Tema 8. FUNCIONES DE DOS VARIABLES. se presentan con notable frecuencia, así una función de producción q = f ( l,

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1 1 Tema 8 FUNCIONES DE DOS VARIABLES Intoducción Las unciones de dos vaiables z = se pesentan con notable ecuenci así una unción de poducción q = ( l, k), el volumen de poducto obtenido q, depende de los inputs tabajo l capital k; la demanda de ceveza en el Reino Unido, d = (, p), es unción de la enta del pecio p; la utilidad obtenida al consumi dos bienes, es u = U Así, la unción : D R R, tal que = z se llama unción o campo escala de dos vaiables D es el dominio de deinición está constituido po los puntos (, de R paa los que eiste imagen z + 9 Po ejemplo, en la unción ( = = z, su dominio es el conjunto de puntos: D = {(,, 0 / + 3 }; o sea los puntos uea del cículo de cento (0, 0) adio 3 ecluidos aquéllos puntos que estén en el eje de odenadas Cuvas de nivel La epesentación gáica de los campos z = eige el uso de sistemas de tes dimensiones, lo que equiee abilidad cieto dominio espacial Paa acilitalo se puede elimina una dimensión epesenta en el plano las llamadas cuvas de nivel de la unción, lo que nos puede da una idea de su supeicie, como en Topogaía las cuvas de nivel de una montaña nos sugiee su om zonas de pendiente acusad etc En Economí las cuvas de nivel de una unción de poducción ( l, k) = c son las llamadas isocuantas, de una unción de utilidad U = c las cuvas de indieencia Entonces, se deine la cuva de nivel k de como el conjunto {(, R k} C = ) = Dieentes niveles k nos daían distintas cuvas en el plano, esultantes de cota la supeicie z = po un plano oizontal z = k Ejemplo: Las cuvas de nivel k del campo ( = + (supeicie gáica de la izquieda; que se a cotado po los planos z =, z = 4 z = 6) son las cicuneencias concénticas de cento el oigen adio k (En este caso, los adios son, 4 = 6 ) La intesección de una supeicie con un plano (paalelo a los ejes catesianos) se llama taza de la supeicie en el plano Las cuvas de nivel son las poecciones sobe el plano XY de las tazas de Raael Cuada L, José Mª Matínez M

2 Algo sobe cónicas Las cuvas de nivel que pueden estudiase más ácilmente son clásicas cónicas: cicuneenci elipse, ipébola paábola Sus ecuaciones más simples, las que tienen ejes de simetía paalelos a los ejes de coodenadas, son las siguientes: Ecuación de la cicuneencia con cento en C( adio : ( a) + ( = ( a) + ( = Ejemplos: a) La ecuación de la cicuneencia con cento en el oigen adio 3 es: + = 9 La ecuación de la cicuneencia con cento en C(, 1) = 4 es: ( + ) + ( 1) = 4 Ecuación educida de la elipse: + = 1 b a Ejemplo: La elipse centada en oigen de semiejes a = 5 b = 3 es: + = La ecuación de la elipse centada en el punto P( 0, 0 ) es: ( ) ( 0) 0 + = 1, a > b a b Ecuación educida de la ipébola (centada en (0, 0); semiejes: eal, a; imaginaio, : = 1 b a Ejemplo: La ecuación = 1 es la de la ipébola de 16 9 semiejes a = 4 b = 3 b Asíntotas de una ipébola: sus ecuaciones son = ± a Hipébola equilátea Tiene los semiejes eal e imaginaios iguales, a = b Su ecuación es de la oma = 1 = a a a Hipébola equilátea eeida a sus asíntotas Su ecuación es = k Ecuación de la paábola de eje vetical el eje OY vétice el oigen: = p Si el vétice está en el punto V( 0, 0 ) eje paalelo al eje OY, su ecuación es: ( 0 ) = p( 0 ) Esta ecuación se tansoma en la conocida = a + b + c Raael Cuada L, José Mª Matínez M

