TEORIA DE CAMPOS ESCALARES Y CAMPOS VECTORIALES MIGUEL ANGEL PASCUAL IGLESIAS

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1 TEORIA DE CAMPOS ESCALARES Y CAMPOS VECTORIALES MIGUEL ANGEL PASCUAL IGLESIAS

2 TEORIA DE CAMPOS ESCALARES Y CAMPOS VECTORIALES GUIÓN DEL TEMA 1. Campos Escalaes Vectoiales.. Supeficies de nivel de un campo escala. Linea de Campo de un campo Vectoial. 3. Gadiente de un campo escala. El opeado Nabla o Hamiltoniano. 4. Ciculación de un vecto. Campos Consevativos. 5. Repesentación vectoial de una supeficie. 6. Flujo a tavés de una supeficie. 7. Divegencia de un campo vectoial. Teoema de Gauss. Campos Solenoidales. 8. Rotacional de un campo vectoial. Teoema de Stokes. Campos Iotacionales. 9. El opeado Laplaciana. Laplaciana de un Escala Laplaciana de un campo Vectoial. Conocimientos pevios 1. Magnitudes escalaes vectoiales. Magnitudes físicas fundamentales deivadas. Sistema intenacional de unidades. Homogeneidad de las ecuaciones físicas. 3. Álgeba vectoial (definición geomética de vecto, vectoes equipolentes, clasificación de vectoes, componentes de un vecto, vesoes, componentes catesianas, módulo, cosenos diectoes, suma difeencia, poducto de un escala po un vecto, poducto escala de dos vectoes, poducto vectoial, deivada de un vecto, momento pola). 4. Sistemas de coodenadas: catesianas polaes. El alumno los puede epasa en cualquiea de los libos de teto de Física que haa utiliado anteiomente. BIBLIOGRAFÍA UTILIZADA 1. Richmond B. McQuistan, Campos escalaes vectoiales, Ed. Limusa, Mua R. Spiegel, Análisis vectoial, Ed McGaw Hill, P. Puig Adam, Cálculo integal, Biblioteca Matemática S.L., Luis Bu Villaseca, Mecánica Física, Ed. Nuevas Gáficas, MAPI 009. TEORIA DE CAMPOS

3 1. CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES Se puede establece una coespondencia ente los puntos de un espacio físico las medidas de las magnitudes físicas que en ellos tienen eistencia. Mediante esta coespondencia se pueden defini en dichos puntos funciones escalaes o vectoiales. Al conjunto de valoes de estas funciones se le suele conoce con el nombe de Campo Escala o Campo Vectoial. Si los campos son independientes del tiempo se llaman Campos Estacionaios, si la magnitud vectoial o escala es la misma en todos los puntos Campos Unifomes. Un campo seá Estacionaio no Unifome, si no cambia su valo en el tiempo, peo es distinto en cada punto del espacio en que eista, po ejemplo el campo de velocidades de las patículas de un fluido, en un canal en égimen egula. Igualmente un Campo puede se Unifome no estacionaio o bien Unifome estacionaio. Caacteísticas de los Campos Escalaes Vectoiales a) Univaluados. El valo de la magnitud escala o vectoial asignada a cada punto es única. b) Acotados. Eiste un númeo tal que la magnitud del campo es meno. c) Contínuos. Los valoes del Campo en un punto son independientes de la diección po la que nos acequemos coincide con el valo del campo en el punto. d) Lineales. Los vectoes que constituen un campo de dimensión n, se pueden epesa como combinación lineal de n vectoes. e) Difeenciables.. SUPERFICIES DE NIVEL DE UN CAMPO ESCALAR. LINEAS DE CAMPO DE UN CAMPO VECTORIAL Supeficie de nivel de un campo escala Es el luga geomético de los puntos a los cuales coesponde un mismo valo del escala en un instante dado. Si el campo viene dado po a (,,,t), la supeficie de nivel vendá dada po a (,,,t) = C. Paa cada valo de C, tendemos una supeficie de nivel, po tanto conociendo el valo del campo en un punto, conocemos el valo del paámeto de la supeficie de nivel que pasa po ese punto. Líneas de campo (campo vectoial) Son líneas tal que en cada uno de sus puntos el campo vectoial es tangente a ellas. Dos líneas de campo no se pueden cota (univaluado). F Linea de fuea F MAPI 009. TEORIA DE CAMPOS 3

