Unidad 7. Objetivos. Rotación

Transcripción

1 Unidad 7 Rotación Objetivos Analiza la elación que existe ente la velocidad y aceleación lineales con la velocidad y aceleación angulaes en los movimientos de otación. Aplica la elación ente el cambio de enegía cinética y el tabajo paa descibi el movimiento otacional de un cuepo. Aplica la elación ente momento, aceleación e impulso angulaes en el análisis de movimientos otacionales. Analiza el movimiento otacional mediante la ley de consevación del momento angula.

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3 Intoducción Se denomina otación al movimiento que ealiza un cuepo cuando gia en tono a un eje que se mantiene fijo en el espacio. Dicho eje se denomina eje de otación y puede se eal (una ueda de automóvil giando alededo de su eje) o imaginaio (el eje de otación teeste), lo cual se muesta en la figua 7.1. ( a ) ( b ) Figua 7.1. En la figua (a) se muesta una ueda giando alededo de un eje eal. La figua (b) muesta el eje imaginaio alededo del cual gia nuesto planeta. Consideando que el cuepo está fomado po patículas individuales, las tayectoias que siguen dichas patículas coesponden a cículos inscitos en planos pependiculaes al eje de otación. El adio de cada tayectoia cicula es mayo ente más alejada esté la patícula del eje de otación y vicevesa. Las patículas individuales que están sobe el eje de otación, pemanecen fijas mientas el cuepo gia. Lo anteio puede apeciase en la figua

4 CinemátiCa y dinámica Figua 7.. Rotación de un cuepo alededo de un eje que pemanece fijo en el espacio. Un objeto en el que todas sus patículas mantienen una distancia fija una de ota ecibe el nombe de cuepo ígido y su movimiento global de otación (desplazamiento, velocidad y aceleación) se puede analiza en téminos de las suma de los movimientos de cada una de ellas Velocidad angula y velocidad lineal Considee un cuepo giando alededo del eje z, el cual es pependicula al plano xy; como se muesta en la figua 7.3, se puede establece lo siguiente: 1. La posición angula de una patícula situada en el punto P, en un instante t 1, es un ángulo θ 1 fomado po el vecto de posición 1 y el eje x, el cual se considea como el eje de efeencia.. Si la patícula situada inicialmente en el punto P se desplaza hasta el punto Q en un instante t, la posición angula cambia y ahoa es un ángulo θ fomado po el vecto de posición y el eje x. 3. El desplazamiento angula de la patícula se define como: Δθ = θ θ 1 y ocue en el intevalo de tiempo Δt = t t 1. La magnitud del desplazamiento angula se mide en adianes. Las siguientes elaciones pemiten tansfoma gados a adianes: π ad = 360º = 1 ev o π ad = 180º = 1 ev 17

5 Unidad 7 z ω ( + ) 0 y θ 1 θ 1 Δθ P, t 1 S Q, t x ω ( ) Figua 7.3. Deteminación gáfica del desplazamiento angula Δθ, el cual ocue en el intevalo de tiempo Δt. Nótese la difeencia gáfica y conceptual del desplazamiento angula y del aco de desplazamiento. Cabe señala que todas las patículas del cuepo tienen el mismo desplazamiento angula, independientemente de su distancia al eje de otación. Po consiguiente, se puede habla del desplazamiento angula del cuepo. 4. Con base en lo anteio, se puede defini la velocidad angula media ϖ como: Δθ θ θ ω = = Δt t t Asimismo, se puede defini la velocidad angula instantánea ω como velocidad angula simplemente. La magnitud de ese vecto se puede calcula como: ω d = lim Δθ = θ Δ t (7.) 0 Δt dt 5. Las ecuaciones anteioes nos dicen que la velocidad angula mide la azón de cambio de la posición angula con especto al tiempo. Sus unidades se expesan en [ad/s] o [s 1 ]. 1 1 (7.1) 6. La velocidad angula es un vecto que se encuenta sobe el eje de otación. Es deci, en el eje Z, el cual es pependicula al plano xy. Si el gio es antihoaio, ω es positiva (como un tonillo que sale del plano xy); si el gio es hoaio, ω es negativa (como un tonillo que enta al plano xy). En este capítulo se usa esta convención paa la esolución de poblemas. 7. Duante el intevalo de tiempo Δt = t t 1, la patícula ecoe un aco de desplazamientos, cuya magnitud depende de su distancia al eje de gio y se encuenta sobe el plano xy. 173

