Aplicaciones de la Integración. Universidad Diego Portales CALCULO II

Transcripción

1 Aplicaciones de la Integación

2 El valo medio de una función En muchas situaciones pácticas, se desea enconta el valo medio de una función continua sobe un intevalo, como el nivel medio de la polución del aie en un peiodo de 4 hoas, la velocidad media de un camión en un viaje de 3 hoas, la poductividad media de un tabajado duante un tuno de poducción o la pesión media de la sange de un paciente duante una opeación. Ha algún númeo, c, en el cual el valo de f sea eactamente igual al valo pomedio de la función; esto es, f (c) f pom?

3 Teoema del Valo Medio paa integales: Si f es continua en [a,b], eiste un númeo c en [a,b] tal que b a f ( ) d f ( c)( b a) Paa compende po qué es válida la fómula del valo medio, dividamos el intevalo [a,b] en n subintevalos iguales de longitud tomemos j como el comienzo del subintevalo j-ésimo. La media numéica de los coespondientes n valoes de la función f( ), f( ), f( 3 ),..., f( n ) es f ( ) + f ( ) + f ( 3) f ( ) n n n n j f ( j ) 3

4 Cuando n cece sin límite, esta media aitmética se apoima con pecisión al valo medio de f en el intevalo [a,b]. Es deci, Valo medio de f en n [ a,b] lim f ( ) n n j j Paa escibi este límite de una suma como una integal definida, obsévese que si el intevalo [a,b] se divide en n subintevalos iguales de longitud entonces (b-a)/n. Po consiguiente, /n /(b-a) así n n j f ( j ) n n f ( j ) b a j b a j f ( j ) 4

5 A pati de la caacteización de la integal definida como el límite de una suma, se conclue que Valo medio de f en [ a,b] lim n n n b a b a n j lim b a f ( n j j ) f ( f ( ) d j ) 5

6 Ejecicio: Duante vaias semanas el depatamento de caeteas ha egistado la velocidad del táfico que flue po cieta salida del cento de la ciudad. Los datos indican que ente la :00 las 6:00 p.m de un día de tabajo, la velocidad del táfico en la salida es apoimadamente S(t)t 3-0.5t +30t+0 millas po hoa, donde t es el númeo de hoas después del mediodía. Calcula la velocidad media del táfico ente la :00 las 6:00 pm. 6

7 Intepetación geomética del valo medio La fómula de la integal paa el valo medio tiene una inteesante intepetación geomética. b a f ( ) d f ( c)( b a) Si f() es no negativa, la integal es igual al áea situada bajo la gáfica de f desde a hasta b. El poducto f( c) (b-a) es el áea de un ectángulo cua base es b-a cua altua es el valo medio de f en el intevalo [a,b] 7

8 Ejecicio: a) Calcule el valo pomedio de f en el intevalo dado b) Calcule c tal que f pom f( c) c) Tace la gáfica de f un ectángulo cua áea sea igual a la que está bajo la gáfica de f ) f() ) f() 4-4-,, 3 [ 0, ] 3) f() +, [ 0, ] [ 0, 3] 4 ) f() sen( ), [ 0, π ] Ejecicio: 3 f ( ) d 8 Si f es continua, demueste que f alcanza el valo 4, cuando menos una vez, en el intevalo [,3] 8

9 Ejecicio: Demueste que la velocidad pomedio de un automóvil duante un intevalo [t, t ] es igual al pomedio de sus velocidades en ese peíodo. Ejecicio: La tempeatua, en ºF, de cieta ciudad, t hoas después de las 9 a.m, se epesa, apoimadamente, mediante la función π t T ( t) sen.Calcule la tempeatua pomedio duante el peíodo de las 9 a.m hasta las 9 p.m 9

10 A continuación, ejemplificaemos algunas de las aplicaciones de la integal definida empleándola paa calcula áeas ente cuvas, en coodenadas catesianas, paaméticas polaes. Además calculaemos longitud de aco, áea de supeficie volúmenes de sólidos de evolución. 0

11 Aeas ente cuvas Hasta ahoa hemos definido calculado áeas de egiones que quedan bajo las gáficas de funciones. En esta sección empleaemos integales paa calcula áeas de egiones más geneales. En el ejecicio siguiente, como la egión no está limitada po encima po una sola cuva, puede descomponese en dos egiones que sí lo están, el áea de cada una puede calculase utilizando la fómula de la integal Ejecicio: Halla el áea de la egión R, en el pime cuadante, que se encuenta bajo la cuva / está limitada po esta cuva las ectas, 0

12 El áea ente dos cuvas En algunos poblemas pácticos, quizá sea necesaio calcula el áea ente dos cuvas. Supóngase que f() g() son funciones no negativas que f() g() en el intevalo [a,b] como se muesta en la figua. Paa halla el áea de la egión R se calcula Aea de R b a f ( ) d b a g( ) d b a [ f ( ) g( ) ] d

