el blog de mate de aida MI: apuntes de vectores y rectas pág. 1 VECTORES

Transcripción

1 el blog de mate de aida MI: apntes de vectores y rectas pág. VECTORES.- LOS EJES CARTESIANOS Y EL ORIGEN El eje horizontal se llama eje de abscisas y el eje vertical se llama eje de ordenadas. El pnto de corte de los ejes se llama origen. COORDENADAS DE LOS PUNTOS DEL PLANO Las coordenadas de n pnto del plano vienen dadas por n par ordenado de números. La primera coordenada se mide sobre el eje de abscisas; se llama abscisa del pnto. La segnda coordenada se mide sobre el eje de ordenadas y se llama ordenada del pnto..- DEFINICIÓN DE VECTOR Un vector fijo de origen A y extremo B, es n segmento orientado caracterizado por: - Dirección o recta qe lo contiene (recta qe pasa por A y B). - Sentido (el recorrido al ir de A hacia B. - Módlo o longitd del segmento correspondiente. Dos vectores no nlos tienen la misma dirección si se encentran en rectas paralelas. VECTOR LIBRE Todos los vectores qe tienen la misma longitd, la misma dirección y el mismo sentido, se llaman vectores eqipolentes. Todos los vectores eqipolentes entre sí representan el mismo vector, qe llamaremos vector libre. Las coordenadas de n vector libre son las de no calqiera de ss representantes vectores fijos. El módlo de n vector libre es el de no calqiera de ss representantes vectores fijos. COORDENADAS DE UN VECTOR FIJO Llamamos coordenadas de n vector fijo AB, de origen A y extremo B a,b números qe se obtienen al restar las coordenadas del extremo menos las del origen: AB a a, b b a,b, a los Se llama vector nlo al vector qe tiene s origen y s extremo en el mismo pnto. Por tanto, ss coordenadas son nlas. MÓDULO DE UN VECTOR FIJO Si A(a, b ) y B(a, b ) son las coordenadas de los pntos A y B, entonces las coordenadas del vector AB son: AB a a, b b. El módlo de n vector fijo AB a a, b b es la distancia entre el origen A a, b ) y el extremo B a, b ). Utilizando el teorema de Pitágoras: ( AB ( a a b b

2 el blog de mate de aida MI: apntes de vectores y rectas pág. El módlo de n vector es siempre n número positivo o nlo. EJERCICIOS º.- Dados los pntos A(,-3) y B(-,-), calcla analítica y gráficamente: a) Las componentes del vector fijo AB. b) Un vector fijo eqipolente a AB cyo origen sea el pnto C(4,-). c) Un vector fijo eqipolente a AB cyo extremo sea el pnto F(,3). º.- Dados los pntos A(5,) y B(,-) calcla analítica y gráficamente: a) Las componentes del vector fijo AB. b) Un vector fijo eqipolente a AB cyo origen sea el pnto C(-,0). c) Un vector fijo eqipolente a AB cyo extremo en el pnto F(,). 3º.- Las componentes del vector fijo AB son (3,), calcla el pnto A si B(,-). 3.- OPERACIONES ELEMENTALES CON VECTORES PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UN VECTOR Dado n vector libre y n número real no nlo k, se llama prodcto de n número real por n vector y se designa por k al vector qe tiene: t t a, t b - módlo: k. - dirección: la dirección del vector. - sentido: el mismo qe, si k es positivo. el opesto de,si k es negativo SUMA DE VECTORES Para smar dos vectores y v geométricamente, se sitúa n representante de v con s origen sobre el extremo de n representante de. El vector sma de ambos es el qe tiene el origen de y el extremo de v. Sma de dos vectores analíticamente: la sma de dos vectores y v de componentes a,b y v es otro vector de componentes: v a a b. a,b RESTA DE VECTORES, b Para restar dos vectores se sma el primero con el opesto del segndo.

