( x) (0) ( y) (0) x x. a b a b. r r. a+ b a + b. a a. lim. x y x. LIMITES Y CONTINUIDAD Ing. Luis Di Stefano Página 1 de 9
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- María Rosa Carmona Soriano
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1 LIMITES Y CONTINUIDAD Ing. Luis Di Stefano Página de 9 Acotaciones usuales en el cálculo de límites: sen( ) cos( ) Popiedades: X X o X X o X X X + Y X + Y X oy X o Y i i i i a 0 si a 0 a a a b b a a a a a ab. a b a a b b a b a + b a b a b a+ b a + b a b a b si a > 0 b > 0 a+ b tenemos : a. b. Calcula el siguiente Limite: (, ) (0,0) Iteados ( ) (0)( ) (0) ( ) (0) ( ) (0) ( ) (0) ( ) (0) Limites dieccionales: ecta m ( m) ( m) ( ) ( ) m m f ( m) m + m (, ) (0, m) ( ) (0) ( ) (0) El límite no eiste, depende del valo de m. Es deci, según la ecta po la que nos apoimemos al punto (0,0) tendíamos distintos valoes paa el ite ( L ), po ejemplo si m nos estaíamos moviendo po la ecta, el ite seia, L - /3, ahoa si el valo de m 3 nos estaíamos moviendo po la ecta 3, el ite seia, L - 8/9, al habe encontado dos caminos que conducen a ites difeentes en la esfea abieta con cento en (0,0), podemos afima que el ite no eiste.
2 LIMITES Y CONTINUIDAD Ing. Luis Di Stefano Página de 9. Compoba que : Iteados (, ) (0,0) ( ) (0)( ) (0) ( ) (0) ( ) (0)( ) (0) ( ) (0) 5 + (0) (0) 0 Limites dieccionales: Recta m 5 5 m 5m 0 (, ) (0, m) ( ) (0) (0) + + ( m) + m Paábola a (, ) (0, ) (0) (0) 5 5 a 5a ( a ) + a a Eiste la posibilidad que el valo del límite sea ceo. Veificamos utilizando la definición: f( X) L < ε 0< X X0 < δ < ε 0 < (, ) (0,0) < δ Sabemos que: 5 + < ε 0 < + < δ < + + Po lo tanto: 5 < 5 + < 5δ + Hemos encontado un valo de δ > 0 paa ε > 0 po lo tanto ε 5δ δ ε 5 el límite es coecto. 3. Compoba aplicando la definición que el siguiente ite es coecto: (, ) (0,0) + sen 0 Debemos poba que: f( X) L < ε 0< X X0 < δ
3 LIMITES Y CONTINUIDAD Ing. Luis Di Stefano Página 3 de 9 + sen 0 < ε 0 < (, ) (0,0) < δ + sen < ε 0 < + < δ ( + ) ( + ) sen sen Po lo tanto Concluimos que: Sabemos que: + sen + + < δ ε δ δ ε sen Acotado Hemos encontado un valo de δ > 0 paa ε > 0 el límite es coecto. 4. Compoba aplicando la definición que el siguiente ite es coecto: (, ) (0,0) 4 ( f( X) L < ε 0< X X < δ 0 4 ( < ε 0< + < δ 4 ( ( Sabemos que: < + Po lo tanto: Po lo tanto ε 4δ δ ε 4 Hemos encontado un valo de δ > 0 paa ε > 0 el límite es coecto.