13 Puede demostase que esta fómula es válida aun si no se supone que las funciones f g son no negativas El áea ente dos cuvas Si f() g() son continuas en el intevalo [a,b] paa f() g( ), si R es la egión limitada po las gáficas de f g las ectas veticales a b, entonces Aea de R b a [ f() - g() ] d Ejecicio: Halla el áea de la egión limitada po las cuvas + - ente - 3

14 Cómo se calcula el áea enceada po las cuvas (figua)? Es deci, cómo se calcula el áea ente dos cuvas cuando no se cumple f() g(), paa todo en [a,b]? S S S 3 Cuando se nos pide calcula el áea ente las cuvas f() g() donde f() g() paa algunos valoes de g() f() paa otos, patimos la egión dada S en vaias egiones, S, S, S 3,..., cuas áeas son A, A, A 3,... A continuación definimos el áea de la egión total S como la suma de las áeas de las egiones más pequeñas. 4

15 En vista de que f ( ) g( ) f ( ) g( ) cuando f() g() g() f() cuando g() f() llegamos a la siguiente ecuación paa detemina A El áea ente las cuvas f() g() ente a b es A b a f()-g() d Ejecicio: Calcule el áea de la egión acotada po las cuvas sen, cos, 0, π/ 5

16 Ejecicio: Calcule el áea de la egión acotada po las cuvas i), 3 ii) 4,

17 7 Ejecicio. Tace la egión limitada po las cuvas dadas calcule su áea,, e, e 4) -,, 5, 3) , 3, ) 0 3, -, ) 4 7, ) (, 0),, /, / 9), 3 4 8) / 4, / sen,, 7) 6 0, 5,, 6), 5) 3, 4 4) 0-3, 3) /, ), ) π π

18 Ejecicio: Calcule el áea de la egión acotada po las cuvas, -3 Notemos que el áea enceada po las cuvas es la suma de dos áeas si utilizamos la fómula A b a f()-g() d Ha un método más fácil de esolve el ejecicio anteio. En luga de considea a como una función de, sea una función de 8

19 En geneal, si una egión está acotada po cuvas cuas ecuaciones son f(), g(), c d, donde f g son continua f() g() cuando c d, su áea seá A d c f()-g() d Ejecicio; Halla el áea del ejecicio anteio usando la fómula en téminos de. Ejecicio: Calcule el áea de la egión acotada po las cuvas, +5,, - 9

20 Ejecicio. Tace la egión limitada po las cuvas dadas calcule su áea a) +, + 0 b) -, c) 4 + 0, + 4 d) + ( - ), Ejecicio. Emplea cálculo integal paa detemina el áea del tiángulo cuos vétices se mencionan. a) (0,0), (,8), (4,3) b) (-,5), (0,-3), (5,) Ejecicio. Evalúa la integal e intépetala como el áea de una egión. Esquematiza la egión. a) 0 3 d b) π 0 sen - π d 0

21 Longitud de aco Paa el caso sencillo en que la cuva es un segmento finito de línea que une los puntos P (, ) P (, ) su longitud está epesada po la fómula de la distancia P ( ) + ( ) P Supongamos que la cuva C se define mediante la ecuación f(), en donde a b. Obtenemos una apoimación poligonal a C tomando una patición, P, de [a,b], deteminada po los puntos i, con a < < <... < n b 0 Si i f ( i ) el punto P i ( i, i ) está en C, el polígono cuos vétices son P0, P, P,...,.P0 es una apoimación a C. La longitud de esa apoimación poligonal es n i P i P i

22 P f() Po P i P n P i- a i i b La cual paece mejoa a medida que IIPII 0 Po lo anteio, definiemos la longitud, L, de la cuva C, cua ecuación es f(), a b, como igual al límite de la suma de las longitudes de esos polígonos inscitos ( si es que eiste n el límite) L lim P P P 0 i i i

23 La definición de longitud de aco, epesada po la ecuación anteio, no es mu cómoda paa fines de cómputo, peo podemos deduci una fómula integal a fin de calcula L en el caso en que f tenga una deivada continua. Con Al [ ] i-, tal que i f ( esto es,, i, vemos que ha un númeo, ) f P i-p i ( ) + ( ) aplica el teoema del valo medio a f, en el intevalo i i i-, ente ' * ( ) ( )( i f i i i ); ' * i f ( ) i i i * i i i- i 3

24 4 Po consiguiente Entonces ( ) ( ) ( ) () [ ] () [ ] f P i * ' * ' i i i i i i i f P i [ ] + n i i i n i i i f P P * ' 0 P 0 P ) ( L lim lim