3 el blog de mate de aida MI: apntes de vectores y rectas pág COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Un vector es combinación lineal de v si tienen la misma dirección, es decir, si existe k tal qe v k. Se dice qe y v son linealmente dependientes. 3 9 Ejemplo: Los vectores,6 y v 3,9 son linealmente dependientes porqe:, 5 k 6 decir, v,5., es Una combinación lineal de dos vectores b y c es n vector de la forma números reales. mb nc, donde m y n son Ejemplo: (5,-4) = (,) + 3 (,-6); entonces diremos qe (5,-4) es combinación lineal de (,) y (,-6). En general: Unos vectores son linealmente dependientes si algno de ellos se pede poner como combinación lineal de los demás. Si ningno de los vectores es combinación lineal de los restantes, se dice qe son vectores linealmente independientes. Gráficamente dos vectores son L.D. cando tienen la misma dirección y por tanto serán L.I. si tienen distinta dirección. a,b y Dos vectores son paralelos si tienen la misma dirección. En coordenadas, dos vectores v a,b son paralelos cando ss componentes son proporcionales:. v v Consecencias de la dependencia lineal: Si tenemos dos vectores no nlos v y w y qeremos expresar el vector nlo como combinación lineal de ellos: a v a w 0, pede sceder: - qe a y direcciones distintas. - qe algno ó ambos, a y linealmente dependientes, es decir, tienen la misma dirección. EJERCICIOS a sean cero, lo qe implica qe v y w son independientes, es decir, tienen 4º.- Dados los vectores x, e 3, a sean distintos de cero, lo qe implica qe v y w son y, halla el vector combinación lineal z x 3y.

4 el blog de mate de aida MI: apntes de vectores y rectas pág. 4 5º.- El vector z,, se pede expresar como combinación lineal de los vectores 3, y,4? x e 5.- BASE. COORDENADAS. DIMENSIÓN. Un conjnto de vectores es na base si: - Calqier vector se pede poner como combinación lineal de ellos. - Son linealmente independientes. Una base del plano está formada por dos vectores linealmente independientes. Por eso se dice qe el plano tiene dimensión dos. En el conjnto de los vectores libres del plano, dos vectores libres,, no nlos y no paralelos, forman na base. Calqier vector del plano se pede poner como combinación lineal de ellos. A los números reales x, y qe permiten descomponer el vector x x y se les llama coordenadas o componentes del vector x respecto de la base B,. Convenimos en expresar el vector x en la forma x ( x, y), indicando con ello qe los números x, y son las componentes del vector en la base elegida. EJERCICIOS 6º.- Qé pares de los sigientes vectores forman na base: 7º.- Sean los vectores libres = (, ), = (, 4) y = (5, 6). Determina:

5 el blog de mate de aida MI: apntes de vectores y rectas pág. 5 Si forman na base y. Expresa como combinación lineal de los de la base: 8º.- Compreba si el vector (5,7) es C.L. de (,) y (,3). 9º.- Compreba si los vectores (,), (0,) forman na base del plano. BASE CANÓNICA. Un vector se denomina nitario si s módlo es. Dos vectores, v se denominan ortogonales si son perpendiclares. Una base se llama base ortonormal si consta de vectores nitarios y ortogonales. La base más sencilla qe podemos definir es la base canónica, i, j, siendo i (,0 ) y j (0,). Como i (,0 ) y j (0,), es evidente qe las componentes de w coinciden con las coordenadas del extremo del vector w sitando s origen en el origen de coordenadas. 6.- PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES LIBRES Para definir el ánglo qe forman dos vectores libres, tomamos dos representantes con el mismo origen. Si AB es n representante de y AC es n representante de v, el ánglo en A del triánglo ABC recibe el nombre de ánglo entre los vectores y v. El ánglo así definido varía entre 0 y radianes.

6 el blog de mate de aida MI: apntes de vectores y rectas pág. 6 El ánglo entre y v es 0 en el caso en qe y v sean linealmente dependientes con factor de proporcionalidad positivo y es radianes cando y v son dependientes con factor de proporcionalidad negativo. El prodcto escalar de dos vectores y v se designa por, v cos, v v 0, si ó si v es y el v y se obtiene del sigiente modo: v son vector no nlo. nlos. Es decir, qe el prodcto escalar de dos vectores es igal al prodcto de ss módlos por el coseno del ánglo qe forman. El prodcto escalar de dos vectores es n número real, qe pede ser positivo, negativo o nlo. PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR:. El prodcto escalar de n vector por sí mismo es n número positivo o nlo: cos0. El prodcto escalar es conmtativo: v v o 0 3. Asociativa (homogénea): k v k v kv 4. Distribtiva del prodcto escalar respecto de la sma de vectores: v w v w EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR EN UNA BASE ORTONORMAL: Sea B i, j La base la base canónica, y y v dos vectores calesqiera: xi y j, v x' i y' j i, j canónica es ortonormal, por lo qe ss vectores son de módlo : j perpendiclares, por lo qe tenemos: i i i j 0 j i 0 j j i y Aplicando las propiedades del prodcto escalar reslta: v xi y j x' i y' j xx' i i xy' i j yx' j i yy' j j xx' yy' Es decir: v xx' yy'