6 CinemátiCa y dinámica Dicho aco de desplazamiento se mide en metos y se calcula mediante la elación: s = Δθ. De esta manea, las patículas más alejadas del eje de otación ecoen distancias mayoes que las patículas más cecanas al mismo, aunque todas ellas tengan el mismo deslazamiento angula Δθ. Suponiendo ahoa que una patícula de un cuepo se encuenta giando con velocidad angula ω en un instante t. Dicha patícula tiene una velocidad lineal v, la cual se encuenta en el plano xy, es tangente a la tayectoia cicula descita po el gio de la patícula y pependicula al adio del cículo en todo momento, como se muesta en la figua 7.4. z ω, t 0 y s = θ v 1,t 1 x v 0,t 0 Figua 7.4. Relación existente ente la velocidad angula ω y la velocidad lineal v paa todo movimiento de otación. Consideando que en t = 0 la patícula pate del eje x positivo, se obseva que el aco de desplazamiento o distancia ecoida po la patícula en un tiempo t es: s = θ, donde es de valo constante. Si deivamos s con especto al tiempo se obtiene: ds dθ = dt dt lo cual queda como: v = w, (7.3) donde: v es la magnitud de la velocidad tangencial en m/s, w la magnitud de la velocidad angula en ad/s y es el adio de la tayectoia en m. Esta última ecuación nos pemite conoce la elación existente ente la velocidad lineal que ocue en el plano xy y la velocidad angula que ocue en el eje z, que es pependicula al plano mencionado. 7.. Aceleación angula y aceleación lineal Consideemos ahoa que una patícula del cuepo mostado en la figua 7.5 tiene en el punto P una velocidad angula inicial ω 1 en el instante t 1 y que en el punto Q cambió su velocidad angula a ω en el instante t. 174

7 Unidad 7 z α ( + ) ω,t α ω,t y P Q x α ( ) Figua 7.5. Esquema que muesta las condiciones necesaias paa defini la aceleación angula. De manea análoga al pocedimiento usado paa deduci las ecuaciones de velocidad angula, se puede defini que la aceleación angula media α del cuepo es: Δω ω ω α = = Δt t t 1 1 (7.4) De igual foma, podemos defini la magnitud de la aceleación angula instantánea o la aceleación angula simplemente como: α d = lim Δω = ω (7.5) Δ t 0 Δt dt Las ecuaciones anteioes indican que la aceleación angula mide la azón de cambio de la velocidad angula con especto al tiempo. Sus unidades se expesan en [ad/s ] o [s ]. La aceleación angula también es un vecto que se encuenta sobe el eje de otación. Es deci, en el eje z, el cual es pependicula al plano xy. La aceleación angula es positiva cuando ω cece en el tiempo y negativa cuando ω decece en el tiempo. Si una patícula de un cuepo se encuenta giando con velocidad angula ω en un intevalo de tiempo Δt, dicha patícula tiene una aceleación lineal a T llamada aceleación tangencial, esta aceleación existe cuando la velocidad cambia su magnitud en función del tiempo, la cual se encuenta en el plano xy y es tangente a la tayectoia cicula descita po el gio de la patícula, lo cual se apecia en la figua

8 CinemátiCa y dinámica z 0 α ( + ) ω(+) a y a R a T x Figua 7.6. Relación existente ente la aceleación angula α, la aceleación tangencial at, la aceleación centípeta o adial ar y la aceleación lineal total a paa todo movimiento de otación. Se conoce que la deivada de la velocidad con especto al tiempo es la aceleación y si se considea la elación ente velocidad lineal y velocidad angula v = ω, deivando la velocidad con especto al tiempo tenemos: v = ω; dv dω dv = = a y de acuedo con la ecuación 7.5 dt dt dt a T = α (7.6) donde: a T es la magnitud de la aceleación tangencial en m/s, α es la magnitud de la aceleación angula en ad/s y el adio de la tayectoia en m. Los objetos con movimiento ectilíneo unifome tienen una velocidad constante. Sin embago, un objeto que se mueva en un aco con velocidad constante sufe un continuo cambio en la diección del movimiento. Dado que la velocidad es un vecto con módulo, diección y sentido, un cambio en la diección implica una velocidad vaiante. Este cambio de velocidad es la aceleación centípeta a C (adial). Deivando el vecto de velocidad obtenemos la diección de esta aceleación hacia el cento del cículo, como se muesta en la figua 7.7. v = ω ω v a C = = ω Figua