25 Reconocemos que esta epesión es igual b + [ f ] ' ( ) a de acuedo con la definición de una integal definida. Esta integal eiste poque la función g() + [ f ( ) ] es continua Po consiguientes hemos demostado el teoema siguiente L b Fómula de la longitud del aco: Si f`es continua en [a,b], la longitud de la cuva f(), a b es d + [ f ] ' ( ) a d 5

26 Con la notación de Leibniz de deivadas podemos escibi la fómula de la longitud de aco como L b a + d d Si la ecuación de una cuva es g(), c d, al intecambia los papeles de en la fómula anteio obtendemos la fómula siguiente, paa calcula su longitud: d Ejecicio: Calcula la longitud de aco de la paábola semicubica 3, ente los puntos (,) (4,8). L b [ g ] ' ( ) d d + d + a d c d 6

27 7 Ejecicio: Calcula la longitud de aco de la paábola, de (0,0) a (,). ( ) 0, 4 ) 3 ln, e) 0, e d) 4, 4 ln c) 3, 6 b), 3 ) 3 3/ + + f a Ejecicio: Calcula la longitud de cada una de estas cuvas.

28 Aea de una supeficie de Revolución Una supeficie de evolución se foma cuando se hace gia una cuva en tono de una ecta 8

29 Si f es positiva tiene deivada continua, definimos el áea supeficial de la supeficie obtenida al hace gia la cuva f(), a b en tono del eje como sigue b S π f + a ( ) [ f ( ) ] d Con la notación de Leibniz paa las deivadas, esta fómula se tansfoma en b S π a + d d d 9

30 Ejecicio: La cuva es un aco del cículo 4, Calcula el áea de la supeficie geneada al ota ese aco alededo del eje. Ejecicio:Halla el áea de la supeficie de evolución geneada al gia en tono al eje el aco de la paábola ente 0 3 Si la cuva se descibe con la ecuación g(), c d, la fómula se conviete entonces en S d π c + d d d 30

31 Ejecicio:Halla el áea de la supeficie de evolución geneada al gia en tono al eje el aco de +4 ln ente e 3 Las dos fómulas anteioes, se pueden esumi, de manea simbólica, con la notación de longitud de aco, así S π ds Cuando la otación es en tono del eje, el áea de la supeficie es S π ds 3

32 En donde podemos utiliza ds d + d d o bien ds d + d d Estas fómulas se pueden ecoda imaginando que π o π son la cicunfeencia de un cículo descito po el punto (,) en la cuva, al giala en tono del eje o del eje, espectivamente 3

33 a) Rotación en tono del eje S πds b) Rotación en tono del eje S πds 33

34 Ejecicio: El aco de la paábola se hace gia en tono del eje de (0,0) a (3,9). Calcule el áea de la supeficie esultante (3,9) 34

35 Ejecicio:Halla el áea de la supeficie de evolución geneada al hace gia en tono al eje el aco de 3 ente 0 e Ejecicio:Calcule el áea de la supeficie obtenida al hace gia cada una de la cuvas siguientes en tono del eje a) c) e), 4 9 b) 4 + 4, 8 3 ln, 0 d) sen, 0 π f) cos, 0 π / 3 Ejecicio:Calcule el áea de la supeficie obtenida al hace gia cada una de la cuvas siguientes en tono del eje 0 a) 3, b) -, 0 c) e, 0 / d) -, 0 35

36 Cuvas definidas po ecuaciones paaméticas Supongamos que se definen en foma de funciones continuas de una tecea vaiable,t, llamadas paámeto, mediante las ecuaciones f(t) g(t) que se denominan ecuaciones paaméticas. Cada valo de t detemina un punto (,), que podemos gafica en un plano de coodenadas. Al vaia t, el punto (,)(f(t), g(t)) cambia de posición descibe una cuva, C. Si intepetamos a t como el tiempo (,) (f(t), g(t)) como la posición de una patícula en el momento t, podemos imagina que la patícula se mueve a lo lago de la cuva C. 36

37 Ejemplo: Qué cuva epesentan las ecuaciones paaméticas cost, sent, 0 t π? t π/ Solución: Podemos supimi t poque + cos t + sen t t 0 Así el punto (,) se mueve en el cículo unitaio +. Cuando t aumenta de 0 a π, el punto (,)(cost,sent) ecoe una vez el cículo en diección contaia a la de las manecillas del eloj Ejecicio: Tace e identifique la cuva definida po las ecuaciones paaméticas t -t, t+ Ejecicio: Tace la cuva cuas ecuaciones paaméticas son sent, sen t 37

38 Aeas Sabemos que el áea bajo una cuva F(), de a a b, es A b F ( ) d en donde F() 0. Si las ecuaciones paaméticas a f(t) g(t), α t β desciben la cuva, podemos adapta la fómula anteio aplicando la egla de sustitución paa integales definidas como sigue A b a d β α g( t) f `( t) dt Ejecicio: Calcule el áea bajo uno de los acos de la cicloide ( θ senθ ) (- cosθ ) 38