4 3. GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR. EL OPERADOR NABLA O HAMILTONIANO Gadiente de un campo escala a (,,,t) Calculemos la elación eistente ente el valo del campo en un punto el valo en oto mu póimo, en una diección deteminada en un instante dado. u u u 1 Δ + Δ Sea a(,,), una campo escala de valo pefectamente deteminado en cada punto del espacio po tanto en los puntos 1 de la figua, mu póimos ente si situados especto al sistema de efeencia po los vectoes de posición + Δ. La vaiación del campo escala a (,,), se puede a a a epesa como Δ a = Δ + Δ + Δ En el límite cuando Δ, Δ, Δ tienden a ceo se debe pone : a a a da = d + d + d La epesión anteio, puede vese como el esultado de ealia el poducto escala de dos magnitudes de caácte vectoial (vectoes), como son: a a a u = gad a que vamos a denomina gadiente de a el vecto desplaamiento dl = d u +d u + d u, po tanto se puede epesa como da = gad a dl El Gadiente es un opeado de caacte vectoial, que epesentamos po gad o po el simbolo llamado nabla cuas componentes son: gad = = u La aplicación de nabla a un campo escala o el calculo del gadiente de un Campo Escala supone obtene un vecto, cuas componentes son las deivadas del Campo Escala especto a,, espectivamente. Diección del Vecto Gadiente. Se toma como tal aquella en que la función escala alcana su máimo valo. Como da = gad a. d seá maimo si cos θ = 1 ; θ = 0. Po tanto el vecto gadiente es pependicula a las supeficies de nivel. Sentido del vecto gadiente: Consideemos una supeficie de nivel a (,,) = Cte. en ella una taectoia, el vecto dl seá tangente a dicha taectoia a la supeficie de nivel, como la vaiación del campo escala a, a lo lago de dicha taectoia es ceo po esta esta contenida en una supeficie de nivel, esulta que da = gad a. d seá ceo, como el vecto gad a el vecto d son, en geneal, distintos de ceo, debeán se pependiculaes po tanto gad a tiene que se un vecto pependicula a la supeficie de nivel.el sentido del vecto gadiente es hacia valoes cecientes de la supeficie de nivel. MAPI 009. TEORIA DE CAMPOS 4

5 P 1 Sentido físico del gadiente A B Consideemos un mapa de isobaas. Del punto A de la isobaa P 1, se puede i a cualquie punto de la isobaa P, ahoa bien la mao vaiación po unidad de longitud, coesponde al camino AB, que es pependicula a las indicadas isobaas en la diección que P coesponde al gadiente. Po tanto el gadiente de una función escala, nos da cuenta de la vaiación espacial de esta función e indica la diección en que ha que desplaase paa consegui la vaiación más ápida. Su sentido como se ha dicho anteiomente, es hacia valoes cecientes de la función escala. Vecto gadiente. Diección: En cada punto la pependicula a la supeficie de nivel que pasa po él. Sentido: El de cecimiento de la función escala. Módulo: El de la deivada de la función en esa diección sentido. Ejemplos: 1. Sea V= X sen +. Calcula el vecto gad V el valo de su módulo R. Gad V= V= u u u Gad V sen u cos 1u 0 u ; Gad V sen cos1. Halla el vecto unitaio, nomal a la supeficie. +.. = 7 en el punto (1, 3, ). R. Al se el vecto gadiente de un campo escala pependicula a la supeficie de nivel, el vecto nomal a las supeficie dada se pueden halla obteniendo el vecto gadiente de dicha supefici. El Vecto nomal a la supeficie. +.. = 18 seá el vecto Gad ( )=... ;... (1, 3, )... El vecto unitaio de un vecto, se obtiene dividiendo cada componente ente el módulo del vecto. El vecto pedido, seá el vecto unitaio del vecto gadiente obtenido: MAPI 009. TEORIA DE CAMPOS 5