9 Unidad 7 Po lo tanto, la magnitud de la aceleación centípeta está dada po: a v C = = ω (7.7) La aceleación tangencial a T y la aceleación centípeta a C en un movimiento cicula no unifome epesentan dos vectoes mutuamente pependiculaes como se muesta en la figua 7.8, que definen una aceleación total dada po: a = ( a ) + ( a ) (7.8) T C Sustituyendo las ecuaciones (7.6) y (7.7) en (7.8) se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 T C α ω α ω α ω a = a + a = + = + = + (7.9) a t α a a C Figua Aceleación angula constante El movimiento con aceleación angula constante (α = constante) o Movimiento Cicula Unifomemente Aceleado (MCUA), epesenta un caso especial elevante del movimiento de otación. Este movimiento es el que ocue al encende algún apaato giatoio mientas alcanza su velocidad angula final, o bien cuando algún apaato giando con velocidad deteminada se apaga y llega al eposo después de un deteminado tiempo. Las ecuaciones cinemáticas de este tipo de movimiento son las mismas del Movimiento Rectilíneo Unifomemente Aceleado (MRUA), sustituyendo el desplazamiento lineal x po el desplazamiento angula θ, la velocidad lineal v po la velocidad angula ω y la aceleación lineal a po la aceleación angula α. Po lo tanto, las ecuaciones del Movimiento Cicula Unifomemente Aceleado (MCUA) quedan de la siguiente manea: 177

10 CinemátiCa y dinámica ωf = ωi + αt (7.10) ω = ω + α( θ θ ) (7.11) f i f i θ θ ω t 1 i i αt = + + (7.1) θ ωi + ωf θ = f i t (7.13) donde: θ i y θ f son las posiciones angulaes inicial y final espectivamente, en ad; ω i y ω f son las magnitudes de las velocidades angulaes inicial y final, en ad/s y α es la magnitud de la aceleación angula, en ad/s. Poblemas esueltos 1. Un talado automático es utilizado en una ensambladoa paa intoduci tonillos metálicos en las tuecas fijas de un moto. Cada tonillo tiene 7.6 vueltas/cm, 7.5 cm de longitud y 1.5 cm de diámeto. Si el talado con el tonillo gia a azón de 350 pm, cuánto tiempo tada cada tonillo en se ensamblado totalmente en una tueca? Respuesta: Si el talado está giando con velocidad angula constante, entonces: θ θ ω = despejando t: t = t ω Peo el númeo total de vueltas que tiene cada tonillo es: Po lo tanto: vueltas θ = 7.6 (7.5cm) = 57vueltas cm vueltas 1min vueltas (350 pm) = 350 = min 60s s vueltas 57 θ t = = 1 = 9.77 s ω vueltas s. El plato giatoio de un hono de micoondas pate del eposo en t = 0 al se encendido tal apaato. Cuando han tanscuido 3 segundos la velocidad angula es de 4.5 ad/s. Pasados 15 segundos el plato giatoio alcanza una velocidad angula constante. Cuál es el ángulo que ha giado el plato desde t = 0 hasta t = 35 s?, cuántas vueltas ha dado el plato en ese intevalo de tiempo? 178

11 Unidad 7 Respuesta: Este poblema tiene una pate de MCUA, desde t = 0 s hasta t = 15 s y la ota pate es un MCU, desde t = 15 s hasta t = 35 s. La pimea pate establece que el plato giatoio del micoondas pate del eposo. Cuando el tiempo t = 3 s, la velocidad angula es ω = 4.5 ad/s. Po lo tanto de la ecuación 7.10: ω f = ω i + α t despejando α: α = (ω f ω i ) / t = (4.5 ad/s 0 ad/s) / 3 s = 1.5 ad/s Po consiguiente, el ángulo ecoido desde t = 0 hasta t = 15 es de acuedo con la ecuación 7.1: θ = θ i + ω i t + ½ α t peo inicialmente θ i =0 y ω i t=0. Entonces: θ = ½ α t = ½ (1.5 ad/s )(15 s) = ad = θ 1 La segunda pate establece que el plato giatoio deja de acelease a los 15 segundos, po lo que su movimiento se vuelve constante, es deci, deja de tene aceleación. Po lo tanto, la velocidad angula cuando t = 15 segundos es: ω = α t = (1.5 ad/s )(15 s) =.5 ad/s Po tanto, el ángulo ecoido de manea constante, desde t = 15 s hasta t = 35 s es: θ = ω t = (.5 ad/s)(0 s) = 450 ad = θ Sumando ambos ángulos, θ 1 y θ, se obtiene el ángulo total ecoido po el plato giatoio del micoondas: θ = θ 1 + θ = ad ad = ad Paa calcula el númeo de vueltas que ha dado el plato giatoio en este intevalo de tiempo, desde t = 0 hasta t = 35 s, podemos usa la elación: π ad = 360º = 1 ev Entonces: ad / π ad = ev 3. La ueda de una pulidoa tiene un diámeto de 35 cm y está giando a 50 pm cuando es apagada. Si tada 15 segundos en detenese, calcula la aceleación angula de dicha ueda, el númeo de vueltas que ealiza antes de detenese, así como la velocidad y las aceleaciones tangencial, centípeta y total iniciales de un punto situado en el bode exteno de la ueda. 179