39 Longitud de aco áea de supeficie Sabemos que si F`es continua, entonces L b a d + d d Vamos a supone que C también se puede descibi con las ecuaciones paaméticas f(t) g(t), α t β donde d/dt f`(t)>0.esto quiee deci que C es ecoida una vez, de izquieda a deecha, a medida que t aumenta desde α hasta β que f(α )a, f(β )b Empleando la egla de sustitución tenemos L b β d d / dt + d + a d α d / dt d dt dt 39

40 Como d/dt>0 entonces β d d L + α dt dt dt Teoema: Si una cuva C se descibe con las ecuaciones paaméticas f(t), g(t), α t β donde f` g` son continuas en [α, β] C ecoida una sólo una vez cuando t aumenta desde α hasta β, la longitud de C es β d d L + α dt dt dt 40

41 4 Ejecicio: Calcule la longitud del cículo cost sent 0 t π Ejecicio: Calcule la longitud de cada una de estas cuvas 0, 3t, t 3 ) 0, sen e, cos e d) 0, 4 t, - e c) / 0, cos, 3sen b) 4 0, t, t ) 3 t t / t 3 t t e t t t t e t a t π π θ θ θ

42 Coodenadas Polaes En un sistema de coodenadas ectangulaes el pa odenado (a,b) denota el punto con abscisa a odenada b. Las coodenadas polaes son ota foma de epesenta puntos. Se comienza en un punto fijo O ( el oigen o polo) una semiecta diigida (el eje pola) cuo etemos es O. Luego se considea cualquie punto P del plano difeente de O. Si d(o,p) θ denota la medida del ángulo deteminado po el eje pola OP, entonces θ son las coodenadas polaes de P se usan los símbolos (, θ) o P(, θ) paa denota a P P(, θ) O Polo θ Eje pola 4

43 Adoptaemos la convención de que el ángulo es positivo si se mide en diección contaia a la de las manecillas del eloj, patiendo del eje pola, negativo si se toma en la diección de las manecillas del eloj. Si PO, entonces 0 se dice que (0, θ) epesenta al polo paa cualquie valo de θ. Ampliaemos el significado de las coodenadas polaes (, θ), paa abaca el caso en que es negativo convenimos que, los puntos (-, θ) (, θ) están en la misma ecta que pasa po O a la misma distancia, I I, de O, peo en los lados opuestos de O. Si >0, el punto (, θ) está en el mismo cuadante que θ; si <0, se encuenta en el cuadante del lado opuesto al polo. Obsevaás que (-, θ) epesenta al mismo punto que (, θ+π) (, θ) θ+ π θ (-, θ) 43

44 Ejemplo: Gafiquemos los puntos cuas coodenadas polaes se dan a continuación a) (,5 π/4) b) (, 3 π) c) (,- π/3) d) ( -3,3 π/4) 5 π/4 O (, 3 π) O (,5 π/4) O - π/3 O 3 π/4 (,- π/3) ( -3,3 π/4) 44

45 En el sistema de coodenadas catesianas, cada punto sólo posee una epesentación; peo en el sistema de coodenadas polaes, tiene muchas El punto (,5 π/4) se podía epesa en las fomas (,-3 π/4), (,3 π/4) o (-, π/4) Ejecicio. Gafique los puntos anteioes OBS: Un ángulo π epesenta una vuelta completa en sentido contaio al de las manecillas del eloj, el punto epesentado po las coodenadas polaes (, θ) también se puede epesa con (, θ+n π) (-, θ+(n+) π) en donde n es cualquie enteo. 45

46 θ P(, θ) P(,) cos θ senθ En la figua se adviete la elación ente las coodenadas polaes las catesianas, cuando el polo coesponde al oigen el eje pola coincide con el eje de las positivas. Si el punto P tiene coodenadas catesianas (,) polaes (, θ), entonces, de acuedo con la figua Y así cos θ senθ () 46

47 Aunque hemos deducido las ecuaciones () mediante la figua, donde apaece el caso en que >0 0< θ < π/, las ecuaciones son válidas paa toda θ. Las ecuaciones () pemiten establece las coodenadas catesianas de un punto, conociendo las coodenadas polaes. Paa detemina θ conociendo, usaemos las ecuaciones + tanθ Ejemplo: Epesa el punto (, π/3) en coodenadas catesianas cosθ senθ π cos 3 sen π Po consiguiente, las coodenadas catesianas del punto son (, 3) 3 () 47