6 4. CIRCULACIÓN DE UN CAMPO VECTORIAL ( X, Y, Z ). CAMPOS CONSERVATIVOS Considéese, una cieta egión del espacio donde eiste un Campo de Vectoes ( X, Y, Z ), se define la ciculación de a lo lago de una cuva del campo, ente los puntos A B como: A dl F B C = = ( X d + Y d + Z d ) Siendo: dl = (d, d, d ) A B Caso Paticula e Impotante Si = gad U = U, la ciculación se puede pone como C = gad U. dl = du = U A U B U A Intoduciendo un nueva función escala V tal que V(,, ) = U (,, ) tendemos que U B C = du = d V = V A V B ; Si la cuva es ceada V A = V B en consecuencia C = dv = 0 U A V B V A a V(,,) se le llama potencial escala del campo de vectoes se dice en este caso que el campo de vectoes F deiva de un potencial escala V(,,). Si un campo de vectoes deiva de un Potencial Escala V, se cumple que: a) El campo es igual al gad V cambiado de signo. b) La ciculación del campo vectoial a lo lago de una cuva es independiente del camino, únicamente depende del valo del valo del Potencial Escala en los etemos de la cuva. c) La ciculación a lo lago de cualquie cuva ceada vale ceo. V (,, ) = cte. epesenta una supeficie equipotencial. Campos Consevativos Si la ciculación de un Campo Vectoial a lo lago de una cuva es independiente del camino que se siga únicamente depende de los puntos inicial final el Campo se llama CONSERVATIVO. Paa todo campo CONSERVATIVO, se puede enconta un campo Escala del cual deiva. Se cumple asi mismo que si un campo vectoial deiva de un campo Escala, el campo vectoial es CONSERVATIVO. U B Diección del campo La ciculación a lo lago de una supeficie equipotencial seá: dl= = d V = V A V B = 0 a que al se V A la supeficie equipotencial V A =V B. Po tanto el campo es nomal a las supeficies equipotenciales. V B MAPI 009. TEORIA DE CAMPOS 6

7 Sentido del Campo Sean dos supeficies equipotenciales mu póimas con valoes V V + dv. El campo es nomal a V a V + d V A B V V + d V po tanto tangente a AB. Como. = VdV V dv= V (V+dV) = dv. Al se dl tangente a la taectoia diigido hacia B, esulta que la diección del campo es hacia hacia potenciales dececientes. 5. REPRESENTACIÓN VECTORIAL DE UNA SUPERFICIE El módulo del poducto vectoial de dos vectoes, sabemos que epesenta el áea del paalelogamo fomado po los módulos de los dos vectoes como lados. Este hecho sugiee la posibilidad de asocia un vecto a un áea. Consideemos la supeficie plana S de contono L oientado. Po convenio, dicha S supeficie la podemos epesenta po un vecto S de magnitud igual al áea de la S supeficie, de diección pependicula al plano que la contiene de sentido el dado po la egla de la mano deecha, cuando ecoemos el contono, según su oientación. L Componentes de S Las Componentes de S, según los ejes de coodenadas, son iguales a la poección de la supeficie sobe los tes planos de coodenadas coincide con las del vecto S según los ejes. Supeficie no plana En este caso el valo de la supeficie total, no coincide con la magnitud del vecto S, obtenido sumando los vectoes coespondientes a dividi la supeficie en supeficies planas. Supeficie ceada El vecto que epesenta una supeficie ceada es nulo, a que dividida esta en n supeficies planas cada una de estas supeficies puede epesentase un vecto pependicula a la misma de sentido hacia fuea. Al suma todos los vectoes paa obtene el vecto S epesentativo del áea total, se obtiene un vecto nulo, a que cada una de las n supeficies tiene su coespondiente. MAPI 009. TEORIA DE CAMPOS 7