12 CinemátiCa y dinámica Respuesta: Como la ueda de la pulidoa llega al eposo al se apagada, podemos deci que su velocidad angula final es ceo; es deci: ω f = 0. Usando la elación π ad = 360º = 1 ev, se obtiene la velocidad angula inicial: ev π ad 1min ad ωi = 50 = 5.3 min 1ev 60s s Ahoa se puede calcula la aceleación angula despejándola de la elación se emplea la ecuación α = (ω f ω i ) / t = (0 ad/s 5.3 ad/s) / 15 s = ad/s Despejando (θ f θ i ) de la elación 7.11 podemos obtene el númeo de vueltas que ealiza antes de detenese. θ f θ i = (ω f ω i ) / α = [(0 ad/s) (5.3 ad/s) ] / [ ( ad/s )] = ad Usando π ad = 360º = 1 ev, se tiene: θ f θ i = ad / π ev = 5.66 ev Paa esolve la segunda pate del poblema, sabiendo que el diámeto de la ueda de la pulidoa es de 35 cm, entonces su adio es = 17.5 cm. Usando las ecuaciones (7.3), (7.6), (7.7) y (7.8): v i = ω i, a T = α, a c = ω i y a = (a T + a c ) ½ y sustituyendo valoes: v i = ω i = (0.175 m)(5.3 ad/s) = 0.91 m a T = α = (0.175 m)( ad/s ) = m/s a c = ω i = (0.175 m)(5.3 ad/s) = 4.78 m/s a = (a T + a c ) ½ = [ m/s ) + (4.78 m/s ) ] ½ = 4.78 m/s Obseva que los adianes no son popiamente una unidad de medida y que a = a R debido a que a T es un númeo muy pequeño Enegía cinética de otación Consideemos un cuepo que gia en un eje z, pependicula a un plano xy sobe el cual descibe tayectoias ciculaes como se apecia en la figua 7.9. Si el cuepo gia con una velocidad angula ω, en un cieto instante t, la enegía cinética del cuepo en su conjunto es igual a la suma de las enegías 180

13 Unidad 7 cinéticas de cada una de las patículas de masa m del mismo. Si consideamos una patícula de masa m i, situada a una distancia i del eje de otación, esta patícula tiene una velocidad de magnitud v i = ω i. z 0 1 ω,t ω,t ω,t m 1 m v 1 v a y i v i m i x Figua 7.9. Diagama en el que se muesta la enegía cinética de otación de una masa m i, la cual foma pate de un cuepo cuya enegía cinética de otación es la misma que la de esta masa. Si la enegía cinética se define como E K = ½ m v, aplicando esta definición al cuepo de la figua 7.9, obtenemos la enegía cinética de otación de la patícula de masa m i : E Ki = ½ m i v i = ½ m i (ω i ) = ½ m i w i [J]=[kg.m /s = (kg.m/s )(m)=(n)(m)=j] Po lo tanto, si sumamos la enegía cinética de todas las masas m i, obtenemos la enegía cinética de otación de todo el cuepo, en donde la magnitud de la velocidad angula ω es la misma paa todas las patículas del cuepo: E K = Σ E Ki = Σ ½ m i i ω = ½ (Σ m i i ) ω (7.14) Sin embago, cabe hace nota que el momento de inecia de un cuepo con especto a un eje, que epesenta la tendencia de un cuepo a ota, se define como: I = Σ m i i (7.15) que es el témino que tenemos ente paéntesis en la ecuación (7.14), las unidades son kg m en el SI. Si sustituimos este momento de inecia en dicha ecuación, obtenemos la ecuación de la enegía cinética de otación de un cuepo que gia en tono a un eje fijo, con velocidad angula ω: E K = ½ I ω (7.16) Esta ecuación es totalmente análoga a la de la enegía cinética de taslación E K = ½ m v, donde se eemplaza la masa m po el momento de inecia I y la velocidad lineal v po la velocidad angula ω. 181