48 Ejemplo: Repesenta en coodenadas polaes el punto cuas coodenadas catesianas son (,-) + + ( ) tanθ En vista de que el punto (,-) está en el cuato cuadante, podemos elegi θ - π /4, o bien θ 7 π /4. Así una de las espuestas posibles es (, π / 4). Ota es (, 7π / 4) Nota: Las ecuaciones () no deteminan unívocamente a θ paa, dadas. Así pues al pasa de coodenadas catesianas a polaes, no basta con calcula θ tales que satisfagan las ecuaciones (). Ha que elegi θ de tal modo que el punto (, θ ) quede en el cuadante coecto 48

49 Una ecuación pola es una ecuación en θ. Una solución de una ecuación pola es un pa odenado (a,b) que lleva a una igualdad si se sustitue en la ecuación po a θ po b. La gáfica de una ecuación pola es el conjunto de todos los puntos ( en el plano θ ) que coesponden a soluciones de la ecuación. Ejecicio: taza la gáficas de las ecuaciones polaes a) 3 b) 4senθ c) + cosθ d) + cosθ e) + 4cosθ f) asenθ paa a > 0 Ejecicio: Enconta una ecuación en, que tenga la misma gáfica que la ecuación pola 4sen θ Ejecicio: Enconta una ecuación pola paa una ecta abitaia 49

50 Aeas longitudes en coodenadas polaes El áea de una egión acotada po gáficas de ecuaciones polaes se puede calcula usando límites de sumas de áeas de sectoes ciculaes. Sea R una egión en el plano θ acotada po las ectas que pasan po O con ecuaciones θ a θ b, donde 0 a<b π, po la gáfica de f(θ ), donde f es continua f(θ ) 0 en [a,b] θ b θ θ k f(θ ) θ θ k- θ k θ a 50

51 Sea P una patición de [a,b] deteminada po a θ0 < θ < θ <... < θ n b Y sea θ k θ k θ k-paa k,,...,n. Las ectas adiales con ecuaciones θ θ k dividen R en subegiones en foma de cuña. Si f(u k ) es el valo mínimo f(v k ) es el máimo de f en [θ k, θ k- ], entonces, como se ilusta en la figua, el áea A k de la k-ésima subegión tiene una valo intemedio ente la de los sectoes ciculaes inscito cicunscito, con ángulo cental θ k adios f(u k ) f(v k ) espectivamente. f(u k ) f(v k ) 5

52 Consideemos el siguiente teoema Si θ es el valo en adianes de una ángulo cental de una cicunfeencia de adio, entonces el áea A del secto cicula deteminado po θ es A θ Entonces, po el teoema anteio k k k k [ f(u )] θ A [ f(v )] θ k Sumando desde k hasta kn usando el hecho de que la suma de las A k es el áea A de R, se obtiene n k n [ f(u k )] θ k A [ f(v k )] θ k k 5

53 Cuando la noma IIPII de la subdivisión tiende a ceo, [ ()] los límites de las sumas tienden a la integal b f θ dθ a Teoema: Si f es continua f(θ) 0 en [a,b], donde 0 a<b π, entonces el áea A de la egión acotada po las gáficas de f(θ), θa θb es b A b [ f () θ ] dθ dθ a a La integal del teoema se puede intepeta como un límite de sumas escibiendo b n A [ f () θ ] dθ lim [ f(w k )] θ a k P 0 k Donde w k es cualquie númeo en el intevalo [θ k, θ k- ] de [a,b] 53

54 Ejecicio: Calcula el áea de la egión delimitada po el cadiode +cos θ Ejecicio: Calcula el áea enceada po uno de los cuato pétalos e la osa cos θ Ejecicio: Tace la cuva epesentada po cada ecuación calcule el áea enceada ) 3) 5) 5senθ 4cosθ 4 - senθ ) 4) 6) 4(- cosθ) senθ sen3θ 54

55 Teoema: Sean f g funciones continuas tales que f(θ) g(θ) 0 paa todo θ en [a,b], donde 0 a<b π. Sea R la egión acotada po las gáficas de f(θ), g(θ) θa θb. El áea A de R es A b a { [ f () θ ] [ g() θ ] }dθ Ejecicio: Calcula el áea de la egión dento de la cadiode +cos fuea del ciculo 3 Ejecicio: Calcula el áea de la egión dento del cículo 3sen θ fuea de la cadiode +senθ El hecho de que un solo punto tenga muchas epesentaciones en coodenadas polaes, en ocasiones dificulta halla todos los puntos de intesección de dos cuvas epesadas en ecuaciones polaes 55