3 3 Límites Se dice que el límite de en el punto ( es el númeo l, se escibe lim = l si cuando el punto (, se apoima al (, sus imágenes,, se apoiman a l Fomalmente, lim = l Dado un valo ε > 0, eiste δ > 0 tal que si la distancia de (, al punto (, ( a) + ( < δ, entonces la distancia l < ε Obsevación En el caso de una vaiable, la eistencia del límite eigía que los límites lateales, po la izquieda po la deec uean coincidentes Paa dos vaiables, (, puede apoimase a ( en cualquie diección ecta o cuva Si el valo de lim no es el mismo paa todas las taectoias de apoimación a (, entonces el límite no eiste (Con esto se quiee pone de maniiesto que el cálculo de límites esulta consideablemente más complejo que en una vaiable) 5 Ejemplo: Calculo de un límite aplicando la deinición: lim = 0 0,0) + 5 Que el límite de = en (0, 0) es 0, no es evidente peo: + 5 l = 0 = < ε, + + siempe que cojamos δ = ε/5 pues Po tanto, si + mide la distancia del punto (, al (0, 0) < δ l = 0 < ε lim = 0 + 0,0) + El cálculo páctico de límites, como pasaba paa una vaiable, pesenta diicultades cuando la unción no está deinida /o cuando al sustitui esulta una oma indeteminada En los demás casos, el valo del límite suele coincidi con el valo de deinición de la unción Continuidad Una unción es continua en el punto ( si lim = ( Esto implica que pequeños desplazamientos desde el punto ( oiginan pequeñas dieencias al valo de en el punto ( La maoía de las unciones son continuas en la casi totalidad de los puntos de sus dominios, po lo que es usual calcula el límite de un campo en el punto ( sustituendo las coodenadas de ese punto en la epesión de la unción Este poceso allaá si apaecen 0 indeteminaciones como,,, etc 0 Obsevación: Un campo puede se continuo con especto a cada vaiable independiente, sin embago, no se continuo globalmente Raael Cuada L, José Mª Matínez M

4 4 Límites iteados Sea, al límite lim lim se le llama límite iteado a b lim lim Igualmente se puede estudia el límite ( ) Paa que eista el límite lim b a es necesaio que los límites iteados sean iguales, peo no es suiciente (Estas son dos de las posibles taectoias en las que se puede calcula el límite) Ejemplos:, + 0 a) La unción = + no tiene límite en el punto (0, 0), pues: 0 + = 0 lim lim ( 1) = 1 lim lim ( 1) = Como no coinciden la unción no tiene límite en el punto (0, 0) La misma unción tiene límite en cualquie punto (, tal que + 0 Po ejemplo, en el ( 1) punto (, 1), vale: lim = = 3 (, ) (, 1) Los límites iteados toman el mismo valo: lim lim = La unción = tiene límite cuando (, ( vale lim = a Los límites iteados valen: = ( ) = a ( lim lim lim lim ( lim ) ( a) = a a b a b a b Límites dieccionales Sea = g() una cuva continua que pasa po ( Se deine límite de a lo lago de g () (a lo lago de la cuva; o según la diección dada po = g() ) cuando (, tiende a lim, g( ) (, a ( ) a En paticula, suelen estudiase límites a lo lago de ectas; paa el caso (, (0, 0) es nomal toma = m Una condición necesai peo no suiciente, paa que eista lim es que los límites dieccionales (cualquiea que sea la diección, ecta o cuva) sean iguales Ejemplo:, + 0 La unción = + no tiene límite en el punto (0, 0), pues el límite 0 + = 0 1 según la diección = m vale: lim m) = + m 1 +, como este esultado 0 0 m depende del valo de tome m, está clao que no puede coincidi en diecciones distintas También bastaía con obseva que paa m = 1, no eiste el límite dieccional Nota Estos conceptos pueden ampliase consultando Cálculo Geometía Analítica de Lason Hostetle, p 855 ss Ed McGaw Hill Raael Cuada L, José Mª Matínez M