14 CinemátiCa y dinámica 7.5. Tabajo y potencia en la otación Suponiendo que se tiene un cuepo aticulado con el eje z, el cual es pependicula al plano xy. En un punto P de este cuepo se aplica una fueza F, tal y como se obseva en la figua 7.10, donde es el vecto de posición del punto P. Al aplica la fueza F al punto P, el cuepo gia un ángulo difeencial dθ en un tiempo dt, de manea que el punto P ecoe un aco de desplazamiento ds. El tabajo ealizado po la fueza F al hace gia al cuepo un ángulo dθ se define como: dw = F ds = F cos(90º ф) ds = F senф ds = F ds senф (7.17) z 0 y 1 ф dф ds F F ф x Figua Descipción gáfica del tabajo ealizado po una fueza F en un movimiento de otación. Peo se sabe que el aco de desplazamiento ds es: ds = dθ. Sustituyendo en la ecuación (7.17) se tiene que: dw = F dθ senф (7.18) Esta ecuación (7.18) epesenta al difeencial del tabajo ealizado po una fueza F en un movimiento de otación. El momento de una fueza, también llamado toque, es un vecto que se encuenta sobe un eje de gio pependicula a un plano como se muesta en la figua Un eje que pasa po el oigen tiene aticulado un cuepo sobe el cual está actuando una fueza F en el punto P, cuyo vecto de posición es. El momento de la fueza o toque con especto al oigen es un vecto que se define como: M = F (7.19) 18

15 Unidad 7 Donde se denomina bazo de palanca de la fueza F. De la figua 7.10 también se puede obseva que el momento M está sobe el eje de gio y po lo tanto es pependicula al plano que contiene al vecto de posición y a la fueza F, ambos pependiculaes ente sí. z M ( + ) M 0 y P F x M( ) Figua 7.11 Repesentación gáfica del momento de una fueza o toque. Si se considea la línea de acción de la fueza F, entonces es el bazo de palanca de dicha fueza y su magnitud es: = senф Po consiguiente, el momento o toque de la fueza F especto al oigen queda como: M 0 = senф F = F senф (7.0) Las unidades del momento se miden en [N m] y un toque es la medida de la tendencia de una fueza F a impimi a un cuepo un movimiento de otación alededo de un eje pependicula fijo. Si actúan sobe el cuepo vaias fuezas al mismo tiempo, el momento esultante es igual a la suma de cada uno de los toques individuales. Po convención se considea que si la tendencia del gio debido a la fueza F es en sentido antihoaio, entonces el momento M esultante es positivo (tonillo que sale). Si la tendencia del gio es en sentido hoaio, el momento M esultante es negativo (tonillo que enta). como: Si se considea la definición de toque y se etoma la ecuación (7.18), ésta se puede eescibi dw = M dθ (7.1) 183

16 CinemátiCa y dinámica La ecuación (7.1) epesenta también al difeencial del tabajo ealizado po una fueza F en un movimiento de otación. Si dividimos el difeencial de tabajo y el difeencial de tiempo, obtenemos la potencia P en watts desaollada po el momento M, lo cual se muesta en la ecuación (7.): P = dw / dt = M dθ / dt = M ω (7.) Donde P es la potencia mecánica en watts (J/s); ω es la velocidad angula en ad/s desaollada po el momento M, en N m. Si el cuepo ota desde una posición angula inicial θ 1, hasta una posición angula final θ y si el momento M es constante, entonces la expesión del tabajo total seá: W = θ dw = θ1 θ M dθ (7.3) θ1 Si el momento M pemanece constante, la expesión matemática de la ecuación (7.4) se puede eescibi como: W = M θ dθ = M (θ θ 1 ) (7.4) θ1 Las ecuaciones anteioes son equivalentes a las del movimiento de taslación, cambiando la fueza F po el momento M, la posición x po la posición angula θ y la velocidad v po la velocidad angula ω. En el movimiento otacional también se cumple el teoema del tabajo y la enegía cinética, el cual se escibe de la siguiente foma: W = ΔE K = E Kf E Ki = ½ I ω f ½ I ω i (7.5) Donde I es el momento de inecia del cuepo en otación Momento y aceleación angula La segunda ley de Newton paa la otación elaciona el momento M con la aceleación angula α de la manea que se descibe a continuación: Suponiendo que bajo la acción de una fueza F una patícula de masa m gia en un cículo de adio cuyo plano es pependicula al eje de gio z, como se obseva en la figua