56 Po ejemplo, el cículo la cadiode tienen tes puntos de intesección; peo al esolve las ecuaciones 3sen θ +senθ encontamos dos de esos puntos (3/, π/6) (3/, 5π/6). El oigen también es un punto de intesección; peo no lo pudimos detemina esolviendo las ecuaciones de las cuvas poque el oigen no posee una epesentación única, en coodenadas polaes, que satisfaga ambas ecuaciones. Obseve que cuando el oigen se epesenta en la foma (0,0) o (0, π), satisface 3sen θ po lo tanto, se encuenta en el cículo; cuando se epesenta con (0, 3π/), satisface +senθ de modo que se halla en la cadiode. Imaginemos dos puntos que se mueven a lo lago de las cuvas a medida que el valo del paámeto θ aumenta de 0 a π. En una cuva se alcanza el oigen cuando θ 0 θ π; en la ota, cuando θ 3 π/. Los puntos no chocan en el oigen poque llegan a él en ocasiones distintas, peo de todos modos las cuvas se intesectan. 56

57 Así, paa halla todos los puntos de intesección de dos cuvas, epesadas en ecuaciones polaes, se ecomienda taza las gáficas de las dos Ejecicio: Detemine todos los puntos de intesección de las cuvas cos θ / Ejecicio: Calcule el áea de la egión que está dento de la pimea cuva fuea de la segunda ) cosθ, 3/ ) senθ, 3) 4senθ, 4) 3cosθ, - cosθ 5) 3cosθ, + cosθ 6) + cosθ, 3cosθ 57

58 Longitud de aco Paa calcula la longitud de una cuva epesada en la ecuación pola f () θ, a θ b,consideamos que θ es un paámeto escibimos las ecuaciones paaméticas de la cuva en la foma cosθ f () θ cosθ senθ f ()senθ θ Al aplica la egla del poducto difeencia con especto a θ, d dθ d cosθ dθ senθ d dθ d senθ + dθ cosθ Así que usamos cos θ + sen θ, tenemos 58

59 59 θ θ θ θ θ θ θ θ cos cos sen sen d d d d d d d d + + cos cos d d sen d d sen d d θ θ θ θ θ θ θ Suponemos que f es continua, de tal manea que podemos escibi la longitud del aco como θ θ θ + b a d d d d d L

60 Po consiguiente, la longitud de una cuva cua ecuación pola es f(θ), a θ b es L b a + d d θ dθ Ejecicio: Halla la longitud de la espial e θ, desde θ 0 hasta θ π Ejecicio: Halla la longitud de la cadiode a( cosθ ) 60

61 6 Ejecicio: Calcule la longitud de las cuvas descitas po estas ecuaciones polaes θ π θ θ π θ θ π θ π θ π θ θ θ θ cos 0, 0, 0, 3 0, 4 3 0, 5cos + e θ π 0

62 Aplicaciones de la Integación Volúmenes 6

63 Volumen Tenemos una idea intuitiva de qué es el volumen, peo debemos pecisala aplicando el cálculo integal paa llega a una definición eacta. En paticula, si la base es un cículo con adio, el cilindo cicula tiene volumen Vπ h. Si la base es un ectángulo de longitud l anchua w, la caja ectangula de altua h tiene volumen V lwh l h w 63

64 Sea S cualquie sólido: La intesección de S con un plano es una egión plana denominada sección tansvesal de S. Supongamos que el áea de la sección tansvesal de S en un plano P, pependicula al eje que pasa po el punto es A(), donde a b. El áea A(), vaía al mismo tiempo que aumenta de a a b 64

65 Nos fijaemos en una patición P del intevalo [a,b] mediante puntos i, tal que a < < <... < n b 0 Los planos patián a S en ebanadas más pequeñas. Si * i elegimos los númeos dento de [ i-, i ];, podemos apoima a la i-ésima ebanada, S i mediante un cilindo cua base tiene el áea A( * i ) la altua i i i 65

66 El volumen de este cilindo es A( * i ) i, de modo que una apoimación a nuesto concepto intuitivo del volumen de la iésima ebanada, S i, es V ( S Al suma los volúmenes de estas ebanadas obtenemos una apoimación al volumen total. Esta apoimación paece cada vez mejo confome llpll 0 Definición del Volumen: Sea S un cuepo ente los planos P a P b. Si el áea tansvesal de S en el plano P es A(), donde A es una función integable, entonces el volumen de S es n b * V lim A( i ) i A( ) d P 0 i a () i ) A( ) V n i * i A( * i ) i i 66

67 Ejecicio: Demueste que el volumen de una esfea de adio es La esfea mencionada es un ejemplo de un sólido de evolución, poque se obtiene haciendo gia un ciculo en tono de uno de sus diámetos. En geneal, sea S el cuepo obtenido giando la egión plana R acotada po f(), 0, a, b, en tono al eje 67

68 En vista que S se obtiene po otación, una sección tansvesal que pasa po es pependicula al eje es un cilindo de adio lllf()l, de manea que, el áea tansvesal es: A() π π[f()] d De este modo, al emplea la fómula básica del volumen V : A ( ) d b a llegamos a la fómula del volumen de evolución (Método del disco): V b a π [ f ( ) ] d () 68