5 5 Deivada dieccional En un punto ( b, ( ) de una supeicie z =, se epeimentaán distintos cambios según cuál sea la diección en la que se inicie un desplazamiento Si la diección la deteminamos mediante un vecto unitaio u = ( u 1, u ), podemos deini la deivada (cambio instantáneo) de en el punto (, según la diección de u, como, (( + ( u1, u)) ( ( a + u1, b + u ) ( lim = ' u ( = '((, u) Po ejemplo, la deivada de, = + ( en (0, 0) según la diección de u = ( ) (0 + u1,0 + u) (0, 0) u1 + u lim lim u Como se ve, la deivada depende de las coodenadas del vecto u + u = ( 1 ) = u u 1, u Deivadas paciales Si deivamos z = en las diecciones de los vectoes canónicos: i = (1, 0), j = (0, 1), se obtienen las llamadas deivadas paciales: (( + (1, 0)) ( ( a +, ( lim = ( = (( + (0,1)) ( ( b + ) ( lim = ( = Notación: Las deivadas paciales suelen denotase así: z z = = = z ; (, = = = z Ejemplo: Las deivadas paciales de (1 +, ) (1,) (1, ) + = + en el punto (1, ) valen: (1 + ) + (1 + ) + (1 + ) 9 es: + 10 = 10 (1,) (1, + ) (1, ) 1 ( + ) ( + ) = 6 En la páctic las deivadas paciales se calculan utilizando las eglas de deivación conocidas Paa calcula se deiva especto a, manteniendo constante la vaiable Paa calcula se deiva especto a, manteniendo constante la vaiable Ejemplos: a) Paa la unción anteio se tendá: = + + = + + (1, ) = = 10 + = + + = ( 1, ) = = 6 Si = 3 +, se tiene: = 6 + (se ace constante); = + (se ace constante) Raael Cuada L, José Mª Matínez M

6 6 Intepetación geomética: La deivada dieccional ' u ( es apoimadamente igual a la vaiación de z = ) que esulta al desplazase, desde el punto (, una unidad en la diección del vecto u La deivada pacial ' es apoimadamente igual a la vaiación de z = que esulta al aumenta en una unidad manteniendo constante Esto es: ' ( + 1, La deivada pacial ' es apoimadamente igual a la vaiación de z = que esulta al aumenta en una unidad manteniendo constante Esto es: ' + 1) En cada caso, los valoes de esas deivadas coinciden con la pendiente de las ectas tangentes a la supeicie en el punto ( b, ( ), como se epesenta en la igua Obsevación: La eistencia de las deivadas paciales implica continuidad con especto a cada vaiable, peo esto no asegua la continuidad conjunta (Ve obsevación anteio) Deivadas paciales de segundo oden Cada deivada pacial se podía deiva, a su vez, especto a cada vaiable, obteniéndose las deivadas paciales de segundo oden, siendo éstas: = ; = ; (, ) = ; = Notaciones altenativas son: // o z ; análogamente paa las demás Ejemplos Paa los casos anteioes: a) = + + = + + = ; = + = = = + ; = = 3 + = 6 + = 6 ; = 1 4 = 3 + = + = 1; = 3 Se ve que las deivadas paciales cuzadas,, son iguales Esto no es aza, pues el teoema de Scwatz asegua que esto sucedeá siempe que esas deivadas sean continuas Si disponemos las deivadas segundas en una matiz, se obtiene la matiz Hessiana: // // H =, cuo papel en la optimización de unciones de dos vaiables es vital // // Raael Cuada L, José Mª Matínez M

