de una esfea. Una de las implicaciones del caácte consevativo de la fueza gavitatoia, es que esta no ealiza tabajo alguno sobe un cuepo que se mueva po una supeficie equipotencial (una óbita cicula petenece a una supeficie equipotencial). Puesto que el potencial es el mismo no hay vaiación de enegía 30 B

31 potencial y en consecuencia, el tabajo es nulo. 83) Conteste azonadamente a las siguientes peguntas: a) Si se edujea el adio de la óbita luna en tono a la iea, aumentaía su velocidad obital? b) Dónde es mayo la velocidad de escape, en la iea o en la Luna? Solución: a) La velocidad obital de la Luna en tono a la iea se deduce de iguala la fueza centípeta a la gavitatoia: F G F C ² m ² v obital v obital v obital La velocidad obital es invesamente popocional al adio de gio. Si disminuye el adio de la óbita () es evidente que aumenta la velocidad obital. b) La velocidad de escape es la velocidad inicial mínima que hay que impimile a un cuepo desde la supeficie de un planeta paa que escape de su atacción gavitatoia. La velocidad de escape desde la supeficie de un cuepo celeste viene dada po vaias expesiones. La que nos sive paa compaa en este caso es: v e g. Paticulaizamos paa la iea y la Luna: v e Como g > g L y > L, entonces: v e > v el g ; v el g L L 84) azone, a pati de la segunda ley de Keple, cómo cambia la velocidad de un planeta a lo lago de su óbita al vaia la distancia al Sol. Solución: La segunda ley de Keple afima que la velocidad aeola de un planeta es constante. Si llamamos A al áea baida po el segmento que une el Sol con el planeta, la ley se puede expesa matemáticamente da así: k. dt Como las áeas deben se iguales y deben se ecoidas en el mismo tiempo: t - t t 4 - t 3, es deci, que cuando el planeta está más alejado del Sol debe movese más lento que cuando está más ceca, que debe i más ápido paa que el áea A sea baida en el mismo tiempo. Podemos conclui, po tanto, que en su movimiento alededo del Sol un planeta se mueve más despacio cuanto más alejado está de él y va aumentando su velocidad a medida que se va acecando, paa luego i disminuyéndola de nuevo a medida que se aleja. 3

32 85) a) Explique las analogías y difeencias ente el campo eléctico ceado po una caga puntual y el campo gavitatoio ceado po una masa puntual, en elación con su oigen, intensidad elativa, diección y sentido. b) Puede anulase el campo gavitatoio y/o el campo eléctico en un punto del segmento que une a dos patículas cagadas? azone la espuesta. Solución: a) Analogías: Su expesión matemática es semejante. Desciben fuezas que son popocionales a la magnitud física que inteacciona, las masas en las fuezas gavitatoias y las cagas en las elécticas. En ambas leyes las fuezas son invesamente popocionales al cuadado de la distancia. anto las fuezas gavitatoias como las elécticas son fuezas centales, es deci, actúan en la diección de la ecta que une las masas o las cagas, espectivamente. La fueza gavitatoia está asociada a la masa y la fueza eléctica a la caga. Difeencias: La fueza gavitatoia es de atacción (poque solo hay un tipo de masa) y la fueza eléctica puede se de atacción o de epulsión (poque hay dos tipos de cagas). El valo de la constante G no depende del medio mientas que el valo de la constante K depende del medio en el que estén las cagas. El valo de G es muy pequeño fente a K: la inteacción gavitatoia es mucho más débil que la eléctica. b) El campo gavitatoio puede anulase, como se ve en la figua: cagas han de se de igual signo: Paa que se anule el campo eléctico, las No es necesaio que las cagas sean de igual módulo, ni que las masas sean iguales, ni que la distancia sea la mitad ente los cuepos y las cagas. Lo que es necesaio es que los campos sean iguales y de sentidos opuestos. 86) a) Enuncie las leyes de Keple y azone si la velocidad de taslación de un planeta alededo del Sol es la misma en cualquie punto de la óbita. b) Justifique si es vedadea o falsa la siguiente afimación: la gavedad en la supeficie de Venus es el 90% de la gavedad en la supeficie de la iea y, en consecuencia, si midiésemos en Venus la constante de gavitación univesal, G, el valo obtenido seía el 90% del medido en la iea. Solución: a) Según la segunda ley de Keple, las áeas de la figua han de se iguales y han de se ecoidas en el mismo tiempo. Ello explica que los planetas se muevan más ápidamente en el peihelio (ceca del sol) que en el afelio (lejos del sol): 3