69 Ejecicio: Calcule el volumen del sólido que se obtiene giando la egión bajo la cuva sobe el eje, de 0 a. 69

70 Qué fómula debemos usa cuando el eje de otación es el eje? OBS:La fómula () sólo se aplica cuando el eje de otación es el eje. Si la egión limitada po las cuvas g(),0,c,d se ota sobe el eje, el volumen coespondiente de evolución es V d π c [ g( ) ] d 70

71 Ejecicio: Calcule el volumen del cuepo geneado giando la egión limitada po 3, 8, 0 sobe el eje Ejecicio: La egión R, acotada po las cuvas,, se gia alededo del eje. Calcule el volumen del cuepo esultante 7

72 En geneal, sea S el cuepo geneado cuando se ota la egión limitada po las cuvas f(), g(), a, b donde f() g() sobe el eje. Entonces el volumen de S es V d π c [ f ( ) ] [ g( ) ] d 7

73 Ejecicio: Calcule el volumen del cuepo obtenido giando la egión enceada po,, especto a la ecta Ejecicio: Calcule el volumen del cuepo obtenido giando la egión enceada po cos, 0, 0, π/ especto a la ecta - 73

74 Ejecicio: Calcule el volumen del cuepo obtenido al gia la egión limitada po las cuvas alededo del eje indicado. a) ln,, ; especto del eje b), 0, 5; especto del eje c) -, ( - 4) + ; especto a 7 d) cos, 0, 0, π / ; especto a e) cos, 0, 0, π / ;especto a - f) + 3 6, ( -) 4 - ;especto a -5 74

75 75 Método de los cascaones cilíndicos (anillos) Algunos poblemas de cálculo de volumen son mu difíciles de maneja con los métodos de la sección anteio. Eiste oto método, llamado método de los cascaones cilíndicos, que es más fácil de aplica en estos casos La figua muesta un cascaón cilíndico con adio, adio eteio altua h. Calculamos su volumen V ( del cilindo inteio), del volumen V ( del cilindo eteio) ) ( ) )( ( ) ( h h h h h V V V + + π π π π π

76 76 ) ( ) )( ( ) ( h h h h h V V V + + π π π π π Sean (el espeso de la paed del cascaón) ( el adio pomedio del cascaón); entonces, esta fómula paa calcula el volumen de un cascaón cilíndico se tansfoma en π h h V

77 La fómula anteio se puede ecoda como V (peímeto del cículo) ( altua) ( espeso) Ahoa, sea S el cuepo obtenido haciendo gia, en tono del eje, la egión acotada po f(), 0, a b donde b>a 0. Sea P una patición de [a,b] mediante puntos, i, con a 0 < < <... <... n b sea el punto medio de [ i-, i ]; esto es * i * i ( i + i ) 77

78 Si se gia el ectángulo con base [ i-, i ] altua en tono del eje, el esultado es un cascaón cilíndico * con adio pomedio, altua espeso i f ( * i ) i i con volumen f ( * i ) i V π f( ) * * i i i i Así pues, una apoimación al volumen V de S está epesada po la suma de los volúmenes de esos cascaones: V n i i n V i π * i f ( * i ) i 78

79 Según la definición de una integal, sabemos que el volumen del cuepo analizado es V b π f ( ) d donde 0 a < a b Ejecicio: Aplique el método de los cascaones cilíndicos paa calcula el volumen geneado al gia la egión acotada po las cuvas dadas en tono al eje. a) b) c) /,,, 0, 0,,, 0 d) 6 + 0, e) sen( ), 0, 0, π 79

80 En geneal si f() g() 0 a<b, el volumen del cuepo geneado al gia en tono del eje la egión limitada po las cuvas f(), g() de a a b es V b a [ f ( ) g ( )] π d El método de cascaones cilíndicos también nos pemite calcula volúmenes de evolución en tono del eje. V d c π g ( ) d 80

81 Ejecicio: Considee cascaones cilíndicos paa calcula el volumen del cuepo geneado al gia la egión bajo la cuva en tono del eje, de 0 a Ejecicio: Calcule el volumen del cuepo geneado al hace gia la egión limitada po -, o, en tono de la ecta 8

82 Ejecicio: Detemine una integal paa calcula el volumen del cuepo geneado al gia la egión limitada po las cuvas dadas en tono del eje especificado a) sen, 0, π, 3; en tono del eje b) /(+ ), 0, 0, 3; en tono del eje c) cos, 0, 0, π / 4; en tono del eje d) + 7 0, ; en tono del eje e) 4, sen( π / ) ;en tono de - f) 4, 8 ;en tono de 5 8