7 7 Regla de la cadena Sea z = un campo con deivadas paciales continuas sean = g 1 ( e = g ( unciones deivables, entonces z ( = ( g1(, g ( ) es una unción de t Podemos alla la deivada total z ( de la siguiente oma: Un incemento de una unidad ininitesimal de t oigina un cambio de g 1 ( g ( en e espectivamente Como un incemento de una unidad ininitesimal de o povoca un incemento de, en z, aquel incemento unitaio de t oigina un cambio total de z: z ( = g 1( + (, g ( g '( 1 La epesión anteio puede escibise así: z ( = ( (, )) g '( El vecto (, (, ) Esto es: = (, ) Po tanto, se llama vecto gadiente suele denotase po g1'( z ( = g '( Ota oma de aplica la egla de la cadena: Si z =, = g 1 ( e = g ( Esto es: z ( = ( g1(, g ( ), entonces: dz d d d d d d d = + (, O bien: = + dt dt dt dt d dt d dt Ejemplo: Sea 3 z = = sean = t e = 4t, entonces: z ( = ( t + ( 6 + 5) ( 4) ( = ( 1t 0 4t + ( 96t + 10t ) ( 4) z + 3 ( = 48t 64t De ota oma Si se sustitue antes 3 tiene: z( = 3 (t ) ( 4 + 5(t )( 4 Si se deiva ao se tiene: z + z 3 = t e = 4t en z = = se 3 ( = 48t 64t z ( + t 4 3 = 1t 88 Deivada dieccional (cálculo) Si se quiee alla la deivada de en el punto ( según la diección del vecto unitaio u = ( u 1, u ), esto es '((, u), puede constuise la unción de la vaiable t: g ( = ( a + tu1, b + tu ) Deivándola po la egla de la caden esulta: g ( = ( a + tu1, b + tu ) u1 + ( a + tu1, b + tu ) u Haciendo t = 0: g ( 0) = ( u1 + ( u = ( ( u 1, u) En deinitiva: ((, u) = ( ( u 1, u ) (1) Obsevación: Puede vese que la diección, la ecta que pasa po el punto ( según la diección del vecto u = ( u 1, u ), = a + tu1 viene deteminada po las ecuaciones : = b + tu Esto justiica el cambio de vaiable eco El vecto u = ( u 1, u ) debe se unitaio Si no lo uese, abía que nomalizalo Raael Cuada L, José Mª Matínez M

8 8 Ejemplo: Paa = +, su deivada en el punto (1, ) según la diección del vecto u = ( 3, 4), es: ((1, ), u) = (1, ), = (, ), = + = El vecto, es el unitaio en la diección ( sentido) de u = ( 3, 4) 5 5 =, ( 1, ) =, ( ) ( ) Popiedades del gadiente Como se dijo anteiomente, la deivada dieccional ' u ( es apoimadamente igual a la vaiación de z = que esulta al desplazase, desde el punto (, una unidad en la diección del vecto u Pues bien, se cumple que: a) La diección del gadiente es aquélla en la que la unción sue una vaiación máima En eecto, según (1), la deivada dieccional de es un poducto escala de dos vectoes Entonces: ((,, u) = ( u 1, u ) =, ) ( u 1, u ) cosα ( Este valo seá máimo cuando cos α sea 1, cosa que ocue si α = 0º; es deci, cuando el vecto gadiente el vecto u = ( u 1, u ) tengan al misma diección sentido (Análogamente, el valo de la deivada dieccional seá mínimo cuando el vecto gadiente u tengan al misma diección sentido opuesto) Po tanto, el cecimiento máimo (o mínimo) de se poduce cuando el desplazamiento se ealiza en la diección del gadiente es la componente de ( a lo lago del vecto unitaio u ((, u) El gadiente es pependicula a la cuva de nivel de que pasa po el punto ( En eecto, si nos movemos en la diección de la cuva de nivel, la vaiación de es nula: en la cuva de nivel c, la unción es constante: = c Peo, ((,, u) = 0 cos α = 0, que sucede cuando α = 90º: cuando u son pependiculaes Ejemplo: Los íos siguen, en cada punto de su ecoido, la diección de máima pendiente, es deci, de mao dececimiento de unción altua Se mueven siempe pependiculamente a las cuvas de nivel Raael Cuada L, José Mª Matínez M