4 LIMITES Y CONTINUIDAD Ing. Luis Di Stefano Página 4 de 9 5. Compoba aplicando la definición que el siguiente ite es coecto: (+ 3 ) (, ) (,3) f( X) L < ε 0< X X < δ < ε 0< + 3 < δ + 3 ( + 3( 3) ( + 3( 3) ( + 3 ( 3) Tenemos que: ( < ( + ( 3 ) ( 3) < ( + ( 3) Po lo tanto: ( + 3( 3) < < 5X Lo que implica ε 5δ δ ε 5 Hemos encontado un valo de δ > 0 paa ε > 0 el límite es coecto 6. Compoba que el siguiente ite es coecto: (, ) (0,0) Iteados + 0 ( ) (0)( ) (0) + ( ) (0) + 0 ( ) (0)( ) (0) + ( ) (0) Limites dieccionales: Recta m + + m 0 + m + (, ) (0, m) ( ) (0) Paábola a (, ) (0, ) (0) a a + a
5 LIMITES Y CONTINUIDAD Ing. Luis Di Stefano Página 5 de 9 Eiste la posibilidad que el valo del límite sea ceo. Veificamos utilizando la definición: f( X) L < ε 0< X X0 < δ < ε 0 < (, ) (0,0) < δ + + < ε 0 < + < δ Sabemos que: + < δ Po lo tanto debemos acota + < X < X < X X < δ Paa estos casos escogemos un valo de 0< δ abitaio, po ejemplo / < δ < < < Sumamos a cada miembo de la desigualdad: + < + < + 3 < + < 5 + < 3 Acotado Po lo tanto: + δ 4δ 3 < ε δ ε + ( 3 ) Hemos encontado un valo de δ > 0 paa ε > 0 3 δ min, ε 4 el límite es coecto. Limites Popuestos: a. Demosta ( utilizando definición, iteados, taectoias) que: (, ) (0,0) (, ) (0,0) b. Demosta ( utilizando definición) que: 0 + (, ) (0,0) (3 + ) 5 (, ) (,)
6 LIMITES Y CONTINUIDAD Ing. Luis Di Stefano Página 6 de 9 Los límites de funciones de vaias vaiables tienen las mismas popiedades con especto a las sumas, difeencias, poductos cocientes, que las funciones de una sola vaiable, como se muesta en el siguiente ejemplo. Calcule los siguientes límites. (, ) (, (, ) (4,4) Solución. Paa este límite, factoizamos el denominado; (, ) (, 3 3 (, ) (, (, ) (,. Paa este límite acionalizamos el denominado; ( ) (, ) (4,4) (, ) (4,4) (, ) (4,4) ( ) Eisten algunas técnicas que a veces esultan útiles en el cálculo de límites. El siguiente ejemplo ilusta el uso de coodenadas polaes en el cálculo de un límite. Ejemplo Use coodenadas polaes paa compoba que 0 + (, ) (0,0) Solución Sean (, θ ) las coodenadas polaes del punto (, ). Entonces, como (, ) ( sen. θ,.cos θ ) ( sen )( ) ( sen. θ) (.cosθ). θ.cos θ. senθ cosθ (, ) (0,0) sen. θ cosθ Pues, senθ.cosθ paa cualquie valo de θ
7 LIMITES Y CONTINUIDAD Ing. Luis Di Stefano Página 7 de 9 CONTINUIDAD: 7. Estudia la continuidad de f en el punto (0,0) + ( + + f(, ) si (, ) (0,0) + si (, ) (0,0) a. f( 0, 0) Eiste la función evaluada en (0,0). b. Calculemos el ite (, ) (0,0) + ( Iteados ( + )( ( + )( ( ) (0)( ) (0) ( ) (0) ( ) (0)( ) (0) ( ) (0) Limites dieccionales: Recta m ( + )( + + (, ) (0, m) ( ) (0) Paábola ( + m )( + m m a 4 ( + )( + + ( + a )( + a a (, ) (0, a) ( ) (0) Eiste la posibilidad que el valo del límite sea ceo. Veificamos utilizando la definición: f( X) L < ε 0< X X0 < δ + ( < ε 0 < (, ) (0,0) < δ + + ( < ε 0 < + < δ + (
8 LIMITES Y CONTINUIDAD Ing. Luis Di Stefano Página 8 de 9 Debemos acota tanto el numeado como el denominado. Sabemos: < X < δ < X < δ Escogemos un valo de 0< δ abitaio, po ejemplo /4 : < X < < X < < X < < X < ( ) ( ) ( ) ( ) + < + + < 4 4 < + < Sumamos : 3 + < + + < < Acotado: Po ota pate: + < + + < X + < X < δ < + δ δ 3δ < ε + δ 4 Hemos encontado un valo de δ > 0 paa ε > 0 c. Veificamos si: f(, ) 0 0 (, ) (0,0) + ( el límite es coecto Falso Po lo tanto la función pesenta una discontinuidad de tipo evitable. En (0,0). La etensión continua de la función seá: + ( + + f (, ) si (, ) (0,0) + 0 si (, ) (0,0) 8. Estudia la continuidad de f en : R si > f(, ) + e si a. La función es continua en : R {(, ) / } b. Falta eamina en los puntos de la ecta es deci: (, ) Paa el cálculo del límite debemos distingui dos egiones a a a R > la egión
9 LIMITES Y CONTINUIDAD Ing. Luis Di Stefano Página 9 de 9 > : : a a e e e (, ) ( a, a) + ( ) ( a) a ( ) ( a) a a (, ) ( a, a) ( L HOPITAL) Po lo tanto el límite eiste vale a, es deci la función es continua en los puntos Nota: Todos los ejecicios esueltos están sujetos a cualquie evisión ectificación
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