8 6. FLUJO A TRAVÉS DE UNA SUPERFICIE. FLUJO DE UN CAMPO VECTORIAL Sea una supeficie S situada en un campo vectoial F, se llama flujo elemental del campo a tavés del elemento de supeficie ds a d φ = F ds El flujo total a tavés de la supeficie S seá Si F = ( X, Y, Z ) Ф. F ds S d = ( ds, ds,ds ) entonces φ = S X ds +Y ds + Z ds El flujo a tavés de una supeficie, epesenta cualitativamente, el númeo de líneas de fuea que ataviesan dicha supeficie. El flujo seá máimo cuando la supeficie sea nomal al campo. El flujo seá nulo, cuando la supeficie sea paalela al campo. El vecto supeficie ds, se considea pependicula a la supeficie, su módulo el valo de la supeficie ds su sentido como positivo, cuando ataviesa la supeficie de dento a fuea. d Sentido Físico del Flujo Supongamos que F es algo que se mueve, entonces el flujo es la cantidad de ese algo que sale o enta a tavés de S. Po ejemplo, en el movimiento de un fluido F puede epesenta la velocidad del fluido. El Flujo seá la cantidad de fluido que ataviesa la supeficie S po unidad de tiempo. El Movimiento del fluido seá ESTACIONARIO, si al considea la supeficie ceada, la cantidad de líquido que enta ( de fuea a dento), es la misma que sale. En este caso se dice que el flujo es CONSERVATIVO. En el inteio de la supeficie se dice que: a) Ha Manantiales, si Sale más flujo que enta. b) Ha Sumideos, si Enta más Flujo que sale. S F F d El Flujo a tavés de una supeficie, depende solo del contono que la limite, no del tipo o foma de la supeficie consideada paa calcula el flujo. MAPI 009. TEORIA DE CAMPOS 8

9 Ejemplo. Consideemos un campo vectoial dado po = u + u + u, que epesenta el vecto de posición, en catesianas de un punto cualquiea en el espacio P (., ), se pide: a) El flujo Ф del campo vectoial dado, a tavés del paalelepípedo de aistas a, b c, que tiene un vétice en el oigen de coodenados tes de sus planos coincidentes con los planos Z =0, X= 0 e Y=0, según se vé en la figua. b) La ciculación del campo vectoial dado a lo lago de los caminos OCBA, OCDA, OEDA, OEFA, OGBA, OGFA. (o,o,c) D (a,o,o) E C 0 B A P (., ) G (o, b,o) F a) Ф = d ; donde s es la supeficie del paalelepípedo. s En las caas que están sobe los planos Z =0, X= 0 e Y=0, el campo vectoial el elemento de supeficie ds, son pependiculaes el flujo es nulo, po tanto Ф OGFE = Ф OGBC = Ф OCDE = 0. Flujo a tavés de la Caa ABCD Su elemento de supeficie es ds = d d u ; Ф ABCD = ds = X U X Y U Z U d d u Z d d c d S Z d cab Los flujos a tavés de las caas ABGF AFED, se calculan de foma simila esultando: Ф AFGB = bac Ф ADEF = abc. S Z S Z Ф total = Ф OGFE + Ф OGBC + Ф OCDE + Ф ABCD + Ф AFGB + Ф ADEF = 3 abc = 3 V Siendo abc = V, el volumen del paalelepípedo. b) Ciculación C = dl, siendo el camino ecoido. A lo lago del camino OCBA C OCBA = dl = dl d OC OCBA CB BA c 0 b a Integando se obtiene: C OCBA = c A lo lago de los caminos OCDA, OEDA, OEFA OGBA el esultado es el mismo, c = c po tanto se puede pensa que el campo vectoial es CONSERVATIVO, así es en efecto, si bien había que demosta que la ciculación ente el punto O el punto A, tiene siempe el mismo valo independientemente del camino seguido. Mas adelante veemos que basta poba que el campo es IRROTACIONAL, paa que quede demostado que es CONSERVATIVO. MAPI 009. TEORIA DE CAMPOS 9