7 el blog de mate de aida MI: apntes de vectores y rectas pág. 7 MÓDULO DE UN VECTOR: El prodcto escalar de n vector por sí mismo es: cos0 ; por tanto: El módlo de n vector es la raíz cadrada positiva del prodcto escalar por sí mismo: ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES: El coseno del ánglo formado por dos vectores se obtiene al dividir s prodcto escalar entre el prodcto de ss módlos: v cos, v v Sea B i, j la base canónica (ortonormal) y y v dos vectores calesqiera, tal qe xi y j, v x' i y' j, entonces: por tanto: y tenemos: cos xx yy x x y y xx' yy', v x y x' y' Consecencias evidentes: - dos vectores paralelos de igal sentido: - dos vectores paralelos de distinto sentido: - dos vectores perpendiclares no nlos: 0 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Dados dos pntos, A y B, del plano, se llama distancia de A a B al módlo del vector AB : da, B AB La distancia entre dos pntos es siempre n número positivo o nlo, por serlo el módlo de n vector. Si A(x, y ) y B(x, y ) son las coordenadas de los pntos A y B, entonces las coordenadas del vector AB son: AB x x y, y d, de donde: A, B AB x x y y Propiedades de la distancia: La distancia entre dos pntos tiene las sigientes propiedades:. d(a,b) = 0 A = B. d(a,b) = d(b,a) 3. d(a,b) d(a,c) + d(c,b) (desigaldad trianglar).

8 el blog de mate de aida MI: apntes de vectores y rectas pág. 8 COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO: Consideremos el segmento de extremos A(x, y ) y B(x, y ); sea M x m, y m s pnto medio, entonces se verifica qe: AM AB De la figra se tiene: m a AM a AB a b a a b Sstityendo las coordenadas en la expresión anterior, se tiene: x x x y m ; y y m Las coordenadas del pnto medio de n segmento se obtienen como semisma de las coordenadas de los extremos. COORDENADAS DEL PUNTO SIMÉTRICO A UN SEGMENTO: Para calclar el pnto simétrico B de n pnto A respecto a otro C, tomamos C como pnto medio de A y B, y despejamos las coordenadas de B. CONDICIÓN PARA QUE TRES PUNTOS ESTÉN ALINEADOS: Los pntos A(x, y ), B(x, y ) y C(x 3, y 3) están alineados siempre qe los vectores AB y AC tengan la misma dirección. Esto ocrre cando ss coordenadas son proporcionales: x x x3 x y y y y 3 DIVIDIR UN SEGMENTO EN TRES PARTES IGUALES: Las coordenadas de los pntos M y M qe dividen al segmento AB en tres partes igales se calclan: M A AB y M A AB 3 3.

9 el blog de mate de aida MI: apntes de vectores y rectas pág. 9 ECUACIONES DE LA RECTA Ecación de na recta es la relación qe verifican todos los pntos del plano qe se encentran sobre ella y sólo ellos. Una recta qeda determinada de dos formas diferentes: a) Dando n pnto A y n vector qe esté en la recta o sea paralelo a dicha recta. b) Dando dos pntos A y B. ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA: Consideremos el sistema de referencia R O, i, j y sea r la recta qe pasa por el pnto A(x 0, y 0) y lleva la dirección del vector,. El vector se llama vector direccional o vector director de la recta r. Bscamos n procedimiento analítico qe nos permita calclar las coordenadas de calqier pnto X=(x,y) qe pertenezca a la recta. El vector AX es proporcional al vector por estar en la misma dirección. AX t, t R (siendo t n número real calqiera, parámetro). Si a y x son los vectores de posición de los pntos A y X, respectivamente, se verifica: x a AX a t, de donde: x a t, t R Se llama ecación vectorial de la recta r(a, ) qe, expresada en coordenadas, viene dada por: (x, y)=(x 0, y 0) + t(, ), con t R. (Al hacer variar t en R e van obteniendo los pntos de r). ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA: A partir de la ecación vectorial expresada en coordenadas, igalando las componentes, se obtiene: (x, y)=(x, y ) + t(, ) x x y y t t con tr. Estas ecaciones se llaman ecaciones paramétricas de la recta r. Para cada valor de t se obtiene n pnto de la recta r. Ejemplo: Calcla las ecaciones vectorial y paramétrica de la recta qe pasa por el pnto A=(,5) y tiene por vector director, 3.