17 Unidad 7 z 0 M = M T F F T y F m x Figua 7.1. Diagama que muesta la elación existente ente el momento M y la aceleación angula α. Aplicando la segunda ley de Newton se tiene que: F = m a = m( a + a ) = m a + m a = F + F C T C T C T (7.6) Donde a C y a T, así como F C y F T son las componentes centípeta y tangencial de la aceleación y la fueza espectivamente. También se puede deduci que el toque o momento τ poducido po la fueza F con especto al cento del cículo es: M = M C + M T, que son toques debidos a las fuezas centípeta y tangencial espectivamente. Como la fueza y el bazo de palanca son pependiculaes ente sí, podemos establece que: 1. M R = 0, puesto que el bazo de palanca de F es ceo.. M T = F T = m a T, puesto que el bazo de palanca de F T es. Así, consideando el gio en sentido antihoaio podemos deci que: M = m a T = m (α ) = (m ) α = I α (7.7) donde a T = α (elación ente a y α) y m = I (definición del momento de inecia). Po consiguiente, genealizando la ecuación anteio paa un cuepo ígido bajo la acción de una seie de fuezas extenas, se tiene que el momento esultante sobe el cuepo es: M = M ext = I α (7.8) 7.7. Momento angula e impulso angula Suponiendo que tenemos una patícula de masa m, moviéndose con una velocidad v en el plano xy. Dicha patícula tiene un vecto de posición, como se muesta en la figua

18 CinemátiCa y dinámica z M 0 y sen ф ф ф v p x Figua Repesentación esquemática del momento angula de una patícula de masa m, moviéndose en un plano con una velocidad v, localizada en la posición. El momento angula de una patícula con especto al oigen se define como: L = mv = p (7.9) Donde L es un vecto que se encuenta sobe el eje de gio, el cual es pependicula al plano xy que contiene a los vectoes y p. De la ecuación (7.8) la condición que debe cumplise paa que L sea igual a ( p) es que ambos deben se pependiculaes ente sí. De la figua 7.1 se puede obseva que: L = (m v) senф = p senф (7.30) Donde ф es el ángulo que foman los vectoes y p ; donde senф =, paa que se cumpla la condición de pependiculaidad. Po lo tanto la expesión anteio queda como: L = m v Peo la velocidad lineal y la velocidad angula están elacionadas po v = ω, po lo que: L = m ( ω) = m ω = (m ) ω = I ω (7.31) Po lo que el momento angula L es igual al poducto del momento de inecia I po la velocidad angula ω. Las unidades de medida del vecto momento angula de una patícula están expesadas en [kg m / s]. El impulso angula se puede defini como el poducto del momento de una fueza M = I α po el tiempo t en que ésta actúa. Es deci, M t = (I α) t. Este impulso es un vecto cuya diección y sentido son iguales al vecto M. Analizando el módulo del momento angula L, se obseva que éste y el impulso angula M son equivalentes en unidades: L = I ω = (m ) ω = [kg m / s] es el momento angula. M t = (I α) t = (m ) α t = [(kg m ) (ad / s ) (s)] = [kg m / s] es el impulso angula. 186

19 Unidad 7 De las dos elaciones anteioes se despende que el impulso angula es equivalente al momento angula, es deci: M t = L = I ω (7.3) Retomando la definición de momento de una fueza o toque M = F ley de Newton que: dv d( mv) dp F = ma = m = = dt dt dt y sabiendo, de la segunda (7.33) El momento de una fueza se puede expesa como: M dp = dt (7.34) Po oto lado, de la ecuación 7.9: dl d( mv) d( p) d dp dp = = = p + = v p + dt dt dt dt dt dt Como los vectoes velocidad v y momento lineal p = mv son paalelos, su poducto vectoial v p es igual a ceo. Además, el poducto cuz ente el vecto de posición y la deivada del vecto p con especto al tiempo es igual al momento de la fueza M, po lo que se tiene : dl dp = = M dt dt (7.35) De la ecuación anteio podemos conclui que el cambio del momento angula con especto al tiempo en elación con un eje de otación, es igual al momento neto con especto a ese mismo eje Consevación del momento angula Si en un sistema de patículas la suma de los momentos extenos es igual a ceo, se puede deduci que dl / dt = 0. Po lo tanto el vecto momento angula L es constante, entonces L i = L f. Esta igualdad se conoce como el teoema de la consevación del momento angula y su enunciado es el siguiente: El momento angula total de un sistema de patículas no cambia en el tiempo con especto a un punto o a un eje, si la esultante de los momentos extenos que actúan sobe dicho sistema es igual a ceo con especto al mismo punto o a un eje. Iϖ = I ϖ (7.36) i i f f 187