10 7. DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL. TEOREMA DE GAUSS. CAMPOS SOLENOIDALES. Consideemos el campo, vectoial = ( F, F, F ) vamos a calcula su flujo a tavés de una supeficie ceada en cuo cento o consideamos el campo. Como supeficie ceada vamos a toma un paalepípedo elemental, de lados d, d, d. El flujo elemental total, seá la suma de los flujos elementales a tavés de las seis caas del paalepipedo. Z Ф F F + F d Z d d F d d d d F X d o FY d Y Ф F + F d d F - F Ф F + F d d F - F d d d d X El flujo total seá: d ФdФ dф dф F F F d d d Como el difeencial de volumen dv = d d d, se puede pone d Ф F F F dv Se define la DIVERGENCIA del campo vectoial como: div Ф = F F F = V Ota definición de Divegencia Consideamos que en una cieta egión del espacio, eiste un campo vectoial, que epesenta po ejemplo la velocidad de movimiento de un fluido. Tomemos un cieto volumen V dividámoslo en volúmenes elementales, de foma que en cada uno de estos volúmenes haa un solo manantial de campo. Tomemos como unidad la cantidad de líquido que mana de cada manantial en un instante de tiempo abitaio. Estos manantiales seán así unitaios. La cantidad de líquido que sale a tavés de una supeficie genéica S, contenida en dicho espacio, que limita el volumen V seá: Ф s Si ρ es la densidad de manantiales unitaios, es deci el númeo de manantiales po unidad de volumen, entonces la cantidad de líquido que se cea en un volumen s V limitado po una supeficie S, seá ρv. Po tanto Ф = ρv Se define la divegencia como la densidad de manantiales po unidad de volumen, es po tanto una función escala. 1 div ρ = lim s V o V s F ds MAPI 009. TEORIA DE CAMPOS 10

11 Campos Solenoidales Si div = 0, no eisten manantiales ni sumideos de campo, las Líneas de Campo o Líneas de Fuea, son ceadas el campo se denomina SOLENOIDAL. La condición necesaia suficiente paa que un campo sea solenoidal, es que el flujo a tavés de cualquie supeficie que se apoe en el mismo contono sea el mismo. Si el flujo de un campo SOLENOIDAL a tavés de una supeficie ceada, es ceo, a que el flujo a tavés de una pate de dicha supeficie, es igual contaio al flujo a tavés del esto. TEOREMA DE GAUSS Sigamos el aonamiento de ota definición de divegencia. El númeo de manantiales unitaios contenidos en un elemento de volumen dv, limitado po la supeficie ds se puede pone como: ρdv = div dv Como cada manantial unitaio popociona un volumen unitaio, el flujo a tavés de ds seá: d φ = ds e igual al flujo poducido en dv que es ρ dv Po tanto div dv = o bien que constitue el TEOREMA DE GAUSS s Ejemplo: Como aplicación del teoema de Gauss, veifica que el flujo del campo vectoial = u + u + u, que epesenta el vecto de posición en catesianas de un punto cualquiea en el espacio P (., ), a tavés de cualquie supeficie ceada, es tes veces el volumen enceado po dicha supeficie ( esultado que se obtuvo en el ejemplo anteio). Calculemos el valo de la divegencia: div = = 3 según el teoema de Gauss, flujo del campo vecv v v s toial, luego F ds = 3V s MAPI 009. TEORIA DE CAMPOS 11