10 el blog de mate de aida MI: apntes de vectores y rectas pág. 0 ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA: A partir de las ecaciones paramétricas de la recta r, 0 ecaciones e igalando, reslta: x x0 t y y0 t x x 0 y y ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA: 0 y 0, despejando t en ambas La ecación anterior se llama ecación contina de la recta r. Operando y simplificando en la ecación de la recta en forma contina, se obtiene: x x y y x x y y x y y x B ; C y0 x0, reslta: Haciendo A ; Ax+By+C=0 La igaldad anterior se llama ecación general de la recta o ecación en forma implícita. El vector director de la recta en forma general es B, A, ya qe B y A. Entonces: si n vector director de la recta es: B, A, la pendiente es: m A B Recta qe pasa por dos pntos: Conociendo dos pntos A y B de na recta: AB. Un vector director de esta recta es el vector Por tanto, podemos calclar la ecación de la recta en calqiera de las formas anteriores. ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE DE LA RECTA: Inclinación de na recta es el ánglo qe ésta forma con la dirección positiva del eje de abscisas. 0º < 80º Pendiente de na recta es la tangente trigonométrica de s inclinación (la tangente del ánglo qe forma la parte positiva del eje de abscisas con la recta). Se sele nombrar con la letra m. m = tg - Cando la inclinación de la recta es n ánglo agdo, la pendiente es positiva. - Cando la inclinación de la recta es n ánglo obtso, la pendiente es negativa. - Las rectas paralelas al eje X tienen de pendiente 0, ya qe s inclinación es de 0º, y las rectas paralelas al eje Y no tienen pendiente, porqe s inclinación es de 90º.

11 el blog de mate de aida MI: apntes de vectores y rectas pág. Consideramos la recta r qe pasa por el pnto A(x 0, y 0) y lleva la dirección a, b definición de tangente se cmple: b m tg a. Por La recta r tiene por ecación en forma contina: x x0 y y0, a b de donde despejamos: b y y0 x x 0, qe a es la ecación en forma de pnto-pendiente de la recta, pes viene dada en fnción de n pnto y la pendiente, qe es el coeficiente b a y se representa por m. Así, tenemos la ecación de la recta r qe pasa por el pnto A(x 0, y 0) y tiene por pendiente m: y y0 m x x 0 (ecación pnto-pendiente) ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA: Despejando la y de la ecación pnto-pendiente reslta: y mx y 0 mx0. Si llamamos n y 0 mx0, se obtiene la ecación explícita: y mx n, donde m representa la pendiente de la recta y n es la ordenada para x=0, qe se llama ordenada en el origen (y nos da el pnto de corte con el eje vertical). También se obtiene despejando la y de la ecación general o implícita. ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA SEGMENTARIA: Si na recta corta a los ejes en los pntos A(a,0) y B(0,b), la ecación contina de la recta es: x a y 0 x y x y, de donde: o, de otra forma:. 0 a b 0 a b a b ECUACIONES DE RECTAS PARALELAS A LOS EJES: Rectas paralelas al eje de ordenadas. Tienen como vector director 0, qe las ecaciones paramétricas son: x x 0 y y 0 t v por lo con tr. La ecación de esas rectas viene dada por x x0.