20 CinemátiCa y dinámica Poblemas esueltos 1. Un tambo de adio y masa m tiene enollada una cueda con un extemo libe y eposa sobe una supeficie hoizontal como se muesta en la figua Se tia de la cueda de masa despeciable con una fueza tangencial F, de modo que la cueda se desenolla del tambo y éste ueda sin esbala, aunque con ficción. Detemina la aceleación del tambo, así como la fueza de ficción existente ente la supeficie y el tambo. N F m α ( + ) mg Respuesta f a Figua Como este movimiento ocue a lo lago del eje x, se puede deci que las ecuaciones del movimiento que se genea son: F = F f = m a x F = N m g = 0 y y M = F + f = Ia = m a c ( / )( / ) En la tecea expesión se han hecho dos sustituciones: una paa el tambo unifome y ota paa el mismo tambo odando sin esbala. Dichas sustituciones son: I = m / y α = a /, lo cual hace que dicha expesión quede como: F + f = m a / Sumando esta última expesión con la pimea y despejando a, la aceleación del tambo es: F = 3 m a / entonces: a = 4 F / 3 m Paa enconta la fueza de ficción f, sustituimos ésta última expesión en la pimea: F f = m a entonces F f = m (4F / 3m) despejando f: f = F / 3 188

21 Unidad 7. Sobe el bode de una platafoma cicula que gia en un eje vetical sin ficción se encuenta paada una pesona de masa m = 90 kg. El adio de la platafoma es = 1.80 m y su momento de inecia es I = 750 kg m. Inicialmente la platafoma está en eposo y la pesona comienza a camina sobe el bode en diección antihoaia, con una velocidad v = 1.7 m/s con especto al piso. Enconta la velocidad angula ω que adquiee la platafoma cuando la pesona comienza a camina y el tabajo que ealiza la pesona al pone en movimiento a la platafoma. Respuesta Si la diección es antihoaia, la velocidad angula ω es positiva y aplicando el pincipio de consevación del momento angula alededo del eje de la platafoma se obtiene la expesión siguiente: L i = L f entonces: 0 = I pe ω pe I plat ω plat, puesto que inicialmente la platafoma se encuenta en eposo. Utilizando la definición de momento de inecia (I = m ) y la elación de velocidad angula con velocidad lineal (ω = v / ), la expesión anteio se tansfoma en: 0 = (m )(v / ) I ω plat despejando ω plat obtenemos la velocidad angula de la platafoma cicula, en diección contaia al movimiento de la pesona: ω plat = m v / I = (90 kg)(1.80 m)(1.7 m/s) / (750 kg m ) = ad / s Paa la segunda pegunta podemos utiliza el teoema del tabajo y la enegía (W = ΔE K ), así como la expesión de la enegía cinética de otación (E K = I ω / ): W = E Kf E Ki = m v / + I ω plat / sustituyendo valoes queda: W = (90 kg)(1.7 m/s) / + (750 kg m )(0.367 ad/s) / = Joules 3. Desde una distancia d = 1 cm se lanza un gel de masa m = 0 g, con una velocidad v = 75 m/s conta un cilindo hoizontal cuya masa es m = 9 kg y adio = 15 cm. El cilindo tiene la capacidad de gia libemente sobe su eje. La diección del gel es pependicula al eje de otación del cilindo. El gel queda pegado al cilindo al choca conta él. Detemina la velocidad angula ω del cilindo una vez que el gel queda pegado en su supeficie, así como la enegía que se piede en la colisión. 189

22 CinemátiCa y dinámica m gel d v m cil Figua Respuesta A pati del pincipio de consevación del momento angula se puede deci que el momento angula L del conjunto gel-cilindo se conseva con especto al eje del cilindo, es deci: L i = L f entonces: m gel v d = (I gel + I cil ) ω gel-cil peo sabiendo que: I gel = m gel cil y que: I cil = m cil cil / sustituyendo en la expesión anteio: m gel v d = (m gel cil + m cil cil / ) ω gel-cil despejando ω gel-cil y sustituyendo valoes: ω gel-cil = m gel v d / (m gel + m cil / ) cil ω gel-cil = [(0.0 kg)(75 m/s)(0.1 m)] / [(0.0 kg + 9 kg / )(0.15 m) ] = 6.48 ad/s 190