12 8. ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL. TEOREMA DE STOKES. dl F Considéese un fluido en movimiento de otación. Si es el vecto que epesenta la velocidad del fluido; se define la ciculación de a lo lago de una línea ceada contenida en la egión donde está el campo como C =. Nomalmente, las patículas del fluido, se limitan a descibi cuvas ceadas alededo de un eje, que consideamos nomal al plano que contiene las taectoias de las patículas. Ocue a veces que las patículas epeimentan un movimiento ascendenten de tanslación (movimiento de emolino), cuando sucede esto, eiste además del campo oto campo de vectoes que llamamos otacional que epesentaemos po = ot. ot Linea de fuea Punto de emolino La ciculación del Campo a lo lago de la línea ceada, que se indicó anteiomente, se considea positiva, si coincide con la indicada po ot Sean las líneas de fuea del vecto ot. Se llaman puntos de emolino, a la intesección de dichas líneas de fuea con la supeficie, nomal a ot. Dividamos la supeficie s, en una seie de n supeficies elementales. La ciculación total, a lo lago del contono de la supeficie s, se puede pone como suma de las ciculaciones a lo lago del contono de cada supeficie elemental, o n veces una de ellas a que son iguales, C = n C i. Las Celdillas que esultan al dividi la supeficie s, son tales que únicamente, son atavesadas po una línea de fuea, luego cada celdilla contiene un solo punto de emolino. Tomando como ciculación unitaia, la de cada celdilla, se define el otacional del campo vectoial, como la Densidad Supeficial de Puntos de Remolino en la supeficie S. Como ha tantos puntos de emolino como celdillas tantas celdillas como ciculaciones elementales, cua suma es C F dl ; se puede epesa el ot def, 1 como: ot F lim S o F dl S Deteminemos las componentes catesianas del vecto otacional Pensemos en un punto P de coodenadas, situado en un campo vectoial. Consideese un cuadado elemental de dimensiones d, d de manea que el punto P (,), esté en su cento geomético. en una egión donde esta definido un campo vectoial cuo valo en el punto P(,) es F(,,) deseamos calcula la ciculación de este campo vectoial a lo lago del cuadado. d 4 3 Supongamos que el valo del campo no cambia sustancialmente a lo lago de cualquie lado del cuadado, a que este es de dimensiones P(,) F(F,F,F) 1 d elementales. Paa calcula la ciculación a lo lago del cuadado, tenemos que conoce el valo del campo vectoial en cada lado. El valo del campo vectoial en los difeentes lados seá: Lado 1 : Lado 3: F - F + F d F d Lado 34: F + Lado 41: F - F d F d MAPI 009. TEORIA DE CAMPOS 1

13 Pensando que la ciculación elemental a lo lago del camino elemental d, es el poducto escala del valo del campo vectoial en d po el vecto d, podemos epesa la ciculacion a lo lago de nuesto cuadado elemental cuando se ecoe en el sentido macado (contaio a las agujas del eloj) como : dc = dc 1 + dc 3 + dc 34 + dc 41 dc = ( F - d d + ( F Y + F Y X dx ) d + (F + F X Y d d) + (F Y - d ) (- d) = - d d + d d = ( F Y F X X Y ) d d = ( ) d Componente del otacional de F Siendo = d d el aea elemental del cuadado en el plano = 0. Si hacemos lo mismo en el plano ( = 0) el ( = 0 ), obtendemos: dc = ( ) d dc = ( ) d Componentes e del otacional de F El ot del campo vectoial F se puede epesase Matemáticamente como : ot = F F Y F Z = ( MAPI 009. TEORIA DE CAMPOS 13