83 Ejecicio: Cada una de la integales siguientes epesenta al volumen de un cuepo; descíbelo. a) π / 0 π cos d b) 9 0 π 3/ d c) 0 π ( 3 ) 4 d d) π (4 - )sen d π 0 Ejecicio: Emplea una gáfica paa estima las abscisas de los puntos de intesección de las cuvas dadas. A continuación, con los esultados obtenidos estima el volumen del cuepo geneado al gia la egión enceada po esas cuvas alededo del eje a ) 0, + b), 3 83

84 Integales Impopias 84

85 Cuando descibimos la integal definida, b f ( ) d a consideamos una función f definida en un intevalo finito, [a,b] obsevamos que si eiste la integal, entonces f es una función acotada. En esta sección ampliaemos el concepto de integal definida paa abaca los casos: a) El intevalo es infinito b) f no está acotada. En estas cicunstancias, la integal se llama integal impopia 85

86 Definición de una integal impopia de tipo Intevalos infinitos t a f ( ) d a) Si eiste paa todo númeo t a, entonces t f ( ) d lim f ( ) d a t siempe que eista este límite sea un númeo finito. a b) Si eiste f ( ) d paa todo númeo t b, entonces b t b b f ( ) d lim f ( ) d t siempe que eista este límite sea un númeo finito. t 86

87 Las integales impopias de a) b) se llaman convegentes si eiste tal límite divegentes si no eiste. Ejecicio: Detemine si las siguientes integales son convegentes o divegentes d 0 e d / e 87

88 a a f ( ) d f ( ) d C) Si son convegentes, entonces, po definición a f ( ) d f ( ) d + f ( ) d a Ejecicio: Calcula + d + e d e d Cómo se puede intepeta una integal impopia? 88

89 Cualquiea de las integales impopias definidas anteiomente, se pueden intepeta como un áea, siempe que f sea una función positiva. Ejemplo: Consideemos la egión infinita, S, que está bajo la cuva sobe el eje a la deecha de / Consideemos la zona achuada / A( t) t d t t t d lim d lim t t t t 89

90 Ejecicios: Detemine si las siguientes integales son convegentes o divegentes + 3 d ( 3) d 0 e sen d e d ln d e ( ln ) d + d e d 90

91 Ejecicio: Demueste que la integal d p es convegente si p>, divegente si p Ejecicio: Detemine los valoes de p paa los cuales la integal convege e ( ) ln p d 9

92 Definición de una integal impopia de tipo Integandos discontinuos a) Si f es continua en [a,b) discontinua en b, ( ) d lim t b si este límite es un númeo finito. b a f f ( ) d t a b) Si f es continua en (a,b] discontinua en a, ( ) d lim + t a si este límite es un númeo finito. b a f f ( ) d t b 9

93 Las integales impopias de a) b) se llaman convegentes si eiste tal límite divegentes si no eiste. Ejecicio: Detemine si las siguientes integales son convegentes o divegentes d 0 ln d π / sec d d 93

94 C) Si f tiene una discontinuidad en c, a<c<b, si son convegentes tanto f ) d como po definición b ( ) d f ( ) d + a c a b ( c c a f f ( ) d c b f ( ) d Ejecicio: Detemine si las siguientes integales convegen o divegen d 3 4 d 94

95 Ejecicio: Detemine si las siguientes integales son convegentes o divegentes d 0 3 d 3 0 ln d 0 ln d π / 4 0 cos sen d d 95

96 Una integal impopia puede tene una discontinuidad en el integando también un límite de integación infinito. Estas integales se pueden estudia epesándolas como sumas de integales impopias, cada una de las cuales tiene una de las fomas definidas anteiomente. Po ejemplo, como el integando de es discontinuo en 0, eligiendo algún númeo mao que 0, po ejemplo, puede escibise 0 d 0 d + 0 d d Es posible demosta que la integal es convegente la integal d es divegente. Po tanto la integal dada es divegente 0 d 96

97 Ejecicio: Detemine si la integal convege o divege ( + 0 ) d Ejecicio: Calcule el valo de C paa el cual convege la integal C d Ejecicio: Calcule los valoes de p paa los cuales la integal convege 0 p ln d 97

98 Pueba de compaación paa integales impopias Si fuea mu complejo calcula el valo de la integal impopia Cómo podemos detemina si la integal convege o divege? Teoema de compaación: Sean f g funciones continuas f() g() 0 cuando a a a) Si f ( ) d es convegente, entonces es convegente. g ( ) d a g ( ) d a a) Si es divegente, entonces es divegente. a f ( ) d OBS: Eiste un teoema simila paa las integales de tipo 98

99 e d 0 Ejecicio: Demuesta que es convegente Ejecicio: Demuesta que d es divegente + e Ejecicio: Aplique el teoema de compaación paa detemina si las integales son convegentes o divegentes sen d + d + e d 3 + d π / sen d 0 e d 99