23 Unidad 7 Poblemas popuestos 1. Un causel cicula pate del eposo y comienza a gia con aceleación angula constante de α = 5 ad/s a lo lago de 4 segundos. En ese instante el causel es fenado y comienza a desacelease de manea constante hasta llega al eposo después de habe dado 3 vueltas. Enconta dicha desaceleación, así como el tiempo que tada en llega al eposo. Respuesta: t = 1.88 s y α = 10.6 ad/s. Un poyectil de masa m = 10 g es dispaado conta una baa ígida que gia libemente alededo de un pivote cental. La baa tiene una masa m = 1 kg, una longitud L = 1 m y se encuenta encima de una platafoma hoizontal. El poyectil sale con una velocidad inicial v = 300 m/s y después de atavesa la baa su velocidad disminuye a v = 100 m/s, aunque conseva su diección inicial. Si después de la colisión la baa hace dos gios completos antes de detenese, calcula el momento neto que ejece la platafoma hoizontal sobe la baa, si el impacto ocue a 40 cm del cento de la baa. Respuesta: M = N m 3. La polea paa saca agua de un pozo tiene 0 cm de diámeto y tiene una soga enollada. La supeficie del agua se encuenta a 6 m de pofundidad y se suelta una cubeta atada a la cueda, la cual impime a la polea una aceleación angula α = 1.5 ad/s. Cuánto debe gia la polea paa que la cubeta alcance la supeficie del agua, suponiendo que tiene cueda suficiente?, cuánto tiempo tada la cubeta en cae al agua? Respuesta: t = 8.96 s y θ = 60 ad 4. El cabezal de un talado se encuenta en eposo. Posteiomente se enciende y empieza a expeimenta una aceleación angula de α = (5 + 4t) ad/s. Enconta la velocidad angula ω cuando han tanscuido 4 segundos y el ángulo giado en ese mismo tiempo. Respuesta: θ = 8.68 ad y ω = 5.10 ad/s 5. Una máquina de combustión intena cuya masa es m = 70 kg se encuenta sobe una platafoma giatoia hoizontal en eposo, justo en el bode. La platafoma giatoia tiene una masa m = 100 kg y un adio = 4 m. En cieto instante, la máquina aoja po el escape una masa de desechos m = 1.5 kg, con una velocidad v = 8 m/s en diección tangente al bode de la platafoma. Obtene la velocidad v que la máquina adquiee al aoja los desechos, si la platafoma tienen un momento de inecia I = m /. Respuesta: v = 0.10 m/s 191

24 CinemátiCa y dinámica 6. Un coedo de masa m = 60 kg se encuenta en posición de aanque sobe el bode de una platafoma giatoia en eposo la cual tiene 6.0 m de diámeto y un momento de inecia I = 1,800 kg m. El coedo empieza su caea con una velocidad v = 4 m/s. Enconta el tabajo W ealizado po el coedo paa pone a gia la platafoma con el coedo encima de ella y la velocidad angula ω que adquiee dicha platafoma. Respuesta: W = J y ω = ad/s 7. En la figua 7.16, la masa m 1 = 3 kg y la masa m = 1 kg. La polea tiene un adio R, una masa m y un momento de inecia I = 0.80 m R. El ángulo es θ = 60º y no hay ficción en el sistema. El conjunto se encuenta en eposo y de ponto se suelta cuando la masa m 1 se encuenta a una distancia h del piso. Detemina la velocidad v de m 1, en téminos de h, justo antes de que choque conta el piso. R I m1 m θ Figua Respuesta: v =.553 h ½ 8. Las masas de la figua 7.17 son m 1 = 15 kg y m = 0 kg. Ambas están conectadas po una cueda de masa despeciable que pasa po una polea de adio = 5 cm y momento de inecia I. La masa m 1 se mueve hacia aiba del plano cuya inclinación es θ = 37º, con una aceleación constante a = m/s. Cuáles son las tensiones T 1 y T en la cueda y cuál el momento de inecia I de la polea? R I T1 T m1 m θ Figua Respuesta: I = 1.17 kg m T 1 = N y T = N 19

25 Unidad 7 9. El plano inclinado de la figua 7.18 tiene un ángulo θ = 60º y no existe ficción. Las masas de los bloques son m 1 = 5 kg y m = 1 kg. La masa de la polea es m y su inecia otacional es I = 0.81 m R. Detemina la aceleación de cada uno de los bloques. m R ar m1 m θ Figua Respuesta: a 1 =.34 m/s y a = 4.67 m/s 10. La figua 7.19 muesta un cilindo de adio = 0 cm, masa m = 1 kg y momento de inecia I = m R /, el cual tiene una cueda enollada. Si uno de los extemos de la cueda está libe y es conectado a una masa m = 0. kg, pasando a tavés de una polea cuya masa es despeciable, calcula las aceleaciones del bloque y del cilindo, suponiendo que este último ueda sin esbala. m C m b Figua Respuesta: a b = 3.4 m/s y α c = 8.53 ad/s 193