Criterio de la segunda derivada para funciones de dos variables por Sergio Roberto Arzamendi Pérez

Transcripción

1 Criterio de la segnda derivada para fnciones de dos variables por Sergio Roberto Arzamendi Pérez Sea la fnción f de dos variables definida por f (, ) contina de primera segnda derivadas continas en s dominio, sea P(, n pnto crítico de f para el qe f (, ) f (, ), f (, ) (,, es decir, f (, ) f (, ) Para determinar si la fnción f tiene n valor máimo o mínimo relativo en P(, debemos analizar la concavidad de s gráfica en el pnto P(, determinando el signo del valor de la segnda derivada direccional de f en dicho pnto, de manera similar a como se hizo en el crso de Cálclo Geometría Analítica para fnciones de na variable Estdiamos en el crso de Cálclo Integral qe la primera derivada de la fnción f en la dirección del vector nitario (, ) es D (, ) f (, ) f (, ), f (, ) (, ) D (, ) f (, ) f (, ) La segnda derivada de la fnción f en la dirección del vector nitario (, ) es la derivada direccional de la derivada direccional antes obtenida, es decir, por lo qe, al desarrollar tenemos qe D (, ) D D (, ) D (, ) D f (, ) f (, ) f (, ) f (, ) (, ) f (, ) f (, ), f (, ) f (, ) (, ) D (, ) f (, ) f (, ) f (, ) f (, ) Como f es na fnción contina de derivadas continas f (, ) f (, ) por lo qe la segnda derivada de f en el pnto crítico P(, es

2 D (, ) f (, ) f (, ) f (, ) La concavidad de la gráfica de f en el pnto P(, está determinada por el signo de esta segnda derivada en todas las direcciones posibles del vector nitario (, ) Notemos qe la epresión qe define a la segnda derivada direccional es na forma cádrica, como se estdió en el crso de Álgebra Lineal, dicha forma cádrica pede epresarse en la forma qe pede escribirse brevemente como f (, f (, D (, f (, ) f (, ) D (, ) H(, ) T en donde de IR es el vector de coordenadas de (, ) respecto a la base canónica f (, f (, H(, f (, f (, llamada matriz de Hess, es na matriz simétrica asociada a la segnda derivada direccional de f en el pnto P(, Como H(, es simétrica sabemos qe es diagonalizable qe ss valores característicos son números reales por lo qe, de acerdo a lo estdiado en el crso de Álgebra Lineal, se pede escribir como o de manera breve D (, ) v v v v T D (, ) v Ev

3 v1 en donde v es el vector de coordenadas de (, ) respecto a na base de IR v 1 formada por vectores característicos de H(,, la matriz diagonal E es similar a H(, ss elementos 1 son los valores característicos de H(, Al realizar el prodcto matricial de la ecación anterior obtenemos qe D (, ) v v 1 1 es decir, el signo de la segnda derivada direccional de la fnción f en todas las direcciones definidas por el vector (, ) sólo depende del signo de los valores característicos de la matriz H(,, a saber, a) si 1 entonces D (, ) la fnción f presentará n valor máimo relativo en el pnto P(, b) si entonces D (, ) la fnción f presentará n valor mínimo 1 relativo en el pnto P(, c) si 1 entonces habrá direcciones del vector (, ) para las cales D (, ) será positiva otras direcciones para las cáles será negativa, por lo qe la fnción f no tendrá n valor etremo relativo en P(, pero s gráfica presentará n pnto silla en S(,, f (, ) d) si algno de los valores característicos fera cero, habrá na dirección en la qe D (, ) por tanto este criterio no decidirá acerca de la natraleza del pnto P(, ) Ejemplo 1 Determinar la natraleza de los pntos críticos de la fnción f (, ) Solción Se determinan los pntos críticos de la fnción f (, ) (1) f (, ) ()

4 La ecación (1) pede reescribirse como (1 ) o bien 1 Sstitendo en la ecación () se obtiene qe 1 por lo qe P1 (, 1) es n pnto crítico de f Ahora, sstitendo qe 1 en la ecación () se obtiene qe por lo qe P (,1) P (,1) 3 son los otros pntos críticos de f Las segndas derivadas parciales de f reqeridas son por lo qe la matriz de Hess es Así, para P1 (, 1) tenemos qe f (, ), f (, ) f (, ) H(, ) H(, 1) cos valores característicos son 1, por lo qe f tiene n valor máimo relativo en P1 (, 1) igal a f (, 1) 1 Para P (,1) tenemos qe H (,1) p( ) 8 4 donde p( ) es el polinomio característico de H(,1) Nótese qe no es preciso conocer el valor de las raíces de p( ), basta determinar los signos de dichas raíces Usando la regla de los signos de Descartes, qe se estdió en el crso de Álgebra, tenemos qe p ( ) 8 4 presenta sólo n cambio de signo, por lo qe tiene sólo na raíz real positiva, lo qe implica qe la otra de ss dos raíces es negativa Así, 1, por lo qe en P (,1) la fnción f no tiene n valor etremo, pero s gráfica tiene n pnto silla en S (,1, f (,1)), es decir, S (,1,3)