12 el blog de mate de aida MI: apntes de vectores y rectas pág. Rectas paralelas al eje de abscisas. Tienen como vector director v,0 por lo qe las ecaciones paramétricas son: x x0 t y y 0 rectas viene dada por y y0. con tr. La ecación de esas POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO. Dos rectas en el plano, según s posición relativa, peden ser: - Rectas secantes: si tienen n solo pnto en común. - Rectas paralelas: si no tienen ningún pnto en común. - Rectas coincidentes: si tienen todos los pntos comnes. En este caso no se trata de dos rectas, sino de na sola. Para estdiar la posición relativa de dos rectas en el plano hay qe resolver el sistema formado por ss ecaciones, de forma qe: - si tiene na solción, las rectas se cortan. - si no tiene solción, las rectas son paralelas. - si tiene infinitas solciones, las rectas son coincidentes. Sin necesidad de resolver el sistema qe forman, podemos saber la posición relativa de dos rectas. Si dos rectas son paralelas, la inclinación de ambas es la misma y, por tanto, s pendiente también. Es decir, llamando m a la pendiente de la recta r, y m a la pendiente de la recta s, entonces: si r // s m = m Si las rectas están en forma general, es decir, r: Ax+By+C=0 y s: A x+b y+c =0, entonces: B, A ' B', A', de donde: m A B y A' m' B'. Lego: y si r // s A A' A B ó B B' A' B'

13 el blog de mate de aida MI: apntes de vectores y rectas pág. 3 Para estdiar la posición relativa de dos rectas en el plano, tendremos en centa lo sigiente: r y s secantes r y s paralelas r y s coincidentes Forma explícita r: y=mx+n s: y=m x+n mm m=m ; nn m=m ; n=n Forma implícita: r: Ax+By+C=0 s: A x+b y+c =0 A B A' B' A B C A' B' C' A B C A' B' C' Esto es únicamente válido cando los denominadores son nlos. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Dados n pnto P y na recta r: - si P pertenece a la recta r, entonces d(p,r)=0. - si P no pertenece a la recta r, entonces d(p,r)= QP, siendo Q el pnto de corte de la recta r con la perpendiclar a r qe pasa por P. Por tanto, para obtener la distancia del pnto P a la recta r, procederemos sigiendo los pasos: - Trazamos la recta s perpendiclar a r qe pasa por P. - Hallamos el pnto Q intersección de r y s. - Calclamos la distancia de P a Q. Para calclar la distancia del pnto A(x, y ) a la recta r: Ax+By+C=0 podemos tilizar la fórmla: d( A, r) Ax By A B C DISTANCIA ENTRE RECTAS Si las rectas r y r son secantes o coincidentes, la distancia evidentemente es nla. Si las rectas r y r son paralelas, la distancia entre ellas es igal a la distancia de n pnto calqiera de na de ellas a la otra recta. ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS Se llama ánglo qe forman dos rectas al menor de los ánglos qe definen. Dos rectas en el plano peden ser coincidentes, paralelas o secantes. Si son coincidentes o paralelas, el ánglo qe forman es de cero grados. Si las rectas son secantes, al cortarse en n pnto definen ánglos igales dos a dos, por ser opesto por el vértice ( y son splementarios).

14 el blog de mate de aida MI: apntes de vectores y rectas pág. 4 Ánglo qe forman dos rectas en fnción de ss vectores directores. Sean y ' los vectores directores de las rectas r y r, respectivamente. Se llama ánglo formado por dos rectas secantes al menor de los ánglos qe determinan dichas rectas, y coincide con el ánglo qe forman ss vectores directores. cos Peden ocrrir los sigientes casos: cos(r,s) = 0 (r,s) = 90º r y s son perpendiclares r s. cos(r,s) (0,) r y s son secantes. cos(r,s) = (r,s) = 0º r y s son paralelas o coincidentes. r, s cos, v v v Expresión analítica: Sean las rectas r y r de ecaciones en forma general: A, B B A A', B' ' B', A' r : Ax By C 0 n, r' : A' x B' y C' 0 n' entonces se tiene: cos AA' BB' r, r' cos, ' A B A' B' En este caso, para qe r y s sean perpendiclares se ha de cmplir: AA ' BB' 0 Ánglo qe forman dos rectas en fnción de ss pendientes. Cando la inclinación de las rectas r y s viene dada por ss pendientes m y m, el ánglo qe forman se determina del sigiente modo: tg tg tg tg tg tg m' m m m' Si las rectas son perpendiclares (=90º) no existe tg. En este caso, +m m =0, o bien: m' m