14 TEOREMA DE STOKES Como el valo de la ciculación del campo a lo lago de una línea ceada, nos da el númeo de puntos de emolino sobe la supeficie que enciea dicha línea se ha definido el otacional, como la densidad supeficial de puntos de emolino, si consideamos una supeficie ds limitada po un contono dl el númeo de puntos de emolino se puede pone como: bien como dl paa una supeficie s limitada po un contono : s TEOREMA DE STOKES Teoema de Stokes. La ciculación del campo vectoial F a lo lago de una línea ceada, es igual al númeo total de puntos de emolino sobe la supeficie que limita dicha línea. El campo ot F, es solenoidal, pues se cumple que = 0 si aplicamos el teoema de Gauss: div ot F dv, se obtiene que ot F ds 0, siendo s una supeficie ceada. s v s Esto supone que el campo ot F es solenoidal po tanto sus líneas de fuea son ceados, lo cual indica que ot F no tiene sin manantiales ni sumideos de campo, sepaados. Conclusiones a) El númeo de puntos de emolino situados sobe dos supeficies, que se apoan en el mismo contono es el mismo b) El campo ot F, es solenoidal. Sus líneas de campo son ceadas, no es posible la eistencia de manatiales o sumideos de campo, de manea sepaada, unos de otos. Campo Iotacional Si un campo vectoial F cumple que la ciculación a lo lago de cualquie línea ceada es ceo 0 se dice que el campo es IRROTACIONAL deiva de un potencial escala, o lo que es lo mismo, el campo es CONSERVATIVO se puede epesa como el gadiente de un campo escala que llamamos su potencial escala. Si el campo es IRROTACIONAL mediante el teoema de Stokes, 0 se veifica s que en todos sus puntos. Recoda. Si un campo es Iotacional: a) Es Consevativo. b) Se puede epesa como el gadiente de un campo Escala que denominamos, Potencial Escala. c) Su Rotacional es ceo. d) Paa demosta que un campo es CONSERVATIVO, basta veifica que su otacional es ceo. Ejemplo. Calcula el otacional del campo vectoial = u + u + u, que epesenta el vecto de posición, en catesianas de un punto cualquiea en el espacio P (., ). ot = = ( = 0 Se tata po tanto de un campo iotacional en consecuencia es CONSERVATIVO. MAPI 009. TEORIA DE CAMPOS 14

15 9. EL OPERADOR LAPLACIANA. LAPLACIANA DE UN CAMPO ESCALAR Y LAPLACIANA DE UN CAMPO VECTORIAL Se define el opeado LAPLACIANA Δ como el opeado nabla aplicado escalamente al mismo opeado nabla. Es po tanto un ESCALAR. Δ = = ( u ) u ( ) = Veamos como actua sobe campos escalaes sobe campos vectoiales: Laplaciana de un Campo Escala V (,, ) Δ V = V = V = Laplaciana de un Campo Vectoial = F + F + F Δ = = = = ( Agupando quedaá: Δ = = = F F X Y F Z u F F F Z u Laplaciana de un vecto Δ F F F u F u F u Δ F u Δ F u Δ F u Ejemplo. Calcula la LAPLACIANA del campo escala 1, siendo el módulo del vecto de posición, en catesianas, de un punto cualquiea P (., ), del espacio. Δ = 1 ; 1 = + + (1) Calculemos las deivadas paciales: 1 = 1 = 1 = 1 = X Y Z 3; de igual manea: 1 = 1 3; = 3 Sustituendo en (1) queda : 1 = u 3 u u 3 X u Y u Z u 3 3 Δ MAPI 009. TEORIA DE CAMPOS 15

16 10. OPERACIONES CON EL OPERADOR NABLA. Sean φ ψ dos campos escalaes c una constante. gad (c ψ )= c gad ψ ; gad (φ +ψ ) = (φ +ψ) = φ + ψ ; gad (φ ψ ) = (φ ψ) = ψ φ + φ ψ gad (F G ) = (F G ) = ( F ) G + ( G ) F + F ( G ) + G ( F ) div(c F = c div F ; div ( F + G ) = ( F + G = F + G div (ψ F ) = ( ψ F ) = F ψ + ψ F div (F G ) = (F G ) = F G + G F ot (c F = c ot F ; ot (F G ) = (F G ) = F ( G )+ ( G ) F G ( F ) ( F ) G ot ot F = ( F = ( F ) F gad div = 0 ; = 0 = 0 div ot = 0 ; ot gad ψ = 0 gad div ot = 0 RECORDAR OPERADOR GRADIENTE O NABLA gad = = u OPERADOR LAPLACIANA Δ = = = Gad a = a (vecto) ; Div ( escala); ot = (vecto) TEOREMA DE GAUSS: TEOREMA DE STOKES s Gad a = a (vecto) ; Div ( escala); ot = (vecto). MAPI 009. TEORIA DE CAMPOS 16