5 Finalmente, para P (,1) 3 tenemos qe H (,1) p( ) por lo qe son las raíces de p( ) para H (,1) Por lo tanto, en P (,1) la 3 fnción f no tiene n valor etremo, pero s gráfica tiene n pnto silla en S (,1,3) 3 Otra alternativa del criterio de la segnda derivada para fnciones de dos variables f (, f (, Como se señaló antes, la matriz de Hess H(, en el pnto f (, f (, 1 crítico P(, es similar a la matriz diagonal E En el crso de Álgebra Lineal se estdió qe los determinantes de matrices similares son igales entre sí, por lo qe h(, ) f (, ) f (, ) f (, ) 1 donde h(, es el determinante de H(, se conoce como el hessiano de la fnción f en el pnto P(, La igaldad anterior señala qe el hessiano de f es igal al prodcto de los valores característicos de H(, en el pnto P(, h(, ) 1 Si 1 tienen el mismo signo, lo qe corresponderá a qe la fnción f tenga n etremo relativo en P(,, máimo o mínimo dependiendo de la concavidad de la gráfica de f dada por el signo de f (, ) o de f (, ), entonces h(, Si 1 tienen signos distintos entre sí, la fnción f no tendrá valor etremo relativo en P(, pero eistirá n pnto silla en el pnto S(,, f (, ) de s gráfica h(, ) Por esta razón a la fnción h(, se le llama también discriminante de la fnción f para el pnto P(, Tomando en centa estos resltados, el criterio de la segnda derivada para fnciones de dos variables también pede escribirse de la sigiente forma eqivalente a la antes descrita:

6 Sean la fnción definida por f (, ), P(, n pnto del dominio de f en el qe f (, ) f (, ) la fnción h(, ) f (, ) f (, ) f (, ) a) f (, ) tendrá n valor máimo relativo en P(, si h(, f (, ) o f (, ) b) f (, ) tendrá n valor mínimo relativo en P(, si h(, f (, ) o f (, ) c) Si h(, la fnción f no tendrá valor etremo relativo en P(, pero eistirá n pnto silla en el pnto S(,, f (, ) de s gráfica d) Si h(, este criterio no decidirá acerca de la natraleza del pnto crítico P(, Ejemplo Determinar la natraleza de los pntos críticos de la fnción g(, ) Solción Los pntos críticos de la fnción g se obtienen de la solción del sistema de ecaciones g g (, ) (1) (, ) () Escribiendo la ecación (1) como ( 1), 1 o 1 Sstitendo en la ecación () se obtiene qe por lo qe P (, es n pnto crítico de g Por otro lado, sstitendo 1 en la ecación () se obtiene qe 1, por lo qe P1(1,1) P( 1,1) son pntos críticos de g 1 1 o qe

7 Finalmente, sstitendo 1 en la ecación () se obtiene qe 1, por lo qe P3(1, 1) P4( 1, 1) son pntos críticos de g 1 1 o qe Para determinar la natraleza de cada no de estos cinco pntos críticos de g obtenemos el hessiano de g a partir de las segndas derivadas g g g (, ), (, ) (, ) 4 por lo qe h(, ) 16 Para el pnto P (, se obtiene qe h(, 4 por lo qe la fnción g tiene n valor etremo relativo en dicho pnto crítico Además, g(, por lo qe g tiene n valor máimo relativo en P (, igal a g (, El hessiano de g evalado en cada no de los pntos P1 (1,1), P ( 1,1), P3 (1, 1) P 4 ( 1, 1) es h(1,1) h( 1,1) h(1, 1) h( 1, 1) 16 por lo qe g no tiene n valor etremo en ellos pero en s gráfica eisten catro pntos silla qe son S1(1,1, 1), S( 1,1, 1), S3(1, 1, 1) S 4 ( 1, 1, 1) Gráfica de la fnción g Se observan catro pntos silla n valor máimo relativo en el origen de coordenadas

8 Criterio de la segnda derivada para fnciones de tres variables Si ahora consideramos na fnción f de tres variables, definida por f (,, z ) contina de primera segnda derivadas continas en s dominio, el pnto crítico P(,, z de f para el qe f (,, z (,,, es decir, f (,, z ), f (,, z ) f (,, z ) z pede comprobarse, de manera similar a como se hizo para las fnciones de dos variables, qe la segnda derivada de f en la dirección del vector nitario (,, ) es la forma z cádrica qe pede epresarse como f (,, z f (,, z f z (,, z D (,, z z f (,, z f (,, z f z (,, z fz (,, z f z (,, z f zz (,, z z qe de manera compacta pede escribirse como D (,, z ) H(,, z ) T en donde ahora z canónica de IR 3, es el vector de coordenadas de (,, ) respecto a la base z f (,, z f (,, z f z (,, z H(,, z f (,, z f (,, z f z(,, z fz (,, z f z (,, z f zz (,, z es la matriz de Hess asociada a la segnda derivada direccional de f en el pnto P(,, z Nevamente, como H(,, z es na matriz simétrica eiste na representación diagonal de la segnda derivada direccional de f en el pnto P(,, z o de manera breve 1 v1 D (,, z v1 v v3 v v 3 3 T D (,, z ) v Ev

9 v1 en donde v v es el vector de coordenadas de (,, z) respecto a na base de v 3 IR 3 formada por vectores característicos de H(,, z, la matriz diagonal 1 E es similar a H(,, z ss elementos 1, 3 son los valores 3 característicos de H(,, z Considerando este resltado podemos escribir qe D (,, z ) v v v por lo qe podemos conclir qe a) si los tres valores característicos de H(,, z son negativos entonces la fnción f presentará n valor máimo relativo en el pnto P(,, z b) si los tres valores característicos de H(,, z son positivos entonces la fnción f presentará n valor mínimo relativo en el pnto P(,, z c) si no todos los valores característicos de H(,, z tienen el mismo signo habrá direcciones del vector (,, ) para las cales D (,, z ) será positiva otras z direcciones para las cáles será negativa, por lo qe la fnción f no tendrá n valor etremo relativo en P(,, z pero en s gráfica habrá n pnto silla en S(,, z, f (,, z) d) si algno de los valores característicos de H(,, z es igal cero, habrá na o más direcciones en las qe D (,, z ) por tanto este criterio no decidirá acerca de la natraleza del pnto crítico P(,, z Ejemplo 3 Determinar los pntos críticos de la fnción determinar s natraleza f (,, z) z z Solción Los pntos críticos de la fnción f se obtienen de la solción del sistema de ecaciones

10 f(,, z) f (,, z) 1 fz (,, z) z Dichos pntos críticos son P (1,1,1) 1 P (1, 1,1) Las segndas derivadas parciales de f son por lo qe la matriz de Hess de f es f (,, z), f (,, z), f (,, z) zz f (,, z) f (,, z) f (,, z) z z H (,, z) Los valores característicos de H (1,1,1) son 1, 3 por lo qe f no tiene n valor etremo relativo en P (1,1,1) 1 pero en s gráfica eiste n pnto silla de coordenadas S 4 1,1,1, 3 Los valores característicos de H(1, 1,1) son 1, 3 por lo qe f tiene n valor mínimo relativo en P (1, 1,1) s valor es 8 f (1, 1,1) 3 Criterio de la segnda derivada para fnciones de n variables Es posible generalizar estos resltados para fnciones de n variables como se describe a continación n Sea la fnción f : de primera segnda derivadas continas sea el vector n 1,,, n tal qe cada na de ss derivadas parciales respecto a la variable i es igal a cero, es decir, f ( ) i 1 n La segnda derivada de f en la dirección de n vector nitario i n pede escribirse como D ( ) v v v v n n donde 1,, 3,, n son los valores característicos de

11 H( ) f ( ) f ( ) f ( ) n f ( ) f ( ) f ( ) 1 n f ( ) f ( ) f ( ) n 1 n nn f ( ) es la segnda derivada parcial de f respecto a las variables i j a) Si todos los valores característicos de H( ) son negativos entonces la fnción f presentará n valor máimo relativo en b) Si los tres valores característicos de H( ) son positivos entonces la fnción f presentará n valor mínimo relativo en c) Si no todos los valores característicos de H( ) tienen el mismo signo f no tendrá n valor etremo relativo en pero en s gráfica habrá n pnto silla en S(, f ( )) d) Si algno de los valores característicos de ( ) H es igal cero este criterio no permitirá conclir acerca de la natraleza de i j